“勾股定理的应用”教学设计(一)

“勾股定理的应用”教学设计（一）
一、教法与学法分析：
教法分析：针对八年级学生的知识结构和心理特征，本节课可选择引导探索法，由浅入深，由特殊到一般地提出问题。

引导学生自主探索，合作交流，这种教学理念反映了时代精神，有利于提高学生的思维能力，能有效地激发学生的思维积极性。

基本教学流程是：提出问题→实验操作→归纳验证→问题解决→课堂小结→布置作业六部分。

学法分析：在教师的组织引导下，采用自主探索、合作交流的研讨式学习方式，让学生思考问题，获取知识，掌握方法，借此培养学生动手、动脑、动口的能力，使学生真正成为学习的主体。

二、教学目标：
1．知识与方法目标：通过对一些典型题目的思考、练习，能正确、熟练地进行勾股定理的有关计算，深入对勾股定理的理解。

2．过程与方法目标：通过对一些题目的探讨，以达到掌握知识的目的。

3．情感与态度目标：感受数学在生活中的应用，感受数学定理的美。

三、教学重点：勾股定理的应用。

四、教学难点：勾股定理的灵活应用。

五、教学过程：
课前复习，导入新课
师：勾股定理的内容是什么？
生：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

师：这个定理为什么是两直角边的平方和呢？
生：斜边是最长边，肯定是两个直角边的平方和等于斜边的平方，否则不正确的。

师：是这样的。

在RtΔABC中，如果∠C＝90°，则有AC2+BC2＝AB2，勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系。

今天我们来看看这个定理的应用。

新课过程
分析：
师：上面的探究，先请大家思考如何做？
（留几分钟的时间给学生思考）
师：看到这个题目，让我们想起古代一个笑话，说有一个人拿一根杆子进城，横着拿，不能进，竖着拿，也不能进，干脆将其折断，才解决了问题，相信同学们不会这样做。

（我略带夸张的比划、语气，学生笑声一片，有知道这个故事的，抢在我的前面说，学生欣欣然，我观察课堂气氛比较轻松，这也正是我所希望氛围，在这样的情况下，学生更容易掌握知识）
师：这里木板横着不能进，竖着不能进，只能试试将木板斜着进去。

师：应该比较什么？
李诚：这是一块薄木板，比较AC 的长度，是否大于2.2就可以了。

师：李诚说的是正确的。

请大家算出来，可以使用计算器。

解：在RtΔA BC 中，由题意有：
AC ＝22BC AB +＝2221+≈2.236
∵AC 大于木板的宽
∴薄木板能从门框通过。

学生练习：
1．在Rt △ABC 中，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ， ∠B=900。

①已知5=a ，12=b ，求c ；
②已知20=a ，29=c ，求b 。

（请大家画出图来，注意不要简单机械的套2
22c b a =+，要根据本质来看问题）
2．如果一个直角三角形的两条边长分别是6cm 和8cm 厘米，那么这个三角形的周长是多少厘米？
师：对这个问题你有什么想法？
生：分情况进行讨论。

师：具体说说分几种情况讨论？
生：①6cm 和8cm 分别是直角边；②8cm 是斜边，6cm 是直角边。

师：呵呵，你们漏了一种情况，还有6cm 是斜边，8cm 是直角边的这种情况。

众生（顿感机会难得，能有一次战胜老师的机会哪能放过）：啊！斜边应该大于直角边的！这种情况是不可能的。

师：你们是对的，请把这题计算出来。

（学生情绪高涨，为自己的胜利而高兴）
（这样处理对有的学生来说，印象深刻，让每一个地方都明白无误）
解：①当6cm 和8cm 分别为两直角边时：
斜边＝2286+＝10
∴周长为：6+8+10＝24cm
②当6cm 为一直角边，8cm 是斜边时：
另一直角边＝2268-＝72
周长为：6+8+72＝14+72。

师：如图，看上面的探究2。

分析：
师：请大家思考，该如何去做？
陈旭：运用勾股定理，已知AB 、BO ，算出AO 的长度，又因为A 点下滑了0.4米，再算出OC 的长度，再利用勾股定理算出OD 的长度即可，最后算出BD 的长度就能知道答案了。

师：这个思路是非常正确的。

请大家写出过程。

有生言：是0.4米。

师：猜是0.4米，就是想当然了，算出来看看，是不是与你的猜测一样。

（艾磊同学在黑板上来做）
解：由题意有：∠O ＝90°，在RtΔABO 中
∴AO ＝22OB AB -＝227.05.2-＝2.4（米）
∵下滑了0.4米
∴OC ＝24－0.4=2.0米
在RtΔODC 中
∴OD ＝22OC CD -=2225.2-=1.5（米）
∴OD －OB ＝1.5－0.7＝0.8
∴外移BD ＝0.8米
答：梯足将外移0.8米。

师：这与有的同学猜测的答案一样吗？
生：不一样。

师：做题应该是老老实实，不应该想当然。

例3 再来看一道古代名题：
这是一道成书于公元前一世纪，距今约两千多年前的，《九章算术》中记录的一道古代趣题：
原题：“今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺。

引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”
师：谁来给大家说一说：“葭”如何读？并请解释是什么意思？
黄尚剑：葭（jiā），是芦苇的意思。

师：这是正确的。

师：谁来翻译？
李涛：现在有一个正方形的池子，一株芦苇长在水中央，露出水面的部分为一尺，拉芦苇到岸边，刚好与搭在岸上……
师：听了李涛的翻译，我觉得“适与岸齐”翻译得不达意，应该理解为芦苇与水面与岸的交接线的中点上。

众生：老师，我也认为是刚好到岸边，“齐”就是这个意思的。

师：这是字表面的意思，古人的精炼给我们今天的理解带来了困难，如果照同学们的翻译，这题就无解了，这样的理解应该是芦苇与水面同岸的交接线的中点上，而且还要求不左偏右倒。

（与学生进行争论，能够让师生双方对这个问题都有更深刻的印象，我是欢迎学生们发表自己的见解）
师：正方形的池子，如何理解？
生：指长、宽、高都相等。

师：呵呵！照你们的看法，应该说成是正方体，而不应该是正方形了？再想想，池子的下方是什么形？
生：照这样说来，下面是其它形状也可以啊！
师：我也这样认为，再来具体的说说正方形池子指什么？
生：仅指池口是正方形。

师：是这样的。

（用粉笔盒口演示给学生看）
有生：一丈10尺是指什么？
师：我也正想问这个问题呢，谁能来解答？
生：指AD的长度。

师：能指BC的长度吗？
生：不能，刚说的其下方是不能确定的。

我们整理翻译一下：
“现在有一个贮满水的正方形池子，池子的中央长着一株芦苇，水池的边长为10尺，芦苇露出水面1尺。

若将芦苇拉到岸边，刚好能达到水池岸与水面的交接线的中点上。

请求出水深与芦苇的长各有多少尺？
师：请大家思考如何进行计算？
（留几分钟的时间给学生思考）
师：刚才有一部分同学已经做出来了，但还有约一半的同学还未能做出来。

师：没做出来的同学，请思考你是不是遇到了EF 与FD 两个未知数啊，一是想想10尺有什么用；二是如何把两个未知数变成一个未知数，当然也可以多列一个方程。

（再等一等学生，留时间让他们做出来，这里等一等所花费的时间，对中等与中等偏下的同学是极为有利的，这点时间的付出会得到超值回报的）
解：由题意有：DE ＝5尺，DF ＝FE+1。

设EF ＝x 尺，则DF ＝()1+x 尺
由勾股定理有：()2
2215+=+x x 解之得：12=x
答：水深12尺，芦苇长13尺。

生：这题的关键是理解题意。

师：看来还很会点评嘛，属于当领导的哦!（开个善意的玩笑，教室中一片温馨的笑声）。

审题，弄清题意也是我们做题的首要的关键的一环，用同学们的总结来说，以后遇到难题不要怕，要敢于深入进去，弄清情景。

例4 如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高16米，另一棵树高11米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞多少米？
12米1
12米1
师：请思考如何做？应该怎么理解？
生：走直线就短，用勾股定理就可以了，还要作辅助线。

师：是啊，要连哪些线？
生：连结两树顶得AB ，过B 作高树的垂线就可以了。

师：请解出来。

解：由题意有：BC ＝12米，AC ＝16－11＝5米。

在RtΔABC 中，由勾股定理得：
AB ＝22AC BC +＝22512+＝13
答：小鸟至少要飞13米。

师：这题的计算也不难，关键也是理解题意。

作业：
六、教学设计原理与课后反思：
1．本节课根据学生的知识结构，我采用启发式（师生互动）教学，这一流程体现了知识发生、形成和发展的过程，让学生体会到观察、猜想、归纳、验证的思想和数形结合的思想。

2．探索解题方法，引导学生由猜想到得出正确结论。

这种方法是认识事物规律的重要方法之一，通过教学让学生初步掌握这种方法，对于学生良好思维品质的形成有重要作用，对学生的终身发展也有一定的作用。

3．关于练习的设计，除两个实际问题和课本习题以外，我准备设计一道开放题，大致思路是在已画出斜边上的高的直角三角形中让学生尽量地找出线段之间的关系，这一想法我准备放在第二课时。

4．本课小结从内容，应用，数学思想方法，获取知识的途径等几个方面展开，既有知识的总结，又有方法的提炼，这样对于学生学知识，用知识的意识是有很大的促进作用的。