高中数学 课时分层作业15 几个常用函数的导数 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

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金戈铁制卷
课时分层作业(十五) 几个常用函数的导数 基本初等函数的导数公
式及导数的运算法则（一）
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．已知函数f(x)＝x3的切线的斜率等于3，则切线有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．不确定
B [f′(x)＝3x2，由3x2＝3得x＝±1，故选B.]

2．若函数f(x)＝cos x，则f′π4＋fπ4的值为( )
A．0 B．－1 C．1 D．2
A [f′(x)＝－sin x，则f′π4＝－sin π4 ＝－22，fπ4＝cos π4＝22.故f′

π4＋f


π
4
＝0.]

3．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为 ( )
A．4x－y－3＝0 B．x＋4y－5＝0
C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0
A [由题意，知切线l的斜率k＝4，设切点坐标为(x0，y0)，则k＝4x30＝4，∴x0＝1，
∴切点为(1,1)，所以l的方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.]

4．正弦曲线y＝sin x上切线的斜率等于12的点为( )

A.π3，32
B.－π3，－32或π3，32
C.2kπ＋π3，32(k∈Z)
D.2kπ＋π3，32或2kπ－π3，－32(k∈Z)
D [y′＝cos x，由cos x＝12得x＝2kπ＋π3或x＝2kπ－π3，k∈Z.故选D.]
5．过曲线y＝cos x上一点Pπ3，12且与曲线在点P处的切线垂直的直线方程为( )
【导学号：97792136】
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A．2x－3y－2π3＋32＝0
B.3x＋2y－3π3－1＝0
C．2x＋3y－2π3＋32＝0
D.3x＋2y－3π3＋1＝0
A [∵y＝cos x，∴y′＝－sin x，曲线在点Pπ3，12处的切线斜率是y′|x＝π3＝－
sin π3＝－32，∴过点P且与曲线在点P处的切线垂直的直线的斜率为23，∴所求的直线
方程为y－12＝23x－π3，即2x－3y－2π3＋32＝0.]
二、填空题
6．给出下列结论：
①(sin x)′＝cos x；

②sin π3′＝cos π3；

③若f(x)＝1x2，则f′(3)＝－227；
④(log4x)′＝1xln 4.
其中正确的有__________个．
3 [因为(sin x)′＝cos x，所以①正确；sin π3＝32，而32′＝0，所以②错误；
f′(x)＝1x2′＝(x－2)′＝－2x－3，则f′(3)＝－227，所以③正确；因为(log4x
)′＝1xln 4，

所以④正确．]
7．设函数f(x)＝logax，f′(1)＝－1，则a＝__________.

e－1 [f′(x)＝1xln a，则f′(1)＝1ln a＝－1，即ln a＝－1.
所以a＝e－1.]
8．曲线y＝ln x在点M(e,1)处的切线的斜率是__________，切线方程为__________．
1e x－ey＝0 [y′＝1x，则y′|x＝e＝1e，即切线的斜率为1e，切线方程为y－1＝1
e
(x－e)，

即x－ey＝0.]
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三、解答题
9．求抛物线y＝x2过点52，6的切线方程．
[解] 设此切线过抛物线上的点(x0，x20)．
由导数的意义知此切线的斜率为2x0，

又因为此切线过点52，6和点(x0，x20)，

所以x20－6x0－52＝2x0.

由此x0应满足x20－5x0＋6＝0，解得x0＝2或3.
即切线过抛物线y＝x2上的点(2,4)或(3,9)．
所以所求切线方程分别为
y－4＝4(x－2)，y－9＝6(x
－3)．

化简得y＝4x－4，y＝6x－9.
10．已知两条曲线y1＝sin x，y2＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使得在
这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由.
【导学号：97792137】
[解] 不存在，理由如下：
由于y1＝sin x，y2＝cos x，所以y′1＝cos x，y′2＝－sin x.
设两条曲线的一个公共点为点P(x0，y0)，
所以两条曲线在点P(x0，y0)处的切线斜率分别为
k1＝cos x0，k2＝－sin x
0
.

若两条切线互相垂直，则cos x0·(－sin x0)＝－1，
即sin x0·cos x0＝1，∴sin 2x0＝2，显然不成立，
所以这两条曲线不存在这样的公共点，使得在这一点处的两条切线互相垂直．
[能力提升练]

1．若幂函数f(x)＝mxα的图象经过点A14，12，则它在点A处的切线方程是( )
A．2x－y＝0 B．2x＋y＝0
C．4x－4y＋1＝0 D．4x＋4y＋1＝0
C [因为函数f(x)＝mxα为幂函数，所以m＝1.又幂函数f(x)＝xα的图象经过点

A14，12，所以α＝12，所以f(x)＝x12，f′(x)＝12x，f′14＝1，所以f(x)的图象在点A

处的切线方程为y－12＝x－14，即4x－4y＋1＝0.]
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2．已知点P在曲线y＝2sin x2cos x2上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取
值范围是( )
A.3π4，π B.－π4，3π4

C.π4，3π4 D.0，π4∪3π4，π
D [∵y＝2sin x2cos x2＝sin x，∴y′＝cos x，设P(x0，y0)．由题意，知切线的斜率
存在，则曲线在点P处的切线的斜率k＝tan α＝cos x0，∴－1≤tan α≤1.∵0≤α<π，
∴α∈0，π4∪3π4，π，故选D.]

3．已知函数f(x)＝ x3，x≤0ln x，01
12
或－2 [f′(x)＝ 3x2，x≤01x，0






a
≤0，

3a2＝12，
解得a＝112或a＝－2.]

4．已知直线y＝kx是曲线y＝ln x的切线，则k的值为__________．
1e [设切点为(x0，y0)，∵y′＝(ln x)′＝1x，∴1x0＝k，即x0＝1
k
，y0＝kx0＝1，∴1＝

ln 1k，k＝1e.]
5．若曲线f(x)＝x－2在点(a，a－2)(a>0)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为3，
求log32a的值.
【导学号：97792138】
[解] 由题意，得f′(x)＝－2x－3，
所以曲线f(x)在点(a，a－2)处的切线方程为y－a－2＝－2a－3(x－a)，

令x＝0，得y＝3a－2，令y＝0，得x＝3a2.

所以12×3a－2×32a＝3，解得a＝34.