绝对值不等式的证明
选修4-5 第一节 绝对值不等式
返回
[基本能力]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)不等式|x|＜a 的解集为{x|－a＜x＜a}．
()
(2)|x－a|＋|x－b|的几何意义是表示数轴上的点 x 到点 a，b 的
距离之和．
()
(3)不等式|2x－3|≤5 的解集为{x|－1≤x≤4}．
()
答案：(1)× (2)√ (3)√
或x2＞x＋1，1－2x－1＞0.
解得 x＞14，所以原不等式的解集为x|x＞14.
返回
(2)|x＋3|－|2x－1|＜x2＋1. [解] ①当 x＜－3 时， 原不等式化为－(x＋3)－(1－2x)＜x2＋1， 解得 x＜10，∴x＜－3. ②当－3≤x≤12时，原不等式化为(x＋3)－(1－2x)＜x2＋1， 解得 x＜－25，∴－3≤x＜－25. ③当 x＞12时，原不等式化为(x＋3)－(2x－1)＜x2＋1， 解得 x＞2，∴x＞2. 综上可知，原不等式的解集为x|x＜－25或x＞2.
返回
2．(2018·全国卷Ⅰ)已知 f(x)＝|x＋1|－|ax－1|. (1)当 a＝1 时，求不等式 f(x)＞1 的解集； 解：当 a＝1 时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|， 即 f(x)＝－ 2x，2，－x≤1＜－x＜1，1， 2，x≥1. 故不等式 f(x)＞1 的解集为xx＞12 .
返回
(2)若存在实数 x，y，使 f(x)＋g(y)≤0，求实数 a 的取值范围． 解：∵g(x)＝(x－1)2＋x－4 12－5≥ 2 x－12·x－4 12－5＝－1，显然可取等号， ∴g(x)min＝－1. 于是，若存在实数 x，y，使 f(x)＋g(y)≤0，只需 f(x)min≤1. 又 f(x)＝|x＋1－2a|＋|x－a2|≥|(x＋1－2a)－(x－a2)|＝(a－1)2， ∴(a－1)2≤1，∴－1≤a－1≤1，∴0≤a≤2， 即实数 a 的取值范围为[0,2]．
高中数学绝对值不等式
绝对值不等式
第一课时 第二课时
1. 两个数的和或差的绝对值, 与两个 数的绝对值的和或差的大小关系如何?
2. 两个数的和或差的大小关系的几何 表示是怎的?
1. 绝对值三角不等式
问题1. 将实数 a, b 用数轴上的点表示, 你能说
出 |a|, |b|, |a+b|, |a-b|, |a|+|b|, |a|-|b| 的几何意义吗?
∴|a+b|+|a-b|≥2|a|.
(2) ∵|2b|+|a-b|≥|2b+(a-b)| = |a+b|,
∴|a+b|-|a-b|≤|2b| =2|b|.
1. 求证: (1) |a+b|+|a-b|≥2|a|; (2) |a+b|-|a-b|≤2|b|.
证明: (1) ∵|a+b|+|a-b|≥|(a+b)+(a-b)| = |2a| = 2|a|,
|a+b|=|a|+|b|.
|a| a
b
|a+b| |b|
1. 绝对值三角不等式 定理 1 如果 a, b 是实数, 则
a
a
+
b
b
|a+b|≤|a|+|b|, 当且仅当 ab≥0 时, 等号成立.
证明: |a + b| = (a + b)2
|a|
|b|
ab
= a2 + 2ab+ b2 , ①
|
=
2,
|
x
+
1 x
|
2.
2. 用两种或两种以上方法证明
最新人教版高中数学选修4-5《绝对值不等式》教材梳理
庖丁巧解牛知识·巧学一、绝对值三角不等式1.定理1 如果a,b是实数，则|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立.定理1的等号成立的情况具体来说，当a=0或b=0时，或a>0、b>0时，或a<0，b<0时，等号都是成立的，即有|a+b|=|a|+|b|.除此之外，就是|a+b|<|a|+|b|了.如果把定理1中的实数a，b分别替换为向量a，b，则定理1的形式仍旧成立.即有|a+b|≤|a|+|b|成立，当且仅当向量a,b不共线时，有|a+b|<|a|+|b|成立.联想发散根据定理1，我们可以得到许多正确的结论.其中比较常用的结论有：（1）如果a，b是实数，那么|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.（2）|a1+a2+a3+…+a n|≤|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|(n∈N*).2.绝对值三角不等式所谓绝对值三角不等式就是指把定理1中的实数a,b分别替换为向量a,b，且向量a,b不共线时，所成立的不等式|a+b|<|a|+|b|.绝对值三角不等式即向量不等式|a+b|<|a|+|b|的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边(如下图所示).记忆要诀由于绝对值三角不等式其形式与定理1是完全类似的，所以只要记住定理1，那么这个绝对值三角不等式也就记住了.3.定理2 如果a,b,c是实数，那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立.对于定理2，同学们不但要记住它的形式，还应注意它的特点，尤其要注意它的不等号左边没有字母b，只有右边才有.学法一得要注意|a-c|可以变形为|(a-b)+(b-c)|，熟悉这种变形，那么在具体解题时就可以通过变形来巧妙地利用定理2了.二、绝对值不等式的解法要熟记简单绝对值不等式的解法，它是解较复杂的绝对值不等式的基础，即要记住：一般地，如果a>0，则有：|x|<a⇔-a<x<a，因此，不等式|x|<a的解集是(-a,a)；|x|>a⇔x<-a或x>a，因此，不等式|x|>a的解集是(-∞,-a)∪(a,+∞).1.|ax+b|≤c和|ax+b|≥c型不等式的解法.求解这类绝对值不等式，只要将ax+b看成一个整体，然后套用|x|<a或|x|>a的不等式的解法即可.2.|x-a|+|x-b|≤c和|x-a|+|x-b|≥c型不等式的解法.求解这类绝对值不等式，主要的方法有如下三种：（1）利用绝对值的几何意义；（2）分区间讨论法；（3）构造函数利用函数的图象求解.求解这类绝对值不等式时，可根据题目的不同而适时选用不同的方法求解.误区警示解绝对值不等式切勿盲目地套用某一类解法，一定要注意不等式的形式，要针对不同的形式对号入座采取相应的方法来求解.典题·热题知识点一： 与定理1、2相关的绝对值不等式的判断与证明例1 若|x-a|<m,|y-a|<n ，则下列不等式一定成立的是（ ）A.|x-y|<2mB.|x-y|<2nC.|x-y|<n-mD.|x-y|<n+m思路分析：注意观察比较|x-y|与|x-a|，|y-a|之间的关系，不难发现通过适当变形就可运用定理1及已知条件来巧妙求解此题了,具体解题过程为：|x-y|=|x-a-(y-a)|≤|x -a|+|y-a|<m+n,故选D.答案：D巧解提示对某些式子进行适当的变形，以便创造条件利用某些定理、公式来解题，这是一种常用的技巧，如此题求解过程中的|x-y|=|x-a-(y-a)|就是变形，而变形的基础是必须要熟悉公式. 例2 已知a 、b 、c 、d 都是实数，且a 2+b 2=m 2，c 2+d 2=n 2（m>0,n>0)，求证：|ac+bd|≤222n m +. 思路分析：证明此题时，可将ac 、bd 分别看成整体，那么就可以套用定理1来证明了. 证明：∵a 、b 、c 、d ∈R ,∴|a c+bd|≤|ac|+|bd|≤222222d b c a +++ =222222222r R d c b a +=+++, ∴|ac+bd|≤222R r +. 误区警示如果利用ab≤222b a +来证明此题，就容易出现似是而非的证法，而利用较严格的公式|ab|≤222b a +来证明就不易出错了.因此同学们要注意公式的适时选用. 知识点二： 绝对值不等式的解法例3 解关于x 的不等式|2x-1|<2m-1(m ∈R ).思路分析：要注意对2m-1的正负情况进行讨论.解：若2m-1≤0，即m≤21，则|2x-1|<2m-1恒不成立，此时，原不等式无解；若2m-1>0，即m>21，则-(2m-1)<2x-1<2m-1，所以1-m<x<m. 由上可得：当m≤21时，原不等式的解集为∅， 当m>21时，原不等式的解集为：{x|1-m<x<m}. 方法归纳对于不等号右侧是含有参数的式子的这类绝对值不等式，在求解时一定要通过对参数式子的正、负、零三种情况的讨论来求解.例4 解不等式3≤|x -2|<4.思路分析：此题的不等式属于绝对值的连不等式，求解时可将其化为绝对值的不等式组再求解.解：原不等式等价于⎩⎨⎧<-≥-)2.(4|2|)1(,3|2|x x 由（1）得x-2≤-3或x-2≥3，∴x≤-1，或x≥5.由（2）得-4<x-2<4，∴-2<x<6.如上图所示，原不等式的解集为{x|-2<x≤-1或5≤x<6}.误区警示有些同学求解这类问题时，为了图省事，往往不爱通过画图来寻找解集，总爱耍点小聪明，这是造成求解出错的主要原因.例5 解不等式|x+7|-|x-2|≤3.思路分析：解含有绝对值的不等式，总的思路是同解变形为不含绝对值的不等式，但要根据求解不等式的结构，选用恰当的方法.此题中有两个绝对值符号，故可用绝对值的几何意义来求解，或用分区间讨论法求解，还可构造函数利用函数图象求解.图1解：［方法一］ |x+7|-|x-2|可以看成数轴上的动点(坐标为x)到-7对应的点的距离与到2对应的点的距离的差，先找到这个差等于3的点，即x=-1（如图1所示）.从图易知不等式|x+7|-|x-2|≤3的解为x≤-1，即x ∈(-∞,-1］.［方法二］ 令x+7=0，x-2=0得x=-7，x=2.①当x<-7时，不等式变为-x-7+x-2≤3，∴-9≤3成立,∴x<-7.图2②当-7≤x≤2时，不等式变为x+7+x-2≤3，即2x≤-2，∴x≤-1，③当x>2时，不等式变为x+7-x+2≤3，即9≤3不成立，∴x ∈∅.∴原不等式的解集为(-∞,-1］.［方法三］ 将原不等式转化为|x+7|-|x-2|-3≤0，构造函数y=|x+7|-|x-2|-3，即y=⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-+-<-.2,6;27,22;7,12x x x x .作出函数的图象（如图2），从图可知，当x≤-1时，有y≤0，即|x+7|-|x-2|-3≤0，所以，原不等式的解集为(-∞,-1］.巧妙变式针对此题，我们可以进行各种不同的题目变式.如：可以将两个绝对值里面的运算符号改变、可以将两个绝对值之间的运算符号改变、可以将“≤”改变为“≥”，还可以将不等号右边的数改成字母等等.变式后题目的求解还是用上述的几种解法.问题·探究误区陷阱探究问题1 对此题“写出不等式|2x-1|<3的解集并化简”，某同学的错解如下：不等式|2x-1|<3的解集是{x||2x-1|<3}={x|2x-1<3}∪{x|2x-1>-3}={x|x<2}∪{x|x>-1}={x|-1<x<2}.探究过程:这位同学解得的结果是正确的，但解法不对.解法中有两处错误，但却歪打正着得出了正确的结果.首先是把绝对值不等式的解法搞错了.这位同学写的求解过程中的两个集合{x|2x-1<3}与{x|2x-1>-3}的中间不应当用并的符号“∪”，而应改为“∩”.这两个集合是应该取交集的.另外，按照这位同学错写的两集合“并”来运算时又解错了.{x|x<2}∪{x|x>-1}的结果应为{x|-∞<x<+∞}，而不是{x|-1<x<2}.探究结论:如果按照这位同学的思路求解，可以修改为：不等式|2x-1|<3的解集是： {x||2x-1|<3}={x|2x-1<3}∩{x|2x -1>-3}={x|x<2}∩{x|x>-1}={x|-1<x<2}.不过，更简单的解法应是：不等式|2x-1|<3的解集是：{x||2x-1|<3}={x|-3<2x-1<3}={x|-1<x<2}.思维发散探究问题2 已知a 、b 、c 是实数，函数f(x)=ax 2+bx+c ，g(x)=ax+b ，当-1≤x≤1时，|f(x)|≤1，试探究当x ∈［-1,1］时，|g(x)|≤2.探究过程:这是一个通过关联二次函数、一次函数考查不等式的变换能力的问题，因此在证明中要注意合理应用绝对值不等式的性质定理，由于g(x)是一次函数，可将|g(x)|≤2转化为g(-1)与g(1)与2的关系加以证明，也可挖掘g(x)与f(x)的隐含关系，构造函数模型，寻求整体突破.探究结论:［方法一］ 当a>0时g(x)=ax+b 在［-1,1］上是增函数，∴g(-1)≤g(x)≤g(1)，∵|f(x)|≤1(-1≤x≤1)，∴|c|=|f(0)|≤1，∴g(1)=a+b=f(1)-c≤|f(1)|+|c|≤2，g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≥-(|f(-1)|+|c|)≥-2，当a<0时，g(x)=ax+b 在［-1,1］上是减函数， ∴g(1)≤g(x)≤g(-1)，∵|f(x)|≤1(-1≤x≤1)，∴|c|=|f(0)|≤1，∴g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≤|f(-1)|+|c|≤2，g(1)=a+b=f(1)-c≥-(|f(-1)|+|c|)≥-2，∴|g(x)|≤2.当a=0时，g(x)=b ，f(x)=bx+c ，∵-1≤x≤1，∴|g(x)|=|f(1)-c|≤|f(1)|+|c|≤2.综上所述,当x ∈［-1,1］时，|g(x)|≤2.［方法二］ ∵x=4)1()1(22--+x x ， ∴g(x)=ax+b=a ［(21+x )2-(21-x )2］+b(21+x -21-x ) =a ［(21+x )2+b(21+x )+c ］-［a(21-x )2+b(21-x )+c ］ =f(21+x )-f(21-x ). 当-1≤x≤1时，有0≤21+x ≤1，-1≤21-x ≤0， ∴|g(x)|=|f(21+x )-f(21-x )|≤|f(21+x )|+|f(21-x )|≤2，∴|g(x)|≤2.。
绝对值基本不等式公式
绝对值基本不等式公式绝对值基本不等式公式在数学中那可是相当重要的家伙！咱们先来说说这公式到底是啥。
绝对值基本不等式公式通常表述为：对于任意实数 a 和 b ，有 |a +b| ≤ |a| + |b| ，等号成立的条件是ab ≥ 0 ；还有 |a - b| ≤ |a| + |b| ，等号成立的条件是ab ≤ 0 。
就拿咱们日常生活中的事儿来说吧。
比如说，有一天我去菜市场买菜，我想买一斤苹果和一斤香蕉。
苹果的价格是每斤 5 块钱，香蕉是每斤 3 块钱。
假设我身上带的钱是 M 元。
如果我只买苹果，那我最多能买 M/5 斤；如果只买香蕉，最多能买 M/3 斤。
但是，如果我既要买苹果又要买香蕉，那我能买到的总量是不是就受到了限制？这就有点像绝对值基本不等式公式里的关系。
再深入点说，绝对值基本不等式公式的应用那可太广泛啦。
在求解一些最值问题的时候，它就像一把神奇的钥匙。
比如说，给你一个函数 f(x) = |x + 2| + |x - 1| ，让你求它的最小值。
这时候，绝对值基本不等式公式就能派上用场啦。
我们知道 |x + 2| + |x - 1| ≥ |(x + 2) - (x - 1)| = 3 ，所以这个函数的最小值就是 3 。
还有啊，在证明一些不等式的时候，它也是个得力助手。
比如说要证明|a + b + c| ≤ |a| + |b| + |c| ，咱们就可以利用前面提到的两个基本的绝对值不等式一步步推导出来。
在实际解题中，很多同学一开始可能会觉得这公式有点绕，搞不清楚啥时候取等号，啥时候取不到等号。
这就需要多做几道题，多琢磨琢磨。
就像我刚开始学做菜的时候，总是掌握不好盐的用量，不是放多了咸得没法吃，就是放少了没味道。
但多做几次，慢慢就有手感啦，知道啥时候该多放，啥时候该少放。
总之，绝对值基本不等式公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们用心去理解，多练习，它就能成为我们解决数学问题的有力武器。
就像一把宝剑，刚开始可能觉得它沉重不好驾驭，但熟练之后就能在数学的江湖里披荆斩棘啦！所以同学们，别害怕，加油掌握这个公式，让我们在数学的世界里畅游无阻！。
含绝对值的不等式课件
在物理中的应用
描述物理量的大小
在物理学中，许多物理量的大小受到绝对值的影响，例如速度、加速度、力等。通过绝 对值不等式，可以描述这些物理量的变化范对值不等式常被用于判断物理量的符号和大小，例如在解决力学 、电磁学和热力学问题时。
预测物理现象
通过建立绝对值不等式，可以预测某些物理现象的发生，例如在研究波动现象、流体动 力学和量子力学时。
绝对值不等式的定义
含绝对值符号的不等式，表示一个数 距离0的大小关系。
绝对值的定义
对于任意实数x，其绝对值表示为|x|， 若x≥0，则|x|=x；若x<0，则|x|=-x 。
绝对值不等式的解法
零点分段法
将数轴分为若干区间，分别去掉绝对值符号 ，转化为若干个不带绝对值符号的一元一次 不等式组进行求解。
$
f(x)| geq g(x)$：表示函数$f(x)$的绝对值大于或等于函 数$g(x)$，其中$f(x)$和$g(x)$是两个函数。
01
$
f(x)| < g(x)$：表示函数$f(x)$的绝对值 小于函数$g(x)$，其中$f(x)$和$g(x)$ 是两个函数。
02
03
$
f(x)| leq g(x)$：表示函数$f(x)$的绝 对值小于或等于函数$g(x)$，其中 $f(x)$和$g(x)$是两个函数。
05
含绝对值不等式的变种与 推广
变种形式的不等式
$
01
x| geq a$：表示$x$的绝对值大于或等于$a$，其中$a$是一个
常数。
$
02
x| < a$：表示$x$的绝对值小于$a$，其中$a$是一个常数。
$
03
x| leq a$：表示$x$的绝对值小于或等于$a$，其中$a$是一个
含绝对值的不等式 公开课精品课件
，
作出函数 y＝|2x＋1|－|x－4|的图象，如图所示，
它与直线
5 y＝ 2 的交点为(－ 7,2)和 ， 2. 3
所以 |2x＋ 1|－ |x－ 4|>2 的解集为(－∞，
5 － 7)∪ ，＋∞ . 3
(2)由函数 y＝ |2x＋ 1|－ |x－ 4|的图象可知， 1 9 当 x＝－ 时， y＝ |2x＋ 1|－ |x－ 4|取得最小值－ . 2 2
x＋1 3．(2009· 全国Ⅰ)不等式 x－1<1
的解集为( D ) B．{x|0<x<1} D．{x|x<0}
A．{x|0<x<1}∪{x|x>1} C．{x|－1<x<0}
解析
x＋1 2 2 ∵ <1 ， ∴ | x ＋ 1|<| x － 1| ， ∴ x ＋ 2 x ＋ 1< x x－1
(3)方法一
分别求|x－1|，|x＋2|的零点，即 1，－2.
由－2,1 把数轴分成三部分：x<－2，－2≤x≤1，x>1. 当 x<－2 时原不等式即 1－x－2－x<5， 解得－3<x<－2； 当－2≤x≤1 时，原不等式即 1－x＋2＋x<5， 因为 3<5 恒成立，则－2≤x≤1； 当 x>1 时，原不等式即 x－1＋2＋x<5， 解得 1<x<2. 综上，原不等式的解集为{x|－3<x<2}．
§6.5 含绝对值的不等式 基础知识
要点梳理
1．两数和与差的绝对值不等式的性质 定理：|a|－|b|≤|a± b|≤|a|＋|b| 推论：|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|. 2．含绝对值不等式的解法 化去绝对值符号， 转化为不含绝对值的不等式． 解 法如下：
绝对值不等式
其图象如图所示，由图象可知，当且仅当 x∈ (0，2)时，y<0， 所以原不等式的解集是 {x|0<x<2}．
栏目 导引
选修45 不等式选讲
a 1 (2)当 x∈ [－ ， )时， f(x)＝ 1＋a， 2 2 不等式 f(x)≤g(x)化为 1＋ a≤x＋3， a 1 a 所以 x≥a－ 2 对 x∈[－ ， )都成立，故－ ≥a－ 2， 2 2 2 4 即 a≤ . 3 4 从而 a 的取值范围是 (－ 1， ]． 3
栏目 导引
选修45 不等式选讲
1． (2013· 高考重庆卷)若关于实数 x 的不等式|x－ 5|＋ |x＋3|<a
(－∞，8] ． 无解，则实数 a 的取值范围是____________
【解析】∵|x－5|＋|x＋3| ＝|5－x|＋|x＋3|≥|5－x＋x＋3|＝8， ∴(|x－5|＋|x＋3|)min＝8， 要使|x－5|＋|x＋3|<a 无解，只需 a≤8.
栏目 导引
选修45 不等式选讲
(1)对绝对值三角不等式定理 |a|－ |b|≤|a± b|≤|a|＋ |b|中等号成 立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时，如 求 y＝ |x－ a|＋ |x－b|或 y＝ |x＋a|－ |x－ b|型的最值问题， 利用 绝对值三角不等式更简捷、方便． (2)该定理可以强化为： ||a|－ |b||≤|a± b|≤|a |＋ |b|，它经常用于 证明含绝对值的不等式．
栏目 导引
选修45 不等式选讲
(2)f(x)≤|x－4|⇔|x－4|－ |x－ 2|≥|x＋a|. 当 x∈ [1， 2]时，|x－ 4|－|x－2|≥|x＋a| ⇔4－ x－ (2－x)≥|x＋ a| ⇔－2－a≤x≤2－a. 由条件得－2－a≤1 且 2－a≥2，即－ 3≤a≤0. 故满足条件的 a 的取值范围为[－3， 0]．
绝对值不等式
，n＝
，则 m，n 之间的大
|a－b|
|a＋b|
小关系是( ) A．m>n C．m＝n
B．m<n D．m≤n
第7页
高考调研 ·北师大 ·数学选修4-5
【解析】
Hale Waihona Puke |a|－|b| |a－b|
(2)∵|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，∴m＝
≤ ＝1，
|a－b| |a－b|
|a|＋|b| |a|＋|b| n＝ |a＋b| ≥|a|＋|b|＝1.∴m≤1≤n. 【答案】 (2)D
第13页
高考调研 ·北师大 ·数学选修4-5
探究 3 两类含绝对值不等式的证明技巧 一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉 绝对值转化为常见的不等式证明，或利用||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|， 通过适当的添、拆项证明． 另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考 虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二 次方程的根的分布等方法来证明．
1.对定理的两点说明 (1)由于定理与三角形边之间的联系，故称此不等式为绝对值 三角不等式． (2)定理 1 可推广到 n 个实数情况即： |a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|.
第4页
高考调研 ·北师大 ·数学选修4-5
题型一 绝对值三角不等式定理的应用 例 1 (1)“|x－a|<m 且|y－a|<m”是“|x－y|<2m”(x，y，a， m∈R)的________条件． (2)以下四个命题： ①若 a，b∈R，则|a＋b|－2|a|≤|a－b|； ②若|a－b|<1，则|a|<|b|＋1；
高考调研 ·北师大 ·数学选修4-5
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
绝对值不等式的证明
知识与技能：
1. 理解绝对值的三角不等式，
2．应用绝对值的三角不等式．
过程方法与能力：
培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；提高分析问题、解决问题的能力.
情感态度与价值观：
让学生通过对具体事例的观察、归纳中找出规律，得出结论，培养学生解决应用问题的能力
和严谨的学习态度。
教学重点：理解绝对值的三角不等式
应用绝对值的三角不等式．
教学难点：应用绝对值的三角不等式．
教学过程：
一、引入：
证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还
要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：
（1）baba （2）baba
（3）baba （4）)0(bbaba
请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？
实际上，性质baba和)0(bbaba可以从正负数和零的乘法、除法法则直
接推出；而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此，只要能够证明
baba
对于任意实数都成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。
现在请同学们讨论一个问题：设a为实数，a和a哪个大？
显然aa，当且仅当0a时等号成立（即在0a时，等号成立。在0a时，等号不成
立）。同样，.aa当且仅当0a时，等号成立。
含有绝对值的不等式的证明中，常常利用aa、aa及绝对值的和的性质。
定理（绝对值三角形不等式）
如果,ab是实数，则ababab≤≤
注：当ab、为复数或向量时结论也成立.
特别注意等号成立的条件.
定理推广：
1212≤nn
aaaaaaLL
.
当且仅当都12naaaL，，，非正或都非负时取等号.
探究：利用不等式的图形解不等式
1. 111xx;
2．.12yx
3．利用绝对值的几何意义，解决问题：要使不等式34xx
二、典型例题：
例1、证明 （1）baba， （2）baba。
证明（1）如果,0ba那么.baba所以.bababa
如果,0ba那么).(baba
所以babababa)()(
（2）根据（1）的结果，有bbabba，就是，abba。所以，
baba
。
例2、证明 bababa。
例3、证明 cbcaba。
思考：如何利用数轴给出例3的几何解释？
（设A，B，C为数轴上的3个点，分别表示数a，b，c，则线段.CBACAB当且仅当
C在A，B之间时，等号成立。这就是上面的例3。
特别的，取c＝0（即C为原点），就得到例2的后半部分。）
探究：试利用绝对值的几何意义，给出不等式baba的几何解释？
含有绝对值的不等式常常相加减，得到较为复杂的不等式，这就需要利用例1，例2和例3
的结果来证明。
例4、已知 2,2cbycax，求证 .)()(cbayx
证明 )()()()(byaxbayx byax（1）
2,2
cbyc
ax
，
∴cccbyax22 （2）
由（1），（2）得：cbayx)()(
例5、已知.6,4ayax 求证：ayx32。
证明 6,4ayax，∴23,22ayax，
由例1及上式，aaayxyx223232。
注意： 在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法，只能用于不
等号方向相同的不等式。
三、小结：
借助图形的直观性来研究不等式的问题，是学习不等式的一个重要方法，特别是利用绝对值
和绝对值不等式的几何意义来解不等式或者证明不等式，往往能使问题变得直观明了，帮助
我们迅速而准确地寻找到问题的答案。关键是在遇到相关问题时，能否准确地把握不等式的
图形，从而有效地解决问题。
四、练习：
1、已知.2,2cbBcaA求证：cbaBA)()(。
2、已知.6,4cbycax求证：cbayx3232。
五、作业：
1．求证 .111bbaababa
2．已知 .1,1ba求证：.11abba
3．若,为任意实数，c为正数，求证：.)11()1(222cc
（2222，而2112222cccc）
5.已知函数2()fxaxbxc,当01x≤≤时,()fx≤1
求证:abc≤17
作业：导学大课堂练习
课后反思：绝对值不等式的证明
4. abc、、均为实数,,,abbcac,
求证:222322abcbcacababbcca≤.