2020高考数学文科二轮复习综合模拟卷

2020高考数学（文科）二轮复习综合模拟卷（四）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|ln x＜1}，B={x|-1＜x＜2}，则A∩B=（）A. （0，e）B. （-1，2）C. （-1，e）D. （0，2）2.已知复数z满足zi=2+i，i是虚数单位，则|z|=（）A. B. C. 2 D.3.如图茎叶图记录了甲乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的中位数为17，乙组数据的平均数为17.4，则x，y的值分别为（）A. 7，8B. 5，7C. 8，5D. 8，74.设不等式组，确定的平面区域为D，在D中任取一点P（x，y）满足x＋y≥2概率是（）A. B.C. D.5.已知cosα=，则sin（）=（）A. B. C. D.6.已知直线l在y轴上的截距为2，且与双曲线的渐近线平行，则直线l的方程是（）A. B. 或C. 或D.7.函数在的图象大致为( )A. B.C. D.8.函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，）的最小正周期为π，若其图象向左平移个单位长度后得到的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（）A. 关于点（，0）对称B. 关于点（，0）对称C. 关于直线对称D. 关于直线对称9.已知函数f(x)＝2sin x -ax+1的图象在点(0，1)处的切线方程为y＝x+1，则a＝（）A. 0B. 1C. -1D. -210.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，O为底面矩形ABCD两条对角线的交点，若异面直线A1O与BC所成的角为60°，则长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为（）A. B. C. D.11.已知边长为2的等边△ABC中，向量，满足，，则下列式子错误的是（）A. B. C. D.12.已知三角形ABC的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小内角的余弦值为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数f（x）=的定义域为______．14.已知是等差数列，是其前项和，若，，则的值是________．15.若存在两个正实数x、y，使得等式x+m（y-2ex）（ln x-ln y）=0成立，其中e为自然对数的底数，则实数m的取值范围是______．16.已知O为原点，过点的直线与圆O：相交于A，B两点，若的面积为2，则直线的方程为________．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知数列{a n}的前n项和为．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前n项和T n．18.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，E，F，G分别为棱PA，PD，AB的中点，且CD=PD=2AD=4．(1)求证：平面PBC与平面EFG平行，并求这两个平行平面之间的距离；(2)平面EFG将四棱锥P-ABCD截成上、下两部分，求上、下两部分的体积之比19.2018年10月28日，重庆公交车坠江事件震惊全国，也引发了广大群众的思考——如何做一个文明的乘客．全国各地大部分社区组织居民学习了文明乘车规范．A社区委员会针对居民的学习结果进行了相关的问卷调查，并将得到的分数整理成如图所示的统计图．（Ⅰ）求得分在[70，80)上的频率；（Ⅱ）求A社区居民问卷调查的平均得分的估计值；（同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表）（Ⅲ）由于部分居民认为此项学习不具有必要性，A社区委员会对社区居民的学习态度作调查，所得结果统计如下：（表中数据单位：人）认为此项学习十分必认为此项学习不必要要50岁以上400 60050岁及50岁以下800 200 根据上述数据，计算是否有99.9%的把握认为居民的学习态度与年龄相关．附：，其中n＝a+b+c+d．P(K2≥k0) 0.100 0.050 0.010 0.001k0 2.706 3.841 6.635 10.82820.已知椭圆C：，点，B(1，2)．（Ⅰ）若直线l1与椭圆C交于M，N两点，且A为线段MN的中点，求直线MN的斜率；（Ⅱ）若直线l2：y＝2x+t(t≠0)与椭圆C交于P，Q两点，求△BPQ的面积的最大值．21.设函数f（x）=x2-ax+ln x．（1）若当x=1时，f（x）取得极值，求a的值，并求f（x）的单调区间．（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，求a的取值范围，并证明：．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（其中t为参数）,以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点A的极坐标为，直线l经过点A．曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cos θ．（Ⅰ）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）过点作直线l的垂线交曲线C于D、E两点（D在x轴上方），求的值．23.已知函数（a＞0），g（x）=4-|x-1|．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≤g（x）的解集包含[0，1]，求a的取值集合．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A={x|0＜x＜e}，B={x|-1＜x＜2}，∴A∩B=（0，2）．故选：D．可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法、区间的定义，对数函数的单调性和定义域，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式计算．【解答】解：由zi=2+i，得，∴|z|=，故选D．3.【答案】D【解析】解：由茎叶图知，甲组数据为：9，12，10+y，24，27，∵甲组数据的中位数为17，∴10+y=7，解得y=7．∵乙组数据的平均数为17.4∴17.4=（9+16+10+x+19+25），解得x=8．故选：D．利用中位数、平均数计算公式求解．本题考查中位数和平均数的求法及应用，是基础题，解题时要注意茎叶图的合理运用．4.【答案】D【解析】【分析】本题考查了几何概型及可行域，属于基础题．结合图象求出面积的比值从而求出满足条件的概率即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图所示：，S△ODE=2，S四边形OABC=25，故满足条件的概率p==，故选D．5.【答案】D【解析】解：∵cosα=，∴sin（）=cos2α=2cos2α-1=2×（）2-1=-．故选：D．由诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求即可计算得解．本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：由题意可得双曲线的渐近线的斜率为y=±x，故由题意可得直线l的方程是y=x+2．故选：B．由双曲线的方程可得渐近线的方程，再由平行和在y轴的截距可得l的方程．考查双曲线的性质及直线的平行的性质，属于基础题．7.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了函数图象和函数奇偶性的应用，属于基础题.解题关键是通过函数奇偶性的判断排除一些选项，然后取特殊值来确定答案即可.【解答】解：∵,∴f（x）为奇函数，图象关于原点对称，故排除A，又,故排除B,C.故选D.8.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查由函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律求解析式，再判断其函数的其他性质，属于中档题.根据f（x）的周期为π，求出ω，向左平移个单位，求出平移后的函数为奇函数，可得φ，可得f（x）解析式，即可判断各选项.【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为=π，∴ω=2，若其图象向左平移个单位后得到的函数为y=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ），再根据y=sin（2x++φ）为奇函数，∴+φ=kπ，k∈Z，即φ=kπ-，可取φ=-，故f（x）=sin（2x-），当x=时，f（x）=≠0，且f（x）=不是最值，故f（x）的图象不关于点（，0）对称，也不关于直线x=对称，故排除A、D；故x=-时，f（x）=sin=-1，是函数的最小值，故f（x）的图象不关于点（-，0）对称，但关于直线x=对称.故选C.9.【答案】B【解析】【分析】本题考查了导数的几何意义，根据函数在x=0处的导数为1进行解答.【解答】解：易得(0,1)是切点，因为,所以,解得a=1.故选B.10.【答案】A【解析】【分析】本题考查异面直线所成的角以及长方体的体积．先得到所以∠A1OE即为异面直线A1O与BC所成的角，所以∠A1OE=60°．进而求出长方体的体积.【解答】解：如图，取AB的中点E，连接OE，则有OE∥BC，且，所以∠A1OE即为异面直线A1O与BC所成的角，所以∠A1OE=60°．在Rt△A1OE中，，故在中，，所以长方体的体积．故选A．11.【答案】C【解析】【分析】本题考查了向量的数量积公式的运用；注意：三角形的内角与向量的夹角的关系,属于基础题.由题意，知道，，根据已知三角形为等边三角形解之．【解答】解：因为已知三角形ABC的等边三角形，，满足=，,所以=2+，所以故A正确；因为;所以是三角形的高的二倍，故B正确；,故C不正确；所以，故D正确；故选C．12.【答案】A【解析】【分析】此题考查了正弦、余弦定理，以及二倍角的正弦函数公式，熟练掌握定理是解本题的关键．设三边依次是x-1，x，x+1，其中x是自然数，且x≥2，令三角形的最小角为A，则最大角为2A，利用正弦定理列出关系式，再利用二倍角的正弦函数公式化简表示出cos A，再利用余弦定理表示出cos A，两者相等求出x的值，然后得解．【解答】解：设三边依次是x-1，x，x+1，其中x是自然数，且x≥2，令三角形的最小角为A，则最大角为2A，由正弦定理，有：==，∴cos A=，由余弦定理，有：cos A=，∴=，即==，整理得：（x+1）2=（x-1）（x+4），解得：x=5，三边长为4，5，6，则cos A=，故选A．13.【答案】（0，4]【解析】解：由2-log2x≥0，得log2x≤2，解得0＜x≤4．∴函数f（x）=的定义域为（0，4]．故答案为：（0，4]．由根式内部的代数式大于等于0，然后求解对数不等式得答案．本题考查函数的定义域及其求法，考查了对数不等式的解法，是基础题．14.【答案】-4【解析】【分析】本题主要考查了等差数列的通项公式及前n项和公式，属于基础题.利用公式建立关于a1和d方程组是解题的关键.【解答】解：设等差数列的公差为d,由题意得，解得a1=-4，d=3.故填-4.15.【答案】（-∞，-]∪（0，+∞）【解析】解：∵x+m（y-2ex）（ln x-ln y）=0，∴x+m（y-2ex）ln=0，即1+m（）ln=0，令，则1-m（t-2e）ln t=0，∴m=，即=（t-2e）ln t，令f（t）=（t-2e）ln t，则f′（t）=ln t+1-是增函数，∵f′（e）=ln e+1-2=0，∴当0＜t＜e时，f′（t）＜0，当t＞e时，f′（t）＞0，∴f（t）在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，∴当t=e时，f（t）取得最小值f（e）=-e，∴≥-e，解得m＞0或m≤-．故答案为：（-∞，-]∪（0，+∞）．根据函数与方程的关系将方程进行转化，利用换元法转化为方程有解，构造函数求函数的导数，利用函数极值和单调性的关系进行求解即可．本题主要考查不等式恒成立问题，根据函数与方程的关系，转化为两个函数相交问题，利用构造法和导数法求出函数的极值和最值是解决本题的关键．综合性较强．16.【答案】或【解析】【分析】本题考查直线和圆的位置关系及圆的弦长的求法，解题时容易出现的错误是忽视过点P 的直线斜率不存在的情况，属于中档题.分直线的斜率存在与不存在两种情况，求出弦长和圆心到直线的距离，再结合三角形的面积可求出直线的方程．【解答】【详解】①当直线的斜率不存在时，直线方程为，则圆心到直线的距离为1，所以，故，所以直线满足题意．②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，所以圆心到直线的距离，故，因为，所以，整理得，解得或，当时，则，解得；当时，则，此方程无解，故直线方程为，即，综上可得所求直线方程为或．故答案为或.17.【答案】解：（Ⅰ）由可得：当n≥2时，，上述两式相减可得，当n=1时：成立，故所求；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，∴，故所求=．【解析】（Ⅰ）运用数列的递推式，计算可得所求通项公式；（Ⅱ）由对数的运算性质和数列的裂项相消求和，化简可得所求和．本题考查数列的递推式的运用，等比数列的通项公式和数列的裂项相消求和，考查运算能力，属于基础题．18.【答案】(1)证明：∵E，F，G分别为棱PA，PD，AB的中点，∴EF∥AD∥BC，EG∥PB．又EF∩EG=E，PB∩BC=B，∴平面PBC∥平面EFG．∵BC⊥CD，BC⊥PD，CD∩PD=D，∴BC⊥平面PCD．取PC的中点M，连接MD，∵CD=PD，∴MD⊥PC．又BC⊥平面PCD，∴MD⊥BC，从而MD⊥平面PBC．取PM的中点H，连接FH，则FH∥MD，∴FH⊥平面PBC．∵，∴，从而这两个平行平面之间的距离为．(2)解：取CD的中点N，则E，F，N，G四点共面．由(1)知，BC⊥平面PCD，EF∥BC，则EF⊥平面PCD．从而,．故几何体ADEFGN的体积，几何体BCPEGNF的体积，从而．【解析】【分析】本题考查面面平行、两个平面间的距离和求几何体的体积．（1）要证平面PBC与平面EFG平行，只需找平面PBC内的两条相交直线分别与平面EFG平行即可．求两平行平面间的距离可转化为点到平面的距离．（2）由体积公式计算结果.19.【答案】解：（Ⅰ）由频率分布直方图，计算得分在[70，80）上的频率为1-0.1-0.15-0.2-0.15-0.1=0.3；（Ⅱ）由（Ⅰ）知各组的中间值与对应的频率如下表，中间值455565758595频率0.10.150.20.30.150.1计算问卷调査的平均得分为；（Ⅲ）根据2×2列联表，认为此项学习十分必要认为此项学习不必要合计50岁以上400600100050岁及50岁以下8002001000总计12008002000计算K2=≈333.333＞10.828，所以有99.9%的把握认为居民的学习态度与年龄相关．【解析】本题考查了频率分布直方图和样本数字特征的应用问题，也考查了独立性检验的应用问题，是基础题．（Ⅰ）由频率分布直方图计算所求的频率值；（Ⅱ）利用各组的中间值与对应的频率乘积的和，计算平均分；（Ⅲ）根据2×2列联表计算观测值，对照临界值得出结论．20.【答案】解：（Ⅰ）设M（x1，y1），N（x2，y2），∵A为线段MN的中点，∴x1+x2=2，y1+y2=1∵，两式相减可得（x1+x2）（x1-x2）+（y1+y2）（y1-y2）=0，即（x1-x2）-（y1-y2）=0，∴k MN==-1．（Ⅱ）联立，消去y得：9x2+8tx+2（t2-1）=0，由=（8t）2-4×9×2（t2-1）＞0，可得0＜t2＜9，设P（x3，y3），Q（x4，y4）∴x3+x4=-，x3x4=，∴|PQ|=•==•，又点B到直线l2的距离d==，∴△BPQ的面积S=×|PQ|×d=ו×=•≤•=，当且仅当9-t2=t2，即t=±时取等号，故△BPQ面积的最大值.【解析】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的综合应用，椭圆的标准方程，联立方程，设而不求，韦达定理”是解答的关键，属于中档题（Ⅰ）根据点差法即可求出直线MN的斜率，（Ⅱ）设出直线方程，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理及基本不等式，即可求出三角形面积的最大值．21.【答案】解：（1），∵x=1时，f（x）取得极值．∴f'（1）=0，a=3．∴，解f'（x）＞0得，或x＞1；解f'（x）＜0，得，∴f（x）的单调增区间为，单调减区间为．（2），∵f（x）存在两个极值点，∴方程f'（x）=0即2x2-ax+1=0在（0，+∞）上有两个不等实根．∵，，∴．=∴所证不等式等价于，即．不妨设x2＞x1＞0，即证，令，，则，∴h（t）在（1，+∞）上递增，∴h（t）＞h（1）=0，∴成立，∴成立．【解析】（1）对f（x）求导，根据x=1时，f（x）取得极值，求出a的值，再令导数f'（x）＞0，f'（x）＜0，分别求解单调增区间与单调减区间即可；（2）证明不等式，则需证明，不妨设x2＞x1＞0，即证＞，令，则，求函数h（t）的取值范围即可．本题考查了利用导数研究函数的单调性，根据极值求参数取值范围和证明不等式，考查了函数思想和转化思想，属难题．22.【答案】解：（Ⅰ）由题意得点的直角坐标为，将点代入，解得，∴直线l的参数方程为，消去参数t得直线的普通方程为，由等价于，又由，可得曲线C的直角坐标方程为；（Ⅱ）由（Ⅰ）中所得直线l的普通方程可知直线l的倾斜角为60°，直线DE与直线l垂直，∴直线DE的倾斜角为150°，又∵直线DE经过点，∴直线的参数方程为，t为参数，代入得，设对应参数为，对应参数为，则，，且，．【解析】本题考查参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用，属于难题；（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化；（2）利用直线和曲线的位置关系，建立方程组，利用一元二次方程根和系数的关系求出结果．23.【答案】解：（1）当a=1时，函数=|x-2|+|x-1|=，当x≤1时，不等式f（x）≥3化为-2x+3≥3，解得x≤0；当1＜x＜2时，不等式f（x）≥3化为1≥3，无解；当x≥2时，不等式f（x）≥3化为2x-3≥3，解得x≥0，即x≥3；综上知，不等式f（x）≥3的解集为（-∞，0]∪[3，+∞）．（2）关于x的不等式f（x）≤g（x）的解集包含[0，1]，等价于≤4-|x-1|在[0，1]上恒成立，由a＞0，，所以x∈[0，1]时，-x+1-x≤4+x-1恒成立；即x∈[0，1]，恒成立，所以，又a＞0，则恒成立，所以，解得a=1；所以a的取值集合是{1}．【解析】（1）a=1时f（x）=|x-2|+|x-1|，利用分类讨论法去掉绝对值，求出不等式f（x）≥3的解集；（2）由题意知关于x的不等式≤4-|x-1|在[0，1]上恒成立，由基本不等式以及绝对值的定义化简不等式，从而求出a的取值集合．本题考查了不等式恒成立问题，也考查了含有绝对值的不等式解法问题，是中档题．。