函数的定义域与复合函数
关于复合函数定义域的求解方法
关于复合函数定义域的求解方法复合函数是由两个或多个函数组合而成的新函数，其定义为：f(g(x))，其中g(x)是内层函数，f(x)是外层函数。
定义域是指函数能够接受的数值范围。
换而言之，对于给定的函数，定义域是使其有意义的输入值的集合。
要确定复合函数的定义域，需要考虑两个方面：内层函数和外层函数。
首先，我们需要确定内层函数的定义域，然后根据内层函数的结果来确定外层函数的定义域。
内层函数的定义域确定方法如下：1.若内层函数是一个常数函数，定义域为实数集合，即：(-∞,∞)。
2.若内层函数是一个多项式函数，其定义域为所有实数集合，即：(-∞,∞)。
3.若内层函数是一个分式函数，需要注意分母不能为零。
因此，需要将分母不等于零的解集作为内层函数的定义域。
4.若内层函数是一个平方根函数，需要考虑平方根中的值不能为负数，因此需要将平方根中的表达式大于等于零的解集作为内层函数的定义域。
确定内层函数的定义域后，我们需要将内层函数的结果作为外层函数的输入来确定外层函数的定义域。
具体方法如下：1.若外层函数是一个常数函数，定义域与内层函数的定义域相同。
2.若外层函数是一个多项式函数，其定义域与内层函数的定义域相同。
3.若外层函数是一个分式函数，需要将分母不等于零的解集作为外层函数的定义域。
4.若外层函数是一个平方根函数，需要将平方根中的表达式大于等于零的解集作为外层函数的定义域。
需要注意的是，在求解复合函数的定义域时，需要保证两个函数都有定义，并且内层函数的结果必须属于外层函数的定义域。
举个例子来说明复合函数的定义域的求解方法：考虑函数f(x)=√(3-2x)+1和g(x)=x^2-4x+3，我们需要确定复合函数f(g(x))的定义域。
首先，我们需要确定g(x)=x^2-4x+3的定义域。
由于这是一个多项式函数，其定义域为所有实数集合，即：(-∞,∞)。
接下来，我们将g(x)的结果带入f(x)中来确定复合函数f(g(x))的定义域。
专题 求函数、抽象函数和复合函数的定义域(可编辑)
求函数、抽象函数和复合函数的定义域注意：定义域必须用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接.【例1】求下列函数的定义域：（1）62+=x y ；（2）2322---=x x x y ；（3）52210++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x y ；（4）x y --=113. 解：（1）[-3，+∞）；（2）{x |0≤x 且21-≠x }；（3）{x |5-≠x 且21≠x }；（4）{x |1≤x 且0≠x }1. 抽象函数：没有给出具体解析式的函数.2. 复合函数：如果函数()t f y =的定义域为A ，函数()x g t =的定义域为D ，值域为C ，则当A C ⊆时，称函数()()x g f y =为()t f 和()x g 在D 上的复合函数，其中t 叫做中间变量，()x g t =叫做内层函数，()t f y =叫做外层函数.【例2】已知函数()32+=x x f ，求()2-f ，()3f ，()a f ，()12+a f 的值. 解：()2-f =-1；()3f =9；()32+=a a f ；()52122+=+a a f【例3】已知函数()x f 的定义域为{x |11<<-x }，则函数()12+x f 的定义域为___（-1，0）____.【例4】已知函数()1+x f 的定义域为[-3，1]，则()12-x f 的定义域为___[3-，3]____.【例5】已知()12-x f 的定义域为[-1，3]，则()x f 的定义域为___[-1，8]____.练习：1. 函数()1312+---=x x x f 的定义域为____[21，3]____. 2. 函数()()220+-=x x x f 的定义域为____{x |2->x 且2≠x }____. 3. 函数()()012++=x x f 的定义域为___[-2，+∞）_____. 4.（新课标Ⅱ卷）已知函数()x f 的定义域为（-1，0），则()12+x f 的定义域为（ B ）A.（-1，1）B.（-1，21-）C.（-1，0）D.（21，1）5. 已知函数()x x f =，则()1-x f 的定义域为（ B ）A.（-∞，+∞）B.[1，+∞）C.（-∞，1]D.[0，+∞）6. 已知函数()x f 的定义域为[0，2]，则()()12-=x x f x g 的定义域为___[0，1）____. 7. 已知函数()12-x f 的定义域为[-3，3]，则()x f 的定义域为___[-7，5]____.8.已知函数()x f 的定义域为[-2，1]，则()()()x f x f x g -+=的定义域为___[-1，1]____.9. 已知函数()3+x f 的定义域为[-5，-2]，则()()11-++x f x f 的定义域为___[-1，0]____.10. 设函数()11-=-x x f ，则函数()x f 的定义域为___[0，+∞）_____. 11. 设函数()1-=x x f ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 42的定义域为（ B ） A.[21，4] B.[2，4] C.[1，+∞） D.[41，2] 12. 已知函数()1+x f 的定义域为[0，3]，则()23-x f 的定义域为___[1，34]____.。
函数复合运算知识点总结
函数复合运算知识点总结函数的复合是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入，这种操作称为函数的复合。
在数学中，函数的复合可以用符号“f(g(x))”来表示，其中“f”和“g”是两个函数，“g(x)”是“g”函数的输入，“f(g(x))”表示将“g(x)”作为输入带入“f”函数。
2. 复合函数的定义设有两个函数f(x)和g(x)，则它们的复合函数为f(g(x))=f[g(x)]，意思是对g(x)运算出来的结果再带入f(x)中进行运算。
3. 复合函数的执行顺序在进行复合函数运算时，需要遵循特定的执行顺序。
一般来说，复合函数的执行顺序是从内向外，也就是先执行括号中的函数，然后再将结果带入外层的函数中进行计算。
4. 函数复合的性质函数复合的性质包括结合性、交换律和单位元等。
- 结合性：函数复合是满足结合律的，即(f∘g)∘h=f∘(g∘h)。
也就是说，函数复合的顺序不会改变结果。
- 交换律：一般情况下，函数的复合是不满足交换律的，即f∘g≠g∘f。
- 单位元：如果f是定义域为A，值域为B的函数，存在定义域为B，值域为B的恒等函数g，使得f∘g=f=g∘f，则g称为f的单位元素。
5. 复合函数的求导对于复合函数f(g(x))，要求导数的话，需要使用链式法则。
链式法则：设函数y=f(u)和u=g(x)都可导，则复合函数y=f(g(x))的导数为dy/dx=f'(g(x))*g'(x)。
链式法则的思想是将复合函数看作两个函数的组合，在求导时分别对内外两个函数进行求导，并将结果相乘。
6. 复合函数的应用复合函数在数学中有着广泛的应用，在微积分、概率论、数学分析等领域都有着重要的应用。
在微积分中，复合函数的求导和积分是经常用到的技巧，尤其是在求解一些复杂函数的导数和积分时，可以通过复合函数来简化计算过程。
在概率论中，复合函数也被广泛应用于描述随机变量之间的关系，计算随机变量的期望和方差等。
在数学分析中，复合函数是研究实数集上的函数性质的重要工具，可以用来研究函数的收敛性、连续性、可导性等性质。
函数的基本初等函数与复合函数
函数的基本初等函数与复合函数函数作为数学中重要的概念，是数学研究的核心内容之一。
本文将探讨函数的基本初等函数与复合函数，并介绍它们的定义、性质和应用。
1. 基本初等函数基本初等函数是指一些常见的基本函数，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。
每个基本初等函数都有其独特的性质和特点。
1.1 常数函数常数函数是指函数图像上所有的点都位于同一条水平线上，即对于任意的x值，函数的取值都是一个常数。
常数函数的表达式为f(x) = C，其中C为常数。
1.2 幂函数幂函数是指函数的定义域为全体实数，并且函数表达式为f(x) = x^a，其中a为实数指数。
幂函数的图像呈现出平滑的曲线，且取决于指数a的不同而有不同的特征。
1.3 指数函数指数函数是以常数e为底的幂函数，其定义域为全体实数。
指数函数的表达式为f(x) = e^x，其中e约等于2.71828。
指数函数具有快速上升的特点，是模型中常见的函数之一。
1.4 对数函数对数函数是指以某个正实数为底的幂函数的反函数，其定义域为正实数集合。
对数函数的表达式为f(x) = log_a(x)，其中a为底数。
对数函数具有递增且变化逐渐减缓的特点。
1.5 三角函数与反三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等，其定义域为全体实数。
三角函数具有周期性和周期性平移的特点。
反三角函数是指三角函数的反函数，其定义域和值域视情况而定。
2. 复合函数复合函数是指多个函数的组合形成的新的函数。
设有两个函数f(x)和g(x)，则其复合函数为f(g(x))。
复合函数的性质取决于原函数之间的关系。
复合函数的定义要求满足两个函数的定义域和值域相互对应，且内层函数的值域必须是外层函数的定义域。
复合函数的运算法则是由内到外进行运算。
3. 应用基本初等函数和复合函数在数学和实际问题中有着广泛的应用。
在数学上，基本初等函数是构建更复杂函数的基础，通过组合使用这些基本函数，可以推导出其他函数的性质和特点。
函数的定义域
函数的定义域函数y=f(x)中自变量x 的取值范围A 叫做函数的定义域。
求函数的定义域一般有3类问题（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）：1、已知解析式求使解析式有意义的x 的集合常用依据如下：①分式的分母不等于0；②偶次根式被开方式大于等于0；③对数式的真数大于0，底数大于0且不等于1；④指数为0时，底数不等于0⑤三角形中0A π<<, 最大角3π≥，最小角3π≤等。
2、复合函数的定义域问题主要依据复合函数的定义，其包含两类：①已知f[g(x)]的定义域为x ∈（a,b ）求f(x)的定义域，方法是：利用a<x<b 求得g(x)的值域，则g(x)的值域即是f(x)的定义域。
②已知f(x)的定义域为x ∈（a,b ）求f[g(x)]的定义域,方法是：由a<g(x)<b 求得x 的范围，即为f[g(x)]的定义域。
3、实际意义的函数的定义域，其定义域除函数有意义外，还要符合实际问题的要求。
如，周长为定值a 的扇形，它的面积S 是它的半径R 的函数，则函数的定义域是（ ）A ．（2a ，a ）B ．（a ，2a ）C ．（)1(2π+a ，2a ） D ．（0，)1(2π+a ） 【例1】求下列函数的定义域（1）21x y += （2）lg cos y x =(3)y=lg(a x -kb x ) (a,b>0且a,b≠1，k ∈R)[解析] （1）依题有1021021032403241x x x x ≠+>⎪⎪+≠⎨⎪->⎪⎪-≠⎩ 4112052log 31x x x x x ≠±⎧⎪⎪>-⎪⎪⇒≠⎨⎪⎪<⎪⎪≠⎩ ∴函数的定义域为415{|0,1,log 31}22x x x -<<≠且 (2)依题意有2250cos 0x x ⎧-≥⎨>⎩ 5522()22x k x k k z ππππ-≤≤⎧⎪⇒⎨-<<+∈⎪⎩∴函数的定义域为33[5,)(,)(,5]2222ππππ--⋃-⋃ （3）要使函数有意义，则a x -kb x >0，即x a k b ⎛⎫> ⎪⎝⎭①当k≤0时，定义域为R②当k>0时，（Ⅰ）若a>b>0,则log a b x k > 定义域为{x|log a bx k >}(Ⅱ)若0<a<b ，则log a b x k <， 定义域为{x|log a bx k <}(Ⅲ)若a=b>0，则当0<k<1时定义域为R ；当k≥1时，定义域为空集[评析]把求定义域的问题等价转化为关于x 的不等式（组）的求解问题，其关键是列全限制条件(组)。
函数的复合过程复合函数怎么求
函数的复合过程复合函数怎么求在求解复合过程和复合函数时，需要注意以下几个步骤：1.确定初始函数和复合函数以及各个函数的定义域和值域。
定义域是指函数可以取值的范围，而值域是指函数的输出的取值范围。
2.根据复合规则，将初始函数的输出作为复合函数的输入。
即若初始函数为f(x)，复合函数为g(f(x))，其中g为复合函数。
3.将初始函数和复合函数进行代入计算。
根据初始函数和复合函数的定义，将变量值带入函数进行求解。
下面将具体介绍函数的复合过程和复合函数的求解方法。
一、函数的复合过程具体步骤如下：1.给定两个函数f(x)和g(x)，其中f的定义域是A，值域是B，g的定义域是C，值域是D。
2.验证函数的定义域和值域是否满足复合规则，即f的值域是否等于g的定义域。
3.将函数g的输出作为函数f的输入，即f(f(x))。
举例说明：假设有两个函数f(x)=2x和g(x)=x+3，求f(g(x))。
步骤如下：1.确定函数f(x)和g(x)的定义域和值域。
f(x)的定义域是实数集R，值域也是实数集R；g(x)的定义域是实数集R，值域也是实数集R。
2.确认函数f(x)的值域和g(x)的定义域是否相等，即B=C。
由于f(x)的值域是实数集R，g(x)的定义域也是实数集R，满足复合规则。
3.将函数g(x)的输出作为函数f(x)的输入，即f(g(x))=f(x+3)=2(x+3)=2x+6、最终复合函数为2x+6二、复合函数的求解方法复合函数是通过将两个或多个函数进行复合操作得到的新函数。
复合函数可以用符号“g(f(x))”表示，其中f和g分别为函数。
具体步骤如下：1.给定两个函数f(x)和g(x)，其中f的定义域是A，值域是B，g的定义域是C，值域是D。
2.验证函数的定义域和值域是否满足复合规则，即f的值域是否等于g的定义域。
3.将函数g的输入替换为函数f，即使用f(x)替换g(x)中的x。
4.将替换后的表达式进行化简和求解，得到复合函数。
复合函数 内层函数的定义域
内层函数的定义域对复合函数的影响
在学习数学中的复合函数的时候，我们会涉及到内层函数的定义域对复合函数的影响。
首先，我们需要明确什么是复合函数。
复合函数是指由两个或多个函数组成的函数，其中一个函数的输出即为另一个函数的输入。
例如，设有函数f(x)和g(x)，则f(g(x))为一个复合函数。
接下来，我们考虑内层函数的定义域对复合函数的影响。
内层函数即为作为复合函数中先执行的函数，它输出的值必须能够作为外层函数的输入才能进行下一步计算。
如果内层函数的定义域与外层函数的值域相符，那么复合函数将会得到一个有定义的值。
如果内层函数的定义域比外层函数的值域小，那么复合函数将会失去部分定义。
例如，设f(x)=√x，g(x)=1/x，则f(g(x))=1/√x，当x<=0时，g(x)是没有定义的，所以f(g(x))也就失去了定义。
如果内层函数的定义域比外层函数的值域大，那么复合函数的值也将有所限制。
例如，设f(x)=x^2，g(x)=√x，则f(g(x))=x，但实际上，g(x)处于定义域[0,+∞)，而f(g(x))的值域却是[0,+∞)∪{负数}，所以复合函数f(g(x))只能在[0,+∞)范围内取值。
综上所述，内层函数的定义域对复合函数的值域和定义域都有着影响，我们应该在进行复合函数的计算时，仔细分析每一层函数的定义域和值域，以保证计算结果的正确性。
复合函数(知识点总结、例题分类讲解)
复合函数的定义域和解析式以及单调性【复合函数相关知识】1、复合函数的定义如果y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即()y f u =，()u g x =，那么y 关于x 的 函数(())y f g x =叫做函数()y f u =（外函数）和()u g x =（内函数）的复合函数，其中u 是中间变量，自变量为x 函数值为y 。
例如：函数212x y += 是由2u y =和21u x =+ 复合而成立。
说明：⑴复合函数的定义域，就是复合函数(())y f g x =中x 的取值范围。
⑵x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为()g x 的值域。
⑶))((x g f 与))((x f g 表示不同的复合函数。
2．求有关复合函数的定义域① 已知)(x f 的定义域为)(b a ,，求))((x g f 的定义域的方法：已知)(x f 的定义域为)(b a ,，求))((x g f 的定义域。
实际上是已知中间变量的u 的取值范围，即)(b a u ,∈，)()(b a x g ,∈。
通过解不等式b x g a <<)(求得x 的范围，即为))((x g f 的定义域。
② 已知))((x g f 的定义域为)(b a ，，求)(x f 的定义域的方法：若已知))((x g f 的定义域为)(b a ，，求)(x f 的定义域。
实际上是已知直接变量x 的取值范围，即)(b a x ，∈。
先利用b x a <<求得)(x g 的范围，则)(x g 的范围即是)(x f 的定义域。
3．求有关复合函数的解析式①已知)(x f 求复合函数)]([x g f 的解析式，直接把)(x f 中的x 换成)(x g 即可。
②已知)]([x g f 求)(x f 的常用方法有：配凑法和换元法。
配凑法：就是在)]([x g f 中把关于变量x 的表达式先凑成)(x g 整体的表达式，再直接把)(x g 换 成x 而得)(x f 。
拓展培优 抽象函数与复合函数的定义域
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类型三 已知f(g(x))的定义域，求f(h(x))的定义域 [典例3] 若函数f(2x＋1)的定义域为(－1，2)，则函数f(x－1)的定义域为 ________． [解析] 由f(2x＋1)的定义域为(－1，2)，得－1<x<2， ∴－1<2x＋1<5，即f(x)的定义域为(－1，5)．由－1<x－1<5，得0<x<6， ∴f(x－1)的定义域为(0，6)． [答案] (0，6)
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理解抽象函数或复合函数的定义域，应明确以下几点： (1)函数的定义域是自变量x的取值范围，比如：函数f(x)的定义域是指x的 取值范围，函数f(g(x))的定义域也是指x的取值范围，而不是g(x)的取值范围； (2)f(t)，f(x)，f(φ(x))，f(h(x))四个函数中的t，x，φ(x)，h(x)在对应关系f下 的范围相同； (3)已知f(x)的定义域为A，求f(φ(x))的定义域，其实质是已知φ(x)的取值范 围(值域)为A，求x的取值范围； (4)已知f(φ(x))的定义域为B，求f(x)的定义域，其实质是已知f(φ(x))中的x 的取值范围为B，求出φ(x)的范围(值域)，此范围就是f(x)的定义域．
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(2)函数 f(x)的定义域为(0，3)，对于函数 y＝f（xx－＋11），有0x－<x1＋≠10<，3，解 得－1<x<2 且 x≠1.因此函数 y＝f（xx－＋11）的定义域为(－1，1)∪(1，2)．
[答案] (1)(－1，12) (2)(－1，1)∪(1，2)
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类型二 已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域 [典例2] 已知函数f(3x－2)的定义域是[－2，0)，则函数f(x)的定义域是 ________；若函数g(x)的定义域是(－2，4]，则g(－2x＋2)的定义域是 ________． [解析] 因为函数f(3x－2)的定义域是[－2，0)，所以x∈[－2，0)，所以 3x－2∈[－8，－2)，所以f(x)的定义域是[－8，－2)；若函数g(x)的定义域是 (－2，4]，所以－2x＋2∈(－2，4]，解得x∈[－1，2)，所以函数g(－2x＋2)的 定义域是[－1，2)． [答案] [－8，－2) [－1，2)
复合函数的定义域和值域
复合函数的定义域和值域Hessen was revised in January 2021如果y是u的函数，记为，u又是x函数，记为，且g(x)的值域与f(u)的定义域的交集不空，则确定了一个y关于x的函数，这就是函数的复合函数，而称为外函数，称为内函数。
本文举例介绍复合函数问题的一些常见类型及解法。
1．求复合函数的定义域关键是正确分析函数的复合层次，由里向外或由外向里逐层解决。
例1已知f(x)的定义域为[0，1）若，则函数的定义域是________。
解析由故函数的定义域为。
例2已知函数f(x)的定义域为（1，3]，求函数的定义域(a>0)。
解析由由a>0，而知只有当0<a<1时，不等式线才有解，解集为；否则，不等式组的解集为空集，这说明仅当o<a<1时，g(x)才能是x的函数，且其定义域为。
2．求复合函数的值域关键是由里向外，逐层解决。
例3函数的值域是（）（A）（B）[0，4]（C）（D）解析函数是由函数与y=lgu复合而成的。
由知,由y=lgu知，，故所给函数的值域为，应该选C。
例4求函数的值域。
解析函数是由函数复合而成的。
由u的定义域得：。
由，或y>1，故所给函数的值域为。
3．求复合函数的奇偶性（1）若内函数为偶函数，那么复合函数的奇偶性与外函数无关，必为偶函数；（2）若内与外函数都为奇函数，那么复合函数也是奇函数；（3）若内函数为奇函数，外函数为偶函数，那么复合函数必为偶函数。
除以上类型外，其它类复合函数的奇偶性和须严格按函数奇偶性定义来判断。
例5判断下列函数的奇偶性。
解析（1）由于内函数为偶函数，据以上结论知f(x)必为偶函数。
解析（2）由于内函数为偶函数，虽外函数是非奇非偶函数，但f(x)仍为偶函数。
例6若f(x)为奇函数，试判断函数的奇偶性。
解析根据以上结论，由于内函数和外函数f(u)都为奇函数，故函数必为奇函数。
例7已知，试判断函数f(x)的奇偶性。