4~拉普拉斯方程
拉普拉斯方程公式
拉普拉斯方程公式
摘要：
1.引言：拉普拉斯方程的概述
2.拉普拉斯方程的公式表示
3.拉普拉斯方程的物理意义
4.拉普拉斯方程的应用领域
5.结论：拉普拉斯方程的重要性
正文：
1.引言：拉普拉斯方程的概述
拉普拉斯方程是物理学和工程学中的一种重要方程，主要用于描述静电场、静磁场以及流体运动等领域的现象。
该方程是由法国数学家和天文学家拉普拉斯提出的，因此得名拉普拉斯方程。
2.拉普拉斯方程的公式表示
拉普拉斯方程的公式表示为：Φ=0，其中Φ表示电势或磁势。
这个方程描述了静电场或静磁场中的势分布，它在空间中任意一点的梯度都等于零，也就是说，拉普拉斯方程描述的是无旋场。
3.拉普拉斯方程的物理意义
拉普拉斯方程的物理意义是：在静电场或静磁场中，任意一点的场强方向上的散度为零，也就是说，场强线是闭合的，不会中断。
这个物理意义在实际应用中非常重要，因为它保证了场的连续性和保守性。
4.拉普拉斯方程的应用领域
拉普拉斯方程在许多领域都有广泛的应用，包括静电场、静磁场、流体力学、空气动力学等。
在这些领域，拉普拉斯方程可以用来求解场的分布，从而帮助我们理解和预测各种物理现象。
5.结论：拉普拉斯方程的重要性
拉普拉斯方程是物理学和工程学中非常重要的方程，它描述了无旋场的特性，并在许多领域都有广泛的应用。
第十一章拉普拉斯方程
1
0
五、齐次方程的情况
第一边值问题：
u M M 0
f 0
G M , M 0 n0
dS0
第三边值问题：
u M G M , M M dS
0 0
1
0
对于泊松方程，格林函数常见的求解方法是电像法。
第三节 格林函数
确定了格林函数，就能利用积分表式求得泊松方
程边值问题的解。虽然求格林函数的问题本身也
是边值问题，但这是特殊的边值问题，其求解比
一般边值问题简单，特别是对于无界区域的情形，
常常还可以得到有限形式的解，无界区域的格林
函数称为相应方程的基本解。
G M M M0 基本思路：
第十一章 拉普拉斯方程 （续）
黄万霞
第十一章 拉普拉斯方程（续）
第一节 格林公式 第二节 拉普拉斯方程的球的狄利克雷
问题
第三节 格林函数
引言：前面我们学习了行波法和分离变量法
行波法：只能无界（和半无界）空间波动问题，
有局限性；
分离变量法：各种定解问题（有界和无界），
但其解是无穷级数。
格林函数法
T
vf M dV u M M 0 dV
T T
T
T
2）考虑 函数的奇异性 为避免
M0
处 函数的问题。我们
可在 M 0 处挖去一个半径为 的小球
K ，其边界为 ，对剩下部分应
用格林公式可得：
v v u u v u u v dV v u dS v u dS n n n n T K
Chapter4-拉普拉斯变换及其应用
– 调制：L
对照：F
f t ea t F s a
f t e j0t F 0 1 例子： L u t ，由频移性质，则：L u t cos 0t s 1 1 1 s 1 j0t j0t L u t e e 2 s j s j s 2 2 2 0 0 0
s
4） t 在零点有冲激 f f t k t f1 t F s k F1 s f 0 f1 0 lim sF1 s
s
15
– 终值定理：求系统稳态点
L
f t F s ，L f t 存在，sF s 在除原点
3
s
L t
2
2
s
3
3
3!
7
• 积分下限的选取： – f (t) 在 t = 0 处是第一类间断点，下限取 0 均可
F s L
f t
0
f e st dt
此时，f t |t 0 ~ t ，f t |t 0 ~ t , – f (t) 在 t = 0 处是 (t)或其高阶导数，下限取 0
0 sin 0t u t 2 ，不满足终值定理条件！ 2 s 0
αt
1 e u t ， 0，不满足终值定理条件！ s 初值：取决于高频成分；终值：取决于低频成分。
17
§4.3 拉普拉斯逆变换
已知F s ，求 f t
N s • 极点、零点： F s L f t D s
0 ( j ) t
dt
拉普拉斯(Laplace)方程
位质量的质点的引力−→F (x,
y,
z)其大小为
m r2
，而作用的方向为−P−P→0，即作用方向沿着这
两点的连线指向P0点，其中r = (x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2表示点P0与点P 的距
离。−→F (x, y, z)可以写成下述向量的形式
−→F (x,
y,
z)
=
数 ，f (x1, · · · , xn)是 一 给 定 的 已 知 函 数 。 它 们 具 有 广 泛 的 应 用 背 景 。 下 面 我 们
以n = 2, 3为例，讨论方程的导出以及定解条件的提法。
1.1 方程的导出
本小节我们讨论Laplace方程和Poisson方程的应用背景及方程的导出。
实例一：静电场的电势
特点。譬如，记以原点为球心的单位球面为Γ，考察将Γ作为边界曲面的Dirichlet外问
题，其边界条件为
u|Γ = 1.
直接验证易知，函数u1 ≡ 1及u2 = (x2 + y2 + z2)−1/2都在单位球外满足Laplace方程且在 边界上满足边界条件。这个例子表明，如果在无穷远处不加限制，就不能保证相应的
求解一个函数使其在曲面∂Ω外部满足三维Laplace方程，在∂Ω上满足所给的边界条件
的问题。类似的问题，在实际中还有很多，因此这种类型的问题具有重要的应用价
值，我们通常把这类问题称为Laplace方程的外问题。上述第一个例子中所提的问题称 ::::::::::::::::::::::::
为D::i:r:i:c:h:l:e:t:外:::问::题:: ，而第二个例子中所提的问题称为N::e:u::m::a:n:n::外::问:::题:: 。 值得注意的是，Laplace方程的外问题与通常的Laplace方程的定解问题具有不同的
拉普拉斯方程
拉普拉斯方程，也称为谐波方程和势方程，是一种偏微分方程，最早由法国数学家拉普拉斯提出。
拉普拉斯方程是液体表面曲率和液体表面压力之间关系的公式。
曲面称为曲面。
通常，使用两个相应的曲率半径来描述表面，即在表面上的某个点处绘制垂直于该表面的直线，然后通过该线制作一个平面。
平面和表面的截面是曲线，并且在该点与曲线相切的圆的半径称为曲线的曲率半径R1。
第二剖面线及其曲率半径R2可以通过使第二平面垂直于第一平面并与表面相交来获得。
液面的弯曲可以用R1和R2表示。
如果液体表面弯曲，则液体P1内部的压力将与液体外部的压力P2不同，并且液体表面的两侧之间将存在压力差△P = P1-P2，这称为附加压力。
压力。
其值与液体表面的曲率有关，可以表示为：其中γ是液体的表面张力系数，称为拉普拉斯方程。
在数学公式中拉普拉斯方程是：其中∥是拉普拉斯算子，而这里的拉普拉斯方程是二阶偏微分方程。
在三维情况下，拉普拉斯方程可按以下形式描述。
可以将问题简化为求解对于实变量X，y和Z可二阶微分的实函数φ∇2称为拉普拉斯算子。
拉普拉斯方程的解称为谐波函数。
如果在等号右边是给定的函数f（x，y，z），即：然后将该方程称为泊松方程。
拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆偏微分方程。
偏微分算子（可以在任何维空间中定义）称为拉普拉斯算子。
方程解它称为谐波函数，可以在建立方程的区域进行分析。
如果任何两个函数满足拉普拉斯方程（或任何线性微分方程），则这两个函数的总和（或它们的任何线性组合）也满足上述方程。
这种非常有用的特性称为叠加原理。
根据这一原理，可以将已知的复杂问题的简单特殊解组合起来，以构建具有更广泛适用性的一般解。
laplace方程
laplace方程
laplace方程是由法国数学家尤利·拉普拉斯（1749-1827）在18世纪末创立的。
它是一种偏微分方程，用来描述物理场中磁场，电场，热场，流体场等的变化，可以用来研究一些物理学和力学问题。
拉普拉斯方程的形式如下：
2f(x,y,z)=0
其中，f(x,y,z)表示物理场的函数。
拉普拉斯方程也常被用来描述某些热力学问题，此时，拉普拉斯方程可以写为：
2f(x,y,z)=k
其中，k为某些热力学问题中的特定常数。
拉普拉斯方程常用于计算物理场中流体的传导，热的传导，电流的传导等，它可以给出物理场中某点处的某类物质的分布情况，从而求出物质在不同点的变化，也可用来求解一些复杂的物理学问题，如流体力学，电磁学等。
- 1 -。
拉普拉斯方程
拉普拉斯方程拉普拉斯方程（Laplace's equation）又称调和方程、位势方程，是一种偏微分方程，因由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名。
[1]拉普拉斯方程表示液面曲率与液体表面压强之间的关系的公式。
中文名拉普拉斯方程外文名Laplace's equation别称调和方程、位势方程提出者拉普拉斯关键词微分方程、拉普拉斯定理涉及领域电磁学、天体物理学、力学、数学目录.1基本概述.▪在数理方程中.▪方程的解.2二维方程.3人物介绍基本概述一个弯曲的表面称为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相切的圆半径称为该曲线的曲率半径R1。
通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径R2，用R1与R2可表示出液体表面的弯曲情况。
若液面是弯曲的，液体内部的压强p1与液体外的压强p2就会不同，在液面两边就会产生压强差△P= P1- P2，称附加压强，其数值与液面曲率大小有关，可表示为：，式中γ是液体表面张力系数，该公式称为拉普拉斯方程。
在数理方程中拉普拉斯方程为：，其中∇²为拉普拉斯算子，此处的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程。
三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ ：其中∇²称为拉普拉斯算子。
拉普拉斯方程的解称为调和函数。
如果等号右边是一个给定的函数f（x，y，z），即：则该方程称为泊松方程。
拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。
偏微分算子（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是Laplace operator或简称作Laplacian。
方程的解称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。
任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数之和（或任意形式的线性组合）同样满足前述方程。
拉普拉斯方程通解
拉普拉斯方程通解
拉普拉斯方程通解是指对于二维和三维情况下的拉普拉斯方程，都可以通过一种通用的方法求解出其解析式形式。
对于二维情况下的拉普拉斯方程，其通解形式为：
u(x,y) = A + By + ∑[n=1,∞][Ancos(nπx/L) + Bnsin(nπx/L)] * [Cne^(nπy/L) + Dne^(-nπy/L)]
其中A、B、An、Bn、Cn、Dn都是常数，L为区域的长度。
对于
三维情况下的拉普拉斯方程，其通解形式为：
u(x,y,z) = ∑[n=1,∞]∑[m=1,∞][Anmcos(nπx/L) +
Bnmsin(nπx/L)] * [Cme^(mπy/L) + Dme^(-mπy/L)] * sin(nπz/h) 其中Anm、Bnm、Cm、Dm都是常数，L为区域的长度，h为区域的高度。
利用这些通解，我们可以针对具体的问题，通过适当的边界条件确定通解中的常数，从而求得拉普拉斯方程的特解。
- 1 -。
拉普拉斯方程的格林函数法
然出现感应电荷, 内任意一点的电位，就是点电荷的
电位 1 和感应电荷的电位 内4的rM电0M位.
v
的叠加，
Green函数=
➢将 上的感应电荷用一个等价的点电荷代替，使得这
个“虚”的电荷和真实的点电荷一起，在 内给出和原
来的问题同样的解
M0
M1
4.4 两种特殊区域的格林函数 及狄氏问题的解
4.4 两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解
r
2
2
同理可得 因此
1 r
u n
dS
1
u n
dS
4
u n
u
n
1 r
1 r
u n
dS
4
u
4
u n
0
4.2 格 林 公 式
令 0, 则
lim 0 u uM0
于是
lim
0
4
u n
0
u
M
0
1
4
u M
n
1 rM0M
1 rM0M
u M
n dS
4.2 格 林 公 式
4.3 格林函数
要想确定格林函数, 需要找一个调和函数 v , 它满
1
足: 易,
但v 对| 于4一 r些M0特M .殊对的于区一域般, 的如区半域空,间确，定球v域并等不, 容格
林函数可以通过初等方法得到. 我们通常使用“电
象法”求解。
4.3 格林函数
Green函数的物理意义
➢在接地的闭曲面中放上点电荷之后，在 面内侧必
边界条件:
1） 第一边值问题
u 0 ()
u | f .
狄利克雷(Direchlet)问题 2)第二边值问题
第24讲分离变量法第4章介质中的电动力学4§4拉普拉斯方程分离变量法
第24讲 分离变量法 第4章 介质中的电动力学（4） §4.4 拉普拉斯方程 分离变量法以上两节给出静电问题的一般公式，并说明静电学的基本问题式求解满足给定边界条件的泊松方程的解。
只有在界面形状是比较简单的几何曲面时，这类问题的解才能以解析形式给出，而且视具体情况不同而有不同的解法。
在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定的。
例如电容器内部的电场是由作为电极的两个导体板上所带电荷决定的；又如电子光学系统的静电透镜内部，电场是由于分布于电极上的自由电荷决定的。
这些问题的特点是自由电荷只出现在一些导体的表面上，在空间中没有其它自由电荷分布。
因此，如果我们选择这些导体表面作为区域V 的边界，则在V 内部自由电荷密度 ρ = 0 ，因而泊松方程化为比较简单的拉普拉斯（Laplace ）方程20ϕ∇= （4.4---1） 产生这电场的电荷都分布于区域V 的边界上，它们的作用通过边界条件反映出来。
因此，这类问题的解法是求拉普拉斯方程的满足边界条件的解。
（4.4---1）式的通解可以用分离变量法求出。
先根据界面形状选择适当的坐标系，然后在该坐标系中由分离变量法解拉普拉斯方程。
最常用的坐标系有球坐标系和柱坐标系。
这里我们写出用球坐标系得出的通解形式（见附录Ⅱ）。
球坐标用（R ，θ，φ）表示，R 为半径，θ为极角，φ为方位角。
拉氏方程在球坐标系中的通解为1.(,,)()(cos )cos n mnm nm n n n mb R a R P m R ϕθφθφ+=+∑ 1,()(cos )sin n mnm nm n n n md c R P m Rθφ+++∑ （4.4---2） 式中 a n m ,b n m ,c n m 和 d n m 为任意常数，在具体问题中有边界条件定出。
P m n （cos θ） 为缔和勒让德（Legendre ）函数。
若该问题中具有对称轴，取此轴为极轴，则电势φ不依赖于方位角φ，这情形下通解为 1()(cos ),n nn n n nb a R P Rϕθ+=+∑ （4.4---3） P n （cos θ）为勒让德函数，a n 和b n 由边界条件确定。
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2 u 1 2 u 1 u 2 0 2 2 r r r r
(0 r 1)
u(1, ) A cos2 B cos4
答案
u(r , ) Ar 2 cos2 Br 4 cos4
17/15
Cnr n
11/15
un (an cosn bn sinn )r n
1 n u( r , ) a0 (an cos n bn sinn )r 2 n 1 u(r0 , ) f ( ) 1 n a0 (an cos n bn sinn )r0 f ( ) 2 n 1
拉普拉斯方程
势函数与微分方程
矩形域上拉普拉斯方程
圆域上拉普拉斯方程
圆域内泊松公式
1/15
库仑定律由法国物理学家库仑于1785年发现.真空中两 个静止点电荷间相互作用力与距离平方成反比,与电量 乘积成正比,作用力方向在它们连线上,同号电荷相斥 异号电荷相吸。
q1q2 F21 k 2 r12 r12
设单位正电荷位于坐标系原点处,试验点电荷位于 点(x,y,z)处。则电场力 k x y z 2 2 2 ( r x y z ) F 2[ , , ] r r r r 势函数
1 u r
1 1 x y z u 2 [ , , ] r r r r r
势函数满足方程
2u 2u 2u u 2 2 2 0 x y z
当 0 时, 通解
( ) Acos B sin 周期边界条件 (0) ( 2 ) (0) ( 2 ) ( ) [ Asin B cos ]
9/15
线性方程组
A A cos 2 B sin 2 B A sin 2 B cos
u xx u yy 0, 0 x , y 1 u(0, y ) u( x ,0) u( x ,1) 0 u(1, y ) sin2y
16/15
3. 求解矩形域 Laplace 方程边值问题
uxx u yy 0, 0 x , y 1 u(0, y ) u(1, y ) u( x ,0) 0 u( x ,1) sinnx
uxx uyy 0 基本解 un ( x, y) [Cne nx Dne nx ]sin( n y)
通解
[an cosh( nx) bn sinh( nx)]sin( ny)
n 1
u( x , y ) [an cosh( nx ) bn sinh( nx )]sin( ny )
1 an r n 0 b 1 n n r 0
2
0 2
f ( ) cos n d f ( ) sinn d
12/15
0
例1 求解圆域上边值问题
0 r R 2 u 1 2 u 1 u 2 0 0 2 2 2 r r r r
t ln r
t (0,1)
d 2R 1 dR 1 d dR 1 d 2 R dR 2 ( ) 2 ( 2 ) 2 dr r dt r dr dt r dt dt
代入微分方程
d 2R 2 n R0 2 dt
R Cn exp( nt ) Dn exp( nt ) Cnr n Dnr n
cos 2 1 sin 2 A 0 sin 2 cos 2 1 B 0 cos 2 1 sin 2 sin 2 cos 2 1
2 2
0
(cos 2 1) sin
0,
(n 1)
1 2 b1 sin sin d 0 R 1 2 [1 cos 2 ] d 0 2 R R
1 n u( r , ) a0 (an cos n bn sinn )r 2 n 1 r r 2 r n 1 cos sin 2 ( ) cosn 2R R n 2 n 1 R
14/15
u( r , )
1
2
0
由于
i ( ) ke n in( ) k e i ( ) 1 ke n 1 i ( ) ke n in( ) k e i ( ) 1 ke n 1
1 r n f ( )[ ( ) cosn( )]dt 2 n1 r0
( r , )
u(r0 , ) f ( ) 设 u R( r )( )
u R r
r 平面 1 1 R 2 R R 0 r r 2 r R rR 0 R r 2 R rR R
( n 1)
2
0
1 sin cos d 2 R
2
0
1 sin2 d 2R
13/15
1 2 bn n sin sinn d R 0 2 1 [cos( 1 n) cos( 1 n) ] d n 0 2R
b
[0, a ] [0, b]
O
a
u=v+w
(I)
v xx v yy 0, 0 x a , 0 y b v ( x ,0) f1 ( x ), v ( x , b) g1 ( x ) v (0, y ) 0, v (a , y ) 0
( II )
u r R cos n d R 0 2 1 [sin( 1 n) sin( 1 n) ] d n 0 2R 1 2 2 1 2 [ ] n 2 n 2R 1 n 1 n R n 1 1 a1 R
设 u(x, y) = X(x)· Y(y)
uxx uyy 0
uxx X Y
u yy XY
X Y XY 0
X Y 0 X Y
X Y X Y
4/15 14/15
常微分方程 固有值问题
X X 0 Y Y 0
8/15
2u R 2 r
2u R 2
r
常微分方程
0
①
②
r 2 R rR R 0
0 ( 2 ) ( )
r 2 R rR R 0 | R(0) |
1 u(r , ) 2
2
0
r02 r 2 f ( ) 2 d 2 r0 2r cos r
15/15
思考题与练习题
1.求解固有值问题 X ( x ) X 0, 0 x 2 X (0) X (2 ), X (0) X (2 ) 2. 求解矩形域 Laplace 方程边值问题
边界条件
u(0, y) = 0, u(1, y) = sin y
a
n 1
n
sin( n y ) 0
an 0
( n 1,2, )
u( x , y ) bn sinh( nx ) sin( ny )
n 1
6/15
b
n 1
n
sinh( n ) sin( n y ) siny
2/15
矩形域二维Laplace方程边值问题
u xx u yy 0, 0 x a , 0 y b u( x ,0) f1 ( x ), u( x , b) g1 ( x ) u(0, y ) f ( y ), u(a , y ) g ( x ) 2 2
2 0
n n, (n 0,1,)
10/15
cos 2 1
n n2 , (n 0,1,2,)
d R dR 2 r r n R0 2 dr dr
2
2
解: 做变换
r e xp( t)
dR dR dt 1 dR dr dt dr r dt
( k r / r0 )
1 n 1 n in( ) k cos n [1 k e k ne in( ) ] 2 n 1 2 n 1 n 1 2 1 1 k 2 1 2k cos k 2
b1 sinh 1
1 b1 sin h
bn 0, (n 1)
u( x , y ) bn sinh( nx ) sin( ny )
n 1
sinh x u( x , y ) siny sinh
7/15
极坐标下拉普拉斯方程
2 u 1 2 u 1 u 0 r r0 , 2 0 2 2 r r r r 0 2
Y Y 0
Y(0) = 0, Y(1) = 0
① ②
固有值 固有函数
n n
2
2
Yn sin( n y)
( n=1,2,· · · )
2 X (n ) X 0
常微分方程②通解
X n Cne nx Dne nx
5/15
Laplace方程
w xx w yy 0, 0 x a , 0 y b w( x ,0) 0, w( x , b) 0 w(0, y ) f ( y ), w(a , y ) g ( x ) 2 2
3/15
Laplace方程分离变量法
u xx u yy 0, 0 x , y 1 u(0, y ) u( x ,0) u( x ,1) 0 u(1, y ) siny