人教版高二数学必修五：第二章_章末测试题(B)有答案

第二章章末测试题(B)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．等差数列－2，0，2，…的第15项为( )

A．11 2 B．12 2

C．13 2 D．14 2

答案 C

解析∵a1＝－2，d＝2，

∴a n＝－2＋(n－1)×2＝2n－2 2.

∴a15＝152－22＝13 2.

2．若在数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝a2n－1(n∈N*)，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝( )

A．－1 B．1

C．0 D．2

答案 A

解析由递推关系式，得a2＝0，a3＝－1，a4＝0，a5＝－1.

∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1.

3．某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律进行下去，6小时后细胞存活的个数是( )

A．33个B．65个

C．66个D．129个

答案 B

解析设开始的细胞数和每小时后的细胞数构成的数列为{a n}．

则?

a 1＝2，a n ＋1＝2a n －1，即a n ＋1－1

a n －1

＝2. ∴a n －1＝1·2n －1，∴a n ＝2n －1＋1，∴a 7＝65.

4．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 8＝30，S 4＝7，则a 4的值等于( ) A.14 B.94 C.134 D.174

答案 C

解析由题意可知，

?????

8a 1＋8× 8－1 d

2＝30，4a 1

＋4× 4－1 d 2＝7，

解得???

a 1

＝14，

d ＝1.

故a 4＝a 1＋3＝13

5．设f (x )是定义在R 上的恒不为零的函数，且对任意的实数x 、y ∈R ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝1

，a n ＝f (n )(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和

S n 的取值范围为( )

A ．[1

2，2)

B ．[1

2，2]

C ．[1

2，1)

D ．[1

，1]

答案 C

解析依题意得f (n ＋1)＝f (n )·f (1)，即a n ＋1＝a n ·a 1＝1

a n ，所以数列{a n }

是以12为首项，12为公比的等比数列，所以S n ＝12 1－12n 1－12＝1－12n ，所以S n ∈[1

，

1)．

6．小正方形按照如图所示的规律排列：

每个图中的小正方形的个数构成一个数列{a n }，有以下结论：①a 5＝15；②数列{a n }是一个等差数列；③数列{a n }是一个等比数列；④数列的递推公式为：

a n ＋1＝a n ＋n ＋1(n ∈N *)．其中正确的命题序号为( )

A ．①②

B ．①③

C ．①④

D ．①

答案 C

解析当n ＝1时，a 1＝1；当n ＝2时，a 2＝3；当n ＝3时，a 3＝6；当n ＝4时，a 4＝10，…，观察图中规律，有a n ＋1＝a n ＋n ＋1，a 5＝15.故①④正确．

7．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －3

3a n ＋1

(n ∈N *)，则a 20＝( )

A ．0

B ．－ 3 C. 3 D.32

答案 B

解析由a 1＝0，a n ＋1＝a n －3

3a n ＋1

(n ∈N *)，

得a 2＝－3，a 3＝3，a 4＝0，…，由此可知数列{a n }是周期变化的，周期为3，∴a 20＝a 2＝－ 3.

8．数列{a n }满足递推公式a n ＝3a n －1＋3n

－1(n ≥2)，又a 1＝5，则使得{a n ＋λ

}

为等差数列的实数λ＝( )

A ．2

B ．5

C ．－12

D.1

答案 C

解析 a 1＝5，a 2＝23，a 3＝95，令b n ＝a n ＋λ

3n ，则b 1＝5＋λ3，b 2＝23＋λ

，

b 3＝95＋λ27，∵b 1＋b 3＝2b 2，∴λ＝－12

9．在等差数列{a n }中，a 10<0，a 11>0，且a 11>|a 10|，则{a n }的前n 项和S n 中最大的负数为( )

A ．S 17

B ．S 18

C ．S 19

D ．S 20 答案 C

解析 ∵a 10<0，a 11>0，且a 11>|a 10|，∴a 11＋a 10>0.

S 20＝

20 a 1＋a 20

＝10·(a 11＋a 10)>0.

S 19＝19 a 1＋a 19 2＝192

·2a 10<0.

10．将数列{3n －1}按“第n 组有n 个数”的规则分组如下：(1)，(3,9)，(27,81,243)，…，则第100组中的第一个数是( )

A ．34 950

B ．35 000

C ．35 010

D ．35 050

答案 A

解析在“第n 组有n 个数”的规则分组中，各组数的个数构成一个以1为首项，公差为1的等差数列．因前99组数的个数共有 1＋99 ×99

2＝4 950

个，故第100组中的第1个数是34 950.

11．(2012·新课标)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋

a 10＝( )

A ．7

B ．5

C ．－5

D ．－7

答案 D

解析 ∵{a n }为等比数列，∴a 5a 6＝a 4a 7＝－8.

联立???

a 4＋a 7＝2，a 4a 7＝－8，可解得???

a 4＝4，

a 7＝－2

或?????

a 4＝－2，

a 7＝4.

当???

a 4＝4a 7＝－2时，q 3

＝－12，故a 1＋a 10＝a 4

q 3＋a 7q 3＝－7；

当?

a 4＝－2a 7＝4时，q 3＝－2，同理，有a 1＋a 10＝－7.

12．(2012·全国)已知等差数列{a n }的前n 项和为S ，a 5＝5，S 5＝15，则数列{

a n a n ＋1

}的前100项和为( )

A.100101

B.99

101

C.99100

D.101100

答案 A

解析 S 5＝5 a 1＋a 5 2＝5 a 1＋5

＝15，∴a 1＝1.

∴d ＝a 5－a 15－1＝5－1

5－1

＝1.∴a n ＝1＋(n －1)×1＝n . ∴

a n a n ＋1

＝

1n n ＋1 .设{1

a n a n ＋1

}的前n 项和为T n ，

则T 100＝11×2＋12×3＋…＋1

100×101

＝1－12＋12－13＋…＋1100－1

101

＝1－1101＝100101

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)

13．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝72，则a 2＋a 4＋a 9＝________. 答案 24

14．设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项a n ＝________. 答案

n n ＋1

＋1

解析 ∵a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1， ∴a n －a n －1＝n ，a n －1－a n －2＝n －1，

a n －2－a n －3＝n －2，…，a 3－a 2＝3，a 2－a 1＝2，a 1＝2.

将以上各式的两边分别相加，得

a n ＝[n ＋(n －1)＋(n －2)＋(n －3)＋…＋2＋1]＋1

＝

n n ＋1

＋1.

15．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝3

2a n －3，则数列{a n }的通项公

式是________．

答案 a n ＝2·3n

解析 n ≥2时，S n ＝3

a n －3，①

S n －1＝3

a n －1－3，②

①－②知a n ＝32a n －32a n －1，即12a n ＝3

a n －1.

∴a n a n －1＝3，由S n ＝32a n －3，得S 1＝a 1＝3

a 1－3. 故a 1＝6，∴a n ＝2·3n .

16．某房地产开发商在销售一幢23层的商品楼之前按下列方法确定房价：由于首层与顶层均为复式结构，因此首层价格为a 1元/m 2，顶层由于景观好价格为a 2元/m 2

，第二层价格为a 元/m 2

，从第三层开始每层在前一层价格上加价a

100

元/m 2，则该商品房各层的平均价格为________．

答案 1

(a 1＋a 2＋23.1a ) 元/m 2

解析设第二层数列到第22层的价格构成数列{b n }，则{b n }是等差数列，

b 1＝a ，公差d ＝

100，共21项，所以其和为S 21＝21a ＋21×202·a

100

＝23.1a ，故平均价格为1

(a 1＋a 2＋23.1a ) 元/m 2.

三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(10分)等差数列{a n }中，a 4＝10，且a 3，a 6，a 10成等比数列．求数列{a n }前20项的和S 20.

解析设公差为d ，则由?

????

a 4＝10，

a 2

6＝a 3·a 10，

得?????

a 1＋3d ＝10， a 1＋5d 2

＝ a 1＋2d · a 1＋9d ，

解得???

a 1＝10，d ＝0

或?????

a 1＝7，

d ＝1.

∴S 20＝200或S 20＝330.

18．(12分)(2013·新课标全国Ⅱ)已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列．

(1)求{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2. 解析 (1)设{a n }的公差为d .

由题意，a 211＝a 1a 13，即(a 1＋10d )2

＝a 1(a 1＋12d )．

于是d (2a 1＋25d )＝0.

又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，d ＝－2. 故a n ＝－2n ＋27.

(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.

由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而S n ＝n 2(a 1＋a 3n －2)＝n

(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n .

19．(12分)已知{a n }为递减的等比数列，且{a 1，a 2，a 3) {－4，－3，－2,0，1,2,3,4}．

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)当b n ＝1－－1 n 2a n 时，求证：b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n －1<16

解析 (1)∵{a n }是递减的等比数列， ∴数列{a n }的公比q 是正数．

又∵{a 1，a 2，a 3} {－4，－3，－2,0,1,2,3,4}，

∴a 1＝4，a 2＝2，a 3＝1.∴q ＝a 2a 1＝24＝1

∴a n ＝a 1q n －1＝8

n .

(2)由已知得b n ＝8[1－－1 n ]

2n ＋1

，当n ＝2k (k ∈N *)时，b n ＝0，当n ＝2k －1(k ∈N *)时，b n ＝a n .

即b n ＝?????

0， n ＝2k ，k ∈N *

，a n ， n ＝2k －1，k ∈N *

∴b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n －2＋b 2n －1 ＝a 1＋a 3＋…＋a 2n －1

＝4[1－ 14 n

]

1－

＝163[1－(14)n ]<16

20．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋S n ＝1(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)若数列{b n }满足b n ＝3＋log 4a n ，设T n ＝|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |，求T n . 解析 (1)由a n ＋S n ＝1，得a n ＋1＋S n ＋1＝1，两式相减，得a n ＋1－a n ＋S n ＋1－S n ＝0. ∴2a n ＋1＝a n ，即a n ＋1＝1

a n .

又n ＝1时，a 1＋S 1＝1，∴a 1＝12.又a n ＋1a n ＝1

2，

∴数列{a n }是首项为12，公比为1

2的等比数列．

∴a n ＝a 1q n －1

＝12·(12)n －1＝(12

(2)b n ＝3＋log 4(12)n ＝3－n 2＝6－n

当n ≤6时，b n ≥0，

T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝

n 11－n

；

当n >6时，b n <0，

T n ＝b 1＋b 2＋…＋b 6－(b 7＋b 8＋…＋b n )

＝6×54－[(n －6)(－12)＋ n －6 n －7 2·(－1

2)]

＝

n 2－11n ＋60

综上，T n

＝?????

n 11－n

4 n ≤6 ，n 2

－11n ＋60

4 n ≥7 .

21．(12分)(2011·湖南)某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%.

(1)求第n 年初M 的价值a n 的表达式； (2)设A n ＝

a 1＋a 2＋…＋a n

.若A n 大于80万元，则M 继续使用，否则须在第

n 年初对M 更新．证明：须在第9年初对M 更新．

解析 (1)当n ≤6时，数列{a n }是首项为120，公差为－10的等差数列，此时a n ＝120－10(n －1)＝130－10n ；

当n ≥6时，数列{a n }是以a 6为首项，公比为3

4的等比数列，又a 6＝70，所

以a n ＝70×(34

)n －6

因此第n 年初，M 的价值a n 的表达式为 a n ＝?

????

130－10n ，n ≤6，70× 34 n

－6

，n ≥7.

(2)证明设S n 表示数列{a n }的前n 项和，由等差及等比数列的求和公式，得

当1≤n ≤6时，S n ＝120n －5n (n －1)，A n ＝120－5(n －1)＝125－5n ；当n ≥7时，由于S 6＝570，故

S n ＝S 6＋(a 7＋a 8＋…＋a n )

＝570＋70×34×4×[1－(3

4)n －6]

＝780－210×(34)n －6

A n ＝780－210× 34

n －6

易知{A n }是递减数列．

又A 8＝780－210× 34

8＝8247

64>80，

A 9＝780－210× 3

4 3

9＝7679

96<80，

所以需在第9年初对M 更新．

22．(12分)已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是

a 2，a 4的等差中项．

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)若b n ＝a n log 1

2a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，对任意正整数n ，S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0

恒成立，试求m 的取值范围．

解析 (1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q .依题意，有2(a 3＋2)＝a 2

＋a 4，代入a 2＋a 3＋a 4＝28，得a 3＝8.

因此a 2＋a 4＝20，即有?

????

a 1q ＋a 1q 3

＝20，

a 3＝a 1q 2

＝8.

解得?

q ＝2，

a 1＝2或?????

q ＝12，

a 1

＝32.

又数列{a n }单调递增，则?

q ＝2，

a 1＝2.故a n ＝2n .

(2)∵b n ＝2n ·log 12

2n ＝－n ·2n ，

∴－S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，①

－2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1.②

①－②，得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2 1－2n

1－2

－n ·2n ＋1＝2n ＋1－

n ·2n ＋1－2.

∵S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0，∴2n ＋1－n ·2n ＋1－2＋n ·2n ＋1＋m ·2n ＋1<0对任意正整数

n 恒成立．

∴m ·2n ＋1<2－2n ＋1对任意正整数n 恒成立，即m <1

2n －1恒成立．

∵1

n －1>－1，∴m ≤－1，即m 的取值范围是(－∞，－1]．

高一数学必修一第二章知识总结

高一数学必修一第二章知识总结一、指数函数（一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *． ◆ 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，? ? ?<≥-==)0()0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定： )1,,,0(* >∈>= n N n m a a a n m n m ， )1,,,0(1 1 * >∈>= =- n N n m a a a a n m n m n m ◆ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质（1）r a 〃s r r a a += ),,0(R s r a ∈>；（2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>；（3）s r r a a a b =)( ),,0(R s r a ∈>．（二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [；

（2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈；（3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =；二、对数函数（一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式）说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○ 2 x N N a a x =?=log ； ○ 3 注意对数的书写格式．两个重要对数： ○ 1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ．指数式与对数式的互化幂值真数指数对数（二）对数的运算性质如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○ 1 M a (log 〃=)N M a log ＋N a log ； ○ 2 =N M a log M a log －N a log ； ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈．注意：换底公式 a b b c c a log log log = （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．利用换底公式推导下面的结论（1）b m n b a n a m log log = ；（2）a b b a log 1log = ．（二）对数函数 1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：x y 2log 2=，5 log 5 x y = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． ○ 2 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ．

高中数学必修五综合测试题(卷) 含答案解析

绝密★启用前高中数学必修五综合考试卷第I卷（选择题）一、单选题 1．数列的一个通项公式是（） A．B． C．D． 2．不等式的解集是（） A．B．C．D． 3．若变量满足，则的最小值是（） A．B．C．D．4 4．在实数等比数列{a n}中，a2，a6是方程x2－34x＋64＝0的两根，则a4等于( ) A．8B．－8C．±8D．以上都不对 5．己知数列为正项等比数列，且，则（）A．1B．2C．3D．4 6．数列 1111 1,2,3,4, 24816 L前n项的和为（） A． 2 1 22 n n n + +B． 2 1 1 22 n n n + -++C． 2 1 22 n n n + -+D． 2 1 1 22 n n n + - -+ 7．若的三边长成公差为的等差数列，最大角的正弦值为，则这个三角形的面积为（） A．B．C．D． 8．在△ABC中，已知,则B等于( ) A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120° 9．下列命题中正确的是( ) A．a＞b?ac2＞bc2B．a＞b?a2＞b2 C．a＞b?a3＞b3D．a2＞b2?a＞b 10．满足条件，的的个数是( ) A．1个B．2个C．无数个D．不存在

11．已知函数满足：则应满足（）A．B．C．D． 12．已知数列{a n}是公差为2的等差数列，且成等比数列，则为（）A．-2B．-3C．2D．3 13．等差数列的前10项和，则等于（） A．3 B．6 C．9 D．10 14．等差数列的前项和分别为，若，则的值为（）A．B．C．D．第II卷（非选择题）二、填空题 15．已知为等差数列，且－2＝－1,＝0,则公差= 16．在中，，，面积为，则边长=_________. 17．已知中，，，，则面积为_________. 18．若数列的前n项和，则的通项公式____________ 19．直线下方的平面区域用不等式表示为________________． 20．函数的最小值是_____________． 21．已知，且，则的最小值是______．三、解答题 22．解一元二次不等式（1）（2） 23．△的角、、的对边分别是、、。（1）求边上的中线的长；