陕西省渭南市2015届高三教学质量检测(一模)数学(理)试题及答案
2015年陕西省咸阳市高三理科一模数学试卷
2015年陕西省咸阳市高三理科一模数学试卷一、选择题（共12小题；共60分）1. 已知全集为，集合，，A. B. C. D.2. 若复数满足，则A. B. C. D.3. 若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是A. B.C. D.4. 已知命题；命题，且的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是A. B. C. D.5. 一只蜜蜂在一个棱长为的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体个表面的距离均大于，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行’’的概率为A. B. C. D.6. 已知圆经过椭圆：的右焦点和上顶点，则椭圆的离心率为A. B. C. D.7. 阅读如图所示的程序框图，则输出的A. B. C. D.8. 在数阵里，每行、每列的数依次均成等差数列，其中，则所有数的和为A. B. C. D.9. 如图所示为函数的部分图象，，两点之间的距离为，且，则A. B. C. D.10. 函数的图象大致是A. B.C. D.11. 已知是球的直径上一点，，平面，为垂足，截球所得截面的面积为，则球的表面积为A. B. C. D.12. 弹子跳棋共有颗大小相同的球形弹子，现在在棋盘上将他们叠成正四面体球堆，试剩下的弹子尽可能的少，那么剩余的弹子共有颗．A. B. C. D.二、填空题（共4小题；共20分）13. 已知向量，，则在方向上的投影为______．14. 若，满足条件则的最大值为______15. ______．16. 设，有唯一解，，，，则______．三、解答题（共8小题；共104分）17. 已知的三个内角，，的对边分别为，，，且的面积为．（1）若，求角，，的大小；（2）若，且，求边的取值范围．18. 已知甲盒内有大小相同的个红球和个黑球，乙盒内有大小相同的个红球和个黑球．现在从甲、乙两个盒内各任取个球．（1）求取出的个球均为黑色球的概率；（2）求取出的个球中恰有个红球的概率；（3）设为取出的个球中红球的个数，求的分布列和数学期望．19. 如图，正方形所在的平面与平面垂直，是和的交点，，且．（1）求证：平面；（2）求二面角的大小．20. 如图，已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，抛物线上的点到的距离为，且的横坐标为．过点作抛物线的两条动弦，，且，的斜率满足．（1）求抛物线的方程；（2）直线是否过某定点?若过某定点，请求出该点坐标；若不过某定点，请说明理由．21. 已知函数．（1）若为定义域上的单调函数，求实数的取值范围；（2）当，且时，证明：．22. 如图，直线与相切于点，是的弦，的平分线交于点，连接，并延长与直线相交于点．（1）求证：；（2）若，．求弦的长．23. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标中，圆的方程为．（1）写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程；（2）若点坐标为，圆与直线交于，两点，求的值．24. 已知，．（1）解不等式；（2）若不等式恒成立，求的取值范围．答案第一部分1. A2. B3. A4. D5. C6. D7. B8. A9. A 10. B11. C 12. B第二部分13.14.15.16.第三部分17. （1）由已知及三角形面积公式得，化简得，即，又，所以．解法 1：由，及正弦定理得，，又因为，所以，化简可得，而，所以，．解法 2：由余弦定理得，，所以，所以，知，．（2）由正弦定理得，即，由，得又由，知，故．18. （1）设“从甲盒内取出的个球均为黑球”为事件，“从乙盒内取出的个球均为黑球”为事件．因为事件，相互独立，且，．所以取出的个球均为黑球的概率为．（2）设“从甲盒内取出的个球均为黑球；从乙盒内取出的个球中，个是红球，个是黑球”为事件，“从甲盒内取出的个球中，个是红球，个是黑球；从乙盒内取出的个球均为黑球”为事件．因为事件，互斥，且，．所以取出的个球中恰有个红球的概率为．（3）可能的取值为，，，．由（Ⅰ），（Ⅱ）得，，又，从而．的分布列为的数学期望．19. （1）几何法：因为四边形是正方形，所以，又因为平面平面，，所以平面，因为平面，所以，又因为，所以平面．向量法：因为四边形是正方形，所以，因为平面平面，平面，所以以点为原点，以过点平行于的直线为轴，分别以直线和为轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系，，则，，，是正方形的对角线的交点，，，，，所以，，所以，，又，所以平面．（2）几何法：过作于，连接，平面，所以，所以平面，所以是二面角的平面角，因为平面平面，所以平面，所以，在中，，有，设，得，，．所以．所以，所以．所以二面角等于．向量法：设平面的法向量为，则，，所以取，则，则，又因为为平面的一个法向量．所以，设二面角的平面角为，则，所以，所以二面角等于．20. （1）设抛物线方程为，由其定义知，又，所以，．（2）易知，设，，方程为，把方程代入，并整理得，，，，由及，，得，即，所以，代入方程得：，即，故直线过定点．21. （1），所以，对，，故不存在实数，使对恒成立，由对恒成立得，对恒成立，而，故．经检验，当时，对恒成立．所以当时，为定义域上的单调递增函数．（2）当时，令，，在上总有，即在上递增．所以当时，，即．令，在上单调递减，所以．即，综上所述，当，且时，．22. （1）因为与相切于点，所以，因为，所以，所以，由切割线定理得：，所以．（2）由，及（1）知，因为直线与相切于点，是的弦，所以，又，所以，所以，所以．23. （1）由得直线的普通方程为，又由得，化为直角坐标方程为．（2）把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，得，即，设，是上述方程的两实数根，所以，又直线过点，，两点对应的参数分别为，，所以．24. （1）方法1：做出图象，所以的解集为．表示数轴上的对应点到和对应点的距离之和，而对应点到和对应点的距离之和正好等于，对应点到和对应点的距离之和正好等于，故不等式的解集为．（2）若不等式恒成立，即恒成立．而的最小值为，所以，所以，解得，故的范围．。
2015届高三“一模”数学模拟试卷(1)(含答案)
2015届高三“一模”数学模拟试卷（1）（满分150分，考试时间120分钟）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知函数1()y f x -=是函数1()2(1)x f x x -=≥的反函数，则1()f x -= ．2．若集合2214x A x y ⎧⎫⎪⎪=-=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{}1B x x =≥，则A B = ． 3．函数lg 3y x =-的定义域是．4．已知行列式cos sin 21x x =-，(0,)2x π∈，则x = ．5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3050S =，5030S =，则80S = ． 6．函数log (3)1a y x =+-(0a >且1)a ≠的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则12m n+的最小值为 ． 7．设等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若*2()31n n S n n N T n =∈+，则54a b = ． 8．2310(133)x x x +++展开式中系数最大的项是 ．9．电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59，每一时刻都由4个数字组成，则一天中任一时刻显示的4个数字之和为23的概率为 ．10．已知tan ,tan αβ是关于x 的方程2(23)(2)0mx m x m +-+-=(0)m ≠的两根，则tan()αβ+的最小值为．11．若不等式(0)x a ≥>的解集为[,]m n ，且2m n a -=，则a 的取值集合为 ．12．如图，若从点O 所作的两条射线,OM ON 上分别有点12,M M 与点12,N N ，则三角形面积之比21212211ON ON OM OM S S N OM N OM ⋅=∆∆，若从点O 所作的不在同一平面内的三条射线,OP OQ 和OR 上， 分别有点12,P P ，点12,Q Q 和点12,R R ，则类似的结论 为 ．13．圆锥的底面半径为cm 5 ，高为12cm ，则圆锥的内接圆柱全面积的最大值为 ．14．已知2()(0)f x ax bx c a =++≠，且方程()f x x =无实根，现有四个命题： ① 方程[()]f f x x =也一定没有实数根；② 若0a >，则不等式[()]f f x x >对一切x R ∈恒成立； ③ 若0a <，则必存在实数0x 使不等式00[()]f f x x >成立； ④ 若0a b c ++=，则不等式[()]f f x x <对一切x R ∈成立； 其中是真命题的有 ．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．15． “arcsin 1x ≥”是“arccos 1x ≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件16．248211111lim(1)(1)(1)(1)...(1)22222n n →∞+++++=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．417．设(0,0)O ，(1,0)A ，(0,1)B ，点P 是线段AB 上的一个动点，AP AB λ=，若OP AB PA PB ⋅≥⋅，则实数λ的取值范围是（ ）A ．112λ≤≤ B ．112λ-≤≤C ．1122λ≤≤+D ．1122λ-≤≤+18．若对于满足13t -≤≤的一切实数t ，不等式222(3)(3)0x t t x t t -+-+->恒成立，则x 的取值范围为（ ） A ．(,2)(9,)-∞-+∞ B ．(,2)(7,)-∞-+∞ C ．(,4)(9,)-∞-+∞D ．(,4)(7,)-∞-+∞三、解答题：（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题6分．已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+．（1）求函数()f x 的最小正周期和图像的对称轴方程；（2）求函数()f x 在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域．20．（本题满分12分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题6分．设虚数12,z z 满足212z z =．（1）若12,z z 又是一个实系数一元二次方程的两个根，求12,z z ；（2）若11z mi =+(0,m i >为虚数单位)，1z ≤23z ω=+，求ω的取值范围．21．（本题满分14分）本题共2小题，第1小题7分，第2小题7分．如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，已知AC BC =，D 为AB 的中点，平面111A B C ⊥平面11ABB A ，且异面直线1BC 与1AB 互相垂直． （1）求证：1AB ⊥平面1ACD ；（2）若1CC 与平面11ABB A 的距离为1，115AC AB =， 求三棱锥1A ACD -体积．7分．已知函数()f x 的图象在[,]a b 上连续不断，定义：若存在最小正整数k ，使 得()()f x k x a ≤-对任意[,]x a b ∈恒成立，则称函数()f x 为[,]a b 上的 “k 函数”. （1）已知函数()2f x x m =+是[1,2]上的“1函数”，求m 的取值范围； （2）已知函数()3f x x m =+是[1,2]上的“2函数”，求m 的取值范围；（3）已知函数221,[1,0)()1,[0,1),[1,4]x x f x x x x ⎧-∈-⎪=∈⎨⎪∈⎩，试判断()f x 是否为[1,4]-上的“k 函数”，若是，求出对应的k ； 若不是，请说明理由．8分．数列{},{}n n a b 满足：11,a a b b ==，且当2k ≥时，,k k a b 满足如下条件： 当1102k k a b --+≥时，111,2k k k k k a ba ab ---+==， 当1102k k a b --+<时，111,2k k k k k a ba b b ---+==。
2023届陕西省渭南市高三下学期教学质量检测(Ⅰ)理科数学试题(解析版)
【答案】A
【解析】
【分析】根据线线平行可得 或其补角是异面直线 与 所成的角，利用三角形三边关系，由余弦定理即可求解.
【详解】如图，在棱 上取一点 ，使得 ，取 的中点 ，连接 , ，
由于 分别是棱 的中点，所以 ，故四边形 为平行四边形，进而 ,
又因为 是 的中点，所以 ,所以 ，则 或其补角是异面直线 与 所成的角.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设人交谈时的声强为 ，从而得到 ，求出火箭发射时的声强为 ，代入解析式求出答案.
【详解】设人交谈时的声强为 ，则火箭发射时的声强为 ，
则 ，解得： ，
则火箭发射时的声强为 ，将其代入 中，得：
，故火箭发射时的声强级约为 .
故选：B
6.如图，在直三棱柱 中， ，且 分别是棱 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值是（）
【详解】对②：由 ，可得 ，则 （ 与 为常数），
令 ，则 ，所以 ，则 ，
故 关于直线 对称，②正确；
对①：∵ 为偶函数，则 ，
∴ ，则 为奇函数，
故 ，即 ，则 是以4为周期的周期函数，
由 ，令 ，则 ，可得 ，
故 ，①正确；
由 ，令 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，即 ，
故 ，则 ，
对③：由 ，即 ，则 ，
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先证四边形CDNM为平行四边形，进而可得CM//DN，又中位线定理得GF//DN，则GF//CM，再由线面平行的判定定理即可证结论.
（2）过B作BH⊥AC交AC于H，由多面体ABCDE体积最大得BH最大，可知 ， 为 的中点，从而建立空间直角坐标系，求面ABE与面DBE的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示即可求二面角A BE D的正弦值.
【陕西版】2015届高三上学期月考(2)数学理 Word版含答案
2015届上学期高三一轮复习第二次月考数学（理）试题【陕西版】一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的（）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件2．等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3＝6，a3＝4，则公差d等于（）．A．1 B．C．2 D．33．已知sin＝13，则cos（π＋2α）的值为（）．A．－13B．－79C．13D．794．设f（x）＝若f[f（1）]＝1，则a＝（）．A．－1 B．0 C．1 D．25．已知|a|＝1，|b|＝6，a·（b－a）＝2，则向量a与向量b的夹角是（）．A． 30°B． 45°C．60°D．90°6．将函数y＝sin 2x的图象向上平移1个单位长度，再向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式是（）．A．y＝2cos2x B．y＝2sin2x C．y＝1＋sin D．y＝1＋sin 7．已知为等比数列，，，则（）8．若函数f（x）＝（k－1）a x－a－x（a>0，且a≠1）在R上既是奇函数，又是减函数，则g （x）＝log a（x＋k）的图象是（）．9．设a，b，c均为正数，且，，，则（）．A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<a<c10．函数f（x）＝－x3－ax2＋2bx（a，b∈R）在区间[－1,2]上单调递增，则的取值范围是（）．A．（－∞，－1）∪（2，＋∞）B．（2，＋∞）C．（－∞，－1）D．（－1,2）二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卷的相应位置上．）11．已知向量夹角为，且；则12．已知数列{a n}的通项a n与前n项和S n之间满足关系S n＝2－3a n，则a n＝________．13．已知f（x）＝Asin（ωx＋φ）的部分图象如图所示，则f（0）=14．若函数f（x）＝x3－3x＋a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________．15．设函数f（x）＝x|x|＋bx＋c，给出下列四个命题：①c＝0时，y＝f（x）是奇函数；②b＝0，c>0时，方程f（x）＝0只有一个实数根；③y＝f（x）的图象关于点（0，c）对称；④方程f（x）＝0最多有两个实根．其中正确的命题是________（写出序号）．三、解答题：（共75分）16．（12分）设向量（I）若（II）设函数，17．（12分）在公差为d的等差数列{a n}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列（Ⅰ）求d，a n；（Ⅱ）若d<0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|．18．（12分）已知函数（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数的极值．19．（12分）如图，为了计算河岸边两景点B 与C的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A和D两个测量点．现测得AD⊥CD，AD＝100 m，AB＝140 m，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求两景点B与C之间的距离（假设A，B，C，D在同一平面内）．20．（13分）已知向量且A、B、C分别为△ABC的三边a、b、c所对的角。
2015咸阳一模 陕西省咸阳市2015年高考模拟考试(一)数学(理)试题 扫描版含答案
2015年咸阳市高考模拟考试试题（一）理科数学参考答案一、选择题（ 本大题共12小题，每小题5分，共60分）．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.952π. 16. 12015.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）解:由三角形面积公式及已知得S=B ac B ac cos 23sin 21= 化简得B B c o s 3s i n =即3tan =B 又0<B<π故3π=B . ………………………3分（1）由余弦定理得,2222222324cos 2a a a a B ac c a b =-+=-+=∴b=3a.∴a:b:c=1:3:2,知2,6ππ==C A . ………………………………………6分（2）由正弦定理得AC A C a C c A a sin sin 2sin sin c sin sin ===得. 由 C=A -32π,c=A A A A A sin )sin 32cos cos 32(sin 2sin )32sin(2πππ-=-=1tan 3+A又由34ππ≤≤A 知13tan ≤≤A ，故c []13,2+∈ ……………………………………12分18.（本小题共12分）解：（Ⅰ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A ，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B .由于事件A 、B 相互独立，23241()2C P A C ==,24262()5C P B C ==. ………………………………… 3分 ∴取出的4个球均为黑球的概率为121()()()255P A B P A P B ⋅=⋅=⨯=. ……………………………… 4分 （Ⅱ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C ，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D .由于事件C 、D 互斥，且21132422464()15C C C P C C C ==, 123422461()5C C PD C C ==.………………… 7分 所以取出的4个球中恰有1个红球的概率为417()()()15515P C D P C P D +=+=+=. ……………………………… 8分（Ⅲ）设ξ可能的取值为0,1,2,3.由（Ⅰ）、（Ⅱ）得1(0)5P ξ==, 7(1)15P ξ==,13224611(3)30C P C C ξ==⋅=. 所以3(2)1(0)(1)(3)10P P P P ξξξξ==-=-=-==. ξ的分布列为-----------11分∴ ξ的数学期望 17317012351510306E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ………… 12分19（本小题满分12分）解法一:∵四边形ACDE 是正方形， EC AM ⊥；又∵平面⊥ACDE 平面ABC ，BC AC ⊥， ⊥BC 平面EAC ； ………………3分⊂BC 平面EAC ，AM BC ⊥∴；DCAE MH B又C BC EC = ，⊥AM 平面EBC ； ………………6分(2) 过A 作AH ⊥EB 于H ，连结HM ；⊥AM 平面EBC ，EB AM ⊥∴；⊥∴EB 平面AHM ；AHM ∠∴是二面角A-EB-C 的平面角； ………………8分∵平面⊥ACDE 平面ABC ，⊥∴EA 平面ABC ；AB EA ⊥∴；在EAB R t ∆中，AH ⊥EB ，有AH EB AB AE ⋅=⋅；设EA=AC=BC=2a 可得，a EB a AB 32,22==，322a EB AB AE AH =⋅=∴； 23sin ==∠∴AH AM AHM , 60=∠∴AHM . ∴二面角A_EB_C 等于 60. …………12分解法二： ∵四边形ACDE 是正方形 ，AC EA ⊥∴，∵平面⊥ACDE 平面ABC ，⊥EA 平面ABC ； ………2分所以，可以以点A 为原点，以过A 点平行于BC 的直线为X 轴，分别以直线AC 和AE 为y 轴和z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz ； 设EA=AC=BC=2，则A(0,0,0),C(0,2,0),E(0,0,2)，M 是正方形ACDE 的对角线的交点，M(0,1,1)； ……………4分（1）)1,1,0(=→AM ，)2,2,0()2,0,0()0,2,0(-=-=→EC ，)0,0,2()0,2,0()0,2,2(=-=→CB ，0,0=⋅=⋅→→→→CB AM EC AM ，CB AM EC AM ⊥⊥∴,；又C BC EC = ，⊥∴AM 平面EBC ； ………………6分（2） 设平面EAB 的法向量为),,(z y x n =→，则→→⊥AE n 且→→⊥AB n ， 0=⋅∴→→AE n 且0=⋅→→AB n ； (0,0,2)(,,)0(2,2,0)(,,)0x y z x y z ⋅=⎧∴⎨⋅=⎩, 即00z x y =⎧⎨+=⎩取y=-1，则x=1， 则)0,1,1(-=→n ； ………………10分又∵→AM 为平面EBC 的一个法向量，且)1,1,0(=→AM ， 1cos ,2n AM n AM n AM ⋅∴<>==-⋅， 设二面角A-EB-C 的平面角为θ，则1cos cos ,2n AM θ=<>=， 60=∴θ； ∴ 二面角A-EB-C 等于 60. ………………12分 20.解：(1)设抛物线方程为C ：22(0)y px p =>，由其定义知12p AF =+，又2AF =，所以2p =，24y x =. ---------------5分(2)解法一：易知(1,2)A ，当x DE ⊥轴时，设DE 方程为m x =（0≥m ），由⎩⎨⎧==x y m x 42得)2,(),2,(m m E m m D - 由2=⋅AE AD k k 得1-=m 不符题意。
陕西省咸阳市2015年高考模拟考试(一)数学理试题 Word版含答案
2015年咸阳市高考模拟考试试题（一）理科数学参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A+B =P A +P B 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A⋅B =P A ⋅P B如果事件B 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()()C 1n kk kn nk -P =P -P球的表面积公式24R S π=，其中R 表示球的半径 球的体积公式34V R 3π=，其中R 表示球的半径一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知全集为R ，集合112xx ⎧⎫⎪⎪⎛⎫A =≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}2x x B =≥，则()RAB =ð（ ）A ．[)0,2B ．[]0,2C ．()1,2D ．(]1,2 2、若复数z 满足()12i z i +=-，则z i +=（ ）A ．12BC ．2 D 3、若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是（ ）4、已知命题:p 2230x x +->；命题:q x a >，且q ⌝的一个充分不必要条件是p ⌝，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,1-∞B ．(,3-∞-C ．)1,-+∞D ．)1,+∞ 5、一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（ ）A ．18B ．116C ．127D ．386、已知圆()()22112x y -+-=：经过椭圆C :22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点F 和上顶点B ，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12 BC ．2 D ．27、阅读右面的程序框图，则输出的S =（ ）A ．14B ．30C ．20D ．558、在数阵111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭里，每行、每列的数依次均成等差数列，其中222a =，则所有数的和为（ ）A ．18B ．17C ．19D ．21 9、如右图所示为函数()()2sin f x x ωϕ=+（0ω>，2πϕπ≤≤）的部分图象，A ，B 两点之间的距离为5，且()10f =，则()1f -=（ ） A． B ．2 C． D ．3210、函数()1ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象是（ ）11、已知H 是球O 的直径AB 上一点，:1:2AH HB =，AB ⊥平面α，H 为垂足，平面α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为（ ）A ．53π B ．4π C ．92π D ．14435π 12、弹子跳棋共有60颗大小相同的球形弹子，现在在棋盘上将他们叠成正四面体球堆，试剩下的弹子尽可能的少，那么剩余的弹子共有（ ）颗A ．11 B ．4 C ．5 D ．0 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、已知向量()1,3a =，()3,4b =-，则a 在b 方向上的投影为 ．14、若实数x ，y 满足条件211y x y x ⎧≥-⎪⎨≤+⎪⎩，则3z x y =+的最大值为 ．15、3441cos 14x x dx ππ-⎛⎫++= ⎪⎝⎭⎰ ．16、设()()2xf x a x =+，()x f x =有唯一解，()011008f x =，()1n n f x x -=，1n =，2，3，⋅⋅⋅，则2015x = ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17、（本小题满分12分）已知C ∆AB 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且C ∆AB的面积为cos S =B ． ()I 若2c a =，求角A ，B ，C 的大小；()II 若2a =，且43ππ≤A ≤，求边c 的取值范围．18、（本小题满分12分）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球． ()I 求取出的4个球均为黑球的概率；()II 求取出的4个球中恰有1个红球的概率；()III 设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．19、（本小题满分12分）如图，正方形CD A E 所在的平面与平面C AB 垂直，M 是C E 和D A 的交点，C C A ⊥B ，且C C A =B ．()I 求证：AM ⊥平面C EB ；()II 求二面角C A -EB -的大小．20、（本小题满分12分）如图，已知抛物线C 的顶点在原点，焦点F 在x 轴上，抛物线上的点A 到F 的距离为2，且A 的横坐标为1．过A 点作抛物线C 的两条动弦D A 、AE ，且D A 、AE 的斜率满足D 2k k A AE ⋅=．()I 求抛物线C 的方程；()II 直线D E 是否过某定点？若过某定点，请求出该点坐标；若不过某定点，请说明理由．21、（本小题满分12分）已知函数()f x mx =．()I 若()f x 为定义域上的单调函数，求实数m 的取值范围；()II 当1m =，且01b a ≤<≤时，证明：()()423f a f b a b-<<-．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号． 22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，直线Q P 与O 相切于点A ，AB 是O 的弦，∠PAB 的平分线C A 交O 于点C ，连结C B ，并延长与直线Q P 相交于点Q ．()I 求证：22QC C QC Q ⋅B =-A ；()II 若Q 6A =，C 5A =．求弦AB 的长．23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系x y O 中，直线l的参数方程为322x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为ρθ=． ()I 写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；()II 若点P坐标为(，圆C 与直线l 交于A ，B 两点，求PA +PB 的值．24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知()12g x x x a a=+--+（R =++-，()1f x x xa∈）．()I解不等式()5f x≤；()II若不等式()()≥恒成立，求a的取值范围．f xg x2015年咸阳市高考模拟考试试题（一）理科数学参考答案一、选择题（ 本大题共12小题，每小题5分，共60分）．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.952π. 16. 12015. 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分） 解:由三角形面积公式及已知得S=B ac B ac cos 23sin 21= 化简得B B cos 3sin =即3tan =B 又0<B<π故3π=B . ………………………3分（1）由余弦定理得,2222222324cos 2a a a a B ac c a b =-+=-+=∴b=3a. ∴a:b:c=1:3:2,知2,6ππ==C A . ………………………………………6分（2）由正弦定理得ACA C a C c A a sin sin 2sin sin c sin sin ===得. 由 C=A -32π,c=A A A A A sin )sin 32cos cos 32(sin 2sin )32sin(2πππ-=-=1tan 3+A又由34ππ≤≤A 知13tan ≤≤A ，故c []13,2+∈……………………………………12分18.（本小题共12分） 解：（Ⅰ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A ，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B .由于事件A 、B 相互独立，23241()2C P A C ==, 24262()5C P B C ==. ………………………………… 3分∴取出的4个球均为黑球的概率为121()()()255P A B P A P B ⋅=⋅=⨯=. ……………………………… 4分（Ⅱ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C ，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D .由于事件C 、D 互斥，且21132422464()15C C C P C C C ==,123422461()5C C PD C C ==……7分所以取出的4个球中恰有1个红球的概率为417()()()15515P C D P C P D +=+=+=. ……………………………… 8分（Ⅲ）设ξ可能的取值为0,1,2,3.由（Ⅰ）、（Ⅱ）得1(0)5P ξ==, 7(1)15P ξ==,13224611(3)30C P C C ξ==⋅=. 所以3(2)1(0)(1)(3)10P P P P ξξξξ==-=-=-==.ξ的分布列为-----------11分∴ ξ的数学期望 17317012351510306E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ………… 12分19（本小题满分12分）解法一:∵四边形ACDE 是正方形， EC AM ⊥； 又∵平面⊥ACDE 平面ABC ，BC AC ⊥，⊥BC 平面EAC ； ………………3分 ⊂BC 平面EAC ，AM BC ⊥∴；又C BC EC = ，⊥AM 平面EBC ； ………………6分 (2) 过A 作AH ⊥EB 于H ，连结HM ；⊥AM 平面EBC ，EB AM ⊥∴；⊥∴EB 平面AHM ；AHM ∠∴是二面角A-EB-C 的平面角； ………………8分∵平面⊥ACDE 平面ABC ，⊥∴EA 平面ABC ；AB EA ⊥∴； 在EAB R t ∆中，AH ⊥EB ，有AH EB AB AE ⋅=⋅； 设EA=AC=BC=2a 可得，DCAEM H B23sin ==∠∴AH AM AHM ,60=∠∴AHM . ∴二面角A_EB_C 等于60. …………12分 解法二： ∵四边形ACDE 是正方形 ，AC EA ⊥∴，∵平面⊥ACDE 平面ABC ，⊥EA 平面ABC ； ………2分所以，可以以点A 为原点，以过A 点平行于BC 的直线为X 轴，分别以直线AC 和AE 为y 轴和z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz ； 设EA=AC=BC=2，则A(0,0,0),C(0,2,0),E(0,0,2)， M 是正方形ACDE 的对角线的交点，M(0,1,1)； ……………4分 （1）)1,1,0(=→AM ，)2,2,0()2,0,0()0,2,0(-=-=→EC)0,0,2()0,2,0()0,2,2(=-=→CB ，0,0=⋅=⋅→→→→CB AM EC AM ，CB AM EC AM ⊥⊥∴,；又C BC EC = ，⊥∴AM 平面EBC ； ………………6分 （2） 设平面EAB 的法向量为),,(z y x n =→，则→→⊥AE n 且→→⊥AB n ，0=⋅∴→→AE n 且0=⋅→→AB n ；(0,0,2)(,,)0(2,2,0)(,,)0x y z x y z ⋅=⎧∴⎨⋅=⎩, 即00z x y =⎧⎨+=⎩取y=-1，则x=1， 则)0,1,1(-=→n ； ………………10分 又∵→AM 为平面EBC 的一个法向量，且)1,1,0(=→AM ，1cos ,2n AMn AM n AM⋅∴<>==-⋅，设二面角A-EB-C 的平面角为θ，则1cos cos ,2n AM θ=<>=，60=∴θ；∴ 二面角A-EB-C 等于60. ………………12分 20.解：(1)设抛物线方程为C ：22(0)y px p =>， 由其定义知12p AF =+，又2AF =，所以2p =，24y x =. ---------------5分 (2)解法一：易知(1,2)A ，当x DE ⊥轴时，设DE 方程为m x =（0≥m ），由⎩⎨⎧==xy mx 42得)2,(),2,(m m E m m D - 由2=⋅AE AD k k 得1-=m 不符题意。
2017年陕西省渭南市高考数学一模试卷(理科)(解析版)
2017年陕西省渭南市高考数学一模试卷（理科）一、选择题1．已知复数z=，则=（）A．﹣2i B．﹣i C．2i D．i2．若集合A={x|1≤2x≤8}，B={x|（x﹣2）（x+1）＞0}，则A∩B=（）A．（2，3] B．[2，3] C．（﹣∞，0）∪（0，2] D．（﹣∞，﹣1）∪（0，3]3．“x≥1”是“lgx≥0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数，由以上规律，则这些三角形数从小到大形成一个数列{an}，那么a10的值为（）A．45 B．55 C．65 D．665．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x6．若数列{an}满足an+1=2an（an≠0，n∈N*），且a3与a5的等差中项是10，则a1+a2+…+an等于（）A．2n B．2n﹣1 C．2n﹣1 D．2n﹣1﹣17．执行如图所示的程序框图，则输出的s的值是（）A．7 B．6 C．5 D．38．某长方体的三视图如图，长度为的体对角线在主视图中的投影长度为，在左视图中的投影长度为，则该长方体的体积为（）A．3+2 B．2C．6+4 D．109．函数y=2x﹣x2的图象大致是（）A．B．C．D．10．下面四个命题中的真命题是（）A．命题“?x≥2，均有x2﹣3x+2≥0”的否定是：“?x＜2，使得x2﹣3x+2＜0”B．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”C．采用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加活动，学号为5、16、27、38、49的同学均被选出，则该班人数可能为60D．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若X 在（0，1）内取值的概率为0.3，则X在（0，2）内取值的概率为0.611．已知=（cos2x，﹣1），=（1，sin2x+sin2x）（x∈R），若f（x）=?，则函数f（x）的最小值为（）A．﹣2 B．0 C．﹣D．﹣112．在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=30°，E为CD的中点．若，则AB的长为（）A．B．C．D．1二、填空题13．已知抛物线y=x2，则其准线方程是．14．在平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定，若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为（2，1），则的最大值为．15．已知f（x）=x+在区间[1，4]上的最小值为n，则二项式（x﹣）n展开式中x2的系数为．16．已知函数y=f（x）为奇函数，且对定义域内的任意x都有f（1+x）=﹣f （1﹣x）．当x∈（2，3）时，f（x）=log2（x﹣1），给出以下4个结论：①函数y=f（x）的图象关于点（k，0）（k∈Z）成中心对称；②函数y=|f（x）|是以2为周期的周期函数；③当x∈（﹣1，0）时，f（x）=﹣log2（1﹣x）；④函数y=f（|x|）在（k，k+1）（k∈Z）上单调递增．其中所有正确结论的序号为．三、解答题17．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且=（b，﹣a），=（sinA，cosB），⊥．（1）求角B的大小；（2）若b=3，c=2a，求a，c的值．18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．（Ⅰ）求证：AA1⊥BC；（Ⅱ）求平面CA1B1与平面A1B1C1的夹角的大小．19．私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成如表：年龄（岁）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75] 频数 5 10 15 10 5 5赞成人数 4 6 9 6 3 4 （Ⅰ）完成被调查人员的频率分布直方图；（Ⅱ）若从年龄在[55，65），的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查，记选中的2人中赞成“车辆限行”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．20．已知椭圆C：（a＞b＞0），其焦距为2，点P（1，）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）是否存在与椭圆C交于A，B两点的直线l：y=mx+t（m∈R），使得?=0成立？若存在，求出实数t的取值范围，若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=lnx﹣x﹣3．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）求证：ln（22+1）+ln（32+1）+ln（42+1）+…ln（n2+1）＜1+2lnn!（n≥2，n∈N*）请考生在22、23两题中任选一题作答，[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，Ox为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为p=cos（θ+）．（Ⅰ）求圆心C的直角坐标方程；（Ⅱ）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式f（x）≥1；（Ⅱ）存在实数x，使不等式f（x）+|x+2|﹣m≤0有解，求实数m的取值范围．2017年陕西省渭南市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．已知复数z=，则=（）A．﹣2i B．﹣i C．2i D．i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，则可求．【解答】解：z==，则=﹣i．故选：B．2．若集合A={x|1≤2x≤8}，B={x|（x﹣2）（x+1）＞0}，则A∩B=（）A．（2，3] B．[2，3] C．（﹣∞，0）∪（0，2] D．（﹣∞，﹣1）∪（0，3]【考点】交集及其运算．【分析】解不等式求出集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={x|1≤2x≤8}={x|0≤x≤3}，B={x|（x﹣2）（x+1）＞0}={x|x＜﹣1或x＞2}，则A∩B={x|2＜x≤3}=（2，3]．故选：A．3．“x≥1”是“lgx≥0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】lgx≥0?x≥1．即可判断出结论．【解答】解：lgx≥0?x≥1．∴“x≥1”是“lgx≥0”的充要条件．故选：C．4．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数，由以上规律，则这些三角形数从小到大形成一个数列{an}，那么a10的值为（）A．45 B．55 C．65 D．66【考点】归纳推理．【分析】根据已知中第1个图中黑点有1个，第2个图中黑点有1+2个，第3个图中黑点有1+2+3个，第4个图中黑点有1+2+3+4个，…归纳可得第n个图中黑点有1+2+3+…+n个，可得结论．【解答】解：由已知中：第1个图中黑点有1个，第2个图中黑点有3=1+2个，第3个图中黑点有6=1+2+3个，第4个图中黑点有10=1+2+3+4个，…故第10个图中黑点有a10=1+2+3+ (10)=55个，故选B．5．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得=，从而可得=2，直接写出渐近线方程即可．【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，∴=，∴=2，∴双曲线的渐近线方程为y=±2x，故选D．6．若数列{an}满足an+1=2an（an≠0，n∈N*），且a3与a5的等差中项是10，则a1+a2+…+an等于（）A．2n B．2n﹣1 C．2n﹣1 D．2n﹣1﹣1【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】判断数列{an}是等比数列，由等差数列的中项的性质，结合等比数列的通项公式，列方程，解方程求出首项，然后运用等比数列的求和公式即可．【解答】解：数列{an}满足an+1=2an（an≠0，n∈N*），可知数列是等比数列，公比为2，a3与a5的等差中项是10，可得a3+a5=20，a3（1+q2）=20，解得a3=4，a1=1．则a1+a2+…+an==2n﹣1．故选：B．7．执行如图所示的程序框图，则输出的s的值是（）A．7 B．6 C．5 D．3【考点】程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是累加并输出S＞5时的值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=1+02+12+22+…+（k﹣1）2的值S=1+02+12+22=6＞5输出S=6．故选：B8．某长方体的三视图如图，长度为的体对角线在主视图中的投影长度为，在左视图中的投影长度为，则该长方体的体积为（）A．3+2 B．2C．6+4 D．10【考点】由三视图求面积、体积．【分析】设长方体的长，宽，高分别为a，b，c．由题意可得：a2+b2+c2=10，a2+c2=6，b2+c2=5，联立解出即可得出．【解答】解：设长方体的长，宽，高分别为a，b，c．由题意可得：a2+b2+c2=10，a2+c2=6，b2+c2=5，解得c=1，b=2，a=．∴该长方体的体积V=abc=2．故选：B．9．函数y=2x﹣x2的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据函数图象的交点的个数就是方程的解的个数，也就是y=0，图象与x轴的交点的个数，排除BC，再取特殊值，排除D【解答】解：分别画出函数f（x）=2x（红色曲线）和g（x）=x2（蓝色曲线）的图象，如图所示，由图可知，f（x）与g（x）有3个交点，所以y=2x﹣x2=0，有3个解，即函数y=2x﹣x2的图象与x轴由三个交点，故排除B，C，当x=﹣3时，y=2﹣3﹣（﹣3）2＜0，故排除D故选：A10．下面四个命题中的真命题是（）A．命题“?x≥2，均有x2﹣3x+2≥0”的否定是：“?x＜2，使得x2﹣3x+2＜0”B．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”C．采用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加活动，学号为5、16、27、38、49的同学均被选出，则该班人数可能为60D．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若X 在（0，1）内取值的概率为0.3，则X在（0，2）内取值的概率为0.6【考点】命题的真假判断与应用．【分析】写出命题“?x≥2，均有x2﹣3x+2≥0”的否定可判断A错误；写出命题“若x2=1，则x=1”的否命题可判断B错误；利用系统抽样原理及特点可判断C错误；利用正态密度曲线的性质，经过运算可判断D正确．【解答】解：对于A，命题“?x≥2，均有x2﹣3x+2≥0”的否定是：“?x≥2，使得x2﹣3x+2＜0”，∴A错误；对于B，命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，∴B错误；对于C，采用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加活动，学号为5、16、27、38、49的同学均被选出，则该班人数不会超过55（分段间隔为11），不可能为60，∴C错误；对于D，在某项测量中，测量结果X服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若X在（0，1）内取值的概率为0.3，则由正态曲线关于x=1对称，故P（0＜X＜2）=2P（0＜X＜1）=2×0.3=0.6，即X在（0，2）内取值的概率为0.6，∴D正确．故选：D．11．已知=（cos2x，﹣1），=（1，sin2x+sin2x）（x∈R），若f（x）=?，则函数f（x）的最小值为（）A．﹣2 B．0 C．﹣D．﹣1【考点】平面向量数量积的运算．【分析】运用向量数量积的坐标运算和二倍角的余弦公式，以及两角和的余弦公式，结合余弦函数的最值，即可得到所求最小值．【解答】解：由=（cos2x，﹣1），=（1，sin2x+sin2x）（x∈R），则f（x）=?=cos2x﹣sin2x﹣sin2x=cos2x﹣sin2x=2（cos2x﹣sin2x）=2cos（2x+），由x∈R，可得2x+=2kπ+π，即x=kπ+，k∈Z时，f（x）取得最小值﹣2．故选：A．12．在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=30°，E为CD的中点．若，则AB的长为（）A．B．C．D．1【考点】向量在几何中的应用．【分析】用表示出，利用数量积运算公式列出方程即可求出AB．【解答】解：∵ABCD是平行四边形，E为CD的中点，∴，=，∴=（）?（）==1．又，=1×AB×cos30°=AB，=AB2，∴1﹣AB2+AB=1，解得AB=或AB=0（舍）．故选C．二、填空题13．已知抛物线y=x2，则其准线方程是y=﹣2 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】写出标准方程，然后求解准线方程即可．【解答】解：抛物线y=x2，的标准方程为：x2=8y，则其准线方程是：y=﹣2．故答案为：y=﹣2．14．在平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定，若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为（2，1），则的最大值为7 ．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，把向量的数量积转化为线性目标函数，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，令z==2x+y，化为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过B（2，3）时，z有最大值为2×2+3=7．故答案为：7．15．已知f（x）=x+在区间[1，4]上的最小值为n，则二项式（x﹣）n展开式中x2的系数为15 ．【考点】二项式定理的应用；基本不等式．【分析】利用导数研究函数f（x）的单调性，即可得出最小值．再利用二项式定理的通项公式即可得出．【解答】解：f′（x）=1﹣=，x∈[1，4]．令f′（x）=0，解得x=3．∴x∈[1，3]时，函数f（x）单调递减；x∈（3，4]时，函数f（x）单调递增．∴x=3时，函数f（x）取得最小值6．∴的通项公式：Tr+1==（﹣1）rx6﹣2r，令6﹣2r=2，解得r=2．∴二项式（x﹣）n展开式中x2的系数为=15．故答案为：15．16．已知函数y=f（x）为奇函数，且对定义域内的任意x都有f（1+x）=﹣f （1﹣x）．当x∈（2，3）时，f（x）=log2（x﹣1），给出以下4个结论：①函数y=f（x）的图象关于点（k，0）（k∈Z）成中心对称；②函数y=|f（x）|是以2为周期的周期函数；③当x∈（﹣1，0）时，f（x）=﹣log2（1﹣x）；④函数y=f（|x|）在（k，k+1）（k∈Z）上单调递增．其中所有正确结论的序号为①②③．【考点】抽象函数及其应用．【分析】根据奇函数的性质和f（1+x）=﹣f（1﹣x），求出函数的周期，再由所给的解析式和周期性，求出函数在一个周期性的解析式，再画出函数在R上的图象，由图象进行逐一判断．【解答】解：令x取x+1代入f（1+x）=﹣f（1﹣x）得，f（x+2）=﹣f（﹣x）∵函数y=f（x）为奇函数，∴f（x+2）=f（x），则函数是周期为2的周期函数，设0＜x＜1，则2＜x+2＜3，∵当x∈（2，3）时，f（x）=log2（x﹣1），∴f（x）=f（x+2）=log2（x+1），设﹣1＜x＜﹣0，则0＜﹣x＜1，由f（x）=﹣f（﹣x）得，f（x）=﹣log2（﹣x+1），根据奇函数的性质和周期函数的性质画出函数的图象：由上图得，函数y=f（x）的图象关于点（k，0）（k∈Z）成中心对称；且函数y=|f（x）|的图象是将y=f（x）的图象在x轴下方的部分沿x轴对称过去，其他不变，则函数y=|f（x）|是以2为周期的周期函数；故①②③正确，而函数y=f（|x|）=，则图象如下图：由图得，图象关于y轴对称，故y=f（|x|）在（k，k+1）（k∈Z）上不是单调递增的，故④不正确，故答案为：①②③．三、解答题17．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且=（b，﹣a），=（sinA，cosB），⊥．（1）求角B的大小；（2）若b=3，c=2a，求a，c的值．【考点】余弦定理；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】（1）利用⊥时?=0，列出等式，再利用正弦定理和同角的三角函数关系，求出B的值；（2）根据余弦定理，结合题意列出方程组，即可求出a、c的值．【解答】解：（1）=（b，﹣a），=（sinA，cosB），且⊥，∴?=bsinA﹣acosB=0，即bsinA=acosB；由正弦定理得sinBsinA= sinAcosB；又A∈（0，π），∴sinA≠0，∴sinB=cosB，∴tanB=；又B∈（0，π），∴B=；（2）由B=，且b=3，c=2a，根据余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，即32=a2+4a2﹣2a?2a?cos，解得a=或a=﹣（不合题意，舍去）；∴a=，c=2a=2．18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．（Ⅰ）求证：AA1⊥BC；（Ⅱ）求平面CA1B1与平面A1B1C1的夹角的大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）因为四边形AA1C1C为正方形，所以AA1⊥AC．因为平面ABC⊥平面AA1C1C，利用面面垂直的性质；（Ⅱ）推导出∠C1A1C是二面角C﹣A1B1﹣C1的平面角，由此能求出平面CA1B1与平面A1B1C1的夹角的大小．【解答】证明：（Ⅰ）因为四边形AA1C1C为正方形，所以AA1⊥AC．因为平面ABC⊥平面AA1C1C，且平面ABC∩平面AA1C1C=AC，所以AA1⊥平面ABC．解：（Ⅱ）因为AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥AB．又因为AC⊥AB，所以AB⊥平面AA1C1C，所以A1B1⊥平面AA1C1C，所以A1B1⊥A1C1，A1B1⊥A1C，所以∠C1A1C是二面角C﹣A1B1﹣C1的平面角．由题意得tan∠C1A1C==1，所以二面角C﹣A1B1﹣C1的平面角为45°．19．私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成如表：年龄（岁）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75] 频数 5 10 15 10 5 5赞成人数 4 6 9 6 3 4 （Ⅰ）完成被调查人员的频率分布直方图；（Ⅱ）若从年龄在[55，65），的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查，记选中的2人中赞成“车辆限行”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）由已知得各组的频率分别是：0.1，0.2，0.3，0.2，0.1，0.1，分别除以10可得图中各组的纵坐标，由此能作出被调查人员的频率分布直方图，如图．（Ⅱ）由表知年龄在[55，65）内的有5人，不赞成的有2人，因此X=0，1，2．根据P（X=k）=即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由已知得各组的频率分别是：0.1，0.2，0.3，0.2，0.1，0.1，∴图中各组的纵坐标分别是：0.01，0.02，0.03，0.02，0.01，0.01，由此能作出被调查人员的频率分布直方图，如右图：（Ⅱ）由表知年龄在[55，65）内的有5人，不赞成的有2人，因此X=0，1，2．则P（X=k）=，可得P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=0）=．可得X的分布列：X 0 1 2 PE（X）=0+=．20．已知椭圆C：（a＞b＞0），其焦距为2，点P（1，）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）是否存在与椭圆C交于A，B两点的直线l：y=mx+t（m∈R），使得?=0成立？若存在，求出实数t的取值范围，若不存在，请说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由题意可得c=1，再由点P（1，）在椭圆C上．，可得a=2，b=，进而得到a，即可得到椭圆方程；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）联立得（3+4m2）x2+8tmx+4t2﹣12=0．由此利用根的判别式和韦达定理结合已知条件能求出实数t的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆C的焦距2c=2，解得c=1，∵点P（1，）在椭圆C上，∴，解得a2=4，b2=3∴椭圆C的标准方程：．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）联立得（3+4m2）x2+8tmx+4t2﹣12=0．△=（8tm）2﹣4（3+4m2）（4t2﹣12）＞0，化简得3+4m2＞t2．x1+x2=，x1x2=，假设?=0成立，所以x1x2+y1y2=0．x1x2+（mx1+t）（mx2+t）=0，（1+m2）x1x2+tm（x1+x2）+m2=0，化简得7t2=12+12m2．代入3+4m2＞t2中得．有∵7t2=12+12m2≥12，∴t2≥，即，或t．∴存在实数t，使得?=0成立，实数t的取值范围为（﹣]∪[，+∞）．21．已知函数f（x）=lnx﹣x﹣3．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）求证：ln（22+1）+ln（32+1）+ln（42+1）+…ln（n2+1）＜1+2lnn!（n≥2，n∈N*）【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（I）判断f（x）的单调性，从而计算f（x）的最大值；（II）根据f（x）在（1，+∞）上单调递减可得f（x）＜﹣4，化简得ln （x）＜x﹣1，利用对数的运算性质计算ln（22+1）+ln（32+1）+ln（42+1）+…ln（n2+1）﹣2lnn!，根据f（x）的单调性化简，再使用不等式性质得出结论．【解答】解：（I）f′（x）=，令f′（x）=0得x=1，∴当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴f（x）的最大值为f（1）=﹣4．（II）证明：∵f（x）=lnx﹣x﹣3在（1，+∞）上单调递减，∴f（x）＜f（1）=﹣4，即lnx﹣x﹣3＜﹣4，∴lnx＜x﹣1在（1，+∞）上恒成立，∴ln（+1）＜，∴ln（22+1）+ln（32+1）+ln（42+1）+…+ln（n2+1）﹣2lnn!=ln=ln[（1+）（1+） (1)）]=ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）＜+++…+＜+++…+=1﹣+…+=1﹣＜1．请考生在22、23两题中任选一题作答，[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，Ox为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为p=cos（θ+）．（Ⅰ）求圆心C的直角坐标方程；（Ⅱ）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）圆C的极坐标方程为ρ2=ρcosθ﹣ρsinθ，由此能求出圆C的直角坐标方程．（Ⅱ）直线l的直角坐标方程为y=x+，求出圆心C（）到直线l的距离d和圆C的半径r，切线长的最小值为：．【解答】解：（Ⅰ）∵圆C的极坐标方程为ρ=cos（θ+）==cosθ﹣sinθ，∴ρ2=ρcosθ﹣ρsinθ，∴圆C的直角坐标方程为x2+y2=x﹣y，即（x﹣）2+（y+）2=．（Ⅱ）∵直线l的参数方程是（t是参数），∴直线l的直角坐标方程为y=x+，圆心C（）到直线l的距离d==1，圆C的半径r=，∴切线长的最小值为：==．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式f（x）≥1；（Ⅱ）存在实数x，使不等式f（x）+|x+2|﹣m≤0有解，求实数m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）去掉绝对值号，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）问题转化为m≥（|x﹣1）+|x+2|）min，根据绝对值的性质，求出|x﹣1|+|x+2|≥3，从而求出m的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）≥1，即|x﹣1|≥1，故x﹣1≥1或x﹣1≤﹣1，解得：x≥2或x≤0，故不等式的解集是{x|x≥2或x≤0}；（Ⅱ）不等式f（x）+|x+2|﹣m≤0有解，即m≥|x﹣1|+|x+2|有解，即m≥（|x﹣1）+|x+2|）min，而|x﹣1|+|x+2|≥|x﹣1﹣x﹣2|=3，故m≥3．2017年3月27日。
2015年陕西省宝鸡市九校联考高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2015年陕西省宝鸡市九校联考高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知集合A＝{0，1，2}，B＝{1，m}．若A∩B＝B，则实数m的值是（）A．0B．0或2C．2D．0或1或2 2．（5分）如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数z1•z2对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）若向量＝（1，﹣2），＝（2，1），＝（﹣4，﹣2），则下列说法中错误的是（）A．⊥B．向量与向量的夹角为90°C．∥D．对同一平面内的任意向量，都存在一对实数k1，k2，使得＝k1+k2 4．（5分）在△ABC中，已知C＝，b＝4，△ABC的面积为，则c＝（）A．B．C．D．5．（5分）已知一个三角形的三边长分别是5，5，6，一只蚂蚁在其内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是（）A．1﹣B．1﹣C．1﹣D．1﹣6．（5分）一个四面体的顶点在空间直角坐标系o﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的主视图时，以zox平面为投影面，则得到主视图可以为（）A．B．C．D．7．（5分）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（）A．a＝3B．a＝4C．a＝5D．a＝68．（5分）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．9．（5分）已知x，y满足，则的最小值为（）A．B．C．D．10．（5分）已知命题p：存在a∈R，曲线x2+ay2＝1为双曲线；命题q：≤0的解集是{x|1＜x＜2}．给出下列结论中正确的有（）①命题“p且q”是真命题；②命题“p且（¬q）”是真命题；③命题“（¬p）或q”为真命题；④命题“（¬p）或（¬q）”是真命题．A．1个B．2个C．3个D．4个11．（5分）如右图二面角α﹣y﹣β的大小为60°，平面β上的曲线C1在平面α上的正射影为曲线C2，C2在直角坐标系xOy下的方程x2+y2＝1（0≤x≤1），则曲线C1的离心率（）A．e＝1B．e＞1C．e＝D．e＝12．（5分）设函数，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[﹣1.2]＝﹣2，[1.2]＝1，[1]＝1，若直线ky＝x+1（k＞0）与函数y＝f（x）的图象恰有两个不同的交点，则k的取值范围是（）A．[2，3）B．[3，∞）C．[2，3]D．（2，3]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）设（1﹣x）（1+2x）5＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则a2＝．14．（5分）函数f（x）＝sin（2x﹣）+4cos2x的最小值为．15．（5分）已知函数f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，在（0，+∞）上单调递减，且f（2）＝0，若f（x﹣1）≤0，则x的取值范围为．16．（5分）椭圆+＝1（y≥0）绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积为．三、解答题：（本大题5小题，每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知{a n}是一个单调递增的等差数列，且满足a2a4＝21，a1+a5＝10，数列{c n}的前n项和为S n＝a n+1（n∈N*），数列{b n}满足b n＝2n•c n．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和．18．（12分）某市为了了解“陕西分类招生考试”宣传情况，从A，B，C，D四所中学的学生当中随机抽取50名学生参加问卷调查，已知A，B，C，D四所中学各抽取的学生人数分别为15，20，10，5．（Ⅰ）从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学的概率；（Ⅱ）在参加问卷调查的50名学生中，从来自A，C两所中学的学生当中随机抽取两名学生，用ξ表示抽得A中学的学生人数，求ξ的分布列及期望值．19．（12分）在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，AD＝AB＝，AB⊥BC，如图把△ABD沿BD翻折，使得平面ABD⊥平面BCD．（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABD；（Ⅱ）若点M为线段BC中点，求点M到平面ACD的距离．20．（12分）设M（x，y）到定点F（，0）的距离和它到直线x＝距离的比是．（Ⅰ）求点M（x，y）的轨迹方程；（Ⅱ）O为坐标原点，斜率为k的直线过F点，且与点M的轨迹交于点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1x2+4y1y2＝0，求△AOB的面积．21．（12分）设函数f（x）＝e x，g（x）＝f（x）﹣ax2﹣bx﹣1，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）已知x1，x2∈R，求证：[f（x1）+f（x2）]≥f（）；（Ⅱ）函数h（x）是g（x）的导函数，求函数h（x）在区间[0，1]上的最小值．请考生从第22、23、24题中任选一题作答．多答按所答的首题进行评分．选修4-1：几何证明选讲.22．（10分）已知圆内接△ABC中，D为BC上一点，且△ADC为正三角形，点E为BC的延长线上一点，AE为圆O的切线．（Ⅰ）求∠BAE的度数；（Ⅱ）求证：CD2＝BD•EC．选修4-4：坐标系与参数方程.23．坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）射线OM：θ＝与圆C的交点为O、P两点，求P点的极坐标．选修4-5：不等式选讲.24．（Ⅰ）设函数f（x）＝|x﹣|+|x+a|（a＞0）．证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若实数x，y，z满足x2+4y2+z2＝3，求证：|x+2y+z|≤3．2015年陕西省宝鸡市九校联考高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知集合A＝{0，1，2}，B＝{1，m}．若A∩B＝B，则实数m的值是（）A．0B．0或2C．2D．0或1或2【解答】解：∵A∩B＝B，∴B⊆A．当m＝0时，B＝{1，0}，满足B⊆A．当m＝2时，B＝{1，2}，满足B⊆A．∴m＝0或m＝2．∴实数m的值为0或2．故选：B．2．（5分）如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数z1•z2对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由复数的几何意义知z1＝﹣2﹣i，z2＝i，则z1z2＝（﹣2﹣i）i＝﹣2i﹣i2＝1﹣2i，对应的点的坐标为（1，﹣2）位于第四象限，故选：D．3．（5分）若向量＝（1，﹣2），＝（2，1），＝（﹣4，﹣2），则下列说法中错误的是（）A．⊥B．向量与向量的夹角为90°C．∥D．对同一平面内的任意向量，都存在一对实数k1，k2，使得＝k1+k2【解答】解：∵向量＝（1，﹣2），＝（2，1），＝（﹣4，﹣2），∴•＝1×2﹣2×1＝0，∴⊥，A正确；同理可得•＝1×（﹣4）﹣2×（﹣2）＝0，∴⊥，B正确；∵＝﹣2，∴∥，C正确；∵∥，∴和不能作基底，D错误．故选：D．4．（5分）在△ABC中，已知C＝，b＝4，△ABC的面积为，则c＝（）A．B．C．D．【解答】解：由三角形的面积公式S＝，以及C＝，b＝4，△ABC的面积为，则，∴a＝2由余弦定理c2＝a2+b2﹣2ab cos C得：c2＝4+16﹣2×＝12，解得：c＝2，故选：C．5．（5分）已知一个三角形的三边长分别是5，5，6，一只蚂蚁在其内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是（）A．1﹣B．1﹣C．1﹣D．1﹣【解答】解：∵三角形的三边长分别是5，5，6，∴三角形的高AD＝4，则三角形ABC的面积S＝×6×4＝12，则该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2，对应的区域为图中阴影部分，三个小扇形的面积之和为一个整圆的面积的，圆的半径为2，则阴影部分的面积为S1＝12﹣×π×22＝12﹣2π，则根据几何概型的概率公式可得所求是概率为＝1﹣，故选：C．6．（5分）一个四面体的顶点在空间直角坐标系o﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的主视图时，以zox平面为投影面，则得到主视图可以为（）A．B．C．D．【解答】解：因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），几何体的直观图如图，是正方体的顶点为顶点的一个正四面体，所以以zOx平面为投影面，则得到正视图为：故选：A．7．（5分）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（）A．a＝3B．a＝4C．a＝5D．a＝6【解答】解：模拟执行程序，可得S＝1，k＝1不满足条件k＞a，S＝，k＝2不满足条件k＞a，S＝，k＝3不满足条件k＞a，S＝，k＝4由题意，此时满足条件4＞a，退出循环，输出S的值为，故选：A．8．（5分）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．【解答】解：由导函数图象可知，f（x）在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增，故选：A．9．（5分）已知x，y满足，则的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵变量x，y满足约束条件，可行域如图：目标函数为，其几何意义是可行域内的点到（2，﹣1）距离；点P（2，﹣1）到直线x﹣y＝0的距离公式可得：d＝＝，结合图形可得的最小值：．故选：B．10．（5分）已知命题p：存在a∈R，曲线x2+ay2＝1为双曲线；命题q：≤0的解集是{x|1＜x＜2}．给出下列结论中正确的有（）①命题“p且q”是真命题；②命题“p且（¬q）”是真命题；③命题“（¬p）或q”为真命题；④命题“（¬p）或（¬q）”是真命题．A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：当a＜0时，曲线x2+ay2＝1为双曲线，故命题p：“存在a∈R，曲线x2+ay2＝1为双曲线”为真命题；≤0的解集是{x|1≤x＜2}故命题q：“≤0的解集是{x|1＜x＜2}”为假命题；命题“p且q”是假命题，即①错误；命题“p且（¬q）”是真命题，即②正确；命题“（¬p）或q”为假命题，即③错误；命题“（¬p）或（¬q）”是真命题，即④正确．故选：B．11．（5分）如右图二面角α﹣y﹣β的大小为60°，平面β上的曲线C1在平面α上的正射影为曲线C2，C2在直角坐标系xOy下的方程x2+y2＝1（0≤x≤1），则曲线C1的离心率（）A．e＝1B．e＞1C．e＝D．e＝【解答】解：二面角α﹣y﹣β的大小为60°，平面β上的曲线C1在平面α上的正射影为曲线C2，C2在直角坐标系xOy下的方程x2+y2＝1（0≤x≤1），可得b＝1，a＝2，所以c＝．∴e＝＝．故选：C．12．（5分）设函数，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[﹣1.2]＝﹣2，[1.2]＝1，[1]＝1，若直线ky＝x+1（k＞0）与函数y＝f（x）的图象恰有两个不同的交点，则k的取值范围是（）A．[2，3）B．[3，∞）C．[2，3]D．（2，3]【解答】解：画出函数，g（x）＝（x+1）（k＞0）的图象，若直线ky＝x+1（k＞0）与函数y＝f（x）的图象恰有两个不同的交点，结合图象可得：k P A≤＜k PC，∵k P A＝＝，k PC＝＝．∴2＜k≤3．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）设（1﹣x）（1+2x）5＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则a2＝30．【解答】解∵（1﹣x）（1+2x）5＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，而（1+2x）5展开式的通项为∴（1﹣x）（1+2x）5＝展开式中含x2的项为＝30x2∴a2＝30故答案为：3014．（5分）函数f（x）＝sin（2x﹣）+4cos2x的最小值为2﹣．【解答】解：函数f（x）＝sin（2x﹣）+4cos2x＝sin2x cos﹣cos2x sin+4•＝sin2x+cos2x+2＝sin（2x+）+2，故函数的最小值为﹣+2，故答案为：．15．（5分）已知函数f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，在（0，+∞）上单调递减，且f（2）＝0，若f（x﹣1）≤0，则x的取值范围为[﹣1，1）∪[3，+∞）．【解答】解：∵奇函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（2）＝0，∴函数f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，且f（﹣2）＝f（2）＝0，作出函数f（x）的草图如图：在则f（x）≤0的解为x≥2或﹣2≤x＜0，由x﹣1≥2或﹣2≤x﹣1＜0，得x≥3或﹣1≤x＜1，故不等式f（x﹣1）≤0的解集是[﹣1，1）∪[3，+∞），故答案为：[﹣1，1）∪[3，+∞）16．（5分）椭圆+＝1（y≥0）绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积为16π．【解答】解：旋转体的体积为；故答案为：16π．三、解答题：（本大题5小题，每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知{a n}是一个单调递增的等差数列，且满足a2a4＝21，a1+a5＝10，数列{c n}的前n项和为S n＝a n+1（n∈N*），数列{b n}满足b n＝2n•c n．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，则依题知d＞0．由2a3＝a1+a5＝10，又可得a3＝5．由a2a4＝21，得（5﹣d）（5+d）＝21，可得d＝2．所以a1＝a3﹣2d＝1．可得a n＝2n﹣1（n∈N*）…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得S n＝a n+1＝2n＝2n﹣2（n﹣1）＝2当n≥2时，c n＝S n﹣S n﹣1当n＝1时，c1＝S1＝2满足上式，所以c n＝2（n∈N*）所以，即，因为，b1＝4所以数列{b n}是首项为4，公比为2的等比数列．所以前n项和…（12分）18．（12分）某市为了了解“陕西分类招生考试”宣传情况，从A，B，C，D四所中学的学生当中随机抽取50名学生参加问卷调查，已知A，B，C，D四所中学各抽取的学生人数分别为15，20，10，5．（Ⅰ）从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学的概率；（Ⅱ）在参加问卷调查的50名学生中，从来自A，C两所中学的学生当中随机抽取两名学生，用ξ表示抽得A中学的学生人数，求ξ的分布列及期望值．【解答】解：（Ⅰ）从50名学生中随机抽取两名学生的取法共有种，来自同一所中学的取法共有，∴从50名学生中随机抽取两名学生来自同一所中学的概率为．（Ⅱ）因为50名学生中，来自A，C两所中学的学生人数分别为15，10．依题意得，ξ的可能取值为0，1，2，，，，∴ξ的分布列为：ξ的期望值为…（12分）19．（12分）在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，AD＝AB＝，AB⊥BC，如图把△ABD沿BD翻折，使得平面ABD⊥平面BCD．（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABD；（Ⅱ）若点M为线段BC中点，求点M到平面ACD的距离．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为AD∥BC，BC＝2AD，，AB⊥BC，所以，∠DBC＝∠ADB＝45°，＝2，BD2+CD2＝BC2，所以CD⊥BD．因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以CD⊥平面ABD．…（6分）（Ⅱ）解：点M为线段BC中点，点M到平面ACD的距离就是B到平面ACD 的距离的一半，由（Ⅰ）可知：CD⊥平面ABD，∴AB⊥CD，又AB⊥BC，BC∩CD＝C，可得AB⊥平面ACD，BA就是B到平面ACD的距离，∵AB＝，∴点M到平面ACD的距离为：．得点M到平面ACD的距离为．…（12分）20．（12分）设M（x，y）到定点F（，0）的距离和它到直线x＝距离的比是．（Ⅰ）求点M（x，y）的轨迹方程；（Ⅱ）O为坐标原点，斜率为k的直线过F点，且与点M的轨迹交于点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1x2+4y1y2＝0，求△AOB的面积．【解答】解：（Ⅰ）由已知M（x，y）到定点F（，0）的距离和它到直线x＝距离的比是．得化简得点M（x，y）的轨迹方程为．（Ⅱ）设直线AB的方程为．联立方程组消去y并整理得，故，又x1x2+4y1y2＝0，所以，可得，所以由原点O到直线AB的距离所以21．（12分）设函数f（x）＝e x，g（x）＝f（x）﹣ax2﹣bx﹣1，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）已知x1，x2∈R，求证：[f（x1）+f（x2）]≥f（）；（Ⅱ）函数h（x）是g（x）的导函数，求函数h（x）在区间[0，1]上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵＝＝．∴．…（6分）（Ⅱ）g（x）＝f（x）﹣ax2﹣bx﹣1＝e x﹣ax2﹣bx﹣1，h（x）＝g'（x）＝e x﹣2ax ﹣b，h'（x）＝e x﹣2a（1）当时，∵x∈[0，1]，1≤e x≤e，∴2a≤e x恒成立，即h'（x）＝e x﹣2a≥0，h（x）在[0，1]上单调递增，所以h（x）≥h（0）＝1﹣b．（2）当时，∵x∈[0，1]，1≤e x≤e，∴2a＞e x恒成立，即h'（x）＝e x﹣2a＜0，h（x）在[0，1]上单调递减，所以h（x）≥h（1）＝e﹣2a﹣b．（3）当时，h'（x）＝e x﹣2a＝0得x＝ln（2a）h（x）在[0，ln2a]上单调递减，在[ln2a，1]上单调递增，所以h（x）≥h（ln2a）＝2a﹣2aln2a﹣b…（12分）请考生从第22、23、24题中任选一题作答．多答按所答的首题进行评分．选修4-1：几何证明选讲.22．（10分）已知圆内接△ABC中，D为BC上一点，且△ADC为正三角形，点E为BC的延长线上一点，AE为圆O的切线．（Ⅰ）求∠BAE的度数；（Ⅱ）求证：CD2＝BD•EC．【解答】证明：（Ⅰ）在△EAB与△ECA中，因为AE为圆O的切线，所以∠EBA＝∠EAC因为∠E公用，所以∠EAB＝∠ECA，因为△ADC为正三角形，所以∠BAE＝∠ECA＝120°；（Ⅱ）因为AE为圆O的切线，所以∠ABD＝∠CAE．因为△ACD为等边三角形，所以∠ADC＝∠ACD，所以∠ADB＝∠ECA，所以△ABD∽△EAC．所以＝，即AD•CA＝BD•EC．因为△ACD为等边三角形，所以AD＝AC＝CD，所以CD2＝BD•EC．选修4-4：坐标系与参数方程.23．坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）射线OM：θ＝与圆C的交点为O、P两点，求P点的极坐标．【解答】解：（Ⅰ）圆C的普通方程是（x﹣1）2+y2＝1，又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ所以圆C的极坐标方程是ρ＝2cosθ…（5分）（Ⅱ）解法1：因为射线的普通方程为y＝x，x≥0联立方程组消去y并整理得x2﹣x＝0解得x＝1或x＝0，所以P点的坐标为（1，1）所以P点的极坐标为…（10分）解法2：把代入ρ＝2cosθ得所以P点的极坐标为…（10分）选修4-5：不等式选讲.24．（Ⅰ）设函数f（x）＝|x﹣|+|x+a|（a＞0）．证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若实数x，y，z满足x2+4y2+z2＝3，求证：|x+2y+z|≤3．【解答】证明：（Ⅰ）由a＞0，有当且仅当a＝1时取等号．所以f（x）≥2…（5分）（Ⅱ）∵x2+4y2+z2＝3，由柯西不等式得：[x2+（2y）2+z2]（12+12+12）≥（x+2y+z）2（当且仅当即时取“＝”号）整理得：（x+2y+z）2≤9，即|x+2y+z|≤3…（10分）。
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渭南市2015年高三教学质量检测（1）
数学试题（理科）
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1、已知集合{1,0,1},{||10}ABxx，那么AB
A．{1,0,1} B．{0,1} C．(1,) D．1,
2、已知复数1zi，则21z
A．i B．1 C．i D．-1
3、沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图为
4、已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是
A．求11112310的值 B．求111124620的值
C．求11112311的值 D．求111124622的值
5、已知平面向量,ab满足11,(2)()2ababab，
则与a与b的夹角为
A．6 B．3 C．23 D．56
6、在正项等比数列na中，232629logloglog3aaa，则111aa的值是
A．16 B．8 C．4 D．2
7、在二项式251()xx的展开式中，含7x的项的系数为
A．-10 B．10 C．-5 D．5
8、某城市对机动车单双号限行进行了调查，在参加调查的2548名有车人中有1560名持反对
意见，2452名无车人中有1200名持反对意见，在运用这些数据说明“拥有车辆”与“反对机
动车单双号限行”是否有关系时，用什么方法最有说服力
2
A．平均数与方差 B．回归直线方程 C．独立性检验 D．概率
9、焦点在y轴上的双曲线G的下焦点为F，上顶点为A，若线段FA的中垂线与双曲线G有公
共点，则双曲线G的离心率的取值范围是（ ）
A．1,3 B．1,3 C．3, D．3,
10、已知211,010,1xxfxxx，则下列函数的图象正确的是
A．1fx的图象 B．fx的图象 C．fx的图象 D．fx的图象
11、若直线20(0,0)axbyab过圆22:2410Cxyxy的圆心，则11ab的
最小值为（ ）
A．14 B．2 C．322 D．3222
12、定义域为R的偶函数fx满足对任意xR，有21fxfxf，且当
2,3x
时，221218fxxx，若函数log(1)ayfxx在0,上恰有三个零点，则
a
的取值范围是（ ）
A．2(0,)2 B．3(0,)3 C．5(0,)5 D．53(,)53
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。.
13、已知,xy满足约束条件002xyxy，则2zxy的最小值为
14、已知函数log(1)3(0,1)ayxaa所过定点的横、纵坐标分别是等差数列na的
第二项与第三项，若11nnnbaa，数列nb的前n项和为nT，则2015T
3
15、观察下列不等式：
①112；②11226；③11132612
则第5个不等式为
16、下列命题中：
①“2()3kkZ”是“tan3”的充分不必要条件；
②已知命题P:存在,lg0xRx；命题Q:对任意,20xxR，则P且Q为真命题；
③平行于同一直线的两个平面平行；
④已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本中心点为4,5，则回归直线方程为
ˆ
1.230.08yx
其中正确命题的序号为
三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17、（本小题满分12分）
已知函数sin(2)16fxx
（1）求函数fx的最小值和最小正周期；
（2）设ABC的内角,,ABC的对边分别为,,,7,()0abccfc，且满足
sin3sinBA
，
求,ab的值。
18、（本小题满分12分）
在四棱锥PABCD中，侧面PCD底面,,//,ABCDPDCDABCD90,ADC
2,4ABADPDCD
（1）求证：BC平面PBD；
（2）设E为侧棱PC上一点且满足2PCPE，
试求平面EBD与平面PBD夹角的余弦值。
4
19、（本小题满分12分）
已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为22，其中左焦点(2,0)F。
（1）求椭圆C的方程；
（2）求直线yxm与椭圆C交于不同的两点,AB，且线段AB的中点M在曲线
2
22xy
上，求m的值。
20、（本小题满分12分）
如图所示的茎叶图记录了华润万家在渭南城区甲、乙连锁店四天内
销售请客的某项指标统计：
（1）求甲、乙连锁店这项指标的方差，并比较甲、乙该项指标的稳定性；
（2）每次都从甲、乙两店统计数据中随机各选一个进行对比分析，共选了3次（有放回选
取），设选取的两个数据中甲的数据大于乙的数据的次数为X，求X的分布列及数学期望。
21、（本小题满分13分）
已知函数1xefxx
（1）当1a时，求曲线fx在(0,(0))f处的切线方程；
（2）求fx的单调区间。
请考生在第（22）、（23）（24）三体中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作
答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．
5
22、（本小题满分10分）
如图设ABC为圆的内接三角形，,ABACBD为圆的弦，且//BDAC，过点A作圆
的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F。
（1）求证：四边形ACBE为平行四边形；
（2）若6,5AEBD，求线段CF的长。
23、（本小题满分10分）
已知直线l的参数方程为232(252xtty为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极
轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为25sin。
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为(3,5)，求PAPB.
24、（本小题满分10分）
已知函数2,fxmxmR，且20fx的解集为1,1。
（1）求m的值；
（2）若,,abcR，且11123mabc，求23abc的最小值。
6
7
8
9
10
11
12