上海市新知杯初中数学竞赛试题及答案

合集下载

上海初一初中数学竞赛测试带答案解析

上海初一初中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.六位数由三位数重复构成，如256256，或678678等等，这类数能被何数整除(15届江苏初一2试)六位数六位数A．11;B．101;C．13;D．1001.2.两班学生参加一个测试，20名学生的一班，平均分是80分；30名学生的一班平均分是70分，两班所有学生的平均分是A．75分;B．74分;C．72分;D．77分.3.一个数被10除余9，被9除余8，被8除余7，…，被2除余1，则此数为A．59 ;B．1259;C．2519;D．非以上结论.4.0.000000375与下列数不等的是A．;B．;C．;D．.5.若1+2+3+…+k之和为一完全平方，若n小于100，则k可能的值为A．8;B．1，8 ;C．8，49;D．1,8,49.6.若，则z等于(15届江苏初二1试)若A．;B．;C．;D．.7.一同学在n天假期中观察：（1）下了7次雨，在上午或下午；（2）当下午下雨时，上午是晴天；（3）一共有5个下午是晴天；（4）一共有6个上午是晴天。

则n最小为A．7;B．9;C．10 ;D．11.8.如表所示，则x与y的关系式为（）+x+1C．y=（x2+x+1）（x-1） D．非以上结论9.在下列图形中，各有一边长为4cm的正方形与一个8cm×2cm的长方形相重叠.问哪一个重叠的面积最大（）10.运算※按下表定义，例如3※2=1，那么（2※4）※（1※3）=（）A．1 ;B．2;C．3;D．4.二、填空题1.计算： .2.(17届江苏初一1试)计算等式，式中的应为 .3.三个连续的自然数的最小公倍数是168，那么这三个自然数的和等于 .4.将1,2,3，…，49,50任意分成10组，每组5个数，在每组中取数值居中的那个数为“中位数”，则这10个中位数的最大值是 .5.(15届江苏初一1试)时钟在2点时，分针与时针所夹的角为60°.从0时到3时，会有个时刻，分针与时针也能构成60°的角.6.图中阴影部分占(15届江苏初二1试)图中图形的（填几分之几）.7.如图是由9个等边三角形拼成的六边形，已知中间最小的等边三角形的边长为1，则这个六边形的周长是 (17届江苏初一1试)如图如 .8.已知，点O在三角形内，且，则的度数是(17届江苏初一1试) 度．9.(17届江苏初三)在在在4点钟与5点钟之间，分钟与时钟成一条直线，那么此时时间是 .10.(15届江苏初一1试)一条一条直街上有5栋楼，按从左至右顺序编号为1、2、3、4、5，第k号楼恰好有k （k=1、2、3、4、5）个A厂的职工，相邻两楼之间的距离为50米.A厂打算在直街上建一车站，为使这5栋楼所有A厂职工去车站所走的路程之和最小，车站应建在距1号楼米处.上海初一初中数学竞赛测试答案及解析一、选择题1.六位数由三位数重复构成，如256256，或678678等等，这类数能被何数整除(15届江苏初一2试)六位数六位数A．11;B．101;C．13;D．1001.【答案】D【解析】析：六位数由三位数重复构成，说明这类数一定能被此三位数整除，不妨用构成的六位数除以三位数得到的数即所求的数．解答：解：256256÷256=1001，678678÷678=1001，设三位数abc，则重复构成的六位数为abcabc，abcabc÷abc=1001．故选D．点评：此题考查了学生对数的整除性问题的解答与掌握，此题解答的关键是用构成的六位数除以三位数得出要求的数．2.两班学生参加一个测试，20名学生的一班，平均分是80分；30名学生的一班平均分是70分，两班所有学生的平均分是A．75分;B．74分;C．72分;D．77分.【答案】B【解析】平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数．解答：解：根据题意得：该组数据的平均数==74．故选B．点评：本题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是求80，70这四个数的平均数，对平均数的理解不正确．3.一个数被10除余9，被9除余8，被8除余7，…，被2除余1，则此数为A．59 ;B．1259;C．2519;D．非以上结论.【答案】C【解析】分析：这个最小正整数加上1是2、3、4、5、…10的最小公倍数，求得最小公倍数减1即可求得答案．解答：解：由题意可知所求最小正整数是2，3，4，5，…，10的最小公倍数减去1，2，3，4，5，…，10的最小公倍数是实际就是7，8，9，10的最小公倍数为2520，则所求最小数是2520-1=2519．故选C．点评：此题考查了带余数除法，主要利用求几个数的最小公倍数的方法解决问题．4.0.000000375与下列数不等的是A．;B．;C．;D．.【答案】D【解析】分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．注意小数和分数相互间的转化．解答：解：0.000 000 375=3.75×10-7=3×10-7=≠.故选D．点评：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．5.若1+2+3+…+k之和为一完全平方，若n小于100，则k可能的值为A．8;B．1，8 ;C．8，49;D．1,8,49.【答案】D【解析】分析：本题直接求解难度较大，故采用代入法，间接验证．解答：解：∵1+2+3+…+k=k(k+1)∴k(k+1)=n2，当k=1时，则k(k+1)=1，n=1，显然成立．当k=8时，则k(k+1)=36，此时n=6，成立；当k=49时，则k(k+1)=25×49，n=35，成立．故答案为D．点评：本题考查完全平方数．同学们对于做选择题目，采用将选项代入验证的方法，有时候起到事半功倍的效果，本题就是这样，如直接求解，难度非常大，这样求解简单多了．6.若，则z等于(15届江苏初二1试)若A．;B．;C．;D．.【答案】D【解析】略7.一同学在n天假期中观察：（1）下了7次雨，在上午或下午；（2）当下午下雨时，上午是晴天；（3）一共有5个下午是晴天；（4）一共有6个上午是晴天。

初中数学竞赛试题_1

2021 年“新知杯〞初中数学竞赛一、填空题〔第1～5小题，每一小题8分，第6～10小题，每一小题10分，一共90分〕1. −1<2x −1<1，那么12 x的取值范围为 . 2. 在面积为1 的△ABC 中，P 为边BC 的中点，点Q 在边AC 上，且AQ=2QC 。

连接AP 、BQ 交于点R ，那么△ABR 的面积是 .3. 在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边顺次为a 、b 、c 。

假设关于x 的方程 c(x 2 +1)-22bx-a(x 2-1) = 0的两根平方和为10，那么ab 的值是 . 4. 数x 1 ，x 2 ，…， x 100 满足如下条件：对于k = 1，2，…，100，x k 比其余99个数的和小k 。

那么x 25的值是 .5. 实数a 、b 、c ，且b ≠ 0。

假设实数x 1 ，x 2， y 1 ，y 2满足x 12+ax 22=b ，x 2y 1-x 1y 2=a ， x 1y 1+ax 2y 2=c ，那么y 12+ay 22的值是 .6.如图，设P 是凸四边形ABCD 内一点，过P 分别作AB 、BC 、CD 、DA 的垂线，垂足分别为E 、F 、G 、H.AH=3，HD=4，DG=1，GC=5，CF=6，FB=4，且BE-AE=1。

那么四边形ABCD 的周长为 .第6题图第7题图7. 如图，△ABC 的面积为1，点D 、G 、E 和F 分别在边AB 、AC 、BC 上，BD ＜DA ，DG ∥BC ， DE ∥AC ，GF ∥AB.那么梯形DEFG 面积的最大可能值为 .8. 不超过1000 的正整数x ，使得x 和x+1 两者的数字和都是奇数。

那么满足条件的正整数x 有个.9. k 为不超过50 的正整数，使得对任意正整数n ，2×36n+k×23n+1-1 都能被7 整除。

那么这样的正整数k 有个.10. 使得22)1(++p p 是完全平方数的所有质数p 为 .二、〔20 分〕如图，在 Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=2，AC=x ，点F 在边AB 上，点G 、H 在边BC 上，四边形EFGH 是一个边长为y 的正方形，且AE=AC.〔1〕求y 关于x 的函数解析式.〔2〕当x 为何值时，y 取到最大值？并求出y 的最大值.三、〔20 分〕求满足以下条件的正整数 n 的所有可能值：对这样的n ，能找到实数a 、b ，使得函数 b ax x nx f ++=21)(对任意整数x ，f 〔x 〕都是整数.四、〔20 分〕在一个盒子里有红、黄、黑三种颜色的小球一共88 个.从中任意取出24 个，就可以保证至少有10个小球是同色的.问在满足上述条件下，无论各种颜色的小球如何分配，至少要从盒子中任意取出多少个小球，才能保证至少有20 个小球是同色的？励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

2013年上海市新知杯初中数学竞赛

2013年上海市（新知杯）初中数学竞赛2013年12月8日（9:0011:00:）一、填空题（每题10分，共80分） 1、已知a b ==，求33a ab b -+-= . 2、已知四条平行的直线1234,,,l l l l 被四条平行的直线1234,,,m m m m 所截，交1234,,,l l l l 于,,,A B C D ，若四边形ABCD 的面积为100，四边形EFGH 的面积为20，求四边形PQRS 的面积为 . 3、已知Rt ABC △中，90BAC ∠=o，6,8AB AC ==，若点E ，F 在边AB ，AC 上，使得2AE =，3BF =，过E 点作AC 的平行线交BC 于点D ，联结FD 交AC 的延长线与点G ，则线段FG 的长为 . 4、已知凸五边形ABCDE 的每条边分别长12345,,,,a a a a a .现有一个关于x 的两次三项式，使得当1x a =或12345x a a a a a =++++时，两次三项式的值均为5，若当12x a a =+时，两次三项式的值为p ，当345x a a a =++时，两次三项式的值为q ，则p q -= .5、一个三位数能被35整除，且各项数码之和为15，则这个三位数是 .6、若关于x 的方程()()2120x ax m m ++++=，无论实数a 取何值，方程总有实数根，则m 的取值范围是 .7、已知矩形ABCD 的面积是2013，且点E 在边CD 上，则以三角形,,ABE BCE ADE △△△的重心构成的三角形的面积是 .8、已知Rt ,90ABC C ∠=o△，斜边AB 上的高3CD =，延长DC 至点P ，使得2PC =，联结AP ，过点B 作BF AP ⊥交,CD AP 于点,E F ，则DE = .G 3G 2G 1AC DE B （第7题）B（第2题）C A H GFER Q PS D l 1 l 2l 3 l 4 m1m 2m 3m 4（第3题）GD FE B AC E FDAC B（第8题）二、解答题（第9、10题，每题15分；第11、12题，每题20分，共70分）9、如图，已知正方形ABCD 的边长为1，线段PQ 过点C 且与射线,AD AB 相交与点,P Q .求：111AP AQ PQ++的最大值.10、给定非零实数a ，解下列方程组：,1.x xy a yy xy x a⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩11、已知一个正整数n ()1n >，若正整数n 满足能找到n 个整数12,n a a a L 使得：12122013n n a a a a a a +++==L L ，求n 的最小值.12、已知正整数,,,a b c d 满足()()2213;13a c d b c d =+=-，求所有满足条件的d 的值.ACDP 第9题参考答案：1、6427-2、6034、05、7356、21m -≤≤-7、6713 8、959、4410、x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩11、512、85d =。

2018年新知杯上海市初中数学竞赛试题及答案

2018年新知杯上海市初中数学竞赛参考解答一、填空题（第1-5小题每题8分，第6-10小题每题10分，共90分） 1、对于任意实数a,b ，定义,a ∗b=a (a +b ) +b, 已知a ∗2.5=28.5，则实数a 的值是。

【答案】4，132-2、在三角形ABC 中，22b 1,,2a AB BC a CA =-==，其中a,b 是大于1的整数，则b-a= 。

【答案】03、一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是。

【答案】50,944、已知关于x 的方程4322(3)(2)20x x k x k x k ++++++=有实根，并且所有实根的乘积为−2，则所有实根的平方和为。

【答案】55、如图，直角三角形ABC 中, AC=1，BC =2，P 为斜边AB 上一动点。

PE ⊥BC ，PF ⊥CA ，则线段EF 长的最小值为。

6、设a ，b 是方程26810x x ++=的两个根，c ，d 是方程28610x x -+=的两个根，则(a+ c )( b + c )( a − d )( b − d )的值。

【答案】2772第五题图BA7在平面直角坐标系中有两点P (-1,1) , Q (2,2)，函数y =kx −1 的图像与线段PQ 延长线相交（交点不包括Q ），则实数k 的取值范围是。

【答案】1332k <<8方程xyz =2018的所有整数解有组。

【答案】729如图，四边形ABCD 中AB =BC =CD ，∠ABC =78°，∠BCD =162°。

设AD ,BC 延长线交于E ，则∠AEB = 。

【答案】21°10、如图，在直角梯形ABCD 中，∠ABC =∠BCD = 90°，AB =BC =10，点M 在BC 上，使得ΔADM 是正三角形，则ΔABM 与ΔDCM 的面积和是。

【答案】300-二、（本题15分）如图，ΔABC 中∠ACB =90°，点D 在CA 上，使得CD =1, AD =3，并且∠BDC =3∠BAC ，求BC 的长。

2017年新知杯上海市数学竞赛

2017年新知杯上海市数学竞赛2017年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷2017年12月4日上午9:00~11:00）一、填空题（每题10分，共80分）1.已知关于x的两个方程：x-x+3m=……①，x+x+m=……②，其中m≠0.若方程①中有一个根是方程②的某个根的3倍，则实数m的值是___________。

2.已知梯形ABCD中，XXX，∠ABC=90°，BD⊥AD，BC=5，BD=13，则梯形ABCD的面积为_______________。

3.从编号分别为1，2，3，4，5，6的6张卡片中任意抽取3张，则抽出卡片的编号都大于等于2的概率为______________。

4.将8个数-7，-5，-3，-2，2，4，6，13排列为a，b，c，d，e，f，g，h，使得(a+b+c+d)+(e+f+g+h)的值最小，则这个最小值为____________。

5.已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别是边AB，BC上的点，使得AE=3，BF=2，线段AF与DE相交于点G，则四边形DGFC的面积为_____________。

6.在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，P是△ABC内一点，使得PA=11，PB=7，PC=6，则边AC的长为______________。

7.有10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场），规定获胜得2分，平局得1分，负得分。

比赛结束后，发现每名选手的得分各不相同，且第2名的得分是最后五名选手的得分和的4/5，则第2名选手的得分是_________。

8.已知a，b，c，d都是质数（质数即素数，允许a，b，c，d有相同的情况），且abcd是35个连续正整数的和，则a+b+c+d的最小值为_________。

二、解答题（第9，10题，每题15分，第11，12题，每题20分，共70分）9.如图，矩形ABCD的对角线交点为O，已知∠DAC=60°，角DAC的平分线与边DC交于点S，直线OS与AD相交于点L，直线BL与AC相交于点M。

2000-2022年(新知杯)历年上海市初中数学竞赛试卷及答案(试题全与答案分开)

2022上海市初中数学竞赛(新知杯)一、填空题(每题10分) 1.721,721-=+=b a ，那么.________33=-+-b b a a2.43214321//////,//////m m m m l l l l ，._______,20,100===EFGH ILKJ ABCD S S S 则3.F E AC AB A 、，,8,690==︒=∠在AB 上且3,2==BF AE 过点E 作AC 的平行线交BC 于D ，FD 的延长线交AC 的延长线于G ，那么.__________=GF4.凸五边形的边长为)(,,,,,54321x f a a a a a 为二次三项式；当1a x =或者5432a a a a x +++=时，5)(=x f ，当21a a x +=时，,)(p x f =当543a a a x ++=时，q x f =)(，那么.________=-q p 5.一个三位数是35的倍数且各个数位上数字之和为15，那么这个三位数为___________.6.关于x 的一元二次方程0)2)(1(2=++++m m ax x 对于任意的实数a 都有实数根，那么m 的取值范围是_________________.7.四边形ABCD 的面积为2022，E 为AD 上一点，CDE ABE BCE ∆∆∆,,的重心分别为321,,G G G ，那么321G G G ∆的面积为________________.8.直角三角形斜边AB 上的高3=CD ，延长DC 到P 使得2=CP ，过B 作AP BF ⊥交CD 于E ，交AP 于F ，那么._________=DE二、解答题〔第9题、第10题15分，第11题、第12题20分〕 9.︒=∠90BAC ，四边形ADEF 是正方形且边长为1，求CABC AB 111++的最大值. 10.a 是不为0的实数，求解方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-ax y xy a yxxy 111.：,1>n n a a a a ,,,,321 为整数且2013321321=⋅⋅⋅⋅=++++n n a a a a a a a a ，求n 的最小值.12.正整数d c a 、、、b 满足),13(),13(22-=+=d c b d c a 求所有满足条件的d 的值. 答案：1.27102- 2.60 3.265 4.0 5.735 6.12-≤≤-m 7.36718.599.CA BC AB 111++4221+≤ 10.经检验原方程组的解为：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=1122a y a a x ，⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=1122a y a a x .11.【解析】2013,1,1,554321===-===a a a a a n 当满足题设等式，下证当4≤n 时，不存在满足等式要求的整数，不妨设n a a a a ≤≤≤≤ 321，(1)当4=n 时，611132013⨯⨯=，当4321,,,a a a a 中有负整数时，必为⎩⎨⎧==+⇒-==20132015,1434321a a a a a a ，假设2013,143==a a 不满足条件，当20152671,344343<≤+⇒≤⇒≥a a a a a 无解.不可能，当4321,,,a a a a 中无负整数时，显然20134≠a ，6714≤a ，容易验证等式不可能成立.(2)当3=n 时，当321,,a a a 中有负整数时，必为,121-==a a 显然等式不成立，当321,,a a a 中无负整数时，同上容易验证等式不可能成立.(3)当2=n 时，21,a a 均为正整数，同上易验证等式不可能成立. 综上所述，n 的最小值为5. 12.85=d2022上海新知杯初中数学竞赛答案2022年〔新知杯〕上海市初中数学竞赛试卷〔2022年12月9日上午9:00~11:00〕一、填空题〔每题10分，共80分〕1. 的边上的高为，与边平行的两条直线将的面积三等分，那么直线与之间的距离为_____________。

2006年新知杯上海市初中数学竞赛

CD 的值为 AB
.
ABC 的面积为 S ,周长为 p , A′ B′ C′ 的三边在 ABC 外 ,且与对应边的距离均为 h . 则 A′ B′ C′ 的周长为 ,面
8. 如图 4 ,
积为 . 9. 已知 n ( n > 1) 个整数 ( 可以相同) a1 , a2 , …, a n 满足 a1 + a2 + …+ a n = a1 a2 …an = 2 007. 则 n 的最小值是 . 10. 把能表示成两个正整数平方差的这种正整数 , 从小到大排成一列 : a1 , a2 , …, 2 2 2 2 a n , …( 如 a1 = 2 - 1 = 3 , a2 = 3 - 2 = 5 , a3 2 2 2 2 ) . 那么 , a1 + = 4 - 3 = 7 , a4 = 3 - 1 = 8 , … a2 + …+ a100 的值是 . ( ) 二、 20 分如图 5 , 已知半径分别为 1 、 2 的两个同心圆 , 有一个正方形 ABCD , 其中 , 点 A 、 D 在半径为 2 的圆周上 , 点 B 、 C 图5 在半径为 1 的圆周上 . 求这个正方形的面积 . ( 20 分) 关于 x 、三、 y、 z 的方程组 3x +2y + z = a , xy + 2 yz + 3 zx = 6 有实数解 ( x , y , z ) . 求正实数 a 的最小值 . ( 20 分) 设 A 是给定的正有理数 . 四、 (1) 若 A 是一个三边长都是有理数的直角三角形的面积 ,证明 : 一定存在 3 个正有理 2 2 2 2 数 x、 y、 z ,使得 x - y = y - z = A ; ( 2) 若存在 3 个正有理数 x 、 y、 z , 满足

2013年新知杯上海市初中数学竞赛

的距离为加，则ＹＺ＝ＣＤ．
８
６
网３
＝＝＞ＥＤ：— １６
．
３
在Ｒｔ △ＤＥＦ中，
而点到边Ａ的距离为Ｄ，故点的边
√ ，２６５
ＦＤ： √ ｈ
ｊＦＧ＝３ＦＤ＝
４．０．
一
＾
延长ＤＣ到点Ｐ，使得ＣＰ＝２，联结ＡＰ，过点曰作，上ＡＰ，分别与ＣＤ、ＡＰ交于点Ｅ、则线段ＤＥ
ｌ冬Ｉ１
３．在Ｒｔ △ＡＢＣ中，已知ＢＡＣ＝９０。，ＡＢ＝
的长为一
６，ＡＣ＝８，点Ｅ、Ｆ在边ＡＢ上，使得ＡＥ＝２，ＢＦ＝３．
二、９．原方程组为
ｘｙ一口＝— —．
。
Ｙ
①
。 ≥
：
：６７１
１
ｒ上
Ｙ
，＝ ≤
ｘｙ一— —＝— —
将上面两式相乘得
（一。）（一）＝ｊ（）一（。＋）（）＝０．
７．．
一
２≤ ｍ ≤ 一１
）（＋・一－）＝一笺．
， ’
２．６０．
由图易得
Ｓ四边脚形Ｐ０ｓ一：６０．。
一
ห้องสมุดไป่ตู้
如图４，设△ ＡＢＥ、 △ＢＣＥ、 △ＡＤＥ的重心依次为、ｙ、ｚ．由重心的性质及相

试题：2011年新知杯上海市初中数学竞赛试题(含答案解析)

2011年新知杯上海市初中数学竞赛试题一、填空题（每题10分，共80分）1.已知关于x的两个方程：错误！未找到引用源。

-x+3m=0……①，错误！未找到引用源。

+x+m=0……②，其中m≠0.若方程①有一个根是方程②的一个根的3倍，则实数m的值是_________。

2.已知梯形ABCD中AB‖CD，∠ABC=90°，BD⊥AD，BC=5，BD=13，则梯形ABCD的面积为______。

3.从编号为1、2、3、4、5、6的六张卡片中任意抽取三张，则抽出的卡片编号都大于2的概率为________.4.将8个数，-7，-5，-3，-2，2，4，6，13排列为a,b,c,d,e,f,g,h,使得+的值最小，则这个最小值为________.5.已知正方形ABCD边长为4，E、F分别在AB，BC上，AE=3，BF=2，AF，DE交于G，则四边形DGFC的面积为。

6.在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，P是△ABC内一点，使得PA=11，PB=7，PC=6，则AC边长为____________。

7.有10名象棋选手进行单循环赛，规定每场比赛胜方得2分，负方得0分，平局各得1分，比赛结束后发现每位选手得分各不同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的，则第二名选手得分是_______。

8.已知a，b，c，d都是素数（可以相同），并且abcd是35个连续正整数之和，则a+b+c+d 的最小值为_________.二、解答题（第9、10题每题15分，第11、12题每题20分，共70分）9.如图，矩形ABCD的对角线交于O，已知∠DAC=60°，∠DAC的平分线与DC交于S，直线OS，AD相交于L,直线BL与AC交于M。

求证：SM‖LC.10.求所有正整数组a ≥b ≥c ≥d ≥e ≥f ，使得a ！=b ！+c ！+d ！+e ！+f ！。

11.①求证：存在整数x ，y ，满足+4xy+=2022②是否存在整数x ，y ，满足+4xy+=2011？请证明你的结论。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

20XX 年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷
（20XX 年12月4日上午9:00~11:00）
题号一（1~8）
二
总分
9
10
11
12
得分评卷复核
解答本试卷可以使用科学计算器
一、填空题（每题10分，共80分）
1.
已知关于
x 的两个方程：
032
m x x
①，0
2
m x x
②，其中
0m。

若方程①中有一个根是方程②的某个根的3倍，
则实数m 的值是___________。

2.
已知梯形ABCD 中，AB //CD ，90ABC ，AD BD ，5BC ，13BD ，
则梯形
ABCD 的面积为_______________。

3.从编号分别为1，2，3，4，5，6的6张卡片中任意抽取
3张，则抽出卡片的编号
都大于等于
2的概率为______________。

4.
将8个数7，5，3，
2，2，4，6，13排列为a ，b ，c ，d ，e ，f ，g ，
h ，使得2
2
h g
f
e
d
c
b a
的值最小，则这个最小值为
____________。

5.
已知正方形
ABCD 的边长为4，E ，F 分别是边AB ，BC 上的点，使得3AE ，
2BF
，线段AF 与DE 相交于点G ，则四边形DGFC 的面积为_____________。

6.
在等腰直角三角形
ABC 中，
90ACB
，P 是
ABC 内一点，使得11PA
，
7PB
，6PC ，则边AC 的长为______________。

7.
有10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场），规定获胜得
2分，平局得1
分，负得
0分。

比赛结束后，发现每名选手的得分各不相同，
且第
2名的得分是最后五
名选手的得分和的
5
4，则第
2名选手的得分是_________。

8.
已知a ，b ，c ，d 都是质数（质数即素数，允许a ，b ，c ，d 有相同的情况），且abcd
是
35个连续正整数的和，则d c b a 的最小值为_________。

二、解答题（第9，10题，每题15分，第11，12题，每题20分，共70分）
9.
如图，矩形ABCD 的对角线交点为O ，已知60DAC ，角DAC 的平分线与边DC 交于点S ，直线OS 与AD 相交于点L ，直线BL 与AC 相交于点M 。

求证：LC SM //。

O
M S
L
D
C
B
A
10.对于正整数n ，记n n 2
1!。

求所有的正整数组f e d c b a ,,,,,，使得
!!!!!!
f e d c b a ，且f e
d
c
b
a。

解
11.（1）证明：存在整数
x ，y ，满足202242
2
y
xy x
；
（2）问：是否存在整数
x ，y ，满足?201142
2
y
xy
x 证明你的结论。

12.对每一个大于
1的整数n ，设它的所有不同的质因数为
1p ，2p ，...，k p ，对于每个
k i
p i 1
，存在正整数i a ，使得1
i i a i
a i
p n
p
，
记
k
a k
a a p p p n
p 2
1
2
1
例如，8952100
2
6p 。

（1）试找出一个正整数
n ，使得n n p ；
（2）证明：存在无穷多个正整数n ，使得n .n
p 11。

解
学习必备欢迎下载。