人教版数学九上《第22章二次函数小结与复习(第1课时)》同课异构教案 (vip专享)

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第22章二次函数

教学时间

课题

《二次函数》小结与复习（1）

课型

新授课

教学目标

知识和能力理解二次函数的概念，掌握二次函数y ＝ax2的图象与性质；会用描点法画抛物线，能确定抛物线的顶点、对称轴、开口方向，能较熟练地由抛物线y ＝ax2经过适当平移得到y ＝a(x －h)2＋k 的图象. 过程和方法

情感态度价值观

教学重点用配方法求二次函数的顶点、对称轴，根据图象概括二次函数y ＝ax2图象的性质. 教学难点二次函数图象的平移. 教学准备

教师

多媒体课件

学生

“五个一”

课堂教学程序设计

设计意图一、结合例题精析，强化练习，剖析知识点

1．二次函数的概念，二次函数y ＝ax 2

(a ≠0)的图象性质.

例：已知函数4m m 2

x )2m (y -++=是关于x 的二次函数，求：(1)满足条件的m 值；(2)m 为何值时，抛物线有最低点?求出这个最低点．这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大?(3)m 为何值时，函数有最大值?最大值是什么?这时当x 为何值时，y 随x 的增大而减小?

学生活动：学生四人一组进行讨论，并回顾例题所涉及的知识点，让学生代表发言分析解题方法，以及涉及的知识点.

教师精析点评，二次函数的一般式为y ＝ax 2

＋bx ＋c(a ≠0). 强调a ≠0．而常数

b 、

c 可以为0，当b ，c 同时为0时，抛物线为y ＝ax 2

(a ≠0). 此时，抛物线顶点为(0，0)，对称轴是y 轴，即直线x ＝0.

(1)使4m m 2

x )2m (y -++=是关于x 的二次函数，则m 2

＋m －4＝2，且m ＋2≠0，即： m 2

＋m －4＝2，m ＋2≠0，解得；m ＝2或m ＝－3，m ≠－2 (2)抛物线有最低点的条件是它开口向上，即m ＋2＞0，

(3)函数有最大值的条件是抛物线开口向下，即m ＋2＜0.

抛物线的增减性要结合图象进行分析，要求学生画出草图，渗透数形结合思想，进行观察分析.

强化练习；已知函数m m 2

x )1m (y ++=是二次函数，其图象开口方向向下，则m ＝_____，顶点为_____，当x_____0时，y 随x 的增大而增大，当x_____0时，y 随x 的增大而减小.

2. 用配方法求抛物线的顶点，对称轴；抛物线的画法，平移规律，例：用配方

法求出抛物线y ＝－3x 2

－6x ＋8的顶点坐标、对称轴，并画出函数图象，说明通过怎

样的平移，可得到抛物线y ＝－3x 2

学生活动：小组讨论配方方法，确定抛物线画法的步骤，探索平移的规律. 充分讨论后让学生代表归纳解题方法与思路. 教师归纳点评：

(1)教师在学生合作讨论基础上强调配方的方法及配方的意义，指出抛物线的一

般式与顶点式的互化关系： y ＝ax 2

＋bx ＋c ————→y ＝a(x ＋b 2a )2＋4ac －b 2

(2)强调利用抛物线的对称性进行画图，先确定抛物线的顶点、对称轴，利用对称性列表、描点、连线.

(3)抛物线的平移抓住关键点顶点的移动，分析完例题后归纳；投影展示：

强化练习：

(1)抛物线y ＝x 2

＋bx ＋c 的图象向左平移2个单位. 再向上平移3个单位，得抛

物线y ＝x 2

－2x ＋1，求：b 与c 的值.

(2)通过配方，求抛物线y ＝12

x 2

－4x ＋5的开口方向、对称轴及顶点坐标，再画

出图象.

3．知识点串联，综合应用.

例：如图，已知直线AB 经过x 轴上的点A(2，0)，且

与抛物线y ＝ax 2

相交于B 、C 两点，已知B 点坐标为(1，1).

(1)求直线和抛物线的解析式；

(2)如果D 为抛物线上一点，使得△AOD 与△OBC 的面积相等，求D 点坐标.

学生活动：开展小组讨论，体验用待定系数法求函数的解析式.

教师点评：(1)直线AB 过点A(2，0)，B(1，1)，代入解析式y ＝kx ＋b ，可确定

k 、b ，抛物线y ＝ax 2

过点B(1，1)，代人可确定a.

求得：直线解析式为y ＝－x ＋2，抛物线解析式为y ＝x 2

(2)由y ＝－x ＋2与y ＝x 2

，先求抛物线与直线的另一个交点C 的坐标为(－2，4)，

S △OBC ＝S △ABC －S △OAB ＝3. ∵ S △AOD ＝S △OBC ，且OA ＝2 ∴ D 的纵坐标为3

又∵ D在抛物线y＝x2上，∴x2＝3，即x＝± 3 ∴ D(－3，3)或(3，3)

强化练习：函数y＝ax2(a≠0)与直线y＝2x－3交于点A(1，b)，求：

(1)a和b的值；

(2)求抛物线y＝ax2的顶点和对称轴；

(3)x取何值时，二次函数y＝ax2中的y随x的增大而增大，

(4)求抛物线与直线y＝－2两交点及抛物线的顶点所构成的三角形面积.

二、课堂小结

1．让学生反思本节教学过程，归纳本节课复习过的知识点及应用.

2. 投影：完成下表：

作业设计必做教科书P31：1-9

选做教科书P32：10、11

教学反思

初三数学重难点

代数方程（组） ★重难点★一元二次方程及其解法；方程的有关应用题（特别是行程、工程问题）—、基本概念 1 ?方程、方程的解（根）、方程组的解、解方程（组）二、一元二次方程 1 ?定义及一般形式： 2 ?解法：⑴直接开平方法（注意特征）⑵配方法（注意步骤一推倒求根公式） ⑶公式法：⑷因式分解法（特征：左边=0) 3.根的判别式：厶=b2 -4ac 4.根与系数的关系（韦达定理）：X-i + b x2= ，X-i c a a 逆定理：若，则以人，X2为根的一元 — -次方程是：a(X- X- ) ( X- X2 ) =0 5 ?常用等式：三、可化为一元二次方程的方程 1 .分式方程 ⑴定义 ⑵基本思想：去分母 ⑶基本解法：①去分母法②换元法（如，） ⑷验根及方法 2. 无理方程 ⑴定义 ⑵基本思想：分母有理化 ⑶基本解法：①乘方法（注意技巧！！）购换元法（例，） ⑷验根及方法 3. 简单的二元二次方程组由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组都可用代入法解。四、列方程解应用题一概述列方程（组）解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。其具体步骤是： ⑴审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。 ⑵设兀（未知数）。①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。 ⑶用含未知数的代数式表示相关的量。 ⑷寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。一般地，未知数个数与方程个数是相同的。 ⑸解方程及检验。 ⑹答案。综上所述，列方程解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），在

人教版九年级数学下册教学设计(优秀)

第二十六章反比例函数 26.1 反比例函数 26.1.1 反比例函数 1．理解反比例函数的概念；(难点) 2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求解析式；(重点) 3．能根据实际问题中的条件建立反比例函数模型．(重点) 一、情境导入 1．京广高铁全程为2298km，某次列车的平均速度v(单位：km/h)与此次列车的全程运行时间t(单位：h)有什么样的等量关系？ 2．冷冻一个物体，使它的温度从20℃下降到零下100℃，每分钟平均变化的温度T(单位：℃)与冷冻时间t(单位：min)有什么样的等量关系？问题：这些关系式有什么共同点？二、合作探究探究点一：反比例函数的定义【类型一】反比例函数的识别下列函数中：①y＝ 3 2x；②3xy＝1；③y＝ 1－2 x；④y＝ x 2.反比例函数有() A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①y＝ 3 2x是反比例函数，正确；②3xy＝1可化为y＝ 1 3x，是反比例函数，正确； ③y＝ 1－2 x是反比例函数，正确；④y＝ x 2是正比例函数，错误．故选C. 方法总结：判断一个函数是否是反比例函数，首先要看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的定义去判断，其形式为y＝ k x(k为常数，k≠0)，y＝kx －1(k为常数，k ≠0)或xy＝k(k为常数，k≠0)．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型二】根据反比例函数的定义确定字母的值已知函数y＝(2m2＋m－1)x2m2＋3m－3是反比例函数，求m的值．解析：由反比例函数的定义可得2m2＋3m－3＝－1，2m2＋m－1≠0，然后求解即可．

(完整)人教版数学九年级下册学习重点难点梳理整理

九年级下册重难点梳理学习重点： 1．从现实情境中探索直角三角形的边角关系。理解正切、倾斜程度、坡度、锐角三角函数正弦、余弦的数学意义，密切数学与生活的联系。能用sinA、cosA表示直角三角形两边的比。 2．能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算。能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算，会比较锐角三角函数值的大小。 3．经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用。发展学生数学应用意识和解决问题的能力。学习难点： 1．理解正切的意义，并用它来表示两边的比。 2．用函数的观点理解正弦、余弦和正切。 3．根据相关术语，常用的方向角度准确的画出图像。学习重点： 1．能够表示简单变量之间的二次函数。利用描点法作出y=x2的图像过程中，理解掌握二次函数y=x2的性质。 2．二次函数y=ax2、y=ax2＋c的图像和性质，推导和研究二次函数y=ax2＋bx＋c的图像和性质。学习时结合图像分别从开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小值）、函数的增减性几个方面记忆分析． 3．能够根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数进行研究．函数的综合题目，往往是三种方式的综合应用，由三种不同方式，都能把握函数性质，才会正确解题。 4．应用二次函数解决实际问题，要能正确分析和把握实际问题的数量关系，从而得到函数关系，再求最值。 5．把握二次函数图像与x轴（或y=h）交点的个数与一元二次方程的根的关系。理解二次函数y=ax2＋bx＋c图像与x轴交点，即y=0，即ax2＋bx＋c=0，从而转化为方程的根，再应用根的判别式，求根公式判断，求解即可。

九年级数学重难点突破专题

15年期中考试重难点突破 15年期中考试与往年相比，具有传承性，亦有突破，会是传统与创新、变革激烈碰撞的一年，要想取得好成绩，必须开阔视野，明确考试命题的方向，熟悉中考考点，章节重难点，易错点，易混淆点，自己问题所在，逐一突破，才能在考试中立于不败之地——稳定可靠，藉此讲义，助你成功。中考考点：一、一元二次方程：三大陷阱：①二次项系数a ≠0;②利用关于x 1，x 2的等式求未知字母系数的值时，验△；③关于方程的类型的分类讨论；中考考点：①利用方程根的定义求代数式的值；（整体代入法，若结合一元二次方程根与系数的关系，还需要注意降次思想）②解一元二次方程；（配方法，熟练理解记忆公式法，含字母系数的十字相乘因式分解法，二次项系数不为1的因式分解法，可化为一元二次方程的分式方程的解法及步骤，高次方程与整体思想注意验△）③韦达定理及根与系数的关系；（据根的分布，求字母系数的取值或范围时注意字母所在位置或利用配方法判断方程根的分布，会求含x 1，x 2的对称式的值及利用构造法求值（非对称式要结合根的定义），注意含x 1，x 2的绝对值的问题的常用解题策略，⑤一元二次方程的应用；常见题型：面积问题（注意平移，分割拼接转化为特殊图形，立体转化为平面）、经济型问题（归一法），单循环、双循环问题（会以选择题形式出现）。新变化：一元二次方程解决几何图形中的计算问题；（动点位置或运动时间，线段最值，等腰三角形分类讨论，直线与圆的位置关系）一、一元二次方程： 1、如图，正方形ABCD 的边长为2，M 为AD 的中点，N 在边CD 上且∠NMB=∠MBC ，MN 的延长线与BC 的延长线交于点G ，则GN 的长是。 2、如图，平面直角坐标系中，点M 是直线y=2与x 轴之间的一个动点，且点M 是抛物线c bx x y ++= 221的顶点，则方程12 1 2=++c bx x 的解的个数是（） A 、0或2 B 、0或1 C 、1或2 D 、0或1或2 3、二次函数y=ax 2 +bx+c （a ≠0）图象如图，下列结论：①abc ＞0；②2a+b=0；③当m ≠1时，a+b ＞am 2 +bm ；④a-b+c ＞0；⑤若ax 12 +bx 1=ax 22 +bx 2，且x 1≠x 2，x 1+x 2=2．其中正确的有（） A ．①②③ B ．②④ C ．②⑤ D ．②③⑤ 4、已知方程x 2 -2（m 2 -1）x+3m=0的两个根是互为相反数，则m 的值是（） A ．m=±1 B ．m=-1 C ．m=1 D ．m=0 G N D C B A

人教版九年级数学上册学练优第二十一章检测题

第二十一章一元二次方程检测题一.填空题(每题5分，共25分) 1. 方程1)32)(13(=-+x x 化成一般式是__________,其中二次项系数是____,一次项系数是____,常数项是______。 2. 关于x 的方程02)1()1(22=-++-x k x k ，当k____时，它是一元二次方程；当k____时，它是一元一次方程。 3. 方程)3(5) 3(2-=-x x x 的根是____________。 4. 如果方程0622=--+k kx x 的一个根是-3，那么另一个根是____，k=______。 5. 若方程043222=-+-a x x 有两个不相等的实数根，则a 的取值范围为_______，则a a a 81622-+--的值等于________。二. 选择题（每题6分，共30分） 6. 下列关于x 的方程中，一定是一元二次方程的是（） A . 023)3(2=---x x m B. 0652=++k x k C . 02 14222=--x x D. 02132=-+x x 7. 关于x 的方程0122=---m mx x 的根的情况（） A . 没有实数根 B . 有两个相等的实数根 C . 有两个不相等的实数根 D . 不能确定。 8. 方程04322=-+x x 的两根倒数之和为（） A . 43 B . 43- C . 2 3 D . 以上答案都不对。 9. 在实数范围内分解因式364-x 的结果正确的是（） A . )6)(6(22-+x x B . )6)(6)(6(2-++x x x C .)6)(6()6(2-++ x x x D . 以上答案都不对。 10.某厂一月份生产空调机1200台，三月份生产空调机1500台，若二、三月份

初三年级下册数学重难点分析

初三年级下册数学重难点分析聪明出于勤奋，天才在于积累。尽快地掌握科学知识，迅速提高学习能力,接下来查字典数学网为大家提供的初三年级下册数学重难点分析。锐角三角函数定义锐角角A的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot)以及正割(sec)，余割(csc)都叫做角A的锐角三角函数。正弦(sin)等于对边比斜边;sinA=a/c 余弦(cos)等于邻边比斜边;cosA=b/c 正切(tan)等于对边比邻边;tanA=a/b 余切(cot)等于邻边比对边;cotA=b/a 正割(sec)等于斜边比邻边;secA=c/b 余割(csc)等于斜边比对边。cscA=c/a 互余角的三角函数间的关系 sin(90-)=cos, cos(90-)=sin, tan(90-)=cot, cot(90-)=tan. 平方关系： sin^2()+cos^2()=1 tan^2()+1=sec^2() cot^2()+1=csc^2() 积的关系： sin=tancos

cos=cotsin tan=sinsec cot=coscsc sec=tancsc csc=seccot 倒数关系： tancot=1 sincsc=1 cossec=1 两角和与差的三角函数： sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB ? cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 三角和的三角函数： sin(++)=sincoscos+cossincos+coscossin-sinsinsin cos(++)=coscoscos-cossinsin-sincossin-sinsincos tan(++)=(tan+tan+tan-tantantan)/(1-tantan-tantan-ta

北师大版初中数学九年级上册《总复习》优质课教案_1

特殊平行四边形一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在八年级已经借助折纸、画图、测量等活动直观的探索过平行四边形、菱形、矩形、正方形等性质和判定，本章教材主要是对这些结论进行理论的证明，而前面的探索过程和方法又为本章证明提供了铺垫，为学生提供了相应的定理证明思路。本章前几节课中，学生又学习了“三角形中位线定理”，这些都为探究“中点四边形”做了铺垫，学生已经具备了探究该命题的基本技能；学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生经历了“探索—发现—猜想—证明”的过程，并初步体会了获得猜想后还应予以证明的意义，感受到了合情推理与论证推理的相互依赖和相互补充的辨证关系，并且学生具有了一定的推理证明的能力。同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。二、教学任务分析教科书基于学生对特殊平行四边形认识的基础之上，提出了本课的具体学习任务：理解中点四边形形状取决于原四边形的对角线的位置和数量关系。但这仅仅是这堂课外显的具体的教学目标，或者说是一个近期目标。数学教学由一系列相互联系而又渐次梯进的课堂组成，因而具体的课堂教学也应满足于整个数学教学的远期目标，或者说，数学教学的远期目标，应该与具体的课堂教学任务产生实质性联系。本课《特殊平行四边形（3）》内容从属于“空间与图形”这一数学学习领域中的“图形与证明”，因而务必服务于推理与论证教学的远期目标：“让学生经历‘探索—发现—猜想—证明’的过程，体会证明的必要性，掌握用综合法证明的格式，初步感受公理化思想，发展空间观念”，同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标。为此，本节课的教学目标是： ①再次经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，发现决定中点四边形形状的因素，熟练运用学过的各种特殊四边形的识别及性质对中点四边形进行识别，并能对自己的猜测进行证明，进一步发展学生推理论证的能力。 ②使学生进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用。 ③通过平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、任意四边形等凸四边形的中点四边形的探求过程，以及引申至凹四边形的中点四边形的探求过程，引导学生体会证明过程中所运用的由一般到特殊再到一般的归纳思想方法、类比的思想方法、转化的思想方法等，培养积极探索、勇于创新的精神，以及推陈出新的创新能力。

人教版初中数学教材重难点总结

2018人教版初中数学教材重难点分析 (名师总结教材重点，绝对精品，建议大家下载学习) 一、构建完整的知识框架——夯实基础 1、构建完整的知识框架是我们解决问题的基础，想要学好数学必须重视基础概念，必须加深对知识点的理解，然后会运用知识点解决问题，遇到问题自己学会反思及多维度的思考，最后形成自己的思路和方法。但有很多初中学生不重视书本的概念，对某些概念一知半解，对知识点没有吃透，知识体系不完整，就会出现成绩飘忽不定的现象。 2、正确理解和掌握数学的一些基本概念、法则、公式、定理，把握他们之间的内在联系。由于数学是一门知识的连贯性和逻辑性都很强的学科，正确掌握学过的每一个概念、法则、公式、定理可以为以后的学习打下良好的基础，如果在学习某一内容或解某一题时碰到了困难，那么很有可能就是因为与其有关的、以前的一些基本知识没有掌握好所造成的，因此要经常查缺补漏，找到问题并及时解决之，努力做到发现一个问题及时解决一个问题。只有基础扎实，解决问题才能得心应手，成绩才会提高。二、初中数学中考知识重难点分析 1、函数（一次函数、反比例函数、二次函数）中考占总分的15%左右。

函数对于学生来说是一个新的知识点，不同于以往的知识，它比较抽象，刚接受起来会有一定的困惑，很多学生学过之后也没理解函数到底是什么。特别是二次函数是中考的重点，也是中考的难点，在填空、选择、解答题中均会出现，且知识点多，题型多变。而且一道解答题一般会在试卷最后两题中出现，一般二次函数的应用和二次函数的图像、性质及三角形、四边形综合题难度较大。有一定难度。如果学生在这一环节掌握不好，将会直接影响代数的基础，会对中考的分数会造成很大的影响。 2、整式、分式、二次根式的化简运算整式的运算、因式分解、二次根式、科学计数法及分式化简等都是初中学习的重点，它贯穿于整个初中数学的知识，是我们进行数学运算的基础，其中因式分解及理解因式分解和整式乘法运算的关系、分式的运算是难点。中考一般以选择、填空形式出现，但却是解答题完整解答的基础。运算能力的熟练程度和答题的正确率有直接的关系，掌握不好，答题正确率就不会很高，进而后面的的方程、不等式、函数也无法学好。 3、应用题，中考中占总分的30%左右包括方程（组）应用，一元一次不等式（组）应用，函数应用，解三角形应用，概率与统计应用几种题型。一般会出现二至三道解答题（30分左右）及2—3道选择、填空题（10分—15分），占中考总分的30%左右。现在中考对数学实际应用的考察会越来越多，数学与生活联系越来越紧密，因为这样更能让学生感受学

初三数学下册教学目标及重难点

26.1二次函数教学目标：从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式。会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围。会用待定系数法求二次函数的解析式。教学重点：二次函数的概念和解析式教学难点：本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力。 26.2二次函数的图像（1）教学目标：1、经历描点法画函数图像的过程；2、学会观察、归纳、概括函数图像的特征；3、掌握型二次函数图像的特征；4、经历从特殊到一般的认识过程，学会合情推理。教学重点：2ax y =型二次函数图像的描绘和图像特征的归纳教学难点：选择适当的自变量的值和相应的函数值来画函数图像，该过程较为复杂。 26.2二次函数的图像（2）教学目标：1、经历二次函数图像平移的过程；理解函数图像平移的意义。2、了解2ax y =，2)(m x a y +=，k m x a y ++=2)(三类二次函数图像之间的关系。3、会从图像的平移变换的角度认识k m x a y ++=2)(型二次函数的图像特征。教学重点：从图像的平移变换的角度认识k m x a y ++=2)(型二次函数的图像特征。教学难点：对于平移变换的理解和确定，学生较难理解。 26.2二次函数的图像（3）教学目标：1、了解二次函数图像的特点。2、掌握一般二次函数c bx ax y ++=2的图像与2ax y =的图像之间的关系。3、会确定图像的开口方向，会利用公式求顶点坐标和对称轴。教学重点：二次函数的图像特征教学难点：例2的解题思路与解题技巧。 2.3二次函数的性质（1）教学目标：1.从具体函数的图象中认识二次函数的基本性质.2.了解二次函数与二次方程的相互关系. 3.探索二次函数的变化规律,掌握函数的最大值(或最小值)及函数的增减性的概念,会求二次函数的最值,并能根据性质判断函数在某一范围内的增减性教学重点：二次函数的最大值,最小值及增减性的理解和求法.教学难点：二次函数的性质的应用. 26.3二次函数的性质（2）教学目标：1、掌握二次函数解析式的三种形式，并会选用不同的形式，用待定系数法求二次函数的解析式。2、能根据二次函数的解析式确定抛物线的开口方向，顶点坐标，和对称轴、最值和增减性。3、能根据二次函数的解析式画出函数的图像，并能从图像上观察出函数的一些性质。教学重点：二次函数的解析式和利用函数的图像观察性质教学难点：利用图像观察性质 26.4二次函数的应用（1）教学目标：1、经历数学建模的基本过程。2、会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值。 3、体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值。重点：二次函数在最优化问题中的应用。难点：例1是从现实问题中建立二次函数模型，学生较难理解。 26.4二次函数的应用(2)教学目标：1、继续经历利用二次函数解决实际最值问题的过程。2、会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关距离等函数最值问题。3、发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值。教学重点和难点：重点：利用二次函数的知识对现实问题进行数学地分析，即用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题。难点：例2将现实问题数学化，情景比较复杂。 26.4二次函数的应用(3)教学目标：1、继续经历利用二次函数解决实际最值问题的过程。2、会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关距离等函数最值问题。3、发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值。教学重点和难点：重点：利用二次函数的知识对现实问题进行数学地分析，即用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题。难点：例3将现实问题数学化，情景比较复杂。 27．1 图形的相似（1）知识目标通过对生活中的事物或图形的观察，获得理性认识，从而加以识别相似的图形．能力目标通过观察、归纳等数学活动，与他人交流思维的过程和结果，能用所学的知识去解决问题．情感目标在获得知识的过程中培养学习的自信心．教学重点引导学生观察图形，并从中获取信息，培养他们的观察、分析及归纳能力．教学难点应用获得的数学知识解决生活中的实际问题． 27．1 图形的相似（2）知识与技能通过对生活中的事物或图形的观察，获得理性认识，从而加以识别相似的图形．过程与

九年级数学重难点总结

第一章：四边形 ①特殊四边形的开放性问题。（熟记定义，从本质入手）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，BC 的垂直平分线DE 交BC 于点D ，交AB 于点E ，点F 在DE 上，并且AF=CE=AE. （1）求证：四边形ACEF 是平行四边形；（2）当∠B 的大小满足什么条件时，四边形ACEF 是菱形？（3）四边形ACEF 有可能是正方形吗为什么？（1）.证明： ∵ DE ⊥CB ，∴∠FDC=∠ACB=90°， ∴EF ∥CA ，∴∠AEF=∠EAC ， ∵AF=CE ，又AE=EA, ∴△ECA ≌△AFE ，∴EF=AC ， ∴四边形ACEF 是平行四边形。（2）.当∠B=30°时，四边形ACEF 是菱形。 ∵∠B=30°，∠ACB=90°∴∠BAC=60°，又∵CE=AE ， ∴△AEC 是等边三角形，∴EC=AC ， ∴四边形ACEF 是菱形。 (3).四边形ACEF 有不可能是正方形。 ∵如果ACEF 是正方形，∴∠ACE=90°，又∵E 在BC 上，且E 是BC 垂直平分线与AB 的交点， ∴不可能与D 重合。所以四边形ACEF 有不可能是正方形。总结：特殊四边形的开放性问题的解决要求对特殊四边形的性质、判定非常熟悉，先由要确定的图形判定所缺少的条件，在进行添加或推导获得。 ②动点问题。（在变化中找出关系）如图，在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=8cm ．点E 、F 、G 分别从点A 、B 、C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E 、G 的速度均为2cm/s ，点F 的速度为4cm/s ，当点F 追上点G （即点F 与点G 重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t 秒时，△EFG 的面积为S （cm 2）

人教版九年级数学上册《23章旋转数学活动》优质课教案_10

教学目标：认识正比例函数图像是一条直线，学会画正比例函数图像，通过计算机辅助教学使学生在观察、研究中自主发现正比例函数的性质。通过性质的探索、研究、发现，使学生感受、领悟数形结合思想，同时培养学生的观察、分析、归纳的逻辑思维能力。通过小组互助学习，培养学生的合作能力，在探索，研究过程中体验数学的成功。教学重点：函数图像与性质教学难点：正比例函数图像的画法及其性质的发现。教学设计说明一、关于教材正比例函数图像位于第二十一章第四节，是学好正比例函数解析式的后续内容，这一节内容是函数与直角坐标平面第一次完美的结合，在这节课中如果学生能够很好的感悟和内化数形结合的思想，将为研究更为复杂的反比例函数图像、二次函数图像奠定坚实的基础，本节内容在初中数学里起着承上启下的重要作用。在感悟数形结合思想同时也适合对学生分析、对比、归纳等能力的培养。二、关于学生学生已经掌握了平面直角坐标系的基础知识。知道坐标平面内的点与有序实数是一一对应的，并且在平时的教学中已经渗透了象限的概念。学生已经会利用几何画板画简单的几何图形，对几何画板软件功能有了大致了解。三、关于教学目标

本节课并不是以单纯掌握正比例函数画法与正比例函数图像性质为目标，而是希望借助整个教学内容，使学生了解，和感悟数形结合的思想。在数学学习过程中感受成功才是真正的目标。四、关于教学过程与教法整个教学过程的设计思路是以创设情景来激发学生的学习兴趣，以老师环环紧扣的引导使学生发现图像的性质和规律。整个教学过程中突破了一贯的老师台上操作，学生台下被动接受的方式，学生的动手操作都在计算机上进行，一方面降低了画函数图像的难度，另一方面提高了学生的学习兴趣，使学生更加深刻的体会到函数图像的性质。相对教材内容有两个方面进行了再设计。 1、教材介绍正比例函数图像是一条直线，是由二元一次方程的图像是一条直线引入的。可是对于大多数学生来说“二元一次方程的图像是一条直线”这一节内容是“*”内容，理解不透彻，印象不深刻。所以我的设计是通过学生亲自动手尝试画图像，亲身去体验函数图像是一条直线，感悟数形结合的思想，再辅以多媒体手段来说明。 2、教材正比例函数图像性质的教学是放在第二课时来上的，由于我的设计是由画K值不同的函数图像使学生产生感性认识，再次利用几何画板动态演示，降低了知识接受上的难度，并且增强了两个知识点之间的紧密性，所以把两个知识点安排在一节课里讲授。在接下来的第二课时，再安排学生进行相应画函数图像（在纸上）的练习，进一步去体会数形结合的思想。在整节课的设计中，贯穿这一个又一个“探索——研究——发现”的学生活动，“探索——研究——发现”是人类认识事物的普遍过程，让每一堂课都成为一次探索之旅，是我们课题组在课堂改革中所进行的尝试。同时在每一个细节的设计上，力求体现学生的主体地位，如三、练一练的设计。希望通以上设计使学生真正成为学习的主体，在学习过程中体验、感受数学的思想，提高数学能力。这节课是我们课

2018-2019学年最新冀教版九年级数学上册《平均数与加权平均数》教案(优质课一等奖教学设计)

《平均数与加权平均数》教案教学目标知识技能： 1、认识和理解数据的权及其作用； 2、通过实例了解加权平均数的意义，会根据加权平均数的计算公式进行有关计算。数学思考： 1、通过加权平均数的学习，经历运用数据描述信息，作出推断的过程，形成和发展统计观念； 2、通过加权平均数的学习，进一步认识数据的作用，体会统计的思想方法。解决问题：会利用加权平均数解决实际问题。情感态度：通过加权平均数的学习，初步认识数学与人类生活的密切联系，感受数学结论的确定性，激发学生学好数学的热情。教学重点加权平均数的概念以及运用加权平均数解决实际问题。教学难点对数据的权及其作用的理解。教学过程一、复习引入

在日常生活中，我们经常会与平均数打交道，但有时发现以前计算平均数的方法并不适用，例如老师在计算学生每学期的总评成绩时，不是简单地将一个学生的平时成绩与考试成绩相加除以2作为该学生的总评成绩，而是按照“平时成绩占40%，考试成绩占60%” 的比例计算（如图20.1.3—1），考试成绩更为重要。这样如果一个学生的平时成绩为70分，考试成绩为90分，那么他的学期总评成绩应该为70×40%＋90×60%＝82（分）二、探究新知（一）加权平均数概念的引入一般来说，由于各个指标在总结果中占有不同的重要性，因而会被赋予不同的权重，上例中的40%与60%就是平时成绩与考试成绩在学期总评成绩中的权重，最后计算得到的学期总评成绩82分就是上述两个成绩的加权平均数。教师要求学生模仿上题计算下面问题：小青在初一年级第二学期的数学成绩分别为：第1次测验得89分，第二次测验得78分，第3次测验得85分，期中考试得90分，期末考试得87分。如果按照图20。1。3—2所显示的平时、期中、期末成绩的权重，那么小青该学期的总评成绩应该为多少分？学生计算后教师给出答案。设置此题的目的主要是让学生熟悉按权重计算平均值的方法。二、随堂练习考试60%平时40%图21.1.3—1

初三数学重点难点易错点总结

章节重点难点易错点图形与证明（二） 1.等腰三角形的性质定理和判定定理 2.线段垂直平分线的性质定理和判定定理 3.证明直角三角形全等的“HL ”判定定理及其应用 4.平行四边形的性质证明及判定 5.矩形的性质证明、应用及判定 6.菱形的性质证明、应用及判定 7.正方形的性质与应用及判定 8.等腰梯形的性质定理和判定定理的证明 9.三角形中位线的概念与三角形中位线性质 10.梯形中位线性质；梯形中位线定理的证明 1.等腰三角形的性质定理和判定定理 2.证明并应用直角三角形全等的“HL ”判定定理 3.平行四边形的性质证明及判定 4.矩形的性质证明、应用及判定 5.菱形的性质证明、应用及判定 6.正方形的性质与应用及判定 7.正方形与矩形、菱形、平行四边形的关系 8.三角形中位线定理的证明 9.梯形中位线性质；梯形中位线定理的证明 1.用综合法证明三角形为等腰三角形 2.运用平行四边形的性质定理进行计算与证明 3.运用矩形的性质定理或有关定理进行简单的计算与证明 4.运用菱形的性质定理进行简单的计算与证明 5.运用正方形的性质定理进行简单的计算与证明 6.四边形的综合应用题 7.运用等腰梯形的性质定理和判定定理进行相关计算、证明 8.应用三角形中位线概念及定理进行有关论证和计算 9.应用梯形中位线概念及定理进行有关的论证和计算数据的离散程度 1.极差的概念 2.方差、标准差的概念 1.能够在具体的情境中利用极差解决问题 2.求一组数据的方差、标准差 1.在具体的情境中利用极差解决问题 2.计算一组数据的方差与标准差二次根式 1.理解二次根式的概念，并利用 a （a ≥0）的意义解答具体题目 2.a （a ≥0）是一个非负数；（a ）2=a （a ≥0）及其运用 3.发现规律，归纳出二次根式乘除法规定 4.最简二次根式的运用 5.理解和掌握二次根式加减的方法 6.运用二次根式、化简解应用题 1．对a （a ≥0）是一个非负数的理解；对等式（a ）2＝a （a ≥0）及2a =a （a ≥0）的理解及应用． 2．二次根式的乘法、除法的条件限制． 3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式． 4. 会判定是否是最简二次根式 1.要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数 2.a ≥0时，2a ＝a 才成立 3.二次根式进行加减运算时，不是最简二次根式的，应化成最简二次根式 4.运用二次根式、化简解应用题一元二次方程 1.一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题 2.判定一个数是否是方程的根 3.运用开平方法解形如（x+m ） 1.通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，?再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念 2.由实际问题列出的一元二次方 1.提出问题，根据问题列出方程，化为一元二次方程的一般形式，列式求解；由解给出根的概念；再由根的概念判定一个数是否是根

北师大版九年级数学重难点梳理

北师大版九年级数学重难点梳理（上册）第一章特殊平行四边第一节菱形的性质与判定重难点：1.掌握菱形的概念、性质以及判定方法，理解菱形与平行四边形之间的联系。 2.会用菱形的性质和判定方法来进行有关的论证和计算，会用菱形的对角线来计算菱形的面积。 3.通过菱形与平行四边形关系的研究，进一步加深对“特殊” 与“一般”的关系。第二节矩形的性质与判定重难点：1.探索并掌握矩形性质及矩形的判定定理 2.矩形的轴对称性 3.直角三角形斜边上的中线的性质 4.矩形的判定（难点）第三节正方形的性质与判定重难点：1.掌握正方形的概念、性质及判定方法，学会证明过程中所运用的归纳、概括以及转化等数学思想方法。 2.能够用综合法证明正方形的性质定理和判定定理以及其他相关结论，经历探索、猜想、证明的过程，发展推理论证能力。第二章一元二次方程第一节认识一元二次方程重难点：1.理解一元二次方程的概念，会判断一个方程是不是一元二次方程。 2.会将一元二次方程转化为一般形式，并能指出各项系数及常数项。 3.会用估算的方法求一元二次方程的近似解。（难点）第二节用配方法求解一元二次方程重难点：1.用直接开平方法解一元二次方程 2.配方法解一元二次方程 3.配方法的应用（难点） 4.求解简单的实际问题第三节用公式法求解一元二次方程重难点：1.一元二次方程的求根公式（难点） 2.公式法解一元二次方程 3.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况第四节用因式分解法求解一元二次方程重难点：1.因式分解法解一元二次方程 2.选择适当的方法解一元二次方程（难点）

第五节一元二次方程的根与系数的关系重难点：1.知道一元二次方程的根与系数的关系。能运用根与系数的关系求一元二次方程的两根之和，两根之积及与两根有关的代数式的值。 2.能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根或由方程的根确定一元二次方程的系数。第六节应用一元二次方程重难点：1.能根据具体问题的数量关系列出一元二次方程并求解，并能根据问题的实际意义检验所得结果是否合理。 2.经历“问题情境--建立模型--模型求解--解释与应用”的过程，获取更多分析和解决实际问题的方法和经验。第三章概率的进一步认识第一节用树状图或表格求概率第二节用频率估计概率本章重点：用画树状图法或列表法计算较复杂的随机事件发生的概率，会用稳定的频率估计概率。本章难点：用画树状图法或列表法计算较复杂的随机事件发生的概率。第四章图形的相似第一节成比例线段重难点：1.认识形状相同的图形。 2.结合实例能识别出现实生活中形状相同，大小、位置不同的图形。 3.了解线段的比和比例线段的概念，掌握两条线段的比求法。 4.理解并掌握比例的性质（难点），能通过比例式变形解决一些实际问题。（重点）第二节平行线分线段成比例重难点：1.理解平行线分线段成比例的基本事实及其推论。 2.会熟练运用平行线分线段成比例的基本事实及其推论计算线段的长度。第三节相似多边形 1.了解相似多边形和相似比的概念 2.能根据条件判断出两个多边形是否为相似多边形 3.掌握相似多边形的性质，能根据相似比进行简单的计算。第四节探索三角形相似的条件重难点：1.相似三角形的有关概念 2.相似三角形的判定方法1 3.相似三角形的判定方法2（难点） 4.相似三角形的判定方法3 5.黄金分割的有关概念（重点）

初三数学重点难点几何题及答案

压轴题经典难题（1） 1、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150．求证：△PBC 是正三角形．（初二） 2、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ．求证：CD ＝GF ．（初二） 3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、 CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二） 4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．经典难题（二） D 2 C 2 B 2 A 2 D 1 C 1 B 1 C B D A A 1 A N F E C D B A F G C E B O D A P C D B

P C G F B Q A D E 1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ．（1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） 2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二） 3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二） 4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形 CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．（初二）经典难题（三） 1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二） · A D H E M C B O · G A O D B E C Q P N M · O Q P B D E C N M · A A F D E C B

初三数学知识点总结与重点难点总结

初三数学知识整理与重点难点总结第21章二次根式知识框图理解并掌握下列结论：（1）是非负数；（2）；（3）； I.二次根式的定义和概念： 1、定义：一般地，形如√ā（a≥0）的代数式叫做二次根式。当a＞0时，√a表示a的算数平方根,√0=0 2、概念：式子√ā（a≥0）叫二次根式。√ā（a≥0）是一个非负数。 II.二次根式√ā的简单性质和几何意义 1）a≥0 ; √ā≥0 [ 双重非负性] 2）（√ā）^2=a （a≥0）[任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式] 3) √(a^2+b^2)表示平面间两点之间的距离，即勾股定理推论。 IV.二次根式的乘法和除法 1 运算法则 √a·√b=√ab（a≥0，b≥0） √a/b=√a /√b（a≥0，b>0）二数二次根之积，等于二数之积的二次根。 2 共轭因式如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做共轭因式，也称

互为有理化根式。 V.二次根式的加法和减法 1 同类二次根式一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。 2 合并同类二次根式把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。 3二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并Ⅵ.二次根式的混合运算 1确定运算顺序 2灵活运用运算定律 3正确使用乘法公式 4大多数分母有理化要及时 5在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化 VII.分母有理化分母有理化有两种方法 I.分母是单项式如:√a/√b=√a×√b/√b×√b=√ab/b II.分母是多项式要利用平方差公式如1/√a＋√b=√a－√b/(√a＋√b)(√a－√b)=√a－√b/a－b III.分母是多项式要利用平方差公式如1/√a＋√b=√a－√b/(√a＋√b)(√a－√b)=√a－√b/a－b 第22章一元二次方程知识框图

九年级学练优答案

一、语言积累与运用（12分）： 1．下列注音完全正确的一组：（） A.田圃（pǔ）诘难（jé）恣睢（suì）作揖（yī） B.分外(fèn) 灰烬（jìn）狡黠（xié）星宿（xiù） C.禀请（bǐng）阴晦（huì）汲取（jí）赔偿（sháng） D.晌午（shǎng）襁褓（qiǎng）瑟缩（sè）拮据（jié） 2．下列加点的成语使用不正确的一句是 ( ) A.西方人看中国人用筷子感到不可理喻。 B.不讲究韵律的文句和段落，读起来就没有抑扬顿挫，节奏和谐的美感了。 C.勤奋与天才息息相关,没有先验论的天才,但是有勤学苦练,以汗水灌溉出来的天才。 D.面对激烈的竞争，我们不应该怨天尤人，更不应该妄自菲薄。 3．下列句子没有语病的一项是（） A．长期饮用纯净水或蒸馏水容易导致电解质紊乱而出现软弱乏力。 B．日本名古屋市市长否认南京大屠杀存在的言论,严重伤害了南京人民，乃至中国人民的感情。 C．华裔球星林书豪在NBA的职业生涯正在刚刚开始,就以神奇的表现征服了亿万观众。D．为了防止校车事故不再发生，南京市六合区启用了100辆安全性能高的“长鼻子”校车。 4．依次填入下面横线处的几句话，排列恰当的一项是（）死海的水面，大约在海平面以下390米。 ①“死海”就以此得名。 ②它为什么会含有那么多盐呢? ③海水的含盐度很高，约为一般海水的9倍； ④这是因为，约旦河持续不断地将含盐分的少量河水向它输入，而水分却通过蒸发而丧失着，这样，盐分就增高了。 ⑤在如此高盐度中，几乎不能有任何生物生存。 A．③⑤①②④B．②④③⑤①C．③⑤②④①D．②④⑤③① 5．两句话所表达的意思不相同的一组是 ( ) A.非经批准不能动用流动资金。非得经过批准才能动用流动资金。 B.这样的事，我何尝愿意做? 这样的事，我何尝不愿意做？ C.除非你去请，他才会来。除非你去请，他是不会来的。 D.他缺乏工作经验，难免会出现一些差错。他缺乏工作经验，难免不出现一些差错。 6．请用一句话概括下面新闻的主要内容。（30字以内）新华社北京10月11日电中国作家协会11日对莫言荣获诺贝尔文学奖发表贺辞。贺辞全文如下：欣闻莫言先生荣获2012年诺贝尔文学奖，我们表示热烈祝贺! 在几十年文学创作道路上，莫言对祖国怀有真挚情感，与人民大众保持紧密联系，潜心于艺术创新，取得了卓越成就——莫言的作品深受国内外广大读者喜爱，在中国当代文学史上占有重要地位。莫言的获奖，表明国际文坛对中国当代文学及作家的深切关注，表明中国文学所具有的世界意义。希望中国作家勤奋笔耕，奉献更多精品，为人类的文化发展作出新的贡献! 中国作家协会

九年级数学上册 21.1 一元二次方程重难点分析素材 (新版)新人教版

一元二次方程许多现实问题的数量关系都可以抽象为一元二次方程，与前面所学的方程比较，一元二次方程有更广泛的应用，是初中学生体会和理解数学与外部世界联系的重要载体．教科书充分考虑到一元二次方程的这一地位，教学中要体现好这一编写意图，注意让学生经历建立和求解一元二次方程模型的完整过程，即从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立一元二次方程表示数学问题中的数量关系，求出结果、并讨论结果的意义，从而把模型思想、应用意识的培养落在实处．在建立数学模型解决实际问题的过程中，难点在于数量关系的分析和数学模型的选择，本章也不例外．教学中应注意引导学生仔细分析题意，借助适当的直观工具，如画图、列表等，找出问题中的已知量、未知量，找到关键词并由此确定等量关系，进而建立一元二次方程．要注意培养学生良好的解题习惯，包括借助直观方法分析题意、检验所得方程及其根的实际意义，找出合乎实际的结果等．课本用了两个实际问题（面积问题、比赛问题）引出一元二次方程的概念．学生必须理解题目、解决这个问题了，再进行观察思考，找出方程的共同点，最后根据以往的经验知道这不是以往学过的方程，从而学习新知识．而学生在解决这两个问题后，教科书还对所列的方程进行化简、特别是比赛的问题，还将方程的二次项系数化为1，学生难于理解为什么这样做．为了避免一节课的时间的大部分都放在引导解决问题上，导致一元二次方程概念这一重点内容难以落实和这一难点不易突破，建议老师们在教学中，可以根据自己学生的实际情况，设计符合本班学生思维特点的教学过程．如除了两个实际问题都讲的设计之外，可以考虑仅用一个具体的实际问题来引入，并辅之以类比教学，与以往学习过的一元一次方程、二元一次方程（组）进行类比教学，减少难点问题带来的对教学重点的冲击，也体现了知识的系统性，体现了知识的螺旋上升的知识结构．更方便学生理解新旧知识的差异性与共同性，使学生对同类型的知识进行归纳梳理，找到学习一类问题的方法．

人教版数学九上《 第22章 二次函数小结与复习(第1课时)》同课异构教案 (vip专享)