高数同济44有理函数三角函数及一些无理函数的不定积分
三角函数的不定积分
三角函数有理式的不定积分由u(x)、v(x)及常数经过有限次四则用算所得到的函数称为关于u(x)、v(x)的有理式，并用R(u(x),v(x))表示.⎰dx x x R )cos ,(sin 是三角函数有理式的不定式.一般通过变换t=tan 2x ,可把他化为有理函数的不定积分。
这是因为 Sinx=2222122tan 12tan 22cos 2sin 2cos 2sin 2t t x x x x x x +=+=+ (8) Cosx=22222222112tan 12tan 12cos 2sin 2sin 2cos t t x x x x x x +-=+-=+- (9) dx=dt t212+ 所以dt t t t t t R dx x x R 222212)11,12()cos ,(sin ++-+=⎰⎰ （10） 例3 求dx x x x ⎰++)cos 1(sin sin 1 解 令t=tan2x ,将(8)、（9）、（10）代入被积表达式， dx x x x ⎰++)cos 1(sin sin 1=dt t t t t t t t2222212)111(12121+∙+-++++⎰ =)ln 22(21)12(212t t t dt t t ++=++⎰+C =C x x x +++2tan ln 212tan 2tan 412 注意 上面所用的交换t=tan2x 对三角函数有理式的不定积分虽然总是有效的，但并不意味着在任何场合都是简便的. 例4 求)0(cos sin 2222≠+⎰ab xb x a dx 解 由于,t a n )(t a n t a n s e c c o s s i n 22222222222⎰⎰⎰+=+=+bx a x d dx b x a x x b x a dx 故令t=tanx,就有,t a n )(t a n t a n s e c c o s s i n 22222222222⎰⎰⎰+=+=+bx a x d dx b x a x x b x a dx =C bat ab +arctan 1 适当当被积函数是x x 22cos ,sin 及sinxcosx 的有理式时，采用变换t=tanx 往往比较方便.其他特殊情形可因题而异，选择合适的变换。
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高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin 2cos 2sin sin 2cos2sin 2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(μμμx xarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x xxx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e xxx x x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑ΛΛΛ中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
有理函数的不定积分(5)
2、
x
x2 1
12 x
dx
1
x
A
12
B x
1
C x
1dx
,
其中A _____,B _____,C _______；
3、计算
2
dx sin
x
, 可用万能代换sin
x
___________,
dx _____________；
4、计算
dx
, 令t ___,x ___,dx ____ .
1
sin sin x
x
cos
x
dx
(1
2u u)(1
u2
du )
2u 1 u2 1 u2
(1 u)(1 u2 ) du
16
(1 (1
u)2 (1 u)(1
u
u2 2)
)du
1 u 1 u2
du
1
1
du u
arctan u 1 ln(1 u2 ) ln | 1 u | C
x
2
1
C.
25
例12 求积分
1 x1
3
x
dx. 1
解 令 t 6 x 1 6t 5dt dx,
1 x 1 3
x 1 dx t 3
1
t
2
6t
5dt
6
t 3 dt t 1
2t 3
3t 2
6t
6ln | t
1| C
2 x 1 33 x 1 36 x 1 6ln(6 x 1 1) C.
Mk x Nk x2 px q
其中Mi , N i 都是常数(i 1,2,, k).
特殊地：k
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高等数学公式导数公式基本积分表ax x aa a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， 一些初等函数 ： 两个重要极限：·诱导公式：函数角A -α90°-α90°+α180°-α 180°+α 270°-α 270°+α 360°-α 360°+αsin -sin α cos α cos α sin α -sin α -cos α -cos α -sin αsin α cos cos α sin α -sin α -cos α -cos α -sin α sin α cos α cos α tg -tg α ctg α -ctg α -tg α tg α ctg α -ctg α -tg α tg α ctg-ctg αtg α-tg α-ctg αctg αtg α-tg α-ctg αctg α·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβα-+=--+=+βαβαβαβαβαβαβαβαtg tg tg ±=±=±±=±)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x xxx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x.1;0.)1(lim M s M M :.,13202aK a K y y ds d s K M M sK tg y dx y ds s =='+''==∆∆='∆'∆∆∆==''+=→∆的圆：半径为直线：点的曲率：弧长。
高数同济§4.4有理函数三角函数及一些无理函数的不定积分
1 2 1 2 dt t 1
x x ln | sec | 2 2
x u tan 2
x ln |1 tan | C. 2
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16
1 例8 求积分 dx. 4 sin x x 2u 2 u tan , sin x , dx du, 解（一） 2 2 2 1 u 1 u 2 4 6 1 1 3 u 3 u u du sin4 x dx 4 8u 1 1 3 u3 [ 3 3u ] C 8 3u u 3
有理函数的积分
三角函数有理式的积分
无理函数的积分
sin x dx. 1 sin x cos x
1 1 x x x dx
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1
引例
Px a
1 1 1 1 . 解 由于 2 x a 2 2a x a x a
所以
1 1 1 1 dx dx 2 2 x a 2a x a x a
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2
一、有理函数的积分
有理函数的定义：两个多项式的商表示的函数.
P( x) a0 x n a1 x n1 an1 x an R( x) Q( x) b0 x m b1 x m 1 bm 1 x bm
23内容小结可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出但不一定要注意综合使用基本积分法优秀课件精彩无限
§5.4
有理函数、三角函数及一些 无理函数的不定积分
3x 2 (1 2 x)(1 x 2 ) dx.
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高等数学公式导数公式基本积分表ax x aa a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， 一些初等函数 ： 两个重要极限：·诱导公式：函数角A -α90°-α90°+α180°-α 180°+α 270°-α 270°+α 360°-α 360°+αsin -sin α cos α cos α sin α -sin α -cos α -cos α -sin αsin α cos cos α sin α -sin α -cos α -cos α -sin α sin α cos α cos α tg -tg α ctg α -ctg α -tg α tg α ctg α -ctg α -tg α tg α ctg-ctg αtg α-tg α-ctg αctg αtg α-tg α-ctg αctg α·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβα-+=--+=+βαβαβαβαβαβαβαβαtg tg tg ±=±=±±=±)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x xxx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x.1;0.)1(lim M s M M :.,13202aK a K y y ds d s K M M sK tg y dx y ds s =='+''==∆∆='∆'∆∆∆==''+=→∆的圆：半径为直线：点的曲率：弧长。
同济大学(高等数学)_第四章_不定积分
第四章 不定积分前面讨论了一元函数微分学，从本章开始我们将讨论高等数学中的第二个核心内容：一元函数积分学．本章主要介绍不定积分的概念与性质以及基本的积分方法．第1节 不定积分的概念与性质1.1 不定积分的概念在微分学中，我们讨论了求一个已知函数的导数（或微分）的问题，例如，变速直线运动中已知位移函数为()s s t =， 则质点在时刻t 的瞬时速度表示为()v s t '=．实际上，在运动学中常常遇到相反的问题，即已知变速直线运动的质点在时刻t 的瞬时速度()v v t =，求出质点的位移函数()s s t =．即已知函数的导数，求原来的函数．这种问题在自然科学和工程技术问题中普遍存在．为了便于研究，我们引入以下概念．1.1.1原函数定义1 如果在区间I 上，可导函数()F x 的导函数为()f x ，即对任一x I ∈，都有()()F x f x '= 或 d ()()d F x f x x =， 那么函数()F x 就称为()f x 在区间I 上的原函数．例如，在变速直线运动中，()()s t v t '=，所以位移函数()s t 是速度函数()v t 的原函数； 再如，(sin )'cos x x =，所以sin x 是cos x 在(,)-∞+∞上的一个原函数．1(ln )'(0),x x x=>所以ln x 是1x在(0,)+∞的一个原函数． 一个函数具备什么样的条件，就一定存在原函数呢？这里我们给出一个充分条件．定理1 如果函数()f x 在区间I 上连续，那么在区间I 上一定存在可导函数()F x ，使对任一∈x I 都有()()'=F x f x ．简言之，连续函数一定有原函数．由于初等函数在其定义区间上都是连续函数，所以初等函数在其定义区间上都有原函数．定理1的证明，将在后面章节给出. 关于原函数，不难得到下面的结论：若()()'=F x f x ，则对于任意常数C ，()+F x C 都是()f x 的原函数．也就是说，一个函数如果存在原函数，则有无穷多个．假设()F x 和()φx 都是()f x 的原函数，则[()()]0'-≡F x x φ，必有()()φ-F x x =C ,即一个函数的任意两个原函数之间相差一个常数．因此我们有如下的定理：定理2 若()F x 和()φx 都是()f x 的原函数，则()()-=F x x C φ（C 为任意常数）．若()()'=F x f x ，则()+F x C （C 为任意常数）表示()f x 的所有原函数．我们称集合{}()|F x C C +-∞<<+∞为()f x 的原函数族．由此，我们引入下面的定义．1.1.2不定积分定义2 在区间I 上，函数()f x 的所有原函数的全体，称为()f x 在I 上的不定积分， 记作()d ⎰f x x ．其中⎰称为积分号，()f x 称为被积函数，()d f x x 称为被积表达式，x 称为积分变量． 由此定义，若()F x 是()f x 的在区间I 上的一个原函数，则()f x 的不定积分可表示为()d ()=+⎰f x x F x C ．注 （1）不定积分和原函数是两个不同的概念，前者是个集合，后者是该集合中的一个元素．（2）求不定积分，只需求出它的某一个原函数作为其无限个原函数的代表，再加上一个任意常数C ．例1 求23d x x ⎰．解 因为32()3,'=x x 所以233d x x x C =+⎰．例2 求sin cos d x x x ⎰．解 （1）因为2(sin )2sin cos ,'=x x x 所以21sin cos d sin 2x x x x C =+⎰．（2）因为2(cos )2cos sin ,'=-x x x 所以21sin cos d cos 2x x x x C =-+⎰． （3）因为(cos 2)2sin 24sin cos ,'=-=-x x x x 所以1sin cos d cos 24=-+⎰x x x x C ． 例3 求1d x x⎰．解 由于0x >时，1(ln )'=x x ，所以ln x 是1x在(0,)+∞上的一个原函数，因此在(0,)+∞内，1d ln x x C x=+⎰．又当0x <时，[]1ln()x x '-=，所以ln()-x 是1x在(,0)-∞上的一个原函数，因此在(,0)-∞内，1d ln()=-+⎰x x C x ．综上，1d ln x x C x=+⎰．例4 在自由落体运动中，已知物体下落的时间为t ，求t 时刻的下落速度和下落距离． 解 设t 时刻的下落速度为()=v v t ，则加速度d ()d va t g t==（其中g 为重力加速度）． 因此()()d d v t a t t g t gt C ===+⎰⎰，又当0t =时，(0)0=v ，所以0C =．于是下落速度()=v t gt ． 又设下落距离为()=s s t ，则ds()dt=v t ．所以 21()()d d 2===+⎰⎰s t v t t gt t gt C ， 又当0t =时，(0)0=s ，所以0C =．于是下落距离21()2=s t gt ． 1.1.3不定积分的几何意义设函数()f x 是连续的，若()()F x f x '=，则称曲线()y F x =是函数()f x 的一条积分曲线．因此不定积分()d ()f x x F x C =+⎰在几何上表示被积函数的一族积分曲线．积分曲线族具有如下特点（如图4.1）：（1）积分曲线族中任意一条曲线都可由其中某一条平移得到；（2）积分曲线上在横坐标相同的点处的切线的斜率是相同的，即在这些点处对应的切线都是平行的．图4-1例5 设曲线通过点(1,2)，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程．解 设曲线方程()=y f x ，曲线上任一点(,)x y 处切线的斜率d 2d yx x=，即()f x 是2x 的一个原函数．因为22d =+⎰x x x C ，又曲线过(1,2)，所以21C =+，1C =．于是曲线方程为21y x =+．1.2 基本积分公式由定义可知，求原函数或不定积分与求导数或求微分互为逆运算， 我们把求不定积分的运算称为积分运算．既然积分运算与微分运算是互逆的，那么很自然地从导数公式可以得到相应的积分公式．例如，因11x μμ+'⎛⎫ ⎪+⎝⎭=x μ，所以11x x dx C μμμ+=++⎰（1μ≠-）． 类似可以得到其他积分公式，下面一些积分公式称为基本积分公式． ①d k x kx C =+⎰（k 是常数）; ②1d 1x x x C μμμ+=++⎰（1μ≠-）;③1d ln x x C x=+⎰; ④sin d cos x x x C =-+⎰; ⑤cos d sin x x x C =+⎰; ⑥221d sec d tan cos x x x x C x==+⎰⎰; ⑦221d csc d cot sin x x x x C x==-+⎰⎰; ⑧sec tan d sec x x x x C =+⎰; ⑨csc cot d csc x x x x C =-+⎰; ⑩21d arctan C 1x x x =++⎰，21d cot 1x arc x C x -=++⎰;⑪arcsin x x C =+，arccos x x C =+⎰;⑫e d e x x x C =+⎰; ⑬d ln xxa a x C a=+⎰;以上13个基本积分公式，是求不定积分的基础，必须牢记．下面举例说明积分公式②的应用．例6求不定积分x x ⎰．解xx ⎰52d x x =⎰512512x C +=++7227x C =+． 以上例子中的被积函数化成了幂函数x μ的形式，然后直接应用幂函数的积分公式②求出不定积分．但对于某些形式复杂的被积函数，如果不能直接利用基本积分公式求解，则可以结合不定积分的性质和基本积分公式求出一些较为复杂的不定积分．1.3 不定积分的性质根据不定积分的定义，可以推得它有如下两个性质．性质1 积分运算与微分运算互为逆运算（1）()d ()'⎡⎤=⎣⎦⎰f x x f x 或d ()d ()d ⎡⎤=⎣⎦⎰f x x f x x ． （2）()d ()'=+⎰F x x F x C 或d ()()=+⎰F x F x C 性质2 设函数()f x 和()g x 的原函数存在，则[]()()d ()d ()d +=+⎰⎰⎰f x g x x f x x g x x ．易得性质2对于有限个函数的都是成立的．性质3 设函数()f x 的原函数存在，k 为非零的常数，则()d =⎰kf x x ()d ⎰k f x x ．由以上两条性质，得出不定积分的线性运算性质如下：[]()()d ()d ()d +=+⎰⎰⎰kf x lg x x k f x x l g x x ．例7 求23d 1⎛⎫+⎝⎰x x． 解23d 1⎛⎫+⎝x x213d 21x x x =-+⎰ 3arctan x =2arcsin x -C +．例8 求221d (1)+++⎰x x x x x ．解 原式=22(1)d (1)+++⎰x x x x x 211d 1x x x⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭⎰3arctan 3x x x C =-++． 例9 求2e d x x x ⎰．解 原式(2e)d xx =⎰1(2e)ln 2exC =+2e 1ln 2x x C =++． 例10 求1d 1sin x x+⎰．解 1d 1sin x x +⎰()()1sin d 1sin 1sin x x x x -=+-⎰21-sin d cos xx x =⎰2(sec sec tan )d =-⎰x x x x tan sec x x C =-+．例11 求2tan d x x ⎰．解 2tan d x x ⎰=2(sec 1)d tan -=-+⎰x x x x C ．注 本节例题中的被积函数在积分过程中，要么直接利用积分性质和基本积分公式，要么将函数恒等变形再利用积分性质和基本积分公式，这种方法称为基本积分法．此外，积分运算的结果是否正确，可以通过它的逆运算（求导）来检验，如果它的导函数等于被积函数，那么积分结果是正确的，否则是错误的．下面再看一个抽象函数的例子：例12 设22(sin )cos '=f x x ，求()f x ？解 由222(sin )cos 1sin '==-f x x x ，可得()1'=-f x x ， 从而21()2=-+f x x x C ．习题4-11．求下列不定积分．（1）41d x x⎰； （2）x ⎰； （3）； （4）()2d ax b x -⎰；（5）22d 1x x x +⎰； （6）4223d 1x x x x +++⎰；（7）x ； （8）22d 1x x⎛⎫+⎝⎰； （9）32e d x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰； （10）()22d 1x x x +⎰；（11）x ；（12）2tan d x x ⎰； （13）2sin d 2x x ⎰；（14）cos2d cos sin x xx x-⎰；（15）21cos d 1cos 2xx x++⎰； （16）()sec sec tan d x x x x +⎰；（17）2352d 3x xxx ⋅-⋅⎰； （18）x ． 2．已知某产品产量的变化率是时间t 的函数，()=+f t at b （a ，b 为常数）．设此产品的产量函数为()p t ，且(0)0=p ，求()p t ．3．验证12arcsin(21)arccos(12)=-+=-+x C x C 3C =． 4．设33()d f x x x C '=+⎰，求()f x ？第2节 换元积分法和不定积分法2.1 换元积分法上一节介绍了利用基本积分公式与积分性质的直接积分法，这种方法所能计算的不定积分是非常有限的．因此，有必要进一步研究不定积分的求法．这一节，我们将介绍不定积分的最基本也是最重要的方法——换元积分法，简称换元法．其基本思想是：利用变量替换，使得被积表达式变形为基本积分公式中的形式，从而计算不定积分． 换元法通常分为两类，下面首先讨论第一类换元积分法．2.1.1第一类换元积分法定理1 设()f u 具有原函数，()=u x ϕ可导，则有换元公式()[()]()d ()d =⎡⎤'=⎣⎦⎰⎰u x f x x x f u u ϕϕϕ． （4.2.1）证明 不妨令()F u 为()f u 的一个原函数,则[]()()d ()=⎡⎤=+⎣⎦⎰u x f u u F x C ϕϕ．由不定积分的定义只需证明([()])[()]()''=F x f x x ϕϕϕ，利用复合函数的求导法则显然成立．注 由此定理可见，虽然不定积分[()]()d '⎰f x x x ϕϕ是一个整体的记号，但从形式上看，被积表达式中的d x 也可以当做自变量x 的微分来对待．从而微分等式()d d '=x x u ϕ可以方便地应用到被积表达式中．例1 求33e d x x ⎰．解 3333e d e (3)d e d(3)x x x x x x x '=⋅=⎰⎰⎰e d =⎰u u e =+u C ， 最后，将变量3u x =代入，即得333ed e xx x C =+⎰．根据例1第一类换元公式求不定积分可分以下步骤:（1）将被积函数中的简单因子凑成复合函数中间变量的微分； （2）引入中间变量作换元；（3）利用基本积分公式计算不定积分； （4）变量还原．显然最重要的是第一步——凑微分，所以第一类换元积分法通常也称为凑微分法．例2 求()9945d x x +⎰．解 被积函数9945（）+x 是复合函数，中间变量45=+u x ，45（）=4'+x ，这里缺少了中间变量u 的导数4，可以通过改变系数凑出这个因子：99999911(45)d (45)(45)d (45)d(45)44'+=⋅+⋅+=++⎰⎰⎰x x x x x x x 991d 4=⎰u u 1001001(45)4100400+=⋅+=+u x C C ．例3 求22d xx x a+⎰． 解221x a +为复合函数，22u x a =+是中间变量，且222x a x '+=（）， 22222222221111d ()d d()22'=⋅+=++++⎰⎰⎰x x x a x x a xax a x a 221111d ln ln()222==+=++⎰u u C x a C u ． 对第一类换元法熟悉后，可以整个过程简化为两步完成．例4 求x ⎰．解 322211)(1)23=--=--+⎰x x x C ．注 如果被积表达式中出现()d +f ax b x ，-1()d ⋅m m f x x x ，通常作如下相应的凑微分：1()d ()d()+=++f ax b x f ax b ax b a ， 111()d ()d()-+=⋅++n n n n f ax b x x f ax b ax b a n．例5 求1d (12ln )x x x +⎰．解 因为1d d ln x x x=，亦即11d d(1+2ln )2x x x=，所以1111d d ln d(1+2ln )(12ln )12ln 212ln x x x x x x x==+++⎰⎰⎰ 1ln 1+2ln 2x C =+． 例6 求arctan 22d 1xx x +⎰．解 因为21d darctan 1x x x =+，所以 arctan arctan arctan 222d 2darctan ln 21x x xx x C x ==++⎰⎰．例7 求x ．解x =x C ==-⎰．在例4至例7中，没有引入中间变量，而是直接凑微分．下面是根据基本微分公式推导出的常用的凑微分公式．①x=②211d d x x x =-．③1d dln x x x=． ④e d de x x x =．⑤ cos d dsin x x x =． ⑥ sin d dcos x x x =-． ⑦221d sec d d tan cos ==x x x x x． ⑧ 221d csc d dcot sin =-=-x x x x x ．d(arcsin )d(arccos )x x x ==-．⑩21d d(arctan )d(arccot )1x x x x ==-+． 在积分的运算中，被积函数有时还需要作适当的代数式或三角函数式的恒等变形后，再用凑微分法求不定积分．例8 求221d x a x +⎰． 解 将函数变形2222111.1a x a x a =+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由d d x x a a=，所以得到221d x a x +⎰2111darctan 1x xC aa a ax a ==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰． 例9求x ．解1x x x aa ⎛⎫==⎪⎝⎭ arcsinxC a=+． 例10 求tan d x x ⎰． 解 tan d x x ⎰=sin d dcos ln cos cos cos x x xx C x x-==-+⎰⎰． 同理，我们可以推得cot d ln sin x x x C =+⎰．例11 求3sin d x x ⎰．解 3222sin d sin sin d sin dcos (1-cos )dcos x x x x x x x x x ==-=-⎰⎰⎰⎰31cos cos 3x x C =-++．例12 求23sin cos d x x x ⎰．解 232222sin cos d sin cos cos d sin cos dsin x x x x x x x x x x ==⎰⎰⎰2224sin (1sin )dsin (sin sin )dsin x x x x x x =-=-⎰⎰3511sin sin 35x x C =-+． 例13 求2sin d x x ⎰． 解 21cos 211sin d d sin 2224x x x x x x C -==-+⎰⎰． 例14 求sec d x x ⎰． 解 12211sec d d cos d cos dsin dsin cos 1sin x x x x x x x x x x--====-⎰⎰⎰⎰⎰ 1sin 1ln ln sec tan 2sin 1x C x x C x +=+=++-． 同理，我们可以推得csc d ln csc cot x x x x C =--+⎰．注 对形如sin cos d m n x x x ⎰的积分，如果m ，n 中有奇数，取奇次幂的底数（如n 是奇数，则取cos x ）与d x 凑微分，那么被积函数一定能够变形为关于另一个底数的多项式函数，从而可以顺利的计算出不定积分;如果m ，n 均为偶数，则利用倍角（半角）公式降幂，直至将三角函数降为一次幂，再逐项积分．例15 求sin 2cos3d x x x ⎰． 解 sin 2cos3d x x x ⎰=11sin 5d sin d 22x x x x -⎰⎰=11cos5cos 102x x C -++ =11cos cos5210x x C -+． 一般的，对于形如下列形式sin cos d mx nx x ⎰， sin sin d mx nx x ⎰， cos cos d mx nx x ⎰，的积分（m n ≠），先将被积函数用三角函数积化和差公式进行恒等变形后，再逐项积分．例16 求221d x x a -⎰． 解 因为 2211111()()2⎛⎫==- ⎪-+-+-⎝⎭x a x a a x a x a x a， 所以 221111111d d d d 22⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪-+-+-⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰x x x x a x a x a a x a x a x a111d()d()2x a x a a x a x a ⎛⎫=--+⎪-+⎝⎭⎰⎰()11ln ln ln 22x ax a x a C C a a x a-=--++=++． 这是一个有理函数（形如()()P x Q x 的函数称为有理函数，()P x ，()Q x 均为多项式）的积分，将有理函数分解成更简单的部分分式的形式，然后逐项积分，是这种函数常用的变形方法．下面再举几个被积函数为有理函数的例子．例17 求23d 56x x x x +-+⎰．解 先将有理真分式的分母256x x -+因式分解，得256-+=x x (2)-x (3)-x ．然后利用待定系数法将被积函数进行分拆．设232356x A B x x x x +=+---+=(3)(2)(2)(3)-+---A x B x x x ， 从而 3(3)(2)+=-+-x A x B x ， 分别将3,2x x ==代入3(3)(2)+=-+-x A x B x 中，易得56A B =-⎧⎨=⎩．故原式=56d 23x x x -⎛⎫+ ⎪--⎝⎭⎰=5ln 26ln 3x x C --+-+．例18 求33d 1x x +⎰． 解 由321(1)(1)+=+-+x x x x ， 令323111A Bx Cx x x x +=+++-+， 两边同乘以31x +，得23(1)()(1)=-++++A x x Bx C x ．令1,x =-得1A =；令0,x =得2C =；令1x =，得1B =-． 所以32312111x x x x x -+=+++-+． 故3223121213d d ln 1d 12111-+--⎛⎫=+=+- ⎪++-+-+⎝⎭⎰⎰⎰x x x x x x x x x x x x =2221d 1d(1)32ln 12211324x x x x x x x ⎛⎫- ⎪-+⎝⎭+-+-+⎛⎫-+⎪⎝⎭⎰⎰．21=ln 1ln(1).2x x x C +--+++2.1.2 第二类换元积分方法定理2 设()=x t ψ是单调，可导的函数，并且()0'≠t ψ，又设[]()()'f t t ψψ具有原函数，则有换元公式，[]1()()d ()()d -=⎡⎤'=⎣⎦⎰⎰t x f x x f t t t ψψψ，其中，1()-x ψ是()=x t ψ的反函数．证明 设[]()()'f t t ψψ的原函数为()t φ．记1()()-⎡⎤=⎣⎦x F x φψ，利用复合函数及反函数求导法则得[][]d d 1()()()()()d d ()''=⋅=⋅=='t F x f t t f t f x t x t φψψψψ， 则()F x 是()f x 的原函数．所以11()()d ()[()][()]()d --=⎡⎤'=+=+=⎣⎦⎰⎰t x f x x F x C x C f t x t ψφψψψ．利用第二类换元法进行积分，重要的是找到恰当的函数()=x t ψ代入到被积函数中，将被积函数化简成较容易的积分，并且在求出原函数后将1()t x ψ-=还原．常用的换元法主要有三角函数代换法、简单无理函数代换法和倒代换法．一、三角函数代换法例19 求x (0)>a ．解 设ππsin ,,22x a t t ⎛⎫=∈- ⎪⎭⎝cos a t ，d cos d x a t t =，于是x =2222cos cos d cos d sin cos 22a a a t a t t a t t t t t C ⋅==++⎰⎰．因为 ππsin ,,22x a t t ⎛⎫=∈- ⎪⎭⎝，所以arcsin ,xt a =为求出cos t ，利用sin xt a=作辅助三角形（图4-2），求得cos t =所以 21arcsin 22a x x x C a ==+．图4-2例20 求(0)>a ．解 令2ππtan ,,,d sec d 22x a t t x a t t ⎛⎫=∈-= ⎪⎭⎝，=21cos sec d sec d ln sec tan t a t t t t t t C a⋅==++⎰⎰．利用tan xt a=作辅助三角形（图4-3），求得 ππsec ,22t t ⎛⎫=∈- ⎪⎭⎝所以 (1ln ln x c x C a ⎛ =+=+ ⎝⎭．图4-3例21 求(0)>a ．解 当x a >时，令πsec ,0,,d sec tan d 2x a t t x a t t t ⎛⎫=∈=⋅ ⎪⎭⎝，=11cot sec tan d sec d ln sec tan t a t t t t t t t C a⋅⋅⋅==++⎰⎰．利用cos at x=作辅助三角形（图4-4），求得tan t =所以 (1ln ln x C x C a ==+，1(ln )C C a =-．当x a <-时，令x u =-则u a >，由上面的结果，得((11ln ln u C x C =-=+=--+=(1,(2ln )x C C C a -+=-． 综上，ln x C =+．图4-4注 换元：sin x a t =，tan x a t =，sec x a t =±将根号化去．但是具体解题时，要根据被积函数的具体情况，选取尽可能简捷的代换，不能只局限于以上三种代换．二、简单无理函数代换法 例22 求．解 令2,d d 2u u x x u u ===，=d 11d 11u u u u u ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭⎰⎰(ln 1ln 1u u C C =-++=+． 例23 求． 解 被积函数中出现了两个不同的根式，为了同时消去这两个根式，可以作如下代换：令t =6x t =，5d 6d x t t =，从而52232261d 6d 61d (1)11t t t t t t t t t ⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭⎰⎰⎰6(arctan )t t C C =-+=+．例24 求x ．解 为了去掉根式，作如下代换：t =211x t =-，222d d (1)t x t t =--，从而222222(1)d 2d (1)tx t t t t t t -=-⋅=--⎰⎰ 32322133x t C C x +⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭． 一般的，如果积分具有如下形式（1）(R x x ⎰，则作变换t =（2）(R x x ⎰，则作变换t =p 是m ，n 的最小公倍数；（3）(R x x ⎰，则作变换t = 运用这些变换就可以将被积函数中的根数去掉，被积函数就化为有理函数． 三、倒代换法在被积函数中如果出现分式函数，而且分母的次数大于分子的次数，可以尝试利用倒代换，即令1x t=，利用此代换，常常可以消去被积函数中分母中的变量因子x ．例25 求6d (1)+⎰xx x ．解 令211,d d x x t tt ==-， 6d (1)+⎰x x x =52661d d 1111t t t t t t t -=-+⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭⎰⎰661d(1)61+=-+⎰t t 61ln 16t C =-++ 611ln 16C x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭． 例26求x ． 解 设211,d d ,x x t tt==-则 于是1222241d (1)d ⎫=-=--⎪⎝⎭⎰x t a t t t t t , 当0x >时，有31222222222231()(1)d(1)23-=---=-+⎰a x x a t a t C a a x ． 0x <时，结果相同．本例也可用三角代换法,请读者自行求解．四、指数代换 例27 求2d e (e 1)+⎰xx x．解 设1e ,d d ,x t x t t==则 于是222d 1d e (e 1)(1)=++⎰⎰x x x t t t22111d arctan 1t t C t t t ⎛⎫=-=--+ ⎪+⎝⎭⎰--e arctan e x xC =--+． 注 本节例题中，有些积分会经常遇到，通常也被当作公式使用．承接上一节的基本积分公式，将常用的积分公式再添加几个（0a >）：①tan d ln cos x x x C =-+⎰; ②cot d ln sin x x x C =+⎰; ③cscd x ⎰=ln csc cot x x C -+; ④sec d ln sec tan x x x x C =++⎰; ⑤2211d arctan xx C a a a x =++⎰;⑥221d xx a -⎰=1ln 2x a C a x a -++; ⑦arcsinxx C a=+>（a 0）;⑧(ln x C =+;⑨ln x C =+． 例28 求．解=2arcsin3-=+x C ． 例29 求．解=11ln(222=+x C ． 例30 求解ln 1=-+x C ．例31 求322d (22)x x x x -+⎰．解 被积函数为有理函数，且分母为二次质因式的平方，把二次质因式进行配方：2(1)1x -+，令ππ1tan ,,22⎛⎫-=∈- ⎪⎝⎭x t t ，则2222sec x x t -+=，2d sec d x t t =．所以332224(1tan )d sec d (22)sec x t x t t x x t+=⋅-+⎰⎰23cos (1tan )d t t t =+⎰3(sin cos )d cos t t t t+=⎰3122(sin cos 3sin 3sin cos cos )d t t t t t t t -=+++⎰ 2ln cos cos 2sin cos t t t t t C =--+-+．图4-5按照变换ππ1tan ,22x t t ⎛⎫-=∈- ⎪⎝⎭作（辅助三角形图4-5），则有cos t =，sin t =，于是322221d ln(22)2arctan(1)2(22)22x xx x x x C x x x x =-++--+-+-+⎰．2.2 分部积分法前面我们得到了换元积分法．现在我们利用“两个函数乘积的求导法则”来推导求积分的另一种基本方法—分部积分法．定理1 设函数()=u u x ，()=v v x 具有连续的导数，则d d =-⎰⎰u v uv v u ．（4.2.2）证明 微分公式d()d d =-uv u v v u 两边积分得d d =-⎰⎰uv u v v u ，移项后得d d =-⎰⎰u v uv v u ．我们把公式（4.2.2）称为分部积分公式．它可以将不易求解的不定积分d u v ⎰转化成另一个易于求解的不定积分d v u ⎰．例32 求cos d x x x ⎰．解 根据分部积分公式，首先要选择u 和d v ，显然有两种方式，我们不妨先设,cos d d ,u x x x v == 即sin v x =，则cosd dsin sin sin d sin cos x x x x x x x x x x x C ==-=++⎰⎰⎰．采用这种选择方式，积分很顺利的被积出，但是如果作如下的选择： 设cos ,d d ,u x x x v == 即212v x =，则222111cos d cos d cos sin d 222x x x x x x x x x x ==-⎰⎰⎰， 比较原积分cos d x x x ⎰与新得到的积分21sin d 2x x x ⎰，显然后面的积分变得更加复杂难以解出．由此可见利用分部积分公式的关键是恰当的选择u 和d v ．如果选择不当，就会使原来的积分变的更加复杂．在选取u 和d v 时一般考虑下面两点: （1）v 要容易求得；（2）d v u ⎰要比d u v ⎰容易求出． 例33 求e d x x x ⎰．解 令,e d d ,e x x u x x v v ===,则e d de e e d e e x x x x x x x x x x x x C ==-=-+⎰⎰⎰．例34 求2e d x x x ⎰．解 令2,e d d ,e x x u x x v v ===，则利用分部积分公式得22222e d de e e d e 2e d x x x x x x x x x x x x x x ==-=-⎰⎰⎰⎰，这里运用了一次分部积分公式后，虽然没有直接将积分积出，但是x 的幂次比原来降了一次，e d xx x ⎰显然比2e d xx x ⎰容易积出，根据例4.3.2，我们可以继续运用分部积分公式，从而得到222e d e2e d e 2de xxx x x x x x x x x x =-=-⎰⎰⎰2e 2(e e )x x x x x C =--+ 2e (22)x x x C =-++．注 当被积函数是幂函数与正（余）弦或指数函数的乘积时，幂函数在d 的前面，正（余）弦或指数函数至于d 的后面．例35 求ln d x x x ⎰． 解 令ln ,u x =21d d 2x x x =，212v x =，则 222111ln d ln d ln d 22x x x x x x x x x x ⎛⎫==-⋅ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰2211ln 22x x x C ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭22ln 124x x x C =-+．在分部积分公式运用比较熟练后，就不必具体写出u 和d v ，只要把被积表达式写成d ⎰u v的形式，直接套用分部积分公式即可． 例36 求arctan d x x x ⎰．解 222211arctan d arctan d arctan d 221x x x x x x x x x x ⎛⎫==- ⎪+⎝⎭⎰⎰⎰21(arctan arctan )2=-++x x x x C ． 注 当被积函数是幂函数与对数函数或反三角函数的乘积时，对数函数或反三角函数在d 的前面，幂函数至于d 的后面．下面再来举几个比较典型的分部积分的例子．例37 求e sin d x x x ⎰．解 （法一）e sin d sin de e sin e cos d x x x x x x x x x x ==-⎰⎰⎰e sin cos de x x x x =-⎰=e sin e cos e sin d x x x x x x x --⎰，∴ 1e sin d e (sin cos )2=-+⎰x xx x x x C ． （法二）x e sin d e d(cos )e (cos )cos d(e )=-=-+⎰⎰⎰x x x x x x x x =e cos cos e d e cos e dsin x x x x x x x x x -+=-+⎰⎰ =e cos e sin sin de x x x x x x -+-⎰ =e cos e sin e sin d x x x x x x x -+-⎰，∴ 1e sin d e (sin cos )2=-+⎰x x x x x x C ．当被积函数是指数函数与正（余）弦函数的乘积时，任选一种函数凑微分，经过两次分部积分后，会还原到原来的积分形式，只是系数发生了变化，我们往往称它为“循环法”，但要注意两次凑微分函数的选择要一致．例38 求3sec d x x ⎰．解 32sec d sec d tan sec tan sec tan d x x x x x x x x x ==⋅-⋅⎰⎰⎰3sec tan sec d sec d x x x x x x =⋅+-⎰⎰，利用 1sec d ln sec tan x x x x C =++⎰ 并解方程得3sec d x x ⎰=1(sec tan ln sec tan )2⋅++x x x x +C ．在求不定积分的过程中，有时需要同时使用换元法和分部积分法．例39求x ⎰．解令2,d 2d t t x t t ===，e 2d 2de 2e 2e d 2e 2e t t t t t t x t t t t t t C C ===-=-+=-+⎰⎰⎰⎰．例40 求cos(ln )d x x ⎰． 解 令ln ,e ,d e d t t t x x x t ===，cos(ln )d x x ⎰=()()1cos e d e sin cos sin ln cos ln 22t t xt t t t C x x C ⋅=++=++⎰． 下面再看一个抽象函数的例子．例41 已知()f x 的一个原函数是sin xx，求()d '⎰xf x x ？ 解 因为()f x 的一个原函数是sin x x ，所以sin ()d =+⎰xf x x C x， 且 2sin cos sin ()'-⎛⎫==⎪⎝⎭x x x xf x x x ．从而 原式()()d d[()]()d '===-⎰⎰⎰xf x x x f x xf x f x x cos 2sin x x xC x-=+．习题4-2一、求下列不定积分． 1．2014(23)d -⎰x x ； 2．23d (12)-⎰xx ；3．()d +⎰k a bx x （0b ≠）； 4．sin3d x x ⎰； 5．()cos d x x αβ-⎰； 6．tan5d x x ⎰； 7．3e d x x -⎰； 8．210d x x ⎰； 9．121e d x x x⎰；10．2d 19xx +⎰； 11．2d πsin 24x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰；12．x ⎰；13．2(23)d 38--+⎰x xx x ；14．15．e sin e d x x x ⎰； 16．2e d x x x ⎰； 17．x ； 18．θ；19．；20．22(arctan )d 1+⎰x x x ；21．2d 3x x x+⎰；22．21d 413x x x x -++⎰； 23．2cos d x x ⎰； 24．4sin d x x ⎰； 25．1tan d sin 2xx x+⎰； 26．22cos sin d x x x ⎰； 27．3cos d x x ⎰； 28．35sin cos d x x x ⎰； 29．4sec d x x ⎰；30．4tan d x x ⎰； 31．22d sin cos xx x⎰；32．4；33．34．322d (1)-⎰x x ；35．3322d (1)+⎰x x x ；36．2x ；37．3222d ()+⎰x x a ；38．x ； 39． 40． 41．；42．；43．x ；44．x ； 45．42d xx x -⎰； 46．2d (1)+⎰xx x ．二、求下列不定积分．1．sin 2d x x x ⎰； 2．-(e e )d 2-⎰x x x x ； 3．2cos d x x x ω⎰；4．2d x x a x ⎰；5．ln d x x ⎰； 6．ln d n x x x ⎰（1n ≠）； 7．arctan d x x ⎰； 8．arccos d x x ⎰； 9．e cos d ax nx x ⎰； 10．2ln(1)d +⎰x x x ；11．32ln d x x x ⎰；12．2(arcsin )d ⎰x x ；13．2cos d x x x ⎰； 14．2tan d x x x ⎰；15．22cos d x x x ⎰； 16．2ln cos d cos xx x⎰；17．3ln d xx x ⎰； 18．x ⎰．三、已知()f x 的一个原函数是2-e x ，求()d '⎰xf x x .第3节 有理函数的积分3.1 有理函数的积分有理函数的形式:有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数,即具有如下形式的函数: mm m m nn n n b x b x b x b a x a x a x a x Q x P ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++=----11101110)()(,其中m 和n 都是非负整数; a 0,a 1,a 2,⋅⋅⋅,a n 及b 0,b 1,b 2,⋅⋅⋅,b m 都是实数,并且a 0≠0,b 0≠0.当n <m 时,称这有理函数是真分式;而当n ≥m 时,称这有理函数是假分式. 假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式.例如1111)1(1122223++=+++=+++x x x x x x x x . 真分式的不定积分:求真分式的不定积分时,如果分母可因式分解,则先因式分解,然后化成部分分式再积分. 例1 求⎰+-+dxx x x 6532.解⎰+-+dx x x x 6532⎰--+=dx x x x )3)(2(3⎰---=dx x x )2536(⎰⎰---=dx x dx x 2536=6ln|x -3|-5ln|x -2|+C . 提示:)3)(2()32()(23)3)(2(3----++=-+-=--+x x B A x B A x B x A x x x ,A +B =1,-3A -2B =3,A =6,B =-5. 分母是二次质因式的真分式的不定积分: 例2 求⎰++-dxx x x 3222.解⎰++-dx x x x 3222dx x x x x x )3213322221(22++-+++=⎰dx x x dx x x x ⎰⎰++-+++=321332222122 ⎰⎰+++-++++=2222)2()1()1(332)32(21x x d x x x x d C x x x ++-++=21arctan 23)32ln(212. 提示:321332221323)22(213222222++⋅-++-⋅=++-+=++-x x x x x x x x x x x .例3 求⎰-dx x x 2)1(1.解⎰⎰-+--=-dx x x x dx x x ])1(1111[)1(122⎰⎰⎰-+--=dx x dx x dx x 2)1(1111C x x x +----=11|1|ln ||ln .提示:222)1(1)1(1)1(1)1(1-+--=-+-=-x x x x x x x x x 22)1(1111)1(1)1(1-+--=-+-+--=x x x x x x x x .3.2 三角函数有理式的积分三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数,其特点是分子分母都包含三角函数的和差和乘积运算.由于各种三角函数都可以用sin x 及cos x 的有理式表示,故三角函数有理式也就是sin x 、cos x 的有理式. 用于三角函数有理式积分的变换:把sin x 、cos x 表成2tan x 的函数,然后作变换2tan xu =:222122tan 12tan 22sec 2tan 22cos 2sin 2sin u u x xx x x x x +=+===, 222222112sec 2tan 12sin 2cos cos u u x x x x x +-=-=-=.变换后原积分变成了有理函数的积分. 例4 求⎰++dx x x x )cos 1(sin sin 1. 解 令2tanx u =,则212sin u u x +=,2211cos u u x +-=,x =2arctan u ,du u dx 212+=. 于是⎰++dx x x x )cos 1(sin sin 1⎰+-++++=)111(12)121(2222u u u u u u du u 212+⎰++=du u u )12(21 C u u u +++=|)|ln 22(212C x x x +++=|2tan |ln 212tan 2tan 412. 说明: 并非所有的三角函数有理式的积分都要通过变换化为有理函数的积分. 例如,⎰⎰++=++=+Cx x d xdx x x )sin 1ln()sin 1(sin 11sin 1cos .习题4-3求下列不定积分．1.x dx x +⎰33；2.x dx x x ++-⎰223310； 3.x dx x x +-+⎰2125； 4.()dx x x +⎰21 ； 5.()()x dx x x ++-⎰22111； 6.()()x dx x ++⎰22211； 7.sin dx x +⎰23； 8.cos dx x +⎰3；9.sin dx x +⎰2 ； 10.sin cos dx x x++⎰1；11.sin cos dxx x -+⎰25； 12.⎰.第4节 MATLAB 软件的应用在高等数学中，经常利用函数图形研究函数的性质，在此，我们应用MA TLAB 命令来实现这一操作.MATLAB 符号运算工具箱提供了int 函数来求函数的不定积分，该函数的调用格式为：Int(fx,x) %求函数f(x)关于x 的不定积分参数说明：fx 是函数的符号表达式，x 是符号自变量，当fx 只含一个变量时，x 可省略. 例计算下面的不定积分.sin .cos x xI dx x+=+⎰1syms xI=int((x+sin(x)/(1+cosx))) I=X*tan(x/2)说明：由上述运行结果可知，int 函数求取的不定积分是不带常数项的，要得到一般形式的不定积分，可以编写以下语句：syms x c fx=f(x); int(fx,x)+c以sin cos x xI dx x +=+⎰1为例，编写如下语句可以得到其不定积分：syms x cfx=(x+sin(x))/(1+cos(x)); I=int(fx,x)+c I=C+x*tan(x/2)在上述语句的基础上再编写如下语句即可观察函数的积分曲线族： ezplot(fx,[-2,2]) hf=ezplot(fx,[-2,2]); xx=linspace(-2,2);plot(xx,subs(fx,xx),’k’,’LineWidth’,2) hold on for c=0:6Y=inline(subs(I,C,c));Plot(xx,y(xx),’LineStyle’,’- -’); Endlegend(‘函数曲线’，’积分曲线族’，4).总习题4 (A)一、填空题1．若()f x 的一个原函数为cos x ，则()d f x x ⎰=． 2．设()d sin f x x x C =+⎰，则2(1)d xf x x -⎰＝． 3．2e d x x x =⎰． 4．1d 1cos 2x x=+⎰．5．22(arctan )d 1x x x +⎰＝．二、选择题1．曲线()y f x =在点(,())x f x 处的切线斜率为1x，且过点2(e ,3)，则该曲线方程为． (A) ln y x =(B) ln 1y x =+(C) 211y x =-+ (D) ln 3y x =+2．设()f x 的一个原函数是2e x -，则()d xf x x '=⎰．(A) 222e x x C --+ (B) 222e x x -- (C) 22e (21)x x C ---+(D) ()()d xf x f x x +⎰3．设()F x 是()f x 的一个原函数，则．(A) ()()d ()f x x F x '=⎰(B) ()()d ()f x x f x '=⎰(C)d ()()F x F x =⎰(D) ()()d ()F x x f x '=⎰4．设()f x 的原函数为1x，则()f x '等于． (A) ln x(B)1x(C) 21x -(D)32x 5．2d x x x =⎰．(A) 22x xx C -+(B) 222ln 2(ln 2)x xx C -+(C) 22ln (ln 2)2xxx x C -+(D) 222x x C +三、计算下列各题1．x ；2．1d e e x xx --⎰； 3．2ln(1+)d x x ⎰； 4．2d 23++⎰xx x ；5．sin ecosxd xx ⎰；6．742d (1)x xx +⎰；7．12e d x x -⎰； 8．；9．1d e 1xx -⎰； 10．3d (1)xx x -⎰；11．x x ；12．x ； 13．4d 1xx -⎰； 14．； 15．32ln d x x x ⎰； 16．；17．x ⎰； 18．19．20．4sin d 2xx ⎰；21．24(tan tan )d x x x +⎰； 22．2sec d 1tan ⎛⎫ ⎪+⎝⎭⎰x x x ； 23．sin(lnx)d x ⎰； 24．5；25．x ；26．54tan sec d t t t ⎰；27．3sin x π⎰； 28．64tan cos d sin x x x x⎰；29．44d sin cos xx x⎰；30．1sin d 1sin +-⎰xx x；31．x x ；32．x ⎰；33．e (1)d +⎰x x x x ； 34．x ；35．2ln(1)d x x x +⎰；36．x ．(B)1.（1999、数学一）设()f x 是连续函数()F x 是()f x 的原函数,则( ). (A) 当()f x 是奇函数时,必是偶函数.(B) 当()f x 是偶函数时,()F x 必是奇函数.(C) 当()f x 是周期函数时,()F x 必是周期函数.(D) 当()f x 是单调增函数时,()F x 必是单调增函数.2.（2006、数学二） 求arctan xxe dx e ⎰. 3.（2003、数学二） 计算不定积分.)1(232arctan dx x xe x ⎰+.4.(2009、数学三)计算不定积分ln(1dx +⎰(0)x >.。
三角函数的不定积分与不定积分的计算
三角函数的不定积分与不定积分的计算不定积分是微积分中的一个重要概念，而三角函数在数学中也扮演着重要的角色。
本文将介绍三角函数的不定积分以及如何计算不定积分。
一、三角函数的不定积分三角函数是数学中的基本函数之一，它们包括正弦函数、余弦函数、正切函数以及它们的倒数函数。
三角函数的不定积分可以通过积分表得到，以下是常见的三角函数不定积分公式：1. 正弦函数的不定积分：∫sin(x)dx = -cos(x) + C2. 余弦函数的不定积分：∫cos(x)dx = sin(x) + C3. 正切函数的不定积分：∫tan(x)dx = -ln|cos(x)| + C其中，C为常数项。
值得注意的是，除了上述公式外，还存在许多三角函数的不定积分公式。
在计算中，我们可以根据具体函数形式选择相应的不定积分公式。
二、不定积分的计算不定积分是求解函数的原函数的过程。
计算不定积分时，我们需要注意以下几点：1. 基本积分法：对于一些常见的函数形式，我们可以使用基本积分法进行计算。
基本积分法是根据函数的导数与原函数之间的关系来进行计算的。
2. 分部积分法：当被积函数是两个函数的乘积时，可以使用分部积分法进行计算。
分部积分法的公式为∫u dv = uv - ∫v du。
3. 常数项处理：在计算不定积分时，常数项需要特殊处理。
我们需要在计算过程中将常数项保留，并且在最终结果中添加常数项。
4. 替代变量法：有时候，我们可以通过进行替代变量来简化计算。
例如，将x替代为sin(t)或cos(t)，然后进行计算。
在实际计算过程中，我们可以根据需要和题目要求灵活运用这些方法，以求得准确的结果。
三、示例为了更好地理解三角函数的不定积分及计算方法，以下是一些示例：示例1：计算∫2sin(x)cos(x)dx。
解：根据分部积分法，我们令u = sin(x)，dv = cos(x)dx。
则du =cos(x)dx，v = sin(x)，根据分部积分法的公式有：∫2sin(x)cos(x)dx = 2∫udv = 2(uv - ∫vdu)= 2sin(x)cos(x) - 2∫sin(x)d(cos(x))= 2sin(x)cos(x) - 2∫sin(x)(-sin(x))dx= 2sin(x)cos(x) + ∫sin^2(x)dx进一步计算∫sin^2(x)dx：∫sin^2(x)dx = ∫(1 - cos^2(x))dx= ∫dx - ∫cos^2(x)dx= x - ∫cos^2(x)dx根据正弦函数和余弦函数的不定积分公式，进一步计算可得：∫sin^2(x)dx = x - (sin(x)cos(x) + ∫sin(x)d(cos(x)))= x - (sin(x)cos(x) - ∫cos(x)d(sin(x)))= x - (sin(x)cos(x) + ∫cos(x)sin(x)dx)= x - (sin(x)cos(x) + ∫sin(x)dx)= x - (sin(x)cos(x) - cos(x)) + C= x - sin(x)cos(x) + cos(x) + C综合以上结果，最终计算结果为：∫2sin(x)cos(x)dx = 2sin(x)cos(x) + x - sin(x)cos(x) + cos(x) + C示例2：计算∫(sec^2(x) + tan(x))dx。
第4节 有理函数的不定积分
Mx + N ; 特殊地： 特殊地：k = 1, 分解后为 2 x + px + q
说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出 将有理函数化为部分分式之和后， 现三类情况： 现三类情况：
A Mx + N (1) 多项式； ( 2) 多项式； ; ( 3) ; n 2 n ( x − a) ( x + px + q ) Mx + N dx , 讨论积分∫ 2 n ( x + px + q )
2x3 + 5x 2x2 + 5 解 原式 = ∫ x4 + 5x2 + 4dx + ∫ x4 + 5x2 + 4dx
1 d( x4 + 5x2 + 5) ( x2 +1) + ( x2 + 4) = ∫ 4 dx +∫ 2 2 2 2 x + 5x + 4 ( x +1)( x + 4)
1 1 1 4 2 + 2 )dx = ln x + 5x + 4 + ∫ ( 2 x +1 x + 4 2
1 = ln x4 + 5x2 + 4 + arctanx + 1arctan x + C. 2 2 2
注意 将有理函数分解为部分分式求积分虽可行, 将有理函数分解为部分分式求积分虽可行, 但不一定简便 ,因此要注意根据被积函数的结构 特点，灵活处理，寻求简便的方法求解. 特点，灵活处理，寻求简便的方法求解. 例6 求积分 解
2u+1+ u2 −1− u2 2u du du = 原式 = 2 2 (1+ u)(1+ u ) (1 + u)(1 + u )
高等数学课件上第44有理函数积分
积分公式的应用场景
物理、工程等领域的计算
解决实际问题，如计算面 积、体积等
数学建模，如微分方程、 积分方程等
科学研究，如统计、概率 等
计算机科学，如数值计算、 算法设计等
积分公式的推导过程
积分的定义：将函 数在某一区间上的 值进行求和，得到 该区间上的积分值
积分的性质：积分 具有线性性、可加 性、可乘性等性质
积分变换：用于进行有理函数的积分变 换
积分不等式证明：用于证明有理函数的 积分不等式
积分估计：用于估计有理函数的积分值
在其他数学分支中的应用
微积分：有理 函数积分是微 积分的重要内 容之一，广泛 应用于求解微 分方程、积分
方程等
概率论与数理 统计：有理函 数积分在概率 论与数理统计 中用于求解概 率密度函数、 概率分布函数
结果相加
注意事项：在分 解被积函数时， 需要注意分解后 的部分能否进行 积分，以及分解 后的部分能否相 加得到原被积函
数
三角换元法
基本思想：将复杂函数转化为简单函数，便于积分 步骤：选择适当的三角函数，将原函数进行变换 注意事项：选择合适的三角函数，注意变换后的函数形式 应用：适用于有理函数积分的计算，特别是含有三角函数的有理函数
适用条件：f(x)为有理函数，且积分区间为[a, b]
单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼，言简意赅的阐述观点。
计算步骤： a. 确定积分区间[a, b] b. 将f(x)代入积分公式 c. 计算积分结果
a. 确定积分区间[a, b] b. 将f(x)代入积分公式 c. 计算积分结果
注意事项： a. 确保f(x)为有理函数 b. 积分区间[a, b]必须正 确 c. 计算过程中可能出现误差，需要多次计算以验证结果
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例4 求积分
1 x(x 1)2dx.
解 x(x11)2dx1 x(x 11)2x1 1dx
1 xd x(x 11)2d xx1 1dx
ln x1ln x (1)C . x1
1
例5 求积分 (12x)(1x2)dx.
解 (12x)1(1x2)dx1542xdx152xx215dx
5 2 ln 1 2 ( x ) 1 5 1 2 x x 2d x 1 5 1 1 x 2 dx
由代数学定理:
Q(x)=b0(x－a) …(x－b) (x2 +px+q) …(x2+rx+s)
Q(x)=b0(x－a) …(x－b) (x2 +px+q) …(x2+rx+s)
难点 将有理函数化为最简分式之和.
设 Q P((x x))b a 00 x x m n b a 1 1x xm n 1 1 b am n 1 1x x a bn m是真 . 分
例12
求积分
x 3x1
d.x 2x1
解 先对分母进行有理化
原式 (3 x 1 x (2 3 x x 1 1 ) (3 2 x x 1 1 )2 x 1 )dx
(3x 12x 1 )dx
1 3 3x1d(3x1)1 2 2x1d(2x1)
2(3x1)2 31(2x1)2 3C .
例1 x3 x2 5x6
化为最简分式之和.
x3 A B ,
待
(x2)(x3) x2 x3
定
x 3 A ( x 3 ) B ( x 2 ),系
数
x 3 ( A B ) x ( 3 A 2 B ), 法
A(3A B21,B)3,
A B
5 ,
6
x2
x3 5 6 . 5x6 x2 x3
2 ln 1 2 (x ) 1 ln 1 x (2) 1 arx c C t.an
5
5
5
二、三角函数有理式的积分
三角有理式的定义：
由三角函数和常数经过有限次四则运算构
成的函数．一般记为
R(sx i,n cox)s
sin x2sin xcoxs
2
ta n
x 2
2 2 sec2 x
2
coxsco2xssi2n x, 22
所以 x21 a2d x2 1 a x1 ax1 a dx
一、有理函数的积分
有理函数的定义：两个多项式的商表示的函数.
R(x) P(x) Q(x)
b a00xxm n b a11x xm n 1 1 b am n 1 1x x a bn m
其中m、n都是非负整数；a0 ,a1 , ,an及b0 ,b1, ,bm都是实 数，并且a0 0，b0 0.
例2
1 x ( x1)2
A B x (x1)2
C, x1
1 A ( x 1 ) 2 B C ( x x 1 ) x( 1 )
代入特殊值来确定系数 A,B,C
取 x0, A1 取 x1, B1
取 x2, 并将 A,B值代入 (1) C 1
x(
1 x
1)2
1x(x11)2
1. x1
例3
有理函数化为部分分式之和的一般规律：
（1）分母中若有因式 (xa)k，则分解后为
(x A 1 a)k(x A a 2)k1LxA ka,
其 中 A 1 ,A 2 , ,A k 都 是 常 数 .
特殊地：k1,
分解后为
x
A
a
;
（2）分母中若有因式 (x2px q)k，其中 p24q0 则分解后为
2
x 3(
x
C
dx
1
1)4 (x1)2 2
1
33 x1C原.
4
t 3dt
式 (t
x1
t31
6t 2dt
6t 2
dx (t 3 1)2
3
1)2 4t 3
dt
3dt 2t 2
3 2t
c
2 x1
t (t 3 1)2
33 x1C. 2 x1
du u
arctanu 1ln(1u2)ln |1u| C
2
Q u tan x 2
x 2
ln| secx | 2
ln|1tan x| C. 2
例8
求积分
1 sin4
dx. x
解（一） u ta n x , 2
sinx12uu2, dx12u2du,
1 sin4
x
dx
13u28u34u4u6du
1 (1 2x)(1 x2)
1A2xB1xxC 2 ,
1 A ( 1 x 2 ) ( B C ) x 1 ( 2 x ),
整理得 1 ( A 2 B ) x 2 ( B 2 C ) x C A ,
A 2B
B
2C
0, 0,
A4,B2,C1, 5 55
A C 1,
(12x)1(1x2)1542x152xx215.
§5.4 有理函数、三角函数及一些 无理函数的不定积分
有理函数的积分 三角函数有理式的积分 无理函数的积分
3x2
(12x)(1x2) dx.
1sisnxin xcoxsdx.
1 x
1 xdx x
引例
P196-8
例11 求
1 x2 a2 dx
解 由于 x2 1a 22 1 ax 1ax 1a.
P217-8
例10 求积分
1 x
1 xdx x
解令
1 1
t
2
, 1
dx
2tdt t2 1 2
,
1 x
1 xdx x
t21tt22t12dt
2
t 2dt t2 1
21t211dt2tlntt 11C
21 xxln x 1 xx1 2 C .
例11 求积分
1 x13
dx. x1
解 令 t6x16t5dtd,x
1 x13
x1dxt3
1 t2
6t5dt
6
t
t3 dt
1
2 t3 3 t2 6 t 6 l|n t 1 | C
2 x 1 3 3 x 1 3 6 x 1 6 l6 x n 1 1 ) ( C .
说明 无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数.
QPQP((QP((xxxx(())))xx))((xx(xAA1a1aA)1)a)((xx(xAAa2a2A))a2)111LLL((xx(AAxAaa))a)LLL ((xx(BxB1b1bB))1b)((xx(xBBbb22B))b2)111LLL((xxB(BxBbb))b)LLL((xx(2M 2M x2M 11xpxp1xxxpNxNq1qN1))q1) LLL((xM xM (22xM 2xxppxxxpNNxNqq))q)LLL((xx(22RxR121Rxxrr1xxxrSxS1s1Ss))1s)LLL((xxR(R22xR2xxrrxxxrSSxSss))s)
1 8[31 u3u 33uu 33]C
24ta1n2 x38ta3n2 x8 3tan2 x214tan2 x3C.
解（二） 可以不用万能置换公式.
1 sin4
x
dx
cs2c x(1ct2g x)dx
cs2x c dxct2x gcs2x c dxd(ctg)x
ctgx1ctg3xC. 3
结论 比较以上二种解法, 便知万能置换不一定 是最佳方法, 故三角有理式的计算中先考 虑其它手段, 不得已才用万能置换.
三、简单无理函数的积分
被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换 化为有理函数的积分. 例如:
R (x,na xb)dx, 令 tnaxb
R(x,ncaxx db)dx,
令
t
n
a xb c xd
R (x ,n a b x ,m a b x )d x ,
令 tpaxb, p为m,n的最小公倍. 数
9
3
内容小结
1. 可积函数的特殊类型
有理函数
万能代换
分解
根式代换
多项式及部分分式之和
三角函数有理式
三角代换
简单无理函数
2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出, 但不一定 简便 , 要注意综合使用基本积分法 , 简便计算 .
• 作业 • P218-2,3,6,8 • 12,13,15 • 18,19
练习 求
dx .
3 (x1)2(x1)4
解 3(x 1 )2 (x 1 )4 3(x 1 )4(x 1 )2 .
x 1
令t x1, x1
则有 dt(x21)2或 d3x(,x 令 1)2 t( x 31 x)4 13 ,xx x 1 1 t(3x2 11).
原式
3
t
1 3
例7 求积分 1sisnxin xcoxsdx.
解 由万能置换公式 sinx12uu2,
cosx 11uu22
2 dx1u2 du,
sinx
2u
1sinxcoxsdx(1u)(1u2)du
2u1u21u2
(1u)(1u2) du
(1(1u)u2)(1(1u2u)2)du
1 u 1 u2du
1
1
假定分子与分母之间没有公因式
(1) nm ,R(x)是真分式；(2) nm , R(x) 是假分
式. 假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.
利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式 和一个真分式之和.
x3 x5 x2x212x x32 x x 2 2
对于真分式: R(x) P(x) Q(x)