2012年广东高考(理科数学)详解

2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学（理科）

【详解人】佛山市南海区石门中学 黄伟亮

参考公式：

柱体的体积公式V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高. 圆锥的体积公式1

3

V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高.

一、选择题

1.（复数）设i 为虚数单位，则复数56i

i

-=（ ） A .65i +

B .65i -

C .65i -+

D .65i --

解析：D .

56i

65i i

-=--. 2.（集合）设集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,2,4M =，则U C M =（ ） A .U

B .{}1,3,5

C .{}3,5,6

D .{}2,4,6

解析：C .{}3,5,6U C M =.

3.（向量）若向量()2,3BA =，()4,7CA =，则BC =（ ） A .()2,4--

B .()2,4

C .()6,10

D .()6,10--

解析：A .()2,4BC BA CA =-=--.

4.（函数）下列函数中，在区间()0,+∞上为增函数的是（ ） A .()ln 2y x =+

B

.y =

C .12x

y ??

= ???

D .1y x x

=+

解析：A .()ln 2y x =+在()2,-+∞上是增函数.

5.已知变量x 、y 满足约束条件211y x y x y ≤??

+≥??-≤?

，则3z x y =+的最大值为（ ）

A .12

B .11

C .3

D .1-

解析：B .画出可行域，可知当代表直线过点A 时，取到最大值.

联立21y y x =??=-?，解得32x y =??=?

，所以3z x y =+的最大值为11.

6.（立体几何）某几何体的三视图如图1所示，它的体积为（ ）

A .12π

B .45π

C .57π

D .81π

解析：C .该几何体下部分是半径为3，高为5的圆柱，体积为

23545V ππ=??=，上部分是半径为3，高为4的圆锥，体积为

21

34123

V ππ=???=，所以体积为57π.

7.（概率）从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是（ ）

A .

4

9

B .13

C .

29

D .

19

解析：D .两位数共有90个，其中个位数与十位数之和为奇数的两位数有45个，个位数为0的有5个，所以概率为

51459

=. 8.对任意两个非零的平面向量α和β，定义?=

?αβ

αβββ

，若平面向量a 、b 满足0≥>a b ，a 与b 的夹角0,4πθ??

∈ ???，且a b 和b a 都在集合2n n Z ??∈????

中，则=

a b （ ）

A .

1

2

B .1

C .

32

D .

52

解析：C .?=

=?a a b a b b b b 1cos 2k θ=，=b b a a 2cos 2k θ=，两式相乘，可得212cos 4

k k

θ=.因为0,4πθ??

∈ ???，所以1k 、2k 都是正整数，于是2121cos 124k k θ<=<，即1224k k <<，所以

123k k =.而0≥>a b ，所以13k =，21k =，于是3

2

=

a b . 二、填空题

（一）必做题（9—13题）

9.（不等式）不等式21x x +-≤的解集为__________________.

解析：1,2?

?-∞- ??

?.2x x +-的几何意义是x 到2-的距离与x 到0的距离的差，画出数

轴，先找出临界“21x x +-=的解为12x =-

”，然后可得解集为1,2?

?-∞- ??

?.

10.（二项式定理）6

21x x ?

?+ ???的展开式中3x 的系数为_________.（用数字作答）

解析：20.6

21x x ??+ ???的展开式通项为()621231661k

k k k k

k T C x C x

x --+??== ???，令1233k -=，解得3k =，所以621x x ??+ ???

的展开式中3x 的系数为3

6

20C =. 11.（数列）已知递增的等差数列{}n a 满足11a =，2

324a a =-，则n a =______________.

解析：21n -.设公差为d （0d >），则有()2

1214d d +=+-，解得2d =，所以

21n a n =-.

12.曲线33y x x =-+在点()1,3处的切线方程为___________________.

解析：210x y -+=.21|3112x y ='=?-=，所以切线方程为()321y x -=-，即

210

x y -+=. 13.（算法）执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出s 的值为______.

解析：8.第一次循环，()1

1221

s =??=，4i =，2k =；第二次循环，()1

2442

s =

??=，6i =，3k =；第三次循环，()1

4683

s =??=，8i =，4k =.此时退出循环，输出s 的值

为8.

（二）选做题（14—15题）

14.（坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为

x t

y =???

=??t 为参数）和x y θθ

?=??=??（θ为参数），则曲线1C 与2C 的交点坐标为________.

解析：()1,1.法1：曲线1C 的普通方程是2y x =（0y ≥），曲线2C 的普通方程是

222x y +=，联立解得11x y =??=?

，所以交点坐标为()1,1.

法2：联立

t θ

θ

?=?=22sin θθ=，即22cos 20θθ+-=，解

得cos

2θ=

cos θ=（舍去），所以11

t =??=，交点坐标为()1,1.

15.（几何证明选讲）如图3，圆O 的半径为1，A 、B 、C 是圆周上的三点，满足30ABC ∠=?，过点A 作圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ，则PA =__________.

.连接OA ，则60AOC ∠=?，90OAP ∠=?，因为1OA =，

所以PA 三、解答题

16.（三角函数）（本小题满分12分）

已知函数()2cos 6f x x πω?

?=+ ??

?（其中0ω>x ∈R ）的最小正周期为10π.

（Ⅰ）求ω的值；

（Ⅱ）设α、0,2πβ??∈????，56535f απ??+=- ???，5165617f βπ?

?-= ??

?，求()cos αβ+的

值.

解析：（Ⅰ）210T π

πω

=

=，所以15

ω=

. （Ⅱ）515652cos 52cos 2sin 353625f ππαπαπαα???????

?+=++=+=-=- ? ? ???????????，所以

3s i n 5α=.5151652cos 52cos 656617f πβπβπβ???

???-=-+== ? ??????

???，所以8cos 17β=.因为α、

0,2πβ??

∈??

??

，所以4c o s i n 5α，15sin 17

β=

，所以

()4831513

cos cos cos sin sin 51751785

αβαβαβ+=-=?-?=-.

17.（概率统计）（本小题满分13分） 某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[)40,50、

[)50,60、[)60,70、[)70,80、[)80,90、[]90,100.

（Ⅰ）求图中x 的值；

（Ⅱ）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ，求ξ的数学期望.

解析：（Ⅰ）由()0.00630.010.054101x ?+++?=，解得0.018x =.

（Ⅱ）分数在[)80,90、[]90,100的人数分别是500.018109??=人、500.006103??=人.所以ξ的取值为0、1、2.

()023921236606611C C P C ξ====，()11

3921227916622C C P C ξ====，()20392

1231

26622

C C P C ξ====，所以ξ的数学期望是691111

012112222222

E ξ=?

+?+?==.

18.（立体几何）（本小题满分13分）

如图5所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，

PA ⊥平面ABCD ，点E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE .

（Ⅰ）证明：BD ⊥平面PAC ；

（Ⅱ）若1PA =，2AD =，求二面角B PC A --的正切值.

解析：（Ⅰ）因为PC ⊥平面BDE ，BD ?平面BDE ，所以PC BD ⊥.又因为PA ⊥平面ABCD ，BD ?平面ABCD ，所以PA BD ⊥.而PC PA P =，PC ?平面PAC ，PA ?

平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC .

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知BD ⊥平面PAC ，而AC ?平面PAC ，所以BD AC ⊥，而ABCD 为矩形，所以ABCD 为正方形，于是2AB AD ==.

法1：以A 点为原点，AB 、AD 、AP 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系A BDP -

.

则()0,0,1P 、()2,2,0C 、()2,0,0B 、()0,2,0D ，于是

()0,2,0BC =，()2,0,1PB =-.设平面PBC 的一个法向量

为=1n (),,x y z ，则00

BC PB ??=???=??11n n ，从而2020y x z =??-=?，令

1x =，得()1,0,2=1n .而平面PAC 的一个法向量为=2n ()2,2,0BD =-.所以二面角B PC A --

的余弦值为cos ,?<>=

=121212

=

n n n n n n ，于是二面角B PC A --的正切值为3.

法2：设AC 与BD 交于点O ，连接OE .因为PC ⊥平面

BDE ，OE ?平面BDE ，BE ?平面BDE ，所以PC OE ⊥，

PC BE ⊥，于是OEB ∠就是二面角B PC A --的平面角.又因为

BD ⊥平面PAC ，OE ?平面PAC ，所以OEB ?是直角三角形.

由OEC ?∽PAC ?可得

O E P A

O C P C

=，而2A B A D ==，所

以

AC =

，OC 1PA =，所以3PC =

，于是133

PA OE OC PC =?==

，而OB ，于是二面角B PC A --的正切值为3OB

OE

=.

19.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11221n n n S a ++=-+，n ∈*N ，且1a 、25a +、3

a 成等差数列.

（Ⅰ）求1a 的值；

（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）证明：对一切正整数n ，有

12

11132

n a a a +++

<. 解析：（Ⅰ）由()()12123213

232725a a a a a a a a ?=-?

+=-??

+=+?，解得11a =.

（Ⅱ）由11221n n n S a ++=-+可得1221n n n S a -=-+（

2n

≥），两式相减，可得

122n n n n a a a +=--，即132n n n a a +=+，即(

)11232n n

n n a a +++=+

，

所以数列{}

2n n

a +（2n ≥）是一个以24a +为首项，3为公比的等比数列.由1223a a =-可得，25a =，所以

2293n n n a -+=?，即32n n n a =-（2n ≥），当1n =时，11a =，也满足该式子，所以数列{}

n a 的通项公式是32n n n a =-.

（Ⅲ）因为1113323222n n n n n ----=?≥?=，所以1323n n n --≥，所以

111

3

n n a -≤，于是112

111111131331113

323213

n

n

n n a a a -??

- ???????+++

≤+++==-

点评：上述证法实质上是证明了一个加强命题12

11

131123n

n a a a ??

??++

+≤-?? ???????

，该加强命题的思考过程如下.

考虑构造一个公比为q 的等比数列{}n b ，其前n 项和为()111n n b q T q

-=

-，希望能得到

()112

11113

12n

n b q a a a q -+++≤<-，考虑到()11111n b q b q q

-<--，所以令1312b q =-即可.由n a 的

通项公式的形式可大胆尝试令13q =，则11b =，于是11

3

n n b -=，此时只需证明1

113n n n b a -≤=就可以了.

当然，q 的选取并不唯一，也可令12q =，此时134b =，132n n b +=，与选取1

3

q =不同的

地方在于，当1n =时，

1n n

b a >，当2n ≥时，1

n n b a <，所以此时我们不能从第一项就开始

放缩，应该保留前几项，之后的再放缩，下面给出其证法.

当1n =时，

11312a =<；当2n =时，121113

152

a a +=+<；当3n =时，123111113

15192

a a a ++=++<.

当4n ≥时，

1

n n

b a <，所以 3

12

311322111111133111

519

519162

12

n n a a a -????

-?? ???

????

+++

<+++<+++<-.

综上所述，命题获证.

下面再给出

12

1113

2

n a a a +++

<的两个证法. 法1：（数学归纳法） ①当1n =时，左边111a =

=，右边3

2

=，命题成立. ②假设当n k =（2k ≥，k ∈N ）时成立，即1

13

322k

i i

i =<-∑成立.为了证明当1n k =+时命题也成立，我们首先证明不等式：

11111

32332i i i i

++

--（1i ≥，i ∈N ）. 要证

11111

32332i i i i

++

--，只需证111

11

32332i i i i

+++<--?，只需证11132332i i i i +++->-?，只需证1232i i +->-?，只需证23->-，该式子明显成立，所以

11111

32332i i i i

++

--. 于是当1n k =+时，1

1

12111111133

1132

3232332322k k k i i i i i i i i i ++====+<+<+?=----∑∑∑，所以命题在1n k =+时也成立.

综合①②，由数学归纳法可得，对一切正整数n ，有

12

11

132

n a a a +++

<. 备注：不少人认为当不等式的一边是常数的时候是不能用数学归纳法的，其实这是一个错误的认识.

法2：（裂项相消法）（南海中学钱耀周提供） 当1n =时，

11312a =<显然成立.当2n =时，121113

152

a a +=+<显然成立. 当3n ≥时，()32122n

n n n n a =-=+-12

21

1122222n n n n n

n n C C C --=+?+?++?+-

()12

2112

21222221n n n n n n C C C C n n --=+?+?+

+?>?=-，又因为()252221a =>??-，所以

()21n a n n >-（2n ≥），所以

()111112121n a n n n n ??

<=- ?--??

（2n ≥），所以 123

1111111111113

11112234

122

n a a a a n n n ????++++

<+-+-++

-=+-<

? ?-????. 综上所述，命题获证.

20.（解析几何）（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22

221x y a b

+=（0a b >>）的离心率e 且

椭圆C 上的点到点()0,2Q 的距离的最大值为3.

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）在椭圆C 上，是否存在点(),M m n ，使得直线l ：1mx ny +=与圆O ：221x y +=相交于不同的两点A 、B ，且O A B ?的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的OAB ?的面积；若不存在，请说明理由.

解析：（Ⅰ）因为e =222

3c a =，于是223a b =.设椭圆C 上任一点(),P x y ，则

()

()2

2

2

22

222

2

2122443y PQ x y a y y y b b

??=+-=-+-=--++ ???

（b y b -≤≤）. 当01b <<时，2

PQ 在y b =-时取到最大值，且最大值为244b b ++，由2449b b ++=解得1b =，与假设01b <<不符合，舍去.

当1b

≥时，2

PQ 在1y =-时取到最大值，且最大值为2

36b +，由2369b +=解得21b =

.

于是2

3a =，椭圆C 的方程是2

213

x y +=.

（Ⅱ）圆心到直线l 的距离为d =

，弦长AB =OAB ?的面积

为12S AB d =?=，于是()2

222211124S d d d ?

?=-=--+ ??

?.而(),M m n 是椭圆上的

点，所以2

213m n +=，即2233m n =-，于是2222

1132d m n n ==

+-，而11n -≤≤，所以

201n ≤≤，21323n ≤-≤，所以2113d ≤≤，于是当212d =时，2S 取到最大值1

4

，此时S 取

到最大值12，此时212n =，23

2

m =.

综上所述，椭圆上存在四个点??、?

?

?、??、? ??，

使得直线与圆相交于不同的两点A 、B ，且OAB ?的面积最大，且最大值为

1

2

. 点评：此题与2012年南海区高三8月摸底考试的试题相似度极高.

（2012年南海区高三8月摸底考试）已知椭圆C 的两焦点为()11,0F -、()21,0F ，并且

经过点31,2M ??

???

.

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）已知圆O ：221x y +=，直线l ：1mx ny +=，证明：当点(),P m n 在椭圆C 上运动时，直线l 与圆O 恒相交；并求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围.

21.（不等式、导数）（本小题满分14分）

设1a <，集合{}0A x R x =∈>，(){}

223160B x R x a x a =∈-++>，D A B =.

（Ⅰ）求集合D （用区间表示）；

（Ⅱ）求函数()()322316f x x a x ax =-++在D 内的极值点. 解析：（Ⅰ）考虑不等式()223160x a x a -++>的解.

因为()()()2

314263331a a a a ?=?-+?-??=--??，且1a <，所以可分以下三种情况： ①当1

13

a <<时，0?<，此时B =R ，()0,D A ==+∞.

②当1

3a =时，0?=，此时{}1B x x =≠，()()0,11,D =+∞. ③当1

3

a <时，0?>，此时()223160x a x a -++=有两根，设为1x 、2x ，且12x x <，

则1x =

2x =

，于是

{}12B x x x x x =<>或.

当1

03

a <<

时，()123102x x a +=+>，1230x x a =>，所以210x x >>，此时

()

()120,,D x x =+∞；当0a ≤时，1230x x a =≤，所以10x ≤，20x >，此时()2,D x =+∞.

综上所述，当1

13a <<时，()0,D A ==+∞；当1

3

a =

时，()()0,11,D =+∞；

当1

03

a <<

时，()

()120,,D x x =+∞；当0a ≤时，()2,D x =+∞.其中1x =

2x .

（Ⅱ）()()26616f x x a x a '=-++，令()0f x '=可得()()10x a x --=.因为1a <，所以()0f x '=有两根1m a =和21m =，且12m m <.

①当1

13

a <<时，()0,D A ==+∞，此时()0f x '=在D 内有两根1m a =和21m =，列表可得

所以()f x 在D 内有极大值点1，极小值点a . ②当1

3

a =时，()()0,11,D =+∞，此时()0f x '=在D 内只有一根11

3

m a ==

，列表可得

所以()f x 在D 内只有极小值点a ，没有极大值点. ③当1

03

a <<

时，()()120,,D x x =+∞，此时1201a x x <<<<（可用分析法证明）

，于是()0f x '=在D 内只有一根1m a =，列表可得

所以()f x 在D 内只有极小值点a ，没有极大值点.

④当0a ≤时，()2,D x =+∞，此时21x >，于是()f x '在D 内恒大于0，()f x 在D 内没有极值点.

综上所述，当1

13a <<时，()f x 在D 内有极大值点1，极小值点a ；当1

03

a <≤

时，()f x 在D 内只有极小值点a ，没有极大值点.当0a ≤时，()f x 在D 内没有极值点.