高中数学 培优二轮 含答案 解析 专题一 第三讲 分类与整合思想
2021年高考数学二轮复习 分类与整合思想、化归与转化思想
2021年高考数学二轮复习 分类与整合思想、化归与转化思想一、选择题1．过点P (2,3)，且在坐标轴上的截距相等的直线方程是( ) A ．3x －2y ＝0 B ．x ＋y －5＝0C ．3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0D ．不能确定【解析】 当截距为零时，得直线方程为3x －2y ＝0；当截距不为零时，设直线方程为x ＋y ＝a ，代入P (2,3)，得a ＝5，故其方程为x ＋y －5＝0，故选C.【答案】 C2．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为( ) A.89 3 B ．4 3 C.29 3 D ．43或833 【解析】 当6为正三棱柱的侧棱时，则底面边长为43，所以V ＝6×34⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝83 3.当4为正三棱柱的侧棱时，则底面边长为2，所以V ＝4×34×22＝43，故选D. 【答案】 D3．若函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞]上是增函数，则a 的值为( )A.13B.14C.23D ．1 【解析】 g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则1－4m >0，所以m <14.若a >1，则函数f (x )＝a x 单调递增，此时有a 2＝4，a ＝2，m ＝a －1＝1a ＝12，此时不成立，所以a ＝2不成立．若0<a <1，则函数y ＝a x 单调递减，此时有a －1＝4，a ＝14，m ＝a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝116，此时成立，所以a ＝14.【答案】 B4．(xx·安徽高考)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为( ) A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1【解析】 结合图象及目标函数最优解不唯一可知，直线y ＝ax ＋z ，一定和直线x ＋y －2＝0或直线2x －y ＋2＝0平行，故a ＝－1或a ＝2.【答案】 D5．在△ABC 中，|AB |＝3，|AC |＝4，|BC |＝5.点D 是边BC 上的动点，AD →＝xAB →＋yAC →，当xy 取最大值时，|AD →|的值为( )A ．4B ．3 C.52 D.125【解析】 ∵|AB |＝3，|AC |＝4，|BC |＝5，∴△ABC 为直角三角形．如图建立平面直角坐标系，A (0,0)，B (3,0)，C (4,4)， 设D (a ，b )， 由AD →＝xAB →＋yAC →，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3x ，b ＝4y ，∴xy ＝ab12.又∵D 在直线l BC ：x 3＋y4＝1上，∴a 3＋b 4＝1，则a 3＋b 4≥2 ab12.∴ab 12≤14，即xy ≤14， 此时a ＝32，b ＝2，|AD →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22＝52. 【答案】 C二、填空题6．(xx·辽宁高考)对于c ＞0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，1a ＋2b ＋4c的最小值为________．【解析】 要使|2a ＋b |最大，则必须a ，b 同号，因为4a 2＋b 2＋4ab ＝c ＋6ab ＝(2a ＋b )2≤c＋3(2a ＋b 2)2，故有(2a ＋b )2≤4c ，c ≥2a ＋b 24，当且仅当2a ＝b 时取等号，此时c ＝b 2，所以1a ＋2b ＋4c ＝4b ＋4b 2＝4(1b ＋12)2－1≥－1，故1a ＋2b ＋4c 的最小值为－1.【答案】 －17．(xx ·北京东城区质检)定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离等于曲线C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2到直线l ：y ＝x 的距离，则实数a ＝________.【解析】 圆C 2的圆心到直线l 的距离为|0－－4|12＋－12＝22>2，此时直线l 与圆C 2相离．根据新定义可知，曲线C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2到直线l ：y ＝x 的距离为22－2＝2，对函数y ＝x 2＋a 求导得y ′＝2x ，令y ′＝1⇒2x ＝1⇒x ＝12，故曲线C 1在x ＝12处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋a ＝x －12，即x －y ＋a －14＝0，∴2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －142，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＝2，∴a ＝94或－74(舍去)．【答案】 948．(xx·福建厦门质检)已知函数f (x )＝x ＋3a2x－2a ln x 在区间(1,2)内是增函数，则实数a 的取值范围是________．【解析】 f ′(x )＝1－3a 2x 2－2a x ，由已知得1－3a 2x 2－2a x≥0在x ∈(1,2)内恒成立，即x2－2ax －3a 2≥0在x ∈(1,2)内恒成立．设g (x )＝x 2－2ax －3a2，则⎩⎪⎨⎪⎧g 1≥0a ≤1，或⎩⎪⎨⎪⎧g 2≥0a ≥2，或Δ＝(－2a )2＋12a 2≤0，解得－1≤a ≤13或a ∈∅或a ＝0，所以实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13三、解答题9．(xx·安徽江南十校)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2n＋1a n (n ∈N *)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等比数列；(2)设数列{S n }的前n 项和为T n ，求T n ； (3)试比较T n 与nS n 的大小．【解】 (1)证明 由a 1＝S 1＝2－3a 1得a 1＝12，由S n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1a n 得S n －1＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －1＋1a n －1(n ≥2)，于是a n ＝S n －S n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －1＋1a n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1a n(n ≥2)，整理得a n n ＝12×a n －1n －1(n ≥2)，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项及公比均为12的等比数列．(2)由(1)知a n n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，即a n ＝n 2n ，代入已知得S n ＝2－n ＋22n ，令数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ＋22n 的前n 项和为A n ，则A n ＝32＋422＋523＋…＋n ＋22n ，由错位相减法得A n ＝4－n ＋42n ，所以数列{S n }的前n 项和T n ＝2n －⎝⎛⎭⎪⎫4－n ＋42n＝2n ＋n ＋42n －4.(3)由S n ＝2－n ＋22n得S n ＋1－S n ＝n ＋22n －n ＋32n ＋1＝n ＋12n ＋1>0知数列{S n }为递增数列，所以当n ＝1时，T 1＝S 1；当n ≥2时，T n ＝S 1＋S 2＋…＋S n <S n ＋S n ＋…＋S n ＝nS n .10．(xx·天津高考)已知函数f (x )＝x 2－23ax 3(a ＞0)，x ∈R .(1)求f (x )的单调区间和极值；(2)若对于任意的x 1∈(2，＋∞)，都存在x 2∈(1，＋∞)，使得f (x 1)·f (x 2)＝1.求a 的取值范围．【解】 (1)由已知，有f ′(x )＝2x －2ax 2(a ＞0)．令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝1a.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，0) 0 (0，1a)1a(1a，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ 0 － f (x )↘13a2所以，f (x )的单调递增区间是(0，1a )；单调递区间是(－∞，0)，(1a，＋∞)．当x ＝0时，f (x )有极小值，且极小值f (0)＝0；当x ＝1a 时，f (x )有极大值，且极大值f (1a)＝13a2. (2)由f (0)＝f (32a )＝0及(1)知，当x ∈(0，32a)时，f (x )＞0；当x ∈(32a，＋∞)时，f (x )＜0.设集合A ＝{f (x )|x ∈(2，＋∞)}，集合B ＝{1f x|x ∈(1，＋∞)，f (x )≠0}．则“对于任意的x 1∈(2，＋∞)，都存在x 2∈(1，＋∞)，使得f (x 1)·f (x 2)＝1”等价于A ⊆B .显然，0∉B .下面分三种情况讨论：①当32a ＞2，即0＜a ＜34时，由f (32a)＝0可知，0∈A ，而0∉B ，所以A 不是B 的子集．②当1≤32a ≤2，即34≤a ≤32时，有f (2)≤0，且此时f (x )在(2，＋∞)上单调递减，故A＝(－∞，f (2))，因而A ⊆(－∞，0)；由f (1)≥0，有f (x )在(1，＋∞)上的取值范围包含(－∞，0)，则(－∞，0)⊆B .所以A ⊆B .③当32a ＜1，即a ＞32时，有f (1)＜0，且此时f (x )在(1，＋∞)上单调递减，故B ＝(1f 1，0)，A ＝(－∞，f (2))， 所以A 不是B 的子集．综上，a 的取值范围是[34，32]．30674 77D2 矒 s23977 5DA9 嶩?29166 71EE 燮20320 4F60 你35417 8A59 詙cF25147 623B 戻Q31929 7CB9 粹2559463FA 揺24423 5F67 彧。
2020届高考数学大二轮专题复习冲刺方案-文数(经典版)文档：第一编 第3讲 分类与整合的思想 Word版含解析
第3讲 分类与整合的思想「思想方法解读」分类与整合的思想就是将一个复杂的数学问题分解成若干个简单的基础问题，通过对基础问题的解答，解决原问题的思维策略．实质上就是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略，使用分类与整合思想应明白这样几点：一是引起分类整合的原因；二是分类中整合的原则，不重不漏，分类标准统一；三是明确分类整合的步骤；四是将各类情况总结归纳．常见的分类整合问题有以下几种：(1)由概念引起的分类整合；(2)由性质、定理、公式的限制条件引起的分类整合；(3)由数学运算引起的分类整合；(4)由图形的不确定性引起的分类整合；(5)由参数的变化引起的分类整合．热点题型探究热点1 公式、定理的分类整合法例1 (1)(2019·开封市高三第三次模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，且x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫11π36，17π36，|f (x )|<1，则ω的最大值为( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2答案 C解析 因为x ＝－π4为f (x )的零点， 所以－π4ω＋φ＝k 1π(k 1∈Z )，① 因为x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴， 所以π4ω＋φ＝k 2π＋π2(k 2∈Z )，②①＋②，得2φ＝(k 1＋k 2)π＋π2，得φ＝(k 1＋k 2)π2＋π4，因为|φ|≤π2，得φ＝±π4. ②－①，得π2ω＝(k 2－k 1)π＋π2， 所以ω＝2(k 2－k 1)＋1＝2n ＋1(n ∈Z )． 当ω＝5时，如果f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋π4，令5x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，所以x ＝k π5＋π20，k ∈Z ， 当k ＝2时，x ＝9π20∈⎝ ⎛⎭⎪⎫11π36，17π36，与已知不符．如果f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －π4，令5x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，所以x ＝k π5＋3π20，k ∈Z ， 当k ＝1时，x ＝7π20∈⎝ ⎛⎭⎪⎫11π36，17π36，与已知不符．当ω＝3时，如果f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4，令3x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，所以x ＝k π3＋π12，k ∈Z ， 当k ＝1时，x ＝5π12∈⎝ ⎛⎭⎪⎫11π36，17π36，与已知不符． 如果f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4，令3x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，所以x ＝k π3＋π4(k ∈Z )∉⎝ ⎛⎭⎪⎫11π36，17π36，与已知相符．故选C.(2)(2019·上海市嘉定(长宁)区高三第二次质量调研)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且当0≤x ≤1时，f (x )＝log 2(x ＋a )．若对于任意x ∈[0,1]，都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＋tx ＋12≥1－log 23，则实数t 的取值范围为________．答案 [0,3]解析 由题意，f (x )为周期为4的函数，且是奇函数.0在函数定义域内，故f (0)＝0，得a ＝1，所以当0≤x ≤1时，f (x )＝log 2(x ＋1)，当x ∈[－1,0]时，－x ∈[0,1]，此时f (x )＝－f (－x )＝－log 2(－x ＋1)， 又f (x ＋2)＝－f (x )＝f (－x )，所以f (x )以x ＝1为对称轴，且当x ∈[－1,1]时，f (x )单调递增；当x ∈[1,3]时，f (x )单调递减．易知当x ∈[2,3]时，f (x )＝－log 2(x －1)．当x ∈[－1,3]时，令f (x )＝1－log 23，得x ＝－12或x ＝52， 所以在[－1,3]内，当f (x )≥1－log 23时， x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，52.设g (x )＝－x 2＋tx ＋12，若对于x ∈[0,1]都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＋tx ＋12≥1－log 23，因为g (0)＝12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，52.故g (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，52.①当t2＜0时，g (x )在[0,1]上单调递减， 故g (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤t －12，12⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，52，得t ≥0，无解．②当0≤t ≤1，即0≤t 2≤12时，此时g ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2最大，g (1)最小，即g (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤t －12，t 24＋12⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，52.解得t ∈[0,1]． ③当1＜t ≤2，即12＜t 2≤1时，此时g (0)最小，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2最大，即g (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，t 24＋12⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，52.解得t ∈(1,2]． ④当t ＞2时，即t2>1，故g (x )在[0,1]上单调递增， 故g (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，t －12⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，52.解得t ∈(2,3]．综上，t ∈[0,3]．(3)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n ＋1(n ∈N *)，且a 1＝1.则数列{a n }的通项公式是________．答案 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，12·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2，n ≥2解析 ①当n ＝1时，由已知可得a 1＝2a 2， 即a 2＝12a 1＝12.②当n ≥2时，由已知S n ＝2a n ＋1(n ∈N *)， 可得S n －1＝2a n (n ≥2，n ∈N *)，两式相减得a n ＝2a n ＋1－2a n ⇒2a n ＋1＝3a n ， 即a n ＋1a n＝32，所以数列{a n }从第二项开始成一个首项为a 2＝12，公比为32的等比数列，故当n ≥2，n ∈N *时有a n ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2. 所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，12·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2，n ≥2.解决由概念、法则、公式引起的分类整合问题的步骤第一步：确定需分类的目标与对象，即确定需要分类的目标，一般把需要用到公式、定理解决问题的对象作为分类目标．第二步：根据公式、定理确定分类标准．运用公式、定理对分类对象进行区分．第三步：分类解决“分目标”问题．对分类出来的“分目标”分别进行处理． 第四步：汇总“分目标”．将“分目标”问题进行汇总，并作进一步处理．1．(2019·新疆维吾尔族自治区检测)已知x ∈R ，sin x －3cos x ＝5，则tan2x ＝( )A.43B.34 C ．－34 D ．－43答案 A解析 由sin x －3cos x ＝5及sin 2x ＋cos 2x ＝1，得(5＋3cos x )2＋cos 2x ＝1.即5cos 2x ＋35cos x ＋2＝0，cos x ＝－255或cos x ＝－55，所以当cos x ＝－255时，sin x ＝－55，tan x ＝12，tan2x ＝2×121－14＝43；当cos x ＝－55时，sin x ＝255，tan x ＝－2，tan2x ＝2×(－2)1－4＝43.所以tan2x ＝43，故选A. 2．(2019·云南高三第一次统考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝2π3，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，BD ＝2，则△ABC 的面积的最小值为( )A ．3 3B ．4 3C ．5 3D ．6 3答案 B解析 设A ＝α，则0<α<π3，C ＝π－2π3－α＝π3－α， ∵∠ABC ＝2π3，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，BD ＝2，∴∠ABD ＝∠CBD ＝π3.在△ABD 中，∠ADB ＝π－π3－α＝2π3－α，由正弦定理可得AB sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＝BDsin α，∴AB ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－αsin α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋αsin α.在△CBD 中，∠CDB ＝π3＋α，由正弦定理可得 BC sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝BDsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α，∴BC ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α. ∴△ABC 的面积S ＝12AB ·BC ·sin 2π3 ＝34×2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋αsin α×2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝32·1＋12cos2α＋32sin2α14cos2α＋34sin2α－14＝32·2(2＋cos2α＋3sin2α)3sin2α＋cos2α－1＝32⎝⎛⎭⎪⎫2＋63sin2α＋cos2α－1 ＝322＋62sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6－1∵0<α<π3，∴π6<2α＋π6<5π6， ∴12<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6≤1，∴当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝1时，即α＝π6时，△ABC 的面积S 最小，最小值为32×(2＋6)＝43，故选B.3．已知锐角△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若b 是12，2的等比中项，c 是1,5的等差中项，则a 的取值范围是________．答案 (22，10)解析 因为b 是12，2的等比中项，所以b ＝ 12×2＝1；因为c 是1,5的等差中项，所以c ＝1＋52＝3. 因为△ABC 为锐角三角形，①当a 为最大边时，有⎩⎨⎧12＋32－a 2＞0，a ≥3，1＋3＞a ，解得3≤a ＜10；②当c 为最大边时，有⎩⎨⎧12＋a 2－32＞0，a ＋1＞3，a ≤3，解得22＜a ≤3.由①②得22<a <10，所以实数a 的取值范围是(22，10)． 热点2 位置关系的分类整合法例2 (1)(2019·兰州一模)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[9，＋∞)B ．(0，3]∪[9，＋∞)C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0，3]∪[4，＋∞)答案 A解析 如图，设DE 是椭圆的短轴，利用动态分析，或过A ，D ，B 作圆F ，根据圆周角定理，易知∠AMB ≤∠ADB .若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则∠ADB ≥120°，所以|OB ||OD |＝tan ∠ODB ≥tan60°＝ 3.当焦点在x 轴上时，|OB |＝3，|OD |＝m ，3m ≥3，解得0<m ≤1；当焦点在y 轴上时，|OB |＝m ，|OD |＝3，m3≥ 3，解得m ≥9.故m 的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)，选A.(2)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋2y ≤4，x －2y ≤2，如果目标函数z ＝x ＋ay 的最大值为163，则实数a 的值为( )A ．3 B.143 C ．3或143 D ．3或－113答案 D解析 先画出线性约束条件所表示的可行域，如图中阴影部分所示，目标函数化为y ＝－1a x ＋1a z ，当a >0时，－1a ＜0，只需目标函数截距最大．①若－12＜－1a <0，即a >2，最优解为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，z ＝43＋43a ＝163，a ＝3，符合题意；②若－1a ＜－12，即0<a <2，最优解为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，z ＝3＋12a ＝163，a ＝143，不符合题意，舍去． 当a <0时，－1a >0，只需目标函数截距最小． ③若0<－1a <12，即a <－2，最优解为C (－2，－2)， z ＝－2－2a ＝163，a ＝－113，符合题意；④若12<－1a <1，即－2<a <－1，最优解为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，此时a ＝143，不符合题意，舍去．⑤若－1a >1，即－1<a <0，最优解为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12， z ＝3＋12a ＝163，a ＝143，不符合题意，舍去； 综上可知实数a 的值为3或－113.故选D.六类常见的由图形的位置或形状变化引起的分类整合(1)二次函数对称轴的变化；(2)函数问题中区间的变化；(3)函数图象形状的变化；(4)直线由斜率引起的位置变化；(5)圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；(6)立体几何中点、线、面的位置变化等．1．(2019·山西太原第五中学阶段检测)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，且z ＝ax ＋3y 的最小值为7，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．－2D ．－1答案 B解析由约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3作出可行域如图中阴影部分所示，联立方程组求得A (2,1)，B (4,5)，C (1,2)，化目标函数z ＝ax ＋3y 为y ＝－a 3x ＋z3.当a ＞0时，由图可知，当直线y ＝－a 3x ＋z3过A 或C 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值．若过A ，则2a ＋3＝7，解得a ＝2，符合题意；若过C ，则a ＋6＝7，解得a ＝1不符合题意．当a ＜0时，由图可知，当直线y ＝－a 3x ＋z3过A 或B 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值．若过A ，则2a ＋3＝7，解得a ＝2，不符合题意；若过B ，则4a ＋15＝7，解得a ＝－2，不符合题意．所以a 的值为2.故选B.2．如图，M ，N 是焦点为F 的抛物线y 2＝4x 上的两个不同的点，且线段MN 的中点A 的横坐标为3，直线MN 与x 轴交于B 点，则点B 的横坐标的取值范围是( )A ．(－3,3]B ．(－∞，3]C ．(－6，－3)D ．(－6，－3)∪(－3,3]答案 A解析 ①若直线MN 的斜率不存在，则点B 的坐标为(3,0)．②若直线MN 的斜率存在，设A (3，t )(t ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由⎩⎨⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，∴y 1－y 2x 1－x 2(y 1＋y 2)＝4，即k MN＝2t ，∴直线MN 的方程为y －t ＝2t (x －3)，∴点B 的横坐标x B ＝3－t 22，由⎩⎨⎧y －t ＝2t (x －3)，y 2＝4x 消去x ，得y 2－2ty ＋2t 2－12＝0，由Δ>0得t 2<12，又t ≠0，∴x B ＝3－t 22∈(－3，3)．综上，点B的横坐标的取值范围为(－3，3]．热点3 含参数问题的分类整合法例3 (2019·石家庄市第二中学高三模拟)函数f (x )＝1e ·e x －ax －1e (a 为常数)的图象与x 轴有唯一公共点M .(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若a ＝－2，存在不相等的实数x 1，x 2，满足f (x 1)＝－f (x 2)，证明：x 1＋x 2<0. 解 (1)函数f (x )的定义域为R ，且f (0)＝0， 由题意可知，曲线f (x )与x 轴存在公共点M (0,0)， 又f ′(x )＝e x －1－a ，若a ≤0，则f ′(x )>0，f (x )单调递增； 若a >0，由f ′(x )＝0得x ＝1＋ln a ，当x ∈(－∞，1＋ln a )时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(1＋ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． ①当1＋ln a ＝0，即a ＝1e 时，f (x )的极小值为f (0)＝0， 曲线f (x )与x 轴只有一个公共点，符合题意；②当1＋ln a >0，即a >1e 时，由基本结论“x >0时，e x >x 2”，a ＋2>a >1＋ln a . 知f (a ＋2)＝ea ＋1－a (a ＋2)－1e >(a ＋1)2－a 2－2a －1＝0，又f (1＋ln a )<f (0)＝0.由零点存在定理知，此时的函数f (x )在区间(1＋ln a ，a ＋2)上有一个零点， 这与函数f (x )的图象与x 轴有唯一公共点矛盾，舍去；③当1＋ln a <0，即0<a <1e 时，设m (a )＝1＋ln a ＋1a e ，m ′(a )＝a e －1a 2e <0，则m (a )>m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝1>0， 即1＋ln a >－1a e ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a e ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－a a e －1e ＝e >0.又f (1＋ln a )<f (0)＝0.由零点存在定理知，此时函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a e ，1＋ln a 上有一个零点，这与函数f (x )的图象与x 轴有唯一公共点矛盾，舍去；综上所述，当a ＝1e 时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0)．当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间．利用分类整合思想的注意点(1)分类整合要标准统一，层次分明，分类要做到“不重不漏”．(2)分类整合时要先根据题设条件确定讨论的级别，再确定每级讨论的对象与标准，每级讨论中所分类别应做到与前面所述不重不漏，最后将讨论结果归类合并，其中级别与级别之间有严格的先后顺序、类别和类别之间没有先后；最后整合时要注意是取交集、并集，还是既不取交集也不取并集只是分条列出．(2019·湖南省高三六校联考)已知函数f (x )＝e x ，g (x )＝ax 2＋x ＋1(a >0)．(1)设F (x )＝g (x )f (x )，讨论函数F (x )的单调性； (2)若0<a ≤12，证明：f (x )>g (x )在(0，＋∞)上恒成立．解 (1)F (x )＝g (x )f (x )＝ax 2＋x ＋1e x ， F ′(x )＝－ax 2＋(2a －1)x e x ＝－ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a －1a e x . ①若a ＝12，F ′(x )＝－x 22e x ≤0，∴F (x )在R 上单调递减．②若a >12，则2a －1a >0，当x <0或x >2a －1a 时，F ′(x )<0，当0<x <2a －1a 时，F ′(x )>0，∴F (x )在(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －1a ，＋∞上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫0，2a －1a 上单调递增． ③若0<a <12，则2a －1a <0，当x <2a －1a 或x >0时，F ′(x )<0，当2a －1a <x <0时，F ′(x )>0.∴F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2a －1a ，(0，＋∞)上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －1a ，0上单调递增． (2)证明：∵0<a ≤12，∴ax 2＋x ＋1≤12x 2＋x ＋1.设h (x )＝e x －12x 2－x －1，则h ′(x )＝e x －x －1.设p (x )＝h ′(x )＝e x －x －1，则p ′(x )＝e x －1，在(0，＋∞)上，p ′(x )>0恒成立．∴h ′(x )在(0，＋∞)上单调递增．又∵h ′(0)＝0，∴x ∈(0，＋∞)时，h ′(x )>0，∴h (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴h (x )>h (0)＝0，∴e x －12x 2－x －1>0，e x >12x 2＋x ＋1，∴e x>12x 2＋x ＋1≥ax 2＋x ＋1， ∴f (x )>g (x )在(0，＋∞)上恒成立．。
2019高考数学(理)二轮复习课件：2-1-3分类与整合思想——求解数学问题最简便的技巧
⊳第二部分
提能增分篇
第二部分 突破一 第3讲
第 1页Biblioteka 名师伴你行 ·高考二轮复习 ·数学 · 理
突破一 数学思想方法的贯通应用
第二部分 突破一 第3讲
第 2页
名师伴你行 ·高考二轮复习 ·数学 · 理
第3讲 分类与整合思想——求解数学 问题最简便的技巧
第二部分 突破一 第3讲
第二部分 突破一 第3讲
第 7页
名师伴你行 ·高考二轮复习 ·数学 · 理
(4)由变形所需要的限制条件引起的分类．如等式两边乘以 (或除以)一个代数式时，要考虑这个代数式是否为零；不等式两 边同乘(除)以一个代数式时，要考虑这个代数式的正、负情况； 将一个指数(或对数)不等式化为整式不等式时要分底数 a＞1 和 0<a＜1 等等．解决这类问题的关键是找出分类的动机，以及分 类的对策，即为什么分类，怎样分类．
第 9页
名师伴你行 ·高考二轮复习 ·数学 · 理
一、数学概念与运算引起的分类讨论 [典例 1] 函数
2 sinπx ，－1＜x＜0， f(x)＝ x－1 e ，x≥0.
若 f(1)＋f(a)＝
2，则 a 的所有可能值为________．
2 答案：1 或－ 2
第二部分 突破一 第3讲
解得 a≤3
第二部分 突破一 第3讲
第14页
名师伴你行 ·高考二轮复习 ·数学 · 理
二、由图形或图象位置不同引起的分类讨论 [典例 2] 已知动圆过定点 P(1,0)，且与定直线 l：x＝－1 相
切，点 C 在 l 上． (1)求动圆圆心的轨迹 M 的方程； (2)设过点 P，且斜率为－ 3的直线与曲线 M 相交于 A，B 两点． ①问△ABC 能否为正三角形？若能，求点 C 的坐标；若不 能，说明理由； ②当△ABC 为钝角三角形时，求这时点 C 的纵坐标的取值 范围．
高考数学理科二轮总复习苏教版课件：三、分类与整合思想
数学思想领航二轮复习三、分类与整合思想 分类与整合思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略.对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度；分类研究后还要对讨论结果进行整合.典例1 已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＝ (a n －1＋2a n －2)(n ＝3,4，…).数列{b n }满足b 1＝1，b n (n ＝2,3，…)是非零整数，且对任意的正整数m 和自然数k ，都有－1≤b m ＋b m ＋1＋…＋b m ＋k ≤1.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；解答分析分析 由a n ＝ (a n －1＋2a n －2)(n ＝3,4，…)可构造新数列{a n ＋1－a n }求得数列{a n }通项，{b n }的通项公式主要利用不等式恒成立通过赋值发现规律.对于(2)要分n 是奇数还是偶数来做.(2)记c n＝na n b n(n＝1,2，…)，求数列{c n}的前n项和S n.解答点评 对于(2)中的求解难点有二：一是数列{c n}的通项公式是分段函数，求其前n项和，对n分奇数或偶数的含义是什么要清楚，当n为奇数时，表示S n＝c1＋c2＋c3＋c4＋…＋c n最后一项是奇数项，而不是指S n＝S1＋S3＋…＋S n.同样当n为偶数时表示S n＝c1＋c2＋c3＋c4＋…＋c n最后一项是偶数项，而不是指S n＝S2＋S4＋…＋S n.二是n分奇数或偶数后对中括号中数据的观察处理要类比.不然项数和符号都会出错.典例2 已知函数f(x)＝m＋2ln x(m∈R).(1)若m＝1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；解答(2)讨论函数f(x)的单调性.分析 对于第2问求导后转化为二次函数问题讨论.解答分析点评 分类讨论思想在解决导数中的参数问题时的常见类型(1)含参数的函数的单调性问题：对于含参数的不等式，应注意分类讨论的原因、标准、顺序.如一元二次不等式，应按“开口方向→相应方程有无实根→根的大小”进行讨论.(2)含参数的函数的极值(最值)问题：常在以下情况下需要分类讨论：①导数为零时自变量的大小不确定需要讨论；②导数为零的自变量是否在给定的区间内不确定需要讨论；③端点处的函数值和极值大小不确定需要讨论；④参数的取值范围不同导致函数在所给区间上的单调性的变化不确定需要讨论.(3)含参数的函数的零点个数问题：常需要根据参数与极值的大小关系分类讨论.从上面的例题可以看出分类与整合思想解题思路如下：1.分类原则：(1)所讨论的全域要确定，分类要“既不重复，也不遗漏”；(2)在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行；(3)对多级讨论，应逐级进行，不能越级.2.讨论的基本步骤：(1)确定讨论的对象和讨论的范围(全域)；(2)确定分类的标准，进行合理的分类；(3)逐步讨论(必要时还得进行多级分类)；(4)总结概括，得出结论.跟踪演练 答案解析1.一条直线过点(5,2)，且在x 轴，y 轴上截距相等，则这直线方程为______________________.x ＋y －7＝0或2x －5y ＝0解析 设该直线在x 轴，y 轴上的截距均为a ，当a ＝0时，直线过原点，此时直线方程为y ＝ x ，即2x －5y ＝0；当a ≠0时，设直线方程为 ＝1，则求得a ＝7，方程为x ＋y －7＝0.12342.已知函数f(x)＝ 满足f(a)＝3，则f(a－5)的值为____.解析 分两种情况分析：①无解，由②得a＝7，所以f(a－5)＝f(2)＝22－3＋1＝ .3.已知函数f(x)＝(m－3)x3＋9x.(1)若函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是单调函数，求m的取值范围；解 由题意得f′(x)＝3(m－3)x2＋9，因为f′(0)＝9>0，所以 f(x)在区间(－∞，＋∞)上只能是单调增函数.由 f′(x)＝3(m－3)x2＋9≥0在区间(－∞，＋∞)上恒成立，可知m≥3.故m的取值范围是[3，＋∞).(2)若函数f(x)在区间[1,2]上的最大值为4，求m的值.4.已知数列{a n}的前n项和为S n，且(1)求数列{a n}的通项公式；解 当n＝1时，a1＝S1＝6，当n≥2时，a n＝S n－S n－1而当n＝1时，n＋5＝6，∴a n＝n＋5(n∈N*).是否存在m∈N*，使得f(m＋15)＝5f(m)成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.。
高三数学二轮复习 专题一第三讲分类讨论法思想 试题
卜人入州八九几市潮王学校第三讲分类讨论法思想思想方法解读分类讨论思想就是将一个复杂的数学问题分解成假设干个简单的根底性问题，通过对根底性问题的解答，解决原问题的思维策略．本质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整〞的数学策略，分类讨论可以优化解题思路，降低问题难度．分类的原那么是：(1)分类的对象确定，HY 统一；(2)不重复，不遗漏；(3)分层次，不越级讨论．回忆总结数学教材中分类讨论的知识点，大致有：绝对值概念的定义；根式的性质；一元二次方程根的判别式与根的情况；二次函数二次项系数的正负与抛物线的开口方向；反比例函数y ＝k /x (x ≠0)的反比例系数k ，正比例函数y ＝kx 的比例系数k ，一次函数y ＝kx ＋b 的斜率k 与图象位置及函数单调性的关系；幂函数y ＝x a 的幂指数a 的正、负与定义域、单调性、奇偶性的关系；指数函数y ＝a x及其反函数y ＝log ax 中底数a ＞1及a ＜1对函数单调性的影响；等比数列前n 项和公式中q ＝1与q ≠1的区别；复数概念的分类；不等式性质中两边同乘(除)以正数或者负数时对不等号方向的影响；排列组合中的分类计数原理；圆锥曲线中离心率e 的取值与椭圆、抛物线、双曲线的对应关系；直线与圆锥曲线位置关系的讨论；运用点斜式、斜截式直线方程时斜率k 是否存在；曲线系方程中的参数与曲线类型；角终边所在的象限与三角函数的符号等．分类讨论并不是凭空产生的，而是有一定原因的．这个原因就是我们分类的HY 和根据．一般来说，高中数学课程中的分类讨论可以归纳为以下几点：1．涉及的数学概念是分类定义的；2．由数学公式或者数学法那么的限制条件等运算的需要引发的；3．数学问题中参数的不同取值会导致不同结果的；4．涉及的几何图形的形状、位置的变化而引起的．在运用分类讨论思想解题时，我们要明确分类的原因是什么，对象是什么，分几个类别，不仅要掌握分类的原那么，而且要把握分类的时机，重视分类的合理性与完好性．方法应用例如考点一根据数学概念的要求分类讨论有许多核心的数学概念是分类的，比方：直线斜率、指数函数、对数函数等，与这样的数学概念有关的问题往往需要根据数学概念进展分类，从而全面完好地解决问题．例1设0＜x ＜1，a ＞0且a ≠1，比较|log a (1－x )|与|log a(1＋x )|的大小． 【HY 解答】∵0＜x ＜1，∴0＜1－x ＜1,1＋x ＞1,0＜1－x 2＜1.①当0＜a ＜1时，log a(1－x )＞0， log a(1＋x )＜0， 所以|log a (1－x )|－|log a(1＋x )| ＝log a (1－x )－[－log a(1＋x )] ＝log a(1－x 2)＞0； ②当a ＞1时，log a (1－x )＜0，log a(1＋x )＞0， 所以|log a (1－x )|－|log a(1＋x )| ＝－log a (1－x )－log a (1＋x )＝－log a(1－x 2)＞0. 由①、②可知，|log a (1－x )|＞|log a(1＋x )|. 变式训练“m ＝12〞是“直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0互相垂直〞的 A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【解析】当m＝12时，两条直线斜率的乘积为－1，从而可得两条直线垂直；当m＝－2时，两条直线中一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，但两条直线仍然垂直，因此m＝12是题目中给出的两条直线互相垂直的充分不必要条件．【答案】B考点二根据运算的要求或者定理、性质、公式的条件分类讨论1．一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性，均值定理、等比数列的求和公式等性质、定理与公式在不同的条件下有不同的结论，或者者在一定的限制条件下才成立，这时要小心，应根据题目条件确定是否进展分类讨论．2．分类讨论的许多问题有些是由运算的需要引发的．比方除法运算中分母能否为零的讨论；解方程及不等式时两边同乘以一个数是否为零，是正数，还是负数的讨论；二次方程运算中对两根大小的讨论；求函数单调性时，导数正负的讨论；排序问题，差值比较中的差的正负的讨论；有关去绝对值或者根号问题中等价变形引发的讨论等．例2(2021·模拟)在等差数列{a n}中，a1＝1，满足a2n＝2a n，n＝1,2，…(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记b n＝a n pa n(p＞0)，求数列{b n}的前n项和T n.思路引导(1)设等差数列{a n}的公差为d，由a2n ＝2a n，得a2＝2a1＝2，所以d＝a2－a1＝1.又a2n＝a n＋nd＝a n＋n＝2a n，所以，a n＝n.(2)由b n＝a n pa n得b n＝np n ，所以T n＝p＋2p 2＋3p3＋…＋(n－1)pn－1＋npn.当p ＝1时，T n ＝(1)2n n n T +=. 当p ≠1时，pT n＝p 2＋2p 3＋…＋(n －1)p n ＋np n ＋1， (1－p )T n＝p ＋p 2＋p 3＋…＋p n －np n ＋1， ＝(1)1n p p p--－np n ＋1， ∴T n ＝12(1)(1)1n n p p np p p+----. 综上所述，T n ＝12(1)(1)2(1)(1)(1)1n n n n n p T p p npp p p ++⎧=⎪⎪=⎨-⎪-≠⎪--⎩ 考点三由图形变化引起的分类讨论 一般由图形的位置或者形状变动引发的讨论包括：二次函数对称轴位置的变动；函数问题中区间的变动；函数图象形状的变动；直线由斜率引起的位置变动；圆锥曲线由焦点引起的位置变动或者由离心率引起的形状变动；立体几何中点、线、面的位置变动等．例3(2021·五校模拟)抛物线24y px =(p ＞0)的焦点为F ，P 为其上的一点，O 为坐标原点，假设△OPF 为等腰三角形，那么这样的P 点的个数为A ．2B ．3C ．4D ．6 【解析】当|PO |＝|PF |时，点P 在线段OF 的中垂线上，此时，点P 的位置有两个；当|OP |＝|OF |时，点P 的位置也有两个；对|FO |＝|FP |的情形，点P 不存在．事实上，F (p,0)，假设设P (x ，y )，那么|FO |＝p ，|FP |＝p ，那么有x 2－2px ＋y 2＝0，又y 2＝4px ，∴x 2＋2px ＝0，解得x ＝0或者x ＝－2p ，这与点P 在抛物线上矛盾．所以符合要求的P 点一一共有4个．应选C.【答案】C考点四由参数的取值变化引起的分类讨论一般地，遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进展分类讨论，此种题目为含参型．应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想，分类步骤做到条理清楚，不重不漏．此类问题主要包括：(1)含有参数的不等式的求解；(2)含有参数的方程根的求解；(3)对于解析式系数是参数的函数，求最值与单调性问题；(4)二元二次方程表示曲线类型的断定；(5)参数方程问题等．例4(2021·东城模拟)m ∈R ，求函数f (x )＝(4－3m )x 2－2x ＋m 在区间[0,1]上的最大值．(1)当4－3m ＝0，即m ＝43时，函数y ＝－2x ＋43，它在[0,1]上是减函数， 所以y max ＝f (0)＝43.(2分) (2)当4－3m ≠0，即m ≠43时，y 是二次函数． ①假设4－3m ＞0，即m ＜43时，二次函数y 的图象开口向上，对称轴x ＝143m ＞0，它在[0,1]上的最大值只能在区间端点获得(由于此处不涉及最小值，故不需讨论区间与对称轴的关系)．(4分)f (0)＝m ，f (1)＝2－2m .当m ≥2－2m ，又m ＜43， 即23≤m ＜43时，y max ＝m .(6分) 当m ＜2－2m ，又m ＜43， 即m ＜23时，y max ＝2(1－m )．(8分) ②假设4－3m ＜0，即m ＞43时，二次函数y 的图象开口向下，又它的对称轴方程x ＝143m-＜0， 所以函数y 在[0,1]上是减函数．于是y max＝f (0)＝m .(11分) 由(1)、(2)可知，这个函数的最大值为y max ＝222,32,3m m m m ⎧-<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩(12分) 变式训练1．〔13分〕〔2021.〕函数2()ln(1)(0)2k f x x x x k =+-+≥ 〔1〕当2k =时，求曲线()y f x =在点(1,())f x 处的切线方程. 〔2〕求()f x 的单调区间.2.〔2021〕函数2()(2ln )f x x a x x =-+-，0.a >讨论()f x 的单调性.。
高考新课程数学二轮课件分类与整合思想
汇报人：XX 20XX-01-27
目录
• 引言 • 高考数学二轮课件分类 • 高考数学二轮课件整合 • 分类与整合思想在高考数学中的应用案例 • 分类与整合思想在高考数学中的解题策略 • 总结与展望
01
引言
高考数学二轮复习的目的与意义
梳理知识网络
通过二轮复习，将高中数学知识进行系统化 的梳理和归纳，形成完整的知识网络，便于 学生更好地理解和记忆。
强化解题能力
在二轮复习中，通过大量的练习和模拟考试 ，提高学生的解题速度和准确性，培养学生 的数学思维和解题能力。
提升应试技巧
针对高考数学的特点和要求，二轮复习将重 点训练学生的应试技巧，如时间管理、答题 规范等，帮助学生更好地应对高考。
分类与整合思想在高考数学中的应用
1
分类讨论
在解决数学问题时，根据问题的不同情 况和特点，进行分类讨论，使问题更加 清晰、易于解决。分类讨论思想在高考 数学中广泛应用，如函数性质、不等式 求解等问题。
代数与几何的整合
将代数与几何的知识进行有机结 合，例如通过解析几何的方法解 决代数问题，或者利用代数的手
段简化几何问题的求解过程。
概率与统计的整合
将概率与统计的知识进行融合， 例如通过概率的方法分析统计数 据的分布规律，或者利用统计的 手段对概率模型进行参数估计和
假设检验。
函数与导数的整合
将函数与导数的知识进行整合， 例如通过导数研究函数的单调性 、极值和最值等问题，或者利用 函数的性质分析导数的变化规律
针对不同题型的分类解题策略
选择题解题策略
运用分类讨论思想，将问题分解为若 干个子问题，逐个击破，提高解题效 率。
填空题解题策略
高考数学二轮复习(考点梳理+热点突破)第三讲 分类讨论思想课件
或
f（a）≥0， －f2（a）≤2，
解
得
链 接
f(a)≥－2，当aa＜2＋0a，≥－2或a－≥a02≥，－2，解得 a≤ 2.
故 a 的取值范围是(－∞， 2]．
第十页，共40页。
栏 目 链 接
第十一页，共40页。
G 高考
(ɡāo kǎo) 热点突 破
突破点1 根据(gēnjù)数学的概念分类讨论
第二十页，共40页。
G 高考
(ɡāo kǎo) 热点突 破
规律方法 (1)一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性，
均值定理，等比数列的求和公式等性质、定理与公式在不同的条
件下有不同的结论，或者在一定的限制条件下才成立，这时要小
心，应根据题目条件确定是否进行分类讨论．
栏 目
(2)分类讨论的有些问题是由运算的需要引发的．比如除法
原点时为ax＋by＝1等．
第十五页，共40页。
G 高考
(ɡāo kǎo)
热点突 破
跟踪
(gēnzōng) 训练
x1，x＜0，
1 ． 若 函 数 f(x) ＝
则不等式 13x，x≥0，
|f(x)|≥31的解集为_[－__3_，__1_]_．
栏 目 链 接
第十六页，共40页。
G 高考
(ɡāo kǎo) 热点突
栏
A．2 或21
B．2
1 C.2
D.
2或
2 2
目 链 接
解析 方程化为xa22＋y2＝1，若焦点在 x 轴上，则有 a＝2； 若焦点在 y 轴上，则有 2a＝1，a＝12.
第七页，共40页。
Z主 干考点
(kǎo diǎn) 梳理
2．已知正三角形 ABC 的边长为 3，到这个三角
高考数学二轮复习 分类与整合思想、化归与转化思想
【高考解码】（新课标）2015届高考数学二轮复习 分类与整合思想、化归与转化思想一、选择题1．过点P (2,3)，且在坐标轴上的截距相等的直线方程是( ) A ．3x －2y ＝0 B ．x ＋y －5＝0C ．3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0D ．不能确定【解析】 当截距为零时，得直线方程为3x －2y ＝0；当截距不为零时，设直线方程为x ＋y ＝a ，代入P (2,3)，得a ＝5，故其方程为x ＋y －5＝0，故选C.【答案】 C2．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为( ) A.89 3 B ．4 3 C.29 3 D ．43或833 【解析】 当6为正三棱柱的侧棱时，则底面边长为43，所以V ＝6×34⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝83 3.当4为正三棱柱的侧棱时，则底面边长为2，所以V ＝4×34×22＝43，故选D. 【答案】 D3．若函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞]上是增函数，则a 的值为( )A.13B.14C.23D ．1 【解析】 g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则1－4m >0，所以m <14.若a >1，则函数f (x )＝a x 单调递增，此时有a 2＝4，a ＝2，m ＝a －1＝1a ＝12，此时不成立，所以a ＝2不成立．若0<a <1，则函数y ＝a x 单调递减，此时有a －1＝4，a ＝14，m ＝a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝116，此时成立，所以a ＝14.【答案】 B4．(2014·安徽高考)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为( ) A.12或－1 B ．2或12 C ．2或1 D ．2或－1【解析】 结合图象及目标函数最优解不唯一可知，直线y ＝ax ＋z ，一定和直线x ＋y －2＝0或直线2x －y ＋2＝0平行，故a ＝－1或a ＝2.【答案】 D5．在△ABC 中，|AB |＝3，|AC |＝4，|BC |＝5.点D 是边BC 上的动点，AD →＝xAB →＋yAC →，当xy 取最大值时，|AD →|的值为( )A ．4B ．3 C.52 D.125【解析】 ∵|AB |＝3，|AC |＝4，|BC |＝5，∴△ABC 为直角三角形．如图建立平面直角坐标系，A (0,0)，B (3,0)，C (4,4)， 设D (a ，b )， 由AD →＝xAB →＋yAC →， 则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3x ，b ＝4y ， ∴xy ＝ab12.又∵D 在直线l BC ：x 3＋y4＝1上，∴a 3＋b 4＝1，则a 3＋b 4≥2 ab12. ∴ab 12≤14，即xy ≤14， 此时a ＝32，b ＝2，|AD →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22＝52. 【答案】 C二、填空题6．(2014·辽宁高考)对于c ＞0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，1a ＋2b ＋4c的最小值为________．【解析】 要使|2a ＋b |最大，则必须a ，b 同号，因为4a 2＋b 2＋4ab ＝c ＋6ab ＝(2a ＋b )2≤c＋3(2a ＋b 2)2，故有(2a ＋b )2≤4c ，c ≥2a ＋b 24，当且仅当2a ＝b 时取等号，此时c ＝b 2，所以1a ＋2b ＋4c ＝4b ＋4b 2＝4(1b ＋12)2－1≥－1，故1a ＋2b ＋4c 的最小值为－1. 【答案】 －17．(2014·北京东城区质检)定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离等于曲线C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2到直线l ：y ＝x 的距离，则实数a ＝________.【解析】 圆C 2的圆心到直线l 的距离为|0－－4|12＋－12＝22>2，此时直线l 与圆C 2相离．根据新定义可知，曲线C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2到直线l ：y ＝x 的距离为22－2＝2，对函数y ＝x 2＋a 求导得y ′＝2x ，令y ′＝1⇒2x ＝1⇒x ＝12，故曲线C 1在x ＝12处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋a ＝x －12，即x －y ＋a －14＝0，∴2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －142，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＝2，∴a ＝94或－74(舍去)．【答案】 948．(2014·福建厦门质检)已知函数f (x )＝x ＋3a2x－2a ln x 在区间(1,2)内是增函数，则实数a 的取值范围是________．【解析】 f ′(x )＝1－3a 2x 2－2a x ，由已知得1－3a 2x 2－2a x≥0在x ∈(1,2)内恒成立，即x2－2ax －3a 2≥0在x ∈(1,2)内恒成立．设g (x )＝x 2－2ax －3a 2，则⎩⎪⎨⎪⎧g 1≥0a ≤1，或⎩⎪⎨⎪⎧g 2≥0a ≥2，或Δ＝(－2a )2＋12a 2≤0，解得－1≤a ≤13或a ∈∅或a ＝0，所以实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13三、解答题9．(2014·安徽江南十校)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2n＋1a n (n ∈N *)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等比数列；(2)设数列{S n }的前n 项和为T n ，求T n ； (3)试比较T n 与nS n 的大小．【解】 (1)证明 由a 1＝S 1＝2－3a 1得a 1＝12，由S n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1a n 得S n －1＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －1＋1a n －1(n ≥2)，于是a n ＝S n －S n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －1＋1a n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1a n(n ≥2)，整理得a n n ＝12×a n －1n －1(n ≥2)，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项及公比均为12的等比数列．(2)由(1)知a n n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，即a n ＝n 2n ，代入已知得S n ＝2－n ＋22n ，令数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ＋22n 的前n 项和为A n ，则A n ＝32＋422＋523＋…＋n ＋22n ，由错位相减法得A n ＝4－n ＋42n ，所以数列{S n }的前n 项和T n ＝2n －⎝⎛⎭⎪⎫4－n ＋42n ＝2n ＋n ＋42n －4.(3)由S n ＝2－n ＋22n 得S n ＋1－S n ＝n ＋22n －n ＋32n ＋1＝n ＋12n ＋1>0知数列{S n }为递增数列，所以当n ＝1时，T 1＝S 1；当n ≥2时，T n ＝S 1＋S 2＋…＋S n <S n ＋S n ＋…＋S n ＝nS n .10．(2014·天津高考)已知函数f (x )＝x 2－23ax 3(a ＞0)，x ∈R .(1)求f (x )的单调区间和极值；(2)若对于任意的x 1∈(2，＋∞)，都存在x 2∈(1，＋∞)，使得f (x 1)·f (x 2)＝1.求a 的取值范围．【解】 (1)由已知，有f ′(x )＝2x －2ax 2(a ＞0)．令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝1a.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，0) 0 (0，1a)1a(1a，＋∞)f ′(x ) －0 ＋0 －f (x )↘13a2所以，f (x )的单调递增区间是(0，a )；单调递区间是(－∞，0)，(a，＋∞)．当x ＝0时，f (x )有极小值，且极小值f (0)＝0；当x ＝1a 时，f (x )有极大值，且极大值f (1a)＝13a2. (2)由f (0)＝f (32a )＝0及(1)知，当x ∈(0，32a)时，f (x )＞0；当x ∈(32a，＋∞)时，f (x )＜0.设集合A ＝{f (x )|x ∈(2，＋∞)}，集合B ＝{1f x|x ∈(1，＋∞)，f (x )≠0}．则“对于任意的x 1∈(2，＋∞)，都存在x 2∈(1，＋∞)，使得f (x 1)·f (x 2)＝1”等价于A ⊆B .显然，0∉B .下面分三种情况讨论：①当32a ＞2，即0＜a ＜34时，由f (32a)＝0可知，0∈A ，而0∉B ，所以A 不是B 的子集．②当1≤32a ≤2，即34≤a ≤32时，有f (2)≤0，且此时f (x )在(2，＋∞)上单调递减，故A＝(－∞，f (2))，因而A ⊆(－∞，0)；由f (1)≥0，有f (x )在(1，＋∞)上的取值范围包含(－∞，0)，则(－∞，0)⊆B .所以A ⊆B .③当32a ＜1，即a ＞32时，有f (1)＜0，且此时f (x )在(1，＋∞)上单调递减，故B ＝(1f 1，0)，A ＝(－∞，f (2))， 所以A 不是B 的子集．综上，a 的取值范围是[34，32]．。
思想02分类与整合思想(教学案)高考数学二轮复习能力提升讲练通(浙江版)含解析
【概述】1.分类整合思想的含义：分类与整合思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度；分类研究后还要对讨论结果进行整合．2.分类与整合思想在解题中的应用(1)由数学概念引起的分类．有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论．有的定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．可知，设、，则有则同理可得则的面积.令，则，令，则有，则.综上，.【名师点睛】1.有许多核心的数学概念是分类的,由数学概念引起的分类讨论,如绝对值的定义、二次函数的定义、分段函数的定义、异面直线所成角的定义、直线的斜率、指数函数、对数函数等.2.在中学数学中,一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性,基本不等式,等比数列的求和公式在不同的条件下有不同的结论,或者在一定的限制条件下才成立,应根据题目条件确定是否进行分类讨论.3.有些分类讨论的问题是由运算的需要引发的.比如除法运算中分母能否为零的讨论;解方程及不等式时,两边同乘一个数是否为零、正数、负数的讨论;二次方程运算中对两根大小的讨论;求函数单调性时,导数正负的讨论;排序问题;差值比较中的差的正负的讨论;有关去绝对值或根号问题中等价变形引发的讨论等. 应用2 由图形位置或形状引起的分类讨论 例3. 【全国高中数学联赛湖南省预赛】已知向量，.若函数在区间上是单调增函数，求的取值范围. 【答案】【解析】例4.设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点.已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1||PF 2|的值为________. 【答案】72或2【名师点睛】1.一般由图形的位置或形状变动引发的讨论包括:二次函数对称轴位置的变动;函数问题中区间的变动;函数图象形状的变动;直线由斜率引起的位置变动;圆锥曲线由焦点引起的位置变动或由离心率引起的形状变动;立体几何中点、线、面的位置变动等.2.圆锥曲线形状不确定时，常按椭圆、双曲线来分类讨论，求圆锥曲线的方程时，常按焦点的位置不同来分类讨论.3.相关计算中，涉及图形问题时，也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论.【趁热打铁】【2018届广东省珠海一中等六校高三第三次联考】实数满足，且的最大值不小于1，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】设，∵的最大值不小于1，由得，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最大，当时，由，解得，即．此时点也在直线x上，此时，∴要使的最大值不小于1，则.故选A．应用3 由变量或参数引起的分类讨论例5.【天津市七校（静海一中、宝坻一中、杨村一中等)2019届高三上期末】已知函数，若方程有八个不等的实数根，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】有图像可知当时，有四个不同的x与f（x）对应，令，又方程有八个不等的实数根，所以在内有两个不等的实数根，令，可得，得.故答案为：例6.【浙江省台州中学2018届高三上学期第三次统练】若关于x 的不等式在[]1,2上恒成立，则实数b 的取值范围是_______. 【答案】2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭【趁热打铁】【浙江省台州中学2018届高三上学期第三次统练】已知函数．（1）当1,2a b ==时，若存在，使得，求实数c 的取值范围；（2）若,,a b c 为正整数，方程的两个实数根12,x x 满足，求a b c ++的最小值．【答案】（1）21c -≤<-或23c ≤<.（2）11． 【解析】（1）当1,2a b ==时，由题意可知， ()2f x =在[]2,0-上有两个不等实根，或()2f x =-在[]2,0-上有两个不等实根，则或,解得23c ≤<或21c -≤<-即实数c 的取值范围是21c -≤<-或23c ≤<.【名师点睛】含有参数的分类讨论问题主要包括:(1)含有参数的不等式的求解;(2)含有参数的方程的求解;(3)函数解析式中含参数的最值与单调性问题;(4)二元二次方程表示曲线类型的判定等.求解这类问题的一般思路是:结合参数的意义及参数对结果的影响进行分类讨论.讨论时,应全面分析参数变化引起结论的变化情况,参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想.【反思提升】1.简化分类讨论的策略:(1)消去参数;(2)整体换元;(3)变更主元;(4)考虑反面;(5)整体变形;(6)数形结合;(7)缩小范围等.2.分类讨论遵循的原则是:不遗漏、不重复,科学地划分,分清主次,不越级讨论.3.解题时把好“四关”.(1)要深刻理解基本知识与基本原理,把好“基础关”;(2)要找准划分标准,把好“分类关”;(3)要保证条理分明,层次清晰,把好“逻辑关”;(4)要注意对照题中的限制条件或隐含信息,合理取舍,把好“检验关”.。
2020版高三数学二轮复习(全国理)讲义：专题九 第三讲 分类与整合思想
第三讲 分类与整合思想Z知识整合hi shi zheng he 一、分类与整合思想的含义分类与整合思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要把研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．实质上，分类与整合是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略．二、分类与整合的常见类型有关分类与整合的数学问题需要运用分类与整合思想来解决，引起分类与整合的原因大致可归纳为如下几种：1．由数学概念引起的分类与整合：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．2．由性质、定理、公式的限制引起的分类与整合：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n 项和公式、函数的单调性等．3．由数学运算要求引起的分类与整合：如除法运算中除数不为零，偶次方根被开方数为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．4．由图形的不确定性引起的分类与整合：有的图形类型、位置需要分类，如角的终边所在的象限，点、线、面的位置关系等．5．由参数的变化引起的分类与整合：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．6．由实际意义引起的讨论：此类问题常常出现在应用题中．命题方向1 由概念、法则、公式引起的分类与整合例1已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝－.32[解析] 当a >1时，函数f (x )＝a x ＋b 在[－1,0]上为增函数，由题意，得Error!无解．当0<a <1时，函数f (x )＝a x ＋b 在[－1,0]上为减函数，由题意得Error!解得Error!所以a ＋b ＝－.32『规律总结』“四步”解决由概念、法则、公式引起的分类与整合问题第一步：确定分类对象：一般把需要用到概念、法则、公式解决问题的对象作为分类目标．第二步：确定分类标准：运用概念、法则、公式对分类对象进行区分．第三步：分类解决“分目标”：对分类出来的“分目标”分别进行处理．第四步：汇总“分目标”：将“分目标”问题进行汇总，并作进一步处理．G跟踪训练en zong xun lian 1．若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在区间[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )在区间[0，＋∞)上是增函数，则a ＝.x 14[解析] 若a >1，则a 2＝4，a －1＝m ，此时a ＝2，m ＝，此时g (x )＝－在[0，＋∞)12x 上为减函数，不合题意．若0<a <1，有a －1＝4，a 2＝m ，故a ＝，m ＝，此时g (x )＝在[0，＋∞)上为增函数，符合题意．1411634x 综上可知，a ＝.142．已知函数f (x )＝Error!若f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能值为1或－.22[解析] f (1)＝e 0＝1，，即f (1)＝1，由f (1)＋f (a )＝2，得f (a )＝1.当a ≥0时，f (a )＝1＝e a －1，所以a ＝1，当－1<a <0时，f (a )＝sin(πa 2)＝1，所以πa 2＝2k π＋(k ∈Z )．π2所以a 2＝2k ＋(k ∈Z )，k 只能取0，此时a 2＝.因为－1<a <0，所以a ＝－.故a ＝1121222或－.22命题方向2 由图形位置或形状引起的分类与整合例2 (1)在约束条件Error!下，当3≤s ≤5时，z ＝3x ＋2y 的最大值的变化范围是( D )A ．[6,15] B ．[7,15]C ．[6,8]D ．[7,8][解析] (1)由Error!⇒Error!取点A (2,0)，B (4－s,2s －4)，C (0，s )，C ′(0,4)．①当3≤s <4时，可行域是四边形OABC ，如图1所示．此时，7≤z <8.②当4≤s ≤5时，此时可行域是△OAC ′，如图2所示，z max ＝8.综上，z ＝3x ＋2y 最大值的变化范围是[7,8]．(2)设圆锥曲线T 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线T 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线T 的离心率为或.1232[解析] 不妨设|PF 1|＝4t ，|F 1F 2|＝3t ，|PF 2|＝2t ，若该圆锥曲线为椭圆，则有|PF 1|＋|PF 2|＝6t ＝2a ，|F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝＝＝＝；c a 2c2a 3t6t 12若该圆锥曲线是双曲线，则有|PF 1|－|PF 2|＝2t ＝2a ，|F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝＝＝.c a 3t2t 32所以圆锥曲线T 的离心率为或.1232『规律总结』图形位置或形状的变化中常见的分类圆锥曲线形状不确定时，常按椭圆、双曲线来分类讨论，求圆锥曲线的方程时，常按焦点的位置不同来分类讨论；相关计算中，涉及图形问题时，也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论．G跟踪训练en zong xun lian (2017·郑州三模)设F 1，F 2为椭圆＋＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点．已知x 29y 24P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则的值为或2.|PF 1||PF 2|72[解析] 若∠PF 2F 1＝90°.则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，又因为|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝2，5解得|PF 1|＝，|PF 2|＝，14343所以＝.|PF 1||PF 2|72若∠F 1PF 2＝90°，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，所以|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2＝20.所以|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，所以＝2.|PF 1||PF 2|综上知，＝或2.|PF 1||PF 2|72命题方向3 由变量或参数引起的分类与整合(文)例3 设函数f (x )＝x 3－ax －b ，x ∈R ，其中a ，b ∈R .求f (x )的单调区间．[思路探究] 看到求f (x )＝x 3－ax －b 的单调区间，想到对参数a 进行分类整合，分为a ≤0和a >0两种情况．[解析] 由f (x )＝x 3－ax －b ，可得f ′(x )＝3x 2－a .下面分两种情况讨论：①当a ≤0时，f ′(x )＝3x 2－a ≥0恒成立．所以f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．②当a ＞0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝或x ＝－.3a33a3当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化如表：x (－∞，－3a 3)－3a 3(－3a 3，3a 3)3a 3(3a 3，＋∞)f ′(x )＋0－0＋f (x )单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以f (x )的单调递减区间为，单调递增区间为，.(－3a 3，3a3)(－∞，－3a3)(3a3，＋∞)『规律总结』几种常见的由参数变化引起的分类与整合(1)含有参数的不等式的求解．(2)含有参数的方程的求解．(3)对于解析式系数是参数的函数，求最值与单调性问题．(4)二元二次方程表示曲线类型的判定等．(5)直线与圆锥曲线位置关系的分类．(理)例3 已知函数g (x )＝(a ∈R )，f (x )＝ln(x ＋1)＋g (x )．axx ＋1(1)若函数g (x )过点(1,1)，求函数f (x )的图象在x ＝0处的切线方程；(2)判断函数f (x )的单调性．[解析] (1)因为函数g (x )过点(1,1)，所以1＝，a1＋1解得a ＝2，所以f (x )＝ln(x ＋1)＋.2xx ＋1所以f ′(x )＝＋＝.1x ＋12(x ＋1)2x ＋3(x ＋1)2所以f ′(0)＝3.所以所求的切线的斜率为3.又f (0)＝0，所以切点为(0,0)．故所求的切线方程为y ＝3x .(2)因为f (x )＝ln(x ＋1)＋(x >－1)，axx ＋1所以f ′(x )＝＋＝.1x ＋1a (x ＋1)－ax(x ＋1)2x ＋1＋a(x ＋1)2①当a ≥0时，因为x >－1，所以f ′(x )>0.②当a <0时，由Error!得－1<x <－1－a ；由Error!得x >－1－a .综上可知，当a ≥0时，函数f (x )在(－1，＋∞)内单调递增；当a <0时，函数f (x )在(－1，－1－a )内单调递减，在(－1－a ，＋∞)内单调递增．『规律总结』1．几种常见的由参数变化引起的分类讨论(1)含有参数的不等式的求解．(2)含有参数的方程的求解．(3)对于解析式系数是参数的函数，求最值与单调性问题．(4)二元一次方程表示曲线类型的判定等．2．利用分类讨论思想的注意点(1)分类讨论要标准统一，层次分明，分类要做到“不重不漏”．(2)分类讨论时要根据题设条件确定讨论的级别，再确定每级讨论的对象与标准，每级讨论中所分类别应做到与前面所述不重不漏．(3)讨论结果归类合并，最后整合时要注意是取交集、并集，还是既不取交集也不取并集只是分条列出．G跟踪训练en zong xun lian 当实数x ，y 满足Error!时，ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是(－∞，].32[解析] 由约束条件作可行域如图，联立Error!解得C (1，)．32联立Error!解得B (2,1)．在x －y －1＝0中取y ＝0得A (1,0)．由ax ＋y ≤4得y ≤－ax ＋4，要使ax ＋y ≤4恒成立，则平面区域在直线y ＝－ax ＋4的下方，若a ＝0，则不等式等价于y ≤4，此时满足条件，若－a >0，即a <0，平面区域满足条件，若－a <0，即a >0时，要使平面区域在直线y ＝－ax ＋4的下方，则只要B 在直线上或直线下方即可．即2a ＋1≤4，得0<a ≤.综上a ≤.3232所以实数a 的取值范围是(－∞，]．32。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高中数学 专题培优二轮复习 课题：专题培优 第三讲 分类与整合思想
1． 在解答某些数学问题时，有时需要对各种情况进行分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类与整合的思想．分类讨论体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法． 2． 分类的原则是：(1)分类的对象确定，标准统一；(2)不重复，不遗漏；(3)分层次，不越级讨论． 3． 中学数学中可能引起分类讨论的因素： (1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等． (2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{an}的前n项和公式等． (3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等． (4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等． (5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等． 总之，分类讨论要明确讨论的原因和对象，确定讨论标准，最后要对讨论进行总结；可以不分类的就不要分类讨论． 1． (最新·安徽)“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的 ( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 C 解析 当a＝0时，f(x)＝|(ax－1)x|＝|x|在区间(0，＋∞)上单调递增； 当a<0时，结合函数f(x)＝|(ax－1)x|＝|ax2－x|的图象知函数在(0，＋∞)上单调递增，如图(1)所示；
当a>0时，结合函数f(x)＝|(ax－1)x|＝|ax2－x|的图象知函数在(0，＋∞)上先增后减再增，不符合条件，如图(2)所示． 所以，要使函数f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)上单调递增只需a≤0. 即“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)上单调递增”的充要条件． 2． (·课标全国)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos 2θ等于 ( ) A．－45 B．－35 C.35 D.45
答案 B 解析 设P(t,2t)(t≠0)为角θ终边上任意一点， 则cos θ＝t5|t|.
当t>0时，cos θ＝55；当t<0时，cos θ＝－55. 因此cos 2θ＝2cos2θ－1＝25－1＝－35. 3． (最新·四川)函数y＝ax－1a(a>0，且a≠1)的图象可能是 ( )
答案 D 解析 当a>1时，y＝ax－1a为增函数，且在y轴上的截距为0<1－1a<1，排除A，B. 当04． (最新·天津)已知函数f(x)＝x(1＋a|x|)．设关于x的不等式f(x＋a)－12，
1
2⊆A，则实数a的取值范围是 ( )
A.1－52，0 B.1－32，0 C.1－52，0∪0，1＋32 D.－∞，1－52 答案 A 解析 ∵－12，12⊆A，∴f(a)
∴a(1＋a|a|)<0，解得－1∵f－12＋a
∴－12＋a1＋a－12＋a<－121＋a2， ∴a－12＋a－12＋a<－54a. ∵－1－54， ∴－－12＋a2>－54，∴－12＋a2<54， ∴1－525． (最新·天津)设a＋b＝2，b>0，则12|a|＋|a|b的最小值为________． 答案 34 解析 当a>0时，12|a|＋|a|b＝12a＋ab＝a＋b4a＋ab＝14＋b4a＋ab≥54； 当a<0时，12|a|＋|a|b＝1－2a＋－ab＝a＋b－4a＋－ab＝－14＋b－4a＋－ab≥－14＋1＝34. 综上所述，12|a|＋|a|b的最小值是34.
题型一 由数学概念、运算引起的分类讨论 例1 函数f(x)＝ sinπx2，－1
A．1 B．1，－22 C．－22 D．1，22 审题破题 由于f(x)为分段函数，故求f(a)时要分－1答案 B 解析 f(1)＝e0＝1，即f(1)＝1. 当a≥0时，f(a)＝1＝ea－1，∴a＝1. 当－1∴πa2＝2kπ＋π2(k∈Z)．
∴a2＝2k＋12(k∈Z)，k只取0，此时a2＝12. ∵－1反思归纳 (1)分段函数在自变量不同取值范围内，对应关系不同，必须进行讨论．由数学定义引发的分类讨论一般由概念内涵所决定，解决这类问题要求熟练掌握并理解概念的内涵与外延． (2)在数学运算中，有时需对不同的情况作出解释，就需要进行讨论，如解二元不等式涉及到两根的大小等． 变式训练1 (1)已知数列{an}的前n项和Sn＝pn－1(p是常数)，则数列{an}是 ( ) A．等差数列 B．等比数列 C．等差数列或等比数列 D．以上都不对 答案 D 解析 ∵Sn＝pn－1， ∴a1＝p－1，an＝Sn－Sn－1＝(p－1)pn－1(n≥2)， 当p≠1且p≠0时，{an}是等比数列； 当p＝1时，{an}是等差数列； 当p＝0时，a1＝－1，an＝0(n≥2)，此时{an}既不是等差数列也不是等比数列． (2)若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝∅，则实数a的值的集合是 ( ) A．{a|0C．{a|0答案 D 解析 由题意知a＝0时，满足条件．a≠0时， 由 a>0Δ＝a2－4a≤0得0
题型二 由图形或图象引起的分类讨论 例2 设F1、F2为椭圆x29＋y24＝1的两个焦点，P为椭圆上一点，已知P、F1、F2是一个直
角三角形的三个顶点，且||PF1＞||PF2.求||PF1||PF2的值． 审题破题 直角三角形关键是确定直角顶点，由|PF1|>|PF2|知，只需分∠PF2F1和∠F1PF2
分别为直角两种情况即可．
解 若∠PF2F1＝90°， 则||PF12＝|PF2|2＋||F1F22， 又∵||PF1＋||PF2＝6，||F1F2＝25， 解得||PF1＝143，||PF2＝43，∴||PF1||PF2＝72.
若∠F1PF2＝90°， 则||F1F22＝||PF12＋||PF22， ∴||PF12＋(6－||PF1)2＝20， 又|PF1|>|PF2|，∴||PF1＝4，||PF2＝2， ∴||PF1||PF2＝2.综上知，||PF1||PF2＝72或2.
反思归纳 (1)本题中直角顶点的位置不定，影响边长关系，需按直角顶点不同的位置进行讨论． (2)涉及几何问题时，由于几何元素的形状、位置变化的不确定性，需要根据图形的特征进行分类讨论． 变式训练2 已知m∈R，求函数f(x)＝(4－3m)x2－2x＋m在区间[0,1]上的最大值． 解 ①当4－3m＝0，即m＝43时，
函数y＝－2x＋43，它在[0,1]上是减函数． 所以ymax＝f(0)＝43. ②当4－3m≠0时，即m≠43时，y是二次函数． ⅰ若4－3m>0，即m<43时，二次函数y的图象开口向上，对称轴x＝14－3m>0，它在[0,1]上的最大值只能在区间端点取得(由于此处不涉及最小值，故不需讨论区间与对称轴的关系)． f(0)＝m，f(1)＝2－2m. 当m≥2－2m，又m<43，即23≤m<43时，ymax＝m.
当m<2－2m，又m<43，即m<23时，ymax＝2－2m. ⅱ若4－3m<0，即m>43时，二次函数y的图象开口向下，又它的对称轴方程x＝14－3m<0，所以函数y在[0,1]上是减函数，于是ymax＝f(0)＝m. 由①、②可知，这个函数的最大值为 ymax＝ 2－2m，m<23，m，m≥23. 题型三 由参数引起的分类讨论 例3 已知函数f(x)＝(a＋1)ln x＋ax2＋1.讨论函数f(x)的单调性． 审题破题 根据函数f(x)的导函数求解函数f(x)的单调区间，需要对参数a进行分类讨论，从而通过函数f(x)的导函数是否大于零判断函数f(x)的单调性． 解 由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝a＋1x＋2ax＝2ax2＋a＋1x.
①当a≥0时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增． ②当a≤－1时，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减． ③当－1
则当x∈0， －a＋12a时，f′(x)>0； 当x∈ －a＋12a，＋∞时，f′(x)<0. 故f(x)在0， －a＋12a上单调递增， 在 －a＋12a，＋∞上单调递减． 综上，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a≤－1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减； 当－1
在 －a＋12a，＋∞上单调递减． 反思归纳 一般地，遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论，此种题目为含参型，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想，分类要做到分类标准明确，不重不漏． 变式训练3 是否存在非零实数a，使函数f(x)＝ax2＋(a－2)x＋1在[－2,3]上的最大值为34？
若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由． 解 若f(－2)＝34，则a＝－178，此时，抛物线的开口向下，对称轴方程为x＝－3334∈[－
2,3]，显然f(－2)不可能是最大值，因此a≠－178. 若f－a－22a＝34， 即a－a－22a2＋(a－2)－a－22a＋1＝34， 则a2－5a＋4＝0，解得a＝1或a＝4.