浙教版 初中数学培优讲义 九年级 第4章 教师版 比例线段及黄金分割(基础) 知识讲解 - 副本
浙教版数学九年级上册4.1《比例线段》教案2
浙教版数学九年级上册4.1《比例线段》教案2一. 教材分析《比例线段》是浙教版数学九年级上册第4章第1节的内容。
本节主要让学生了解比例线段的概念，掌握比例线段的性质，并能运用比例线段解决实际问题。
通过学习，培养学生观察、思考、推理的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了相似三角形的性质，对图形的变换有一定的了解。
但比例线段这一概念较为抽象，学生可能难以理解。
因此，在教学过程中，要注重引导学生从实际问题中抽象出比例线段的概念，并通过大量的实例让学生加深对比例线段的理解。
三. 教学目标1.理解比例线段的概念，掌握比例线段的性质。
2.能运用比例线段解决实际问题。
3.培养学生的观察、思考、推理能力。
四. 教学重难点1.重点：比例线段的概念及其性质。
2.难点：比例线段的运用和实际问题的解决。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过设置问题，引导学生独立思考、合作探讨，从而掌握比例线段的知识。
六. 教学准备1.准备相关的实例和图片。
2.准备课件和板书。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些实际问题，如赛跑、工程等，引导学生关注问题中的比例关系。
提问：如何比较两组数据的比例关系？2.呈现（10分钟）通过PPT呈现比例线段的概念，解释比例线段的定义及性质。
同时，展示一些比例线段的实例，让学生更好地理解比例线段。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实例，试着运用比例线段的知识解决问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）请学生上台展示自己的解题过程，分享解决实际问题的经验。
教师点评，总结解题方法。
5.拓展（10分钟）出示一些提高难度的题目，让学生尝试解决。
引导学生运用比例线段的知识，解决更复杂的问题。
6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学内容，巩固比例线段的概念和性质。
7.家庭作业（5分钟）布置一些有关比例线段的练习题，让学生课后巩固所学知识。
8.板书（5分钟）教师在黑板上板书本节课的主要知识点，方便学生复习。
浙教版数学九年级上册 4.1 比例线段 课件(共20张PPT)
拓展提高：
1、若x:y:z=2:7:5，且x-2y+3z=6，则
x y z2
=
。
拓展提高：
2、若x : y : z 2 : 3: 4
，求 x y 3z
3x 2y
的值。
拓展提高： 3、已知 b c c a a b k ，求k的值。
ab c
课堂小结
等比
等积 等比
a:b=c:d
的图象必经过第 __________象限.
2. 若 a c e 2 , 求： bd f 5
(1) a c (2) 2a 3c 4e b d 2b 3d 4 f
(3) 比较(1),(2)的结论，你能发现什么规律?
x 15 4
3x 3 2x x3
把等比的形式转化成等积的形式。
看谁想的多：已知 a·d=b·c，你能得到哪些比例式？
a b
=
c d
a c
=
b d
交换内项，
d c
=
b a
d b
=
c a
交换外项，
c a
=
d b
c d
=
a b
左右调换，
b a
=
d c
b d
=
a c
上下颠倒。
猜一猜 验一验
例1 根据下列条件，求a : b的值
24
63
两个外项的积等于两个内项的积
∵ ∴
a 你能用从 b
ac
c d
推导出ad=bc 吗? 你能反过来推导吗？
∵ ad bc
bd
a bd c bd
∴
ad bd
bc bd
b
d
∴ ad bc
浙教版数学九年级上册4.1《比例线段》教案1
浙教版数学九年级上册4.1《比例线段》教案1一. 教材分析《比例线段》是浙教版数学九年级上册第四章的第一节内容。
本节主要让学生了解比例线段的定义、性质和应用，培养学生运用比例线段解决实际问题的能力。
教材通过引入实际问题，引导学生探索比例线段的性质，进而得出比例线段的定义，并通过例题和练习题使学生掌握比例线段的应用。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对线段、射线、直线等概念有了一定的了解。
但是，对于比例线段这一概念，学生可能较为陌生。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生通过实际问题探索比例线段的性质，从而理解比例线段的定义。
三. 教学目标1.理解比例线段的定义及其性质。
2.学会运用比例线段解决实际问题。
3.培养学生的几何思维能力和解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：比例线段的定义及其性质。
2.难点：运用比例线段解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生探索比例线段的性质。
2.启发式教学法：在教学过程中，教师引导学生思考、讨论，从而培养学生的问题解决能力。
3.实践性教学法：通过例题和练习题，使学生掌握比例线段的运用。
六. 教学准备1.教具：黑板、粉笔、投影仪、PPT等。
2.学具：学生每人一份比例线段的相关练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过引入实际问题，如“在一条直线上，两点间的距离是否相等？”引发学生的思考，进而引导学生探索比例线段的性质。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示比例线段的定义及其性质，让学生初步了解比例线段的概念。
3.操练（10分钟）教师提出一些有关比例线段的问题，让学生分组讨论、解答。
例如：“已知线段AB和线段BC的长度比为2:3，求线段AC的长度。
”通过解答这些问题，学生能够更好地理解比例线段的性质。
4.巩固（10分钟）教师给出一些练习题，让学生独立完成。
练习题包括判断题、选择题和解答题，题型多样，难度适中。
4最新浙教版初中数学九年级上册精品课件.1 比例线段
如果作为比例内项的是两条相同的线段 ，
即
a b
=
b c
或 a：b=b：c，
那么线段 b 叫做线段 a 和 c 的比例中项.
两条线段的比是它们的长度的比，也就是两个数的比.关 于成比例的数具有下面的性质.
比例式是等式，因而具有等式的各个性质，此外还有一 些特殊性质：
(1)比例的基本性质
如果 a：b =c：d ，那么ad =bc. 比例的内项乘积等于外项乘积.
教学课件
数学 九年级上册 浙教版
第4章 相似三角形
4.1 比例线段
比例线段
四条线段 a、b、c、d 中， 如果 a：b=c：d， 那么这四条线段a、b、c、d 叫做
成比例的线段， 简称比例线段.
已知四条线段a、b、c、d ，
如果
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a b
c =d
或 a：b=c：d，
那么 a、b、c、d 叫做组成比例的项，线段 a、d 叫做 比例外项，线段 b、c 叫做比例内项，线段 d 叫做 a、 b、c的第四比例项.
如果
ac b=d
= …=
m n
(b+d+…+n≠0),
. 那么
a+c+…+m b+d+…+n
a =b
本课小结：
主要内容：比例线段的意义，比例的3个主要性质及 其应用. 能力要求：通过本课的学习，形成比例变形的能力， 要做一定量的习题，达到熟练.
如果 ad =bc，那么 a：b =c：d .
如果 a：b =b：c ，那么b2 =ac.
说明： (1)一个等积式可以改写成八个比例式 (比值各不相同)； (2)对调比例式的内项或外项， 比例式仍然成立 (比值变 了).
4.1.2 比例线段 课件(共27张PPT)2023-2024学年浙教版九年级上册数学
=
.
，
要点提醒
(1)求两条线段的比必须选定同一长度单位，但比值与
单位的大小无关.
(2)两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总
是正数.
由右图我们还可以看到，线段OC与OC′
的比和线段AB与A′B′的比相等，也就是
′
=
.
′
′
一般地，四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，
第4章
4.1
相似三角形
比例线段
第2课时 比例线段
1
学习目标
2
课时导入
3
感悟新知
4
随堂检测
5
课堂小结
了解两条线段的比和成比例线段的概念.
会计算两条线段的比，并会判断四条线段是否成比例.
了解比例尺的概念，并能解决相关的实际问题.
重要提示：1.用方程思想寻找几何图形中四条线段成比例是常
用方法.
2.四条线段成比例可以解决一些实际问题，如地图上的某两
设实际距离为s，则
=
台北 基隆
，
∴s=35×9000000=315000000(mm)，
即s=315(km).
量得图中∠a=28°.
答：基隆市在高雄市的北偏东28°方向，
到高雄市的实际距离约为315 km.
北
台中
α
台南
高雄
比例尺 1∶9000000
练2 现在有一棵很高的古树，欲测出它的高度，但又不
长度之比.
(3)判：若这两个比值相等，则这四条线段是成比例线段；
若这两个比值不相等，则这四条线段不是成比例线段.
数学：4.1《比例线段》课件4(浙教版九年级上)
如果两个数的比值与另两个数的比值 相等,就说这四个数成比例. 即288, 192, 66, 44成比例,…… 那么，3,-9,-6,2这四个数成比例吗？
假如用字母a、b、c、d 表示数,上述四 个数成比例可写成怎样的形式？ a c a：b=c：d 或 b=d
a、d 叫做比例外项， b、c 叫做比例内项，
a c 例4.已知 b d
判断下列比例式是
利用等式性质
否成立,并说明理由.
ab cd (1) b d
a ac (2) b bd
设比值k
补充练习
1.已知
x x 1 3 2
求x的值?
2.根据下列条件,求x与y的比:
2x 3 y x 2y 2 (1) (2) 3 2 y 5
a 3 3.已知 , 求下列各算式的值: b 2
a b ab a b (1) ;(2) ;(3) . b b ab
看谁想的多： 已知 a· d=b· c，你能得到哪些比例式?
a c = b d a b c = d
对调内项， 比例仍成立！
d b = c a
c d = a b b d = a c
2．等式的两边都乘以（或除以）同一个数 （除数不能为零），所得结果仍是等式．
； / 夜色宝贝；；
排队进入其中丶前门开了上千个进入の通道,每个通道面前都排满了人长长の队伍壹个个の进入其中丶夏家,还有欧阳家の几人,在进入孟子楼前便碰到了壹起丶"夏长老。"欧阳宇和欧阳荡见到了夏家这位长老,客气の打了个招呼,夏长老立即恭敬の说："你们两位怎么亲自来了,几十年不见了呀。"" 呵呵,无事过来看个热闹了。"欧阳宇微笑着说："新城主の面子,总是要给の。""这可不是小面子哦
九年级数学上册 第4章 相似三角形 4.1 比例线段 第3课
第4章 相似三角形
4．1 比例线段
第4章 相似三角形
第3课时 黄金分割
学知识 筑方法 勤反思
4．1 比例线段
学知识
知识点一 比例中项
一般地，如果三个数 a，b，c 满足比例式___ba＝__bc___(或__a∶__b_＝__b_∶_c__)， 那么 b 就叫做 a，c 的比例中项． __b_2_＝__ac__⇔ba＝bc.
5－1
AB
被点
P_黄__金__分_割__
，
黄
金
比
AP AB
Hale Waihona Puke ＝____2____≈___0_.6_1_8__．(如图 4－1－3)
图 4－1－3
4．1 比例线段
2．已知 C 是线段 AB 的黄金分割点，AC<BC.若 AB＝2, 则 BC
的长为( A )
A. 5－1
B.12( 5＋1)
C．3－ 5 D.12( 5－1)
则 x∶20＝( 5－1)∶2， 解得 x＝10( 5－1)； (2)若 BC 是 AC 与 AB 的比例中项，如图②，
则(20－x)∶20＝( 5－1)∶2， 解得 x＝30－10 5. 综上，主持人站到离 A 点 10( 5－1)m 或(30－10 5)m 处主持节目较为合适．
4．1 比例线段
4．1 比例线段
1．已知线段a＝4，b＝16，线段c是线段a，b的比例中项，那
2024年浙教版数学九年级上册4.1《比例线段》教学设计
2024年浙教版数学九年级上册4.1《比例线段》教学设计一. 教材分析《比例线段》是浙教版数学九年级上册4.1的内容，主要介绍了比例线段的定义、性质和应用。
通过本节课的学习，学生能够理解比例线段的含义，掌握比例线段的判定方法，并能够运用比例线段解决实际问题。
教材通过生动的实例和丰富的练习，帮助学生深入理解和掌握比例线段的知识。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础知识，对线段、比例等概念有一定的了解。
但学生在学习比例线段时，可能会对比例线段的定义和性质产生困惑，难以理解和运用。
因此，在教学过程中，需要注重对学生的基础知识的巩固，通过生动的实例和具体的操作，帮助学生理解和掌握比例线段的概念和性质。
三. 教学目标1.理解比例线段的定义和性质。
2.能够判定两条线段是否成比例线段。
3.能够运用比例线段解决实际问题。
4.培养学生的几何思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.比例线段的定义和性质的理解。
2.比例线段的判定方法的掌握。
3.运用比例线段解决实际问题的能力。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过提出问题，引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣和动力。
2.利用多媒体和实物模型，生动形象地展示比例线段的定义和性质，帮助学生直观地理解和记忆。
3.通过小组讨论和合作交流，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
4.提供丰富的练习题，让学生在实践中巩固和运用比例线段的知识。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.实物模型和图片。
3.练习题和答案。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出问题，引导学生回顾线段和比例的基础知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）利用多媒体和实物模型，生动形象地展示比例线段的定义和性质，让学生直观地理解和记忆。
3.操练（10分钟）让学生通过小组讨论和合作交流，共同完成一些关于比例线段的练习题，巩固和运用所学知识。
4.巩固（5分钟）让学生独立完成一些关于比例线段的练习题，检验学生对知识的掌握程度，并及时给予指导和帮助。
浙教版数学九年级上册4.1《比例线段》教案3
浙教版数学九年级上册4.1《比例线段》教案3一. 教材分析《比例线段》是浙教版数学九年级上册第4章第1节的内容。
本节主要让学生掌握比例线段的定义、性质和应用。
通过学习比例线段，学生能更好地理解和运用比例关系，为后续学习比例、函数等知识打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了相似三角形的性质和判定，对比例有一定的理解。
但部分学生在运用比例解决实际问题时，仍存在一定的困难。
因此，在教学过程中，要注重引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：理解比例线段的定义，掌握比例线段的性质，能运用比例线段解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等过程，培养学生的空间观念和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识，提高学生解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：比例线段的定义和性质。
2.难点：比例线段的运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生认识比例线段，激发学生的学习兴趣。
2.启发式教学法：引导学生主动探究比例线段的性质，培养学生的独立思考能力。
3.合作学习法：学生进行小组讨论，共同解决问题，提高学生的团队合作意识。
六. 教学准备1.教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2.学具：学生分组合作学习所需的材料。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示生活中的比例线段实例，如自行车链条、吊车等，引导学生观察和思考。
提问：这些实例中是否存在比例线段？比例线段有什么特点？2.呈现（10分钟）介绍比例线段的定义和性质，通过多媒体课件展示比例线段的图形，引导学生理解和掌握比例线段的性质。
3.操练（10分钟）分组进行实践活动，让学生用尺子、剪刀等工具制作比例线段，并观察和分析比例线段的性质。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）出示一组实际问题，让学生运用比例线段的知识解决问题。
如：一根绳子长12米，剪成两段，比例为2:3，求较长的一段长度。
九年级数学上册 4.1比例线段(黄金分割)课件 浙教版
如何来求 AP 的值呢？ AB 设ＡＢ＝a, AP=x
BP AP AP AB AP2 BP AB ( AB AP) AB x ( a x) a
2
Ａ
Ｐ
x 0 x
Ｂ
5 1 a 2
x 2 ax a 2 o
1 5 x1 a x2 2
二、请你欣赏
感受匀称
协调之美
欣赏之一:
世界艺术珍品——维纳斯 女神, 她是西元前一百多 年希腊雕塑鼎盛时期的代 表作，她的上半身(以肚脐 眼为分界点)和下半身的比 值接近0.618.
欣赏之二:芭蕾舞
芭蕾舞演员的身段是苗条 的，但下半身与身高的比 值也只有0.58左右，演员 在表演时掂起脚尖，身高 就可以增加6-8cm.这时比 值就接近0.618了,给人以 更为优美的艺术形象.
黄金分割的深远意义
历史上，人们视黄金分割为“最美丽”的几何 比率，广泛应用于建筑和雕刻中，如古代希腊 的帕特农神庙、埃及金字塔、上海东方明珠塔 等，一些长方形的画框，宽与长之比也设计成 0.618，在自然界中也有很多例子，美丽的蝴 蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0.618.许 多美丽的形状都与0.618这个比值有关。
谈谈感受
清点收获
1.比例中项的概念. 2.线段的比例中项与数的比例中项的区别； 3.什么是黄金分割. 4.如何去确定黄金分割点或黄金比. 5.用数学美去装点和美化生活.
十、布置作业 :
课本P102
1 、3、4、
课外作业: 请同学们收集建筑、雕刻和自然界的黄金分割
拓展新知
1.作顶角为36°的等腰△ABC;量出
E
F
B
C
著名画家达•芬奇的名画＜蒙娜丽莎＞， 画中脸部被围在矩形ＡＢＣＤ中，图中 四边形ＢＣＥＦ为正方形，而在线段AB 上的点Ｆ把线段AB分成两条线段，其中
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比例线段及黄金分割（基础） 知识讲解 【学习目标】 1、了解两条线段的比和比例线段的概念并能根据条件写出比例线段；
2、会运用比例线段解决简单的实际问题；
3、掌握黄金分割的定义并能确定一条线段的黄金分割点.
【要点梳理】
要点一、比例线段
【高清课堂： 394495 图形的相似 预备知识】
1．成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．
2．比例的性质：
（1）基本性质：如果
a c
b d
=，那么ad bc =. （2）合比性质：如果++==.a c a b c d b d b d
，那么 如果--==.a c a b c d b d b d ，那么 要点诠释：
（1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比；
（2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；
（3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数．
要点二、黄金分割
1.定义： 点C 把线段AB 分割成AC 和CB 两段,如果AC BC AB AC
=,那么线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.
要点诠释：
51AC AB -=≈0.618AB(51-叫做黄金分割值). 2.作一条线段的黄金分割点：
图4－7
如图，已知线段AB ，按照如下方法作图：
（1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD =
2
1AB . （2）连接AD ，在DA 上截取DE =DB .
（3）在AB 上截取AC =AE .则点C 为线段AB 的黄金分割点.
要点诠释： 一条线段的黄金分割点有两个. 【典型例题】
类型一、比例线段
1. 若a ：b=2：3，则下列各式中正确的式子是（ ）
A ．2a=3b
B ．3a=2b
C ．
D ．
举一反三：
【变式】（一模）已知=，那么下列等式中，不一定正确的是（ ）． A ．2a=5b B. a b 52= C. a+b=7 D.a b b 72
+= 2. 设432z y x ==，求2222232z
xy x z yz x --+-的值．
类型二、黄金分割
3. 如图所示，矩形ABCD 是黄金矩形（即BC AB ＝2
15-≈0.618），如果在其内作正方形CDEF ，得到一个小矩形ABFE ，试问矩形ABFE 是否也是黄金矩形？
举一反三：
【变式】以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上，如图所示，
（1）求AM，DM的长，
（2）试说明AM2=AD·DM
（3）根据（2）的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？
4.（慈溪市一模）如图，扇子的圆心角为x°，余下扇形的圆心角为y°，x与y的比通常按黄金比来设计，这样的扇子外形比较美观，若黄金比取0.6，则x为（）.
A. 144°
B. 135°
C. 136°
D. 108°
比例线段及黄金分割（基础）巩固练习
【巩固练习】
一.选择题
1.在比例尺为1︰1 000 000的地图上，相距3 cm的两地，它们的实际距离为（）.
A.3 km
B.30 km
C.300 km
D.3 000 km
2. 由5a=6b（a≠0），可得比例式（）
A．B．C．D．
3.若578
a b c ==，且3a-2b+c=3，则2a+4b-3c 的值是（ ）. A ．14 B.42 C.7 D.
143 4.如果（x+y ）：（x-y ）=3，那么x ：y 等于（ ）.
A.-2
B.2
C.-3
D.3
5.已知点P 是线段AB 的一个黄金分割点（AP ＞PB ），则PB ：AB 的值为（ ）.
A.
B. C. D.
6.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm ，下半身长x 与身高l 的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（ ）. A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm
二. 填空题
7. （一模）若3a=4b ，则= .
8. （一模）已知，那么= ．
9．已知：74
x y y +=，则x y y -=________________． 10.已知2=,3
x y 则_____,_____,______.x y x x y y x y x y +-===++. 11. 如图是一种贝壳的俯视图，点C 分线段AB 近似于黄金分割．已知AB=10cm ，则AC 的长约为__________cm （结果精确到0.1cm ）.
12.如图，△ABC顶角是36°的等腰三角形（底与腰的比为51
2
-
的三角形是黄金三角形），
若△ABC、△BDC、△DEC都是黄金三角形，已知AB=4，则DE=__________．
三. 综合题
13.已知：，求代数式的值．
14.若
25
346
a b c
++
==，且2a-b+3c=21，求4a-3b+c的值．
15.图1是一张宽与长之比为51
2
-
：1的矩形纸片，我们称这样的矩形为黄金矩形．同学
们都知道按图2所示的折叠方法进行折叠，折叠后再展开，可以得到一个正方形ABEF和一个矩形EFDC，那么EFDC这个矩形还是黄金矩形吗？若是，请根据图2证明你的结论；若不是，请说明理由．。