湖南省长郡中学2020届高考模拟卷(二)数学(理科)试题(详解版)
2020届湖南省长郡中学高三第一次模拟考试数学(理)试卷
2020届湖南省长郡中学高三第一次模拟考试数学（理科）试卷 ★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I 卷客观题一、选择题：(本大题共12题，每小题5分，共60分){}{}21.A |,|(1)A ()A [0,1]B [0,1)C (-,1) D(-,1)x y x x B x y ln x B =-==-⋂=∞∞已知集合=集合,求()=x f .2{1,log 1,22≥<x x xx，()=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛21f f 求 1.A 21.B 41.C2.-D()()()=⊥⎪⎭⎫ ⎝⎛+-==→→→→→m b b a b m a ,,1,32,1.3和向量向量213.A 67.B 67.-C 213.-D 4.2sin 2()6.() B.x=().().()2828212212y x k k k k A x k Z k Z C x k Z D x k Z πππππππππ==-∈+∈=-∈=+∈将图像左移个单位后，对称轴为()()()()()()=⋅+=0,12,.5''2'f f x x x f x f x f 则且的导函数为设函数0.A 4.-B 2.-C 2.D()()题中一定为真命题的是不是偶函数，则下列命的函数若定义域为x f R .6()()x f x f R x A ≠-∈∀,. ()()x f x f R x B =-∈∀,. ()()x f x f R x C ≠-∈∃,. ()()x f x f R x D =-∈∃,.()=⋅→→BD AE CD E ABCD 中点，则向量为，的边长为正方形1.721.-A 21.B 0.C 1.D32228.()(1)1(1564,),()2()A.-3.3.8.8f x a x mx m m mg x ax mx B C D =-++++=+-偶函数的定义域为则的最小值29.1,1,0,01000001A.5000.6667.7500.7854x y x y x y y y B C D ====-==在围成的的正方形中随机投掷个点，则落入曲线与和轴围成的区域的点的个数的估计值为（）10.tan()2()4.0.211A B C D πθθθ+=--=-()=x f .11()⎩⎨⎧<--≥1,23121,log x a x a x x a ()的取值范围为上的增函数，则是a R()1,0.A (]2,1.B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡31,71.C ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,71.D2212.,[0,),411..2.1.42x y x y x y ax e a A B C D +---∀∈+∞≤若不等式+e +2恒成立，则的最大值是（）第II 卷主观题二．填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)()()()处的切线斜率为在函数114ln 1.13=--+=x x x x x f314.cos(),(,),cos 352ππααπα+==--=15.:44,:(2)(3)0,p x a q x x p q a -<-<-->⌝⌝已知命题若是的充分不必要条件，求的取值范围==+αααtan ,3cos 2sin .16则三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）()()()()()().21300430,0cos .17解析式求值；求上单调，对称点，且在是一个，上的奇函数，其中点为函数x f R x x f ϕπππϕωϕω⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛≤≤>+=()()()()()[].3,021,44.1823上的最值在求的单调区间；求x f x f x x x x f +-=()()()()()()()().12123,0sin ,sin 3,cos ,sin .19的取值范围有零点，求函数的值；时，求当最小正周期为已知向量m m x f x g b a x f x x b x x a ++=-⋅=>==ωπωωωωω()()()()()()().2,121.033.2023的取值范围是增函数，求在区间若函数的单调性；讨论函数函数a x f x f a x x ax x f ≠++=211121.()=sin 2sin cos cos sin(),(),(,)2222264(1)(2)()()(),844f x x x y f x y g x g x x ππππϕϕϕϕπππϕ⋅+⋅-+-<<⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦函数其图像过定点求值；将的图像左移个单位后得到，求在上的最大和最小值及此时对应的取值是多少？2()2,()(1)()()()1()x f x x x g x xe f x g x x f x ag x a =+=-∈+≥22.已知求的极值.(2)当(-2,0)时，恒成立，求的取值范围.数学（理）答案及评分标准1-5 BBADB 6-10CBCBA 11B 12D 13.-2 14.10343- 15.[]6,1- 16.2217.（1）解:—————2分是R 上的奇函数, , ———————————1分,2πϕ=———————————1分（2）图象关于对称, ,,, ,.① ———————————2分又在上是单调函数, , ——————2分,②, ——————2分18.解：（1）()()()()()()()⎪⎭⎫⎝⎛∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛∞∴<<<><>--=+-=232232-23202320232483''2'，单减区间为，和，单增区间为得令或得令x f x x f x x x f x x x x x f ——————6分（2）()()()()()()3,033,02,273232,002320max min '==∴===⎪⎭⎫ ⎝⎛====x f x f f f f f x x x f 或得令 ——————6分19. 解:(1)()122.32sin 232sin 2122cos 1323cos sin sin 3232=∴==⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+-=-⋅+=-⋅=ωπωππωωωωωωT x x x x x x b a x f ——————6分 （2）()()()[]()[]()[][]0,21,111,111,11-∈∴-∈+∴-∈+-∴-∈+-=m m m x f m x f 又有根由题知 ——————6分20. 解： （1），的判别式△=36（1-a ） ————1分（i ）若a≥1，则，此时f （x ）在R 上是增函数. ————1分（ii ）由于a≠0，故当a<1时，有两个根：， ————1分若0<a<1,则当x ∈（－，）或x ∈（，+）时，，故f （x ）在（－，），（，+）上是增函数； 当x ∈（，）时，，故f （x ）在（，）上是减函数； ————1分a<0时，当x ∈（－，）或x ∈（，+）时， ()0'<x f ，故f （x ）在（－，），（，+）上是减函数； 当x ∈（，）时，，故f （x ）在（，）上是增函数； ————2分（2）当a>0，x>0时, ，>0所以当a>0时，f （x ）在区间（1，2）是增函数. ————2分 若a<0时，f （x ）在区间（1,2）是增函数当且仅当且，————2分解得.综上，a 的取值范围是. ———2分21. （1）()()213cos 3cos 21414162cos 21cos 2cos 21sin 2sin 21cos 21cos 22cos 1sin 2sin 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴⎪⎭⎫⎝⎛-=∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅+⋅=-⋅++⋅=ϕπϕππϕϕϕϕϕϕ，图像过点又 x x x x x x f22-23-23-3=∴⎪⎭⎫⎝⎛∈∈++=∴ϕππϕππππϕπ，又）（或Z k k k ————6分（2）由（1）知()()()()21804242443424344242cos 2182cos 21,2cos 21max min =-==+-===+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==x g x x x g x x x x x x g x x f 时，时，即当时，时，即当，ππππππππππ ————6分 22.解：（1）令h(x)=f(x)-g(x)=x 2+2x-xe x， 则h′(x)=(x+1)(2-e x)，令h′(x)=0，解得x=-1或x=ln2. ————2分 当x 变化时，h′(x)与h(x)的变化情况如下表：————2分所以h(x)极小值=h(-1)=-1，h(x)极大值=h(ln2)=ln 22. ———2分（2）由题意知，当x ∈（-2，0）时，x 2+2x+1≥axe x恒成立，即a≥， ———2分则t′(x)=， ———1分所以当x ∈（-2，-1）时，t′(x)＞0，t(x)单调递增；当x∈（-1，0）时，t′(x)＜0，t(x)单调递减，故当x∈（-2，0）时，t(x)max=t(-1)=0，所以a≥0. ————3分。
2020届长郡中学高三第2次月考试卷-理数试卷
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理科数学试题!长郡版"第!" 页!共"页"
理科数学试题!长郡版"第!4 页!共"页"
!5!本小题满分!#分 已知定义域为 的单调函数+#是奇函数当#'$时+#'#+(##! !求+#的解析式! #若对任意的2)不等式+2#(#23+#2#(3%$恒成立求实数 3的取值范围!
2020届长郡中学高三第2次月考试卷-理数试卷及答案
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理科数学试题!长郡版"第!4 页!共"页"
!5!本小题满分!#分 已知定义域为 的单调函数+#是奇函数当#'$时+#'#+(##! !求+#的解析式! #若对任意的2)不等式+2#(#23+#2#(3%$恒成立求实数 3的取值范围!
2020届长郡中学高三第2次月考试卷-理数答案
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2020届湖南省长郡中学高三第六次模拟考试数学(理)试题
- 1 - 2020届湖南省长郡中学高三第六次模拟考试 数学试卷（理科） ★祝考试顺利★ 注意事项：
1、考试范围：高考范围。 2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。 3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。 4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。 5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。 6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（共60分） 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、已知集合12345,246AB，，，，，，， PAB，则集合P的子集有（ ） A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 8个 2、不等式1121xx的解集为（ ）
A. 1,2,2 B. 12,2 C. 1,2,2 D. 12,2 3．已知ba，0c，那么下列不等式成立的是（ ） A．22ba B. ba11 C. cbca D. cbca 4．已知ABC中，3263B,c,b，那么角A大小为（ ） A．6 B. 12 C. 3 D. 4 - 2 -
2020年湖南省长沙市长郡中学高考数学模拟试卷(文科)(二) (解析版)
2020年湖南省长沙市长郡中学高考数学模拟试卷(文科)(二)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知A ={−2,−1,0，1，2}，B ={x|2x −1>0}，则A ∩B =( )A. {−2,−1,0，1，2}B. {0,1，2}C. {0,1}D. {1,2}2. 如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则复数z 1+2z 2=( )A. −2+iB. −2+3iC. 1+2iD. −13. 已知命题p:∃x 0∈R ，sinx 0≤1，则命题p 的否定是( )A. ∀x ∈R,sinx >1B. ∃x ∈R,sinx ≥1C. ∃x ∈R,sinx ≥1D. ∀x ∈R,sinx >14. 设a =214,b =(15)0.2,c =log 136，则( )A. a <b <cB. c <b <aC. c <a <bD. b <a <c5. “搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．如图是2018年9月到2019年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图．根据该走势图，下列结论正确的是( )A. 这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B. 这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C. 从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差D. 从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值6.执行如图所示的程序框图，程序所输出的结果是()A. 4B. 10C. 46D. 227.已知sinα=35,α∈(0,π2)，则tan(7π4+α)=()A. 17B. −17C. −15D. 158.直线4x−3y=0被圆(x−1)2+(y−3)2=10所截得弦长为()A. 3B. 3√2C. 6D. 6√29.已知数列{a n}中，a2=32，a5=98，且{1an−1}是等差数列，则a7=()A. 109B. 1110C. 1211D. 131210.如图，边长为1正方形ABCD，射线BP从BA出发，绕着点B顺时针方向旋转至BC，在旋转的过程中，记∠ABP=x(x∈[0,π2])，BP所经过的在正方形ABCD内的区域(阴影部分)的面积为y=f(x)，则函数f(x)的图象是()A. B.C. D.11. 已知长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =AD =2，AA 1=4，M 是BB 1的中点，点P 在长方体内部或表面上，且平面AB 1D 1，则动点P 的轨迹所形成的区域面积是( )A. 6B. 4√2C. 4√6D. 912. 过双曲线C ：x 2a 2−y2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点F 且斜率为12的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，与y 轴交于M 点，若2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线C 的离心率等于( )A. √10B. √13C. √102 D. √132二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 同时抛掷两枚均匀的骰子，所得点数之和为8的概率是______ ． 14. 设函数f(x)={(12)x ,x ≤0log 2x,x >0，则f(−2)= ______ ；使f(a)<0的实数a 的取值范围是______ ．15. 已知数列{a n }满足a 1=0，a n+1=a n +n ，则a 2013= ______ ．16. 如图，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段CC 1上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是______ (写出所有正确命题的编号)． ①当0<CQ <12时，S 为四边形 ②当CQ =12时，S 为等腰梯形③当CQ =34时，S 与C 1D 1的交点R 满足C 1R 1=14④当34<CQ <1时，S 为六边形⑤当CQ =1时，S 的面积为√62．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cosA =35，B =π4，b =√2(Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)求sin C 及△ABC 的面积．18. 在四棱锥P −ABCD 中，△PAD 为正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB//CD ，AB ⊥AD ，CD =2AB =2AD =4．(Ⅰ)求证：平面PCD ⊥平面PAD ； (Ⅱ)求三棱锥P −ABC 的体积；(Ⅲ)在棱PC 上是否存在点E ，使得BE//平面PAD ？若存在，请确定点E 的位置并证明；若不存在，说明理由．19. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工某零件所花费的时间，为此作了四次实验，得到的数据如下： 零件的个数x(个) 23 4 5 加工的时间y(小时)2.5 344.5(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图； (2)求出y 关于x 的线性回归方程；(3)试预测加工10个零件需要多少时间？(注：b ̂=∑x i n i=1y i −nx −y−∑x i 2n i=1−nx−2，a ̂=y ̂−b ̂x −)20. 已知函数f(x)=(2x −4)e x +a(x +2)2(x >0,a ∈R,e 是自然对数的底数)．(1)若f(x)是(0,+∞)上的单调递增函数，求实数a 的取值范围；(2)当a ∈(0,12)时，证明：函数f(x)有最小值，并求函数f(x)最小值的取值范围．21. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率等于√22，经过其左焦点F(−1,0)且与x 轴不重合的直线l 与椭圆C 交于两点M ，N 两点． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)O 为坐标原点，在x 轴上是否存在定点Q ，使得点F 到直线QM ，QN 的距离总相等？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：{x =tcosαy =tsinα(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α≤π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=2sinθ，C 3：ρ=2√3cosθ． (1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB|的最大值．23. 已知f(x)=|x +a|+|x −1a |．(1)当a =1时，求不等式f(x)≥6的解集M ；(2)若a∈M，求证：f(x)≥10．3。
2020届湖南长郡中学新高考押题模拟考试(十二)理科数学
2020届湖南长郡中学新高考押题模拟考试（十二）理科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如果复数12aii-+（a R ∈，i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则a 的值为（ ） A. 1 B. -1C. 3D. -3【答案】D 【解析】 【分析】由复数的除法运算化简得到实部和虚部，令其相等即可得解.【详解】()()()()()1221212225ai i a a iai i i i ----+-==++-， 由题意知：21255a a-+=-，解得3a =-. 故选D.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及实部和虚部的定义，属于基础题. 2.若{0,1,2}A =，{|2,}a B x x a A ==∈，则A B =U （ ）A. {0,1,2}B. {0,1,2,3}C. {0,1,2,4}D. {1,2,4}【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合B ，再求并集即可.【详解】由{}0,1,2A =，得{}{}|2,1,2,4aB x x a A ==∈=.{}0,1,2,4A B ⋃=.故选C.【点睛】本题主要考查了集合的描述法及并集的运算，属于基础题.3.向量(2,)a t =r ，(1,3)b =-r ，若a r ，b r的夹角为钝角，则t 的范围是（ ）A. 23t <B. 23t >C. 23t <且6t ≠- D. 6t <-【答案】C 【解析】 【分析】若a v，b v的夹角为钝角，则0a b v n v<且不反向共线，进而利用坐标运算即可得解. 【详解】若a v，b v的夹角为钝角，则0a b v n v<且不反向共线，230a b t =-+<v v n ，得23t <. 向量()2,a t =v ，()1,3b =-v 共线时，23t ⨯=-，得6t =-.此时2a b v v =-.所以23t <且6t ≠-. 故选C.【点睛】本题主要考查了利用数量积研究向量的夹角，当为钝角时，数量积为0，容易忽视反向共线时，属于易错题.4.双曲线2214x y -=的顶点到渐近线的距离等于（ ）A. 25B. 45C.25D. 45【答案】A【解析】【分析】分别写出双曲线的顶点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可.【详解】双曲线2214xy-=的顶点为()2,0±.渐近线方程为：12y x=±.双曲线2214xy-=的顶点到渐近线的距离等于25114=+.故选A.【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质，属于基础题.5. 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有A. 60种B. 70种C. 75种D. 150种【答案】C【解析】试题分析：因,故应选C．考点：排列数组合数公式及运用．【此处有视频，请去附件查看】6.已知某个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积是（）A. 5603 B. 200 C. 5803D. 240【答案】B 【解析】 【分析】还原几何体得四棱柱，利用三视图求底面积和高可得解.【详解】由三视图可知，该几何体是以侧视图的四边形为底面的四棱柱，高为10，底面面积为()284202+⨯=，故体积为：2010200⨯=.故选B.【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体及柱体的体积的求解，属于基础题. 7.下列函数中最小正周期为π且图像关于直线3x π=对称的是（ ）A. 2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B. 2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C. 2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. 2sin 23x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的周期和对称轴对选项进行排除，由此得出正确选项. 【详解】由于函数的最小正周期为π，2ω=，由此排除D 选项.将π3x =代入A 选项，2y =，故π3x =是函数的对称轴，符合题意. 将π3x =代入B 选项，y =故π3x =不是函数的对称轴，排除B 选项. 将π3x =代入C 选项，0y =，故π3x =不是函数的对称轴，排除C 选项.故本小题选A. 【点睛】本小题主要考查三角函数周期性的知识，考查三角函数对称轴的特点，属于基础题.8.我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（ ）A. 20i <，1S S i=-，2i i = B. 20i ≤，1S S i=-，2i i = C. 20i <，2SS =，1i i =+ D. 20i ≤，2SS =，1i i =+ 【答案】D 【解析】 【分析】先由第一天剩余的情况确定循环体，再由结束条件确定循环条件即可.【详解】根据题意可知，第一天12S =，所以满足2S S =，不满足1S S i=-，故排除AB ，由框图可知，计算第二十天的剩余时，有2SS =，且21i =，所以循环条件应该是20i ≤.故选D.【点睛】本题考查了程序框图的实际应用问题，把握好循环体与循环条件是解决此题的关键，属于中档题. 9.已知α是第二象限角，且3sin()5πα+=-，则tan2α的值为（ ） A.45B. 237-C. 247-D. 249-【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式得sin α，进而由同角三角函数的关系及角所在象限得tan α，再利用正切的二倍角公式可得解.【详解】由()3sin 5πα+=-，得3sin 5α=. 因为α是第二象限角，所以4cos 5α=-.34sin tan cos ααα==-.232tan 242tan291tan 7116ααα-===---. 故选C.【点睛】本题主要考查了同角三角函数的关系及正切的二倍角公式，属于基础题.10.P 为圆1C ：229x y +=上任意一点，Q 为圆2C ：2225x y +=上任意一点，PQ 中点组成的区域为M ，在2C 内部任取一点，则该点落在区域M 上的概率为（ ） A.1325B.35C.1225πD.35π【答案】B 【解析】 【分析】先求得M 轨迹是在以00,22x y ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，以32为半径的圆绕原点一周所形成的图形，根据几何概型的概率公式，求出相应的面积即可得到结论．【详解】设()00,Q x y ,中点M(x, y),则()002,2P x x y y --代入229x y +=，得()()2200229x x y y -+-=，化简得：22009224x y x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又220025x y +=表示以原点为圆心半径为5的圆，故易知M 轨迹是在以00,22x y ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，以32为半径的圆绕原点一周所形成的图形，即在以原点为圆心，宽度为3的圆环带上，即应有222(14)x y r r +=剟， 那么在C 2内部任取一点落在M 内的概率为1615325255πππ-==，故选B.【点睛】本题主要考查了几何概型的求解，涉及轨迹问题，是解题的关键，属于中档题.11.已知抛物线24x y =焦点为F ，经过F 的直线交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y ，点A ，B 在抛物线准线上的射影分别为1A ，1B ，以下四个结论：①124x x =-，②121AB y y =++，③112A FB π∠=，④AB的中点到抛物线的准线的距离的最小值为2.其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】 【分析】设直线AB 为1y kx =+与抛物线联立，由韦达定理可判断①，由抛物线定义可判断②，由0FA FB ⋅=u u u r u u u r可判断③，由梯形的中位线定理及韦达定理可判断④.【详解】物线24x y =焦点为(0,1)F ，易知直线AB 的斜率存在， 设直线AB 为1y kx =+.由214y kx x y=+⎧⎨=⎩，得2440x kx --=. 则12124,4x x k x x +==-，①正确；1212||||||112AB AF BF y y y y =+=+++=++，②不正确；1212(,2),(,2),40,FA x FB x FA FB x x FA FB =-=-∴⋅=+=∴⊥u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，112A FB π∠=，③正确；AB 的中点到抛物线的准线的距离21112121111(||||)(2)(112)(44)22222d AA BB y y kx kx k =+=++=++++=+≥ .当0k =时取得最小值2. ④正确. 故选C.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了设而不求的思想，转化与化归的能力，属于中档题.12.已知函数()xe f x ax x=-，(0,)x ∈+∞，当210x x >>时，不等式()()1221f x f x x x <恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A. ,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. (,)e -∞C. (,)2e -∞ D. (,]e -∞【答案】A 【解析】 【分析】根据210x x >>，可以把不等式()()1221f x f x x x <变形为：()()1122f x x f x x <⋅⋅构造函数，知道函数的单调性，进而利用导数，可以求出实数a 的取值范围. 【详解】因为210x x >>，所以()()()()12112221f x f x f x x f x x x x <<⇒⋅⋅， 设函数()()g x x f x =⋅，于是有()12()g x g x <，而210x x >>，说明函数()()g x x f x =⋅当(0,)x ∈+∞时，是单调递增函数，因为()x e f x ax x=-，所以()2x g x e ax =-，()'2x g x e ax =-，因此当(0,)x ∈+∞时，()'20x g x e ax =-≥恒成立，即2x e a x ≤，当(0,)x ∈+∞时恒成立，设'2(1)()()22x x e e x h x h x x x -=⇒=，当1x >时， '()0h x >，函数()h x 单调递增，当01x <<时，'()0h x <，函数()h x 单调递减，故当(0,)x ∈+∞时，函数()h x 有最小值，即为(1)2e h =，因此不等式2x e a x≤，当(0,)x ∈+∞时恒成立，只需2ea ≤，故本题选A. 【点睛】本题考查了通过构造函数，得知函数的单调性，利用导数求参问题，合理的恒等变形是解题的关键.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 所对的边，2sin c A =，c =且ABC ∆+a b 的值为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】由正弦定理边化角可得3C π=，由面积公式和余弦定理列方程可得+a b .2sin c A =2sin sin ,sin 0,sin 2A C A A C =≠∴=Q . 在锐角三角形ABC 中，可得3C π=.所以ABC ∆的面积1333sin 2S ab C ab ===，解得6ab =. 由余弦定理可得222222cos ()3()187c a b ab C a b ab a b =+-=+-=+-=， 解得5a b +=. 故答案为5.【点睛】本题主要考查了正余弦定理及三角形面积公式的应用，重点考查了计算能力，属于基础题. 14.在三棱锥S ABC -中，90SAB SAC ACB ∠=∠=∠=︒，2AC =，13BC =，29SB =，则异面直线SC 与AB 所成角的余弦值为__________． 【答案】17【解析】【详解】如图,取A 为原点、AB 和AS 所在直线分别为y 轴和z 轴建立空间直角坐标系.则点()(1317,0,0,0,23,2,1717B S C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,故132,231717SC ⎛=- ⎝u u u v ,()17,0AB =u u uv .于是,所求夹角的余弦值为17SC AB SC AB⋅=u u u v u u u v u u u v u u u v . 1715.如图所示，有三根针和套在一根针上的n 个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上.（1）每次只能移动一个金属片；（2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面.将n 个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为()f n ，则()f n =__________．【答案】2n -1; 【解析】【详解】设h （n ）是把n 个盘子从1柱移到3柱过程中移动盘子之最少次数 n=1时，h （1）=1；n=2时，小盘→2柱，大盘→3柱，小柱从2柱→3柱，完成，即h （2）=3=22-1；n=3时，小盘→3柱，中盘→2柱，小柱从3柱→2柱，[用h （2）种方法把中、小两盘移到2柱，大盘3柱；再用h （2）种方法把中、小两盘从2柱3柱，完成]， h （3）=h （2）×h （2）+1=3×2+1=7=23-1， h （4）=h （3）×h （3）+1=7×2+1=15=24-1， …以此类推，h （n ）=h （n-1）×h （n-1）+1=2n -1， 故答案为:2n -1．16.一个四面体顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是5)A ，(3,0,0)B ，(0,1,0)C ，(3,1,5)D ，则该四面体的外接球的体积为__________．【答案】92π 【解析】 【分析】3,1,5.【详解】采用补体法，由空间点坐标可知，该四面体的四个顶点在一个长方体上，该长方体的长宽高分别长方体的外接球即为该四面体的外接球，3=，所以球半径为32，体积为34932r ππ=. 【点睛】本题主要考查了四面体外接球的常用求法：补体法，通过补体得到长方体的外接球从而得解，属于基础题.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：（共60分）17.设数列{}n a 满足1123n n a a +=+，14a =. （1）求证{3}n a -是等比数列，并求n a ； （2）求数列{}n a 的前n 项和n T .【答案】（1）113()3n n a -=+（2）313123nn T n ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】 【分析】（1）根据条件可得()11333n n a a +-=-，从而证得等比关系，再利用等比数列的通项公式求解即可； （2）利用分组求和即可. 【详解】（1）∵1123n n a a +=+，14a =， ∴()11333n n a a +-=-，故{}3n a -是首项为1，公比为13的等比数列， ∴1133n n a -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）1133n n a -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故0111113...333n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1131333112313nnn n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-.【点睛】本题主要考查了构造新等比数列，考查了数列的递推关系及分组求和，属于基础题.18.为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩0u ；（精确到个位）（2）研究发现，本次检测的理科数学成绩X 近似服从正态分布2(,)N μσ（0u u =，σ约为19.3），按以往的统计数据，理科数学成绩能达到自主招生分数要求的同学约占40%；（i ）估计本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位）（ii ）从该市高三理科学生中随机抽取4人，记理科数学成绩能达到自主招生分数要求的人数为Y ，求Y 的分布列及数学期望()E Y .（说明11()1()x uP X x φσ->=-表示1X x >的概率.参考数据：(0.7257)0.6ϕ=，(0.6554)0.4ϕ=）【答案】（1）103；（2）（i ）117;(ii) 85. 【解析】 【分析】（1）直方图中，每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和，即可得到该市此次检测理科数学的平均成绩；（2）（ⅰ）令11030.725719.3x -=计算1x 的值；（ⅱ）根据二项分布的概率公式得出Y 的分布列，利用二项分布的期望公式可得数学期望.【详解】（1）该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为：0650.05750.08850.12950.15u =⨯+⨯+⨯+⨯1050.241150.181250.11350.051450.03103.2103+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈（2）（ⅰ）记本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩约为1x ， 根据题意，111103()110.419.3x u x P x x φφσ--⎛⎫⎛⎫>=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11030.619.3x φ-⎛⎫= ⎪⎝⎭. 由()0.72570.6φ=得，111030.7257117.011719.3x x -=⇒=≈，所以，本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩约为117分.（ⅱ）因为24,5Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭～，()442355i iiP Y i C -⎛⎫⎛⎫∴== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2,3,4i =. 所以Y 的分布列为 Y 01234P 816252166252166259662516625所以()28455E Y =⨯=. 【点睛】本题主要考查直方图的应用、正态分别的应用以及二项分布的数学期望，属于中档题. 求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤：①“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；②“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率加法公式、独立事件的概率公式以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率； ③“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；④“求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望．对于某些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布(),X B n p ～），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(()E X np =)求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度． 19.如图，PA ⊥矩形ABCD 所在平面，PA AD =，M 、N 分别是AB 、PC 的中点.（1）求证：平面ANB ⊥平面PCD ；（2）若直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为10，求二面角N MD C --的正弦值. 【答案】（1）见解析（2）6【解析】 【分析】（1）通过证明MN ⊥面PCD ，可证得面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，设2AB t =，由向量的夹角公式先求解线面角得t ，再利用面的法向量求解二面角即可.【详解】如图，取PD 中点E ，连接EN ，AE . （1）证明：∵M ，N ，E 为中点， ∴//EN AM ，12EN AM AB ==， ∴AMNE 是平行四边形，//MN AE ， 又∵CD AD ⊥，CD PA ⊥，∴CD ⊥面PAD ，∴面PCD ⊥面PAD .∵PA AD =，E 为中点，,AE PD ⊥AE ⊥面PCD ， ∴MN ⊥面PCD ，∵MN ⊂面ANB ， ∴平面ANB ⊥平面PCD . （2）建立如图所示坐标系，()0,0,0A ，()2,0,0B t ，()2,2,0C t ，()0,2,0D ，()002P ,,，(),0,0M t ，(),1,1N t .由（1）知MN ⊥面PCD ，∴()2,0,2PB t u u u v =-，()0,1,1MN =u u u u v.∵直线PB 与平面PCD∴由PB MN PB MN⋅=u u u v u u u u v u u u v u u u u v 得2t =.设(),,m x y z =v为面NMD 的法向量，则()2,2,0DM =-u u u u v ，()0,1,1MN =u u u u v . 由00DM m MNm ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u u v v u u u u v v 得()1,1,1m v=-，m =v， ∵AP ⊥面CMD ，()0,0,2AP =u uu v，设二面角N MD C --为θ，θ为锐角，则cos AP m AP mθ⋅==u u u v v uu u v v ，∴sin 3θ=. 【点睛】本题主要考查了线面和面面垂直的判断及性质，利用空间直线坐标系，通过空间向量求解线面角及二面角，属于中档题.20.动点(,)M x y 6=. （1）求M 点的轨迹并给出标准方程；（2）已知D ，直线l ：y kx =-交M 点的轨迹于A ，B 两点，设AD DB λ=u u u r u u u r且12λ<<，求k 的取值范围.【答案】（1）2219x y +=（2）k >k <【解析】 【分析】（1）由方程知轨迹为椭圆，进而得,a c 从而可得解；（2）由AD DB λ=u u u v u u u v 得12y y λ=-，由直线与椭圆联立，可结合韦达定理整理得2321912k λλ+=+-，设()12f λλλ=+-，求其范围即可得解.【详解】（1）解：M点的轨迹是以()，()-为焦点，长轴长为6的椭圆，其标准方程为2219x y +=. （2）解：设()11,A x y ，()22,B x y ，由AD DB λ=u u u v u u u v得12y y λ=-……① 由12λ<<得0k ≠，由y kx =-得y x k+=代入2219x y +=整理()222190k y k ++-=……②显然②的判别式>0∆恒成立，由根与系数的关系得12219y y k+=-+……③ 212219k y y k =-+……④由①③得()()12119k y k λ=-+，()()22119y kλ=--+代入④整理得()22323219112k λλλλ+==-+-. 设()12f λλλ=+-，则由对勾函数性质知()f λ在()1,2上为增函数，故得()102f λ<<. 所以21964k +>，即k的取值范围是k >k <【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及直线与椭圆的位置关系，考查了“设而不求”的思想，着重考查了学生的计算能力，属于中档题.21.已知函数()ln()=-+x f x e x m ，其中m 1≥.（1）设0x =是函数()f x 的极值点，讨论函数()f x 的单调性； （2）若()y f x =有两个不同的零点1x 和2x ，且120x x <<， （i ）求参数m 的取值范围； （ii ）求证：2121ln(1)1x x ex x e ---+>-.【答案】（1）见解析；（2）（i ）m e >，（ii ）见解析. 【解析】【分析】（1）求函数导数，由()'0011f m=-=可得解，进而得单调区间； （2）（i ）分析函数导数可得函数单调性，结合,(),,()x m f x x f x →-→+∞→+∞→+∞，所以(0)1ln 0f m =-<，可得解；（ii ）先证当m e =时，若()ln()0xf x e x e =-+=，得存在3()(0)0f x f ==，进而证31x <-，再证m e >时，11x <-，可得211t x x =->，构造函数()ln(1)t h t e t =-+，利用函数单调性即可证得.【详解】（1）()1'xf x e x m=-+， 若0x =是函数()f x 的极值点，则()'0011f m=-=，得1m =，经检验满足题意， 此时()1'1xf x e x =-+，()'f x 为增函数， 所以当(1,0),'()0x f x ∈-<，()f x 单调递减； 当(0,),'()0x f x ∈+∞>，()f x 单调递增 （2）（i ）m 1≥， ()1'xf x e x m=-+， 记()()'h x f x =，则()()21'0xh x e x m =+>+，知()'f x 在区间(),m -+∞内单调递增. 又∵()1'010f m=->， ()1'101m f e m -=+-<-， ∴()'f x 在区间()1,0m -内存在唯一的零点0x ，即()0001'0xf x e x m =-=+，于是001x e x m=+， ()00ln x x m =-+.当0m x x -<<时， ()()'0,f x f x <单调递减； 当0x x >时， ()()'0,f x f x >单调递增.若()y f x =有两个不同的零点1x 和2x ，且120x x <<，易知,(),,()x m f x x f x →-→+∞→+∞→+∞，所以(0)1ln 0f m =-<，解得m e >.（ii ）当m e =时有()ln()x f x e x e =-+，令()ln()0xf x e x e =-+=.由（i ）中的单调性知，存在3()(0)0f x f ==，当3(,0),()0x x f x ∈<.111(1)ln(1)ln(1)ln1.7022f e e e -=--<--<-=<，所以31x <-.下证当m e >时，11x <-.由()ln()ln()x xf x e x m e x e =-+<-+，所以33333()ln()ln()0x xf x e x m e x e =-+<-+=，由（i ）知，当12(,),()0x x x f x ∈<，得131x x <<-.. 所以211x x ->，令211t x x =-> 要证2121ln(1)1x x ex x e ---+>-，即证ln(1)1t e t e -+>-.令1()ln(1),'()1tth t e t h t e t =-+=-+单调递增，且1'(1)02h e =->， 所以'()0,()h t h t >单调递增，所以()(1)ln 21h t h e e >=->-.得证.【点睛】本题主要研究了函数的极值和函数的单调性，考查了构造函数的思想及放缩法证明不等式，属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程.以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正方向为极轴，已知曲线1C 的方程为()2211x y -+=，2C 的方程为3x y +=，3C 是一条经过原点且斜率大于0的直线.（1）求1C 与2C 的极坐标方程；（2）若1C 与3C 的一个公共点A （异于点O ），2C 与3C 的一个公共点为B ，求3OA OB-的取值范围. 【答案】（1）1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，2C 的极坐标力程为3cos sin ρθθ=+（2）3(1,1)OA OB-∈- 【解析】 【分析】（1）利用极坐标与直角坐标互化公式求解即可； （2）设3C 的极坐标方程为θα=，0,,2R παρ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭，分别与1C 和2C 的极坐标方程联立，可得2cos OA α=和3cos sin OB αα=+，进而看化简求值.【详解】解：（1）曲线1C 的方程为()2211x y -+=，1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，2C 的方程为3x y +=，其极坐标力程为3cos sin ρθθ=+.（2）3C 是一条过原点且斜率为正值的直线，3C 的极坐标方程为θα=，0,,2R παρ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭， 联立1C 与3C 的极坐标方程2cos ρθθα=⎧⎨=⎩，得2cos ρα=，即2cos OA α=，联立1C 与2C 的极坐标方程3cos sin ρθθθα⎧=⎪+⎨⎪=⎩，得3cos sin ραα=+，即3cos sin OB αα=+， 所以32cos cos sin OA OB ααα-=--4πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 又0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()31,1OA OB -∈-. 【点睛】本题主要考查了直角坐标与极坐标互化及极坐标应用解长度问题，属于基础题. 23.选修4-5：不等式选讲（1）已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，证明1119a b c++≥； （2）已知,,a b c R +∈，且1abc =111a b c++.【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）由111a b c a b c a b ca b c a b c++++++++=++展开利用基本不等式证明即可； （2）由11111111112a b c a b a c b c⎛⎫++=+++++⎪⎝⎭12⎛⎫≥⨯ ⎪ ⎪⎝⎭，结合条件即可得解.【详解】证明：（1）因为111a b c a b c a b c a b c a b c ++++++++=++ 111b c a c a b a a b b c c =++++++++ 39b a b c a ca b c b c a =++++++≥，当a b c ==时等号成立.（2）因为11111111112a b c a b a c b c ⎛⎫++=+++++ ⎪⎝⎭ 12⎛⎫≥⨯ ⎪ ⎪⎝⎭，又因为1abc =，所以1c ab =，1b ac =，1a bc =，∴()111a b c ++≥.当a b c ==时等号成立，即原不等式成立.【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，需要进行配凑，具有一定的技巧性，属于中档题.。
2020年湖南省长沙市长郡中学高考数学模拟试卷(理科)(一) (含答案解析)
2020年湖南省长沙市长郡中学高考数学模拟试卷(理科)(一)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数1−2i在复平面内对应的点位于()1+2iA. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.设集合M={y|y=2x,x∈R}，N={x|y=log a(x+1),a>0,a≠1}，则M与N的关系是()A. M⊆NB. M⊇NC. M=ND. M∩N=⌀3.设x为区间[−2,2]内的均匀随机数，则计算机执行下列程序后，输出,3]内的概率为()的y值落在区间[12A. 34B. 58C. 12D. 384.“a=1”是“ln(2a−1)>0”的()2A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.在数列{a n}中，a1=2，2a n=2a n−1+1，则a2009的值为()A. 1006B. 1007C. 1008D. 10096.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几何．”羡除是一个五面体，其中三个面是梯形，另两个面是三角形，已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的表面中，三个梯形的面积之和为()A. 40B. 43C. 46D. 477. 2019年成都世界警察与消防员运动会期间，需安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去A 、B 、C 三个场馆参与服务工作，要求每个场馆至少一人，则甲乙被安排到同一个场馆的概率为( ) A. 112 B. 18 C. 16 D. 14 8. 设函数f(x)为奇函数，且在上为减函数，若f(−2)=0，则xf(x)<0的解集为( )A. B. (−∞,−2)∪(0,2)C. (−∞,−2)∪(2,+∞)D. (−2,0)∪(0,2) 9. 已知三棱锥P −ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠ACB =90°，AC =BC =√2PA =2，则此三棱锥外接球的表面积为( )A. 5πB. 10πC. 20πD. 40π10. 已知锐角△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c =1，三角形ABC 的面积S △ABC =1，则a 2+b 2的取值范围为( )A. [172,+∞)B. (9,+∞)C. [172,9]D. [172,9) 11. 已知P 是抛物线C ：y 2=4x 上的一动点，则点P 到直线l ：2x −y +3=0和抛物线C 的准线的距离之和的最小值是( )A. √5B. 2C. √3D. √212. 不等式x −3e x −aln x ≥x +1对任意x ∈(1,+∞)恒成立，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,1−e]B. (−∞,2−e 2]C. (−∞,−2]D. (−∞,−3]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. (1+x +x 2)3展开式中含x 2项的系数是___________．14. 根据记载，最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题．现有△ABC 满足“勾3股4弦5”，其中“股”AB =4，D 为“弦”BC 上一点(不含端点)，且△ABD 满足勾股定理，则(CB⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =________．15. 在数列{a n }中，a 1=1，a n ≠0，曲线y =x 3在点(a n ,a n 3)处的切线经过点(a n+1,0)，下列四个结论：①a 2=23；②a 3=13；③∑a i 4i=1=6527；④数列{a n }是等比数列．其中所有正确结论的编号是_________．16. 已知双曲线x 2−y 23=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为双曲线右支上一点，点Q 的坐标为(−2,3)，则|PQ|+|PF 1|的最小值为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知△ABC 内接于单位圆，且(1+tanA)(1+tanB)=2，(1)求角C(2)求△ABC 面积的最大值．18. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AB//CD ，AD =AB =BC =1，CD =2，点E 为CD 中点，以AE为折痕把△ADE 折起，使点D 到达点P 的位置(P ∉平面ABCE).(1)证明：；(2)若直线PB与平面ABCE所成的角为π，求二面角A−PE−C的余弦值．419.某地区为贯彻习近平总书记关于“绿水青山就是金山银山”的精神，鼓励农户利用荒坡种植果树．某农户考察三种不同的果树苗A，B，C，经引种试验后发现，引种树苗A的自然成活率为0.8，引种树苗B，C的自然成活率均为p(0.7≤p≤0.9)．(1)任取树苗A，B，C各一棵，估计自然成活的棵数为X，求X的分布列及E(X)；(2)将(1)中的E(X)取得最大值时p的值作为B种树苗自然成活的概率．该农户决定引种n棵B种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．①求一棵B种树苗最终成活的概率；②若每棵B树苗引种最终成活后可获利300元，不成活的每棵亏损50元，该农户为了使在B种树苗上的获利均值不低于20万元，问至少引种B种树苗多少棵？20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，长轴长为8．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)如图所示，椭圆C的左顶点为D，右焦点为F，经过点P(−2√2,0)的动直线l与椭圆C交于A，B两点，求四边形ADBF面积S的最大值．21.设函数f(x)=e x cosx, g(x)为f(x)的导函数．(Ⅰ)求f(x)的单调区间；(Ⅱ)当x∈[π4,π2]时，证明f(x)+g(x)(π2−x)≥0；(Ⅲ)设x n为函数u(x)=f(x)−1在区间(2m+π4,2mπ+π2)内的零点，其中n∈N，证明：2nπ+π2−x n<e−2nπsinx0−cosx0．22.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为．(1)求曲线C的参数方程；(2)在曲线C上任取一点P(x,y)，求的3x+4y最大值．23.已知正实数x，y满足x+y=1．(1)解关于x的不等式|x+2y|+|x−y|≤52．(2)证明：(1x2−1)(1y2−1)≥9．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．利用两个复数代数形式的乘除法法则化简复数z，可得z，根据复数与复平面内对应点之间的关系可得共轭复数对应的点的坐标，从而得出结论．解：∵1−2i1+2i =(1−2i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−3−4i5=−35−45i，∴复数1−2i1+2i 在复平面内对应的点的坐标为(−35,−45)，位于第三象限．故选C．2.答案：A解析：本题考查集合的包含关系的判断，涉及指数函数对数函数的性质，属基础题，注意M是指数函数的值域，N是所给函数的定义域．解：M={y|y>0,y∈R}，N={x|x>−1,x∈R}，∴M⊆N．故选A．3.答案：C解析：本题考查了程序语言应用问题，也考查了函数与几何概型的概率计算问题，属于基础题．根据题意知函数y是分段函数，写出函数解析式，计算y∈[12,3]时x的取值范围，利用几何概型求对应的概率．解：根据题意知，当x∈[−2,0]时，y=2x∈[14,1]；当x∈(0,2]时，y=2x+1∈(1,5]；所以当y∈[12,3]时，x∈[−1,1]，其区间长度为2，所求的概率为P=24=12．故选：C．4.答案：D解析：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：由“ln(2a−1)>0”得2a−1>1，则a>1，则“a=12”是“ln(2a−1)>0”的既不充分也不必要条件，故选：D．5.答案：A解析：解：由2a n=2a n−1+1，得a n=a n−1+12，即a n−a n−1=12(n≥2)．又a1=2，∴数列{a n}是以2为首项，以12为公差的等差数列．∴a2009=2+(2009−1)×12=1006．故选：A．把递推式变形，得到数列{a n}是等差数列且求出公差，然后直接由等差数列的通项公式求得a2009的值．本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了由等差数列的通项公式求数列的项，是中档题．6.答案：C。
2020届湖南省长郡中学高三第五次模拟考试 数学(理)
2020届湖南省长郡中学高三第五次模拟考试高三数学理科试题★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集R U =，集合{}{}1|,lg |+====x y y B x y x A ，那么)(B C A U =( )A.φB.]10(，C.)10(，D.),1(+∞ 2. 下列选项中，说法正确的是( )A ．若0>>b a ，则b a 2121log log >B ．向量()()()1,,,21a m b m m m R ==-∈共线的充要条件是0=mC ．命题“1*2)2(3,-⋅+>∈∀n nn N n ”的否定是“1*2)2(3,-⋅+≤∈∀n n n N n ”D ．设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，则“01>a ”是“23S S >”的充要条件3. 已知,2,1==→→b a ，且⎪⎭⎫⎝⎛-⊥→→→b a a ，则向量→a 在→b 方向上的投影为（ ）A.21B. 22C. 1D.24．在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若26712a a a ++=，则9S =（ ） A ．20B ．27C ．36D ．455．已知mn 、是两条不同直线,αβ、是两个不同平面,下列命题中的假命题是（ ） A ．若m m αβ⊥⊥，，则αβ∥B ．若α⊥m n m ,//则n α⊥C ．若m α⊥，β⊂m ，则αβ⊥ D ．若n m =⋂βαα,//,则n m // 6.将函数sin()12y x π=-的图象上所有的点向右平移4π个单位长度,再把图象上各点 的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，则所得图象的的一条对称轴方程为（ ） A ．524x π=B ．512x π= C ．6x π= D ．3x π=7．函数()()22ln xxf x x -=+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．某学生用一不准确的天平(两臂不等长)称g 10药品，他先将g 5的砝码放在左盘，将药品放在右盘使之平衡；然后又将g 5的砝码放在右盘，将药品放在左盘使之平衡，则此学生实际所得药品( ) A ． 大于g 10B ．小于g 10C ． 大于等于g 10D ． 小于等于g 109. 已知1a b >>，若ln ,ln ,ln x b b a y a a b z a b b =-=-=-，则（ ） A.z x y << B.z y x << C.x z y << D.y z x <<.10已知三棱锥ABC D -的所有顶点都在球O 的球面上,22,2===AC BC AB ,若三棱锥ABC D -体积的最大值为2,则球O 的表面积为（ ） A ．π8B ．π9C ．325πD ．9121π11.已知函数()1,0,,0,x e m x f x ax b x ⎧+-≥=⎨+<⎩ 其中1m <-，对于任意1x R ∈且10x ≠，均存在唯一实数2x ，使得()()21f x f x =，且12x x ≠，若()()f x f m =有4个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．()2,1-- B ．()1,0- C ．()()2,11,0---D ．()0,112.将函数sin2y x =的图象向右平移02πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度得到()y f x =的图象，若函数()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，且()f x 的最大负零点在区间5,126ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上，则ϕ的取值范围是（ ） A ．,64ππ⎛⎤⎥⎝⎦B ．,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．,124ππ⎛⎤⎥⎝⎦ D ．,122ππ⎛⎫⎪⎝⎭第II 卷 （非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置．13.已知==⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛∈απαππαcos ,534sin ,,2 .14．若0m >，0n >，1m n +=，且()10t t m n+>的最小值为9，则t =______.15. 如图，在等腰三角形ABC 中，已知|AB |=|AC |=1，∠A =120°，E 、F 分别是边AB 、AC 上的点，且μλ==,,其中）（、1,0∈μλ且14=+μλ，若线段EF 、BC 的中点分别为M 、N ，则||的最小值是 . 16．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1(1)2n n n n S a =--，*n N ∈，则12100S S S +++= .三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． 17．（本题满分12分）如图，在平面四边形ABCD 中，23D π∠=，CD =ACD ∆的面积为2． （Ⅰ）求AC 的长； （Ⅱ）若AD AB ⊥，4B π∠=，求BC 的长．18.（本题满分12分）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为()()*121,N n a n n S S n n ∈-+=，且7,1,531+-a a a 成等比数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 19．（本题满分12分）已知函数()cos xf x e x =，x x xg sin 3cos )(+=. （Ⅰ）求函数()f x 在区间[0,]2π上的值域.（Ⅱ）120,,0,22x x ππ⎡⎤⎡⎤∀∈∃∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦使得不等式()()12g x f x m +≥成立， 求实数m 的取值范围.20.（本题满分12分）如图，矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直，60ABE ∠=︒，G 为BE 的中点. （Ⅰ）求证：AG ⊥平面ADF ；（Ⅱ）若AB =，求二面角D CA G --的余弦值．21.（本小题满分12分） 已知函数()1,af x nx a R x =+∈（Ⅰ）当1a =-时，若直线y kx b =+是函数()f x 的图像的切线，求k b +的最小值；（Ⅱ）设函数()1()f x g x x-=，若()g x 在2[1,]e 上存在极值，求a 的取值范围，并判断极值的正负．22. （本题满分10分）【选修4—4 坐标系统与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为221,93x y +=在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（Ⅰ）求曲线C 的参数方程和直线l 的直角坐标方程； （Ⅱ）设点P 在C 上，点Q 在l 上，求PQ 的最小值．23. （本题满分10分）【选修4—5 不等式选讲】 己知0a >，函数()f x x a =-.（Ⅰ）若2a =，解不等式()()35f x f x ++≤；（Ⅱ）若函数()()()2g x f x f x a =-+，且存在0x R ∈使得()202g x a a ≥-成立，求实数a 的取值范围.参考答案13.102-14.4 15.77 16.⎪⎭⎫ ⎝⎛-1213110017．⑴∵23D π∠=，CD =ACD ∆的面积为2∴11sin 22ACD S AD CD D AD ∆=⋅⋅=⨯=∴AD =.................................................................................................................3分∴由余弦定理得22212cos 6626()182AC AD CD AD CD D =+-⋅⋅=+-⨯⨯-=∴AC =.....................................................................................................................6分 ⑵由（1）知ACD ∆中AD =CD =23D π∠=∴6π=∠DAC∵AB AD ⊥,∴3BAC π∠= ............................................................................................8分又∵4B π∠=，AC =∴在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin BC ACBAC B=∠2=,∴BC =分18.（1）∵，又∴……………………………………………………………..2分又成等比数列．∴，…………………………………….3分 即，解得，………………………………………………………..5分∴。