高二下学期期末考试数学试卷

高二下学期期末考试 数学试题（理科） 一、选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共60分） 1．设zziiz2),(12则为虚数单位= （ ） （A）i1 （B）i1 （C）i1 （D）i1 2．下列等于1的积分是（ ）

A．dxx10 B．dxx10)1( C．dx101 D．dx1021 3.用数学归纳法证明：1+21+31+)1,(,121nNnnn时，在第二步证明从n=k到n=k+1成立时，左边增加的项数是（ ） A.k2 B.12k C.12k D.12k 4. 若()sincosfxx，则'()f等于（ ） （A）sin （B）cos （C） sincos （D）2sin

5. 函数xy1在点4x处的导数是 （ ） (A) 81 (B) 81 (C) 161 ( D) 161 6. 已知随机变量服从正态分布84.0)4(),,2(2PN,则)0(P( ) (A) (B) (C) (D) 7. 某校共有7个车位，现要停放3辆不同的汽车，若要求4个空位必须都相邻，则不同（ ） 的停放方法共有 （A） 16种 （B）18种 （C）24种 （D）32种

8. 若幂函数)(xf的图象经过点)21,41(A，则它在A点处的切线方程为（ ） （A） 0144yx （B）0144yx （C）02yx （ D）02yx 9. 若函数2()fxxbxc的图象的顶点在第四象限，则函数'()fx的图象可能是（ ）

10. 设)(xf是定义在R上的奇函数，2)2(f,当0x时，有)()(xfxxf恒成立，则不等式xxf)( 的解集是（ ） （A）（2，0）∪（2，） （B） （2，0）∪（0，2） （C）（，2）∪（2，） （D） （，2）∪（0，2） 11.某小区有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起， 那么不同的停放方法的种数为（ ） A．16种 B．18种 C．24种 D．32种 12. 设函数()fx是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线()yfx在5x处的切线的斜率为（ ）

Ａ．15 Ｂ．0 Ｃ．15 Ｄ．5 二、填空题：（本题共4个小题，每小题4分，共16分） 13. 若(2)aiibi，其中a、bR，i是虚数单位，则22ab_________。

14. 函数32xxy的单调增区间为_________________。

15. 定积分dxxx112的值等于_________________。 16. 若ABC内一点O满足0OCOBOA，则)(31ACABAO。类比以上推理过程可得如下命题：若四面体ABCD内一点O满足0ODOCOBOA， 则AO . 三、解答题：（本题共6个小题，共74分） 17. （本题共12分） 一批产品共10件，其中7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件，在下述情况下，分别求直至取得正品时所需次数X的概率分布列。（1）每次取出的产品不再放回去（2）每次取出一件次品后，总是另取一件正品放回到这批产品中. 18．（本题共12分）

已知()(1)(12),(,)mnfxxxmnZ展开式中x的系数为11，求：（1）2x的系数的最小值；（2）当2x

系数取最小值时，求()fx展开式中x的奇数次幂项的系数之和。 19．（本题共12分）

某班一信息奥赛同学编了下列运算程序，将数据输入满足如下性质:①输入1时，输出结果是41；②输入整数)2(nn时，输出结果)(nf是将前一结果)1(nf先乘以3n-5，再除以3n+1.

（1） 求f(2),f(3),f(4);（2） 试由（1）推测f(n)（其中*Nn）的表达式，并给出证明. 20. （本题共12分） 已知函数xxxf3)(。（Ⅰ）求曲线)(xfy在点))(,(tftM处的切线方程； （Ⅱ）设0a，如果过点),(ba可作曲线)(xfy的三条切线，证明：)(afba。 21.（本题共12分） 据统计某种汽车的最高车速为120千米∕时，在匀速行驶时每小时的耗油量y（升）与行驶速度y（千米∕时）之

间有如下函数关系：880312800013xxy。已知甲、乙两地相距100千米。（I）若汽车以40千米∕时的速度匀速行驶，则从甲地到乙地需耗油多少升？（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 22. （本题共14分）

已知函数lnfxaxxx的图象在点ex（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3． （1）求实数a的值；（2）若kZ，且1fxkx对任意1x恒成立，求k的最大值； （3）当4nm时，证明mnnmmnnm． 参考答案(理) 一、选择题：CCAAD ACBAD CB 二、填空题：

13. 5 14. )32,0( 15．232ln % ) 16. ADACAB41 三解答题 17.解：（1）由题意，X的可能取值为1，2，3，4，其中

107)1(XP，

30791073)2(XP，

12078910723)3(XP,

所以X的概率分布为 X 1 2 3 4 P ………………6分 (2) 由题意，X的可能取值为1，2，3，4，其中

107)1(XP，

256101083)2(XP，

50027101010923)3(XP,

50031010101010123)4(XP.

所以X的概率分布为 X 1 2 3 4 P ………………12分

18．解：（1）11211mnCCQ，所以211mn………………2分

2221213514(1)2(1)()2416mnCCmmnnm………………4分

当5,3mn时有最小值22；………………5分 （2）由（1）5,3mn，所以53250125()(1)(12)fxxxaaxaxaxL

从而53015(1)23faaaL，………………8分

012345(1)01faaaaaa，………………10分

所以1351[(1)(1)]302aaaff，即奇数次幂项的系数之和为30………………12分 19.解：由题设条件知f(1)= 41,)(nf=1353nn)1(nf,

2814171)2(f;

701104281)3(f;

1301137701)4(f. ………………………………3分

(2)猜想：)(nf)13)(23(1nn（其中*Nn）……………………5分 以下用数学归纳法证明： （1） 当1n时，41)113)(213(1,41)1(f， 所以此时猜想成立。 ………………………………6分 （2） 假设*)(Nkkn时，)13)(23(1)(kkkf成立 那么1kn时，

]1)1(3][2)1(3[1)13(11)1(31)13)(23(11)1(35)1(3)(1)1(35)1(3)1(kkkkkkkkkfkkkf

……………9分

所以1kn时，猜想成立。 由（1）（2）知，猜想：)(nf)13)(23(1nn（其中*Nn）成立。 …………………………12分 20解：（1）求函数)(xf的导数：13)('2xxf。曲线)(xfy在点))(,(tftM处的切线方程为：

))((')(txtftfy，即322)13(txty。……………4分

（2）如果有一条切线过点),(ba，则存在t，使322)13(tatb。 于是，若过点),(ba可作曲线)(xfy的三条切线，则方程03223baatt有三个相异的实数根。记baatttg2332)(，则)(666)('2attatttg。当t变化时，)('),(tgtg的变化情况如下表： 0 ＋ 0 － 0 ＋ ↗ 极大值ba ↘ 极小值)(afb ↗

由)(tg的单调性，当极大值0ba或极小值0)(afb时，方程0)(tg最多有一个实数根； 当0ba时，解方程0)(tg得0t，23at，即方程0)(tg只有两个相异的实数根； 当0)(afb时，解方程0)(tg得atat,2，即方程0)(tg只有两个相异的实数根。 综上，如果过),(ba可作曲线)(xfy的三条切线，即

0)(tg有三个相异的实数根，则.0)(,0afbba即)(afba。

…………………………12分 21.（I）当40x时，汽车从甲地到乙地行驶了5.240100（小时），

需蚝油5.175.2)840803401280001(3（升）。 所以，汽车以40千米∕时的速度匀速行驶，从甲地到乙地需耗油5.17升…4分. （II）当汽车的行驶速度为x千米∕时时，从甲地到乙地需行驶x100小时.设耗油量为)(xh升，依题意，得

41580012801100)8803128001()(23xxxxxxh 其中，1200x.………………………………………………………… 7分

2332'64080800640)(xxx

xxh )1200(x

.

令 0)('xh，得 80x. 因为当80,0x时，0)('xh，)(xh是减函数；当120,80x时，0)('xh，)(xh是增函数，所以当80x时，)(xh取得最小值25.11)80(h. 所以当汽车以80千米∕时的速度行驶时，从甲地到乙地耗油最少， 最少为25.11升。……………………………………………………………… 12分

22.解：（1）因为lnfxaxxx，所以ln1fxax．……………………………1分

因为函数lnfxaxxx的图像在点ex处的切线斜率为3， 所以e3f，即lne13a． 所以1a．…………………………………………………………………………………2分 （2）解：由（1）知，lnfxxxx，

所以1fxkx对任意1x恒成立，即ln1xxxkx对任意1x恒成立．………………………3分 令ln1xxxgxx， 则2ln21xxgxx，……………………………………………………………………4分 令ln2hxxx1x， 则1110xhxxx， 所以函数hx在1,上单调递增．……………………………………………5分 因为31ln30,422ln20hh， 所以方程0hx在1,上存在唯一实根0x，且满足03,4x． 当01()0xxhx时，，即()0gx，当0()0xxhx时，，即()0gx，………………6分 所以函数ln1xxxgxx在01,x上单调递减，在0,x上单调递增． 所以 0000