东营专版2019年中考数学复习专题类型突破专题二探索规律问题训练

专题类型突破

专题二探索规律问题

类型一数式规律

命题角度?数字规律探索

(xx·泰安中考)观察“田”字中各数之间的关系：

【分析】依次观察每个“田”中相同位置的数字，即可找到数字变化规律，再观察同一个“田”中各个位置的数字数量关系即可．

【自主解答】

解数式规律型问题的一般方法

(1)当所给的一组数是整数时，先观察这组数字是自然数列、正数列、奇数列、偶数列还是正整数列经过平方、平方加1或减1等运算后的数列，然后再看这组数字的符号，判断数字符号的正负是交替出现还是只出现一种符号，最后把数字规律和符号规律结合起来从而得到结果；(2)当数字是分数和整数结合时，先把这组数据的所有整数写成分数，然后分别推断出分子和分母的规律，最后得到该组第n项的规律；(3)当所给的代数式含有系数时，先观察其每一项的系数之间是否有自然数列、正整数列、奇数列、偶数列或交替存在一定的对称性，然后观察其指数是否存在相似的规律，最后将系数和指数的规律结合起来求得结果．

1．(xx·百色中考)观察以下一列数的特点：0，1，－4，9，－16，25，…，则第11个数是( ) A．－121 B．－100 C．100 D．121

2．(xx·十堰中考)如图，10个不同的正偶数按下图排列，箭头上方的每个数都等于其下方两数的和，如

，表示a 1＝a 2＋a 3，则a 1的最小值为( )

A ．32

B ．36

C ．38

D ．40

3．(xx·枣庄中考)将从1开始的连续自然数按如下规律排列：

…

则2 018在第________行． 命题角度? 数字循环类规律探索

(xx·成都中考)已知a ＞0，S 1＝1a ，S 2＝－S 1－1，S 3＝1S 2，S 4＝－S 3－1，S 5＝1

S 4

，…(即当n 为大于1

的奇数时，S n ＝1

S n －1；当n 为大于1的偶数时，S n ＝－S n －1－1)，按此规律，S 2 018＝__________．

【分析】 根据S n 数的变化找出S n 的值每6个一循环，结合2 018＝336×6＋2，此题得解． 【自主解答】

数字循环类规律题就是几个数循环出现，解决此类问题时，一般是先求出前几个数，再观察其中隐含的规律，若和序号有关，则第n 个数用含n 的式子表示，用n 除以循环出现的数的个数，找出余数即可找到对应的结果．

4．(xx·岳阳中考)观察下列等式：21

＝2，22

＝4，23

＝8，24

＝16，25

＝32，26

＝64，…，根据这个规律，则21

＋22

＋23

＋24

＋…＋22 017

的末位数字是( )

A ．0

B ．2

C ．4

D ．6

5．(xx·枣庄中考改编)一列数a 1，a 2，a 3，…满足条件：a 1＝12，a n ＝1

1－a n －1(n≥2，且n 为整数)，则a 2 019

＝________．

命题角度? 等式规律探索

(xx·滨州中考)观察下列各式： 1＋112＋122＝1＋1

1×2， 1＋122＋132＝1＋12×3， 1＋132＋142＝1＋13×4， …

请利用你所发现的规律， 计算

1＋112＋12

2＋1＋122＋13

2＋1＋132＋1

4

2＋…＋1＋192＋1

10

2，其结果为________． 【分析】 直接根据已知数据变化规律进而将原式变形求出答案． 【自主解答】

探索等式规律的一般步骤

(1)标序数；(2)对比式子与序号，即分别比较等式中各部分与序数(1，2，3，4，…，n)之间的关系，把其隐含的规律用含序数的式子表示出来，通常方法是将式子进行拆分，观察式子中数字与序号是否存在倍数或者次方的关系；(3)根据找出的规律得出第n 个等式，并进行检验．

6．(xx·黔南州中考)根据下列各式的规律，在横线处填空：

11＋12－1＝12，13＋14－12＝112，15＋16－13＝130，17＋18－14＝156…，12 017＋12 018－________＝12 017×2 018. 7．(xx·安徽中考)观察以下等式： 第1个等式：11＋02＋11×0

2＝1，

第2个等式：12＋13＋12×1

3＝1，

第3个等式：13＋24＋13×2

4＝1，

第4个等式：14＋35＋14×3

5＝1，

第5个等式：15＋46＋15×4

6＝1，

…

按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：________；

(2)写出你猜想的第n 个等式：________(用含n 的等式表示)，并证明．

类型二 点的坐标规律

(xx·东营中考)如图，在平面直角坐标系中，点A 1，A 2，A 3，…和点B 1，B 2，B 3，…分别在直线y ＝1

5

x ＋b 和x 轴上．△OA 1B 1，△B 1A 2B 2，△B 2A 3B 3，…都是等腰直角三角形，如果点A 1(1，1)，那么点A 2 018

的纵坐标是 ________.

【分析】因为每个A点为等腰直角三角形的直角顶点，则延长直线交x轴、y轴于点N，M，构造直角三角形MNO，作出各点A垂直于x轴，利用三角函数值求出各点A的纵坐标，找出规律可求解．

【自主解答】

根据图形寻找点的坐标的变换特点，这类题目一般有两种考查形式：一类是点的坐标变换在直角坐标系中递推变化；另一类是点的坐标变换在坐标轴上或象限内循环递推变化．解决这类问题可按如下步骤进行：(1)根据图形点坐标的变换特点确定属于哪一类；(2)根据图形的变换规律分别求出第1个点，第2个点，第3个点的坐标，找出点的坐标与序号之间的关系，归纳得出第M个点的坐标与变换次数之间的关系；(3)确定第一类点的坐标的方法：根据(2)中得到的倍分关系，得到第M个点的坐标；确定第二类点坐标的方法：先找出循环一周的变换次数，记为n，用M÷n＝ω……q(0≤q＜n)，则第M次变换与每个循环中第q 次变换相同，再根据(2)中得到的第M个点的坐标与变换次数的关系，得到第M个点的坐标．

8．(xx·广州中考)在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1 m．其行走路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，…，第n次移动到A n.则△OA2A2 018的面积是( A )

A ．504 m 2

B.

1 0092

m 2

C.

1 0112

m 2

D ．1 009 m 2

9．(xx·威海中考)如图，在平面直角坐标系中，点A 1的坐标为(1，2)，以点O 为圆心，以OA 1长为半径画弧，交直线y ＝1

2x 于点B 1.过B 1点作B 1A 2∥y 轴，交直线y ＝2x 于点A 2，以点O 为圆心，以OA 2长为半径画

弧，交直线y ＝1

2x 于点B 2；过点B 2作B 2A 3∥y 轴，交直线y ＝2x 于点A 3，以点O 为圆心，以OA 3长为半径画

弧，交直线y ＝1

2x 于点B 3；过B 3点作B 3A 4∥y 轴，交直线y ＝2x 于点A 4，以点O 为圆心，以OA 4长为半径画

弧，交直线y ＝1

2

x 于点B 4，…，按照如此规律进行下去，点B 2 018的坐标为______________

类型三 图形累加型变化规律

(xx·潍坊中考)如图，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；…按照此规律，第n 个图中正方形和等边三角形的个数之和为________个．

【分析】根据题中正方形和等边三角形的个数找出规律，进而可得出结论．

【自主解答】

找图形累加型变化规律的一般步骤

(1)写序号，记每组图形的序数为“1，2，3，…n”；

(2)数图形个数，在图形数量变化时，要数出每组图形表示的个数；

(3)寻找图形数量与序数n的关系，若当图形变化规律不明显时，可利用图示法，即针对寻找第n个图形表示的数量时，先将后一个图形的个数与前一个图形的个数进行比对，通常作差(商)来观察是否有恒等量的变化，然后按照定量变化推导出第n个图形的个数．

10．(xx·重庆中考)下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有3张黑色正方形纸片，第②个图中有5张黑色正方形纸片，第③个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去第⑥个图中黑色正方形纸片的张数为( )

A．11 B．13 C．15 D．17

11．(xx·自贡中考)观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2 018个图形共有______________个○.

类型四图形成倍递变型变化规律

(xx·绥化中考)如图，顺次连接腰长为2的等腰直角三角形各边中点得到第1个小三角形，再顺次连接所得的小三角形各边中点得到第2个小三角形，如此操作下去，则第n个小三角形的面积为________．

【分析】记原来三角形的面积为S，第一个小三角形的面积为S1，第二个小三角形的面积为S2，…，求出S1，S2，S3，探究规律后即可解决问题．

【自主解答】

对于求面积规律探索问题的一般步骤：(1)根据题意可得出第一次变换前图形的面积S；(2)通过计算得到第一次变换后图形的面积，第二次变换后图形的面积，第三次变换后图形的面积，归纳出后一个图形的面积与前一个图形的面积之间存在的倍分关系；(3)根据找出的规律，即可求出第M次变换后图形的面积．

12．(xx·内江中考)如图，过点A0(2，0)作直线l：y＝

3

3

x的垂线，垂足为点A1，过点A1作A1A2⊥x轴，

垂足为点A2，过点A2作A2A3⊥l，垂足为点A3，…，这样依次下去，得到一组线段：A0A1，A1A2，A2A3，…，则线段A2 016A2 017的长为( )

A．(

3

2

)2 015 B．(

3

2

)2 016 C．(

3

2

)2 017 D．(

3

2

)2 018

13．(xx·潍坊中考)如图，点A 1的坐标为(2，0)，过点A 1作x 轴的垂线交直线l ：y ＝3x 于点B 1，以原点O 为圆心，OB 1的长为半径画弧交x 轴正半轴于点A 2；再过点A 2作x 轴的垂线交直线l 于点B 2，以原点O 为圆心，以OB 2的长为半径画弧交x 轴正半轴于点A 3；….按此作法进行下去，则的长是

________．

参考答案

类型一

【例1】 观察“田”字中各数之间的关系得：左上角数字为连续的正奇数；左下角数字为2的整数指数幂；右下角数字则为左上角与左下角两数字的和；右上角的数字为右下角数字与1的差．故此，可知a ＝28

＝256，b ＝15＋256＝271，c ＝271－1＝270.故答案为270. 变式训练 1．B 2.D 3.45

【例2】 ∵S 1＝1a ，S 2＝－S 1－1＝－1a －1＝－a ＋1a ，S 3＝1S 2＝－a a ＋1，S 4＝－S 3－1＝a a ＋1－1＝－1a ＋1，S 5

＝1S 4＝－(a ＋1)，S 6＝－S 5－1＝(a ＋1)－1＝a ，S 7＝1S 6＝1

a ，…， ∴S n 的值每6个一循环． ∵2 018＝336×6＋2， ∴S 2 018＝S 2＝－a ＋1a

.

故答案为－a ＋1

a .

变式训练 4．B 5.－1 【例3】 1＋112＋122＋1＋122＋13

2＋1＋132＋14

2 ＋…＋

1＋192＋110

2 ＝1＋11×2＋1＋12×3＋1＋13×4＋…＋1＋1

9×10

＝1×9＋1－12＋12－13＋13－14＋…＋19－110

＝9＋1－1

10

＝9910. 故答案为99

10.

变式训练 6.1

1 009

7．解：(1)16＋57＋16×5

7

＝1

(2)根据题意，第n 个分式分母分别为n 和n ＋1，分子分别为1和n －1， 故答案为1n ＋n －1n ＋1＋1n ×n －1

n ＋1

＝1.

证明：1n ＋n －1n ＋1＋1n ×n －1n ＋1＝n ＋1＋n （n －1）＋（n －1）n （n ＋1）＝n 2

＋n n （n ＋1）＝1，∴等式成立．

类型二

【例4】 ∵A 1(1，1)在直线y ＝1

5x ＋b 上，

∴b＝45，∴直线解析式为y ＝15x ＋45

.

设直线与x 轴、y 轴的交点坐标分别为点N ，M. 当x ＝0时，y ＝45；

当y ＝0时，15x ＋4

5＝0，

解得x ＝－4，

∴点M ，N 的坐标分别为M(0，4

5

)，N(－4，0)，