2016届高考文科数学二轮复习与增分策略(全国通用)专题六解析几何第3讲
2016版高考数学大二轮总复习与增分策略(,文科)配套文档：专题二 函数与导数 第3讲
第3讲导数及其应用1．(2015·陕西）设f(x）＝x－sin x，则f（x）( ）A．既是奇函数又是减函数B．既是奇函数又是增函数C．是有零点的减函数D．是没有零点的奇函数2．(2014·课标全国Ⅰ）已知函数f（x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0〉0，则a的取值范围是（）A．(2，＋∞）B．（－∞,－2)C．（1,＋∞）D．（－∞，－1）3．(2014·辽宁)当x∈[－2,1］时,不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（)A．［－5，－3］B．［－6，－9 8］C．[－6，－2] D．［－4,－3］4．（2013·安徽）已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有两个极值点x1,x2。
若f(x1）＝x1<x2,则关于x的方程3(f(x））2＋2af(x）＋b＝0的不同实根个数为( )A．3 B．4 C．5 D．61。
导数的意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点.2.利用导数解决函数的单调性与极值最值是高考的常见题型.热点一导数的几何意义1．函数f(x)在x0处的导数是曲线f（x）在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′（x0)(x－x0）．2．求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的不同．例1 （1)（2015·课标全国Ⅰ)已知函数f（x）＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1)）处的切线过点（2，7），则a＝____________.（2）(2015·泸州市质量诊断）设函数f（x）＝ax3＋3x，其图象在点（1,f(1）)处的切线l与直线x－6y－7＝0垂直，则直线l与坐标轴围成的三角形的面积为（)A．1 B．3 C．9 D．12思维升华(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线"与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点,点P也不一定在已知曲线上,而在点P处的切线，必以点P为切点．（2）利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值,则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解．跟踪演练1 在平面直角坐标系xOy中,设A是曲线C1：y＝ax3＋1（a>0）与曲线C2：x2＋y2＝错误!的一个公共点,若C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直,则实数a的值是________．热点二利用导数研究函数的单调性1．f′（x）〉0是f(x）为增函数的充分不必要条件，如函数f（x)＝x3在（－∞,＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.2．f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′（x）＝0时,则f(x）为常函数，函数不具有单调性．例2 (2015·重庆）设函数f（x）＝错误!（a∈R）．（1)若f(x)在x＝0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y＝f(x）在点（1，f(1）)处的切线方程；（2)若f（x)在[3，＋∞)上为减函数，求a的取值范围．思维升华利用导数研究函数单调性的一般步骤:（1）确定函数的定义域；(2)求导函数f′（x)；（3)①若求单调区间(或证明单调性），只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x）〉0或f′(x)<0.②若已知函数的单调性，则转化为不等式f′（x）≥0或f′(x）≤0在单调区间上恒成立问题来求解．跟踪演练2 （1）函数f(x）＝错误!x2－ln x的单调递减区间为( ) A．（－1,1］B．（0，1]C．[1，＋∞）D．（0,＋∞）(2)若函数f(x）＝－错误!x3＋错误!x2＋2ax在［错误!,＋∞）上存在单调递增区间，则a的取值范围是________．热点三利用导数求函数的极值、最值1．若在x0附近左侧f′（x)>0，右侧f′（x）〈0，则f（x0)为函数f(x）的极大值;若在x0附近左侧f′（x)〈0,右侧f′(x)>0，则f(x0)为函数f（x）的极小值．2．设函数y＝f(x）在［a，b］上连续，在（a，b）内可导，则f（x）在［a，b］上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得．例3 (2015·北京改编）设函数f（x)＝错误!－k ln x，k>0.（1）求f(x)的单调区间和极值；(2)当x∈［1，错误!]时,求f（x)的最小值．思维升华(1）求函数f(x)的极值，则先求方程f′（x）＝0的根，再检查f′(x）在方程根的左右函数值的符号．（2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f′（x)＝0根的大小或存在情况来求解．（3)求函数f（x）在闭区间[a，b］的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a），f（b）与f（x）的各极值进行比较得到函数的最值．跟踪演练3 已知函数f（x）＝ln x＋ax－a2x2(a≥0)．(1）若x＝1是函数y＝f（x)的极值点，求a的值；(2）若f（x）〈0在定义域内恒成立，求实数a的取值范围．1．已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为（）A．e B．－eC.错误!D．－错误!2．已知函数f(x）＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10,则错误!的值为( )A．－错误!B．－2C．－2或－错误!D．2或－错误!3．已知函数f（x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，函数g(x)＝x2－a ln x在(1，2)上为增函数，则a的值等于________．4．已知函数f(x)＝x－错误!，g(x）＝x2－2ax＋4，若任意x1∈［0，1]，存在x2∈［1,2]，使f(x1)≥g（x2），则实数a的取值范围是__________．提醒:完成作业专题二第3讲二轮专题强化练专题二第3讲导数及其应用A组专题通关1。
高考数学大二轮总复习与增分策略(全国通用,文科)配套课件+配套文档：专题三 三角函数 解三角形与平面
第3讲 平面向量1．(2015·课标全国Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →2．(2015·福建)设a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋k b .若b ⊥c ，则实数k 的值等于( ) A ．－32 B ．－53 C.53 D.323．(2015·湖南)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为(2,0)，则|P A →＋PB →＋PC →|的最大值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．94．(2015·江苏)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．1.考查平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题、难度中低档.2.考查平面向量的数量积，以选择题、填空题为主，难度低；向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现.热点一 平面向量的线性运算(1)在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化；(2)在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．例1 (1)(2014·陕西)设0<θ<π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝______.(2)如图，在△ABC 中，AF ＝13AB ，D 为BC 的中点，AD 与CF 交于点E .若AB →＝a ，AC →＝b ，且CE →＝x a ＋y b ，则x ＋y ＝________.思维升华 (1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底；同时注意共线向量定理的灵活运用．(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．跟踪演练1 (1)(2015·黄冈中学期中)已知向量i 与j 不共线，且AB →＝i ＋m j ，AD →＝n i ＋j ，m ≠1，若A ，B ，D 三点共线，则实数m ，n 满足的条件是( ) A ．m ＋n ＝1 B ．m ＋n ＝－1 C ．mn ＝1D ．mn ＝－1(2)(2015·北京)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________.热点二 平面向量的数量积(1)数量积的定义：a ·b ＝|a ||b |cos θ. (2)三个结论①若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. ②若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.③若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角， 则cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.例2 (1)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．(2)在△AOB 中，G 为△AOB 的重心，且∠AOB ＝60°，若OA →·OB →＝6，则|OG →|的最小值是________．思维升华 (1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义；(2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算． 跟踪演练2 (1)(2015·山东)过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则P A →·PB →＝________________________________________________________________________. (2)(2014·课标全国Ⅰ)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________．热点三 平面向量与三角函数平面向量作为解决问题的工具，具有代数形式和几何形式的“双重型”，高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题，通过向量运算作为题目条件． 例3 已知函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x (x ∈R )． (1)当x ∈[0，π2)时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，f (C )＝2，若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，求a ，b 的值．思维升华 在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．跟踪演练3 (2014·辽宁)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c ，已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．1．如图，在△ABC 中，AD →＝13AB →，DE ∥BC 交AC 于E ，BC 边上的中线AM 交DE 于N ，设AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示向量AN →.则AN →等于( ) A.12(a ＋b ) B.13(a ＋b ) C.16(a ＋b ) D.18(a ＋b ) 2．如图，BC 、DE 是半径为1的圆O 的两条直径，BF →＝2FO →，则FD →·FE →等于( ) A ．－34B ．－89C ．－14D ．－493．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(cos α，sin α)，且a ⊥b ，则tan(2α＋π4)＝________.4．如图，在半径为1的扇形AOB 中，∠AOB ＝60°，C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP →·BP →最小值是__________________________________________________．提醒：完成作业 专题三 第3讲二轮专题强化练专题三第3讲 平面向量A 组 专题通关1．(2015·佛山月考)在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则DA →等于( ) A ．(2,4) B ．(3,5) C ．(1,1)D ．(－1，－1)2．(2015·安徽)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( ) A ．|b |＝1 B ．a ⊥b C ．a ·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC →3．在△ABC 中，N 是AC 边上一点，且AN →＝12NC →，P 是BN 边上的一点，若AP →＝mAB →＋29AC →，则实数m 的值为( ) A.19 B.13C ．1D ．3 4．△ABC 外接圆的半径等于1，其圆心O 满足AO →＝12(AB →＋AC →)，|AO →|＝|AC →|，则向量BA →在BC→方向上的投影等于( ) A ．－32 B.32 C.32D ．3 5．(2015·湖北)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________.6．若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比值为________．7．(2015·天津)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝23BC →，DF →＝16DC →，则AE →·AF →的值为________．8．设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积a ⊗b ＝(a 1b 1，a 2b 2)，已知向量m ＝(2，12)，n ＝(π3，0)，点P (x ，y )在y ＝sin x 的图象上运动，Q 是函数y ＝f (x )图象上的点，且满足OQ →＝m ⊗OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则函数y ＝f (x )的值域是________． 9．(2015·惠州二调)设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈[0，π2]．(1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．10．已知向量a ＝(2sin(ωx ＋2π3)，0)，b ＝(2cos ωx ,3)(ω>0)，函数f (x )＝a ·b 的图象与直线y ＝－2＋3的相邻两个交点之间的距离为π. (1)求ω的值；(2)求函数f (x )在[0,2π]上的单调递增区间．B 组 能力提高11．已知非零单位向量a 与非零向量b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则向量b －a 在向量a 上的投影为( ) A ．1 B.22C ．－1D ．－2212．已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0，若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是( ) A ．[2－1，2＋1] B ．[2－1，2＋2] C ．[1，2＋1]D ．[1，2＋2]13．已知点P 是△ABC 所在平面内的一点，CD 是△ABC 的中线，若PD →＝1－λ2P A →＋12CB →，其中λ∈R ，则点P 一定在( ) A ．AB 边所在的直线上 B ．AC 边所在的直线上 C ．BC 边所在的直线上 D ．△ABC 的内部14．(2014·陕西)在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上． (1)若P A →＋PB →＋PC →＝0，求|OP →|；(2)设OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )，用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．学生用书答案精析第3讲 平面向量高考真题体验1．A [∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)， 即4AC →－AB →＝3AD →，∴AD →＝－13AB →＋43AC →.]2．A [c ＝a ＋k b ＝(1,2)＋k (1,1)＝(1＋k,2＋k )，∵b ⊥c ，∴b ·c ＝0，b ·c ＝(1,1)·(1＋k,2＋k )＝1＋k ＋2＋k ＝3＋2k ＝0，∴k ＝－32，故选A.]3．B [由A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上，且AB ⊥BC ，∴线段AC 为圆的直径，故P A →＋PC →＝2PO →＝(－4,0)，设B (x ，y )，则x 2＋y 2＝1且x ∈[－1,1]，PB →＝(x －2，y )，所以P A →＋PB →＋PC →＝(x －6，y )，∴|P A →＋PB →＋PC →|＝－12x ＋37，∴当x ＝－1时，此式有最大值49＝7，故选B.]4．－3解析 ∵a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，∴m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，即⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，故m －n ＝2－5＝－3.热点分类突破 例1 (1)12 (2)－12解析 (1)因为a ∥b ，所以sin 2θ＝cos 2θ，2sin θcos θ＝cos 2θ. 因为0<θ<π2，所以cos θ>0，得2sin θ＝cos θ，tan θ＝12.(2)如图，设FB 的中点为M ，连接MD .因为D 为BC 的中点，M 为FB 的中点， 所以MD ∥CF .因为AF ＝13AB ，所以F 为AM 的中点，E 为AD 的中点．方法一 因为AB →＝a ，AC →＝b ，D 为BC 的中点， 所以AD →＝12(a ＋b )．所以AE →＝12AD →＝14(a ＋b )．所以CE →＝CA →＋AE →＝－AC →＋AE →＝－b ＋14(a ＋b )＝14a －34b . 所以x ＝14，y ＝－34，所以x ＋y ＝－12.方法二 易得EF ＝12MD ，MD ＝12CF ，所以EF ＝14CF ，所以CE ＝34CF .因为CF →＝CA →＋AF →＝－AC →＋AF →＝－b ＋13a ，所以CE →＝34(－b ＋13a )＝14a －34b .所以x ＝14，y ＝－34，则x ＋y ＝－12.跟踪演练1 (1)C (2)12 －16解析 (1)因为A ，B ，D 三点共线，所以AB →＝λAD →⇔i ＋m j ＝λ(n i ＋j )，m ≠1，又向量i 与j 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＝λn ，m ＝λ，所以mn ＝1. (2)如图，MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →) ＝12AB →－16AC →， ∴x ＝12，y ＝－16. 例2 (1)22 (2)2解析 (1)由CP →＝3PD →，得DP →＝14DC →＝14AB →，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝AP →－AB →＝AD →＋14AB →－AB →＝AD →－34AB →.因为AP →·BP →＝2，所以(AD →＋14AB →)·(AD →－34AB →)＝2，即AD →2－12AD →·AB →－316AB →2＝2.又因为AD →2＝25，AB →2＝64，所以AB →·AD →＝22.(2)如图，在△AOB 中，OG →＝23OE →＝23×12(OA →＋OB →) ＝13(OA →＋OB →)， 又OA →·OB →＝|OA →||OB →|·cos 60°＝6，∴|OA →||OB →|＝12，∴|OG →|2＝19(OA →＋OB →)2＝19(|OA →|2＋|OB →|2＋2OA →·OB →) ＝19(|OA →|2＋|OB →|2＋12)≥19×(2|OA →|·|OB →|＋12)＝19×36＝4(当且仅当|OA →|＝|OB →|时取等号)． ∴|OG →|≥2，故|OG →|的最小值是2.跟踪演练2 (1)32(2)90° 解析 (1)由题意，圆心为O (0,0)，半径为1.如图所示，∵P (1，3)，∴P A ⊥x 轴，P A ＝PB ＝ 3.∴△POA 为直角三角形，其中OA ＝1，AP ＝3，则OP ＝2，∴∠OP A ＝30°，∴∠APB ＝60°.∴P A →·PB →＝|P A →||PB →|·cos ∠APB ＝3×3×cos 60°＝32. (2)∵AO →＝12(AB →＋AC →)， ∴点O 是△ABC 中边BC 的中点，∴BC 为直径，根据圆的几何性质有〈AB →，AC →〉＝90°.例3 解 (1)f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x＝cos 2x ＋3sin 2x ＋1＝2sin(2x ＋π6)＋1，令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ， 解得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ， 因为x ∈[0，π2)， 所以f (x )的单调递增区间为[0，π6]． (2)由f (C )＝2sin(2C ＋π6)＋1＝2， 得sin(2C ＋π6)＝12， 而C ∈(0，π)，所以2C ＋π6∈(π6，13π6)， 所以2C ＋π6＝56π，解得C ＝π3. 因为向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，所以sin A sin B ＝12. 由正弦定理得a b ＝12，① 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3， 即a 2＋b 2－ab ＝9.②联立①②，解得a ＝3，b ＝2 3.跟踪演练3 解 (1)由BA →·BC →＝2得c ·a cos B ＝2.又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B .又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×6×13＝13. 解⎩⎪⎨⎪⎧ ac ＝6，a 2＋c 2＝13， 得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝2.因为a >c ，所以a ＝3，c ＝2.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝ 1－(13)2＝223， 由正弦定理， 得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429. 因为a ＝b >c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝ 1－(429)2＝79. 于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C＝13×79＋223×429＝2327. 高考押题精练1．C [因为DE ∥BC ，所以DN ∥BM ， 则△AND ∽△AMB ，所以AN AM ＝AD AB. 因为AD →＝13AB →， 所以AN →＝13AM →. 因为M 为BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(a ＋b )， 所以AN →＝13AM →＝16(a ＋b )． 故选C.]2．B [∵BF →＝2FO →，圆O 的半径为1，∴|FO →|＝13， ∴FD →·FE →＝(FO →＋OD →)·(FO →＋OE →)＝FO →2＋FO →·(OE →＋OD →)＋OD →·OE →＝(13)2＋0－1＝－89.] 3．－17解析 因为a ＝(1,2)，b ＝(cos α，sin α)，且a ⊥b ，所以cos α＋2sin α＝0，则tan α＝－12. 所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－43. 所以tan(2α＋π4)＝tan 2α＋tan π41－tan 2α·tan π4＝－43＋11－(－43)×1＝－1373＝－17. 4．－116解析 因为OP →＝OB →＋BP →，所以OP →·BP →＝(OB →＋BP →)·BP →＝OB →·BP →＋(BP →)2.又因为∠AOB ＝60°，OA ＝OB ，∴∠OBA ＝60°.OB ＝1.所以OB →·BP →＝|BP →|cos 120°＝－12|BP →|.所以OP →·BP →＝－12|BP →|＋|BP →|2＝(|BP →|－14)2－116≥－116.故当且仅当|BP →|＝14时，OP →·BP →最小值是－116.二轮专题强化练答案精析第3讲 平面向量1．C [DA →＝CB →＝AB →－AC →＝(2,4)－(1,3)＝(1,1)．]2．D [在△ABC 中，由BC →＝AC →－AB →＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b |＝2.又|a |＝1，所以a·b ＝|a||b |·cos 120°＝－1，所以(4a ＋b )·BC →＝(4a ＋b )·b ＝4a·b ＋|b |2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b )⊥BC →，故选D.]3．B [如图，因为AN →＝12NC →，所以AN →＝13AC →，AP →＝mAB →＋29AC →＝mAB →＋23AN →，因为B ，P ，N 三点共线， 所以m ＋23＝1，所以m ＝13.] 4．C [由AO →＝12(AB →＋AC →)可知O 是BC 的中点，即BC 为外接圆的直径，所以|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，又因为|AO →|＝|AC →|＝1，故△OAC 为等边三角形，即∠AOC ＝60°，由圆周角定理可知∠ABC＝30°，且|AB →|＝3，所以BA →在BC →方向上的投影为|BA →|·cos ∠ABC ＝3×cos 30°＝32，故选C. ] 5．9解析 因为OA →⊥AB →，所以OA →·AB →＝0.所以OA →·OB →＝OA →·(OA →＋AB →)＝OA →2＋OA →·AB →＝|OA →|2＋0＝32＝9.6.35解析 设AB 的中点为D ，由5AM →＝AB →＋3AC →，得3AM →－3AC →＝2AD →－2AM →，即3CM →＝2MD →.如图所示，故C ，M ，D 三点共线，且MD →＝35CD →， 也就是△ABM 与△ABC 对于边AB 的两高之比为3∶5，则△ABM 与△ABC 的面积比值为35. 7.2918解析 在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，∴CD ＝1，AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋23BC →， AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋16DC →， ∴AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋23BC →·⎝⎛⎭⎫AD →＋16DC →＝AB →·AD →＋AB →·16DC →＋23BC →·AD →＋23BC →·16DC →＝2×1×cos 60°＋2×16＋23×1×cos 60°＋23×16×cos 120°＝2918. 8．[－12，12] 解析 令Q (c ，d )，由新的运算可得OQ →＝m ⊗OP →＋n ＝(2x ，12sin x )＋(π3，0)＝(2x ＋π3，12sin x )， ∴⎩⎨⎧ c ＝2x ＋π3，d ＝12sin x ，消去x 得d ＝12sin(12c －π6)， ∴y ＝f (x )＝12sin(12x －π6)， 易知y ＝f (x )的值域是[－12，12]． 9．解 (1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ，|b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.又x ∈[0，π2]，从而sin x ＝12， 所以x ＝π6.(2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin(2x －π6)＋12， 当x ＝π3∈[0，π2]时，sin(2x －π6)取最大值1. 所以f (x )的最大值为32. 10．解 (1)因为向量a ＝(2sin(ωx ＋2π3)，0)，b ＝(2cos ωx ,3)(ω>0)，所以函数f (x )＝a ·b ＝4sin(ωx ＋2π3)cos ωx ＝4[sin ωx ·(－12)＋cos ωx ·32]cos ωx ＝23·cos 2ωx －2sin ωx cos ωx ＝3(1＋cos 2ωx )－sin 2ωx ＝2cos(2ωx ＋π6)＋3， 由题意，可知f (x )的最小正周期为T ＝π，所以2π2ω＝π，即ω＝1. (2)易知f (x )＝2cos(2x ＋π6)＋3，当x ∈[0,2π]时，2x ＋π6∈[π6，4π＋π6]， 故2x ＋π6∈[π，2π]或2x ＋π6∈[3π，4π]时，函数f (x )单调递增， 所以函数f (x )的单调递增区间为[5π12，11π12]和[17π12，23π12]． 11．C [因为|a ＋b |＝|a －b |，所以(a ＋b )2＝(a －b )2，解得a ·b ＝0，所以向量b －a 在向量a 上的投影为|b －a |cos 〈a ，b －a 〉＝a ·(b －a )|a |＝0－|a |2|a |＝－|a |＝－1.]12．A [∵a ·b ＝0，且a ，b 是单位向量，∴|a |＝|b |＝1.又∵|c －a －b |2＝c 2－2c ·(a ＋b )＋2a ·b ＋a 2＋b 2＝1，∴2c ·(a ＋b )＝c 2＋1.∵|a |＝|b |＝1且a ·b ＝0，∴|a ＋b |＝2，∴c 2＋1＝22|c |cos θ(θ是c 与a ＋b 的夹角)．又－1≤cos θ≤1，∴0<c 2＋1≤22|c |，∴c 2－22|c |＋1≤0， ∴2－1≤|c |≤2＋1.]13．B [连接PB ，PC .因为CD 是△ABC 的中线，所以边AB 的中点为D ，所以P A →＋PB →＝2PD →.因为PD →＝1－λ2P A →＋12CB →， 所以12(P A →＋PB →) ＝1－λ2P A →＋12(PB →－PC →)， 所以PC →＝－λP A →，所以A ，C ，P 三点共线，因此点P 一定在AC 边所在的直线上．]14．解 (1)方法一 ∵P A →＋PB →＋PC →＝0，又P A →＋PB →＋PC →＝(1－x,1－y )＋(2－x,3－y )＋(3－x,2－y )＝(6－3x,6－3y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 6－3x ＝0，6－3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，即OP →＝(2,2)，故|OP →|＝2 2.方法二 ∵P A →＋PB →＋PC →＝0，则(OA →－OP →)＋(OB →－OP →)＋(OC →－OP →)＝0，∴OP →＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝(2,2)， ∴|OP →|＝2 2.(2)∵OP →＝mAB →＋nAC →，∴(x ，y )＝(m ＋2n,2m ＋n )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减得，m－n＝y－x.令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2,3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.。
2016版高考数学大二轮总复习与增分策略(,文科)配套文档：专题八 数学思想方法
高考数学以能力立意，一是考查数学的基础知识，基本技能;二是考查基本数学思想方法，考查数学思维的深度、广度和宽度,数学思想方法是指从数学的角度来认识、处理和解决问题，是数学意识,是数学技能的升华和提高，中学数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归和转化思想．（一)函数与方程思想函数思想，就是用函数与变量去思考问题分析和研究数学中的数量关系,建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决的数学思想．方程的思想,就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的数学思想．例1 (1）若a〉1,则双曲线x2a2－错误!＝1的离心率e的取值范围是（）A．(1，错误!）B．（错误!，错误!）C．［错误!，错误!] D．（错误!，错误!)(2）若将函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是_________________________________________________________．思维升华函数与方程思想在解题中的应用（1）函数与不等式的相互转化，对函数y＝f（x)，当y>0时，就化为不等式f（x）〉0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．(2）数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．（3）解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数有关理论．(4）立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算,经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决．跟踪演练1 (1）(2015·淄博实验中学诊断)若函数f(x)在R上可导,且满足f（x）〈xf′（x)，则（)A．2f(1）<f（2) B．2f(1）〉f（2)C．2f（1）＝f(2) D．f（1）＝f（2）(2)如图是函数y＝A sin（ωx＋φ）（其中A〉0，ω〉0，－π〈φ〈π）在一个周期内的图象，则此函数的解析式是（）A．y＝2sin(2x＋错误!) B．y＝2sin(2x＋错误!)C．y＝2sin（x2－错误!）D．y＝2sin（2x－错误!)(二）数形结合思想数形结合思想包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形:一是借助形的生动性和直观性来阐明数形之间的联系,即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段,形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．例2 （1)(2014·山东）已知函数f(x）＝｜x－2｜＋1，g(x)＝kx，若方程f（x)＝g(x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）A．(0，12）B．（错误!，1）C．（1，2）D．(2,＋∞）（2）若实数x、y满足错误!则错误!的最小值是____．思维升华数形结合思想在解题中的应用（1）构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围或解不等式．(2）构建函数模型并结合其图象研究方程根或函数的零点的范围．(3)构建解析几何模型求最值或范围．（4)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系．跟踪演练2 (1)已知奇函数f(x)的定义域是｛x|x≠0，x∈R},且在(0，＋∞）上单调递增，若f(1)＝0，则满足x·f（x）<0的x的取值范围是_________________________________．(2)已知P是直线l：3x＋4y＋8＝0上的动点,PA、PB是圆x2＋y2－2x －2y＋1＝0的两条切线,A、B是切点，C是圆心，则四边形PACB 面积的最小值为________．（三）分类与整合思想分类与整合思想是将一个较复杂的数学问题分解（或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题）分解为小问题（或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度;分类研究后还要对讨论结果进行整合．例3 (1)(2015·山东)设函数f（x)＝错误!则满足f（f（a））＝2f(a)的a 的取值范围是( )A.错误!B．［0,1]C.错误!D．[1, ＋∞)（2)设F1，F2为椭圆错误!＋错误!＝1的两个焦点，P为椭圆上一点．已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且｜PF1｜〉｜PF2｜，则错误!的值为________．思维升华分类与整合思想在解题中的应用（1)由数学概念引起的分类．有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论．有的定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．(3)由数学运算和字母参数变化引起的分类．如除法运算中除数不为零,偶次方根为非负，对数真数与底数的限制，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．（4)由图形的不确定性引起的分类讨论．有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限;点、线、面的位置关系等．跟踪演练3 (1)（2014·课标全国Ⅱ）钝角三角形ABC的面积是错误!，AB＝1，BC＝错误!,则AC等于（）A．5 B。
(全国通用)2016版高考数学大二轮总复习 增分策略 专题六 解析几何 第3讲 圆锥曲线的综合问题课件
解析几何
第 3讲 圆锥曲线的综合问题
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1 2
2 x 1.(2014· 福建)设 P， Q 分别为圆 x2＋(y－6)2＝2 和椭圆10＋y2
＝1 上的点，则 P，Q 两点间的最大距离是( A.5 2 C.7＋ 2 B. 46＋ 2 D.6 2
3 4 (2)若|PQ|＝λ|PF1|，且4≤λ＜3，试确定椭圆离心率 e 的取值 范围.
解 如图，由PF1⊥PQ，|PQ|＝λ|PF1|，
得|QF1|＝ |PF1|2＋|PQ|2＝ 1＋λ2|PF1|.
由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a， 进而|PF1|＋|PQ|＋|QF1|＝4a，
)
解析 如图所示，设以(0,6)为圆心，
以r为半径的圆的方程为x2＋(y－6)2＝r2(r>0)，
1 2
x2 与椭圆方程10＋y2＝1 联立得方程组，
消掉x2得9y2＋12y＋r2－46＝0. 令Δ＝122－4×9(r2－46)＝0，
解得 r2＝50，即 r＝5 2.
由题意易知 P，Q 两点间的最大距离为 r＋ 2＝6 2，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0，
4kk－1 2kk－2 则 x1＋x2＝ 2 ，x1x2＝ 2 ， 1＋2k 1＋2k
1 2
从而直线AP，AQ的斜率之和
y1＋1 y2＋1 kx1＋2－k kx2＋2－k kAP＋kAQ＝ x ＋ x ＝ ＋ x x
1 2 1 2
1 x1＋x2 1 ＝2k＋(2－k)x ＋x ＝2k＋(2－k) x x 1 2 1 2
例3 如图，抛物线C：y2＝2px的焦点为F， 抛物线上一定点Q(1,2). (1)求抛物线C的方程及准线l的方程； 解 把Q(1,2)代入y2＝2px，得2p＝4， 所以抛物线方程为y2＝4x， 准线l的方程为x＝－1.
2016届高三文科数学二轮复习考前增分方略第三讲 保分大题不失分(第四课时)
三角函数与平面向量的交汇
【例2】 (2014· 沈阳质量监测)已知函数f(x)＝sinx－ 3
cosx＋2，记函数f(x)的最小正周期为β，向量a＝(2，cosα)， β π 7 b＝(1，tan(α＋ ))(0<α< )，且a· b＝ . 2 4 3 2π 4π (1)求f(x)在区间[ 3 ， 3 ]上的最值； 2cos2α－sin2α＋β (2)求 的值． cosα－sinα
答 题 模 板
三角函数的图象与性质
【例1】 cos
2
已知函数f(x)＝2sin 3.
π x－ 3
cos
π x－ 3
＋2
3
π x－ － 3
(1)求函数f(x)的最大值及取得最大值时相应的x的值； (2)若函数y＝f(2x)－a在区间 x2，求tan(x1＋x2)的值．
2
π 2．(2014· 合肥第一次质检)已知向量a＝(cos(θ－ 4 )，1)，b π 5π ＝(3,0)，其中θ∈(2， 4 )，若a· b＝1. (1)求sinθ的值； (2)求tan2θ的值．
π 1 π 2 2 解：(1)由已知得：cos(θ－4)＝3，sin(θ－4)＝ 3 ，∴sinθ π π π π π π 4＋ 2 ＝sin[(θ－ )＋ ]＝sin(θ－ )cos ＋cos(θ－ )sin ＝ . 4 4 4 4 4 4 6 π 1 2 (2)由cos(θ－ )＝ 得sinθ＋cosθ＝ ，两边平方得：1＋ 4 3 3 2 7 4 2 2 2sinθcosθ＝ ，即sin2θ＝－ ，而cos2θ＝1－2sin θ＝－ ， 9 9 9 7 2 ∴tan2θ＝ 8 .
2016届高考文科数学二轮复习与增分策略(全国通用)高考压轴大题突破练(二)
姓名：________ 班级：________ 学号：________高考压轴大题突破练(二)直线与圆锥曲线(2)1.已知B 是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的一点，F 是椭圆右焦点，且BF ⊥x 轴，B ⎝⎛⎭⎫1，32. (1)求椭圆E 的方程；(2)设A 1和A 2是长轴的两个端点，直线l 垂直于A 1A 2的延长线于点D ，|OD |＝4，P 是l 上异于点D 的任意一点．直线A 1P 交椭圆E 于M (不同于A 1，A 2)，设λ＝A 2M →·A 2P →，求λ的取值范围．2．(2015·课标全国Ⅱ)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22，点(2，2)在C上．(1)求C的方程；(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．3．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(0,4)，离心率为35. (1)求C 的方程；(2)过点(10,0)作直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点在直线y ＝x －1上，求l 的方程．4．已知椭圆C经过点P(3，12)，两焦点坐标分别为F1(－3，0)，F2(3，0)．(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点A(0，－1)，直线l与椭圆C交于M，N两点．若△AMN是以A为直角顶点的等腰直角三角形，试求直线l的方程．答案精析高考压轴大题突破练(二)直线与圆锥曲线(2)1．解 (1)依题意得半焦距c ＝1，设左焦点为F ′，∴|FF ′|＝2c ＝2，又∵|BF |＝32，BF ⊥x 轴， ∴在Rt △BFF ′中，|BF ′|＝BF 2＋FF ′2＝52， ∵2a ＝|BF |＋|BF ′|＝4，∴a ＝2.∴b 2＝a 2－c 2＝22－12＝3.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)由(1)知，A 1(－2,0)，A 2(2,0)．设M (x 0，y 0)．∵M 在椭圆E 上，∴y 20＝34(4－x 20)． 由P ，M ，A 1三点共线可得P ⎝⎛⎭⎫4，6y 0x 0＋2. ∴A 2M →＝(x 0－2，y 0)，A 2P →＝⎝⎛⎭⎫2，6y 0x 0＋2. ∴A 2M →·A 2P →＝2(x 0－2)＋6y 20x 0＋2＝52(2－x 0)， ∵－2<x 0<2，∴λ＝A 2M →·A 2P →∈(0,10)．2．解 (1)由题意得a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4. 所以C 的方程为x 28＋y 24＝1. (2)设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1， 得(2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0.故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b ＝b 2k 2＋1. 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－12k， 即k OM ·k ＝－12. 所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．3．解 (1)由椭圆过点(0,4)，知b ＝4.又e ＝c a ＝35，所以a 2－42a 2＝925，解得a ＝5. 所以C 的方程为x 225＋y 216＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (a ，a －1)，则x 2125＋y 2116＝1，x 2225＋y 2216＝1. 两式相减并变形，得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)25＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)16＝0， 因为x 1＋x 2＝2a ，y 1＋y 2＝2(a －1)，y 1－y 2x 1－x 2＝k AB ＝a －1a －10， 所以2a 25＋2(a －1)16·a －1a －10＝0. 解得a ＝541或a ＝5. 当a ＝5时，点M (5,4)在椭圆外部，不符合要求，所以k AB ＝541－1541－10＝445. 故直线l 的方程为y ＝445(x －10)，即4x －45y －40＝0. 4．解 (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 依题意，得2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝12＋14＋14＝4， 所以a ＝2.又c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝1.于是椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)依题意，显然直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.由Δ＝64k 2m 2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)>0，得4k 2－m 2＋1>0.(*)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，线段MN 的中点为Q (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1，于是x 0＝－4km 4k 2＋1，y 0＝kx 0＋m ＝m 4k 2＋1. 因为|AM |＝|AN |，线段MN 的中点为Q ，所以AQ ⊥MN .①当x 0≠0，即k ≠0且m ≠0时，y 0＋1x 0k ＝－1，整理得3m ＝4k 2＋1.(**) 因为AM ⊥AN ，AM →＝(x 1，y 1＋1)，AN →＝(x 2，y 2＋1)，所以AM →·AN →＝x 1x 2＋(y 1＋1)(y 2＋1)＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (m ＋1)(x 1＋x 2)＋m 2＋2m ＋1＝(1＋k 2)4m 2－44k 2＋1＋k (m ＋1)(－8km 4k 2＋1)＋m 2＋2m ＋1＝0， 整理得5m 2＋2m －3＝0，解得m ＝35或m ＝－1. 当m ＝－1时，由(**)，知不合题意舍去．由(*)(**)，知m ＝35时，k ＝±55. 此时直线l 的方程为5x －5y ＋3＝0或5x ＋5y －3＝0.②当x 0＝0时．(ⅰ)当k ＝0时，直线l 的方程为y ＝m ，代入椭圆方程中得x ＝±21－m 2.设M (－21－m 2，m )，N (21－m 2，m )，依题意，若△AMN 为等腰直角三角形，则|QN |＝|AQ |，即21－m 2＝|1＋m |，解得m ＝－1(舍去)或m ＝35， 故此时直线l 的方程为y ＝35. (ⅱ)当k ≠0且m ＝0时，即直线l 过原点．由椭圆的对称性有Q (0,0)，则依题意不能有AQ ⊥MN ，即此时不满足△AMN 为等腰直角三角形．综上，直线l 的方程为y ＝35或5x －5y ＋3＝0或5x ＋5y －3＝0.。
高考数学大二轮总复习与增分策略(全国通用,文科)配套
第1讲 三角函数的图象与性质1．(2015·山东)要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位2．(2015·课标全国Ⅰ)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 3．(2015·湖南)已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________.4．(2015·浙江)函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，最小值是________．1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点.热点一 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式(1)三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx .各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．(2)同角关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.(3)诱导公式：在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．例1 (1)点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( ) A ．(－12，32)B ．(－32，－12) C ．(－12，－32)D ．(－32，12) (2)已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点P (－4,3)，则cos (π2＋α)sin (－π－α)cos (11π2－α)sin (9π2＋α)的值为________．思维升华 (1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关． (2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．跟踪演练1 (1)已知点P ⎝⎛⎭⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( ) A.π4 B.3π4 C.5π4 D.7π4(2)如图，以Ox 为始边作角α(0<α<π)，终边与单位圆相交于点P ，已知点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－35，45，则sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α＝________. 热点二 三角函数的图象及应用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 (1)“五点法”作图：设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点、连线可得．(2)图象变换：y ＝sin x ――――――――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ)y ＝sin(ωx ＋φ)――――――――――→纵坐标变为原来的A (A >0)倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)． 例2 (1)(2015·河南省实验中学期中)已知函数y ＝3sin ωx (ω>0)的周期是π，将函数y ＝3cos(ωx －π2)(ω>0)的图象沿x 轴向右平移π8个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，则函数f (x )等于( ) A ．3sin(2x －π8)B ．3sin(2x －π4)C ．－3sin(2x ＋π8)D ．－3sin(2x ＋π4)(2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0,0<φ<π)的图象如图所示，则f (π3)的值为________．思维升华 (1)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向． 跟踪演练2 (1)若将函数y ＝tan(ωx ＋π4)(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan(ωx ＋π6)的图象重合，则ω的最小正值为( )A.16B.14C.13D.12(2)(2015·陕西)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( ) A ．5 B ．6 C ．8D ．10热点三 三角函数的性质(1)三角函数的单调区间：y ＝sin x 的单调递增区间是[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )，单调递减区间是[2k π＋π2，2k π＋3π2](k ∈Z )；y ＝cos x 的单调递增区间是[2k π－π，2k π](k ∈Z )，单调递减区间是[2k π，2k π＋π](k ∈Z )； y ＝tan x 的递增区间是(k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z )．(2)y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得．y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得． y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数． 例3 (2015·安徽)已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．思维升华 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及应用的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式；第二步：把“ωx ＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．跟踪演练3 设函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x ＋a (a ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈[0，π6]时，f (x )的最大值为2，求a 的值，并求出y ＝f (x )(x ∈R )的对称轴方程．1．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值范围是( )A ．[12，54]B ．[12，34]C ．(0，12]D ．(0,2]2．如图，函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0，|φ|≤π2)与坐标轴的三个交点P 、Q 、R 满足P (2,0)，∠PQR ＝π4，M 为QR 的中点，PM ＝25，则A 的值为( )A.83 3 B.163 3 C ．8D ．163．设函数f (x )＝sin(2x ＋π3)＋33sin 2x －33cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期及其图象的对称轴方程；(2)将函数f (x )的图象向右平移π3个单位长度，得到函数g (x )的图象，求g (x )在区间[－π6，π3]上的值域．提醒：完成作业 专题三 第1讲二轮专题强化练专题三第1讲 三角函数的图象与性质A 组 专题通关1．若0≤sin α≤22，且α∈[－2π，0]，则α的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤－2π，－7π4∪⎣⎡⎦⎤－5π4，－π B.⎣⎡⎦⎤－2π＋2k π，－7π4＋2k π∪⎣⎡⎦⎤－5π4＋2k π，－π＋2k π(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎦⎤3π4，π D.⎣⎡⎦⎤2k π，2k π＋π4∪⎣⎡⎦⎤2k π＋3π4，2k π＋π(k ∈Z ) 2．为了得到函数y ＝cos(2x ＋π3)的图象，可将函数y ＝sin 2x 的图象( )A ．向左平移5π6个单位B ．向右平移5π6个单位C ．向左平移5π12个单位D ．向右平移5π12个单位3．已知函数f (x )＝cos 2π2x ＋3sin π2x cos π2x －2，则函数f (x )在[－1,1]上的单调递增区间为( )A ．[－23，13]B ．[－1，12]C ．[13，1]D ．[－34，23]4．若将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是( ) A.π8 B.π4 C.3π8 D.5π45．下图所示的是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)图象的一部分，则其函数解析式是( )A ．y ＝sin(x ＋π3)B ．y ＝sin(x －π3)C ．y ＝sin(2x ＋π6)D ．y ＝sin(2x －π6)6．函数y ＝2sin(πx 6－π3)(0≤x ≤9)的最大值与最小值之差为________．7．已知函数f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω>0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈[0，π2]，则f (x )的取值范围是________．8．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f (π6)＝________.9．(2015·重庆)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，2π3上的单调性．10．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．B 组 能力提高11．将函数h (x )＝2sin(2x ＋π4)的图象向右平移π4个单位，再向上平移2个单位，得到函数f (x )的图象，则函数f (x )的图象与函数h (x )的图象( ) A ．关于直线x ＝0对称 B ．关于直线x ＝1对称 C ．关于(1,0)点对称 D ．关于(0,1)点对称12．已知f (x )＝2sin ωx (cos ωx ＋sin ωx )的图象在x ∈[0,1]上恰有一个对称轴和一个对称中心，则实数ω的取值范围为( ) A ．(3π8，5π8)B ．[3π8，5π8)C ．(3π8，5π8]D ．[3π8，5π8]13．函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的部分图象如图所示，点A ，B 是最高点，点C 是最低点，若△ABC 是直角三角形，则f (12)＝________.14．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋π4)(A >0，ω>0)，g (x )＝tan x ，它们的最小正周期之积为2π2，f (x )的最大值为2g (17π4)．(1)求f (x )的单调递增区间；(2)设h (x )＝32f 2(x )＋23cos 2x .当x ∈[a ，π3)时，h (x )有最小值为3，求a 的值．学生用书答案精析专题三 三角函数、解三角形与平面向量第1讲 三角函数的图象与性质高考真题体验1．B [∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫x －π12， ∴要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位．] 2．D [由图象知，周期T ＝2⎝⎛⎭⎫54－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π. 由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ， 不妨取φ＝π4， ∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π4. 由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z .故选D.] 3.π2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2sin ωx ，y ＝2cos ωx 得sin ωx ＝cos ωx ， ∴tan ωx ＝1，ωx ＝k π＋π4(k ∈Z )． ∵ω>0，∴x ＝k πω＋π4ω(k ∈Z )． 设距离最短的两个交点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，不妨取x 1＝π4ω，x 2＝5π4ω， 则|x 2－x 1|＝⎪⎪⎪⎪5π4ω－π4ω＝πω.又结合图形知|y 2－y 1|＝⎪⎪⎪⎪2×⎝⎛⎭⎫－22－2×22＝22， 且(x 1，y 1)与(x 2，y 2)间的距离为23，∴(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(23)2，∴⎝⎛⎭⎫πω2＋(22)2＝12，∴ω＝π2. 4．π 3－22解析 函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋1 ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋32.最小正周期为π.最小值为3－22. 热点分类突破例1 (1)A (2)－34解析 (1)设Q 点的坐标为(x ，y )，则x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32. ∴Q 点的坐标为(－12，32)． (2)原式＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α. 根据三角函数的定义，得tan α＝y x ＝－34， ∴原式＝－34. 跟踪演练1 (1)D (2)1825解析 (1)tan θ＝cos 34πsin 34π＝－cos π4sin π4＝－1， 又sin 3π4>0，cos 3π4<0， 所以θ为第四象限角且θ∈[0,2π)，所以θ＝7π4. (2)由三角函数定义，得cos α＝－35，sin α＝45，∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos α(sin α＋cos α)sin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2×⎝⎛⎭⎫－352＝1825. 例2 (1)B (2)1解析 (1)由题意可知T ＝2πω＝π，所以ω＝2，所以y ＝3cos(ωx －π2)(ω>0)的解析式为y ＝3cos(2x －π2)＝3sin 2x ，再把图象沿x 轴向右平移π8个单位后得到y ＝3sin 2(x －π8)＝3sin(2x －π4)．(2)根据图象可知，A ＝2，3T 4＝11π12－π6，所以周期T ＝π，由ω＝2πT ＝2.又函数过点(π6，2)，所以有sin(2×π6＋φ)＝1，而0<φ<π，所以φ＝π6，则f (x )＝2sin(2x ＋π6)，因此f (π3)＝2sin(2π3＋π6)＝1.跟踪演练2 (1)D (2)C解析 (2)由题干图易得y min ＝k －3＝2，则k ＝5.∴y max ＝k ＋3＝8.例3 解 (1)因为f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)由(1)的计算结果知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1.当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4，由正弦函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤π4，5π4上的图象知，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )取最大值2＋1； 当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f (x )取最小值0. 综上，f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为2＋1，最小值为0. 跟踪演练3 解 (1)f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x ＋a ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＋a ＝2sin(2x ＋π4)＋1＋a ， 则f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π， 且当2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，即k π－38π≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )时， f (x )单调递增．所以[k π－3π8，k π＋π8](k ∈Z )为f (x )的单调递增区间． (2)当x ∈[0，π6]时⇒π4≤2x ＋π4≤7π12， 当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时sin(2x ＋π4)＝1. 所以f (x )max ＝2＋1＋a ＝2⇒a ＝1－ 2.由2x ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π8(k ∈Z )， 故y ＝f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋π8，k ∈Z . 高考押题精练1．A [f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋π4)，令2k π＋π2≤ωx ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，解得2k πω＋π4ω≤x ≤2k πω＋5π4ω(k ∈Z )． 由题意，函数f (x )在(π2，π)上单调递减，故(π2，π)为函数单调递减区间的一个子区间，故有⎩⎨⎧ 2k πω＋π4ω≤π2，2k πω＋5π4ω≥π，解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54(k ∈Z )． 由4k ＋12<2k ＋54，解得k <38.由ω>0，可知k ≥0，因为k ∈Z ，所以k ＝0，故ω的取值范围为[12，54]．] 2．B [由题意设Q (a,0)，R (0，－a )(a >0)．则M (a 2，－a 2)，由两点间距离公式得， PM ＝ (2－a 2)2＋(a 2)2＝25，解得a ＝8，由此得，T 2＝8－2＝6，即T ＝12， 故ω＝π6， 由P (2,0)得φ＝－π3，代入f (x ) ＝A sin(ωx ＋φ)得，f (x )＝A sin(π6x －π3)， 从而f (0)＝A sin(－π3)＝－8， 得A ＝163 3.] 3．解 (1)f (x )＝12sin 2x ＋32cos 2x －33·cos 2x ＝12sin 2x ＋36cos 2x ＝33sin(2x ＋π6)． 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. 令2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )． (2)将函数f (x )的图象向右平移π3个单位长度，得到函数g (x )＝33sin[2(x －π3)＋π6]＝－33cos 2x 的图象，即g (x )＝－33cos 2x . 当x ∈[－π6，π3]时，2x ∈[－π3，2π3]， 可得cos 2x ∈[－12，1]， 所以－33cos 2x ∈[－33，36]，即函数g (x )在区间[－π6，π3]上的值域是[－33，36]．二轮专题强化练答案精析专题三 三角函数、解三角形与平面向量第1讲 三角函数的图象与性质1．A [根据题意并结合正弦线可知，α满足⎣⎡⎦⎤2k π，2k π＋π4∪⎣⎡⎦⎤2k π＋3π4，2k π＋π(k ∈Z )， ∵α∈[－2π，0]，∴α的取值范围是⎣⎡⎦⎤－2π，－7π4∪⎣⎡⎦⎤－5π4，－π. 故选A.]2．C [y ＝cos(2x ＋π3)＝sin[π2＋(2x ＋π3)] ＝sin(2x ＋5π6)＝sin[2(x ＋5π12)]， 因此，把y ＝sin 2x 的图象向左平移5π12个单位得到y ＝cos(2x ＋π3)的图象．] 3．A [f (x )＝cos 2π2x ＋3sin π2x cos π2x －2＝1＋cos πx 2＋32sin πx －2 ＝32sin πx ＋12cos πx －32＝sin(πx ＋π6)－32， 令－π2≤πx ＋π6≤π2， 解得x ∈[－23，13]．] 4．C [f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 将其图象向右平移φ个单位得到g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8－φ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－2φ的图象． ∵g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－2φ的图象关于y 轴对称， 即函数g (x )为偶函数，∴π4－2φ＝k π＋π2，k ∈Z ， 即φ＝－k π2－π8，k ∈Z ， 因此当k ＝－1时，φ有最小正值3π8.] 5．A [由题中图象可知振幅A ＝1，T 4＝π6－(－π3)＝π2，则T ＝2π. 故ω＝2πT＝1. ∵(π6，1)可看做“五点法”作图的第二个关键点，∴π6＋φ＝π2. ∴φ＝π3.∴y ＝sin(x ＋π3)．] 6．2＋ 3解析 因为0≤x ≤9，所以－π3≤πx 6－π3≤7π6， 因此当πx 6－π3＝π2时， 函数y ＝2sin(πx 6－π3)取最大值， 即y max ＝2×1＝2，当πx 6－π3＝－π3时， 函数y ＝2sin(πx 6－π3)取最小值， 即y min ＝2sin(－π3)＝－3， 因此y ＝2sin(πx 6－π3)(0≤x ≤9)的最大值与最小值之差为2＋ 3. 7．[－32，3] 解析 由两个三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f (x )＝3sin(2x －π6)，那么当x ∈[0，π2]时，－π6≤2x －π6≤5π6， 所以－12≤sin(2x －π6)≤1， 故f (x )∈[－32，3]． 8.22解析 将y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度可得y ＝sin(x ＋π6)的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得y ＝sin(12x ＋π6)的图象，故f (x )＝sin(12x ＋π6)． 所以f (π6)＝sin(12×π6＋π6)＝sin π4＝22. 9．解 (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32， 因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32. (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时， f (x )单调递增，当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时， f (x )单调递减．综上可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎡⎦⎤5π12，2π3上单调递减． 10．解 (1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6. ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]． ∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1，∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5.(2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1>1， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6>12，∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ， 其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时， g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ， ∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π6，k ∈Z . 又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时， g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z . ∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z . 11．D [依题意，将h (x )＝2sin(2x ＋π4)的图象向右平移π4个单位，再向上平移2个单位后得y ＝2sin[2(x －π4)＋π4]＋2，即f (x )＝2sin(2x －π4)＋2的图象， 又∵h (－x )＋f (x )＝2，∴函数f (x )的图象与函数h (x )的图象关于点(0,1)对称．]12．B [因为f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋2sin 2ωx ＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋1＝2sin(2ωx －π4)＋1， 设g (x )＝2ωx －π4， 因为g (0)＝－π4，g (1)＝2ω－π4， 所以π2≤2ω－π4<π， 解得3π8≤ω<5π8， 故实数ω的取值范围为[3π8，5π8)．] 13.22解析 由已知得△ABC 是等腰直角三角形，且∠ACB ＝90°， 所以12|AB |＝f (x )max －f (x )min ＝1－(－1)＝2， 即|AB |＝4，而T ＝|AB |＝2πω＝4， 解得ω＝π2.所以f (x )＝sin πx 2， 所以f (12)＝sin π4＝22. 14．解 (1)由题意，得2πω·π＝2π2， 所以ω＝1.又A ＝2g (17π4)＝2tan 174π＝2tan π4＝2， 所以f (x )＝2sin(x ＋π4)． 令2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4(k ∈Z )． 故f (x )的单调递增区间为[2k π－3π4，2k π＋π4](k ∈Z )． (2)因为h (x )＝32f 2(x )＋23cos 2x ＝32×4×sin 2(x ＋π4)＋23cos 2x ＝3(sin x ＋cos x )2＋23cos 2x ＝3＋3sin 2x ＋3(cos 2x ＋1)＝3＋3＋23sin(2x ＋π6)， 又h (x )有最小值为3，所以有3＋3＋23sin(2x ＋π6)＝3， 即sin(2x ＋π6)＝－12. 因为x ∈[a ，π3)， 所以2x ＋π6∈[2a ＋π6，5π6)， 所以2a ＋π6＝－π6，即a ＝－π6.。
高考数学大二轮总复习与增分策略-第四篇回归教材6《解析几何》练习文
6.解析几何1．直线的倾斜角与斜率 (1)倾斜角的范围为[0，π)． (2)直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；②斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线的斜率为k ＝y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)；③直线的方向向量a ＝(1，k )；④应用：证明三点共线：k AB ＝k BC .[问题1] (1)直线的倾斜角θ越大，斜率k 就越大，这种说法正确吗？ (2)直线x cos θ＋3y －2＝0的倾斜角的范围是____________________． 答案 (1)错 (2)[0，π6]∪[5π6，π)2．直线方程的五种形式(1)点斜式：已知直线过点(x 0，y 0)，其斜率为k ，则直线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，它不包括垂直于x 轴的直线．(2)斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b ，斜率为k ，则直线方程为y ＝kx ＋b ，它不包括垂直于x 轴的直线．(3)两点式：已知直线经过P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点，则直线方程为y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1，它不包括垂直于坐标轴的直线．(4)截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为a ，b ，则直线方程为x a ＋y b＝1，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线．(5)一般式：任何直线均可写成Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)的形式．[问题2] 已知直线过点P (1,5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为________________________________________________________________________． 答案 5x －y ＝0或x ＋y －6＝0 3．两条直线的位置关系(1)若已知直线的斜截式方程，l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则： ①l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，且b 1≠b 2；②l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1；③l 1与l 2相交⇔k 1≠k 2. (2)若已知直线的一般方程l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则： ①l 1∥l 2平行⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0；②l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0； ③l 1与l 2相交⇔A 1B 2－A 2B 1≠0；④l 1与l 2重合⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1＝0.[问题3] 设直线l 1：x ＋my ＋6＝0和l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当m ＝________时，l 1∥l 2；当m ＝________时，l 1⊥l 2；当________时l 1与l 2相交；当m ＝________时，l 1与l 2重合． 答案 －1 12 m ≠3且m ≠－1 34．点到直线的距离及两平行直线间的距离(1)点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2；(2)两平行线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.[问题4] 两平行直线3x ＋2y －5＝0与6x ＋4y ＋5＝0间的距离为________． 答案1513265．圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，只有当D 2＋E 2－4F >0时，方程x2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0才表示圆心为(－D 2，－E 2)，半径为12D 2＋E 2－4F 的圆．[问题5] 若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则a ＝________. 答案 －16．直线与圆的位置关系的判断(1)几何法：根据圆心到直线的距离d 与圆半径r 的大小关系来判定．(2)代数法：将直线方程代入圆的方程消元得一元二次方程，根据Δ的符号来判断． [问题6] 已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的圆心为抛物线y 2＝4x 的焦点，直线3x ＋4y ＋2＝0与圆C 相切，则该圆的方程为( ) A ．(x －1)2＋y 2＝6425 B ．x 2＋(y －1)2＝6425C ．(x －1)2＋y 2＝1 D ．x 2＋(y －1)2＝1 答案 C解析 因为抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，所以a ＝1，b ＝0，又直线3x ＋4y ＋2＝0与圆C 相切，得r ＝3＋25＝1，所以该圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1.7．圆锥曲线的定义和性质[问题7] 抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线方程为( ) A ．y 2＝6x B ．y 2＝8x C ．y 2＝16x D ．y 2＝152x答案 B解析 依题意，设M (x ，y )，|OF |＝p 2，所以|MF |＝2p ，x ＋p 2＝2p ，x ＝3p2，y ＝3p ，又△MFO的面积为43，所以12×p2×3p ＝43，p ＝4，所以抛物线方程为y 2＝8x .8．(1)在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意二次项的系数是否为零，利用解的情况可判断位置关系：有两解时相交；无解时相离；有唯一解时，在椭圆中相切，在双曲线中需注意直线与渐近线的关系，在抛物线中需注意直线与对称轴的关系，而后判断是否相切．(2)直线与圆锥曲线相交时的弦长问题斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则所得弦长 |P 1P 2|＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2]或|P 1P 2|＝＋1k2y 1＋y 22－4y 1y 2].(3)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则①焦半径|CF |＝x 1＋p2；②弦长|CD |＝x 1＋x 2＋p ；③x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.[问题8] 已知抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，过抛物线上一点M (p ，2p )和抛物线的焦点F 作直线l 交抛物线于另一点N ，则|NF |∶|FM |等于( )A ．1∶ 2B ．1∶ 3C ．1∶2D ．1∶3答案 C解析 由题意可知直线l 的方程为y ＝22(x －p2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝22x －p 2，得N (p 4，－22p )，所以|NF |＝p 4＋p 2＝34p ，|FM |＝p ＋p 2＝32p ，所以|NF |∶|FM |＝1∶2.易错点1 直线的倾斜角和斜率关系不清例1 直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π)B ．[0，π4]∪[3π4，π)C ．[0，π4]D ．[0，π4]∪[π2，π)易错分析 本题易混淆α和倾斜角的关系，不能真正理解斜率和倾斜角的实质，忽视倾斜角本身的范围．解析 设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α. 因为sin α∈[－1,1]，所以－1≤tan θ≤1， 又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ<π.答案 B易错点2 忽视直线的特殊位置例2 已知l 1：3x ＋2ay －5＝0，l 2：(3a －1)x －ay －2＝0.求使l 1∥l 2的a 的值． 易错分析 本题易出现的问题是忽视直线斜率不存在的特殊情况，即忽视a ＝0的情况． 解 当直线斜率不存在，即a ＝0时，有l 1：3x －5＝0，l 2：－x －2＝0，符合l 1∥l 2； 当直线斜率存在时，l 1∥l 2⇔－32a ＝3a －1a ⇔a ＝－16，经检验，a ＝－16符合题意．故使l 1∥l 2的a 的值为－16或0.易错点3 焦点位置考虑不全例3 已知椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率等于32，则m ＝______.易错分析 本题易出现的问题就是误以为给出方程的椭圆，其焦点在x 轴上导致漏解．该题虽然给出了椭圆的方程，但并没有确定焦点所在坐标轴，所以应该根据其焦点所在坐标轴进行分类讨论．解析 ①当椭圆的焦点在x 轴上时， 则由方程，得a 2＝4，即a ＝2. 又e ＝ca ＝32， 所以c ＝3，m ＝b 2＝a 2－c 2＝22－(3)2＝1.②当椭圆的焦点在y 轴上时，椭圆的方程为y 2m ＋x 24＝1.则由方程，得b 2＝4，即b ＝2.又e ＝c a ＝32，故a 2－b 2a ＝32，解得b a ＝12，即a ＝2b ，所以a ＝4.故m ＝a 2＝16.综上，m ＝1或16. 答案 1或16易错点4 忽视二次项系数讨论和判别式限制例4 求过点(0,1)的直线，使它与抛物线y 2＝2x 仅有一个公共点．易错分析 直线与抛物线的轴平行时，直线与抛物线相交，也只有一个交点．Δ>0是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件．解 ①当所求直线斜率不存在时，即直线垂直于x 轴，因为过点(0,1)，所以x ＝0，即y 轴，它正好与抛物线y 2＝2x 相切；②当直线斜率存在时，设所求的直线为y ＝kx ＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝kx ＋1，所以k 2x 2＋(2k －2)x＋1＝0.当k ＝0时，方程有一解，直线与抛物线仅有一个交点，所以直线为y ＝1；当k ≠0时，Δ＝0，方程有一解，直线与抛物线也仅有一个交点，解得k ＝12，所以所求直线为y ＝12x ＋1.综上，满足条件的直线为：y ＝1，x ＝0，y ＝12x ＋1.易错点5 定点问题思路不清例5 已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过F 作两条相互垂直的弦AB ，CD ，设弦AB ，CD 的中点分别为M ，N .求证：直线MN 恒过定点．易错分析 直线恒过定点是指无论直线如何变动，必有一个定点的坐标适合这条直线的方程，问题就归结为用参数把直线的方程表示出来，无论参数如何变化这个方程必有一组常数解．本题容易出错的地方有两个：一是在用参数表示直线MN 的方程时计算错误；二是在得到了直线系MN 的方程后，对直线恒过定点的思路不清，找错方程的常数解．证明 由题设，知F (1,0)，直线AB 的斜率存在且不为0，设l AB ：y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入y 2＝4x ，得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0，得x M ＝x A ＋x B 2＝k 2＋2k 2，又y M ＝k (x M －1)＝2k ，故M (k 2＋2k 2，2k)．因为CD ⊥AB ，所以k CD ＝－1k .以－1k代k ，同理，可得N (2k 2＋1，－2k )．所以直线MN 的方程为(2k 2＋1－k 2＋2k2)(y ＋2k )＝(－2k －2k)(x －2k 2－1)，化简整理，得yk 2＋(x －3)k －y ＝0，该方程对任意k 恒成立，故⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x －3＝0，－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0.故不论k 为何值，直线MN 恒过点(3,0)．1．设向量a ＝(a,1)，b ＝(1，b )(ab ≠0)，若a ⊥b ，则直线b 2x ＋y ＝0与直线x －a 2y ＝0的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．相交但不垂直 D ．重合答案 B解析 由题意知两直线都经过点(0,0)，因为a ⊥b ，所以a·b ＝a ＋b ＝0，所以a ＝－b ，由于直线b 2x ＋y ＝0的斜率为－b 2，直线x －a 2y ＝0的斜率为1a 2，则(－b 2)·1a2＝－1，故两直线垂直．2．过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3 答案 D解析 如图，过点P 作圆的切线PA ，PB ，切点为A ，B .由题意知|OP |＝2，|OA |＝1，则sin α＝12，所以α＝π6，∠BPA ＝π3.故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.3．两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为( )A ．1B ．3 C.19 D.49答案 A解析 两圆方程可化为(x ＋a )2＋y 2＝4，x 2＋(y －2b )2＝1，由题意知两圆外切， ∴a 2＋4b 2＝3， 即a 2＋4b 2＝9， ∴1a 2＋1b 2＝(1a 2＋1b2)×a 2＋4b 29＝19(5＋a 2b 2＋4b 2a 2) ≥19(5＋2a 2b 2·4b 2a 2)＝1. 当且仅当a ＝±2b 时取等号， ∴(1a ＋1b)min ＝1.4．点F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点，在此椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝60°，且|PF 1|＝2|PF 2|，则此椭圆的离心率为( ) A.13 B.22 C.33D.66答案 C解析 由∠F 1PF 2＝60°，|PF 1|＝2|PF 2|， 可得∠PF 2F 1＝90°，∴e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝3|PF 2|2|PF 2|＋|PF 2|＝33.5．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝120°，过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则|MN ||AB |的最大值为( )A.33B ．1 C.233D ．2答案 A解析 设|AF |＝a ，|BF |＝b ，由余弦定理得|AB |2＝a 2＋b 2－2ab cos 120° ＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab ≥(a ＋b )2－(a ＋b2)2＝34(a ＋b )2， ∵a ＋b ＝|AF |＋|BF |＝2|MN |， ∴|AB |2≥34|2MN |2，∴|MN ||AB |≤33.6．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________． 答案 43解析 圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，圆心为(4,0)． 由题意知(4,0)到kx －y －2＝0的距离应不大于2， 即|4k －2|k 2＋1≤2.整理，得3k 2－4k ≤0， 解得0≤k ≤43.故k 的最大值是43.7．(2015·课标全国Ⅱ改编)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为________． 答案2解析 如图，设双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，则|AB |＝2a ，由双曲线的对称性，可设点M (x 1，y 1)在第一象限内，过M 作MN ⊥x 轴于点N (x 1,0)，∵△ABM 为等腰三角形，且∠ABM ＝120°，∴|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBN ＝60°，∴y 1＝|MN |＝|BM |sin∠MBN ＝2a sin 60°＝3a ，x 1＝|OB |＋|BN |＝a ＋2a cos 60°＝2a .将点M (x 1，y 1)的坐标代入x 2a 2－y 2b 2＝1，可得a 2＝b 2，∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝ 2. 8．已知点A (－2,0)，B (2,0)，过点A 作直线l 与以A ，B 为焦点的椭圆交于M ，N 两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为45，且直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，则该椭圆的标准方程是________． 答案x 28＋y 24＝1 解析 根据题意，知直线l 的斜率存在， 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，①由题意设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－4＝1(a 2＞4)，②由直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得|2k |1＋k2＝1，解得k 2＝13.将①代入②，得(a 2－3)x 2＋a 2x －34a 4＋4a 2＝0，设点M 的坐标为(x 1，y 1)，点N 的坐标为(x 2，y 2)，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－a 2a 2－3.又线段MN 的中点到y 轴的距离为45，所以|x 1＋x 2|＝85，即－a 2a 2－3＝－85，解得a 2＝8.所以该椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.9．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |.(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|； (2)若cos∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率．解 (1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4，得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1.因为△ABF 2的周长为16， 所以由椭圆定义可得4a ＝16，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8. 故|AF 2|＝2a －|AF 1|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ，则k >0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k .由椭圆定义可得|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k .在△ABF 2中，由余弦定理可得|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2|cos∠AF 2B ，即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )·(2a －k )， 化简得(a ＋k )(a －3k )＝0.而a ＋k >0，所以a ＝3k .于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k .因此|BF 2|2＝|AF 2|2＋|AB |2，可得F 1A ⊥F 2A ，故△AF 1F 2为等腰直角三角形．从而c ＝22a ， 所以椭圆E 的离心率e ＝ca ＝22. 10.如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点A (0，－1)，且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.(1)解 由题设知c a ＝22，b ＝1， 结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝ 2.所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. (2)证明 由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1， 得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0.由已知Δ>0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0，则x 1＋x 2＝4k k －1＋2k 2，x 1x 2＝2k k －1＋2k 2.从而直线AP ，AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－k x 2＝2k ＋(2－k )(1x 1＋1x 2)＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k k －2k k －＝2k －2(k －1)＝2.所以直线AP 与AQ 的斜率之和为2.。
届高考文科数学二轮复习与增分策略(全国通用)专题六解析几何第1讲PPT课件
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3.(2015·重庆)若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该
圆在点P处的切线方程为_x_＋__2_y_－__5_＝__0_. 解析 点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，
则圆的方程为x2＋y2＝5，
设所求直线为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0，
|－k＋2| 圆心到直线的距离 d＝ k2＋1 ＝
5，解得 k＝－21，
∴直线为－21x－y＋25＝0，即 x＋2y－5＝0.
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4.(2014·课标全国Ⅱ)设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存 在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________. 解析 如图，过点M作⊙O的切线， 切点为N，连接ON. M点的纵坐标为1， MN与⊙O相切于点N. 设∠OMN＝θ，则θ≥45°，
C.(x－2)2＋(y±2)2＝4
D.(x－2)2＋(y± 3)2＝4
解析 因为圆C经过(1,0)，(3,0)两点，
所以圆心在直线x＝2上，又圆与y轴相切，所以半径r＝2，
设圆心坐标为(2，b)，则(2－1)2＋b2＝4，b2＝3，b＝± 3，
所以选 D.
(2)已知圆 M 的圆心在 x 轴上，且圆心在直线 l1：x＝－2 的 右侧，若圆 M 截直线 l1 所得的弦长为 2 3，且与直线 l2：2x － 5y－4＝0 相切，则圆 M 的方程为( )
思维升华
(1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存 在的情况； (2)对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方 法分析研究.
跟踪演练1 过点M(0,1)作直线，使它被两条直线l1：x－ 3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0所截得的线段恰好被M所平 分，则此直线方程为________.
高考数学大二轮总复习 增分策略 第三篇 建模板,看细则,突破高考拿高分
【步步高】（全国通用）2016版高考数学大二轮总复习 增分策略 第三篇 建模板，看细则，突破高考拿高分【模板特征概述】数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能．目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题．在高考考场上，能否做好解答题，是高考成败的关键，因此，在高考备考中学会怎样解题，是一项重要的内容．本节以著名数学家波利亚的《怎样解题》为理论依据，结合具体的题目类型，来谈一谈解答数学解答题的一般思维过程、解题程序和答题格式，即所谓的“答题模板”．“答题模板”就是首先把高考试题纳入某一类型，把数学解题的思维过程划分为一个个小题，按照一定的解题程序和答题格式分步解答，即化整为零．强调解题程序化，答题格式化，在最短的时间内拟定解决问题的最佳方案，实现答题效率的最优化．模板1 三角函数的性质典例1 (12分)(2015·天津)已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值．审题路线图 利用和角公式展开→降幂整理→用辅助角公式化f x 为y ＝A sin ωx ＋φ＋k 的形式→利用T ＝2π|ω|求周期 →利用单调性或数形结合求最值规 范 解 答·评 分 标 准构 建 答 题 模 板 解 (1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x2－1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π322分＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x 4分 ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.6分第一步 化简：利用辅助角公式化f (x )为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式．第二步 整体代换：设t ＝ωx ＋φ，确定t 的范围． 第三步 求解：利用y ＝sin t评分细则 第(1)问得分点：1 无化简过程，直接得到f (x )＝12sin(2x －π6)，扣5分2 化简结果错误，中间某一步正确，给2分 第(2)问得分点：1 只求f (－π3)，f (π4)得出最值，给1分2 若单调性出错，给1分3 单调性正确，计算错误，扣2分4 求出2x －π6范围，利用数形结合求最值，同样得分．跟踪演练1 (2014·福建)已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0<α<π2，且sin α＝22，求f (α)的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．典例2 (14分)(2014·山东)△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cosA ＝63，B ＝A ＋π2. (1)求b 的值； (2)求△ABC 的面积．审题路线图 (1)利用同角公式、诱导公式→求得sin A 、sin B →利用正弦定理求b (2)方法一余弦定理求边c →S ＝12ac sin B方法二用和角正弦公式求sin C →S ＝12ab sin C评分细则 第(1)问得分点1．没求sin A 而直接求出sin B 的值，不扣分． 2．写出正弦定理，但b 计算错误，得1分． 第(2)问得分点1．写出余弦定理，但c 计算错误，得1分． 2．求出c 的两个值，但没舍去，扣2分．3．面积公式正确，但计算错误，只给1分．4．若求出sin C ，利用S ＝12ab sin C 计算，同样得分．跟踪演练2 (2015·浙江)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知A ＝π4，b 2－a 2＝12c 2.(1)求tan C 的值；(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值．典例3 (12分)(2014·浙江)已知数列{a n }和{b n }满足a 1a 2a 3…a n ＝(2)n b(n ∈N *)．若{a n }为等比数列，且a 1＝2，b 3＝6＋b 2. (1)求a n 与b n ；(2)设c n ＝1a n －1b n(n ∈N *)．记数列{c n }的前n 项和为S n .①求S n ；②求正整数k ，使得对任意n ∈N *，均有S k ≥S n . 审题路线图a n ，b n 关系、特殊项→基本量法求a n →代入a n ，b n 关系求b n →求a n→分组求和求S n →利用数列的单调性、最值确定k解 (1)由题意知a 1a 2a 3…a n ＝(2)n b，b 3－b 2＝6， 知a 3＝(2)32b b －＝8.2分又由a 1＝2，得公比q ＝2(q ＝－2舍去)， 所以数列{a n }的通项为a n ＝2n(n ∈N *)，4分 所以，a 1a 2a 3…a n ＝2(1)2n n +＝(2)n (n ＋1)．故数列{b n }的通项为b n ＝n (n ＋1)(n ∈N *).6分 (2)①由(1)知c n ＝1a n －1b n ＝12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1(n ∈N *)， 所以S n ＝1n ＋1－12n (n ∈N *).8分 ②因为c 1＝0，c 2>0，c 3>0，c 4>0，9分 当n ≥5时，c n ＝1nn ＋1⎣⎢⎡⎦⎥⎤nn ＋12n－1，而n n ＋12n－n ＋1n ＋22n ＋1＝n ＋1n －22n ＋1>0， 得n n ＋12n ≤5×5＋125<1， 所以，当n ≥5时，c n <0.11分综上，对任意n ∈N *恒有S 4≥S n ，故k ＝4.12分评分细则 (1)求出a 3＝8得2分，给出b 2，b 3的关系得1分； (2)求出q 给1分，但q ＝－2不舍去不得分； (3)裂项得1分，每个求和写出正确结果得1分；(4)验算前4项给2分； (5)验算法给出最后结果得3分．跟踪演练3 (2014·山东)已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝(－1)n －14na n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .模板4 利用向量求空间角典例4 (12分)(2014·山东)如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是等腰梯形，∠DAB ＝60°，AB ＝2CD ＝2，M 是线段AB 的中点．(1)求证：C 1M ∥平面A 1ADD 1；(2)若CD 1垂直于平面ABCD 且CD 1＝3，求平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值．审题路线图 (1)M 是AB 中点，四边形ABCD 是等腰梯形――→AB ＝2CDCD ∥AM CD ＝AM ⇒▱AMC 1D 1→C 1M ∥平面A 1ADD 1(2)CA ，CB ，CD 1两两垂直→建立空间直角坐标系，写各点坐标→求平面ABCD 的法向量→将所求两个平面所成的角转化为两个向量的夹角评分细则(1)得出C1D1∥AM给1分，得出C1D1＝MA给1分；(2)线面平行条件不完整扣1分；(3)建系得1分；(4)写正确向量坐标给2分；(5)求出平面C1D1M的一个法向量给2分．跟踪演练 4 (2015·四川)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N.(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)证明：直线MN∥平面BDH；(3)求二面角AEGM的余弦值．典例5 (12分)甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中2题就停止答题，即闯关成功．已知在6道备选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是23.(1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率；(2)设甲答对题目的个数为ξ，求ξ的分布列及均值． 审题路线图 (1)标记事件→对事件分解→计算概率 (2)确定ξ取值→计算概率→得分布列→求均值评分细则(1)P(A)，P(B)计算正确每个给2分；(2)对甲、乙至少有一人闯关成功事件分解、计算正确的参照给分；(3)P(ξ＝1)，P(ξ＝2)计算正确每个给1分，列表给1分．跟踪演练5 (2015·安徽)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列和均值(数学期望)．典例6 (12分)(2014·课标全国Ⅰ)已知点A (0，－2)，椭圆E ：x a 2＋y b2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点． (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程． 审题路线图 待定系数法求E 的方程→设l 方程→联立l 、E 方程→求|PQ |→求S △OPQ→求S △OPQ 的最值评分细则 (1)列出关于c 的方程，结果算错给1分； (2)求出a ＝2，给2分，得E 的方程给1分； (3)没有考虑斜率不存在的情况扣1分； (4)求|PQ |时结果正确没有过程扣1分； (5)没有验证Δ>0扣1分．跟踪演练6 (2015·天津)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－c,0)，离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ，|FM |＝433.(1)求直线FM 的斜率； (2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围．模板7 解析几何中的探索性问题典例7 (12分)已知定点C (－1,0)及椭圆x 2＋3y 2＝5，过点C 的动直线与椭圆相交于A ，B 两点．(1)若线段AB 中点的横坐标是－12，求直线AB 的方程；(2)在x 轴上是否存在点M ，使MA →·MB →为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．审题路线图 (1)设AB 的方程y ＝k x ＋1→待定系数法求k →写出方程(2)设M 存在即为m ，0→求MA →·MB →→在MA →·MB →为常数的条件下求m →下结论规 范 解 答·评 分 标 准构 建 答 题 模 板 解 (1)依题意，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)，将y ＝k (x ＋1)代入x 2＋3y 2＝5，消去y 整理得(3k 2＋1)x 2＋6k 2x ＋3k 2－5＝0.2分 第一步 先假定：假设结论成立．第二步 再推理：以假设结论成立为条件，进行推设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝36k 4－43k 2＋13k 2－5>0， ①x 1＋x 2＝－6k23k 2＋1. ② 由线段AB 中点的横坐标是－12，得x 1＋x 22＝－3k 23k 2＋1＝－12， 解得k ＝±33，适合①.所以直线AB 的方程为x －3y ＋1＝0或x ＋3y ＋1＝0.4分(2)假设在x 轴上存在点M (m,0)，使MA →·MB →为常数． (ⅰ)当直线AB 与x 轴不垂直时，由(1)知x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋1，x 1x 2＝3k 2－53k 2＋1. ③ 所以MA →·MB →＝(x 1－m )(x 2－m )＋y 1y 2＝(x 1－m )(x 2－m )＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝(k 2＋1)x 1x 2＋(k 2－m )(x 1＋x 2)＋k 2＋m 2.7分 将③代入，整理得MA →·MB →＝6m －1k 2－53k 2＋1＋m 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2m －133k 2＋1－2m －1433k 2＋1＋m 2＝m 2＋2m －13－6m ＋1433k 2＋1.9分 注意到MA →·MB →是与k 无关的常数，从而有6m ＋14＝0，m ＝－73，此时MA →·MB →＝49.10分(ⅱ)当直线AB 与x 轴垂直时，此时点A 、B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，23、⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－23，当m ＝－73时，也有MA →·MB →＝49.11分综上，在x 轴上存在定点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，0，使MA →·MB →为常数.12分评分细则 (1)不考虑直线AB 斜率不存在的情况扣1分； (2)不验证Δ>0扣1分； (3)没有假设存在点M 不扣分；(4)MA →·MB →没有化简至最后结果，直接下结论扣1分．跟踪演练7 (2014·湖南)如图，O 为坐标原点，双曲线C 1：x 2a 21－y 2b 21＝1(a 1>0，b 1>0)和椭圆C 2：y 2a 22＋x 2b 22＝1(a 2>b 2>0)均过点P (233，1)，且以C 1的两个顶点和C 2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形． (1)求C 1，C 2的方程；(2)是否存在直线l ，使得l 与C 1交于A ，B 两点，与C 2只有一个公共点，且|OA →＋OB →|＝|AB →|？证明你的结论．模板8 函数与导数典例8 (12分)(2015·课标全国Ⅱ)设函数f (x )＝e mx＋x 2－mx . (1)证明：f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增；(2)若对于任意x 1，x 2∈[－1,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤e－1，求m 的取值范围． 审题路线图 (1)求导f ′x ＝m e mx－1＋2x →讨论m 确定f ′x 符号→证明结论 (2)条件转化为|f x 1－f x 2|max≤e－1――→结合1知f x min ＝f0⎩⎪⎨⎪⎧f 1－f 0≤e－1f －1－f0≤e－1→⎩⎪⎨⎪⎧e m－m ≤e－1e －m＋m ≤e－1→构造函数g t ＝e t－t －e ＋1→研究g t 单调性→寻求⎩⎪⎨⎪⎧g m ≤0g－m ≤0的条件→对m 讨论得适合条件的范围规 范 解 答·评 分 标 准构 建 答 题 模 板 解 (1)f ′(x )＝m (e mx－1)＋2x .1分若m ≥0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx－1≤0，f ′(x )＜0；当x ∈(0，＋∞)时，e mx－1≥0，f ′(x )＞0.若m ＜0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx－1＞0，f ′(x )＜0；当x ∈(0，＋∞)时，e mx－1＜0，f ′(x )＞0.4分所以，f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增.6分 (2)由(1)知，对任意的m ，f (x )在[－1,0]上单调递减，在[0,1]上单调递增，故f (x )在x ＝0处取得最小值．所以对于任意x 1，x 2∈[－1,1]，|f (x 1)－f (x 2)|≤e－1的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧f1－f 0≤e－1，f －1－f0≤e－1，8分即⎩⎪⎨⎪⎧e m－m ≤e－1，e －m＋m ≤e－1.①设函数g (t )＝e t－t －e ＋1，则g ′(t )＝et－1.9分当t ＜0时，g ′(t )＜0；当t ＞0时，g ′(t )＞0.故g (t )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．又g (1)＝0，g (－1)＝e－1＋2－e ＜0，故当t ∈[－1,1]时，g (t )≤0.当m ∈[－1,1]时，g (m )≤0，g (－m )≤0，即①式成立；10分第一步 求导数：一般先确定函数的定义域，再求f ′(x )．第二步 定区间：根据f ′(x )的符号确定函数的单调区间． 第三步 寻条件：一般将恒成立问题转化为函数的最值问题． 第四步 写步骤：通过函数单调性探求函数最值，对于最值可能在两点取到的恒成立问题，可转化为不等式组恒成立． 第五步 再反思：查看是否注意定义域，区间的写法、最值点评分细则(1)讨论时漏掉m＝0扣1分；(2)确定f′(x)符号时只有结论无中间过程扣1分；(3)写出f(x)在x＝0处取得最小值给1分；(4)无最后结论扣1分；(5)其他方法构造函数同样给分．跟踪演练8 设函数f(x)＝a2ln x－x2＋ax，a>0.(1)求f(x)的单调区间；(2)求所有的实数a，使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立．学生用书答案精析第三篇 建模板，看细则，突破高考拿高分跟踪演练1 解 (1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以cos α＝22. 所以f (α)＝22×(22＋22)－12＝12. (2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12 ＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin(2x ＋π4)， 所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为[k π－3π8，k π＋π8]，k ∈Z .跟踪演练2 解 (1)由b 2－a 2＝12c 2及正弦定理得sin 2B －12＝12sin 2C .所以－cos 2B ＝sin 2C . 又由A ＝π4，即B ＋C ＝34π，得－cos 2B ＝sin 2C ＝2sin C cos C ＝sin 2C ， 解得tan C ＝2.(2)由tan C ＝2，C ∈(0，π)得 sin C ＝255，cos C ＝55，又因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C ，所以sin B ＝31010，由正弦定理得c ＝223b ，又因为A ＝π4，12bc sin A ＝3，所以bc ＝62，故b ＝3.跟踪演练3 解 (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12×2＝2a 1＋2，S 4＝4a 1＋4×32×2＝4a 1＋12， 由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)，解得a 1＝1， 所以a n ＝2n －1. (2)b n ＝(－1)n －14na n a n ＋1＝(－1)n －14n 2n －12n ＋1＝(－1)n －1(12n －1＋12n ＋1)． 当n 为偶数时，T n ＝(1＋13)－(13＋15)＋…＋(12n －3＋12n －1)－(12n －1＋12n ＋1)＝1－12n ＋1＝2n 2n ＋1. 当n 为奇数时，T n ＝(1＋13)－(13＋15)＋…－(12n －3＋12n －1)＋(12n －1＋12n ＋1)＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1. 所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋22n ＋1，n 为奇数，2n2n ＋1，n 为偶数.(或T n ＝2n ＋1＋－1n －12n ＋1)跟踪演练4 (1)解 点F ，G ，H 的位置如图所示． (2)证明 连接BD ，设O 为BD 的中点， 因为M ，N 分别是BC ，GH 的中点，所以OM ∥CD ，且OM ＝12CD ，HN ∥CD ，且HN ＝12CD ，所以OM ∥HN ，OM ＝HN ，所以四边形MNHO 是平行四边形， 从而MN ∥OH ，又MN ⊄平面BDH ，OH ⊂平面BDH ， 所以MN ∥平面BDH .(3)解 方法一 连接AC ，过M 作MP ⊥AC 于P ，在正方体ABCD-EFGH 中，AC ∥EG ，所以MP ⊥EG ，过P 作PK ⊥EG 于K ，连接KM ，所以EG ⊥平面PKM ，从而KM ⊥EG ，所以∠PKM 是二面角AEGM 的平面角，设AD ＝2，则CM ＝1，PK ＝2，在Rt△CMP 中，PM ＝CM sin 45°＝22， 在Rt△PKM 中，KM ＝PK 2＋PM 2＝322，所以cos∠PKM ＝PK KM ＝223， 即二面角AEGM 的余弦值为223. 方法二 如图，以D 为坐标原点，分别以DA →，DC →，DH →方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系D-xyz ，设AD ＝2，则M (1,2,0)，G (0,2,2)，E (2,0,2)，O (1,1,0)，所以GE →＝(2，－2,0)，MG →＝(－1,0,2)，设平面EGM 的一个法向量为n 1＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·GE →＝0，n 1·MG →＝0，⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －2y ＝0，－x ＋2z ＝0，取x ＝2，得n 1＝(2,2,1)，在正方体ABCD-EFGH 中，DO ⊥平面AEGC ，则可取平面AEG 的一个法向量为n 2＝DO →＝(1,1,0)，所以cos n 1，n 2＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝2＋2＋04＋4＋1·1＋1＋0＝223， 故二面角AEGM 的余弦值为223. 跟踪演练5 解 (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A .P (A )＝A 12A 13A 25＝310. (2)X 的可能取值为200,300,400.P (X ＝200)＝A 22A 25＝110，P (X ＝300)＝A 33＋C 12C 13A 22A 35＝310， P (X ＝400)＝1－P (X ＝200)－P (X ＝300)＝1－110－310＝610. 故X 的分布列为X200 300 400 P110 310 610 E (X )＝200×110＋300×310＋400×610＝350.跟踪演练6 解 (1)由已知有c 2a 2＝13， 又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2.设直线FM 的斜率为k (k ＞0)，F (－c,0)，则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c )． 由已知，有⎝⎛⎭⎪⎫kc k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22， 解得k ＝33. (2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c )，两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0，解得x ＝－53c ，或x ＝c . 因为点M 在第一象限，可得M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫c ，233c . 由|FM |＝ c ＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233c －02＝433. 解得c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1. (3)设点P 的坐标为(x ，y )，直线FP 的斜率为t ，得t ＝yx ＋1，即y ＝t (x ＋1)(x ≠－1)，与椭圆方程联立．⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝t x ＋1，x 23＋y 22＝1，消去y ，整理得2x 2＋3t 2(x ＋1)2＝6， 又由已知，得t ＝ 6－2x23x ＋12＞2，解得－32＜x ＜－1，或－1＜x ＜0.设直线OP 的斜率为m ，得m ＝y x ，即y ＝mx (x ≠0)，与椭圆方程联立，整理得m 2＝2x 2－23. ①当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1时，有y ＝t (x ＋1)＜0，因此m ＞0，于是m ＝ 2x 2－23，得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，233.②当x ∈(－1,0)时，有y ＝t (x ＋1)＞0.因此m ＜0，于是m ＝－2x 2－23，得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－233.综上，直线OP 的斜率的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－233∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，233. 跟踪演练7 解 (1)设C 2的焦距为2c 2，由题意知，2c 2＝2,2a 1＝2.从而a 1＝1，c 2＝1.因为点P (233，1)在双曲线x 2－y2b 21＝1上，所以(233)2－1b 21＝1.故b 21＝3.由椭圆的定义知2a 2＝ 2332＋1－12＋2332＋1＋12＝2 3.于是a 2＝3，b 22＝a 22－c 22＝2.故C 1，C 2的方程分别为x 2－y 23＝1，y 23＋x 22＝1.(2)不存在符合题设条件的直线．①若直线l 垂直于x 轴，因为l 与C 2只有一个公共点，所以直线l 的方程为x ＝2或x ＝－ 2.当x ＝2时，易知A (2，3)，B (2，－3)，所以|OA →＋OB →|＝22，|AB →|＝2 3.此时，|OA →＋OB →|≠|AB →|.当x ＝－2时，同理可知，|OA →＋OB →|≠|AB →|.②若直线l 不垂直于x 轴，设l 的方程为y ＝kx ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m ，x 2－y 23＝1得(3－k 2)x 2－2kmx －m 2－3＝0. 当l 与C 1相交于A ，B 两点时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1，x 2是上述方程的两个实根，从而x 1＋x 2＝2km 3－k 2，x 1x 2＝m 2＋3k 2－3. 于是y 1y 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝3k 2－3m 2k 2－3. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y 23＋x 22＝1得(2k 2＋3)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0. 因为直线l 与C 2只有一个公共点，所以上述方程的判别式Δ＝16k 2m 2－8(2k 2＋3)·(m 2－3)＝0. 化简，得2k 2＝m 2－3，因此OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝m 2＋3k 2－3＋3k 2－3m 2k 2－3＝－k 2－3k 2－3≠0， 于是OA →2＋OB →2＋2OA →·OB →≠OA →2＋OB →2－2OA →·OB →，即|OA →＋OB →|2≠|OA →－OB →|2，故|OA →＋OB →|≠|AB →|.综合①②可知，不存在符合题设条件的直线．跟踪演练8 解 (1)因为f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，其中x >0， 所以f ′(x )＝a 2x －2x ＋a ＝－x －a 2x ＋a x. 由于a >0，所以f (x )的增区间为(0，a )，减区间为(a ，＋∞)．(2)由题意得f (1)＝a －1≥e－1，即a ≥e.由(1)知f (x )在[1，e]内单调递增，要使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立．只要⎩⎪⎨⎪⎧ f 1＝a －1≥e－1，f e ＝a 2－e 2＋a e≤e 2，解得a ＝e.。
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第3讲 圆锥曲线的综合问题1．(2014·福建)设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是( )A ．5 2 B.46＋ 2 C ．7＋ 2 D ．6 22．(2015·陕西)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，经过点A (0，－1)，且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.1.圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查范围、最值问题，定点、定值问题，探索性问题.2.试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法，对计算能力也有较高要求，难度较大.热点一范围、最值问题圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解．例1(2014·北京)已知椭圆C：x2＋2y2＝4.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．思维升华 解决范围问题的常用方法：(1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后，数形结合求解．(2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解．(3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域．跟踪演练1 已知椭圆C 的左，右焦点分别为F 1，F 2，椭圆的离心率为12，且椭圆经过点P (1，32)． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)线段PQ 是椭圆过点F 2的弦，且PF 2→＝λF 2Q →，求△PF 1Q 内切圆面积最大时实数λ的值．热点二 定点、定值问题1．由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式：y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m )．2．解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等与题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．例2椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为12，其左焦点到点P(2,1)的距离为10.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左，右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．思维升华(1)动直线l过定点问题解法：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m,0)．(2)动曲线C过定点问题解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．跟踪演练2已知直线l：y＝x＋6，圆O：x2＋y2＝5，椭圆E：y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)的离心率e＝33，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等．(1)求椭圆E的方程；(2)过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两切线的斜率之积为定值．热点三探索性问题1．解析几何中的探索性问题，从类型上看，主要是存在类型的相关题型，解决这类问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．2．反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法．例3如图，抛物线C：y2＝2px的焦点为F，抛物线上一定点Q(1,2)．(1)求抛物线C的方程及准线l的方程；(2)过焦点F的直线(不经过Q点)与抛物线交于A，B两点，与准线l交于点M，记QA，QB，QM的斜率分别为k1，k2，k3，问是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3成立，若存在λ，求出λ的值；若不存在，说明理由．思维升华 解决探索性问题的注意事项：存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．(1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论．(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径．跟踪演练3 (2015·四川)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率是22，点P (0,1)在短轴CD 上，且PC →·PD →＝－1.(1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点．是否存在常数λ，使得OA →·OB →＋λP A →·PB →为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．已知椭圆C1：x2a2＋y23＝1(a>0)与抛物线C2：y2＝2ax相交于A，B两点，且两曲线的焦点F重合．(1)求C1，C2的方程；(2)若过焦点F的直线l与椭圆分别交于M，Q两点，与抛物线分别交于P，N两点，是否存在斜率为k(k≠0)的直线l，使得|PN||MQ|＝2？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．提醒：完成作业 专题六 第3讲二轮专题强化练专题六第3讲 圆锥曲线的综合问题A 组 专题通关1．(2015·北京西城区期末)若曲线ax 2＋by 2＝1为焦点在x 轴上的椭圆，则实数a ，b 满足( )A ．a 2>b 2B.1a <1b C ．0<a <b D ．0<b <a2．已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( )A ．1B.2C.32D. 3 3．已知F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线l 交抛物线于A ，B 两点，则||F A |－|FB ||的值为( )A ．42B ．8C ．82D ．164．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)( )A ．必在圆x 2＋y 2＝2内B ．必在圆x 2＋y 2＝2上C ．必在圆x 2＋y 2＝2外D ．以上三种情形都有可能5．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．86．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2→的最小值为_______________________________________________________________．7．已知A (1,2)，B (－1,2)，动点P 满足AP →⊥BP →.若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与动点P 的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是________．8．在直线y ＝－2上任取一点Q ，过Q 作抛物线x 2＝4y 的切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 恒过定点________．9．已知抛物线x 2＝2py (p >0)，过点M (0，m )的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，又过A ，B 两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点P .(1)求证：两条切线的斜率之积为定值；(2)当p ＝m ＝4时，求△P AB 面积的最小值．10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴长为2，离心率为22，过点M (2,0)的直线l 与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点．(1)求椭圆C的方程；(2)若B点关于x轴的对称点是N，证明：直线AN恒过一定点．B 组 能力提高11．已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________．12．直线3x －4y ＋4＝0与抛物线x 2＝4y 和圆x 2＋(y －1)2＝1从左到右的交点依次为A 、B 、C 、D ，则|AB ||CD |的值为________． 13．已知P 、Q 、M 、N 四点都在以中心为坐标原点，离心率为22，左焦点为F (－1,0)的椭圆C 上，已知PF →与FQ →共线，MF →与FN →共线，PF →·MF →＝0.(1)求椭圆C 的方程；(2)试用直线PQ 的斜率k (k ≠0)表示四边形PMQN 的面积S ，并求S 的最小值．学生用书答案精析第3讲 圆锥曲线的综合问题高考真题体验1．D[如图所示，设以(0,6)为圆心，以r 为半径的圆的方程为x 2＋(y －6)2＝r 2(r >0)，与椭圆方程x 210＋y 2＝1联立得方程组，消掉x 2得9y 2＋12y ＋r 2－46＝0.令Δ＝122－4×9(r 2－46)＝0，解得r 2＝50，即r ＝5 2.由题意易知P ，Q 两点间的最大距离为r ＋2＝62，故选D.]2．(1)解 由题设知c a ＝22，b ＝1， 结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. (2)证明 由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1， 得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0，由已知Δ＞0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0，则x 1＋x 2＝4k (k －1)1＋2k 2，x 1x 2＝2k (k －2)1＋2k 2，从而直线AP ，AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－k x 2＝2k ＋(2－k )⎝⎛⎭⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2 ＝2k ＋(2－k )4k (k －1)2k (k －2)＝2k －2(k －1)＝2. 热点分类突破例1 解 (1)由题意，得椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1， 所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2.因此a ＝2，c ＝ 2.故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22. (2)设点A ，B 的坐标分别为(t,2)，(x 0，y 0)，其中x 0≠0.因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝0，即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0. 又x 20＋2y 20＝4，所以|AB |2＝(x 0－t )2＋(y 0－2)2＝⎝⎛⎭⎫x 0＋2y 0x 02＋(y 0－2)2 ＝x 20＋y 20＋4y 20x 20＋4 ＝x 20＋4－x 202＋2(4－x 20)x 20＋4 ＝x 202＋8x 20＋4(0<x 20≤4)． 因为x 202＋8x 20≥4(0<x 20≤4)，且当x 20＝4时等号成立， 所以|AB |2≥8.故线段AB 长度的最小值为2 2.跟踪演练1 解 (1)e ＝c a ＝12，P (1，32)满足1a 2＋(32)2b 2＝1， 又a 2＝b 2＋c 2，∴a 2＝4，b 2＝3，∴椭圆标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)显然直线PQ 不与x 轴重合，当直线PQ 与x 轴垂直时，|PQ |＝3，|F 1F 2|＝2，1PF Q S ＝3；当直线PQ 不与x 轴垂直时，设直线PQ ：y ＝k (x －1)，k ≠0代入椭圆C 的标准方程， 整理，得(3＋4k 2)y 2＋6ky －9k 2＝0，Δ>0，y 1＋y 2＝－6k 3＋4k 2，y 1·y 2＝－9k 23＋4k 2. 1PF Q S ＝12·|F 1F 2|·|y 1－y 2|＝12k 2＋k 4(3＋4k 2)2，令t ＝3＋4k 2，∴t >3，k 2＝t －34， ∴1PF Q S ＝3－3(1t ＋13)2＋43， ∵0<1t <13， ∴1PF Q S ∈(0,3)，∴当直线PQ 与x 轴垂直时1PF Q S 最大，且最大面积为3. 设△PF 1Q 内切圆半径为r ，则1PF Q S ＝12(|PF 1|＋|QF 1|＋|PQ |)·r ＝4r ≤3. 即r max ＝34，此时直线PQ 与x 轴垂直，△PF 1Q 内切圆面积最大， ∴PF 2→＝F 2Q →，∴λ＝1.例2 解 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)， 由e ＝c a ＝12，得a ＝2c ， ∵a 2＝b 2＋c 2，∴b 2＝3c 2，则椭圆方程变为x 24c 2＋y 23c 2＝1. 又由题意知(2＋c )2＋12＝10，解得c 2＝1，故a 2＝4，b 2＝3，即得椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0. 则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝64m 2k 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0，x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1·x 2＝4(m 2－3)3＋4k 2.①又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3(m 2－4k 2)3＋4k 2. ∵椭圆的右顶点为A 2(2,0)，AA 2⊥BA 2，∴(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝0，∴y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0，∴3(m 2－4k 2)3＋4k 2＋4(m 2－3)3＋4k 2＋16mk 3＋4k 2＋4＝0，∴7m 2＋16mk ＋4k 2＝0，解得m 1＝－2k ，m 2＝－2k 7， 由①，得3＋4k 2－m 2>0，②当m 1＝－2k 时，l 的方程为y ＝k (x －2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾．当m 2＝－2k 7时，l 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －27，直线过定点⎝⎛⎭⎫27，0，且满足②， ∴直线l 过定点，定点坐标为⎝⎛⎭⎫27，0.跟踪演练2 (1)解 设椭圆的半焦距为c ，圆心O 到直线l 的距离d ＝61＋1＝3， ∴b ＝5－3＝ 2.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ c a ＝33，a 2＝b 2＋c 2，b ＝2，∴a 2＝3，b 2＝2. ∴椭圆E 的方程为y 23＋x 22＝1. (2)证明 设点P (x 0，y 0)，过点P 的椭圆E 的切线l 0的方程为y －y 0＝k (x －x 0)，联立直线l 0与椭圆E 的方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －x 0)＋y 0，y 23＋x 22＝1，消去y 得(3＋2k 2)x 2＋4k (y 0－kx 0)x ＋2(kx 0－y 0)2－6＝0，∴Δ＝[4k (y 0－kx 0)]2－4(3＋2k 2)[2(kx 0－y 0)2－6]＝0，整理得，(2－x 20)k 2＋2kx 0y 0－(y 20－3)＝0， 设满足题意的椭圆E 的两条切线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－y 20－32－x 20，∵点P 在圆O 上，∴x 20＋y 20＝5，∴k 1·k 2＝－5－x 20－32－x 20＝－1. ∴两条切线的斜率之积为常数－1.例3 解 (1)把Q (1,2)代入y 2＝2px ，得2p ＝4，所以抛物线方程为y 2＝4x ，准线l 的方程为x ＝－1.(2)由条件可设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，k ≠0.由抛物线准线l ：x ＝－1，可知M (－1，－2k )．又Q (1,2)，所以k 3＝2＋2k 1＋1＝k ＋1， 即k 3＝k ＋1.把直线AB 的方程y ＝k (x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x ，并整理，可得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，知x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1. 又Q (1,2)，则k 1＝2－y 11－x 1，k 2＝2－y 21－x 2. 因为A ，F ，B 共线，所以k AF ＝k BF ＝k ，即y 1x 1－1＝y 2x 2－1＝k . 所以k 1＋k 2＝2－y 11－x 1＋2－y 21－x 2＝y 1x 1－1＋y 2x 2－1－2(x 1＋x 2－2)x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝2k －2(2k 2＋4k 2－2)1－2k 2＋4k 2＋1＝2k ＋2， 即k 1＋k 2＝2k ＋2.又k 3＝k ＋1，可得k 1＋k 2＝2k 3.即存在常数λ＝2，使得k 1＋k 2＝λk 3成立．跟踪演练3 解 (1)由已知，点C 、D 的坐标分别为(0，－b )，(0，b )，又点P 的坐标为(0,1)，且PC →·PD →＝－1，于是⎩⎪⎨⎪⎧ 1－b 2＝－1，c a ＝22，a 2－b 2＝c 2，解得a ＝2，b ＝2，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0， 其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)＞0，所以x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1x 2＝－22k 2＋1， 从而，OA →·OB →＋λP A →·PB →＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)]＝(1＋λ)(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝(－2λ－4)k 2＋(－2λ－1)2k 2＋1＝－λ－12k 2＋1－λ－2. 所以当λ＝1时，－λ－12k 2＋1－λ－2＝－3， 此时OA →·OB →＋λP A →·PB →＝－3为定值．当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD ，此时，OA →·OB →＋λP A →·PB →＝OC →·OD →＋PC →·PD →＝－2－1＝－3.故存在常数λ＝1，使得OA →·OB →＋λP A →·PB →为定值－3.高考押题精练解 (1)因为C 1，C 2的焦点重合， 所以a 2－3＝a 2， 所以a 2＝4.又a >0，所以a ＝2.于是椭圆C 1的方程为x 24＋y 23＝1， 抛物线C 2的方程为y 2＝4x .(2)假设存在直线l 使得|PN ||MQ |＝2， 则可设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k (x －1)，可得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 则x 1＋x 4＝2k 2＋4k 2，x 1x 4＝1， 所以|PN |＝1＋k 2·(x 1＋x 4)2－4x 1x 4＝4(1＋k 2)k 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k (x －1)，可得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，则x 2＋x 3＝8k 23＋4k 2，x 2x 3＝4k 2－123＋4k 2，所以|MQ |＝1＋k 2·(x 2＋x 3)2－4x 2x 3＝12(1＋k 2)3＋4k 2. 若|PN ||MQ |＝2， 则4(1＋k 2)k 2＝2×12(1＋k 2)3＋4k 2， 解得k ＝±62. 故存在斜率为k ＝±62的直线l ， 使得|PN ||MQ |＝2.二轮专题强化练答案精析第3讲 圆锥曲线的综合问题1．C [由ax 2＋by 2＝1，得x 21a ＋y 21b ＝1， 因为焦点在x 轴上，所以1a >1b>0， 所以0<a <b .]2．D [由椭圆的方程，可知长半轴长a ＝2；由椭圆的定义，可知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即2b 2a ＝3，可求得b 2＝3，即b ＝ 3.]3．C [依题意知F (2,0)，所以直线l 的方程为y ＝x －2，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，y 2＝8x消去y 得x 2－12x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝4，则||AF |－|BF ||＝|(x 1＋2)－(x 2＋2)|＝|x 1－x 2| ＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝144－16＝8 2.] 4．A [∵x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝－c a. ∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝b 2a 2＋2c a ＝b 2＋2ac a 2. ∵e ＝c a ＝12，∴c ＝12a ， ∴b 2＝a 2－c 2＝a 2－⎝⎛⎭⎫12a 2＝34a 2.∴x 21＋x 22＝34a 2＋2a ×12a a 2＝74<2.∴P (x 1，x 2)在圆x 2＋y 2＝2内．]5．C [设P (x 0，y 0)，则x 204＋y 203＝1，即y 20＝3－3x 204， 又因为F (－1,0)，所以OP →·FP →＝x 0·(x 0＋1)＋y 20＝14x 20＋x 0＋3＝14(x 0＋2)2＋2， 又x 0∈[－2,2]，即OP →·FP →∈[2,6]，所以(OP →·FP →)max ＝6.]6．－2解析 由已知得A 1(－1,0)，F 2(2,0)．设P (x ，y ) (x ≥1)，则P A 1→·PF 2→＝(－1－x ，－y )·(2－x ，－y )＝4x 2－x －5.令f (x )＝4x 2－x －5，则f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以当x ＝1时，函数f (x )取最小值，即P A 1→·PF 2→取最小值，最小值为－2.7．(1,2)解析 设P (x ，y )，由题设条件，得动点P 的轨迹为(x －1)(x ＋1)＋(y －2)·(y －2)＝0，即x 2＋(y －2)2＝1，它是以(0,2)为圆心，1为半径的圆．又双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b ax ，即bx ±ay ＝0， 由题意，可得2aa 2＋b 2>1，即2ac >1， 所以e ＝c a<2，又e >1，故1<e <2. 8．(0,2)解析 设Q (t ，－2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线方程变为y ＝14x 2，则y ′＝12x ，则在点A 处的切线方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)，化简得，y ＝12x 1x －y 1，同理，在点B 处的切线方程为y ＝12x 2x －y 2.又点Q (t ，－2)的坐标满足这两个方程，代入得：－2＝12x 1t －y 1，－2＝12x 2t －y 2，则说明A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)都满足方程－2＝12xt －y ，即直线AB 的方程为y －2＝12tx ，因此直线AB 恒过定点(0,2)．9．(1)证明 依题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＝2py ，得x 2－2pkx －2pm ＝0， 则由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2pm .对抛物线y ＝x 22p 求导，得y ′＝x p， 设两条切线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1＝x 1p ，k 2＝x 2p， 所以k 1k 2＝x 1p ·x 2p ＝－2pm p 2＝－2m p， 即两条切线的斜率之积为定值－2m p. (2)解 因为p ＝m ＝4，所以抛物线方程为x 2＝8y ，y ′＝x 4，x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－32， 则直线P A 的方程为y －x 218＝x 14(x －x 1)， PB 的方程为y －x 228＝x 24(x －x 2)． 将两方程联立，得P 点的坐标为(x 1＋x 22，x 1x 28)，所以P (4k ，－4)． 于是|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝81＋k 2·k 2＋2， 又点P 到直线AB 的距离d ＝4(k 2＋2)1＋k2， 所以S △P AB ＝16k 2＋2·(k 2＋2)．当k 2＝0，即k ＝0时，所求面积最小为32 2. 10．(1)解 由题意知b ＝1，e ＝c a ＝22， 得a 2＝2c 2＝2a 2－2b 2，故a 2＝2.故所求椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)证明 设直线l 的方程为y ＝k (x －2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2， x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2. 由对称性可知N (x 2，－y 2)，定点在x 轴上，直线AN ：y －y 1＝y 1＋y 2x 1－x 2(x －x 1)． 令y ＝0得：x ＝x 1－y 1(x 1－x 2)y 1＋y 2＝x 1y 2＋x 2y 1y 1＋y 2＝2kx 1x 2－2k (x 1＋x 2)k (x 1＋x 2－4)＝2x 1x 2－2(x 1＋x 2)x 1＋x 2－4 ＝16k 2－41＋2k 2－16k 21＋2k 28k 21＋2k 2－4＝1， 故直线AN 恒过定点(1,0)．11．[1，＋∞)解析 以AB 为直径的圆的方程为x 2＋(y －a )2＝a ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，x 2＋(y －a )2＝a ， 得y 2＋(1－2a )y ＋a 2－a ＝0.即(y －a )[y －(a －1)]＝0，由已知⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a －1≥0，解得a ≥1. 12.116 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋4＝0，x 2＝4y得x 2－3x －4＝0，∴x A ＝－1，x D ＝4，∴y A ＝14，y D ＝4. 直线3x －4y ＋4＝0恰过抛物线的焦点F (0,1)，∴|AF |＝y A ＋1＝54，|DF |＝y D ＋1＝5， ∴|AB ||CD |＝|AF |－1|DF |－1＝116. 13．解 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则a 2＝b 2＋c 2，又依题意，知c ＝1，c a ＝22，所以a ＝2，b ＝1.所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)依题意，易知PQ 与MN 垂直于点F .设PQ 的方程为y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 22＋y 2＝1，消y ， 得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2， 所以|PQ |＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝22(1＋k 2)1＋2k 2. 同理，可得|MN |＝22(1＋1k 2)1＋2k 2＝22(1＋k 2)2＋k 2， 所以四边形PMQN 的面积为S ＝12|PQ |·|MN |＝4(1＋k 2)2(1＋2k 2)(k 2＋2)＝2－2k 22k 4＋5k 2＋2＝2－22k 2＋2k2＋5≥169. 当且仅当k 2＝1时，取等号．所以四边形PMQN 的面积S 的最小值为169.。