2019年高中数学三角函数过关必备教案人教版

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高考数学学业水平合格考试总复习第10章三角函数(教师用书)教案-人教版高三全册数学教案

第10章三角函数考纲展示考情汇总备考指导(1)任意角的概念、弧度制 ①了解任意角的概念．②了解弧度制概念，能进行弧度与角度的互化.本章的重点是三角函数的定义、图象和性质，难点是三角恒等变换与三角函数图象、性质的综合应用，学习时熟练掌握三角函数的图象和性质是前提条件，熟练掌握和应用三角函数公式，三角恒等变换的方法与技巧是保障.(2)三角函数①理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．②能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性．③理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等)．理解正切函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2的单调性．④理解同角三角函数的基本关系式： sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin x cos x＝tan x2017年1月T82018年1月T122018年1月T172019年1月T162020年1月T6⑤了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响．⑥了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.三角函数的定义1．任意角和弧度制(1)角的概念及分类：角可以看成是平面内一条射线绕着端点从一个位置转到另一个位置所成的图形．按旋转方向可分为正角、负角、零角；按终边落在平面直角坐标系中的位置，可分为象限角、轴线角．(2)终边相同角的表示：凡是与角α终边相同的角，都可以表示成α＋k ·360°(k ∈Z )的形式，特例：终边在x 轴上的角的集合为{α|α＝k ·180°，k ∈Z }，终边在y 轴上的角的集合为{α|α＝90°＋k ·180°，k ∈Z }，终边在坐标轴上的角的集合为{α|α＝k ·90°，k ∈Z }．(3)弧长和扇形的面积公式：在弧度制下，扇形的弧长公式为l ＝αr ，扇形的面积公式为S ＝12lr ＝12αr 2，其中α(0＜α＜2π)为弧所对圆心角的弧度数．2．任意角的三角函数的定义利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角函数，设P (x ，y )是角α的终边上任意一点(与原点不重合)，记r ＝|OP |＝x 2＋y 2，那么sin α＝y r，cos α＝x r ，tan α＝y x(x ≠0)．[学考真题对练]1．(2017·1月某某学考)角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边过点P (5，－2)，以下等式不正确的是( )A ．sin α＝－23B ．sin(α＋π)＝23C ．cos α＝53D ．tan α＝－52D [∵r ＝x 2＋y 2＝52＋－22＝3，sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x.∴A，B ，C 正确，D 错误．tan α＝y x ＝－25＝－255.] 2．(2020·1月某某学考)假设sin α>0，且cos α<0，那么角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角B [由sin α>0，可得α为第一、第二及y 轴正半轴上的角；由cos α<0，可得α为第二、第三及x 轴负半轴上的角． ∴取交集可得，α是第二象限角．应选B ．]3．(2019·1月某某学考)角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (4，－3)，那么cos α＝.45[r ＝42＋－32＝5，cos α＝x r ＝45.]角α的终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法方法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值；方法二：在α的终边上任选一点P (x ，y )，P 到原点的距离为r (r >0)，那么sin α＝y r，cos α＝x r.当α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．1．(2018·某某市学考模拟题)角β的终边经过点P (1，－2)，那么sin β＝( ) A ．－2 B ．－12C ．－255D ．55C [∵角β的终边经过点P (1，－2)，∴x ＝1，y ＝－2，|OP |＝5，因此根据三角函数的定义可得sin β＝－25＝－255，应选C ．]2．(2019·某某学考模拟题)角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，那么tan α等于( )A ．－43B ．－45C ．－35D ．－34D [根据三角函数的定义，知tan α＝y x ＝－34.]3．(2019·揭阳市学考模拟题)设角α终边上一点P (－4a,3a )(a <0)，那么2sin α＋cosα的值为( )A ．25 B ．25或－25 C ．－25D ．与a 有关C [∵a <0，∴r ＝－4a2＋ 3a2＝5|a |＝－5a ，∴cos α＝x r ＝45，sin α＝y r ＝－35，∴2sin α＋cos α＝－25.]4．(2019·某某高一期中)点P (tan α，cos α)在第三象限，那么角α的终边在第象限．二 [因为点P (tan α，cos α)在第三象限，那么tan α<0且cos α<0，故角α的终边在第二象限．]5．(2018·揭阳高一月考)角α的终边经过点P (m ，22)，sin α＝223且α为第二象限．(1)求m 的值；(2)假设tan β＝2，求sin αcos β＋3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋αsin βcos π＋αcos －β－3sin αsin β的值．[解] (1)由三角函数定义可知sin α＝223＝22m 2＋8，解得m ＝±1，∵α为第二象限角，∴m ＝－1.(2)由(1)知tan α＝－22，sin αcos β＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin βcos π＋αcos －β－3sin αsin β＝－sin αcos β＋3cos αsin βcos αcos β＋3sin αsin β＝－tan α＋3tan β1＋3tan αtan β＝－－22＋321＋－22×32＝211.三角函数的基本关系与诱导公式 [基础知识填充]1．同角三角函数的基本关系式2．三角函数的诱导公式利用三角函数的定义，可以得到诱导公式，即α＋k2π(k ∈Z )与α之间函数值的关系，主要有六组常用的诱导公式：公式一：sin(α＋k ·2π)＝sin α，k ∈Z ， cos(α＋k ·2π)＝cos α，k ∈Z ， tan(α＋k ·π)＝tan α，k ∈Z .公式二：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α. 公式三：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，tan(－α)＝－tan α. 公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α，tan(π－α)＝－tan α.公式五：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α. 公式六：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α. [学考真题对练](2018·1月某某学考)假设sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝23，且0<θ<π，那么tan θ＝.52 [∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝cos θ＝23，且0<θ<π， ∴sin θ＝1－cos 2θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝53， ∴tan θ＝sin θcos θ＝53×32＝52.](1)将负角的三角函数化为正角的三角函数． (2)将正角的三角函数化为0～2π的角的三角函数． (3)最后化为锐角的三角函数． 2．求同角三角函数值的一般步骤(1)根据三角函数值的符号，确定角所在的象限； (2)对角所在的象限进行分类讨论； (3)利用两个基本公式求出其余三角函数值；(4)根据角所在象限确定由平方关系开方后的符号，进而求出某三角函数值．[最新模拟快练]1．(2018·揭阳高一月考)sin 600°的值是( ) A ．12 B ．32C ．－32D ．－12C [sin 600°＝sin(600°－720°)＝sin(－120°) ＝－sin 120°＝－32.] 2．(2019·某某高二期末)sin α＝14，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝( ) A ．14 B ．－14C ．154D ．－154B [cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－sin α＝－14.]3．(2018·某某省普通高中数学学业水平考试模拟题)如果cos(π＋A )＝－12，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A ＝( ) A ．－12B ．12C ．－32D ．22B [∵cos(π＋A )＝－cos A ＝－12，∴cos A ＝12，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A ＝cos A ＝12.]4．(2019·蛇口市学考模拟题)假设sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a ，那么cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是()A ．－23aB ．－32aC ．23a D ．32a B [由条件得－sin α－sin α＝－a ，故sin α＝a2，原式＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32a .]5．(2019·某某市学考模拟题)tan θ＝2，那么sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于( )A ．－43B ．54C ．－34D ．45D[sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1，又tan θ＝2，故原式＝4＋2－24＋1＝45.] 6．(2018·揭阳高一月考)函数y ＝sin 2x －cos x 的值域为．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，54 [y ＝sin 2x －cos x ＝1－cos 2x －cos x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos x ＋122＋54∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，54.] 三角函数的图象和性质 [基础知识填充]三角函数的图象与性质解析式 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图象定义域 RR{x |x ∈R 且x ≠k π＋x2，k ∈Z }值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在⎣⎢⎡2k π－π2，⎦⎥⎤2k π＋π2(k ∈Z )上递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 (k ∈Z )上递减在[2k π－π，2k π](k ∈Z ) 上递增，在[2k π，2k π＋π](k ∈Z )上递减在开区间⎝⎛－π2＋k π，⎭⎪⎫π2＋k π (k ∈Z )上都是增函数最值x ＝π2＋2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－1x ＝2k π(k ∈Z )时，y max＝1；x ＝2k π＋π(k ∈Z )时，y min ＝－1无对称性对称中心：(k π，0)(k ∈Z ) 对称轴：对称中心： ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z ) 对称轴：对称中心：⎝ ⎛⎭⎪⎫12k π，0(k ∈Z )对称轴：x ＝k π＋π2，(k ∈Z )x ＝k π，(k ∈Z )无[学考真题对练](2018·1月某某学考)函数f (x )＝4sin x cos x ，那么f (x )的最大值和最小正周期分别为( )A ．2和πB ．4和πC ．2和2πD ．4和2πA [∵f (x )＝2sin 2x ，∴f (x )max ＝2，最小正周期为T ＝2π2＝π，应选A ．]三角函数性质的解法(1)奇偶性的判断方法：由正、余弦函数的奇偶性可判断出y ＝A sin ωx 和y ＝A cos ωx 分别为奇函数和偶函数．(2)周期的计算方法：利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期为2π|ω|，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的周期为π|ω|求解．(3)解决对称性问题的关键：熟练掌握三角函数的对称轴、对称中心．(4)求三角函数的最值(值域)：形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求最值(值域)．1．(2019·某某学考模拟题)函数f (x )＝x ＋sin x ，x ∈R ( ) A ．是奇函数，但不是偶函数 B ．是偶函数，但不是奇函数 C ．既是奇函数，又是偶函数 D ．既不是奇函数，又不是偶函数A [由f (－x )＝－x －sin x ＝－(x ＋sin x )＝－f (x )，可知f (x )是奇函数．] 2．(2019·某某学考模拟题)以下函数中，周期为2π的是( ) A ．y ＝sin x2B ．y ＝sin 2xC ．y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2D ．y ＝|sin 2x |C [y ＝sin x 2的周期为T ＝2π12＝4π；y ＝sin 2x 的周期为T ＝2π2＝π；y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2的周期为T ＝2π；y ＝|sin 2x |的周期为T ＝π2.]3．(2019·某某高一期中检测)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A ．65 B ．1 C ．35D ．15A [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，那么f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，函数的最大值为65.]4．(2018·某某省普通高中数学学业水平考试模拟题)函数y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1的是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为2π的偶函数A [y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝sin 2x ，所以T ＝2π2＝π，且为奇函数，应选A ．]5．(2018·江门市学考模拟题)函数f (x )＝12－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调增区间是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈ZB ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2，k ∈ZC ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4，k ∈ZD ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4，k ∈ZC [f (x )＝12－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝12－1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x 2＝－12sin 2x ，即求12sin 2x 的单调递减区间：2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，k π＋π4≤x ≤k π＋3π4，k ∈Z .选C ．]6．(2018·揭阳高一月考)下面结论正确的是( ) A ．sin 400°>sin 50° B ．sin 220°<sin 310° C ．cos 130°>cos 220°D ．cos(－40°)<cos 310°C [A 中sin 400°＝sin 40°<sin 50°；B 中sin 220°＝－sin 40°，sin 310°＝－sin 50°，由于sin 50°>sin 40°，所以sin 220°>sin 310°；C 中cos 220°＝cos 140°<cos 130°；D 中cos(－40°)＝cos 40°，cos 310°＝cos 50°，由于cos 50°<cos 40°，所以cos(－40°)>cos 310°，应选C ．]7．(2019·某某高二月考)假设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋φ是偶函数，那么φ＝.π2＋k π，k ∈Z [由诱导公式得假设f (x )是偶函数，那么φ＝π2＋k π，k ∈Z .]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 [基础知识填充]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(1)作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ＞0，ω＞0)的图象主要有以下两种方法： ①用“五点法〞作图：用“五点法〞作y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ＞0，ω＞0)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，3π2，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点的纵坐标，描点、连线后得出图象．②用“图象变换法〞作图：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ＞0，ω＞0)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩〞与“先伸缩后平移〞．(ⅰ)先平移后伸缩：y ＝sin x 的图象――――――――――→向左φ＞0或向右φ＜0平移|φ|个单位长度y ＝sin(x ＋φ)的图象横坐标变为原来的1ω倍,纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ)的图象―――――――――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象．(ⅱ)先伸缩后平移：y ＝sin x 的图象横坐标变成原来的1ω倍,纵坐标不变y ＝sin ωx 的图象――――――――――――→向左φ ＞0或向右φ ＜0平移⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω个单位长度y ＝sin(ωx ＋φ)的图象――――――――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，A ＞0，ω＞0中各参数的物理意义：[最新模拟快练]1．(2019·某某高一月考)为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin 2x的图象上所有的点( )A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向左平行移动π6个单位长度D ．向右平行移动π6个单位长度D [∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6， ∴需要将y ＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．]2．(2019·某某市学考模拟题)把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象向右平移π8个单位，所得图象对应的函数是( )A ．非奇非偶函数B ．既是奇函数又是偶函数C ．奇函数D ．偶函数D [y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4图象向右平移π8个单位得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－cos 2x 的图象，y ＝－cos 2x 是偶函数．]3．(2019·某某市学考模拟题)以下函数中，图象的一部分如下图的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 D [由图知T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝π，∴ω＝2πT x ＝π12时，y ＝1，经验证，可得D 项解析式符合题目要求．]4．(2019·某某市学考模拟题)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，那么以下结论错误的是( )A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减 D [函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象可由y ＝cos x 的图象向左平移π3个单位得到，如图可知，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π2，π上先递减后递增，D 选项错误．]5．(2018·某某省普通高中数学学业水平考试模拟题)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，那么ω＝.π2 [由两相邻最高点和最低点的距离为22，由勾股定理可得T 2＝222－22，∴T＝4，∴ω＝π2.]6．(2018·某某市高一期中)函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(其中φ为常数，|φ|<π2)的部分图象如下图，那么φ＝.π3 [由2×π3＋φ＝π得φ＝π3.] 7．(2018·某某省普通高中数学学业水平考试模拟题)函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1.(1)求它的振幅、最小正周期、初相；(2)在如下图坐标系中画出函数y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的图象．[解] (1)f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1的振幅为2，最小正周期T ＝2π2＝π，初相为－π4. (2)列表并描点画出图象：x －π2 －3π8 －π8 π83π8 π2 2x －π4 －5π4－π－π2π23π4y 2 1 1－2 1 1＋22故函数y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的图象是8．(2018·某某市高一期末)实验室某一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t －π3，t ∈[0,24]．(1)某某验室这一天上午10点的温度；(2)当t 为何值时，这一天中实验室的温度最低． [解] (1)依题意f (t )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t －π3，t ∈[0,24] 实验室这一天上午10点，即t ＝10时，f (10) ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12×10－π3＝4sin π2＝4，所以上午10点时，温度为4 ℃.(2)因为0≤t ≤24，所以－π3≤π12t －π3≤5π3，令θ＝π12t －π3，即－π3≤θ≤5π3，所以y ＝4sin θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，5π3故当θ＝3π2时，即t ＝22时，y 取得最小值，y min ＝4sin3π2＝－4 故当t ＝22时，这一天中实验室的温度最低．三角函数图象变换的两种方法的注意点三角函数图象变换的方法一先平移后伸缩和方法二先伸缩后平移需要注意以下两点：。

2019-2020年高三数学第一轮复习教案三角函数新课标人教版

CABD2019-2020年高三数学第一轮复习教案三角函数新课标人教版一、知识要点：三角函数基本概念、三角函数的恒等变形(化简,求值,等式的证明)、三角函数的图象和性质1、三角变换基本解题方法：切割化弦，异名化同名，异角化同角，高次化低次，无理化有理．常用的技巧：升幂降幂法、辅助元素法，“1”的代换法、利用倍角公式建立2α与α、α与的关系、角的配凑等2、对三角函数性质的考查总是与三角变换相结合．一般解题规律是先对三角函数关系式进行三角变换，使之转化为一个角的三角函数的形式，再利用换元法转化为对基本三角函数性质的研究．3、易错点：要注意正切函数定义域的限制；在三角变形过程中要注意自变量取值区间的变化，以防出现增根或失根；凡遇到参数或字母时，注意分情况进行讨论。

4、主要数学思想：化归思想、函数思想、数形结合思想、分类讨论思想二、主干知识点、基本方法回顾练习： 1. 若是第三象限的角，且，那么的值为（ C ）A. 23B. －23C. 223D. －2232. 已知函数在［，］上单调递增，则实数的取值范围是（ A ） A ．（0， B ．（0，2 C ．（0，1 D ．3．先将的图象沿轴向右平移个单位，再将图象上每一个点的横坐标伸长为原来的2倍，而保持它们的纵坐标不变，得到的曲线与的图象相同，则的解析式是（ C ） A ． B ． C ．D ．4．若为第二象限的角，则下列各式恒小于0的是（ B ） A ． B ． C ． D ． 5．已知，，则（ A ）A 、 2B 、 3C 、1D 、无法确定6. 如图是由三个相同的正方形相接，在△ABC 中，锐角∠ACB=，则=（C ） A ． B ． C ． D ．7．函数x x x y 2cos 3sin cos +=相邻两条对称轴的距离为（ C ）A ．2B ．C ．D ．8. 函数的递减区间是_____5,1212k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭_______，递增区间是______________，511,1212k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭9.函数()3sin()(0)53kx f x k π=+≠有一条对称轴为，则_5_______。

高中数学人教A版(2019)必修第一册第五章三角函数的概念教案

《521三角函数的概念（第一课时）》教学设计教学目标1.了解三角函数的背景，体会三角函数与现实世界的密切联系：2.经历三角函数概念的抽象过程，借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的左义，发展数学抽象素养.教学重难点教学重点：正弦函数、余弦函数、正切函数的立义.教学难点：理解三角函数的对应关系，包括影响单位圆上点的坐标变化的因素分析，以及三角函数的宦义方式的理解；对符号Slna, COS◎和tana的认识.课前准备PPT课件教学过程（一）创设情境引导语：我们知道，现实世界中存在着各种各样的“周而复始”变化现象，圆周运动是这类现象的代表.如图1, G）O上的点P以ZI为起点做逆时针方向的旋转・在把角的范圉推广到任意角后，我们可以借助角a的大小厂变化刻画点P的位置变化.又根据弧度制的左义 00的半径无关，因此，不失一般性，我们可以先研究单位圆上点的运动•现在的任务是:如图1,单位圆OO上的点P以J为起点做逆时针方向旋转,建立一个函数模型，刻画点P的位置变化情况.问题1：根据已有的研究函数的经验，你认为我们可以按怎样的路径研究上述问题？预设的师生活动；学生在独立思考的基础上进行交流、讨论.预设答案：明确研究背景一对应关系的特点分析一下左义一研究性质.设计意图：明确研究的内容、过程和基本方法，为具体研究指明方向.（二）新知探究引导语:下而我们利用直角坐标系来研究上述问题•如图2,以单位圆的圆心O为原点, 以射线CU为X轴的非负半轴，建立直角坐标系，点ZI的坐标为（1, 0）,点P的坐标为（X, 0.射线OA从X轴的非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角α,终I匕位置为OR问题2：当α=-时，点P的坐标是什么？当―壬或迹时，点P6 2 3的坐标又是什么？它们是唯一确泄的吗？一般地，任意给定一个角久它的终边OP与单位圆交点P的坐标能唯一确定吗？预设的师生活动：在学生求出O=Z时点P的坐标后追问以下问题.6追问：（1）求点P的坐标要用到什么知识？（2）求点P的坐标的步骤是什么？点P的坐标唯一确泄吗？（3）如何利用上述经验求O=还时点P的坐标？3（4）利用信息技术，任意画一个角α,观察它的终边OP与单位圆交点P的坐标，你有什么发现？你能用函数的语言刻画这种对应关系吗？预设答案：（I）直角三角形的性质;（2）画岀仝的终边Op过点P作X轴的垂线交X轴于在RtZXOMP中，利用直角6三角形的性质可得点P的坐标是空，丄I；2 2∖Z（3）可以发现，ZMOP亠而点P在第二象限，可得点P的坐标是f-i,巴］:3 I 2 2 丿（4）对于R中的任意一个角α,它的终边OP与单位圆交点为P（x, J，）,无论是横坐标 X还是纵坐标H都是唯一确泄的.这里有两个对应关系：/：实数α（弧度）对应于点P的纵坐标y,g：实数α （弧度）对应于点P的横坐标X.根据上述分析，f： Rf［— 1, 1］和g： Rf［— 1, 1］都是从集合R到集合［一 1, 1］的函数.设计意图：以函数的对应关系为定向，从特殊到一般，使学生确认相应的对应关系满足函数的定义，角的终边与单位圆交点的横、纵坐标都是圆心角α （弧度）的函数，为给出三角函数的定狡做好准备.问题3：请同学们先阅读教科书第178〜179页，再回答如下问题：（1）正弦函数、余弦函数和正切函数的对应关系各是什么？（2）符号SIn α, CoSa和tan &分別表示什么？在你以往的学习中有类似的引入特泄符号表示一种量的经历吗？（3）为什么说当a≠--^kπ时，tana的值是唯一确圧的？2（4）为什么说正弦函数、余弦函数的泄义域是R?而正切函数的立义域是{X∈R∣A≠^-+kπ.Ar∈Z}?预设的师生活动：学生独立阅读课文，再举手回答上述问题・预设答案：（1）正弦函数的对应关系：SIna-点P的纵坐标护余弦函数的对应关系：COSaf点P的横坐标x：正弦函数的对应关系：Uma —上X（2）分別表示” x,:引入符号IOg O d表示O V=b中的X .（3）当a≠-+kπl^,如果α确左，那么R的终边确定，终边与单位圆的交点P确左，2P点的横、纵坐标x、y就会唯一确泄，因此上的值也是唯一确泄的，所以tan α的值也是X唯一确定的.（4）当α = -+H时，α的终边在y轴上，这时点P的横坐标X等于0,所以-=tan2 X◎无意义.除此之外，对于任意角G, P点的横、纵坐标的值X, 3,都是存在且唯一确泄的.设计意图：在问题引导下，通过阅读教科书、無析关键词等，使学生明确三角函数的''三要素”；引导学生类比已有知识（引入符号IOg a b表示σx=b中的x）,理解三角函数符号的意义.问题5：在初中我们学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变呈：，以比值为函数值的函数•设XG（0,中｝把按锐角三角函数泄义求得的锐角X的正弦记为刃，并把按本右三角函数定义求得的X的正弦记为与刁相等吗？对于余弦、正切也有相同的结论吗？预设的师生活动：教师引导，学生作图并得岀结论•预设答案：作出RtZ^l5C,其中ZA=x, ZC=90o ,再将它放入直角坐标系中，使点H 与原点重合,JC在X轴的正半轴上，可得出H=G的结论.对于余弦、正切也有相同的结论.设计意图：建立锐角三角函数与任意角三角函数的联系，使学生体会两个定狡的和谐性.例1利用三角函数的左义求竺的正弦、余弦和正切值.3预设的师生活动：先由学生发言，再总结出从左义出发求三角函数值的基本步骤，并得岀答案.预设答案：在直角坐标系中，作ZZIoB=竺（图3）・3易知Z边的终边与单位圆的交点坐标为R, 4所以，sin— = -^-, cos- = l, tan —= -√3 ・3 2 3 2 3设计意图：通过概念的简单应用，明确用定义求三角函数值的基本步豫，进一步理解定艾的内涵.练习：在例1之后进行课堂练习：(1)利用三角函数能义，求兀，卫的三个三角函数值.2(2)说岀几个使CoSa= 1的α的值.预设的师生活动：由学生逐题给出答案，并要求学生说出解答步骤，最后可以总结为“画终边，找交点坐标，算比值(对正切函数)”.3ττ3兀?兀预设答案：(1) smτι=0, COSTr=— 1, tanπ=0: sm— = —L cos—=0, tan一不存 2 22在.(2) α=0, 2π> —2π 等.设计意图：检验学生对定艾的理解情况・例2如图4,设α是一个任意角，它的终边上任意一点F (不与原点O重合)的坐标为(x，妙点P与原点的距离为儿求证：Sma=丄，COSa=丄，tanα=丄.r r X师生活动：给岀问题后，教师可以引导学生思考如下问题，再让学生给出证明：(1)你能根据三角函数的眾义作图表示岀SIn α, COSa吗？(2)在你所作出的图形中，上，上各表示什么，你能找到它们与做任意角α的三r K X角函数的关系吗？预设答案：如图5,设角Q的终边与单位圆交于点Po（Xo’ M）・分别过点P PO作X轴的垂线PM, POM>,垂足分别为M,胚，贝I][PωWb∣=l）'o∣t IPA∕∣=[j<,∣> IΛWbI=IXo：> （?Afl=PrI♦ΛOMP^ΛOM^Po.于是黑0 = 空],即lj.X）I= 12_!.因为N与>，同号，所以J忙二1 r Γr即Sin a=丄.同理可得COS a= —； tan a=丄.r F X设计意图：通过问题引导，使学生找到AOMP, ΔOMoPo,并利用它们的相似关系，根据三角函数的定艾得到证明.追问：例2实际上给出了任意角三角函数的另外一种左义，而且这种左义与已有的定义是等价的.你能用严格的数学语言叙述一下这种立义吗？预设的师生活动：可以由几个学生分别给出泄义的表述，在交流的基础上得出准确的左义.预设答案：设«是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为（x,y）,点P与原点的距离为儿则上、上分别叫做角α的正弦、余弦、正切.r r X设计意图：加深学生对三角函数定义的理解.练习：在例2之后进行课堂练习：（3）已知点P在半径为2的圆上按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为InUI∕s.求 2 s时点P所在的位宜.预设的师生活动：由学生独立完成后，让学生代表展示作业.预设答案：以坐标原点为圆心0, OP 所在直线为X 轴正方向建立平而直角坐标系.2 S 时点P 所在位置记为0.因为点P 是在半径为2的圆上按顺时针方向作匀速圆周运动，角速度为lrad ⅛,所以圆心角ZP∞=-2rad.所以2s 时，点P 在该坐标系中的位置为(2COS 2, —2sin 2)・设计意图：三角函数是刻画匀速圆周运动的数学揆型，通过练习使学生从另一个角度埋解三角函数的定爻.(三) 布置作业(四) 目标检测设计(I)利用三角函数左义，求匹的三个三角函数值.6(2)已知角&的终边过点P(-12, 5),求角&的三角函数值.5 12(2) sin&=yp CoStan θ= 设计意图：考查学生对三角函数定艾的理解情况. 预设答案：⑴S 哙一 +cosZΞ=-^,tanZΞ = ^ζ 6 2 6 3。

2019-2020年高三数学《三角函数》复习教案新人教A版

2019-2020年高三数学《三角函数》复习教案新人教A 版一、本讲进度《三角函数》复习二、本讲主要内容1、三角函数的概念及象限角、弧度制等概念；2、三角公式，包括诱导公式，同角三角函数关系式和差倍半公式等；3、三角函数的图象及性质。

三、学习指导1、角的概念的推广。

从运动的角度，在旋转方向及旋转圈数上引进负角及大于3600的角。

这样一来，在直角坐标系中，当角的终边确定时，其大小不一定（通常把角的始边放在x 轴正半轴上，角的顶点与原点重合，下同）。

为了把握这些角之间的联系，引进终边相同的角的概念，凡是与终边α相同的角，都可以表示成k ·3600+α的形式，特例，终边在x 轴上的角集合{α|α=k ·1800，k ∈Z}，终边在y 轴上的角集合{α|α=k ·1800+900，k ∈Z}，终边在坐标轴上的角的集合{α|α=k ·900，k ∈Z}。

在已知三角函数值的大小求角的大小时，通常先确定角的终边位置，然后再确定大小。

弧度制是角的度量的重要表示法，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度制。

在弧度制下，扇形弧长公式=|α|R ，扇形面积公式，其中α为弧所对圆心角的弧度数。

2、利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数。

三角函数定义是本章重点，从它可以推出一些三角公式。

重视用数学定义解题。

设P(x ，y)是角α终边上任一点（与原点不重合），记，则，，，。

利用三角函数定义，可以得到（1）诱导公式：即与α之间函数值关系（k ∈Z ），其规律是“奇变偶不变，符号看象限”；（2）同角三角函数关系式：平方关系，倒数关系，商数关系。

3、三角变换公式包括和、差、倍、半公式，诱导公式是和差公式的特例，对公式要熟练地正用、逆用、变用。

如倍角公式：cos2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α，变形后得22c o s 1s i n ,22c o s 1c o s 22α-=αα-=α，可以作为降幂公式使用。

三角函数的概念(性质)教案高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

5.2.1 三角函数的概念（2）【教学内容】三角函数值的符号判断，诱导公式一及应用.【学习目标】1.掌握各象限角的三角函数值的符号规律.2.掌握三角函数诱导公式一的简单应用.【教学重难点】教学重点：三角函数值的符号判断，诱导公式一.教学难点：诱导公式一的应用.■微思考 1三角函数值在各象限的符号由什么决定？提示：根据三角函数的定义，三角函数值由单位圆和角终边交点坐标决定，所以其符号由角的终边所在的象限决定.1.三角函数值的符号如图所示：正弦：一、二象限正，三、四象限负；余弦：一、四象限正，二、三象限负；正切：一、三象限正，二、四象限负．简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．2.诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到一组公式(公式一)：sin(α＋k·2π)＝sinα，π 4 π4 cos(α＋k ·2π)＝cos α，tan(α＋k ·2π)＝tan α，其中 k ∈Z.■ 微思考 2根据公式一，终边相同的角的同一三角函数的值相等，反过来，同一三角函数值相等时，角是否一定为终边相同的角呢？提示：不一定，如sin α = 1 ，则α = π + 2kπ或α = 5π + 2kπ(k ∈Z )． 2 6 6探究点 1 三角函数值符号的判定例 1 确定下列三角函数值的符号（1）cos 250°；（2）sin − ；（3）tan −672°；（4）tan 3π；（5）tan 120°sin 269°.【解】（1）因为 250°是第三象限角,所以 cos250°＜0.（2）因为− π是第四象限角, 4 所以 sin − ＜0.（3）因为 tan （ − 672°） = tan(48° − 2 × 360°),而 48°是第一象限角，所以 tan −672°＞0.（4）因为 tan3π = tan π + 2π = tanπ,而π的终边在 x 轴上,所以 tanπ = 0.（5）因为 120°角是第二象限角，所以tan 120°＜0.因为 269°角是第三象限角，所以sin 269°＜0. 所以tan 120°sin 269° > 0 .11π 6正弦、余弦函数值的正负规律探究点 2 公式一的简单应用例 2 求下列三角函数值：(1) cos 9π； 4(2) tan − ；(3)sin810° + tan 1125° + cos 420°.【解】（1） cos 9π4= cos= cos π 4 + 2π = 2; 2（2） tan − = tan= tan π 6− 2π = 3. 3 3原式= sin 2 × 360° + 90° + tan 3 × 360° + 45° + cos (360° + 60°)= sin90° + tan 45° + cos 60°π 4 11π 6 π 6= 1 + 1 + 12= 52利用公式一求解任意角的三角函数的步骤课堂小结：本节课学习了两个知识点1.三角函数值的符号正弦：一二象限正，三四象限负；余弦：一四象限正，二三象限负；正切：一三象限正，二四象限负．简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．2.诱导公式一sin(α＋k·2π)＝sinα，cos(α＋k·2π)＝cosα，tan(α＋k·2π)＝tanα，其中k∈Z。

2019-2020学年新人教A版必修一三角函数教案

2019-2020学年新人教A 版必修一三角函数教案高考中的三角函数与解三角形常出现以下三种题型：第一：三角函数的性质与三角恒等变换结合出题。

这类题目的特点是单个三角函数的指数×x 的系数都是相等的，针对这部分题目需要先熟练掌握三角恒等变换，使用三角恒等变换，与辅助角公式将原式化简为形如()sin y A x ωϕ=+的形式，再针对三角函数讨论起单调性、周期性、对称性等，来解决此类题目。

第二：三角函数与二次函数结合出题类型。

这类题目的特点是单个三角函数的指数×x 的系数恰是2倍的关系。

针对此类题目，我们常常使用二倍角公式，或者22sin cos 1x x +=，来化简这类三角函数关系，将三角函数统一，化成形如2sin sin y a x b x c =++，或者2cos cos y a x b x c =++这样的形式，使用符合函数的单调性，来解决该类问题的最值，与单调区间问题。

第三：解三角形题目。

此类问题很容易分辨。

常用以下公式： 1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。

（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。

（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba。

2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。

（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。

（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。

R CcB b A a 2sin sin sin ===。

（R 为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

人教A版(2019)高中数学必修第一册5.2.2同角三角函数的基本关系教案

5.2.2 同角三角函数的基本关系教学目标：1.通过三角函数的定义推导出同角三角函数的的基本关系,会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值和证明.2.通过“猜想-- 验证--应用”的学习过程，掌握化归与转换及分类讨论的数学思想方法，培养学生的探究精神以及分析解决问题的能力.3.通过学习培养学生勇于探索的思维品质，提升学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理等核心素养.教学重点：同角三角函数的基本关系式教学难点：同角三角函数的基本关系式的变式及应用教学过程：一、情境引入南美洲亚马逊河雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯州的一场龙卷风.这就是著名的“蝴蝶效应”，它本意是说事物初始条件的微弱变化可能会引起结果的巨大变化.两个似乎毫不相干的事物，却有着这样的联系.那么“同一个角”的三角函数一定会有非常密切的关系！到底是什么关系呢？这就是本节课所研究的问题. （设计意图：激发学生兴趣，使学生明白看似不相关的事物实则有密切联系，那么““同一个角”的三角函数一定会有非常密切的关系，从而引入课题.）二、探究新课探究活动1 完成下列填空：（1）22sin 30cos 30+=__________；（2）22sin 45cos 45+=__________；（3）sin 60cos 60=_____；tan 60=_____；（4）sin 120cos 120=_____；tan 120=_____.由此猜想：22sin cos αα+=________；sin cos αα= __________. 思考1：如何利用任意角的三角函数的定义推导同角三角函数的基本关系式？证：设角α的终边一点P （x,y ）,则r =，sin ,cos ,tan y x yr r xααα===所以1)()(cos sin 2222222=+=+=+r y x r x r y αα；αααtan cos sin ===x yrx r y（设计意图：让学生通过计算熟知的具体的同角三角函数值并发现他们之间的关系，进而大胆猜想任意角α的三角函数之间的关系.后又进行验证，体现数学的严谨性.） 1.同角三角函数基本关系式(1)平方关系：____________.(2)商数关系：____________，其中,2k k Zπαπ≠+∈2.同角三角函数的基本关系式的变形公式2221sin cos sin ααα+=⇔=__________，2cos α=________.()2sin cos αα+=__________，()2sin cos αα-=________.sin tan sin cos αααα=⇔=_______(,)2k k Z παπ≠+∈（设计意图：明确同角三角函数的基本关系后了解其基本变形，为后面的应用打好基础.）三、应用举例【例1】已知3sin 5α=-，求sin ,tan αα的值.思考：你能对这种“已知一个三角函数值，求同角的另两个三角函数值”（简称“知一求二”）题型总结出解题步骤吗？【变式训练1】已知4cos 5α=-，且α是第三象限角，求sin ,tan αα的值．【例2】（1）已知tan α=sin ,cos αα的值．（2）已知tan 3α=，求cos sin cos sin αααα-+的值.【变式训练2】已知tan 2α=，求下列各式的值：（1）sin cos sin cos αααα+-；（2）12sin cos sin 2cos 2αααα+-（设计意图：例1-2 利用同角三角函数的关系求值，意在让学生掌握求同角三角函数值时“知一求二”的一般步骤：根据已知三角函数值的符号，确定角所在象限→对角所在的象限进行分类讨论→利用两个基本公式求出其余三角函数值.变式1-2让学生独立完成并展示，进一步巩固知识，检验学生的学习效果，提升数学运算素养.）【例3】化简下列各式：（1）cos tan θθ；（2）2212cos 12sin αα--.【变式训练3】（1）sin cos tan 090180a b c ++；（2）()221tan cos αα+（设计意图：例3 利用同角三角函数的关系化简，考察对同角三角函数的基本关系式及其变式的灵活运用.）四、课堂小结本节课你有什么收获？ 1.同角三角函数基本关系式(1)平方关系：221sin cos αα+=(2)商数关系：sin tan cos ααα=（,2k k Z παπ≠+∈） 2.利用同角三角函数的基本关系可以求三角函数值、化简三角函数式（设计意图：请学生回答，回顾、反思、总结知识点，提高学生自我整合知识、归纳总结的能力.）。

人教A版(2019)高中数学必修第一册5.2.1三角函数的概念第1课时教案

5.2.1 三角函数的概念（第1课时）教学目标：借助单位圆理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，会求具体弧度的三个三角函数值，在知识的探究过程中促进学生数学抽象、直观想象、逻辑推理素养的发展，达到水平二的要求.教学重点：三角函数的定义.教学难点：用角的终边上的点刻画三角函数.教学过程：（一）新课导入教师提问：大家回忆我们之前学习过的知识，函数的概念是什么? 弧度制的概念是什么? 同时思考：如何刻画圆周运动中点的位置变化?学生思考回答.（二）探究一：三角函数的概念教师讲解：我们可以把单位圆与坐标系结合，建立平面直角坐标系，如图所示：教师：当6a π=时，点P 的坐标是什么?学生：点P 12）教师：当2 23ππα=或时，点P 的坐标是什么?学生：点P 的坐标分别是（0,1）和（12-）. 教师：一般地，任意给定一个角α∈R ，它的终边OP 与单位圆交点P 的坐标能唯一确定吗?学生：能.教师：结合函数的定义，你能得到什么结论?学生：点P 的横坐标x 、纵坐标y 都是角α的函数. 教师：当2πα=+k π（k ∈Z ）时，α的终边在y 轴上，这时点P 的横坐标等于0，所以tan y a x =无意义.除此之外，对于确定的α，y x的值也是唯一确定的.所以tan y a x =（x ≠0）也是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数.由坐标系中角的终边和单位圆的交点的横、纵坐标间的对应关系，得出结论.教师总结三角函数的定义：1.定义：设α是一个任意角，α∈R ，它的終边OP 与单位圆交于点P （x ，y ）.（1）把点P 的纵坐标y 叫做α的正弦函数，记作sin α，即y =sin α；（2）把点P 的横坐标x 叫做α的余弦函数，记作cos α，即x =cos α；（3）把点P 的纵坐标与横坐标的比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=（x ≠0）.2.记法：通常将三角函数记为：正弦函数：sin ,y x x =∈R ；余弦函数：cos ,y x x =∈R ；正切函数：tan ,()2y x x k k ππ=≠+∈Z .探究二：三角函数概念的本质教师：在初中我们学习了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数.设0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，用锐角三角函数定义求得的锐角x 的正弦、余弦、正切，与按本节角函数定义求得的x 的正弦、余、正切相等吗?大家还记得初中学过的锐角三角函数吗?学生：记得，锐角三角函数是以锐角为自变量，边的比值为函数值的三角函数. 教师：通过建系，将锐角α放在直角坐标系中，则α为第一象限角，如图.由相似三角形，不妨取α的终边与单位圆的交点为P （a ，b ），则它与原点的距离1=.过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则线段OM 的长度为a ，线段MP 的长度为b . 请分别用初中学过的锐角三角函数的定义和本节三角函数的定义求sin α，两者的结果是否一致?学生：一致.教师：用这两种定义计算出的cos α和tan α结果一致吗?学生：一致.教师：本节三角函数的定义是初中锐角三角函数的定义的推广，现在我们研究的三角函数的载体由直角三角形变成了直角坐标系.（三）课堂练习例1.已知(2,)P y -是角α终边上一点，且sin α=，求cos α与tan α.答案：因为点P 到原点的距离为r =所以sin α==，所以2245y y +=，所以21y =，所以r ，又易知0y <，所以1y =-，所以cosα==1tan 2α=. （四）课堂小结本节课我们主要学习了哪些内容?1.三角函数的定义.2.运用三角函数数学思想解决问题.板书设计：1.正弦函数：sin ,y x x =∈R ；2.余弦函数：cos ,y x x =∈R ；3.正切函数：tan ,()2y x x k k ππ=≠+∈Z .。

三角函数的应用教案(1 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

第五章三角函数5.7 三角函数的应用（第2 课时）【教学内容】学习三角函数模型的简单应用，进一步突出函数来源于生活应用于生活的思想，让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”。

【教学目标】1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型；2.初步学会使用数据分析或图像特征进行一些简单的函数模型求解；3.会使用三角函数模型解决简单的实际问题。

【教学重难点】教学重点：用三角函数模型解决具有周期变化的实际问题.教学难点：对问题实际意义的数学解释，从实际问题中抽象出三角函数模型.【教学过程】一、导入新课思考：生活中有什么事情是周而复始发生的？举例：小结：从上述例子中，可以得知生活中有很多重复出现的现象，我们尝试利用某种函数模型去研究当中的规律，帮助我们做出更加科学的决策。

请问你认为目前我们所学的什么函数模型适用于上述规律呢？函数模型；因为它具有性质。

二、课堂探究例题 1 如图，我国某地一天从 6—14 时的温度变化曲线近似满足函数y =A sin(ωx +ϕ) +b ( A > 0,ω> 0, ϕ<π)（1）求这一天 6—14 时的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式。

解：（1）由图可知，这段时间的最大温差是20℃（2）由图可以看出，从 6—14 时的图像是函数小结：（1）振幅A=b=如何求函数中的ω和ϕ；（2）所求函数模型只能近似刻画某个区间的变化规律。

例题 2：货船进出港时间问题:海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头；卸货后,在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节某天的时刻与水深关系的预报.(1)选用一个函数来近似描述这一天该港口的水深与时间的函数关系,给出整点时的水深的近似数值(精确到0.001).(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4 米,安全条例规定至少要有1.5 米的安全间隙(船底与洋底的距离),该船这一天何时能进入港口?在港口能呆多久?(3)若某船的吃水深度为4 米,安全间隙为1.5 米,该船在2:00 开始卸货,吃水深度以每小时0.3 米的速度减少,如果这条船停止卸货后需0.4 小时才能驶到深水域，那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域?问题探究 1：请同学们仔细观察表格中的数据，你能够从中得到一些什么信息？小组合作发现，代表发言。

高中数学人教A版2019课标版必修一公开课教案三角函数的概念

【新教材】5.2.1 三角函数的概念教学设计（人教A版）三角函数是描述周期运动现象的重要的数学模型，有非常广泛的应用。

三角函数的概念是在初中对锐角三角函数的定义以及刚学过的“角的概念的推广”的基础上讨论和研究的。

三角函数的定义是本章最基本的概念，对三角内容的整体学习至关重要，是其他所有知识的出发点。

紧紧扣住三角函数定义这个宝贵的源泉，可以自然地导出本章的具体内容：三角函数线、定义域、符号判断、值域、同角三角函数关系、多组诱导公式、多组变换公式、图象和性质。

三角函数的定义在教材中起着承前启后的作用，一方面，通过这部分内容的学习，可以帮助学生更加深入理解函数这一基本概念，另一方面它又为平面向量、解析几何等内容的学习作必要的准备。

三角函数知识还是物理学、高等数学、测量学、天文学的重要基础。

课程目标1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．2.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号．3.掌握公式一并会应用．数学学科素养1.数学抽象：理解任意角三角函数的定义；2.逻辑推理：利用诱导公式一求三角函数值；3.直观想象：任意角三角函数在各象限的符号；4.数学运算：诱导公式一的运用.重点：①借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；②掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号.难点：理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、情景导入在初中我们学习了锐角三角函数，那么锐角三角函数是如何定义的？若将锐角放入直角坐标系中，你能用角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？若以单位圆的圆心O为原点，你能用角的终边与单位圆的交点来表示锐角三角函数吗？那么，角的概念推广之后，三角函数的概念又该怎样定义呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本177-180页，思考并完成以下问题1．任意角三角函数的定义？2．任意角三角函数在各象限的符号？3．诱导公式一？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

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2019年高中数学三角函数过关必备教案人教版一、内容与要求（摘自高中数学课程标准必修4）1．三角函数（1）任意角、弧度了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化。

（2）三角函数①借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。

②借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（π/2±α, π±α的正弦、余弦、正切），能画出y=sin x, y=cos x, y=tan x的图象，了解三角函数的周期性。

③借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（-π/2，π/2）上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等）。

④理解同角三角函数的基本关系式：sin2x+cos2x=1，sin x/cos x=tan x。

⑤结合具体实例，了解y=Asin的实际意义；能借助计算器或计算机画出y=Asin的图象，观察参数A，ω，对函数图象变化的影响。

⑥会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。

2．三角恒等变换（1）经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用。

（2）能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。

（3）能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）。

二、考试内容与要求（摘自xx年北京市高考数学理科考试说明）三、高考真题展示 1、（北京市xx 年高考理科试题）在△ABC 中，若b = 1 ，c =，，则a = 。

2、（北京市xx 年高考理科试题）（15）（本小题共13分）已知函数22cos 2sin 4cos x x x =+-。

（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的最大值和最小值。

3、（北京市xx 年高考文科试题）（7）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为 1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（A ）；（B ）（C ）（D ） 4、（北京市xx 年高考文科试题）（15）已知函数（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的最大值和最小值 5、（北京市xx 年高考理科试题）“”是“”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 6、（北京市xx 年高考理科试题）（15）在中，角的对边分别为，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的面积. 7、（北京市xx 年高考文科试题）“”是“”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 8、（北京市xx 年高考文科试题）若，则 . 9、（北京市xx 年高考文科试题）（15）已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值. 四、必备的重要基础知识1、任意角的三角函数的定义；2、三角函数诱导公式；3、正、余弦函数，正切函数的图像和性质。

特别是会画在一个周期内的图象。

4、三角公式恒等变形；5、正、余弦定理及其变形。

五、常用结论：1、在△ABC 中，sin sin A B A B a b >⇔>⇔>；大边对大角；2、在△ABC 中，已知两边及其中一边的对角，求第三边。

除了用正弦定理外，还可用余弦定理。

即在公式中，已知，求b 。

可解方程得到b.3、在△ABC 中，；4、⑴正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === （是外接圆直径）注：①C B A c b a sin :sin :sin ::=；②C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===；③CB A cb a Cc B b A a sin sin sin sin sin sin ++++===。

六、用转化与化归思想、数形结合思想解决三角函数热点问题。

例1、设函数21)2sin(cos cos sin 3)(-+-=x x x x x f π（1）求的最小正周期；（2）当时，求函数的最大值和最小值。

习题：1、已知函数.cos sin )32cos()(22x x x x f -+-=π（I ）求函数的最小正周期及图象的对称轴方程；（II ）设函数求的值域. 2、已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+ （Ⅰ）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程；（Ⅱ）求函数在区间上的值域。

3、设函数。

求函数的单调递增区间；4、已知函数2()23sin cos 2cos 1()f x x x x x R =+-∈（Ⅰ）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；（Ⅱ）若，求的值。

例2、已知函数22cos 2sin 4cos x x x =+-。

（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的最大值和最小值。

分析：本题涉及知识点：①诱导公式；②特殊角的三角函数值；③倍角公式；④同角三角函数关系式；⑤三角函数的值域；⑥配方法；⑦二次函数在闭区间上的值域。

数学思想方法：转化与化归思想、数形结合思想。

思考：化归的目标是什么？习题5：求函数在R 上的值域。

总结：①化归的目标的规律；②求值时图象的重要性。

例3、且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++ （边与角的互化）（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若，试判断的形状.习题6：在ABC 中，。

（Ⅰ）证明B=C ：（Ⅱ）若=-，求sin 的值。

习题7、（东城期末5）在中，如果，，那么角等于（） A ． B ． C ． D ．习题8、（宣武期末15）已知三个内角的对边分别为, ，且.（Ⅰ）求的度数；（Ⅱ）若，，求的面积.习题9、（丰台期末15）在中，角所对的边分别为，且，. （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的面积.2019年高中数学第三章指数函数对数函数和幂函数3.4.1第2课时用二分法求方程的近似解学业分层测评苏教版一、填空题1．已知函数f (x )的图象如图341，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为________．图341【解析】图象与x 轴有4个交点，所以零点的个数为4；左、右函数值异号的有3个零点，所以可以用二分法求解的个数为3.【答案】 4 32．下列函数中，有零点但不能用二分法求零点近似值的是________．(填序号)①y ＝3x 2－2x －5；②y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋1，x ＋1，x ≥0，x <0；③y ＝2x ＋1；④y ＝x 3－2x ＋3；⑤y ＝12x 2＋4x ＋8.【解析】分别作出函数①～⑤的图象(略)知，⑤符合题意．【答案】 ⑤3．某方程有一无理根在区间D ＝(1,3)内，若用二分法求此根的近似值，将D 等分________次后，所得近似值可精确到0.1.【解析】由3－12n ＜0.1，得2n －1＞10，所以n －1≥4，即n ≥5.【答案】 54．下列关于函数y ＝f (x )，x ∈[a ，b ]的叙述中，正确的个数为________． ①若x 0∈[a ，b ]且满足f (x 0)＝0，则(x 0,0)是f (x )的一个零点； ②若x 0是f (x )在[a ，b ]上的零点，则可用二分法求x 0的近似值；③函数f (x )的零点是方程f (x )＝0的根，但f (x )＝0的根不一定是函数f (x )的零点；④用二分法求方程的根时，得到的都是近似值．【解析】 ①中x 0∈[a ，b ]且f (x 0)＝0，∴x 0是f (x )的一个零点，而不是(x 0,0)，①错误；②中函数f (x )不一定连续，且无法判断是否有f (a )·f (b )<0，②错误；③中方程f (x )＝0的根一定是函数f (x )的零点，③错误；④中用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，④也错误．【答案】 05．为了求函数f (x )＝2x＋3x －7的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x 和函数f (x )的部分对应值，如下表所示： x 1.25 1.312 5 1.375 1.437 5 1.5 1.562 5 f (x )－0.871 6－0.578 8 －0.281 3 0.210 1 0.328 430.641 15则方程2x＋3x ＝7的近似解(精确度为0.1)可取________．【解析】由题表知f (1.375)·f (1.437 5)<0，且1.437 5－1.375＝0.062 5<0.1，所以方程的一个近似解可取为1.4.【答案】 1.46．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12的零点时，第一次经计算f (0)<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次应计算________．【解析】由于f (0)<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上存在零点，所以x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，第二次应计算0和12在数轴上对应的中点x 1＝0＋122＝14.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14 7．已知函数f (x )在区间(0，a )上有唯一的零点(a >0)，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 4，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 8，则下列说法中正确的是________．(填序号)①函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 16内一定有零点；②函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a16或⎝ ⎛⎭⎪⎫a 16，a8内有零点； ③函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫a 16，a 内无零点；④函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a16或⎝ ⎛⎭⎪⎫a16，a8内有零点，或零点是a16.【解析】由已知及二分法求函数零点的原理，可知，f (0)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 8<0，又⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 8的中点为a 16，∴下一步可能f (0)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 16<0，或f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 16·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 8<0或f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 16＝0，故④正确．【答案】 ④8．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2 x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0<x 1<x 0，则f (x 1)的值与0的大小关系恒有________．【解析】 ∵f (1)f (2)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫131－0·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫132－log 2 2 <0，∴1<x 0<2.如图所示，当0<x 1<x 0时，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 的图象在y ＝log 2 x 的上方，即必有⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 1>log 2 x 1，∴f (x 1)>0恒成立．【答案】 f (x 1)>0 二、解答题9．确定函数f (x )＝log 12x ＋x －4的零点所在的区间．【解】设y 1＝log 12x ，y 2＝4－x ，则f (x )的零点个数即y 1与y 2的交点个数，作出两函数图象，如图：由图知，y 1与y 2在区间(0,1)内有一个交点，当x ＝4时，y 1＝－2，y 2＝0，所以f (4)＜0，当x ＝8时，y 1＝－3，y 2＝－4，所以f (8)＝1＞0，所以在(4,8)内两曲线又有一个交点．故函数f (x )的两零点所在的区间为(0,1)，(4,8)．10．利用计算器，求方程x 2－6x ＋7＝0的近似解．(精确到0.1) 【解】设f (x )＝x 2－6x ＋7，通过观察函数的图象(略)得：f (1)＝2＞0，f (2)＝－1＜0，∴方程x 2－6x ＋7＝0有一根在(1,2)内，设为x 1，∵f (1.5)＝0.25＞0，∴1.5＜x 1＜2，又∵f ⎝⎛⎭⎪⎫1.5＋22＝f (1.75)＝－0.437 5＜0，∴1.5＜x 1＜1.75，如此继续下去，得：f (1)·f (2)＜0⇒x 1∈(1,2)，f (1.5)·f (2)＜0⇒x 1∈(1.5,2)， f (1.5)·f (1.75)<0⇒x 1∈(1.5,1.75)， f (1.5)·f (1.625)＜0⇒x 1∈(1.5,1.625)， f (1.562 5)·f (1.625)<0⇒x 1∈(1.562 5,1.625)．因为1.562 5,1.625精确到0.1的近似值都为1.6，所以方程x 2－6x ＋7＝0的一个近似解为1.6，用同样的方法，可求得方程的另一个近似解为4.4.[能力提升]1．已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a >0，且a ≠1)．当2<a <3<b <4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝________.【解析】 ∵2<a <3，∴f (x )＝log a x ＋x －b 为定义域上的增函数．f (2)＝log a 2＋2－b ，f (3)＝log a 3＋3－b .∵2<a <3<b ，∴lg 2<lg a <lg 3， ∴lg 2lg 3<lg 2lg a<1. 又∵b >3，∴－b <－3，∴2－b <－1， ∴log a 2＋2－b <0，即f (2)<0. ∵1<lg 3lg a <lg 3lg 2，3<b <4，∴－1<3－b <0，∴log a 3＋3－b >0，∴f (3)>0，即f (2)·f (3)<0.由x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *知，n ＝2. 【答案】 22．已知曲线y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x与y ＝x 的交点的横坐标是x 0，则x 0的取值范围是________．【解析】设f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x－x ，则f (0)＝1＞0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11012－12＝0.1－0.25＜0，f (1)＝110－1＜0，f (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1102－2＜0，显然有f (0)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0.所以f (x )的零点所在区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，12，即x 0的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫0，12.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 3．已知y ＝x (x －1)·(x ＋1)的图象如图342所示，今考虑f (x )＝x (x －1)·(x ＋1)＋0.01，则方程式f (x )＝0图342①有三个实根；②当x <－1时，恰有一实根(有一实根且仅有一实根)； ③当－1<x <0时，恰有一实根；④当0<x<1时，恰有一实根；⑤当x>1时，恰有一实根．正确的有________．(填序号)【解析】∵f (－2)＝－2×(－3)×(－1)＋0.01＝－5.99<0，f (－1)＝0.01>0，即f (－2)·f (－1)<0，∴在(－2，－1)内有一个实根，结合图象(略)可知，方程在(－∞，－1)上，恰有一个实根．∴②正确．又∵f (0)＝0.01>0，结合图象可知f (x)＝0在(－1,0)上没有实数根，∴③不正确．又∵f (0.5)＝0.5×(－0.5)×1.5＋0.01＝－0.365<0，f (1)＝0.01>0，即f (0.5)·f (1)<0，所以f (x)＝0在(0.5,1)上必有一实根，且f (0)·f (0.5)<0，∴f (x)＝0在(0,0.5)上也有一个实根．∴f (x)＝0在(0,1)上有两个实根，④不正确．由f (1)>0结合图象知，f (x)＝0在(1，＋∞)上没有实根．∴⑤不正确，并且由此可知①正确．【答案】①②4．某电视台曾有一档娱乐节目：主持人会给选手在限定时间内猜某一物品售价的机会，如果猜中，就把物品奖励给选手．某次猜一种品牌的手机，手机价格在500～1 000元之间．选手开始报价1 000元，主持人说高了；紧接着报价900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，你猜中了．表面上看，猜价格具有很大的碰运气的成分；实际上，游戏报价的过程体现了“逼近”的数学思想．你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？【解】取价格区间[500,1 000]的中点750.如果主持人说低了，就再取[750,1 000]的中点875；否则取另一个区间(500,750)的中点．若遇到小数，则取整数．照这样的方案，游戏过程中猜价如下：750,875,812,843,859,851，经过6次可以猜中价格.。