2019高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.1椭圆及其性质课时练理
2019版理科数学一轮复习高考帮试题：第10章第5讲 曲线与方程(习思用.数学理) Word版含解析
第五讲 曲线与方程考点 曲线方程的求法1.已知点M (-3,0),N (3,0),B (1,0),动圆C 与直线MN 切于点B ,过M,N 与圆C 相切的两直线(非x 轴)相交于点P ,则点P 的轨迹方程为( )A.x 2-y 28=1(x >1)B.x 2-y 28=1(x <-1)C.x 2+y 28=1(x >0)D.x 2-y 210=1(x >1)2.已知点Q 在椭圆C:x 216+y 210=1上,点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )(其中O 为坐标原点,F 1为椭圆C 的左焦点),则点P 的轨迹为( )A.圆B.抛物线C.双曲线D.椭圆 3.[2018益阳市、湘潭市高三调考] 已知动圆P 经过点N (1,0),并且与圆M :(x +1)2+y 2=16相切.(1)求点P 的轨迹C 的方程;(2)设G (m ,0)为轨迹C 内的一个动点,过点G 且斜率为k 的直线l 交轨迹C 于A,B 两点,当k 为何值时,ω=|GA |2+|GB |2是与m 无关的定值?并求出该定值.答案1.A 由题意知,|PM |-|PN |=|BM |-|BN |=2,由双曲线的定义可知点P 的轨迹是以M,N 为焦点的双曲线的右支,由c =3,a =1,知b 2=8.所以点P 的轨迹方程为x 2-y 28=1(x>1).故选A.2.D 因为点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ),所以点P 是线段QF 1的中点,设P (x,y ),由于F 1为椭圆C :x 216+y 210=1的左焦点,则F 1(-√6,0),故Q (2x +√6,2y ),由点Q 在椭圆C :x 216+y 210=1上,得点P 的轨迹方程为(2x+√6)216+(2y )210=1,故点P 的轨迹为椭圆.故选D.3.(1)由题意,设动圆P 的半径为r ,则|PM |=4-r ,|PN|=r ,可得|PM |+|PN |=4-r +r =4,∴点P 的轨迹C 是以M,N 为焦点的椭圆,∴2a =4,2c =2,∴b =√a 2-c 2=√3,∴椭圆的方程为x 24+y 23=1.即点P 的轨迹C 的方程为x 24+y 23=1.(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由题意知-2<m <2,直线l:y =k (x -m ), 由{y =k (x -m ),x 24+y 23=1,得(3+4k 2)x 2-8k 2mx +4k 2m 2-12=0, ∴x 1+x 2=8mk 24k 2+3,x 1x 2=4m 2k 2-124k 2+3,∴y 1+y 2=k (x 1-m )+k (x 2-m )=k (x 1+x 2)-2km =-6mk 4k 2+3,y 1y 2=k 2(x 1-m )(x 2-m )=k 2x 1x 2-k 2m (x 1+x 2)+k 2m 2=3k 2(m 2-4)4k 2+3,∴|GA |2+|GB |2=(x 1-m )2+y 12+(x 2-m )2+y 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2-2m (x 1+x 2)+2m 2+(y 1+y 2)2-2y 1y 2=(k 2+1)[-6m 2(4k 2-3)+24(3+4k 2)](4k 2+3)2.要使ω=|GA |2+|GB |2的值与m 无关,需使4k 2-3=0, 解得k =±√32,此时ω=|GA |2+|GB |2=7.。
2019高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.4直线与圆锥曲线的位置关系课时练理
2017高考数学一轮复习 第十章 圆锥曲线与方程 10.4 直线与圆锥曲线的位置关系课时练 理时间：90分钟基础组1.[2016·衡水二中预测]抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．4 3D ．8答案 C解析 ∵y 2＝4x ，∴F (1,0)，l ：x ＝－1，过焦点F 且斜率为3的直线l 1：y ＝3(x －1)，与y 2＝4x 联立，解得A (3，23)，∴AK ＝4，∴S △AKF ＝12×4×23＝4 3.故选C.2．[2016·枣强中学月考]已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上一点C ，过双曲线中心的直线交双曲线于A ，B 两点，记直线AC ，BC 的斜率分别为k 1，k 2，当2k 1k 2＋ln |k 1|＋ln |k 2|最小时，双曲线离心率为( )A. 2B. 3C.2＋1 D ．2答案 B解析 设点A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，由于点A ，B 为过原点的直线与双曲线的交点，所以根据双曲线的对称性可得A ，B 关于原点对称，即B (－x 1，－y 1)．则k 1·k 2＝y 2－y 1x 2－x 1·y 2－－y 1x 2－－x 1＝y 22－y 21x 22－x 21，由于点A ，C 都在双曲线上，故有x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，两式相减，得x 21－x 22a 2－y 21－y 22b 2＝0，所以k 1k 2＝y 21－y 22x 21－x 22＝b 2a 2>0.则2k 1k 2＋ln |k 1|＋ln |k 2|＝2k 1k 2＋ln (k 1k 2)，对于函数y ＝2x＋ln x (x >0)利用导数法可以得到当x＝2时，函数y ＝2x ＋ln x (x >0)取得最小值．故当2k 1k 2＋ln |k 1|＋ln |k 2|取得最小值时，k 1k 2＝b 2a 2＝2，所以e ＝ 1＋b 2a2＝3，故选B. 3．[2016·衡水二中猜题]斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A 、B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2B.455C.4105D.8105答案 C解析 设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t 消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0.Δ＝(2t )2－5(t 2－1)>0，即t 2<5.则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4t 2－15.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－85t 2－4×4t 2－15 ＝4255－t 2， 当t ＝0时，|AB |max ＝4105.4. [2016·衡水二中一轮检测]直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A 、B 两点，且AB 中点的横坐标为2，则k 的值是________．答案 2解析 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，y 2＝8x ，消去y 得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝[－4k ＋2]2－4×k 2×4>0，x 1＋x 2＝4k ＋2k 2＝2×2，∴⎩⎪⎨⎪⎧k >－1，k ＝－1或k ＝2，即k ＝2.5．[2016·冀州中学周测]已知两定点M (－1,0)，N (1,0)，若直线上存在点P ，使|PM |＋|PN |＝4，则该直线为“A 型直线”．给出下列直线，其中是“A 型直线”的是________(填序号)．①y ＝x ＋1；②y ＝2；③y ＝－x ＋3；④y ＝－2x ＋3. 答案 ①④解析 由题意可知，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，其方程是x 24＋y 23＝1，①把y ＝x ＋1代入x 24＋y 23＝1并整理得，7x 2＋8x －8＝0，∵Δ＝82－4×7×(－8)>0，直线与椭圆有两个交点， ∴y ＝x ＋1是“A 型直线”．②把y ＝2代入x 24＋y 23＝1，得x 24＝－13不成立，直线与椭圆无交点，∴y ＝2不是“A 型直线”．③把y ＝－x ＋3代入x 24＋y 23＝1并整理得，7x 2－24x ＋24＝0，Δ＝(－24)2－4×7×24<0，∴y ＝－x ＋3不是“A 型直线”．④把y ＝－2x ＋3代入x 24＋y 23＝1并整理得，19x 2－48x ＋24＝0，∵Δ＝(－48)2－4×19×24>0，∴y ＝－2x ＋3是“A 型直线”．6．[2016·冀州中学热身]已知焦点在y 轴上的椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b2＝1经过点A (1,0)，且离心率为32. (1)求椭圆C 1的方程；(2)过抛物线C 2：y ＝x 2＋h (h ∈R )上点P 的切线与椭圆C 1交于两点M 、N ，记线段MN 与PA 的中点分别为G 、H ，当GH 与y 轴平行时，求h 的最小值．解 (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝1，c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝1，所以椭圆C 1的方程为y 24＋x 2＝1. (2)设P (t ，t 2＋h )，由y ′＝2x ，得抛物线C 2在点P 处的切线斜率为k ＝y ′|x ＝t ＝2t ， 所以MN 的方程为y ＝2tx －t 2＋h ，代入椭圆方程得4x 2＋(2tx －t 2＋h )2－4＝0， 化简得4(1＋t 2)x 2－4t (t 2－h )x ＋(t 2－h )2－4＝0. 又MN 与椭圆C 1有两个交点，故Δ＝16[－t 4＋2(h ＋2)t 2－h 2＋4]>0，①设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 中点的横坐标为x 0，则x 0＝x 1＋x 22＝t t 2－h 21＋t2， 设线段PA 中点的横坐标为x 3＝1＋t 2，由已知得x 0＝x 3，即t t 2－h 21＋t 2＝1＋t2，② 显然t ≠0，所以h ＝－⎝⎛⎭⎪⎫t ＋1t＋1，③当t >0时，t ＋1t≥2，当且仅当t ＝1时取等号，此时h ≤－3，不满足①式，故舍去；当t <0时，(－t )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1t ≥2，当且仅当t ＝－1时取等号，此时h ≥1，满足①式．综上，h 的最小值为1.7. [2016·枣强中学周测]已知圆O ：x 2＋y 2＝49，直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C ：x 22＋y 2＝1相交于P 、Q 两点，O 为原点．(1)若直线l 过椭圆C 的左焦点，与圆O 交于A 、B 两点，且∠AOB ＝60°，求直线l 的方程；(2)若△POQ 的重心恰好在圆上，求m 的取值范围．解 (1)左焦点坐标为F (－1,0)，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，由∠AOB ＝60°，得圆心O 到直线l 的距离d ＝13，又d ＝|k |k 2＋1，∴|k |k 2＋1＝13，解得k ＝±22.∴直线l 的方程为y ＝±22(x ＋1)． (2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0.由Δ>0得1＋2k 2>m 2①，且x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2.∵△POQ 的重心恰好在圆x 2＋y 2＝49上，∴(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)2＝4， 即(x 1＋x 2)2＋[k (x 1＋x 2)＋2m ]2＝4， 即(1＋k 2)(x 1＋x 2)2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝4. ∴161＋k 2k 2m 21＋2k 22－16k 2m 21＋2k2＋4m 2＝4，化简得m 2＝1＋2k 224k 2＋1，代入①式得2k 2>0，∴k ≠0， 又m 2＝1＋2k224k 2＋1＝1＋4k 44k 2＋1＝1＋44k 2＋1k4.∵k ≠0，∴m 2>1，∴m >1或m <－1.8．[2016·冀州中学预测]已知F 1、F 2是双曲线x 2－y 215＝1的两个焦点，离心率等于45的椭圆E 与双曲线x 2－y 215＝1的焦点相同，动点P (m ，n )满足|PF 1|＋|PF 2|＝10，曲线M 的方程为x 22＋y 22＝1. (1)求椭圆E 的方程；(2)判断直线mx ＋ny ＝1与曲线M 的公共点的个数，并说明理由；当直线mx ＋ny ＝1与曲线M 相交时，求直线mx ＋ny ＝1截曲线M 所得弦长的取值范围．解 (1)∵F 1、F 2是双曲线x 2－y 215＝1的两个焦点，∴不妨设F 1(－4,0)，F 2(4,0)．∵椭圆E 与双曲线x 2－y 215＝1的焦点相同，∴设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，根据已知得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝4，c a ＝45，b 2＝a 2－c 2，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝4，a ＝5，b 2＝9.∴椭圆E 的方程为x 225＋y 29＝1.(2)∵动点P (m ，n )满足|PF 1|＋|PF 2|＝10， ∴P (m ，n )是椭圆E 上的点．∴m 225＋n 29＝1.∵m 225＋n 29≤m 29＋n 29＝m 2＋n 29，∴m 2＋n 2≥9.∵曲线M 是圆心为(0,0)，半径r ＝2的圆， 圆心(0,0)到直线mx ＋ny ＝1的距离d ＝1m 2＋n 2≤13<2，∴直线mx ＋ny ＝1与曲线M 有两个公共点．设直线mx ＋ny ＝1截曲线M 所得弦长为l ，则l ＝22－1m 2＋n 2. ∵m 225＋n 225≤m 225＋n 29＝1， ∴m 2＋n 2≤25.∴9≤m 2＋n 2≤25.∴125≤1m 2＋n 2≤19，∴179≤2－1m 2＋n 2≤4925. ∴173≤ 2－1m 2＋n 2≤75. ∴2173≤l ≤145. ∴直线mx ＋ny ＝1截曲线M 所得弦长的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2173，145. 9．[2016·衡水二中期中]如图所示，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 经过点F 且与抛物线C 相交于A ，B 两点．(1)若线段AB 的中点在直线y ＝2上，求直线l 的方程； (2)若线段|AB |＝20，求直线l 的方程．解 (1)由已知得焦点坐标为F (1,0)．因为线段AB 的中点在直线y ＝2上，所以直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y22.由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，所以2y 0k ＝4. 又y 0＝2，所以k ＝1，故直线l 的方程是y ＝x －1. (2)设直线l 的方程为x ＝my ＋1，与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，消元得y 2－4my－4＝0，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，Δ＝16(m 2＋1)>0.|AB |＝m 2＋1|y 1－y 2| ＝m 2＋1·y 1＋y 22－4y 1y 2＝m 2＋1·4m2－4×－4＝4(m 2＋1)．所以4(m 2＋1)＝20，解得m ＝±2， 所以直线l 的方程是x ＝±2y ＋1， 即x ±2y －1＝0.10．[2016·枣强中学模拟]已知点A 、B 的坐标分别是(－1,0)、(1,0)．直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为－2.(1)求动点M 的轨迹方程；(2)若过点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1的直线l 交动点M 的轨迹于C 、D 两点，且N 为线段CD 的中点，求直线l 的方程．解 (1)设M (x ，y )． 因为k AM ·k BM ＝－2，所以y x ＋1·yx －1＝－2(x ≠±1)， 化简得2x 2＋y 2＝2(x ≠±1)，即为动点M 的轨迹方程． (2)设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．当直线l ⊥x 轴时，直线l 的方程为x ＝12，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，62，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－62，此时线段CD 的中点不是点N ，不合题意．故设直线l 的方程为y －1＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12.将C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)代入2x 2＋y 2＝2(x ≠±1)，得 2x 21＋y 21＝2，① 2x 22＋y 22＝2.② ①－②整理得k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－2x 1＋x 2y 1＋y 2＝－2×12＝－1. 所以直线l 的方程为y －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即2x ＋2y －3＝0.11．[2016·衡水二中期末]已知定点G (－3,0)，S 是圆C ：(x －3)2＋y 2＝72上的动点，SG 的垂直平分线与SC 交于点E ，设点E 的轨迹为M .(1)求M 的方程；(2)是否存在斜率为1的直线l ，使得l 与曲线M 相交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意，知|EG |＝|ES |，∴|EG |＋|EC |＝|ES |＋|EC |＝62， 又|GC |＝6<62，∴点E 的轨迹是以G ，C 为焦点，长轴长为62的椭圆． 故动点E 的轨迹M 的方程为x 218＋y 29＝1.(2)假设存在符合题意的直线l 与椭圆M 相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，其方程为y ＝x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 218＋y29＝1，消去y ，化简得3x 2＋4mx ＋2m 2－18＝0.∵直线l 与椭圆M 相交于A ，B 两点， ∴Δ＝16m 2－12(2m 2－18)>0， 化简得m 2<27，解得－33<m <33， ∴x 1＋x 2＝－4m 3，x 1x 2＝2m 2－93.∵以线段AB 为直径的圆恰好经过原点，∴OA →·OB →＝0，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，又y 1y 2＝(x 1＋m )(x 2＋m )＝x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2，∴x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝4m 2－93－4m 23＋m 2＝0，解得m ＝±23，由于±23∈(－33，33)， ∴符合题意的直线l 存在，所求的直线l 的方程为y ＝x ＋23或y ＝x －2 3.12．[2016·武邑中学猜题]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，F 为椭圆在x 轴正半轴上的焦点，M ，N 两点在椭圆C 上，且MF →＝λFN →(λ>0)，定点A (－4,0)．(1)求证：当λ＝1时，MN →⊥AF →；(2)若当λ＝1时有AM →·AN →＝1063，求椭圆C 的方程；(3)在(2)的条件下，M ，N 两点在椭圆C 上运动，当AM →·AN →·tan∠MAN 的值为63时，求出直线MN 的方程．解 (1)证明：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，F (c,0)， 则MF →＝(c －x 1，－y 1)，FN →＝(x 2－c ，y 2)， 当λ＝1时，MF →＝FN →，∴－y 1＝y 2，x 1＋x 2＝2c ， 由M ，N 两点在椭圆上，∴x 21＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 21b 2，x 22＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 22b 2，∴x 21＝x 22.若x 1＝－x 2，则x 1＋x 2＝0≠2c (舍去)， ∴x 1＝x 2，∴MN →＝(0,2y 2)，AF →＝(c ＋4,0)，MN →·AF →＝0， ∴MN →⊥AF →.(2)当λ＝1时，不妨设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，N ⎝⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ， ∴AM →·AN →＝(c ＋4)2－b 4a 2＝1063，∵c a ＝63.∴a 2＝32c 2，b 2＝c22，∴56c 2＋8c ＋16＝1063， ∴c ＝2，a 2＝6，b 2＝2， 故椭圆C 的方程为x 26＋y 22＝1.(3)因为AM →·AN →·tan∠MAN ＝2S △AMN ＝|AF ||y M －y N |＝63， 由(2)知点F (2,0)，所以|AF |＝6，即得|y M －y N |＝ 3. 当MN ⊥x 轴时，|y M －y N |＝|MN |＝2b 2a ＝2×26≠3，故直线MN 的斜率存在，不妨设直线MN 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －2，x 26＋y22＝1，得(1＋3k 2)y 2＋4ky －2k 2＝0，y M ＋y N ＝－4k 1＋3k 2，y M ·y N ＝－2k21＋3k 2，∴|y M －y N |＝24k 4＋24k21＋3k 2＝3，解得k ＝±1. 此时，直线MN 的方程为x －y －2＝0或x ＋y －2＝0.能力组13.[2016·冀州中学仿真]已知F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右两个焦点，以线段F 1F 2为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M ，与双曲线交于点N (设点M 、N 均在第一象限)，当直线MF 1与直线ON 平行时，双曲线的离心率的取值为e 0，则e 0所在的区间为( )A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，2)D ．(2,3)答案 A解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝c 2，x 2a 2－y2b 2＝1，x >0，y >0可得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＋c 2c，b 2c ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝c 2，y ＝ba x ，x >0，y >0可得M (a ，b )，又F 1(－c,0)，则kMF 1＝ba ＋c ，k ON ＝b 2a b 2＋c 2，∵MF 1∥ON ，∴ba ＋c ＝b 2a b 2＋c2，∴a b 2＋c 2＝b (a ＋c )，又b 2＝c 2－a 2，∴2a 2c －c 3＝2ac 2－2a 3，∴2e 0－e 30＝2e 20－2，设f (x )＝x 3＋2x 2－2x －2，f ′(x )＝3x 2＋4x －2，当x >1时，f ′(x )>0，所以f (x )在(1，＋∞)上单调递增，即f (x )在(1，＋∞)上至多有1个零点，f (1)＝1＋2－2－2<0，f (2)＝22＋4－22－2>0，∴1<e 0< 2.故选A.14．[2016·武邑中学预测]已知中心在坐标原点的椭圆和双曲线有公共焦点(左、右焦点分别为F 1、F 2)，它们在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形．若|PF 1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1e 2的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫19，＋∞ 答案 B解析 设椭圆的长轴长为2a ，双曲线的实轴长为2m ，焦距为2c ，则有⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|－|PF 2|＝2m ，得|PF 2|＝a －m ，又|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，∴a －m ＝2c ，又由e 1＝ca，e 2＝c m ，得a ＝c e 1，m ＝c e 2，从而有c e 1－c e 2＝2c ，得e 2＝e 11－2e 1，从而e 1e 2＝e 1·e 11－2e 1＝e 211－2e 1，由e 2>1，且e 2＝e 11－2e 1，可得13<e 1<12，令1－2e 1＝t ，则0<t <13，e 1e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 22t ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t －2.又f (t )＝t ＋1t －2在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上为减函数，则0<t <13时，f (t )>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，∴0<t <13时，f (t )>43，故e 1e 2>13.15．[2016·衡水二中模拟]如图，F 是椭圆的右焦点，以点F 为圆心的圆过原点O 和椭圆的右顶点，设P 是椭圆上的动点，点P 到椭圆两焦点的距离之和等于4.(1)求椭圆和圆的标准方程；(2)设直线l 的方程为x ＝4，PM ⊥l ，垂足为M ，是否存在点P ，使得△FPM 为等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由已知可得2a ＝4，a ＝2c ，解得a ＝2，c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3.∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1，圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设P (x ，y )，则M (4，y )，F (1,0)，其中－2≤x ≤2， ∵P (x ，y )在椭圆上，∴x 24＋y 23＝1，∴y 2＝3－34x 2.∴|PF |2＝(x －1)2＋y 2＝(x －1)2＋3－34x 2＝14(x －4)2，|PM |2＝|x －4|2，|FM |2＝32＋y 2＝12－34x 2.①若|PF |＝|FM |，则14(x －4)2＝12－34x 2，解得x ＝－2或x ＝4(舍去)，当x ＝－2时，P (－2,0)，此时P 、F 、M 三点共线，不符合题意，∴|PF |≠|FM |；②若|PM |＝|PF |，则(x －4)2＝14(x －4)2，解得x ＝4，不符合题意；③若|PM |＝|FM |，则(x －4)2＝12－34x 2，解得x ＝4(舍去)或x ＝47，当x ＝47时，y ＝±3157，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫47，±3157，满足题意．综上可得，存在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫47，3157或⎝ ⎛⎭⎪⎫47，－3157，使得△FPM 为等腰三角形．16．[2016·枣强中学期末]如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左，右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B 1作直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求直线l 的方程．解 (1)设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，右焦点为F 2(c,0)．因为△AB 1B 2是直角三角形，又|AB 1|＝|AB 2|，所以∠B 1AB 2为直角，因此|OA |＝|OB 2|，则b ＝c 2，又c 2＝a 2－b 2，所以4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝255.在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故S △AB 1B 2＝12·|B 1B 2|·|OA |＝|OB 2|·|OA |＝c 2·b ＝b 2.由题设条件S △AB 1B 2＝4得b 2＝4，从而a 2＝5b 2＝20. 因此所求椭圆的标准方程为x 220＋y 24＝1.(2)由(1)知B 1(－2,0)，B 2(2,0)． 由题意知直线l 的倾斜角不为0， 故可设直线l 的方程为x ＝my －2. 代入椭圆方程得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上面方程的两根， 因此y 1＋y 2＝4m m 2＋5，y 1·y 2＝－16m 2＋5. 又B 2P →＝(x 1－2，y 1)，B 2Q →＝(x 2－2，y 2)， 所以B 2P →·B 2Q →＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16＝－16m 2＋1m 2＋5－16m 2m 2＋5＋16＝－16m 2－64m 2＋5，由PB 2⊥QB 2，得B 2P →·B 2Q →＝0， 即16m 2－64＝0，解得m ＝±2.所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x＋2y＋2＝0和x－2y＋2＝0.。
2019版理科数学一轮复习高考帮试题：第10章第4讲 直线与圆锥曲线的综合应用(考题帮.数学理)
第四讲 直线与圆锥曲线的综合应用题组1 圆锥曲线中弦的相关问题1.[2015浙江,5,5分][理]如图10-4-1,设抛物线y 2=4x 的焦点为F ,不经过焦点的直线上有三个不同的点A ,B ,C ,其中点A ,B 在抛物线上,点C 在y 轴上,则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )图10-4-1A .B .C .D .|BF |-1|AF |-1|BF |2-1|AF |2-1|BF |+1|AF |+1|BF |2+1|AF |2+12.[2015四川,10,5分][理]设直线l 与抛物线y 2=4x 相交于A ,B 两点,与圆(x-5)2+y 2=r 2(r>0)相切于点M ,且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条,则r 的取值范围是( )A .(1,3)B .(1,4)C .(2,3)D .(2,4)3.[2014新课标全国Ⅱ,10,5分][理]设F 为抛物线C :y 2=3x 的焦点,过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为( )A.B.C.D.3349386332944.[2013江西,14,5分][理]抛物线x 2=2py (p>0)的焦点为F ,其准线与双曲线-=1相交于A ,Bx 23y 23两点,若△ABF 为等边三角形,则p= .5.[2015山东,20,13分][理]平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :+=1(a>b>0)的离心率为,x 2a 2y 2b 232左、右焦点分别是F 1,F 2.以F 1为圆心以3为半径的圆与以F 2为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C 上.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设椭圆E :+=1,P 为椭圆C 上任意一点.过点P 的直线y=kx+m 交椭圆E 于A ,B 两点,射x 24a 2y 24b 2线PO 交椭圆E 于点Q.(i)求的值;|OQ ||OP |(ii)求△ABQ 面积的最大值.题组2 直线与圆锥曲线的综合应用6.[2014辽宁,10,5分][理]已知点A (-2,3)在抛物线C :y 2=2px 的准线上,过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ,记C 的焦点为F ,则直线BF 的斜率为( )A. B. C.D.122334437.[2014湖南,14,5分]平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1,0)的距离和到直线x=-1的距离相等.若机器人接触不到过点P (-1,0)且斜率为k 的直线,则k 的取值范围是 .8.[2016四川,20,13分][理]已知椭圆E :+=1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角x 2a 2y 2b 2三角形的三个顶点,直线l :y=-x+3与椭圆E 有且只有一个公共点T.(Ⅰ)求椭圆E 的方程及点T 的坐标;(Ⅱ)设O 是坐标原点,直线l'平行于OT ,与椭圆E 交于不同的两点A ,B ,且与直线l 交于点P.证明:存在常数λ,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|,并求λ的值.9.[2015全国卷Ⅰ,20,12分][理]在直角坐标系xOy 中,曲线C :y=与直线l :y=kx+a (a>0)交于x 24M ,N 两点.(Ⅰ)当k=0时,分别求C 在点M 和N 处的切线方程;(Ⅱ)y 轴上是否存在点P ,使得当k 变动时,总有∠OPM=∠OPN ?说明理由.A 组基础题1.[2018中原名校高三第三次质量考评,11]已知双曲线-=1右焦点为F ,P 为双曲线左支上x 24y 22一点,点A (0,),则△APF 周长的最小值为( )2A .4(1+)B .4+22C .2(+)D .+326622.[2018唐山市高三五校联考,10]直线l 与双曲线C :-=1(a>0,b>0)交于A ,B 两点,M 是线段x 2a 2y 2b 2AB 的中点,若l 与OM (O 是原点)的斜率的乘积等于1,则此双曲线的离心率为( )A.2B.C.3D.233. [2017郑州市第三次质量预测,10]椭圆+=1的左焦点为F ,直线x=a 与椭圆相交于点x 25y 24M ,N ,当△FMN 的周长最大时,△FMN 的面积是( )A. B. C.D.556558554554.[2017福建省高三质检,8]过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线l 交抛物线于A ,B 两点,交其准线于点C ,且A ,C 位于x 轴同侧,若|AC|=2|AF|,则|BF|等于( )A.2B.3C.4D.55.[2018洛阳市尖子生第一次联考,20]如图10-4-2,点F 是抛物线Γ:x 2=2py (p>0)的焦点,点A 是抛物线上的定点,且=(2,0),点B ,C 是抛物线上的动点,直线AB ,AC 的斜率分别为k 1,k 2.AF (1)求抛物线Γ的方程;(2)若k 2-k 1=2,点D 是抛物线在点B ,C 处切线的交点,记△BCD 的面积为S ,证明S 为定值.图10-4-26.[2017桂林、百色、梧州、崇左、北海五市联考,20]已知右焦点为F 2(c ,0)的椭圆C :+=1(a>b>0)过点(1,),且椭圆C 关于直线x=c 对称的图形过坐标原点.x 2a 2y 2b 232(1)求椭圆C 的方程;(2)过点(,0)作直线l 与椭圆C 交于E ,F 两点,线段EF 的中点为M ,点A 是椭圆C 的右顶点,12求直线MA 的斜率k 的取值范围.B 组提升题7.[2018辽宁五校联考,12]一条动直线l 与抛物线C :x 2=4y 相交于A ,B 两点,O 为坐标原点,若=2,则(-)2-4的最大值为( )AB AG OA OB OG 2A.24B.16C.8D.-168.[2017广州市高三毕业班综合测试,8]已知F 1,F 2分别是椭圆C :+=1(a>b>0)的左、右焦x 2a 2y 2b 2点,若椭圆C 上存在点P 使∠F 1PF 2为钝角,则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A.(,1)B.(,1)C.(0,)D.(0,)221222129.[2017合肥市三检,12]已知椭圆M :+y 2=1,圆C :x 2+y 2=6-a 2在第一象限有公共点P ,设圆Cx 2a 2在点P 处的切线斜率为k 1,椭圆M 在点P 处的切线斜率为k 2,则的取值范围为( )k 1k 2A.(1,6)B.(1,5)C.(3,6)D.(3,5)10.[2018湘东五校联考,20]已知椭圆C 的中心在原点,离心率等于,它的一个短轴端点恰好是12抛物线x 2=8y 的焦点.3(1)求椭圆C 的方程;(2)如图10-4-3,已知P (2,3),Q (2,-3)是椭圆上的两点,A ,B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点.①若直线AB 的斜率为,求四边形APBQ 面积的最大值;12②当A ,B 运动时,满足∠APQ=∠BPQ ,试问直线AB 的斜率是否为定值?请说明理由.图10-4-311.[2017天星第二次联考,20]已知椭圆C :+=1(a>b>0)的离心率为,过右焦点F 的直线lx 2a 2y 2b 233与椭圆C 相交于A ,B 两点,当直线l 的斜率为1时,坐标原点O 到直线l 的距离为.22(1)求椭圆C 的方程;(2)椭圆C 上是否存在点P ,使得当直线l 绕F 转到某一位置时,有=+成立?若存在,OP OA OB 求出所有满足条件的点P 的坐标与直线l 的方程;若不存在,请说明理由.答案1.A 由题可知抛物线的准线方程为x=-1.如图D 10-4-2所示,过A 作AA 2⊥y 轴于点A 2,过B 作BB 2⊥y 轴于点B 2,则===.故选A .S △BCF S △ACF |BC ||AC||BB 2||AA 2||BF |-1|AF |-1图D 10-4-22.D 当直线l 的斜率不存在时,这样的直线l 恰有2条,即x=5±r ,此时0<r<5,所以当直线l的斜率存在时,这样的直线l 有2条即可.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x 0,y 0),则又{x 1+x 2=2x 0,y 1+y 2=2y 0.两式相减得(y 1+y 2)(y 1-y 2)=4(x 1-x 2),则k AB ===.设圆心为C (5,0),则k CM={y 21=4x 1,y 22=4x 2,y 1-y 2x 1-x 24y 1+y 22y 0.因为直线l与圆相切,所以·=-1,解得x 0=3,于是=r 2-4,r>2,又<4x 0,即r 2-4<12,所y 0x 0-52y 0y 0x 0-5y 20y 20以0<r<4,又0<r<5,r>2,所以2<r<4,故选D .3.D 易知抛物线中p=,焦点F (,0),直线AB 的斜率k=,故直线AB 的方程为y=(x-),代3234333334入抛物线方程y 2=3x ,整理得x 2-x+=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=.由抛物线的定义可得212916212弦长|AB|=x 1+x 2+p=+=12,结合图形(图略)可得O 到直线AB 的距离d=sin 30°=,所以△21232p 238OAB 的面积S=|AB|·d=.故选D .12944.6 由x 2=2py (p>0)得焦点F (0,),准线l 为y=-,所以可求得抛物线的准线与双曲线-=1p2p 2x 23y 23的交点 A (-,-),B (,-),所以|AB|=,若△ABF 为等边三角形,则|AF|=|AB|=12+p 22p 212+p 22p 212+p 2,=sin ,即=,解得p=6.12+p2p|AF |π3p 12+p 2325.(Ⅰ)由题意知2a=4,则a=2.又=,a 2-c 2=b 2,可得b=1,ca 32所以椭圆C 的方程为+y 2=1.x 24(Ⅱ)由(Ⅰ)知椭圆E的方程为+=1.x 216y 24(i)设P (x 0,y 0),=λ,由题意知Q (-λx 0,-λy 0).|OQ ||OP |因为+=1,又+=1,即(+)=1,x 204y 20(-λx 0)216(-λy 0)24λ24x 24y 20所以λ=2,即=2.|OQ ||OP |(ii)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).将y=kx+m 代入椭圆E 的方程,可得(1+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-16=0.由Δ>0,可得m 2<4+16k 2 ①,则有x 1+x 2=-,x 1x 2=,8km1+4k 24m 2-161+4k 2所以|x 1-x 2|=.416k 2+4-m 21+4k 2因为直线y=kx+m 与y 轴交点的坐标为(0,m ),所以△OAB 的面积S=|m||x 1-x 2|12=216k 2+4-m 2|m |1+4k 2=2(16k 2+4-m 2)m 21+4k 2=2.(4-m 21+4k 2)m 21+4k 2设=t ,m 21+4k 2将y=kx+m 代入椭圆C 的方程,可得(1+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-4=0,由Δ≥0,可得m 2≤1+4k 2 ②.由①②可知0<t ≤1.因此S=2=2.故S ≤2,(4-t )t -t 2+4t 3当且仅当t=1,即m 2=1+4k 2时取得最大值2.3由(i)知,△ABQ 面积为3S ,所以△ABQ 面积的最大值为6.36.D 因为A (-2,3)在抛物线y 2=2px 的准线上,所以-=-2,所以p=4,所以y 2=8x ,设直线AB 的方p2程为x=k (y-3)-2 ①,将①与y 2=8x 联立,得消去x ,得y 2-8ky+24k+16=0 ②,{x =k (y -3)-2,y 2=8x ,则Δ=(-8k )2-4(24k+16)=0,即2k 2-3k-2=0,解得k=2或k=-(舍去),将k=2代入①②解得12即B (8,8),又F (2,0),所以k BF ==,故选D.{x =8,y =8,8-08-2437.(-∞,-1)∪(1,+∞) 由题意可知机器人的轨迹为一抛物线,其轨迹方程为y 2=4x ,过点P (-1,0)且斜率为k 的直线方程为y=k (x+1),由题意知直线与抛物线无交点,联立直线与抛物线的方程,消去y 得k 2x 2+(2k 2-4)x+k 2=0,则Δ=-4k 4<0,所以k 2>1,解得k>1或k<-1.(2k 2-4)28.(Ⅰ)由已知,a=b ,则椭圆E 的方程为+=1.2x 22b 2y 2b 2由方程组得3x 2-12x+(18-2b 2)=0 ①.{x 22b 2+y 2b 2=1,y =-x +3,方程①的根的判别式为Δ=24(b 2-3),由Δ=0,得b 2=3,此时方程①的解为x=2,所以椭圆E的方程为+=1,点T 的坐标为(2,1).x 26y 23(Ⅱ)由已知可设直线l'的方程为y=x+m (m ≠0),12由方程组可得{y =12x +m ,y =-x +3,{x =2-2m3,y =1+2m 3,所以点P的坐标为(2-,1+),|PT|2=m 2.2m 32m 389设点A ,B 的坐标分别为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由方程组可得3x 2+4mx+(4m 2-12)=0 ②.{x 26+y 23=1,y=12x +m ,方程②的根的判别式为Δ=16(9-2m 2),由Δ>0,解得-<m<.322322由②得x 1+x 2=-,x 1x 2=,4m34m 2-123所以|PA|==2--x 1|,(2-2m 3-x 1)2+(1+2m 3-y 1)2522m3同理|PB|=|2--x 2|,522m3所以|PA|·|PB|=|(2--x 1)(2--x 2)|542m 32m3=|(2-)2-(2-)(x 1+x 2)+x 1x 2|542m 32m3=|(2-)2-(2-)(-)+|542m 32m 34m 34m 2-123=m 2.109故存在常数λ=,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|.459.(Ⅰ)由题设可得M (2,a ),N (-2,a )或M (-2,a ),N (2,a ).a a a a又y=,得y'=,故y=在x=2处的导数值为,C 在点(2,a )处的切线方程为y-a=(x-2x 24x 2x 24a a a a ),即x-y-a=0.a a y=在x=-2处的导数值为-,C 在点(-2,a )处的切线方程为y-a=-(x+2),即x 24a a a a a x+y+a=0.a x-y-a=0和x+y+a=0.a a (Ⅱ)存在符合题意的点,证明如下:设P (0,b )为符合题意的点,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),直线PM ,PN 的斜率分别为k 1,k 2.将y=kx+a 代入C 的方程得x 2-4kx-4a=0,故x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4a.从而k 1+k 2=+y 1-b x 1y 2-bx 2=2kx 1x 2+(a -b )(x 1+x 2)x 1x 2=.k (a +b )a当b=-a 时,有k 1+k 2=0,则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补,故∠OPM=∠OPN ,所以点P (0,-a )符合题意.A 组基础题1.A 设双曲线左焦点为F',由题意得点F (,0),|AF|=2,a=2,△APF 的周长62l=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+2a+|PF'|+|AP|,要使△APF 的周长最小,只需|AP|+|PF'|最小,如图D 10-4-3,当A ,P ,F'三点共线时取到最小值,故l=2a+2|AF|=4(1+).故选A .2图D 10-4-32.B 设直线l 与双曲线C :-=1(a>0,b>0)的交点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),易知x 1≠x 2,则-x 2a 2y 2b 2x 21a 2=1(a>0,b>0) ①,-=1(a>0,b>0) ②,②-①得=,即=,因为l 与OMy 21b 2x 22a 2y 22b 2x 21-x 22a 2y 21-y 22b 2(y 1-y 2)(y 1+y 2)(x 1-x 2)(x 1+x 2)b 2a 2的斜率的乘积等于1,所以=1,双曲线的离心率e==,故选B .b 2a 21+b 2a 223.C 设椭圆的右焦点为E ,由椭圆的定义知△FMN 的周长为L=|MN|+|MF|+|NF|=|MN|+(2-|ME|)+(2-|NE|).因为|ME|+|NE|≥|MN|,所以|MN|-|ME|-|NE|≤0,当直线MN 过点E 时取55等号,所以L=4+|MN|-|ME|-|NE|≤4,即直线x=a 过椭圆的右焦点E 时,△FMN 的周长最55大,此时S △FMN =×|MN|×|EF|=××2=,故选C .12122×458554.C 设抛物线的准线与x 轴交于点D ,则由题意,知F (1,0),D (-1,0),分别作AA 1,BB 1垂直于抛物线的准线,垂足分别为A 1,B 1,则有=,所以|AA 1|=,故|AF|=.又=,即=|AC ||FC ||AA 1||FD |4343|AC ||BC ||AA 1||BB 1||AC ||AC |+|AF |+|BF |,亦即=,解得|BF|=4,故选C .|AF ||BF |2|AF |3|AF |+|BF ||AF ||BF |5.(1)设A (x 0,y 0),由题意知F (0,),所以=(-x 0,-y 0)=(2,0),所以代入x 2=2py (p>0),得p 2AF p2{x 0=-2,y 0=p2,4=p 2,解得p=2,所以抛物线的方程是x 2=4y.(2)过D 作y 轴的平行线交BC 于点E ,设B (x 1,),C (x 2,),x 214x 224由(1)知A (-2,1),所以k 2-k 1=-=,x 224-1x 2+2x 214-1x 1+2x 2-x 14又k 2-k 1=2,所以x 2-x 1=8.由x 2=4y ,得y'=,因为B ,C 为抛物线的切点,x2所以直线BD :y=x- ①,直线CD :y=x- ②,x 12x 214x 22x 224联立①②,解得{x D =x 1+x 22,y D =x 1x 24.而k BC ==,所以直线BC 的方程为y-=·(x-x 1),由于x E =x D ,所以将x D 代入直线x 224-x 214x 2-x 1x 2+x 14x 214x 1+x 24BC 的方程,得y E =,x 21+x 228所以S=|DE|(x 2-x 1)=(y E -y D )(x 2-x 1)=··(x 2-x 1)=32.121212(x 2-x 1)28故S 为定值.6.(1)∵椭圆C过点(1,),∴+=1 ①.321a 294b 2∵椭圆C 关于直线x=c 对称的图形过坐标原点,∴a=2c.∵a 2=b 2+c 2,∴b 2=a 2 ②.34由①②得a 2=4,b 2=3,∴椭圆C的方程为+=1.x 24y 23(2)依题意,直线l过点(,0)且斜率不为零,故可设其方程为x=my+.1212由消去x ,整理得4(3m 2+4)y 2+12my-45=0.{x =my +12,x 24+y 23=1,设E (x 1,y 1),F (x 2,y 2),M (x 0,y 0),则y 1+y 2=-,3m3m 2+4∴y 0==-,y 1+y 223m2(3m2+4)∴x 0=my 0+=,1223m 2+4∴k==.y 0x 0-2m4m 2+4①当m=0时,k=0;②当m ≠0时,k=,14m +4m∵|4m+|=4|m|+≥8,∴0<≤,4m 4|m |1|4m +4m |18∴0<|k|≤,∴-≤k ≤且k ≠0.181818综合①②可知,直线MA 的斜率k 的取值范围是[-,].1818B 组提升题7.B 由=2,知G 是线段AB的中点,∴=(+),∴(-)2-4=(-)2-AB AG OG 12OA OB OA OB OG 2OA OB (+)2=-4·.由A ,B 是动直线l 与抛物线C :x 2=4y 的交点,不妨设A (x 1,),B (x 2,),∴-4OA OB OA OB x 214x 224·=-4(x 1x 2+)=-4[(+2)2-4]=16-4(+2)2≤16,即(-)2-4的最大值为16,故选OA OB x 21x 2216x 1x 24x 1x 24OA OB OG 2B .8.A 解法一 设P (x 0,y 0),由题易知|x 0|<a ,因为∠F 1PF 2为钝角,所以·<0有解,即c 2>PF 1PF 2+有解,即c 2>(+)min,又=b 2-,<a 2,故+=b 2+∈[b 2,a 2),所以(+)min =b 2,故x 20y 20x 20y 20y 20b 2a 2x 20x 20x 20y 20c 2a 2x 20x 20y 20c 2>b 2,又b 2=a 2-c 2,所以e 2=>,解得e>,又0<e<1,故椭圆C 的离心率的取值范围是(,1),c 2a 2122222选A.解法二 椭圆上存在点P 使∠F 1PF 2为钝角⇔以原点O 为圆心,以c 为半径的圆与椭圆有四个不同的交点⇔b<c.如图D 10-4-4,由b<c ,得a 2-c 2<c 2,即a 2<2c 2,解得e=>,又0<e<1,故椭ca 22圆C 的离心率的取值范围是(,1),选A22.图D 10-4-49.D 由于椭圆M :+y 2=1,圆C :x 2+y 2=6-a 2在第一象限有公共点P ,所以解得x 2a 2{a 2>6-a 2,6-a 2>1,3<a 2<5.设椭圆M :+y 2=1与圆C :x 2+y 2=6-a 2在第一象限的公共点P (x 0,y 0),则椭圆M 在点Px 2a 2处的切线方程为+y 0y=1,圆C 在点P 处的切线方程为x 0x+y 0y=6-a 2,所以k 1=-,k 2=-x 0xa 2x 0y 0,=a 2,所以∈(3,5),故选D .x 0a 2y 0k1k 2k 1k 210.(1)设椭圆C 的方程为+=1(a>b>0),则b=2.x 2a 2y 2b 23由=,a 2=c 2+b 2,得a=4,c a 12∴椭圆C的方程为+=1.x 216y 212(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).①设直线AB 的方程为y=x+t ,12代入+=1,得x 2+tx+t 2-12=0,x 216y 212由Δ>0,解得-4<t<4,由一元二次方程根与系数的关系得x 1+x 2=-t ,x 1x 2=t 2-12,∴|x 1-x 2|===.(x 1+x 2)2-4x 1x 2t 2-4(t 2-12)48-3t 2∴四边形APBQ 的面积S=×6×|x 1-x 2|=3.1248-3t 2∴当t=0时,S 取得最大值,且S max =12.3②若∠APQ=∠BPQ ,则直线PA ,PB 的斜率之和为0,设直线PA 的斜率为k ,则直线PB 的斜率为-k ,直线PA 的方程为y-3=k (x-2),由得(3+4k 2)x 2+8(3-2k )kx+4(3-2k )2-48=0,{y -3=k (x -2),x 216+y 212=1,∴x 1+2=,8(2k -3)k3+4k 2将k 换成-k 可得x 2+2==,-8k (-2k -3)3+4k 28k (2k +3)3+4k 2∴x 1+x 2=,x 1-x 2=,16k 2-123+4k 2-48k3+4k 2∴k AB ====,y 1-y 2x 1-x 2k (x 1-2)+3+k (x 2-2)-3x 1-x 2k (x 1+x 2)-4kx 1-x 212∴直线AB的斜率为定值.1211.(1)设F (c ,0)(c>0),直线l :x-y-c=0,由坐标原点O 到直线l 的距离为,得=,解得c=1.22|0-0-c |222又e==,所以a=,b=.ca 3332所以椭圆C 的方程为+=1.x 23y 22(2)椭圆C 上存在点P ,使得当直线l 绕F 转到某一位置时,有=+成立.OP OA OB 由(1)知椭圆C 的方程为2x 2+3y 2=6,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).(i)当直线l 不垂直x 轴时,设直线l 的方程为y=k (x-1),椭圆C 上的点P 满足=+的充OP OA OB 要条件是点P 的坐标为(x 1+x 2,y 1+y 2),且2(x 1+x 2)2+3(y 1+y 2)2=6,整理得2+3+2+3+4x 1x 2+6y 1y 2=6,x 21y 21x 22y 22又点A ,B 在椭圆C 上,故2+3=6,2+3=6,故2x 1x 2+3y 1y 2+3=0 ①,x 21y 21x 22y 22将y=k (x-1)代入2x 2+3y 2=6,化简整理得(2+3k 2)x 2-6k 2x+3k 2-6=0,于是x 1+x 2=,x 1x 2=,故y 1y 2=k 2(x 1-1)(x 2-1)=,6k 22+3k 23k 2-62+3k 2-4k22+3k 2将其代入①化简得k 2=2,此时x 1+x 2=,于是y 1+y 2=k (x 1+x 2-2)=-,即P (,-).32k232k 2因此,当k=-时,P (直线l 的方程为x+y-=0;2322222当k=时,P (,-直线l 的方程为x-y-=0.2322222(ii)当直线l 垂直于x 轴时,由+=(2,0)知,椭圆C 上不存在点P 使=+成立.OA OB OP OA OB综上,椭圆C 上存在点P (,±),使=+成立,此时直线l 的方程为x±y-=0.3222OP OA OB 22。
高考数学复习第十章圆锥曲线与方程10.1.1椭圆的标准方程对点训练理
2017高考数学一轮复习 第十章 圆锥曲线与方程 10.1.1 椭圆的标准方程对点训练 理1.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l交C 于A 、B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 答案 A解析 ∵x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，∴c a ＝33.又∵过F 2的直线l 交椭圆于A ，B 两点，△AF 1B 的周长为43，∴4a ＝43，∴a ＝ 3.∴b ＝2， ∴椭圆方程为x 23＋y 22＝1，选A.2．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．答案 x 2＋32y 2＝1解析 不妨设点A 在第一象限，∵AF 2⊥x 轴，∴A (c ，b 2)，又|AF 1|＝3|F 1B |，∴AF 1→＝3F 1B →，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5c 3，－b 23将其代入椭圆方程化简得25c 29＋b 29＝1，又c 2＝1－b 2，得b 2＝23，故椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.3．已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________.答案 12解析 如图，设MN 的中点为P ，则由F 1是AM 的中点，可知|AN |＝2|PF 1|.同理可得可知|BN |＝2|PF 2|. ∴|AN |＋|BN |＝2(|PF 1|＋|PF 2|)．根据椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，∴|AN |＋|BN |＝12.4.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c,0)，离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ，|FM |＝433.(1)求直线FM 的斜率； (2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围．解 (1)由已知有c 2a 2＝13，又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2.设直线FM 的斜率为k (k >0)，则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c )．由已知，有⎝ ⎛⎭⎪⎫kc k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，解得k ＝33.(2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c )，两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0，解得x ＝－53c 或x ＝c .因为点M 在第一象限，可得M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫c ，233c .由|FM |＝c ＋c2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233c －02＝433，解得c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(3)设点P 的坐标为(x ，y )，直线FP 的斜率为t ，得t ＝yx ＋1，即y ＝t (x ＋1)(x ≠－1)，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t x ＋，x 23＋y22＝1，消去y ，整理得2x 2＋3t 2(x ＋1)2＝6.又由已知，得t＝6－2x2x ＋2>2，解得－32<x <－1或－1<x <0.设直线OP 的斜率为m ，则m ＝y x，即y ＝mx (x ≠0)，与椭圆方程联立，整理可得m 2＝2x2－23. ①当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1时，有y ＝t (x ＋1)<0，因此m >0，于是m ＝2x 2－23，得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，233.②当x ∈(－1,0)时，有y ＝t (x ＋1)>0，因此m <0，于是m ＝－2x 2－23，得m ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－233.综上，直线OP 的斜率的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－233∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，233.5．平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，左、右焦点分别是F 1，F 2.以F 1为圆心以3为半径的圆与以F 2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b2＝1，P 为椭圆C 上任意一点．过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .(ⅰ)求|OQ ||OP |的值；(ⅱ)求△ABQ 面积的最大值． 解 (1)由题意知2a ＝4，则a ＝2. 又c a ＝32，a 2－c 2＝b 2，可得b ＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)知椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1.(ⅰ)设P (x 0，y 0)，|OQ ||OP |＝λ，由题意知Q (－λx 0，－λy 0)． 因为x 204＋y 20＝1，又－λx 0216＋－λy 024＝1，即λ24⎝ ⎛⎭⎪⎫x 204＋y 20＝1， 所以λ＝2，即|OQ ||OP |＝2.(ⅱ)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程， 可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0. 由Δ>0，可得m 2<4＋16k 2.①则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2.所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m21＋4k2. 因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )， 所以△OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k 2＝2k 2＋4－m 2m 21＋4k2＝2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m 21＋4k 2m 21＋4k 2. 设m 21＋4k2＝t .将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.② 由①②可知0<t ≤1. 因此S ＝2－t t ＝2－t 2＋4t .故S ≤23，当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值2 3. 由(ⅰ)知，△ABQ 面积为3S ， 所以△ABQ 面积的最大值为6 3.6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC ＝2AB ，求直线AB 的方程．解 (1)由题意，得c a ＝22且c ＋a 2c＝3，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1，所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将AB 的方程代入椭圆方程，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，则x 1,2＝2k 2±＋k21＋2k2，C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，且AB ＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝＋k2x 2－x 12＝22＋k 21＋2k2.若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意．从而k ≠0，故直线PC 的方程为y ＋k 1＋2k 2＝－1k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2k 21＋2k 2，则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k ＋2k 2， 从而PC ＝k 2＋1＋k2|k ＋2k2. 因为PC ＝2AB ，所以k 2＋1＋k 2|k ＋2k 2＝42＋k21＋2k2， 解得k ＝±1.此时直线AB 方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.。
2020届高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.1椭圆及其性质课件
4 16
4 2 44
∴当m=5时,(t2)max=4,即|t|max=2,
即当m=5时,点B横坐标的绝对值最大.
思路分析 (1)设出点B的坐标,利用向量的坐标运算得点A的坐标. (2)利用点A,B都在椭圆上得方程组,求得点B的横、纵坐标满足的关系式. (3)利用(2)中的关系式及点B在椭圆上,把点B的横坐标的平方表示为关于m的函数. (4)利用二次函数的最值得结论.
.
答案 15
解析 本题主要考查椭圆的定义和标准方程、直线斜率与倾斜角的关系,以及解三角形,旨在 考查学生的综合应用能力及运算求解能力,重点应用数形结合思想,突出考查了直观想象与数 学运算的核心素养.
如图,记椭圆的右焦点为Fc=2,连接OM,PF', 则|OM|=|OF|=2,又∵M为PF的中点, ∴|PF'|=2|OM|,PF'∥OM,∴|PF'|=4, 又∵P在椭圆上,∴|PF'|+|PF|=6,∴|PF|=2, 在△PFF'中,|PF'|=|FF'|=4,|PF|=2,连接F'M,
|=|AQ|. 记直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,且k1,k2>0,k1≠k2.
由(1)知,|AP|= 2a2 | k1 | 1 k12 ,|AQ|= 2a2 | k2 | 1 k22 ,
1 a2k12
1 a2k22
故 2a2 | k1 | 1 k12 = 2a2 | k2 | 1 k22 ,
高考数学 (浙江专用)
第十章 圆锥曲线与方程
§10.1 椭圆及其性质
五年高考
A组 自主命题·浙江卷题组
考点一 椭圆的定义和标准方程
1.(2019浙江,15,4分)已知椭圆 x2 + y2 =1的左焦点为F,点P在椭圆上且在x轴的上方.若线段PF 95
【推荐】2013-2019高考理科数学分类汇编-第10章 圆锥曲线-1 椭圆及其性质
第十章 圆锥曲线第1节 椭圆及其性质题型113 椭圆的定义与标准方程1.（2014 大纲理 6）已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的左、右焦点为1F ，2F ，离心率为3，过2F 的直线l 交C 于A ，B 两点，若1AF B △的周长为则C 的方程为（ ）.A ．22132x y +=B ．2213x y += C ．221128x y += D ．221124x y +=2.（2014 安徽理 14）设21,F F 分别是椭圆E ： 2221yx b+=()01b <<的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于A ，B 两点，若113AF BF =，2AF x ⊥轴，则椭圆E 的方程为 .3.（2014 辽宁理 15）已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合.若M 关于C的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则AN BN += .4.（2014 福建理 19）（本小题满分13分）已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的两条渐近线分别为1:2l y x =，2:2l y x =-.（1）求双曲线E 的离心率；（2）如图所示，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线21,l l 于B A ,两点（B A ,分别在第一，四象限），且OAB △的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由.5.（2016北京理19（1））已知椭圆的离心率为，，，，的面积为1.求椭圆的方程；5.解析 可先作出本题的图形：()2222:10x y C a b a b+=>>2(),0A a ()0,B b ()0,0O OAB △C由题设，可得解得.所以椭圆的方程是.6.（2016山东理21（1））平面直角坐标系中，椭圆： 的离心率是，抛物线：的焦点是的一个顶点.求椭圆的方程； 6.解析 由题意知，可得：.因为抛物线的焦点为，所以，所以椭圆的方程为. 7.（2016天津理19（1））设椭圆的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率.求椭圆的方程. 7.解析 由，即，可得. 又，所以，因此，所以椭圆的方程为8.（2017浙江2）椭圆的离心率是（ ）.A.B. C. D.8.解析 由椭圆方程可得，，所以，所以，.故选B ． 9.（2017江苏17（1））如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1x y E a b+=222(0)112c a a b c a b ab ⎧=⎪⎪⎪=+>>⎨⎪⎪=⎪⎩2,1a b ==C 2214x y +=xOy C 22221x ya b+=(0)a b >>2E 22x y =F C C 2a =2ab =E 10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭11,2a b ==C 2241x y +=13222=+y a x (a >F A ||3||1||1FA eOA OF =+O e 113c OF OA FA +=113()c c a a a c +=-2223a c c -=2223a c b -==21c =24a =221.43x y+=22194x y +=2359229,4a b ==2225c a b =-=3a =c =3c e a ==()0a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为12，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l ．求椭圆E 的标准方程.9.解析 设椭圆的半焦距为c ，由题意21228c e a a c⎧==⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得21a c =⎧⎨=⎩，因此b ==E 的标准方程为22143x y +=． 10.（2017山东理21（1））在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1x y E a b+=()0a b >>的离2，焦距为2.求椭圆E 的方程. 10.解析 由题意知c e a ==，22c =，所以a =，1b =，因此椭圆E 的方程为2212x y +=. 11.（2107全国1卷理科20（1））已知椭圆()2222:=10x y C a b a b+>>，四点()111P ，，()201P ，，3–1P ⎛ ⎝⎭，41P ⎛ ⎝⎭中恰有三点在椭圆C 上.求C 的方程； 11. 解析 根据椭圆对称性，必过3P ，4P ，又4P 横坐标为1，椭圆必不过1P ，所以过 234P P P ，，三点.将()23011P P ⎛- ⎝⎭，，代入椭圆方程得222113141b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得24a =，21b =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=．12.（2018天津理19）设椭圆22221x x a b+=(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B . 已知椭圆的离心率为3，点A 的坐标为(,0)b，且FB AB ⋅=（I ）求椭圆的方程；（II ）设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q .若4AQ AOQ PQ=∠(O 为原点) ，求的值. 12.命题意图 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识．考查用代数方法研究圆锥曲线的性质．考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力．解析（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c ，由已知有2259c a =，又由222a b c =+，可得23a b =．由已知可得，FB a =，AB =，由FB AB ⋅=， 可得6ab =，从而32a b ==，．所以，椭圆的方程为22194x y +=．（Ⅱ）设点P 的坐标为11x y （，），点Q 的坐标为22x y （，）．由已知有120y y >>，故12sin PQ AOQ y y ∠=-．又因为2sin y AQ OAB =∠，而π4O A B ∠=，故2AQ =．由AQ AOQ PQ=∠，可得1259y y =． 由方程组22194y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去x，可得1y 易知直线AB 的方程为–20x y +=，由方程组20y kx x y =⎧⎨+-=⎩，，消去x ，可得221ky k =+．由1259y y =，可得5（+1）=两边平方，整理得25650110k k -+=，解得12k =，或1128k =． 所以，k 的值为111228或．2019年13．（2019全国I 理10）已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y +=D ．22154x y += 13. 解析2x =，则22AF x =，所以23BF AB x ==. 由椭圆定义122BF BF a +=，即42x a =.又1224AF AF a x +==，22AF x =，所以12AF x =. 因此点A 为椭圆的上顶点，设其坐标为()0,b . 由222AF BF =可得点B 的坐标为3,22b ⎛⎫-⎪⎝⎭. 因为点B 在椭圆()222210x y a b a b +=>>上，所以291144a +=.解得23a =.又1c =，所以22b =.所以椭圆方程为22132x y +=.故选B.14.（2019全国II 理21（1））已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；14．解析（1）由题设得1222y y x x ⋅=-+-，化简得221(||2)42x y x +=≠，所以C 为中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，不含左右顶点．15.（2019北京理4）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为12，则（A ）22.2a b =（B ）22.34a b=（C ）2a b=（D ）34a b=15. 解析 由题意，c e a ====所以22244a b a -=，即2234a b =．故选B ．题型114 椭圆离心率的值及取值范围1.（2013江苏12）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆C 的离心率为 .2.(2013福建理14）椭圆()01:2222>>=+Γb a by a x 的左右焦点分别为21,F F ,焦距为c 2，若直线()c x y +=3与椭圆Γ 的一个交点满足12212F MF F MF ∠=∠，则该椭圆的离心率等于_____3.（2014 湖北理 9）已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12π3F PF ∠=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）.A.3B.3C.3D.2 4.（2014 江西理 15）过点()1,1M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>相交于,A B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于 . 5.（2014 江苏理 17）如图，在平面直角坐标系xOy 中，1F ，2F 分别是椭圆22221x y a b+=()0a b >>的左、右焦点，顶点B 的坐标为()0,B b ，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结1F C ． （1）若点C 的坐标为41,33⎛⎫⎪⎝⎭，且2BF =，求椭圆的方程 （2）若1F C AB ⊥，求椭圆离心率e 的值． 6.（2014 北京理 19）（本小题14分） 已知椭圆22:24C x y +=， （1）求椭圆C 的离心率.7.（2015安徽理20）设椭圆E 的方程为()222210x y a b a b+=>>，点O 为坐标原点，点A的坐标为()0a ，，点B 的坐标为()0b ，，点M 在线段AB 上，满足2BM MA =，直线OM的斜率为10（1）求椭圆E 的离心率e ；（2）设点C 的坐标为()0b -，，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵 坐标为72，求椭圆E 的方程. 7.解析 （1）由题设条件知，点M 的坐标为21,33a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又10OM k =，从而210b a =，即a =，所以2c b =，故5c e a ==．（2）由题设条件和（1）的计算结果可得，直线AB1yb+=， 点N的坐标为1,22b b ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为17,2x ⎛⎫⎪⎝⎭， 则线段NS 的中点T的坐标为117,244x b ⎫+-+⎪⎪⎝⎭． 又点T 在直线AB 上，且1NS ABk k =-，从而有11744171x b b b+-++=⎨+⎪=，解得3b =，所以a =E 的方程为221459x y +=．8.（2015重庆理21）如图所示，椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线交椭圆于P ，Q 两点，且1PQ PF ⊥.（1）若12PF =22PF =.（2）若1PF PQ =，求椭圆的离心率e .8.解析 （1）由椭圆的定义((122224a PF PF =+=++=,故2=a ． 设椭圆的半焦距为c ，由已知12PF PF ⊥，因此122c F F ===32)22()22(22=-++,即3=c ，从而122=-=c a b ． 故所求椭圆的标准方程为1422=+y x ．（2）如图所示，连接1QF ，由椭圆的定义，122PF PF a +=，122QF QF a +=， 从而由1PF PQ =,有1142QF a PF =-. 又由PQ PF ⊥1，PQ PF =1 ，知112PF QF =，因此,11224PF PF a =-,得12(2PF a =.从而()21222221PF a PF a a a =-=-=.由12PF PF ⊥,知()222212122PF PF F F c +==，因此c e a=====9.（2016浙江理7）已知椭圆与双曲线的焦点重合，，分别为，的离心率，则（ ）. A.且 B.且 C.且 D.且9. A 解析 因为两个圆锥曲线的焦点重合，所以，即.因为，，所以，故，故选A. 10.（2016江苏10）如图所示，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于两点，且90BFC ∠=，则该椭圆的离心率是 ．1:C 2221(1)x y m m +=>2:C 2221(0)x y n n-=>1e 2e 1C 2C m n >121e e >m n >121e e <m n <121e e >m n <121e e <2211m n -=+222m n =+22121m e m -=22221n e n +=()()222242222121222422211121()122n m n n n e e e e m n n nn n +-+++==⋅==>++121e e >xOy F 22221x ya b+=()0a b >>2b y =,BC10.解析 由题意得，直线与椭圆方程联立，可得，.由， 可得，，， 则，由， 可得，则． 评注 另外也可以结合，得，，而，解得， 进而．设与轴的交点为，则经典转化以为直径的圆过点． 11.（2016全国丙理11）已知为坐标原点，是椭圆 的左焦点，，分别为的左，右顶点.为上一点，且轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点.若直线经过的中点，则的离心率为（ ）. A.B.C.D.11. A 解析 根据题意，作出图像，如图所示.因为点为的中点，所以3(),0F c 2b y=,22b B ⎛⎫- ⎪⎝⎭,22b C ⎛⎫⎪⎝⎭90BFC ∠=0BF CF ⋅=2b BF c ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭2b CF c ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭22231044c a b -+=222b a c =-223142c a=3c e a ===2CF BF aBC +=⎧⎪⎨=⎪⎩22224CF CF BF BF a +⋅+=212CF BF a ⋅=21124BCF S CF BF a =⋅=△122b CB h =⋅=⨯a=3e =BC y A90BFC ∠=︒⇔BC F ⇔0BF CF ⋅=⇔12AF BC =O F :C 22221(0)x y a b a b+=>>A B C P C PF x ⊥A l PF M y E BM OE C 13122334N OE，又，所以，得，即.故选A.12.（2016浙江理19）如图所示，设椭圆.（1）求直线被椭圆截得的线段长（用、表示）；（2）若任意以点为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.12.解析 （1）设直线被椭圆截得的线段为，联立方程，得，解得，．因此（2）联立圆与椭圆的方程，观察易知圆与椭圆的公共点至多有个.当有个公共点时，由对称性可设轴左侧的椭圆上有两个不同的点，，满足．记直线，的斜率分别为，，所以，，．所以直线，的方程为，.由（1）知，， 变形得. 由于得因此① 因为式①关于的方程有解的充要条件是，即因此，任意以点为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为12OEON a MF a c MF==+OEMF a a c =-12a a a c a c ⋅=-+3a c=1=3c e a =2221x y a+=()1a >1y kx =+a k (0,1)A 1y kx =+AP 22211y kx x y a=+⎧⎪⎨+=⎪⎩()2222120a k x a kx ++=10x =222221a kx a k=-+2122221a k x a kAP =-=+44y P Q Q AP A =AP Q A 1k 2k 1k 20k >12k k ≠AP Q A 11y k x =+21y k x =+12AP AQ ==12=()222222221212121(2)0kk k k a a k k ⎡⎤-+++-=⎣⎦1212,,0k k k k ≠>22222212121+(2)0,k k a a k k ++-=22221211111(2),a a k k ⎛⎫⎛⎫++=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭12,k k ()22121aa+->a >(0,1)A 1a <…由，得所求离心率的取值范围为.13.（2107全国3卷理科10）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）.ABC．3D ．1313．解析 因为以12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，所以圆心到直线的距离d等于半径，即d a ==，又因为0,0a b >>，则上式可化简为223a b =.因为222b ac =-，可得()2223a a c =-，即2223c a =，所以c e a ==故选A. 14.（2018全国2卷理科12）已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为（ ）. A ．23B ．12C ．13D ．1414. 解析 由题意知，()1,0F c -，()2,0F c ，(),0A a -，直线AP的方程为)y x a =+，因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=，所以2122PF F F c ==，260PF x ∠=，设点P 的坐标为()00,x y ，则02cos 602x c c c =+⋅=，02sin603y c c =⋅=，将()2P c 代入)6y xa =+()26c a =+，所以4a c =，所以椭圆C 的离心率14c e a ==.故选D. 15.（2018上海13）设P 是椭圆22153x y +=上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）.（A ）（B ）（C ）（D ）15.解析 由题意得，a =，根据椭圆的定义可得点P 到两焦点的距离之和为2a=c e a===02e <…故选C.16.（2018北京理14）已知椭圆2222:1x y M a b +=，双曲线2222:1x y N m n-=.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为 ；双曲线N 的离心率为 .16.解析 设正六边形边长为t ；根据椭圆的定义)21a t =，22c t =，1ce a==椭圆.双曲线的渐近线方程为y =，b a ，所以=2c e a=双曲线.题型115 椭圆焦点三角形——暂无2019年1.（2019全国III 理15）设12F F ，为椭圆C 22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.1. 解析 设(,)M m n ，,0m n >，椭圆C ：22:13620x y C +=的6a =，b =，2c =，23c e a ==，由于M 为C 上一点且在第一象限，可得12||||MF MF >， 12MF F △为等腰三角形，可能1||2MF c =或2||2MF c =，即有2683m +=，即3m =，n = 2683m -=，即30m =-<，舍去．可得M .。
2019-2020年高考数学一轮总复习第十章圆锥曲线10.2双曲线及其性质专用题组理新人教B版
2019-2020年高考数学一轮总复习第十章圆锥曲线10.2双曲线及其性质专用题组理新人教B版考点二双曲线的几何性质及应用23.(xx湖北,8,5分)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则( )A.对任意的a,b,e1>e2B.当a>b时,e1>e2;当a<b时,e1<e2C.对任意的a,b,e1<e2D.当a>b时,e1<e2;当a<b时,e1>e2答案 D 依题意有e1==,e2==.而-=,∵a>0,b>0,m>0,∴当a>b时,<,有e1<e2;当a<b时,>,有e1>e2.故选D.25.(xx湖北,5,5分)已知0<θ<,则双曲线C1:-=1与C2:-=1的( )A.实轴长相等B.虚轴长相等C.焦距相等D.离心率相等答案 D θ∈时,0<sin θ<cos θ<1,0<tan θ<1,故实轴长,虚轴长均不相等.焦距分别为2和2=2=2tan θ<2.离心率e1,e2满足-1==tan2θ,-1==tan2θ,故e1=e2.评析本题考查双曲线的几何性质,a,b,c,e之间的关系以及三角函数值的大小比较.难度中等.26.(xx浙江,8,5分)如图,F1、F2分别是双曲线C:-=1(a,b>0)的左、右焦点,B是虚轴的端点,直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF2|=|F1F2|,则C的离心率是( )A. B. C. D.答案 B 解法一:直线BF1的方程为y=x+b,由得P,由得Q.从而有线段PQ的中点为N.又由|F1F2|=|F2M|,知M(3c,0),则k MN=,又k MN×=-1,得a2=2b2,即2c2=3a2,故e=.解法二:由解法一,知N,则直线MN的方程为y-=-.从而得M,又M(3c,0),则c+=3c,得a2=2b2,得e=.评析本题考查双曲线离心率的概念,双曲线的基本性质和线段垂直平分线的性质.考查方程思想和运算求解能力.27.(xx湖南,5,5分)设双曲线-=1(a>0)的渐近线方程为3x±2y=0,则a的值为( )A.4B.3C.2D.1答案 C 双曲线-=1的渐近线方程为-=0,整理得3x±ay=0,故a=2,选C.评析本题考查双曲线渐近线的求法,属中档题.28.(xx北京,11,5分)设双曲线C经过点(2,2),且与-x2=1具有相同渐近线,则C的方程为;渐近线方程为.答案-=1;y=±2x解析根据题意,可设双曲线C:-x2=λ,将(2,2)代入双曲线C的方程得λ=-3,∴C的方程为-=1.渐近线方程为y=±2x.评析本题考查双曲线的基本性质,双曲线的渐近线等知识,若不熟悉共渐近线的双曲线系方程,则必须分类讨论求解.29.(xx湖北,14,5分)如图,双曲线-=1(a,b>0)的两顶点为A1,A2,虚轴两端点为B1,B2,两焦点为F1,F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2,切点分别为A,B,C,D,则(1)双曲线的离心率e= ;(2)菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值= .答案(1) (2)解析(1)由题意知在Rt△F1OB2中,OB⊥F1B2且|OF1|=c,|OB2|=b,|OB|=a,∵|F1B2|·|OB|=|OF1|·|OB2|,∴a=bc,∴a2(b2+c2)=b2c2,∴+=·,∴e2-1+e2=(e2-1)e2,即e4-3e2+1=0,∴e2=,∴e=.∵e>1,∴e=.(2)记∠B2OB=θ,则|AB|=2asin θ,|BC|=2acos θ,其中sin θ=,cos θ=,∴S2=|AB||BC|=,又∵S1=2bc,∴==·=(e2-1)e2=××=.评析本题考查双曲线,圆,菱形及直角三角形等基础知识,考查学生的推理论证能力和运算求解能力.综合运用几何知识分析题中的数量关系,利用好离心率e的比值意义,准确运算是求解的关键.30.(xx江苏,8,5分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线-=1的离心率为,则m的值为.答案 2解析∵m2+4>0,∴a2=m,b2=m2+4,c2=m2+m+4,∴==5,∴m=2.评析本题考查双曲线的标准方程和离心率的概念,考查运算求解能力.31.(xx湖南,13,5分)设F是双曲线C:-=1的一个焦点.若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为.答案解析不妨设F为左焦点(-c,0),点P在第一象限,因为线段PF的中点恰为双曲线C虚轴的一个端点,由中点坐标公式得P(c,2b),又P在双曲线C上,∴-=1,∴=5,∴e==.。
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第十章 圆锥曲线第1节 椭圆及其性质题型113 椭圆的定义与标准方程1.（2014 大纲理 6）已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的左、右焦点为1F ，2F ，离心率为3，过2F 的直线l 交C 于A ，B 两点，若1AF B △的周长为则C 的方程为（ ）.A ．22132x y +=B ．2213x y += C ．221128x y += D ．221124x y +=2.（2014 安徽理 14）设21,F F 分别是椭圆E ： 2221yx b+=()01b <<的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于A ，B 两点，若113AF BF =，2AF x ⊥轴，则椭圆E 的方程为 .3.（2014 辽宁理 15）已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合.若M 关于C的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则AN BN += .4.（2014 福建理 19）（本小题满分13分）已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的两条渐近线分别为1:2l y x =，2:2l y x =-.（1）求双曲线E 的离心率；（2）如图所示，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线21,l l 于B A ,两点（B A ,分别在第一，四象限），且OAB △的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由.5.（2016北京理19（1））已知椭圆的离心率为，，，，的面积为1.求椭圆的方程；5.解析 可先作出本题的图形：()2222:10x y C a b a b+=>>2(),0A a ()0,B b ()0,0O OAB △C由题设，可得解得.所以椭圆的方程是.6.（2016山东理21（1））平面直角坐标系中，椭圆： 的离心率是，抛物线：的焦点是的一个顶点.求椭圆的方程； 6.解析 由题意知，可得：.因为抛物线的焦点为，所以，所以椭圆的方程为. 7.（2016天津理19（1））设椭圆的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率.求椭圆的方程. 7.解析 由，即，可得. 又，所以，因此，所以椭圆的方程为8.（2017浙江2）椭圆的离心率是（ ）.A.B. C. D.8.解析 由椭圆方程可得，，所以，所以，.故选B ． 9.（2017江苏17（1））如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1x y E a b+=222(0)112c a a b c a b ab ⎧=⎪⎪⎪=+>>⎨⎪⎪=⎪⎩2,1a b ==C 2214x y +=xOy C 22221x ya b+=(0)a b >>2E 22x y =F C C 2a =2ab =E 10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭11,2a b ==C 2241x y +=13222=+y a x (a >F A ||3||1||1FA eOA OF =+O e 113c OF OA FA +=113()c c a a a c +=-2223a c c -=2223a c b -==21c =24a =221.43x y+=22194x y +=2359229,4a b ==2225c a b =-=3a =c =3c e a ==()0a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为12，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l ．求椭圆E 的标准方程.9.解析 设椭圆的半焦距为c ，由题意21228c e a a c⎧==⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得21a c =⎧⎨=⎩，因此b ==E 的标准方程为22143x y +=． 10.（2017山东理21（1））在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1x y E a b+=()0a b >>的离2，焦距为2.求椭圆E 的方程. 10.解析 由题意知c e a ==，22c =，所以a =，1b =，因此椭圆E 的方程为2212x y +=. 11.（2107全国1卷理科20（1））已知椭圆()2222:=10x y C a b a b+>>，四点()111P ，，()201P ，，3–1P ⎛ ⎝⎭，41P ⎛ ⎝⎭中恰有三点在椭圆C 上.求C 的方程； 11. 解析 根据椭圆对称性，必过3P ，4P ，又4P 横坐标为1，椭圆必不过1P ，所以过 234P P P ，，三点.将()23011P P ⎛- ⎝⎭，，代入椭圆方程得222113141b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得24a =，21b =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=．12.（2018天津理19）设椭圆22221x x a b+=(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B . 已知椭圆的离心率为3，点A 的坐标为(,0)b，且FB AB ⋅=（I ）求椭圆的方程；（II ）设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q .若4AQ AOQ PQ=∠(O 为原点) ，求的值. 12.命题意图 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识．考查用代数方法研究圆锥曲线的性质．考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力．解析（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c ，由已知有2259c a =，又由222a b c =+，可得23a b =．由已知可得，FB a =，AB =，由FB AB ⋅=， 可得6ab =，从而32a b ==，．所以，椭圆的方程为22194x y +=．（Ⅱ）设点P 的坐标为11x y （，），点Q 的坐标为22x y （，）．由已知有120y y >>，故12sin PQ AOQ y y ∠=-．又因为2sin y AQ OAB =∠，而π4O A B ∠=，故2AQ =．由AQ AOQ PQ=∠，可得1259y y =． 由方程组22194y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去x，可得1y 易知直线AB 的方程为–20x y +=，由方程组20y kx x y =⎧⎨+-=⎩，，消去x ，可得221ky k =+．由1259y y =，可得5（+1）=两边平方，整理得25650110k k -+=，解得12k =，或1128k =． 所以，k 的值为111228或．2019年13．（2019全国I 理10）已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y +=D ．22154x y += 13. 解析2x =，则22AF x =，所以23BF AB x ==. 由椭圆定义122BF BF a +=，即42x a =.又1224AF AF a x +==，22AF x =，所以12AF x =. 因此点A 为椭圆的上顶点，设其坐标为()0,b . 由222AF BF =可得点B 的坐标为3,22b ⎛⎫-⎪⎝⎭. 因为点B 在椭圆()222210x y a b a b +=>>上，所以291144a +=.解得23a =.又1c =，所以22b =.所以椭圆方程为22132x y +=.故选B.14.（2019全国II 理21（1））已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；14．解析（1）由题设得1222y y x x ⋅=-+-，化简得221(||2)42x y x +=≠，所以C 为中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，不含左右顶点．15.（2019北京理4）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为12，则（A ）22.2a b =（B ）22.34a b=（C ）2a b=（D ）34a b=15. 解析 由题意，c e a ====所以22244a b a -=，即2234a b =．故选B ．题型114 椭圆离心率的值及取值范围1.（2013江苏12）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆C 的离心率为 .2.(2013福建理14）椭圆()01:2222>>=+Γb a by a x 的左右焦点分别为21,F F ,焦距为c 2，若直线()c x y +=3与椭圆Γ 的一个交点满足12212F MF F MF ∠=∠，则该椭圆的离心率等于_____3.（2014 湖北理 9）已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12π3F PF ∠=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）.A.3B.3C.3D.2 4.（2014 江西理 15）过点()1,1M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>相交于,A B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于 . 5.（2014 江苏理 17）如图，在平面直角坐标系xOy 中，1F ，2F 分别是椭圆22221x y a b+=()0a b >>的左、右焦点，顶点B 的坐标为()0,B b ，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结1F C ． （1）若点C 的坐标为41,33⎛⎫⎪⎝⎭，且2BF =，求椭圆的方程 （2）若1F C AB ⊥，求椭圆离心率e 的值． 6.（2014 北京理 19）（本小题14分） 已知椭圆22:24C x y +=， （1）求椭圆C 的离心率.7.（2015安徽理20）设椭圆E 的方程为()222210x y a b a b+=>>，点O 为坐标原点，点A的坐标为()0a ，，点B 的坐标为()0b ，，点M 在线段AB 上，满足2BM MA =，直线OM的斜率为10（1）求椭圆E 的离心率e ；（2）设点C 的坐标为()0b -，，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵 坐标为72，求椭圆E 的方程. 7.解析 （1）由题设条件知，点M 的坐标为21,33a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又10OM k =，从而210b a =，即a =，所以2c b =，故5c e a ==．（2）由题设条件和（1）的计算结果可得，直线AB1yb+=， 点N的坐标为1,22b b ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为17,2x ⎛⎫⎪⎝⎭， 则线段NS 的中点T的坐标为117,244x b ⎫+-+⎪⎪⎝⎭． 又点T 在直线AB 上，且1NS ABk k =-，从而有11744171x b b b+-++=⎨+⎪=，解得3b =，所以a =E 的方程为221459x y +=．8.（2015重庆理21）如图所示，椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线交椭圆于P ，Q 两点，且1PQ PF ⊥.（1）若12PF =22PF =.（2）若1PF PQ =，求椭圆的离心率e .8.解析 （1）由椭圆的定义((122224a PF PF =+=++=,故2=a ． 设椭圆的半焦距为c ，由已知12PF PF ⊥，因此122c F F ===32)22()22(22=-++,即3=c ，从而122=-=c a b ． 故所求椭圆的标准方程为1422=+y x ．（2）如图所示，连接1QF ，由椭圆的定义，122PF PF a +=，122QF QF a +=， 从而由1PF PQ =,有1142QF a PF =-. 又由PQ PF ⊥1，PQ PF =1 ，知112PF QF =，因此,11224PF PF a =-,得12(2PF a =.从而()21222221PF a PF a a a =-=-=.由12PF PF ⊥,知()222212122PF PF F F c +==，因此c e a=====9.（2016浙江理7）已知椭圆与双曲线的焦点重合，，分别为，的离心率，则（ ）. A.且 B.且 C.且 D.且9. A 解析 因为两个圆锥曲线的焦点重合，所以，即.因为，，所以，故，故选A. 10.（2016江苏10）如图所示，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于两点，且90BFC ∠=，则该椭圆的离心率是 ．1:C 2221(1)x y m m +=>2:C 2221(0)x y n n-=>1e 2e 1C 2C m n >121e e >m n >121e e <m n <121e e >m n <121e e <2211m n -=+222m n =+22121m e m -=22221n e n +=()()222242222121222422211121()122n m n n n e e e e m n n nn n +-+++==⋅==>++121e e >xOy F 22221x ya b+=()0a b >>2b y =,BC10.解析 由题意得，直线与椭圆方程联立，可得，.由， 可得，，， 则，由， 可得，则． 评注 另外也可以结合，得，，而，解得， 进而．设与轴的交点为，则经典转化以为直径的圆过点． 11.（2016全国丙理11）已知为坐标原点，是椭圆 的左焦点，，分别为的左，右顶点.为上一点，且轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点.若直线经过的中点，则的离心率为（ ）. A.B.C.D.11. A 解析 根据题意，作出图像，如图所示.因为点为的中点，所以3(),0F c 2b y=,22b B ⎛⎫- ⎪⎝⎭,22b C ⎛⎫⎪⎝⎭90BFC ∠=0BF CF ⋅=2b BF c ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭2b CF c ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭22231044c a b -+=222b a c =-223142c a=3c e a ===2CF BF aBC +=⎧⎪⎨=⎪⎩22224CF CF BF BF a +⋅+=212CF BF a ⋅=21124BCF S CF BF a =⋅=△122b CB h =⋅=⨯a=3e =BC y A90BFC ∠=︒⇔BC F ⇔0BF CF ⋅=⇔12AF BC =O F :C 22221(0)x y a b a b+=>>A B C P C PF x ⊥A l PF M y E BM OE C 13122334N OE，又，所以，得，即.故选A.12.（2016浙江理19）如图所示，设椭圆.（1）求直线被椭圆截得的线段长（用、表示）；（2）若任意以点为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.12.解析 （1）设直线被椭圆截得的线段为，联立方程，得，解得，．因此（2）联立圆与椭圆的方程，观察易知圆与椭圆的公共点至多有个.当有个公共点时，由对称性可设轴左侧的椭圆上有两个不同的点，，满足．记直线，的斜率分别为，，所以，，．所以直线，的方程为，.由（1）知，， 变形得. 由于得因此① 因为式①关于的方程有解的充要条件是，即因此，任意以点为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为12OEON a MF a c MF==+OEMF a a c =-12a a a c a c ⋅=-+3a c=1=3c e a =2221x y a+=()1a >1y kx =+a k (0,1)A 1y kx =+AP 22211y kx x y a=+⎧⎪⎨+=⎪⎩()2222120a k x a kx ++=10x =222221a kx a k=-+2122221a k x a kAP =-=+44y P Q Q AP A =AP Q A 1k 2k 1k 20k >12k k ≠AP Q A 11y k x =+21y k x =+12AP AQ ==12=()222222221212121(2)0kk k k a a k k ⎡⎤-+++-=⎣⎦1212,,0k k k k ≠>22222212121+(2)0,k k a a k k ++-=22221211111(2),a a k k ⎛⎫⎛⎫++=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭12,k k ()22121aa+->a >(0,1)A 1a <…由，得所求离心率的取值范围为.13.（2107全国3卷理科10）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）.ABC．3D ．1313．解析 因为以12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，所以圆心到直线的距离d等于半径，即d a ==，又因为0,0a b >>，则上式可化简为223a b =.因为222b ac =-，可得()2223a a c =-，即2223c a =，所以c e a ==故选A. 14.（2018全国2卷理科12）已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为（ ）. A ．23B ．12C ．13D ．1414. 解析 由题意知，()1,0F c -，()2,0F c ，(),0A a -，直线AP的方程为)y x a =+，因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=，所以2122PF F F c ==，260PF x ∠=，设点P 的坐标为()00,x y ，则02cos 602x c c c =+⋅=，02sin603y c c =⋅=，将()2P c 代入)6y xa =+()26c a =+，所以4a c =，所以椭圆C 的离心率14c e a ==.故选D. 15.（2018上海13）设P 是椭圆22153x y +=上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）.（A ）（B ）（C ）（D ）15.解析 由题意得，a =，根据椭圆的定义可得点P 到两焦点的距离之和为2a=c e a===02e <…故选C.16.（2018北京理14）已知椭圆2222:1x y M a b +=，双曲线2222:1x y N m n-=.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为 ；双曲线N 的离心率为 .16.解析 设正六边形边长为t ；根据椭圆的定义)21a t =，22c t =，1ce a==椭圆.双曲线的渐近线方程为y =，b a ，所以=2c e a=双曲线.题型115 椭圆焦点三角形——暂无2019年1.（2019全国III 理15）设12F F ，为椭圆C 22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.1. 解析 设(,)M m n ，,0m n >，椭圆C ：22:13620x y C +=的6a =，b =，2c =，23c e a ==，由于M 为C 上一点且在第一象限，可得12||||MF MF >， 12MF F △为等腰三角形，可能1||2MF c =或2||2MF c =，即有2683m +=，即3m =，n = 2683m -=，即30m =-<，舍去．可得M .。
2019版高考数学理科 课标版一轮复习题组训练：第10章第4讲 直线与圆锥曲线的综合应用 含解析 精品
第四讲直线与圆锥曲线的综合应用题组1圆锥曲线中弦的相关问题1.[2015浙江,5,5分][理]如图10-4-1,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是()图10-4-1A.|BF|-1|AF|-1B.|BF|2-1|AF|2-1C.|BF|+1|AF|+1D.|BF|2+1|AF|2+12.[2015四川,10,5分][理]设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是()A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)3.[2014新课标全国Ⅱ,10,5分][理]设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为()A.334B.938C.6332D.944.[2013江西,14,5分][理]抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线x23-y23=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=.5.[2015山东,20,13分][理]平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,左、右焦点分别是F1,F2.以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C上.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设椭圆E:x24a +y24b=1,P为椭圆C上任意一点.过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A,B两点,射线PO交椭圆E于点Q.(i)求|OQ||OP|的值;(ii)求△ABQ面积的最大值.题组2直线与圆锥曲线的综合应用6.[2014辽宁,10,5分][理]已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为()A.12B.23C.34D.437.[2014湖南,14,5分]平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x=-1的距离相等.若机器人接触不到过点P(-1,0)且斜率为k的直线,则k的取值范围是.8.[2016四川,20,13分][理]已知椭圆E:x2a +y2b=1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线l:y=-x+3与椭圆E有且只有一个公共点T.(Ⅰ)求椭圆E的方程及点T的坐标;(Ⅱ)设O是坐标原点,直线l'平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A,B,且与直线l交于点P.证明:存在常数λ,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|,并求λ的值.9.[2015全国卷Ⅰ,20,12分][理]在直角坐标系xOy中,曲线C:y=x24与直线l:y=kx+a(a>0)交于M,N两点.(Ⅰ)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;(Ⅱ)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.A组基础题1.[2018中原名校高三第三次质量考评,11]已知双曲线x24-y22=1右焦点为F,P为双曲线左支上一点,点A(0,2),则△APF周长的最小值为() A.4(1+2) B.4+2C.2(2+6)D.6+322.[2018唐山市高三五校联考,10]直线l与双曲线C:x2a -y2b=1(a>0,b>0)交于A,B两点,M是线段AB的中点,若l与OM(O是原点)的斜率的乘积等于1,则此双曲线的离心率为() A.2 B. C.3 D.33. [2017郑州市第三次质量预测,10]椭圆x25+y24=1的左焦点为F,直线x=a与椭圆相交于点M,N,当△FMN的周长最大时,△FMN的面积是()A.55B.655C.855D.4554.[2017福建省高三质检,8]过抛物线y2=4x的焦点F的直线l交抛物线于A,B两点,交其准线于点C,且A,C位于x轴同侧,若|AC|=2|AF|,则|BF|等于()A.2B.3C.4D.55.[2018洛阳市尖子生第一次联考,20]如图10-4-2,点F是抛物线Γ:x2=2py(p>0)的焦点,点A是抛物线上的定点,且AF=(2,0),点B,C是抛物线上的动点,直线AB,AC的斜率分别为k1,k2.(1)求抛物线Γ的方程;(2)若k2-k1=2,点D是抛物线在点B,C处切线的交点,记△BCD的面积为S,证明S为定值.图10-4-26.[2017桂林、百色、梧州、崇左、北海五市联考,20]已知右焦点为F2(c,0)的椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(1,32),且椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点.(1)求椭圆C的方程;(2)过点(12,0)作直线l与椭圆C交于E,F两点,线段EF的中点为M,点A是椭圆C的右顶点,求直线MA的斜率k的取值范围.B组提升题7.[2018辽宁五校联考,12]一条动直线l与抛物线C:x2=4y相交于A,B两点,O为坐标原点,若AB=2AG,则(OA-OB)2-4OG2的最大值为()A.24B.16C.8D.-168.[2017广州市高三毕业班综合测试,8]已知F1,F2分别是椭圆C:x2a +y2b=1(a>b>0)的左、右焦点,若椭圆C上存在点P使∠F1PF2为钝角,则椭圆C的离心率的取值范围是()A.(22,1) B.(12,1) C.(0,22) D.(0,12)9.[2017合肥市三检,12]已知椭圆M:x2a2+y2=1,圆C:x2+y2=6-a2在第一象限有公共点P,设圆C在点P处的切线斜率为k1,椭圆M在点P处的切线斜率为k2,则k1k2的取值范围为()A.(1,6)B.(1,5)C.(3,6)D.(3,5)10.[2018湘东五校联考,20]已知椭圆C的中心在原点,离心率等于12,它的一个短轴端点恰好是抛物线x2=83y的焦点.(1)求椭圆C的方程;(2)如图10-4-3,已知P(2,3),Q(2,-3)是椭圆上的两点,A,B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点.①若直线AB的斜率为12,求四边形APBQ面积的最大值;②当A,B运动时,满足∠APQ=∠BPQ,试问直线AB的斜率是否为定值?请说明理由.图10-4-311.[2017天星第二次联考,20]已知椭圆C :x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率为 33,过右焦点F 的直线l与椭圆C 相交于A ,B 两点,当直线l 的斜率为1时,坐标原点O 到直线l 的距离为 22. (1)求椭圆C 的方程;(2)椭圆C 上是否存在点P ,使得当直线l 绕F 转到某一位置时,有OP =OA +OB 成立?若存在,求出所有满足条件的点P 的坐标与直线l 的方程;若不存在,请说明理由.答案1.A 由题可知抛物线的准线方程为x=-1.如图D 10-4-2所示,过A 作AA 2⊥y 轴于点A 2,过B 作BB 2⊥y 轴于点B 2,则S △BCF S △ACF=|BC ||AC |=|BB 2||AA 2|=|BF |-1|AF |-1.故选A .图D 10-4-22.D 当直线l 的斜率不存在时,这样的直线l 恰有2条,即x=5±r ,此时0<r<5,所以当直线l 的斜率存在时,这样的直线l 有2条即可.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x 0,y 0),则 x 1+x 2=2x 0,y 1+y 2=2y 0.又y 12=4x 1,y 22=4x 2,两式相减得(y 1+y 2)(y 1-y 2)=4(x 1-x 2),则k AB =y 1-y 2x 1-x 2=4y 1+y 2=2y 0.设圆心为C (5,0),则k CM =y 0x 0-5.因为直线l 与圆相切,所以2y 0·y0x 0-5=-1,解得x 0=3,于是y 02=r 2-4,r>2,又y 02<4x 0,即r 2-4<12,所以0<r<4,又0<r<5,r>2,所以2<r<4,故选D .3.D 易知抛物线中p=32,焦点F (34,0),直线AB 的斜率k= 33,故直线AB 的方程为y= 33(x-34),代入抛物线方程y 2=3x ,整理得x 2-212x+916=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=212.由抛物线的定义可得弦长|AB|=x 1+x 2+p=212+32=12,结合图形(图略)可得O 到直线AB 的距离d=p2sin 30°=38,所以△OAB 的面积S=12|AB|·d=94.故选D .4.6 由x 2=2py (p>0)得焦点F (0,p 2),准线l 为y=-p2,所以可求得抛物线的准线与双曲线x 23-y 23=1的交点 A (- 12+p 22,-p2),B (12+p 22,-p2),所以|AB|= 12+p 2,若△ABF 为等边三角形,则|AF|=|AB|= 12+p 2,p|AF |=sin π3,即2= 32,解得p=6.5.(Ⅰ)由题意知2a=4,则a=2. 又ca= 32,a 2-c 2=b 2,可得b=1,所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(Ⅱ)由(Ⅰ)知椭圆E 的方程为x 216+y 24=1.(i)设P (x 0,y 0),|OQ ||OP |=λ,由题意知Q (-λx 0,-λy 0).因为x 024+y 02=1,又(-λx 0)216+(-λy 0)24=1,即λ24(x 024+y 02)=1,所以λ=2,即|OQ ||OP |=2. (ii)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).将y=kx+m 代入椭圆E 的方程,可得(1+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-16=0. 由Δ>0,可得m 2<4+16k 2 ①, 则有x 1+x 2=-8km1+4k ,x 1x 2=4m 2-161+4k ,所以|x 1-x 2|=4 16k 2+4-m 21+4k 2.因为直线y=kx+m 与y 轴交点的坐标为(0,m ), 所以△OAB 的面积S=12|m||x 1-x 2|=2 16k 2+4-m 2|m |1+4k=2 (16k 2+4-m 2)m 21+4k=2(4-m21+4k2)m2 1+4k2.设m 21+4k=t,将y=kx+m代入椭圆C的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,由Δ≥0,可得m2≤1+4k2②.由①②可知0<t≤1.因此S=2(4-t)t=2-t2+4t.故S≤23,当且仅当t=1,即m2=1+4k2时取得最大值23.由(i)知,△ABQ面积为3S,所以△ABQ面积的最大值为63.6.D因为A(-2,3)在抛物线y2=2px的准线上,所以-p2=-2,所以p=4,所以y2=8x,设直线AB的方程为x=k(y-3)-2①,将①与y2=8x联立,得x=k(y-3)-2,y2=8x,消去x,得y2-8ky+24k+16=0②,则Δ=(-8k)2-4(24k+16)=0,即2k2-3k-2=0,解得k=2或k=-12(舍去),将k=2代入①②解得x=8,y=8,即B(8,8),又F(2,0),所以k BF=8-08-2=43,故选D.7.(-∞,-1)∪(1,+∞)由题意可知机器人的轨迹为一抛物线,其轨迹方程为y2=4x,过点P(-1,0)且斜率为k的直线方程为y=k(x+1),由题意知直线与抛物线无交点,联立直线与抛物线的方程,消去y得k2x2+(2k2-4)x+k2=0,则Δ=(2k2-4)2-4k4<0,所以k2>1,解得k>1或k<-1.8.(Ⅰ)由已知,a=2b,则椭圆E的方程为x22b2+y2b2=1.由方程组x22b+y2b=1,y=-x+3,得3x2-12x+(18-2b2)=0①.方程①的根的判别式为Δ=24(b2-3),由Δ=0,得b2=3, 此时方程①的解为x=2,所以椭圆E的方程为x 26+y23=1,点T的坐标为(2,1).(Ⅱ)由已知可设直线l'的方程为y=12x+m(m≠0),由方程组y=12x+m,y=-x+3,可得x=2-2m3,y=1+2m3,所以点P的坐标为(2-2m3,1+2m3),|PT|2=89m2.设点A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2).由方程组x26+y23=1,y=12x+m,可得3x2+4mx+(4m2-12)=0②.方程②的根的判别式为Δ=16(9-2m2),由Δ>0,解得-322<m<322.由②得x1+x2=-4m3,x1x2=4m2-123,所以|PA|=(2-2m3-x1)2+(1+2m3-y1)2=52|2-2m3-x1|,同理|PB|=52|2-2m3-x2|,所以|PA|·|PB|=54|(2-2m3-x1)(2-2m3-x2)|=5 4|(2-2m3)2-(2-2m3)(x1+x2)+x1x2|=5 4|(2-2m3)2-(2-2m3)(-4m3)+4m2-123|=109m2.故存在常数λ=45,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|.9.(Ⅰ)由题设可得M(2a,a),N(-2a,a)或M(-2a,a),N(2a,a).又y=x 24,得y'=x2,故y=x24在x=2a处的导数值为a,C在点(2a,a)处的切线方程为y-a=a(x-2a),即a x-y-a=0.y=x24在x=-2a处的导数值为-a,C在点(-2a,a)处的切线方程为y-a=-a(x+2a),即a x+y+a=0.故所求切线方程为a x-y-a=0和a x+y+a=0.(Ⅱ)存在符合题意的点,证明如下:设P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.将y=kx+a代入C的方程得x2-4kx-4a=0,故x1+x2=4k,x1x2=-4a.从而k1+k2=y1-bx1+y2-bx2=2kx1x2+(a-b)(x1+x2)x1x2=k(a+b)a.当b=-a时,有k1+k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,故∠OPM=∠OPN,所以点P(0,-a)符合题意.A组基础题1.A设双曲线左焦点为F',由题意得点F(6,0),|AF|=22,a=2,△APF的周长l=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+2a+|PF'|+|AP|,要使△APF的周长最小,只需|AP|+|PF'|最小,如图D 10-4-3,当A,P,F'三点共线时取到最小值,故l=2a+2|AF|=4(1+2).故选A.图D 10-4-32.B设直线l与双曲线C:x2a -y2b=1(a>0,b>0)的交点A(x1,y1),B(x2,y2),易知x1≠x2,则x12 a -y12b=1(a>0,b>0)①,x22a-y22b=1(a>0,b>0)②,②-①得x12-x22a=y12-y22b,即(y1-y2)(y1+y2)(x1-x2)(x1+x2)=b2a,因为l与OM的斜率的乘积等于1,所以b2a =1,双曲线的离心率e=1+b2a=2,故选B.3.C 设椭圆的右焦点为E ,由椭圆的定义知△FMN 的周长为L=|MN|+|MF|+|NF|=|MN|+(2 )+(2 ).因为|ME|+|NE|≥|MN|,所以|MN|-|ME|-|NE|≤0,当直线MN 过点E 时取等号,所以L=4 +|MN|-|ME|-|NE|≤4 即直线x=a 过椭圆的右焦点E 时,△FMN 的周长最大,此时S △FMN =12×|MN|×|EF|=12×5×2=8 55,故选C .4.C 设抛物线的准线与x 轴交于点D ,则由题意,知F (1,0),D (-1,0),分别作AA 1,BB 1垂直于抛物线的准线,垂足分别为A 1,B 1,则有|AC ||FC |=|AA 1||FD |,所以|AA 1|=43,故|AF|=43.又|AC ||BC |=|AA 1||BB 1|,即|AC ||AC |+|AF |+|BF |=|AF ||BF |,亦即2|AF |3|AF |+|BF |=|AF ||BF |,解得|BF|=4,故选C .5.(1)设A (x 0,y 0),由题意知F (0,p2),所以AF =(-x 0,p 2-y 0)=(2,0),所以 x 0=-2,y 0=p 2,代入x 2=2py (p>0),得4=p 2,解得p=2,所以抛物线的方程是x 2=4y.(2)过D 作y 轴的平行线交BC 于点E ,设B (x 1,x 124),C (x 2,x 224), 由(1)知A (-2,1),所以k 2-k 1=x 224-1x 2+2-x 124-1x 1+2=x 2-x 14,又k 2-k 1=2,所以x 2-x 1=8.由x 2=4y ,得y'=x2,因为B ,C 为抛物线的切点,所以直线BD :y=x 12x-x 124 ①,直线CD :y=x22x-x 224 ②,联立①②,解得x D =x 1+x 22,y D =x 1x 24.而k BC =x 224-x 124x2-x 1=x 2+x 14,所以直线BC 的方程为y-x 124=x 1+x 24·(x-x 1),由于x E =x D ,所以将x D 代入直线BC的方程,得y E =x 12+x 228,所以S=12|DE|(x 2-x 1)=12(y E -y D )(x 2-x 1)=12·(x 2-x 1)28·(x 2-x 1)=32. 故S 为定值.6.(1)∵椭圆C过点(1,32),∴1a+94b=1①.∵椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点,∴a=2c.∵a2=b2+c2,∴b2=34a2②.由①②得a2=4,b2=3,∴椭圆C的方程为x 24+y23=1.(2)依题意,直线l过点(12,0)且斜率不为零,故可设其方程为x=my+12.由x=my+12,x24+y23=1,消去x,整理得4(3m2+4)y2+12my-45=0.设E(x1,y1),F(x2,y2),M(x0,y0),则y1+y2=-3m3m2+4,∴y0=y1+y22=-3m2(3m2+4),∴x0=my0+12=23m2+4,∴k=y0x0-2=m4m+4.①当m=0时,k=0;②当m≠0时,k=14m+4m,∵|4m+4m |=4|m|+4|m|≥8,∴0<1|4m+4m|≤18,∴0<|k|≤18,∴-18≤k≤18且k≠0.综合①②可知,直线MA的斜率k的取值范围是[-18,1 8 ].B组提升题7.B 由AB =2AG ,知G 是线段AB 的中点,∴OG =12(OA +OB ),∴(OA -OB )2-4OG 2=(OA -OB )2-(OA +OB )2=-4OA ·OB .由A ,B 是动直线l 与抛物线C :x 2=4y 的交点,不妨设A (x 1,x 124),B (x 2,x 224),∴-4OA ·OB=-4(x 1x 2+x 12x 2216)=-4[(x 1x 24+2)2-4]=16-4(x 1x 24+2)2≤16,即(OA -OB )2-4OG 2的最大值为16,故选B .8.A 解法一 设P (x 0,y 0),由题易知|x 0|<a ,因为∠F 1PF 2为钝角,所以PF 1 ·PF 2 <0有解,即c 2>x 02+y 02有解,即c 2>(x 02+y 02)min ,又y 02=b 2-b 2a2x 02,x 02<a 2,故x 02+y 02=b 2+c 2a2x 02∈[b 2,a 2),所以(x 02+y 02)min =b 2,故c 2>b 2,又b 2=a 2-c 2,所以e 2=c 2a 2>12,解得e> 22,又0<e<1,故椭圆C 的离心率的取值范围是( 22,1),选A.解法二 椭圆上存在点P 使∠F 1PF 2为钝角⇔以原点O 为圆心,以c 为半径的圆与椭圆有四个不同的交点⇔b<c.如图D 10-4-4,由b<c ,得a 2-c 2<c 2,即a 2<2c 2,解得e=ca > 22,又0<e<1,故椭圆C 的离心率的取值范围是( 22,1),选A.图D 10-4-49.D 由于椭圆M :x 2a +y 2=1,圆C :x 2+y 2=6-a 2在第一象限有公共点P ,所以 a 2>6-a 2,6-a 2>1,解得3<a 2<5.设椭圆M :x 2a2+y 2=1与圆C :x 2+y 2=6-a 2在第一象限的公共点P (x 0,y 0),则椭圆M 在点P处的切线方程为x 0xa 2+y 0y=1,圆C 在点P 处的切线方程为x 0x+y 0y=6-a 2,所以k 1=-x 0y 0,k 2=-x 0a 2y 0,k 1k 2=a 2,所以k1k2∈(3,5),故选D . 10.(1)设椭圆C 的方程为x 2a +y 2b =1(a>b>0),则b=2 3. 由ca =12,a 2=c 2+b 2,得a=4, ∴椭圆C 的方程为x 2+y 2=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).①设直线AB的方程为y=12x+t,代入x 216+y212=1,得x2+tx+t2-12=0,由Δ>0,解得-4<t<4,由一元二次方程根与系数的关系得x1+x2=-t,x1x2=t2-12,∴|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=t2-4(t2-12)=48-3t2.∴四边形APBQ的面积S=12×6×|x1-x2|=348-3t2.∴当t=0时,S取得最大值,且S max=123.②若∠APQ=∠BPQ,则直线PA,PB的斜率之和为0,设直线PA的斜率为k,则直线PB的斜率为-k,直线PA的方程为y-3=k(x-2),由y-3=k(x-2),x216+y212=1,得(3+4k2)x2+8(3-2k)kx+4(3-2k)2-48=0,∴x1+2=8(2k-3)k3+4k,将k换成-k可得x2+2=-8k(-2k-3)3+4k2=8k(2k+3)3+4k2,∴x1+x2=16k2-123+4k2,x1-x2=-48k3+4k2,∴k AB=y1-y2x1-x2=k(x1-2)+3+k(x2-2)-3x1-x2=k(x1+x2)-4kx1-x2=12,∴直线AB的斜率为定值12.11.(1)设F(c,0)(c>0),直线l:x-y-c=0,由坐标原点O到直线l的距离为22,得2=22,解得c=1.又e=ca =33,所以a=3,b=2.所以椭圆C的方程为x 2+y2=1.(2)椭圆C上存在点P,使得当直线l绕F转到某一位置时,有OP=OA+OB成立.由(1)知椭圆C的方程为2x2+3y2=6,设A(x1,y1),B(x2,y2).(i)当直线l不垂直x轴时,设直线l的方程为y=k(x-1),椭圆C上的点P满足OP=OA+OB的充要条件是点P的坐标为(x1+x2,y1+y2),且2(x1+x2)2+3(y1+y2)2=6,整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6,又点A,B在椭圆C上,故2x12+3y12=6,2x22+3y22=6,故2x1x2+3y1y2+3=0①,将y=k(x-1)代入2x2+3y2=6,化简整理得(2+3k2)x2-6k2x+3k2-6=0,于是x1+x2=6k22+3k ,x1x2=3k2-62+3k,故y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=-4k22+3k,将其代入①化简得k2=2,此时x1+x2=32,于是y1+y2=k(x1+x2-2)=-k2,即P(32,-k2).因此,当k=-2时,P(32,22),直线l的方程为2x+y-2=0;当k=2时,P(32,-22),直线l的方程为2x-y-2=0.(ii)当直线l垂直于x轴时,由OA+OB=(2,0)知,椭圆C上不存在点P使OP=OA+OB成立.综上,椭圆C上存在点P(32,±22),使OP=OA+OB成立,此时直线l的方程为2x±y-2=0.。
高考数学异构异模复习第十章圆锥曲线与方程10.1.2椭圆
2．已知椭圆10x－2 m＋my－2 2＝1 的焦距为 4，则 m 等于(
)
A．4
B．8
C．4 或 8
D．以上均不对
10－m>0 解析 由m－2>0 ，得 2<m<10， 由题意知(10－m)－(m－2)＝4 或(m－2)－(10－m)＝4， 解得 m＝4 或 m＝8.
3．已知椭圆的焦点在 y 轴上，若椭圆x22＋ym2＝1 的离心率为12，则 m 的值是(
第十章 圆锥曲线与方程
第1讲 椭圆及其性质
考点二 椭圆的几何性质
撬点·基础点 重难点
1 椭圆的几何性质 标准方程
图形
ax22＋by22＝1(a>b>0)
ay22＋bx22＝1(a>b>0)
标准方程
ax22＋by22＝1(a>b>0)
ay22＋bx22＝1(a>b>0)
范围
－a≤x≤a －b≤y≤b
)
2
4
A.3
B.3
5
8
C.3
D.3
解析 由题意知 a2＝m，b2＝2，∴c2＝m－2. ∵e＝12，∴ac22＝14，∴m－m 2＝14，∴m＝83.
撬法·命题法 解题法
[考法综述] 椭圆的几何性质非常丰富，尤其对于离心率的考查是高考热点．本考点对数形结合思
想的要求很高，方法灵活．
命题法 求椭圆的离心率或范围
率为 e＝ac＝ 3|2PF2|·3|P2F2|＝ 33.故选 D.
(2)∵|AF1|＝a－c，|BF1|＝a＋c，|F1F2|＝2c，则有
4c2＝(a－c)(a＋c)，得
e＝ac＝
5 5.
【解题法】 与椭圆的离心率有关问题的解题策略
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2017高考数学一轮复习 第十章 圆锥曲线与方程 10.1 椭圆及其性质课时练 理 时间：60分钟 基础组 1.[2016·冀州中学仿真]若曲线ax2＋by2＝1为焦点在x轴上的椭圆，则实数a，b满足( )
A．a2>b2 B.1a<1b C．0答案 C
解析 由ax2＋by2＝1，得x21a＋y21b＝1，因为焦点在x轴上，所以1a>1b>0，所以0
2．[2016·武邑中学预测]设F1、F2分别是椭圆x24＋y2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使(OP→＋OF2→)·PF2→＝0(O为坐标原点)，则△F1PF2的面积是( ) A．4 B．3 C．2 D．1 答案 D
解析 ∵(OP→＋OF2→)·PF2→＝(OP→＋F1O→)·PF2→＝F1P→·PF2→＝0，∴PF1⊥PF2，∠F1PF2＝90°. 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝4，m2＋n2＝12,2mn＝4，∴S△F1PF2＝12mn＝1，故选D. 3．[2016·衡水二中模拟]已知点P是椭圆x216＋y28＝1(x≠0，y≠0)上的动点，F1、F2分
别为椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的平分线上一点，且F1M→·MP→＝0，则|OM→|的取值范围是( ) A．[0,3) B．(0,22) C．[22，3) D．(0,4] 答案 B
解析 延长F1M交PF2或其延长线于点G. ∵F1M→·MP→＝0，∴F1M→⊥MP→，又MP为∠F1PF2的平分线，∴|PF1|＝|PG|且M为F1G的中点，∵O为F1F2的中点，
∴OM綊12F2G.∵|F2G|＝|PG|－|PF2|＝||PF1|－|PF2||，∴|OM→|＝12|2a－2|PF2||＝|4－|PF2||. ∵4－22<|PF2|<4或4<|PF2|<4＋22，∴|OM→|∈(0,22)． 4．[2016·枣强中学期末]在△ABC中，AB＝BC，cosB＝－718.若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率为( ) A.34 B.37
C.38 D.318 答案 C 解析 依题意知AB＝BC＝2c，AC＝2a－2c，在△ABC中，由余弦定理得(2a－2c)2＝8c2
－2×4c2×－718，故16e2＋18e－9＝0，解得e＝38. 5．[2016·衡水二中仿真]如图，F1，F2是双曲线C1：x2－y23＝1与椭圆C2的公共焦点，点A是C1，C2在第一象限的公共点．若|F1F2|＝|F1A|，则C2的离心率是( )
A.13 B.23 C.15 D.25 答案 B 解析 由题知|AF1|＋|AF2|＝2a(设a为椭圆的长半轴)，|AF1|－|AF2|＝2，而|F1F2|＝
|F1A|＝4，因此可得2×|F1A|＝2a＋2，∴8＝2a＋2，∴a＝3，又c＝2，故C2的离心率e＝23.
6．[2016·枣强中学期中]已知F1，F2分别是椭圆x24＋y23＝1的左、右焦点，A是椭圆上一动点，圆C与F1A的延长线、F1F2的延长线以及线段AF2相切，若M(t,0)为一个切点，则( ) A．t＝2 B．t>2 C．t<2 D．t与2的大小关系不确定 答案 A 解析 如图，P，Q分别是圆C与F1A的延长线、线段AF2相切的切点，|MF2|＝|F2Q|＝2a－(|F1A|＋|AQ|)＝2a－|F1P|＝2a－|F1M|，即|F1M|＋|MF2|＝2a，所以t＝a＝2.故选A.
7．[2016·冀州中学猜题]椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF＝α，且α∈π12，π4，则该椭圆离心率的取值范围为( ) A.22，63 B.22，32 C.63，1 D.22，1 答案 A 解析 由题知AF⊥BF，根据椭圆的对称性，AF′⊥BF′(其中F′是椭圆的左焦点)，因此四边形AFBF′是矩形，于是|AB|＝|FF′|＝2c，|AF|＝2csinα，根据椭圆的定义，|AF|
＋|AF′|＝2a，∴2csinα＋2ccosα＝2a，∴e＝ca＝1sinα＋cosα＝12sinα＋π4，而α
∈π12，π4， ∴α＋π4∈π3，π2，∴sinα＋π4∈32，1，故e∈22，63，故选A. 8. [2016·武邑中学仿真]已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)、F2(c,0)，若椭圆上存在点P使asin∠PF1F2＝csin∠PF2F1，则该椭圆离心率的取值范围为( )
A．(0，2－1) B.22，1 C.0，22 D．(2－1,1) 答案 D 解析 根据正弦定理得|PF2|sin∠PF1F2＝|PF1|sin∠PF2F1，所以由asin∠PF1F2＝csin∠PF2F1可得a|PF2|＝c|PF1|，即|PF1||PF2|＝ca＝e，所以|PF1|＝e|PF2|，又|PF1|＋|PF2|＝e|PF2|＋|PF2|＝
|PF2|·(e＋1)＝2a，则|PF2|＝2ae＋1，因为a－c<|PF2|分式中的分母为0，无意义)，所以a－c<2ae＋1＋e，即 －e＋e，＋e2，解得2－19．[2016·衡水中学模拟]已知椭圆的焦点在x轴上，一个顶点为A(0，－1)，其右焦点到直线x－y＋22＝0的距离为3，则椭圆的方程为________．
答案 x23＋y2＝1 解析 据题意可知椭圆方程是标准方程，故b＝1.设右焦点为(c,0)(c>0)，它到已知直线的距离为|c＋22|2＝3，解得c＝2，所以a2＝b2＋c2＝3，故椭圆的方程为x23＋y2＝1.
10．[2016·冀州中学期中]如图，焦点在x轴上的椭圆x24＋y2b2＝1的离心率e＝12，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点．则PF→·PA→的最大值为________．
答案 4 解析 设P点坐标为(x0，y0)．由题意知a＝2，
∵e＝ca＝12，c＝1，∴b2＝a2－c2＝3.
故所求椭圆方程为x24＋y23＝1. ∴－2≤x0≤2，－3≤y0≤3. ∵F(－1,0)，A(2,0)，
PF→＝(－1－x0，－y0)，PA→＝(2－x0，－y0)，
∴PF→·PA→＝x20－x0－2＋y20＝14x20－x0＋1＝14(x0－2)2. 即当x0＝－2时，PF→·PA→取得最大值4. 11．[2016·衡水中学仿真]已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左、右焦
点分别为F1和F2，且|F1F2|＝2，点1，32在该椭圆上． (1)求椭圆C的方程； (2)过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AF2B的面积为1227，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程． 解 (1)由题意知c＝1,2a＝32＋322＋22＝4，a＝2，故椭圆C的方程为x24＋y23＝1. (2)①当直线l⊥x轴时，可取A－1，－32，B－1，32，△AF2B的面积为3，不符合题意． ②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，代入椭圆方程得(3＋4k2)x2
＋8k2x＋4k2－12＝0，显然Δ>0成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－8k23＋4k2，x1·x2
＝4k2－123＋4k2，可得|AB|＝k2＋3＋4k2，
又圆F2的半径r＝2|k|1＋k2，∴△AF2B的面积为12|AB|r＝12|k|k2＋13＋4k2＝1227，化简得：17k4＋k2－18＝0，得k＝±1， ∴r＝2，圆的方程为(x－1)2＋y2＝2.
12．[2016·枣强中学预测]如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.
(1)若点C的坐标为43，13，且BF2＝2，求椭圆的方程； (2)若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值． 解 设椭圆的焦距为2c，则F1(－c,0)，F2(c,0)． (1)因为B(0，b)，所以|BF2|＝b2＋c2＝a. 又|BF2|＝2，故a＝2.
因为点C43，13在椭圆上，所以169a2＋19b2＝1.解得b2＝1. 故所求椭圆的方程为x22＋y2＝1. (2)因为B(0，b)，F2(c,0)在直线AB上， 所以直线AB的方程为xc＋yb＝1.
解方程组 xc＋yb＝1，x2a2＋y2b2＝1，得 x1＝2a2ca2＋c2，y1＝bc2－a2a2＋c2，或 x2＝0，y2＝b. 所以点A的坐标为2a2ca2＋c2，bc2－a2a2＋c2. 又AC垂直于x轴，由椭圆的对称性，可得点C的坐标为2a2ca2＋c2，ba2－c2a2＋c2.
因为直线F1C的斜率为ba2－c2a2＋c2－02a2ca2＋c2－－c＝ba2－c23a2c＋c3，直线AB的斜率为－bc，且F1C⊥AB，所以ba2－c23a2c＋c3·－bc＝－1.
又b2＝a2－c2，整理得a2＝5c2.故e2＝15.因此e＝55. 能力组 13. [2016·冀州中学一轮检测]过椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)左焦点F，且斜率为1的直线
交椭圆于A，B两点，向量OA→＋OB→与向量a＝(3，－1)共线，则该椭圆的离心率为( ) A.33 B.63
C.34 D.23 答案 B 解析 设椭圆的左焦点为F(－c,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则OA→＋OB→＝(x1＋x2，y1＋y2)，直线AB的方程为y＝x＋c，代入椭圆方程并整理得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2c2－a2b2＝0.
由韦达定理得x1＋x2＝－2a2ca2＋b2，所以y1＋y2＝x1＋x2＋2c＝2b2ca2＋b2.
根据OA→＋OB→与a＝(3，－1)共线，得x1＋x2＋3(y1＋y2)＝0，