三元一次方程组典型例题讲解
人教版七年级下册数学同步培优课件——三元一次方程组的解法
x y z 12 ①
x 2 y 5z 22 ②
x 4y
③
将③代入①②，得到两个只含y、z的方程
4y+y+z=12
5y+z=12
即
4y+2y+5z=22
6y+5z=22
怎么解呢？
得到二元一次方程组之后，就不难求出 y和 z，进而可求出 x.
解三元一次方程组的基本思路是什么？
通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”， 使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一 元一次方程.
求a,b,c的值.
解：根据题意，得三元一次方程组
a－b＋c= 0， ① 4a＋2b＋c=3， ② 25a＋5b＋c=60. ③
②－①， 得 a＋b=1 ④
③－①，得 4a＋b=10 ⑤
解这个方程组，得
a=3， 把 b=代-2入①，得
a=3， 因此 b=-2，
④与⑤组成二元一次方程组
c=-5.
a＋b=1，
*8.4 三元一次方程组的解法
1.知道什么是三元一次方程组. 2.会用代入消元法和加减消元法解简单的三元方程组. 3.通过解三元一次方程组进一步体会消元思想.
前面我们学习了二元一次方程组及其解法.有些含有两个未知数的问题， 可以列出二元一次方程组来解决，实际上，有不少问题含有更多未知数， 这时又该怎么解决呢？
解：设1元、2元和5元的纸币分别为 x 张、y 张和 z 张．
x y z 12
x 2 y 5z 22
x 4y
你能说说什么叫三元一次方程组吗？
含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一 共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．
03三阶行列式与三元一次方程组
a1b3c2
a2b1c3
a3b2c1
行列式按一行（列）展开
定义. 将（三阶）行列式aij所在行列划去, 剩下的元素按原 来的位置关系组成的行列式, 称为aij的余子式.
定义. 将（三阶）行列式aij所在行列划去, 剩下的元素按原 来的位置关系组成行列式, 并乘以系数(1)i+j, 称为 aij的代数余子式. 行列式按一行（列）展开： a11 a12 a13
a31 a11 b1 a13 a23 Dx2 D2 a33
a32
a33
(1) A12 (2) A22 (3) A32 b1 A12 b2 A22 b3 A32
Dx2 a21 b2 a31 b3
D2
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 (1) 引例.求方程组 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 (2)的解. a x a x a x b (3) 33 3 3 31 1 32 2 a11 a12 a13 解: 设其系数矩阵的行列式为D, 则 D a21 a22 a23
5 6 D1 7 15 1 2 1 2 1 6 7 1 2 9 D2 3
2 1
2 1 5 1 2 6 7 27 15 2 18 D3 3 1
5 15 2
例2. 讨论方程组 x1 mx2 x3 m当m取何值时, 有唯一解, x x x 3 并求出这组解. 3 1 2 1 1 m 解: 其系数行列式为： D 1 m 1 (m 1)(m 1)
例题解析 x x
1
2
mx3 1
x1 4 m 1时, 有唯一解. 除以 除以 除以 1 1 m1 1 m 1 1 1 x m 3 2 m3 4 m 1 x 4 x x D m m D 1 1 m 4( m 1 1)( D m ( m 1 1) 3)( m m m 1) 4( m 1) 1 1 2 2 3 3 m 1 m 1 4 3 1 1 1 3 1 1 1 3 x3 m 1
三元一次方程组经典例题
以下是一个经典的三元一次方程组的例子：
有三个数，甲、乙、丙，满足方程：甲+ 乙+ 丙= 15，
4甲+ 2乙+ 丙= 18，
2甲- 乙+ 3丙= 3。
求甲、乙、丙的值。
首先，我们可以根据给定的方程建立三元一次方程组：
甲+ 乙+ 丙= 15 (方程1)
4甲+ 2乙+ 丙= 18 (方程2)
2甲- 乙+ 3丙= 3 (方程3)
接下来，我们可以用代入法或者消元法来解这个方程组。
这里我们选择消元法：
从方程1和方程2中消去丙，得到：
方程4: 3甲+ 乙= 3
从方程2和方程3中消去甲，得到：
方程5: 3乙- 5丙= 15
从方程1和方程3中消去乙，得到：
方程6: 5甲+ 8丙= 30
现在我们有三个新的方程来解三个未知数。
首先解方程4和方程5，我们可以找到乙和丙的值：
解得：乙= -6, 丙= 3
将乙和丙的值代入方程6，我们可以找到甲的值：
解得：甲= 4
所以，这个三元一次方程组的解是：甲= 4, 乙= -6, 丙= 3。
三元一次方程(组)含参问题
三元一次方程(组)含参问题1. 概述本文档旨在介绍三元一次方程(组)含参问题的基本概念、求解方法以及相关例题分析。
通过研究本文档，您将了解到如何有效地解决含参数的三元一次方程(组)。
2. 什么是含参问题含参问题指的是方程(组)中包含参数的情况。
参数可以是任意实数，它的值可以影响方程(组)的解。
含参问题的解通常不是唯一的，而是由参数的取值范围决定。
3. 解决含参问题的方法3.1 求解一元含参方程对于一元含参方程，我们可以通过代入法或消元法来求解。
3.1.1 代入法代入法是将参数的取值代入方程中，然后根据参数的取值求解方程。
通过对不同取值情况进行讨论，我们可以得到参数对应的方程解。
3.1.2 消元法消元法是通过将含参方程与消参方程相减或相除，从而得到一个不含参数的方程。
然后，我们可以通过求解不含参数的方程来确定参数的取值。
3.2 求解三元含参方程组对于三元含参方程组，我们可以通过消元法或高斯消元法来求解。
3.2.1 消元法消元法是通过消去含参方程组中的某个变量，从而得到一个含有两个变量的方程组。
然后，我们可以使用代入法或其他方法求解这个方程组。
3.2.2 高斯消元法高斯消元法是一种利用矩阵的行变换来简化方程组的方法。
通过将方程组转化为增广矩阵形式，然后进行行变换，我们可以得到简化后的方程组。
最后，通过回代法求解简化后的方程组，我们可以确定参数的取值范围以及方程组的解。
4. 相关例题分析下面通过一些具体例题来进一步说明如何解决含参数的三元一次方程(组)。
4.1 例题一求解方程组：2x + 3y = 53x + ky = 82x - y = 1使用消元法将方程组转化为不含参数的形式，然后求解简化后的方程组即可得到参数的取值范围以及方程组的解。
4.2 例题二求解方程组：ax + by = cdx + ey = fgx + hy = i使用高斯消元法将方程组转化为增广矩阵形式，并通过行变换得到简化后的方程组。
三元一次方程组基础知识讲解
三元⼀次⽅程组基础知识讲解三元⼀次⽅程组（基础）知识讲解【学习⽬标】1．理解三元⼀次⽅程(或组)的含义；2．会解简单的三元⼀次⽅程组；3. 会列三元⼀次⽅程组解决有关实际问题.【要点梳理】要点⼀、三元⼀次⽅程及三元⼀次⽅程组的概念1.三元⼀次⽅程的定义含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式⽅程．如x+y-z＝1，2a-3b+4c＝5等都是三元⼀次⽅程．要点诠释：(1)三元⼀次⽅程的条件：①是整式⽅程，②含有三个未知数，③含未知数的项的最⾼次数是1次．(2) 三元⼀次⽅程的⼀般形式：ax+by+cz+d=0，其中a、b、c不为零．2．三元⼀次⽅程组的定义⼀般地，由⼏个⼀次⽅程组成，并且含有三个未知数的⽅程组，叫做三元⼀次⽅程组.要点诠释：(1) 三个⽅程中不⼀定每⼀个⽅程中都含有三个未知数，只要三个⽅程共含有三个未知量即可．（2）在实际问题中含有三个未知数，当这三个未知数同时满⾜三个相等关系时，可以建⽴三元⼀次⽅程组求解．要点⼆、三元⼀次⽅程组的解法解三元⼀次⽅程组的⼀般步骤(1)利⽤代⼊法或加减法，把⽅程组中⼀个⽅程与另两个⽅程分别组成两组，消去两组中的同⼀个未知数，得到关于另外两个未知数的⼆元⼀次⽅程组；(2)解这个⼆元⼀次⽅程组，求出两个未知数的值；(3)将求得的两个未知数的值代⼊原⽅程组中的⼀个系数⽐较简单的⽅程，得到⼀个⼀元⼀次⽅程；(4)解这个⼀元⼀次⽅程，求出最后⼀个未知数的值；(5)将求得的三个未知数的值⽤“{”合写在⼀起．要点诠释：（1）解三元⼀次⽅程组的基本思路是：通过“代⼊”或“加减”消元，把“三元”化为“⼆元”．使解三元⼀次⽅程组转化为解⼆元⼀次⽅程组，进⽽转化为解⼀元⼀次⽅程．其思想⽅法是：（2）有些特殊的⽅程组可⽤特殊的消元法，解题时要根据各⽅程特点寻求其较简单的解法．要点三、三元⼀次⽅程组的应⽤列三元⼀次⽅程组解应⽤题的⼀般步骤1．弄清题意和题⽬中的数量关系，⽤字母(如x，y，z)表⽰题⽬中的两个(或三个)未知数；2．找出能够表达应⽤题全部含义的相等关系；3．根据这些相等关系列出需要的代数式，从⽽列出⽅程并组成⽅程组；．解这个⽅程组，求出未知数的值；45．写出答案(包括单位名称)．要点诠释：(1)解实际应⽤题必须写“答”，⽽且在写答案前要根据应⽤题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去．(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统⼀．(3)⼀般来说，设⼏个未知数，就应列出⼏个⽅程并组成⽅程组．【典型例题】类型⼀、三元⼀次⽅程及三元⼀次⽅程组的概念1.下列⽅程组中是三元⼀次⽅程组的是( )1y1x218n1mabcd1yx1ac2nt120yz2zB．．A．C．D y2xz?0?t?b?d?3m1?x?6??z【答案】D 21?x?y2?xz选项中B次，故【解析】A选项中A选项不是；中未知数项的次数为2与111，，不是整式，故B选项不是；C选项中有四个未知数，故C选项不是；D项符合yzx三元⼀次⽅程组的定义．【总结升华】理解三元⼀次⽅程组的定义要注意以下⼏点：(1)⽅程组中的每⼀个⽅程都是⼀次⽅程；(2)⼀般地，如果三个⼀次⽅程合起来共有三个未知数，它们就能组成⼀个三元⼀次⽅程组．类型⼆、三元⼀次⽅程组的解法①y?2x?7??5x?3y?2z?2②)解⽅程组2.(韶关??3x?4z?4③?【思路点拨】⽅程①是⽤未知数x表⽰y的式⼦，将①代⼊②可得⼆元⼀次⽅程组．【答案与解析】解：将①代⼊②得：5x+3(2x-7)+2z＝2，整理得：11x+2z＝23 ④3x?4z?4③?，由此可联⽴⽅程组?④?2311x?2z?③+④×2得：25x＝50，x＝2．1?z．3＝分别代⼊①③可知：＝把x2y-，2．x?2?y3．所以⽅程组的解为??1?z??2【总结升华】解三元⼀次⽅程组的思想仍是消元，是⽤加减消元法，还是⽤代⼊消元法，要根据⽅程组的特征来确定，⼀定要选择较简便的⽅法．【⾼清课堂：三元⼀次⽅程组 409145 例1】2x?y?z?3①?举⼀反三：?【变式】解⽅程组：3x?4y?z?8②??③?32z?yx【答案】5x?3y?11④②得：解：①+⑤3?y?5x①×2+③得：5x?3y?11④?由此可得⽅程组：?5x?y?3⑤?4y?8y?2④－⑤得：，x?12?y将代⼊⑤知：x?1z?32?y 将，代⼊①得：x?1??y?2所以⽅程组的解为：??z?3?【⾼清课堂：三元⼀次⽅程组409145 例2（2）】xyz?①235 3.解⽅程组??x?y?z?20②?【答案与解析】xz?①??52?yz??③解法⼀：原⽅程可化为：?35??x?y?z?20②??23zy?zx?由①③得：，④553210z?20zzz将④代⼊②得：，得：⑤55．2233z??10?4x?y?z??10?6 ，将⑤代⼊④中两式，得：5555x?4??y?6 所以⽅程组的解为：??z?10?xyzt x?2t,y?3t,z?5t③解法⼆：设，则2352t?3t?5t?20t?2 ，将③代⼊②得：t?2x?2t?2?2?4y?3t?3?2?6,z?5t?5?2?10 代⼊③得：将，x?4??y?6 所以⽅程组的解为：??z?10?【总结升华】对于这类特殊的⽅程组，可根据其⽅程组中⽅程的特点，采⽤⼀些特殊的解法(如设⽐例系数等)来解．举⼀反三：若三元⼀次⽅程组的解使ax+2y+z=0，?德州校级⽉考）则a的【变式】（2015秋值为（）A．1 B．0 C．﹣2 D．4B．【答案】解：，①+②+③得：x+y+z=1④，把①代⼊④得：z=﹣4，把②代⼊④得：y=2，把③代⼊④得：x=3，把x=3，y=2，z=﹣4代⼊⽅程得：3a+4﹣4=0，解得：a=0．类型三、三元⼀次⽅程组的应⽤4.（2015春?黄陂区校级⽉考）购买铅笔7⽀，作业本3本，圆珠笔1⽀共需3元；购买铅笔10⽀，作业本4本，圆珠笔1⽀共需4元，则购买铅笔11⽀、作业本5本圆珠笔2⽀共需元．【思路点拨】⾸先假设铅笔的单价是x元，作业本的单价是y元，圆珠笔的单价是z元．购买铅笔11⽀，作业本5本，圆珠笔2⽀共需a元．根据题⽬说明列出⽅程组，解⽅程组求出a的值，即为所求结果．【答案】5．【解析】．解：设铅笔的单价是x元，作业本的单价是y元，圆珠笔的单价是z元．购买铅笔11⽀，作业本5本，圆珠笔2⽀共需a元．则由题意得：，由②﹣①得3x+y=1，④由②+①得17x+7y+2z=7，⑤由⑤﹣④×2﹣③得0=5﹣a，解得：a=5.【总结升华】本题考查了列三元⼀次不定⽅程组解实际问题的运⽤，在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设⼏个未知数，就要找到⼏个等量关系列⼏个⽅程．举⼀反三：【变式】现有⾯值为2元、1元和5⾓的⼈民币共24张，币值共计29元，其中⾯值为2元的⽐1元的少6张，求三种⼈民币各多少张?【答案】解：设⾯值为2元、1元和5⾓的⼈民币分别为x张、y张和z张．①x?y?z?24??1?2x?y?z?29②依题意，得?2??③x?6?y?2x?z?18④??把③分别代⼊①和②，得?13x?z?23⑤??2⑤×2，得6x+z ＝46 ⑥⑥-④，得4x＝28，x＝7．把x＝7代⼊③，得y＝13．把x＝7，y＝13代⼊①，得z＝4．x?7??y?13．∴⽅程组的解是??z?4?答：⾯值为2元、l元和5⾓的⼈民币分别为7张、13张和4张．。
三元一次方程组及其解法(课件)六年级数学下册(沪教版)
下列方程组中， 哪些是三元 一次方程组？
x y 14
2
y
z
7
是
x z 19
x 3
1
x
y
z
5
是
2x y z 16
4x 3y 2z 7
3 5x 6 y z 1 是
2x z 2
例题1：解下列方程组
x 3
①
x y 5 ②
代入消元法
2x z 16 ③
解：把①代入② ，得
2x y 3
①
3x y z 8
②
x 2 y z 13
③
解： 由②-③，得
2x 3y 5 ④
所以 2x y 3 ① 2x 3y 5 ④
由①-④，得
4y 8
y2
加减消元法
把y=2代入①，得
2x 2 3
x1
2
把x 1 ，y 2代入③，得
2 1 4 z 13
2
z 17
x z 7
所以有： x z 7 （4）
（3）+（4），得 2x 12
x6
x 6 把
代入 （1）得
y 20
把
x
6代入 （3）得
z
所以，原方程组的解是
13
x6
y 20
z 13
x : y 3 : 4 例题4：解 方 程 组y : z 5 : 6
x y z 22
4x 3y 0 ① 解法一: 原方程组化为 6y 5z 0 ②
x 5
①
x 5y 2z 4 ②
4x 3y 2z 1 ③
解：由② +③ ,得
5x 2y 3 ④
把①代入④ ，得
55 2y 3
三元一次方程及其解法
---一次性方程序言：方程含有未知数的等式叫方程等式的基本性质１：等式两边同时加［或减］同一个数或同一个代数式，所得的结果仍是等式用字母表示为：若Ａ＝Ｂ，Ｃ为一个数或一个代数式。
则：［１］Ａ+Ｃ＝Ｂ+Ｃ［２］Ａ-Ｃ＝Ｂ-Ｃ等式的基本性质２：等式的两边同时乘或除以同一个不为０的的数所得的结果仍是等式３若a=b,则b=a（等式的对称性）４若a=b,b=c则a=c（等式的传导性）方程：含有未知数的等式叫做方程方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解解方程：求方程的解的过程叫做解方程移项：把方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项，根据是等式的基本性质１。
一共只有一个未知数且次数是一的方程叫一元一次方程，通常形式是ax+b=0(a，b 为常数，a不等于零）１去分母方程两边同时乘各分母的最小公倍数２去括号一般先去小括号，在去中括号，最后去大括号，可根据乘法分配率３移项把方程中含有未知数的项移到方程的另一边，其余各项移到方程的另一边移项时别忘记了要变号。
４合并同类项将原方程化为ＡＸ＝Ｂ［Ａ不等于０］的形式５系数化１方程两边同时除以未知数的系数，得出方程的解同解方程：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程方程的同解原理：１方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与原方程是同解方程２方程的两边同乘或同除同一个不为０的数所得的方程与原方程是同解方程列一元一次方程解应用题的一般步骤：１认真审题２分析已知和未知的量３找一个等量关系４解方程５检验６写出答，解二元一次方程二元一次方程：如果一个方程含有两个未知数，并且未知数的指数是１那么这个方程就叫做二元一次方程，有无穷个解。
二元一次方程组：把两个共含有两个未知数的一次方程合在一起就组成一个二元一次方程组。
二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想 消元的方法有两种：代入消元法 加减消元法三元一次方程三元一次方程：含有三个未知数的一次方程三元一次方程组：由几个一元一次方程组成并含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组三元一次方程组的解：利用消元思想使三元变二元，再变一元 方程是初等代数中的重要内容，方程的知识在生产实践中有广泛应用。
初中数学《解三元一次方程组》(例题课)逐字稿
导入同学们，上节课我们学习了三元一次方程组及其解法，哪位同学能跟大家说一下，解三元一次方程组的基本思路是什么？常用的方法又有哪些呢？（停顿2秒） 好，老师看到小A同学的手举得最高，小A你来回答第一个问题。
（停顿2秒） 小A说基本思路是消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程。
小B，你能回答一下第二个问题吗？（停顿2秒） 小B说常用的方法有代入消元法和加减消元法。
两位同学说得都很好，思路特别清晰。
希望这节课，大家可以一如既往地认真听讲，积极回答问题。
（板书课题）新授请同学们认真观察大屏幕中的例1，独立观察并思考这个方程组的特点，想一想，这个方程组应该怎么解呢？（停顿2秒）现在以前后四人为一个小组进行交流讨论，并准备小组展示。
时间为5分钟，开始吧。
（停顿2秒）老师看到大家都已经得出了结论，下面请第三组的同学给大家讲解一下。
他说他们组是利用加减消元法来解方程组。
那具体是如何操作的呢？请你具体展示一下。
（停顿2秒）他说可以看到，方程①中只含有x，z，可以由②③消去y，转化成关于x，z的二元一次方程组来求解。
具体步骤你来说，老师来板书。
他说由②×3+③，得11x+10z=35。
④①与④组成方程组大家听明白了吗？老师看到大家都在点头。
第三组同学对方程组的特点把握得非常到位，采用了加减消元法，化“三元”为“二元”，接下来的步骤大家都会了吧？请同学们用这个方法继续完成这个方程组的求解。
小A同学请到黑板上完成，其他同学在练习本上完成。
好的，老师看大家都写完了。
请同学们比对大屏幕上的正确答案。
同学们要注意书写规范。
做错的同学小组内交流订正。
那么，这个题目除了采用加减消元法求解之外，还有其他解法吗？老师看到第四组举手了，请第四组代表回答。
（停顿2秒）嗯，他说他们组是运用代入消元法来解方程组的。
将①式变形为后，分别代入②③式，消去x，从而转化为关于y，z的二元一次方程组来求解。
三元一次方程组的例题及答案
三元一次方程组的例题及答案在代数学中，三元一次方程组是一个包含三个未知量和系数的方程组，其中每个方程的次数均为一次。
解三元一次方程组的过程是通过逐步代入消元的方法来求解未知量的值。
本文将通过一些例题和详细的解答来展示解三元一次方程组的具体步骤。
例题一$$ \\begin{cases} x + y + z &= 6 \\\\ 2x - y + z &= 2 \\\\ 3x + 2y + z &= 2 \\\\ \\end{cases} $$解答：1. 第一步：消元首先，我们可以通过第二个方程减去第一个方程得到：$$ \\begin{cases} 2x - y + z &= 2 \\\\ -x + 2y &= -4 \\\\ 3x + 2y + z &= 2 \\\\ \\end{cases} $$进一步消元，我们将方程组转化为：$$ \\begin{cases} 2x - y + z &= 2 \\\\ -x + 2y &= -4 \\\\ -x - 2y &= -4 \\\\\\end{cases} $$2. 第二步：解方程组通过以上消元得到新的方程组，我们可以逐步解方程：$$ \\begin{cases} x &= 2 \\\\ y &= -2 \\\\ z &= 6 \\\\ \\end{cases} $$因此，方程组的解为：x=2,y=−2,z=6。
例题二$$ \\begin{cases} 2x + y - z &= 5 \\\\ x - 3y + 2z &= 4 \\\\ 3x + 5y - 4z &= -1\\\\ \\end{cases} $$解答：1. 第一步：消元我们首先通过迭代消元的方法将方程组转化为：$$ \\begin{cases} 2x + y - z &= 5 \\\\ 5y - z &= 6 \\\\ 3x + 5y - 4z &= -1 \\\\ \\end{cases} $$2. 第二步：解方程组进一步消元，我们得到：$$ \\begin{cases} 2x + y - z &= 5 \\\\ 5y - z &= 6 \\\\ - 11y - 2z &= -16 \\\\\\end{cases} $$解以上方程组可以得到：$$ \\begin{cases} x &= 3 \\\\ y &= 2 \\\\ z &= -1 \\\\ \\end{cases} $$因此，方程组的解为：x=3,y=2,z=−1。
三元一次方程组(基础) 知识讲解
三元一次方程组（基础）知识讲解责编:杜少波【学习目标】1．理解三元一次方程(或组)的含义；2．会解简单的三元一次方程组；3. 会列三元一次方程组解决有关实际问题.【要点梳理】要点一、三元一次方程及三元一次方程组的概念1.三元一次方程的定义含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．如x+y-z＝1，2a-3b+4c＝5等都是三元一次方程．要点诠释：(1)三元一次方程的条件：①是整式方程，②含有三个未知数，③含未知数的项的最高次数是1次．(2) 三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0，其中a、b、c不为零．2．三元一次方程组的定义一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.要点诠释：(1) 三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有三个未知量即可．（2）在实际问题中含有三个未知数，当这三个未知数同时满足三个相等关系时，可以建立三元一次方程组求解．要点二、三元一次方程组的解法解三元一次方程组的一般步骤(1)利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；(5)将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．要点诠释：（1）解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化为“二元”．使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．其思想方法是：（2）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求其较简单的解法．要点三、三元一次方程组的应用列三元一次方程组解应用题的一般步骤1．弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数；2．找出能够表达应用题全部含义的相等关系；3．根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；4．解这个方程组，求出未知数的值；5．写出答案(包括单位名称)．要点诠释：(1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去．(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一．(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组．【典型例题】类型一、三元一次方程及三元一次方程组的概念1.下列方程组中是三元一次方程组的是( )A ．2102x y y z xz ⎧-=⎪+=⎨⎪=⎩B ．111216y x z y x z⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ C ．123a b c d a c b d +++=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩ D ．18120m n n t t m +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩【答案】D【解析】A 选项中21x y -=与2xz =中未知数项的次数为2次，故A 选项不是；B 选项中1x ，1y ，1z不是整式，故B 选项不是；C 选项中有四个未知数，故C 选项不是；D 项符合三元一次方程组的定义．【总结升华】理解三元一次方程组的定义要注意以下几点：(1)方程组中的每一个方程都是一次方程；(2)一般地，如果三个一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组． 类型二、三元一次方程组的解法2.（2016春•枣阳市期末）在等式y=ax 2+bx+c 中，当x=﹣1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60．求a ，b ，c 的值．【思路点拨】由“当x=﹣1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60”即可得出关于a 、b 、c 的三元一次方程组，解方程组即可得出结论．【答案与解析】 解：根据题意，得，②﹣①，得a+b=1④；③﹣①，得4a+b=10 ⑤． ④与⑤组成二元一次方程组， 解这个方程组，得， 把代入①，得c=﹣5． 因此，即a ，b ，c 的值分别为3，﹣2，﹣5．【总结升华】本题考查了解三元一次方程组，解题的关键是得出关于a 、b 、c 的三元一次方程组．本题属于基础题，难度不大.【高清课堂：三元一次方程组 409145 例1】举一反三： 【变式】解方程组： 【答案】解：①+②得：5311x y +=④ ①×2+③得：53x y -=⑤由此可得方程组：531153x y x y +=⎧⎨-=⎩④⑤ ④－⑤得：48y =，2y =将2y =代入⑤知：1x =将1x =，2y =代入①得：3z =所以方程组的解为：123x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩【高清课堂：三元一次方程组409145 例2（2）】3. 解方程组23520x y z x y z ⎧==⎪⎨⎪++=⎩①②【答案与解析】 解法一：原方程可化为：253520x z y z x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪++=⎪⎩①②③由①③得：25x z =，35y z = ④ 将④代入②得：232055z z z ++=，得：10z = ⑤ 将⑤代入④中两式，得：2210455x z ==⨯=，3310655y z ==⨯= 所以方程组的解为：4610x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩解法二：设235x y z t ===，则2,3,5x t y t z t ===③ 2334823x y z x y z x y z -+=⎧⎪+-=⎨⎪+-=-⎩①②③将③代入②得：23520t t t ++=，2t =将2t =代入③得：2224x t ==⨯=，3326,55210y t z t ==⨯===⨯=所以方程组的解为：4610x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩【总结升华】对于这类特殊的方程组，可根据其方程组中方程的特点，采用一些特殊的解法(如设比例系数等)来解．举一反三：【变式】（2015秋•德州校级月考）若三元一次方程组的解使ax+2y+z=0，则a 的值为（ ）A ．1B ．0C ．﹣2D ．4【答案】B ． 解：，①+②+③得：x+y+z=1④，把①代入④得：z=﹣4，把②代入④得：y=2，把③代入④得：x=3，把x=3，y=2，z=﹣4代入方程得：3a+4﹣4=0，解得：a=0．类型三、三元一次方程组的应用4. （2015春•黄陂区校级月考）购买铅笔7支，作业本3本，圆珠笔1支共需3元；购买铅笔10支，作业本4本，圆珠笔1支共需4元，则购买铅笔11支、作业本5本圆珠笔2支共需 元．【思路点拨】首先假设铅笔的单价是x 元，作业本的单价是y 元，圆珠笔的单价是z 元．购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需a 元．根据题目说明列出方程组，解方程组求出a 的值，即为所求结果．【答案】5．【解析】解：设铅笔的单价是x 元，作业本的单价是y 元，圆珠笔的单价是z 元．购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需a 元．则由题意得：，由②﹣①得3x+y=1，④由②+①得17x+7y+2z=7，⑤由⑤﹣④×2﹣③得0=5﹣a ，解得：a=5.【总结升华】本题考查了列三元一次不定方程组解实际问题的运用，在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程．举一反三：【变式】现有面值为2元、1元和5角的人民币共24张，币值共计29元，其中面值为2元的比1元的少6张，求三种人民币各多少张?【答案】解：设面值为2元、1元和5角的人民币分别为x张、y张和z张．依题意，得24122926x y zx y zx y++=⎧⎪⎪++=⎨⎪⎪+=⎩①②③把③分别代入①和②，得21813232x zx z+=⎧⎪⎨+=⎪⎩④⑤⑤×2，得6x+z＝46 ⑥⑥-④，得4x＝28，x＝7．把x＝7代入③，得y＝13．把x＝7，y＝13代入①，得z＝4．∴方程组的解是7134xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩．答：面值为2元、l元和5角的人民币分别为7张、13张和4张．。
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中小学1对1课外辅导专家 龙文教育·教育是一项良心工程 武汉龙文教育学科辅导讲义
授课对象 郭家铭 授课教师 杨琴梅 授课时间 授课题目 三元一次方程组典型例题 课 型 新课 使用教具 教案、白板、笔 教学目标 会解三元一次方程组 教学重点和难点 能熟练的选择适当的方法解三元一次方程组 参考教材 教材 教学流程及授课详案 一、三元一次方程组之特殊型
例1：解方程组③②①yxzyxzyx4225212 分析：方程③是关于x的表达式，通过代入消元法可直接转化为二元一次方程组，因此确定“消x”的目标。 解法1：代入法，消x. 把③分别代入①、②得⑤④2256125zyzy
解得2,2.yz 把y=2代入③，得x=8.∴8,2,2.xyz 是原方程组的解. 根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为： 类型一：有表达式，用代入法型. 针对上例进而分析，方程组中的方程③里缺z,因此利用①、②消z,也能达到消元构成二元一次方程组的目的。 解法2：消z.
时间分配及备注 中小学1对1课外辅导专家 2 ①×5得 5x+5y+5z=60 ④
④-② 得 4x+3y=38 ⑤ 由③、⑤得⑤③38344yxyx 解得8,2.xy 把x=8,y=2代入①得z=2. ∴8,2,2.xyz 是原方程组的解. 根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为： 类型二：缺某元，消某元型.
例2：解方程组③②①172162152zyxzyxzyx 分析：通过观察发现每个方程未知项的系数和相等；每一个未知数的系数之和也相等，即系数和相等。具备这种特征的方程组，我们给它定义为“轮换方程组”，可采取求和作差的方法较简洁地求出此类方程组的解。 解：由①+②+③得4x+4y+4z=48， 即x+y+z=12 .④ ①-④得 x=3， ②-④得 y=4， ③-④得 z=5，
∴3,4,5.xyz 是原方程组的解. 中小学1对1课外辅导专家
3 典型例题举例：解方程组20,19,21.xyyzxz①②③
解：由①+②+③得2(x+y+z)=60 ， 即x+y+z=30 .④ ④-①得 z=10， ④-②得 y=11， ④-③得 x=9，
∴9,11,10.xyz 是原方程组的解. 根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为： 类型三：轮换方程组，求和作差型. 例3：解方程组②①21327:2:1::zyxzyx 分析1：观察此方程组的特点是未知项间存在着比例关系，根据以往的经验，学生看见比例式就会想把比例式化成关系式求解，即由x:y=1:2得y=2x； 由x:z=1:7得z=7x.从而从形式上转化为三元一次方程组的一般形
式，即2,7,2321.yxzxxyz①②③，根据方程组的特点，学生可选用“有表达式，用代入法”求解。 解法1：由①得y=2x，z=7x ，并代入②，得x=1. 把x=1，代入y=2x，得y=2； 把x=1，代入z=7x，得 z=7. 中小学1对1课外辅导专家 4 ∴1,2,7.xyz 是原方程组的解.
分析2：由以往知识可知遇比例式时，可设一份为参数k，因此由方程①x:y:z=1：2：7，可设为x=k,y=2k,z=7k.从而也达到了消元的目的，并把三元通过设参数的形式转化为一元，可谓一举多得。 解法2：由①设x=k,y=2k,z=7k，并代入②，得k=1. 把k=1，代入x=k，得x=1； 把k=1，代入y=2k，得y=2； 把k=1，代入z=7k，得 z=7.
∴1,2,7.xyz 是原方程组的解.
典型例题举例：解方程组③②①4:5:2:3:111zyxyzyx 分析1：观察此方程组的特点是方程②、③中未知项间存在着比例关系，由例3的解题经验，学生易选择将比例式化成关系式求解，即由②得x =23 y； 由③得z=45y.从而利用代入法求解。
解法1：略. 分析2：受例3解法2的启发，有的学生想使用设参数的方法求解，但如何将②、③转化为x:y:z的形式呢？通过观察发现②、③中都有y项，所以把它作为桥梁，先确定未知项y比值的最小公倍数为15，由②×5得y:x=15:10 ，由③×3得y:z=15:12,于是得到x:y:z=10:15:12。 解法2：由②、③得 x:y:z=10:15:12. 中小学1对1课外辅导专家 5 设x=10k,y=15k,z=12k，并代入①，得k=3.
把k=3，代入x=10k，得x=30； 把k=3，代入y=15k，得y=45； 把k=3，代入z=12k，得 z=36.
∴30,45,36.xyz 是原方程组的解. 根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为： 类型四：遇比例式找关系式，遇比设元型. 二、三元一次方程组之一般型
例4：解方程组34,6,2312.xyzxyzxyz①②③ 分析：对于一般形式的三元一次方程组的求解，应该认清两点：一是确立消元目标——消哪个未知项；二是在消元的过程中三个方程式如何正确的使用，怎么才能做到“目标明确，消元不乱”，为此归纳出： （一） 消元的选择 1.选择同一个未知项系数相同或互为相反数的那个未知数消元； 2.选择同一个未知项系数最小公倍数最小的那个未知数消元。 （二） 方程式的选择 采取用不同符号标明所用方程，体现出两次消元的过程选择。
解：③②①1232643zyxzyxzyx （明确消z，并在方程组中体现出来——画线） 中小学1对1课外辅导专家 6 ①+③ 得5x+2y=16， ④ (体现第一次使用在①③后做记号√)
②+③ 得3x+4y=18， ⑤ (体现第二次使用在②③后做不同记号△) 由④、⑤得5216,3418.xyxy④⑤
解得2,3.xy 把x=2 ，y=3代人②，得 z=1. ∴2,3,1.xyz 是原方程组的解.
典型例题举例：解方程组2439,32511,56713.xyzxyzxyzsursursur①②③ 分析：通过比较发现未知项y的系数的最小公倍数最小，因此确定消y。以方程②作为桥梁使用，达到消元求解的目的。 解：②×2 得 6x－4y+10z=22， ④ 2x +4y+ 3z=9， ① ①+④ 得 8x +13z=31 . ⑤ ②×3 得 9x－6y+15z=33 ，⑥ 5x－6y+7z =13， ③ ⑥－③得 4x +8z =20 . x +2z=5 . ⑦ 由⑤、⑦得81331,25.xzxz⑤⑦ 中小学1对1课外辅导专家
7 解得1,3.xz
把x=-1 ，z=3代人① ，得 2
1
y.
∴1,1,23.xyz 是原方程组的解. 三、三元一次方程组的相关变式题型 例五、解方程组13423103292zyxzyxzyx
解：原方程组可化为)3(3423)2(1032)1(92zyxzyxzyx 由（1）+（3），得634zx（4） 由（1）+（2）2，得2975zx（5）
由（4）和（5）组成方程组，得)5(2975)4(634zxzx 解这个方程组，得23zx 把2,3zx代入（1），得9223y ∴ 2y
∴ 223zyx是原方程组的解 例六、已知0432zyx，0543zyx，求zyxzyx的值。 解：由题意，得)2(0543)1(0432zyxzyx 解这个方程组，得zyzx2231 当zx31，zy22时，13252822312231zzzzzzzyxzyx ∴ 所求代数式的值为132 中小学1对1课外辅导专家 8 [例6] 已知方程组)3(4)2(5)1(3axzazyayx的解使代数式zyx32的值等于10，求a的值。 解：（2）－（1），得axz2（4） （3）+（4），得azaz3,62 把az3代入（2）和（3），得axay,2
∴ azayax32，把azayax3,2,代入zyx32，得103322aaa
∴ 35a ∴ 所求a的值为35
[例7] 甲、乙两同学解方程组1022ycxbyax，已知甲的正确解答是42yx，乙由于看错了c，求出的解是5.63yx，则求cba,,的值。 解：把42yx代入原方程组，得10422242cba ∴ 1c 由5.63yx满足2byax，得25.63ba和（1）组成方程组，得
)2(25.63)1(242baba 解得25ba
∴ 125cba ∴ 所求cba,,的值分别为1,2,5