【备战2013】高考数学 5年高考真题精选与最新模拟 专题07 平面向量 理

的
（A）重心外心垂心（B）重心外心内心
（C）外心重心垂心（D）外心重心内心
（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）
【答案】C
【解析】
;
6.（2009·辽宁文理3）平面向量a与b的夹角为 ，a＝(2,0), | b |＝1，则| a＋2b |＝
（A） （B）2 （C）4（D）12
【答案】B
图1－4
【答案】解：解法一：
(1)因为|AB|＋|AF2|＋|B F2|＝8，
即|AF1|＋|F1B|＋|AF2|＋|BF2|＝8，
又|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a，
所以4a＝8，a＝2.
又因为e＝ ，即 ＝ ，所以c＝1，
所以b＝ ＝ .
故椭圆E的方程是 ＋ ＝1.
18．（2012·山东卷）已知向量m＝(sinx,1)，n＝ (A >0)，函数f(x)＝m·n的最大值为6.
A. 6 B.2 C. D.
【答案】D
【解析】 ，所以 ，选D.
2.（2009·浙江理7）设向量 ， 满足： ， ， ．以 ， ， 的模为边长构成三角形，则它的边与半径为 的圆的公共点个数最多为( )
A． B． C． D．
3.（2009·浙江）已知向量 ， ．若向量 满足 ， ，则 （）
A． B． C． D．
5.(2011年高考重庆卷理科12)已知单位向量 的夹角为 ，则
【答案】
【解析】
6.(2011年高考安徽卷江苏10)已知 是夹角为 的两个单位向量， 若 ，则k的值为.
【答案】
【解析】 0,解得 .
【2010高考真题精选】
1.（2010全国卷2理数）（8） 中，点 在 上， 平方 ．若 ， ， ， ，则
A. B.
C. D.
【答案】A【解析】本题考查平面向量基本定理及向量的数量积的运算，考查数据处理能力，中档题．
· ＝( － )·( － )
＝（(1－λ) － ）·(λ － )
＝－(1－λ) 2－λ 2＋ · ＝－2λ2＋2λ－2＝－ ，解之得λ＝ .
20．（2012·浙江卷）设a，b是两个非零向量()
2．（2012·陕西卷）已知椭圆C1： ＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．
(1)求椭圆C2的方程；
(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上， ＝2 ，求直线AB的方程．
3．（2012·广东卷）若向量 ＝(2,3)， ＝(4,7)，则 ＝()
A．(－2，－4) B．(2,4)
A.若 与 共线，则 B.
C.对任意的 ，有 D.
【答案】B
【解析】若 与 共线，则有 ，故A正确；因为 ，而
，所以有 ，故选项B错误，故选B。
6.（2010江西理数）13.已知向量 ， 满足 ， ， 与 的夹角为60°，则
【答案】
【解析】考查向量的夹角和向量的模长公式，以及向量三角形法则、余弦定理等知识，如图 ，由余弦定理得：
3.（2010重庆理数）(2)已知向量a，b满足 ，则
A. 0 B. C. 4 D. 8
【答案】B
【解析】
4.（2010四川理数）（5）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外， 则
（A）8（B）4（C）2（D）1
【答案】C
【解析】由 ＝16，得|BC|＝4
＝4
而
故 2
5.（2010山东理数）(12)定义平面向量之间的一种运算“ ”如下，对任意的 ， ，令 ，下面说法错误的是（）
A. B. C．2 D.
17．（2012·福建卷）如图1－4，椭圆E： ＋ ＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝ ，过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
C．2 D．10
15．（2012·浙江卷）在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则 · ＝________.
AM＝3，BC＝10，AB＝AC＝ ，cos∠BAC＝ ＝－ ， · ＝| |·| |·cos∠BAC＝－16.
16．（2012·湖南卷）在△ABC中，AB＝2，AC＝3， · ＝1，则BC＝()
A．2 B．4 C．5 D．10
7．（2012·重庆卷）设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝()
A. B.
C．2 D．10
【答案】B【解析】因为a⊥c，所以a·c＝0，即2x－4＝0，解得x＝2，由b∥c，得－4＝2y，解得y＝－2，所以a＝(2,1)，b＝(1，－2)，所以a＋b＝(3，－1)，所以|a＋b|＝ ＝ .
3.(2011年高考浙江卷理科14)若平面向量 ， 满足 ， ，且以向量 ， 为邻边的平行四边形的面积为 ，则 与 的夹角 的取值范围是。
【答案】
【解析】 ，又
4.(2011年高考安徽卷理科13)已知向量a，b满足（a+2b） ·（a-b）=－6， 且 ， ，则a与 b的夹角为.
【答案】
【解析】 ，则 ，即 ， ，所以 ，所以 .
A．(－7 ，－ ) B．(－7 ， )
C．(－ ，－2) D．(－4 ，2)
【答案】A【解析】设∠POx＝α，因为P ，所以 ＝(10cosα，10sinα)⇒cosα＝ ，sinα＝ ，
则 ＝ ＝(－7 ，－ )．故答案为A.
6．（2012·江西卷）在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则 ＝()
8．（2012·上海卷）在平行四边形ABCD中，∠A＝ ，边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足 ＝ ， 则 · 的取值范围是________．
9．（2012·辽宁卷）已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是()
A．a∥b B．a⊥b
C．|a|＝|b| D．a＋b＝a－b
21．（2012·四川卷）设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使 ＝ 成立的充分条件是()
A．a＝－b B．a∥b
C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|
【答案】C【解析】要使得 ＝ ，在a，b都为非零向量的前提下，必须且只需a、b同向即可，
对照四个选项，只有C满足这一条件．
22．（2012·山东卷）如图1－4所示，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2,1)时， 的坐标为________．
【答案】D【解析】本小题主要考查平面向量的基本定理，解题的突破口为设法用a和b作为基底去表示向量 .
易知a⊥b，|AB|＝ ，用等面积法求得|CD|＝ ，
∵AD＝ ＝ ，AB＝ ，∴ ＝ ＝ (a－b)，故选D.
5．（2012·安徽卷）在平面直角坐标系中 ，点O(0,0)，P(6,8)，将向量 绕点O按逆时针方向旋转 后得向量 ，则点Q的坐标是()
A. B．1
C. D.
13．（2012·北京卷）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则 · 的值为________. · 的最大值为________．
14．（2012·重庆卷）设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝()
A. B.
C．(6,10) D．(－6，－10)
【答案】A【解析】∵ ＝ － ，∴ ＝(2,3)－(4,7)＝(－2，－4)，所以选择A.
4．（2012·全国卷）△ABC中，AB边的高为CD，若 ＝a， ＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则 ＝()
A. a－ b B. a－ b
C. a－ b D. a－ b
10．（2012·课标全国卷）已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝ ，则|b|＝________.
11．（2012·安徽卷）若平面向量a，b满足|2a－b|≤3，则a·b的最小值是________．
【答案】－ 【解析】本题考查平面向量的数量积，模的有关运算．
12．（2012·广东卷）对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝ .若平面向量a，b满足|a|≥|b|>0，a与b的夹角θ∈ ，且a∘b和b∘a都在集合 中，则a∘b＝()
【答案】D
【解析】不妨设 ，则 ，对于 ，则有
；又 ，则有 ，则有
4.(2009·山东理7;文.8)设P是△ABC所在平面内的一点， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】:因为 ，所以点P为线段AC的中点，所以应该选B。
5.（2009·宁夏海南理9）已知O，N，P在 所在平面内，且
，且 ，则点O，N，P依次是
在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。
求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
设实数t满足( )· =0，求t的值。
【2009高考真题精选】
1.（2009·广东理6）一质点受到平面上的三个力 （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态 ．已知 ， 成 角，且 ， 的大小分别为2和4，则 的大小为
【解析】由已知|a|＝2,|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12
∴
7.（2009·福建理9，文12）设 ， ， 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足 与 不共线， ∣ ∣=∣ ∣,则∣ • ∣的值一定等于
A．以 ， 为邻边的平行四边形的面积
B.以 ， 为两边的三角形面积