6.6 关注三角形的外角 课件5(北师大版八年级下)
7.5.2三角形外角定理的证明(课件)北师大版数学八年级上册
4．如图，这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线 (CM∥AB)，你能就此图说明∠ACD与∠A、∠B的关系吗？
因为CM∥AB， 所以∠A＝∠1，∠B＝∠2. 又因为∠ACD＝∠1＋∠2， 所以∠ACD＝∠A＋∠B
小组讨论
如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与外角∠ACE的平分线相交于点D. (1)若∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，求∠A和∠D的度数；
5 三角形内角和定理
第2课时 三角形外角定理的证明
学习目标
1. 通过阅读课本掌握三角形的外角的定义和性质，了解三 角形外角定理的证明过程，提高学生解决问题的能力．
2．通过让学生在操作活动中探索并了解三角形外角的两个 性质，训练学生对所学知识的运用能力．
3．通过让学生积极参与数学学习活动，激发学生对数学的 好奇心与求知欲，给学生树立学好数学的信心．
公元220年至280年间，中国历史上的一个重要时期.在这个时 期，中国分裂成为三个政治实体：曹魏、蜀汉和东吴.这三个 政治实体之间相互争斗，形成了著名的三国鼎立的局面. 这是三国时期的局势图，把三国主要 城邦用直线连接起来就形成了我们今 天要学习的三角形外角
自主探究
1. 阅读课本181－182页． 2．请同学们随便画一个三角形并按课本181页的方法找到三角
北师大八年级数学教案-三角形的外角
第2課時三角形的外角1．瞭解並掌握三角形的外角的定義；(重點)2．掌握三角形內角和定理的兩個推論，利用這兩個推論進行簡單的證明和計算．(難點)一、情境導入上節課我們證明三角形內角和定理．在證明三角形內角和定理時，用到了把△ABC的一邊BC延長得到∠ACD，這個角叫做什麼角呢？下面我們就給這種角命名，並且來研究它的性質．二、合作探究探究點一：三角形內角和定理的推論1【類型一】三角形內角和定理的推論1如圖，如果∠1＝100°，∠2＝145°，那麼∠3等於()A．110°B．160°C．137°D．115°解析：∠1＝100°∠2＝145°∠BAC＝80°∠ABC＝35°∠3＝∠BAC＋∠ABC＝115°方法總結：三角形的外角等於與它不相鄰的兩個內角的和，而不是等於任意兩個內角的和．【類型二】三角形內角和定理的推論1的規律探究如圖，在△ABC中，∠A＝m，∠ABC和∠ACD的平分線交於點A1，得∠A1；∠A1BC 和∠A1CD的平分線交於點A2，得∠A2；…；∠A2015BC和∠A2015CD的平分線交於點A2016，則∠A2016＝________．解析：因為BA 1平分∠ABC ，CA 1平分∠ACD ，所以∠A 1BC ＝12∠ABC ，∠A 1CD ＝12∠ACD ，因為∠A 1CD ＝∠A 1＋∠A 1BC ，即12∠ACD ＝∠A 1＋12∠ABC ，所以∠A 1＝12(∠ACD －∠ABC)＝12∠A ，所以∠A 1＝12m.同理∠A 2＝12∠A 1＝122∠A ＝m 22.依此類推，∠A 2016＝122016∠A ＝m22016，故填错误!.方法總結：解題用到三角形的內角和定理及推論．從圖形中找規律，首先要得到前幾項，然後比較它們之間的關係，歸納猜想得出一般結論．探究點二：三角形內角和定理的推論2如圖，P 是△ABC 內的一點，求證：∠BPC ＞∠A.解析：由題意無法直接得出∠BPC ＞∠A ，延長BP 交AC 於D ，就能得到∠BPC ＞∠PDC ，∠PDC ＞∠A.即可得證．證明：延長BP 交AC 於D ，∵∠BPC 是△ABC 的外角(外角定義)，∴∠BPC ＞∠PDC(三角形的一個外角大於任何一個和它不相鄰的內角)．同理可證：∠PDC ＞∠A ，∴∠BPC ＞∠A.方法總結：利用推論2證明角的大小時，兩個角應是同一個三角形的內角和外角．若不是，就需借助中間量轉化求證．三、板書設計三角形的外角⎩⎪⎨⎪⎧外角：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角推论1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和推论2：三角形的一个外角大于任何一个和它不 相邻的内角利用已經學過的知識來推導出新的定理以及運用新的定理解決相關問題，進一步熟悉和掌握證明的步驟、格式、方法、技巧．進一步培養學生的邏輯思維能力和推理能力，特別是培養有條理的想像和探索能力，從而做到強化基礎，激發學習興趣．。
三角形的外角北师大版八年级数学上册ppt演讲教学
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重难易错
7. 如图，在△ABC中，∠B=24°，∠ACB=104°， AD⊥BC交BC的延长线于点D，AE平分∠BAC. （1）求∠DAE的度数； （2）若∠B=α，∠ACB=β，其他条件不变，请直接 写出∠DAE与α，β的数量关系.
二级能力提升练 10. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB、AC上，如 果∠A=40°，那么∠1+∠2的大小为 220° .
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11. 如图，将△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落 在点A′，若∠C=125°，∠A=15°，则∠A′DB的度数 为 100° .
∠ACB的外角平分线相交于点Q. 直接写出∠A与∠Q的
数量关系为
.
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三级检测练
一级基础巩固练
8. 如图，下列结论：①∠A>∠ACD；②
∠AED>∠B+∠D；③∠B+∠ACB<180°；④∠HEC>∠B.
其中正确的是
. （填②上③你④认为正确的
所有序号）
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北师大版本八年级数学下册(21页)
B C A B C A D(全面版)北师大版本数学八年级下册第一章 三角形的证明§1 等腰三角形1.全等三角形的性质及判定性质：全等三角形的对应边相等，对应角也相等. 对应的角平分线、高线(也叫垂线)和中线.周长、面积…都相等. 判定：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL. 2.等腰三角形的性质、及推论判定性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）. 判定定理：(1)两边都相等的三角形是等边三角形；(2)两个角都相等的三角形是等边三角形；(3)三角形一角的平分线、对边上的中线、对边上的高两线互相重合.“两线合一”逆推出“三线合一”，并且推出该三角形就是等腰三角形.3.等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴.判定定理：(1)三边都相等的三角形是等边三角形；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形； (3)两个角是60°的三角形是等边三角形； (4)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.推论：直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半.4.反证法：先假设命题中的结论不成立，然后由此经过推理，引出矛盾，判定所做的假设不正确，从而得到原命题成 立，这种证明方法叫做反证法. §2 直角三角形1.直角三角形性质，定理及结论 (1)直角三角形两锐角互余； (2)勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c ba =+； (3)直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL ）；(4)直角三角形中：斜边上的中线等于斜边的一半，30°的角所对的直角边等于斜边的一半；A CB 1 2 3 AC B21A B C2.HL ：斜边和直角边分别相等的两个直角三角形全等.3.常用关系式:一般三角形△ABC 中,=.222AB a b c b a b a C ah bh ch bhS ah bh h a===⇒=⇒V ， 特殊:在Rt △ABC 由三角形面积公式等面积法:可得22=()ab ch a b h CD h =+= 等积式推出:=abh c2222222222222222221+11+=+=.a b b a a b a b h h a b a b a b a b =⇔=+（）4.在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的互逆命题.5.如果一个定理的逆命题经过证明是成立的，那么它也是定理，就是这个命题的逆定理.6.直角三角形的判定方法8个(1)有一个角是直角的三角形叫直角三角形； (2)两锐角互余的三角形是直角三角形； (3)两边互相垂直的三角形是直角三角形；(4)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ,b ,c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形； (5)如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形； (6)如果三角形30°所对的边等于另一边的一半，那么这个三角形是直角三角形； (7)如果三角形60°所邻的两边之比是3122或，那么这个三角形是直角三角形； (8)若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则两直线互相垂直.那么这个三角形为直角三角形. 正三角形边长为a ,面积234S a =，等腰直角三角形斜边长为a ，面积21.4S a =海伦公式:(周长的一半，可不是周长)这条公式其实是阿基米德所发现以托希伦二世的名发表秦九韶公式：222222222222222222111()()()424242a b c b c a c a b S a b b c c a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-+-+-=-=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦§3 线段垂直平分线线段垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等. 逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. §4 角平分线角平分线定理1：角平分线上的点到这个角两边的距离相等.逆定理：在角的内部到一个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.角平分线定理1是描述角平分线上的点到角两边距离定量关系的定理，也可看作是角平分线的性质.而角平分线定理2是将角平分线放到三角形中研究得出的线段等比例关系的定理，由它以及相关公式还可以推导出三角形内角平分线长与各线段间的定量关系. 1.三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比. 已知：如图1所示，AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线.则AB BD AC CD ==左左（）右右证明:||,C CE AD BA E 法1:用平行线分线段成比例定理证明:过点作交的延长线与点则AB AB BD AC AE CD ==法2：用面积法证明.121122==1122ABDACDAB BD S AB BDS A h C CD AC C hh h D ••••===V V2.三角形外角平分线定理：三角形两边之比等于其夹角的外角平分线外分对边之比.已知：如图2所示，AD 是△ABC 中∠BAC 的外角∠CAF 的平分线.则AB BD ACCD ==左左（）右右O EDA BPOF E DCBA图1 图23.直线和圆有三种位置关系，具体如下：(1)相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点； (2)相切：直线和圆有唯一公共点(切点)时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线； (3)相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离. ⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d,那么：相离⇔d>r 相切⇔d=r 相交⇔d<r4.切线的性质定理：圆的切线垂直过切点的半径.切线的判定定理：过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线.5.三角形的五心：三角形的内心、外心、重心、垂心、及旁心（3个），统称为三角形的五心.可以根据这些“心”的定义，得到很多重要的性质：正三角形的内心、外心、重心、垂心四心合一叫做中心(除了旁心外)，正n 边形才有中心.对于三角形“五心”的理解，希望你先理解书本上的定义和定理，然后在练习的过程中训练根据定义找特点的思维习惯，自己多总结，逐渐提高解决复杂几何题的能力.注意：五心和不同三角形的位置关系.内心，重心在三角形内部，主要是外心，垂心和三角形的位置关系.(1)内心定理：三角形的三内角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心(内切圆圆心I )； 内切圆半径r 的计算：设三角形面积为S ，并记1()2p a b c =++，则1()2S a b c r pr =++=⇒S r p =.特别的，在直角三角形中,有11()22S a b c r ab =++=⇒()1()+(+)()2ab ab a b c r a b c a b c a b c a b c +-===+-+++-． rdd=rdrIK HEFD A BCM A BCOABCDEFG ABCD EFI aB(2)外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点，这点叫做三角形的外心（外接圆圆心O ）； 与三角形的位置关系：锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形外.(3)重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边距离的2倍，上述交点叫做三角形的重心G ,上述定理为重心定理. 222GA GB GC ++222=3a b c ++最小21AG BG CG GD GE GF ===. ⇒13G G C GCA C S S S S ∆AB ∆B ∆∆AB ===.(,)33A B C A B C x x x y y y G ++++=.3A B CG ++(4)垂心定理：三角形的三条高交于一点，这点叫做三角形的垂心H .与三角形的位置关系：锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角的顶点；钝角三角形的垂心在三角形外.(5)旁心定理：三角形的一内角平分线与另外两顶点处的外角平分线交于一点，这点叫做三角形的旁心(旁切圆圆心P ).三角形有三个旁心1P ，2P ，3P .三角形的内心、旁心到三边距离相等；如图所示：圆外一点P 到⊙O 最大距离PB,最小距离PA.方法总结:1.辅助线常见的作法：截长补短法，倍长中线法，引垂线法，引平行线法.2.方法总结:有时候要把三角形旋转60°，对于正方形中的三角形一般旋转90°，目的是把分散的线段转化在一个三角形中,构造全等三角形和特殊的等边三角形,直角三角形.关于角度的计算，证明，常常需要思考三角形内角和定理，外角和定理，外角定理，直角三角形中含30°的性质及其逆定理，还有就是不要忽视等腰直角三角形中两锐角都是45°.第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组§1不等关系1.不等关系定义 一般地,用符号“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语. 非负数⇔大于等于0(0≥) ⇔ 0和正数⇔ 不小于0. 非正数⇔小于等于0(0≤) ⇔ 0和负数⇔ 不大于0. §2 不等式的基本性质1. 不等式的基本性质(掌握不等式的基本性质,并会灵活运用) ①不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变；即:如果a b >,那么a c b c +>+, a c b c ->-；合起来写：a c b c ±>± ②不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变； 即如果a b >,并且0c >,那么ac bc >,cb c a >； ③不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变； 即:如果a b >,并且0c <,那么ac bc <,cb c a < 2.比较大小:作差法( a 、b 分别表示两个实数或整式)a b <⇔0a b -< a b =⇔0a b -=a b >⇔0a b -> (由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了.)§3不等式的解集:1.一元一次不等式基本情形为ax b ≥(或ax b <). ①当0a >时,解为b x a≥②当0a =时, 且0b ≤,则x 取一切实数； 且0b >,则无解. ③当0a <时, 解为b x a≤. §4 一元一次不等式§5一元一次不等式与一次函数 §6一元一次不等式组1.元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集.如果这些不等式的解集无公共部分,就说这个不等式组无解.几个不等式解集的公共部分,通常是利用数轴来确定.2.解一元一次不等式组的步骤:(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集;(2)利用数轴求出这些解集的公共部分,即这个不等式组的解集. 两个一元一次不等式组的解集的四种情况(a 、b 为实数,且a b <) 口诀：同大取大；同小取小；一大一小取中间；大大小小无解(是空集)一元一次不式 解集图示 叙述语言表达⎩⎨⎧>>b x ax x b >ba同大取大 ⎩⎨⎧<<b x ax x a <ba同小取小⎩⎨⎧<>b x ax a x b <<ba一大一小取中间 ⎩⎨⎧><b x ax 无解ba大大小小无解(是空集)延伸补充绝对值不等式： 当0a >时，有22x a x a a x a <⇔<⇔-<<.（两根之内(间)） 22x a x a x a x a >⇔>⇔<->或（两根之外） 一元二次不等式：(1)(2)012x x x --<⇔<<（两根之内(间)） (1)(2)012x x x x -->⇔<>或（两根之外）第三章 图形的平移与旋转§1图形的平移1.定义:在平面内，将一个图形整体沿某方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移.性质：平移前后两个图形是全等图形，对应点连线平行且相等(或者在同一直线上)，对应线段平行且相等(或者在同一直线上)，对应角相等.2. 一个图形依次沿x 轴、y 轴方向平移后所得图形，可以看成是由原来的图形经过一次平移得到的.§2图形的旋转旋转定义：在平面内，将一个图形绕某一定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角叫做旋转角. 旋转中心,方向.旋转角是三要素.性质：旋转前后两个图形是全等图形，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的角等.图1图2今天就给大家分享一下在中考数学里分值越来越重的“图形旋转”，希望对大家有所帮助.中考旋转中常见的几种模型.旋转类型题目举例1.正三角类型在正△ABC中，P为△ABC内一点，将△ABP绕A点按逆时针方向旋转60°，使得AB与AC重合.经过这样旋转变化，将图(1)中的PA、PB、PC三条线段集中于图(2)中的一个△P＇CP中，此时△P＇AP也为正三角形.例1:如图设P是等边△ABC内的一点，PA=3,PB=4,PC=5,∠APB的度数是解：把△APC绕点A逆时针旋转60°，得到△A P＇B(或在△ABC的外侧，作∠BAP=∠CAP,)且A P＇=AP=3,连结P＇B则△BAP ≌CAP.易证△AP P＇为正三角形. △PB P＇为直角三角形∠APB=∠AP P＇+∠P＇PB=60°+90°=150°.2.正方形类型在正方形ABCD中，P为正方形ABCD内一点，将△ABP绕B点按顺时针方向旋转90°，使得BA与BC重合，经过旋转变化，将图(1)中的PA、PB、PC三条线段集中于图(2)中的△CPP中，此时△BP P＇为等腰直角三角形.例2:如图(1)，P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为PA=1,PB=2,PC=3,求正方形ABCD面积.解：把△BAP绕点B顺时针旋转90°，得到△B P＇C(或作△AED使∠DAE=∠BAP,AE=AP)连结EP,则△ADE≌△ABP.同样方法，作△DFC且有△DFC≌△BPC。
八年级数学北师大版上册三角形的外角
∴∠1 = ∠A +∠B ∴∠1 > ∠A , ∠1 >∠B
定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个 内角的和.
定理：三角形的一个外角大于任何一个和它不相 邻的内角.
图中的哪个角是三角形的外角
A
B
C
D
∠ BEC是（ ∠ BDC是（ ∠ BFC是（
三角形的外角
三角形外角❖ 的定义： 由三角形的一边与另一边的延长线
组成的角，叫做三角形的外角.
1 D
请在角之间的关系 探索外角与内角之间的关系
A 43
6 C
5
1 2B
探索外角与内角之间的关系
已知：如图，∠1是△ABC的一个外角 求证：∠1 = ∠A +∠B
）的一个外角， ）的一个外角，
）的一个外角，
A. △ABD B. △ACE C. △BCD D. △BCE
说出下列图形中∠1度数：
图（1）
图（2）
1.我学到了…… 2.数学研究问题的常用方法：
猜想
验证
证明
已知，如图∠A=50°、 ∠B=20°、 ∠C=30°。求∠BDC 度数。
7.5.2 三角形的外角 2024-2025学年八年级数学上册同步教学课件(北师大版)
B
在三角形每个顶点处都有两个外角.
A
CD E
思考
在下图中，∠1 与其他角有什么关系？能证明你的结论吗？
∠1+∠4=180° ∠1=∠2+∠3 ∠1 >∠2， ∠1 >∠3.
A
2
34 1
B
C
D
已知：如图，∠1 是△ABC 的一个外角. 求证： ∠1 =∠2 +∠3.
证明：∵∠4 +∠2 +∠3 = 180° (三角形内角和定理)，
A
2
34 1
B
C
D
证明：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 已知：如图，∠1 是△ABC 的一个外角. 求证： ∠1 >∠2，∠1 >∠3.
A
证明：∵ ∠1 =∠2+ ∠3.
2
(三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角和)， 3
1
∴ ∠1 >∠2， ∠1 >∠3.
B
C
D
归纳总结
定理 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
例3 如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD 是△ABC 的三个外角，它们的和是
多少？ 解：由三角形外角性质，得 ∠BAE =∠2 +∠3， ∠CBF =∠1 +∠3， ∠ACD =∠1 +∠2. 又∠1 +∠2 +∠3 = 180°，
B2 F
E
你还有其他
A
求法吗？
1
3 CD
∴∠BAE +∠CBF +∠ACD = 2(∠1 +∠2 +∠3) = 360°.
∠B =∠C (已知)， ∴ ∠DAC =∠C.
初中数学北师大版八年级上册《7.三角形的外角定理》课件
(1)若∠ABC＝40°，∠ACB＝80°，求∠P 的度数； 解：∵∠ACD＝180°－∠ACB＝100°，∠PCD＝12∠ACD， ∴∠PCD＝∠PBC＋∠P＝50°.而∠PBC＝12∠ABC＝20°， ∴∠P＝30°.
(2)若∠A＝60°，求∠P 的度数； 解：∵∠PCD＝12∠ABC＋∠P，2∠PCD＝∠ABC＋∠A， ∴2∠P＝∠A＝60°， ∴∠P＝30°.
【点拨】解答这类题时，一定要有正确的理论依据，不能单 凭直觉判断．此题学生容易忽略外角的性质中“不相邻”这 一条件，而错选 A. 【答案】C
11．【2018·宜昌】如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A ＝40°，△ABC 的外角∠CBD 的平分线 BE 交 AC 的延长 线于点 E.
∴∠CEB＝90°－65°＝25°. ∵DF∥BE， ∴∠F＝∠CEB＝25°.
12．如图，在△ABC 中，点 D 是∠ACB 与∠ABC 的平分线 的交点，BD 的延长线交 AC 于点 E.
(1)若∠A＝70°，求∠BDC 的度数；
解：∵∠A＝70°， ∴∠ABC＋∠ACB＝110°. ∵BD，CD 分别为∠ABC，∠ACB 的平分线，
7.5.3
三角形的外 角定理
数学北师大版 八年级上
1D 2A 3C 4A 5A
6B 7C 8C 9B 10 C
11 见习题 12 见习题 13 见习题 14 见习题
1．下列各图中，∠1 是△ABC 的外角的是(错误的是( A ) A．一个三角形只有三个外角 B．三角形的每个顶点处都有两个外角 C．三角形的每个外角是与它相邻内角的邻补角 D．一个三角形共有六个外角
7．【2018·眉山】若一副直角三角尺按如图所示的位置放置， 使含 30°角的三角尺的一条直角边和含 45°角的三角尺的 一条直角边放在同一条直线上，则∠α 的度数是( C ) A．45° B．60° C．75° D．85°
北师大版八年级下册 第一章 1.1 等边三角形的判定 课件(共26张PPT)
A
B
C
总 结
等边三角形的判定方法有：
从边的角度
定义：三条边都相等的三角形是 等边三角形. 定理：三个角都相等的三角形是 等边三角形. 定理：有一个角等于 60°的等腰 三角形是等边三角形.
从角的角度
从边和角的角度
1.已知△ABC 的三个外角都相等，且 AB=3cm，则
△ABC的周长为（ A.6cm B.8cm
知识点
2
含30°角的直角 三角形的性质
用两个含30°角的全等的三角尺，你能拼成一个
怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？由此你能
发现什么结论？说说你的理由.
结论：在直角三角形中，如果一个锐角
等于30°，那么它所对的直角边等于斜边
的一半．
知识点
2
含30°角的直角 三角形的性质
求证：在直角三角形中, 如果一个锐角等于30°, 那么它所对的直角边等于斜边的一半. A
（2）含30°角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它 所对的直角边等于斜边的一半． 2．经验与能力方面： 这节课你又获得了哪些能力？和同学们一起分享！
1. 必做：完成教材 P12-13 习题、《作业本》上相 应的练习； 2.选做：探索定理“在直角三角形中，如果一个 锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边 的一半．”的逆命题是否成立，如果成立，请
又∵ AC ＝AC， ∴△ABC≌△ADC ( SAS ).
A
30°
∴AB＝AD(全等三角形的对应
边相等）. ∴△ABD是等边三角形（有一
个角等于60°的等腰三角形
是等边三角形）. 1 1 ∴ BC＝ — BD＝ — AB. 2 2
B
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E
D
∠B＝∠C ( 1 ∴∠C＝ ∠EAC ( 2 ∵AD平分∠EAC ( 1 ∴ ∠DAC ＝ ∠EAC ( 2 ∴∠DAC＝∠C ( ∴AD∥BC (
)
)
练习: 1、如果三角形的一个外角与它不相邻的两个内角的和为 180°，那么这个外角等于（ 900 ） 2、 ∠1， ∠2， ∠3为ΔABC的外角，
一、学习目标
1． 掌握三角形内角和定理的两个推论及其证 明． 2．体会几何中不等关系的简单证明．
3．引导学生从内和外、相等和不等的不同角度
对三角形作更全面的思考．
二、温故知新
问题一：如图在ΔABC 中∠A、∠B、∠C是 ΔABC 的什么元素?它们之间有 什么关系？
问题二：下面的角中那些是外角？三角形的 外角有什么特征？
4
找一找
A 1A3BBCD
D
2
C
1
三、解读探究
探究一：
三角形的一个外角与其相邻内角之间有何关系？
A
∠ ACD+ ∠ ACB=180°
B
C
D
三角形的一个外角与它相邻内角的和是180°
探究二：
三角形的一个外角与和它不相邻的两 个内 角之间有何关系？
A
∠ ACD+ ∠ ACB=180° ∠ACD= ∠ A+ ∠ B
A
D
C
链接生活
2、五角星是我们生活中常见的图
形，如图 所示，你知道等于多少度么？（选做题）
2 B C 1 D
∠1= ∠B ∠2= ∠A
∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B 即∠ACD= ∠A+ ∠B
比一比，看谁做的最快
求各图中∠1的度数
100 o
1
60 o
55°
1
∠1＝100°－60°＝40°
60°
∠1＝55°＋60°＝115°
五、例题精解
例1：如图在ΔABC中，AD平分外角 ∠EAC，∠B=∠C. 求证:AD∥BC
三角形的外角：三角形的一边和它的另一边的 延长线组成的角。如：∠1、∠2、∠3其中， ∠4和∠3是三角形在顶点C的一对外角，他们是 对顶角，通常说三角形的外角时，每个顶点处 取一个外角。
A
1
外角特征（1）顶点在三角形的顶点上
（2）一边是三角形的一边。 （3）另一边是三角形一边的 延长线。
3
B 2
C
B
C
D
探究二：
三角形的一个外角与任何一个与它 不相邻的内角之间又有什么关系呢？
A
∠ACD> ∠ A ∠ACD> ∠ B
B
C
D
三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角。
思考：还有其他方法说明 ∠ACD= ∠B+ ∠ A 吗？ A
方法2
B
C
D
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
A
E
解：过C作CE平行于AB
（2） ∠BFC与∠A、∠A BF、∠ACF，
有什么关系？
F
C
B B
试一试
如图，求证（1） ∠BDC>∠A
（2） ∠ BDC=∠B+∠C +∠A
如果点D在线段BC上或另一侧,结论 会怎样? C
D
A
学以致用
1、一个零件的形状如图所示，按规定∠A＝
1000，AB与CD，AF与DE的夹角应分别是200 和350，检验工人量得∠CDE=1500，，就断定 这个零件不合格，这是为什么？
若∠1：∠2：∠3＝2：3：4，则
∠ABC等于（ 600 ）
B
A 1 3
3、求下列图中各标出角的度数。
C 2
∠1=450+350=800
∠2=∠1+320=1120
32°
1 2
45°
35°
3、如图，在中ΔABC ，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB， A ∠A=65 o ，（1）求∠BFC的大小。
A
B C D F
E
感悟与收获
三角形内角和外角的性质
1、三角形的内角和180°
2、三角形的一个外角的性质 (1)三角形的一个外角与它相邻内角的是邻补角。 (2)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的 和。 (3)三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的 内角。
作业：必做题 1、如图D是ΔABC中AC边上一点，∠C=∠DBC， 若∠BDA=80°，∠ABC=70°，求∠A；∠C度数。 B