§10-4 静电场的环路定理 §10-5 电势
合集下载
10-4高斯定理和环路定理
B
o
R
B d l 0 I
l
dl
l
二、安培环路定理
1. 安培环路定理的表述
B dl 0 ?
l
表述: 在真空的稳恒磁场中，磁感应强度 B 沿任一
闭合路径的积分的值，等于 0 乘以该闭合路径所 包围的各电流的代数和. 表达式: 注意 电流 I 正负的规定 ： I 与 L 成右螺旋时， 为正；反之为负.
定理表达式中B是闭合积分环路上各点的
总磁感应强度,是由空间所有电流共同激发的
L
闭合环路不包围的电流对 B dl 没有贡献
该定理可用于求解对称性磁场的B分布
与静电场的高斯定理的应用相似
B dl 0 说明磁场不是保守场,而是非保守场,也叫涡旋场
L
定理只适用于稳恒电流的磁场
对称性分析 选择合适的高斯面 根据定理求解
二、安培环路定理的应用
1.分析磁场的对称性：根据电流的分布来分析；
一个重要结论: 若 Idl1 和 Idl2 关于某个面为镜象对称,则 此对对称电流元在该面上产生的合磁场 必与该面垂直
2. 选取合适的闭合积分路径和积分回路的绕向
过场点 积分路径上各点B大小相等, B//dl 规则曲线
m2 （2）计算 单位：韦伯(wb) 1Wb=1T·
a . dS垂 直B
b. dS跟B成角
d m B dS
d m B cosdS
c. 通过任一曲面的 磁通量
B dS
m B dS
S
B
dS dS n 源自B例 如图载流长直导线的电流为 I , 试求通过矩 形面积的磁通量.
静电场的环路定理 电势
(8-22)
静电场的环路定理 电势
式中，Uab为静电场中任意两点 a、b间的电势差，也称为电压.式（ 8-22）表明，静电场中a、b两点的 电势之差等于把单位正电荷从a点沿 任意路径移到b点电场力所做的功.电 势差是绝对的.
静电场的环路定理 电势
四、 电势的计算 1. 点电荷电场的电势
设在真空中有一点电荷q，其周围的电场分布为
(8- 21)
式（8-21
a的电势在数值上等
于把单位正电荷从a点沿任意路径移到无限远电场力所做的功.在
许多实际问题中，也常选地球为电势零点.
电势是标量，在国际单位制中，电势的单位为伏特（V）.
静电场的环路定理 电势
2. 电势差
从电场力做功的角度引入电势能的概念，由式(8-19) 和式(8-20)可以看出，电势能Wa不仅与a点的电场性质有 关，还与试验电荷q0有关，因而不能用来描述电场中某场 点的性质.但是，人们发现电势能与试验电荷q0的比值与试 验电荷q0无关，仅与a点电场的性质有关.因此，用电势描 述电场的能量特征.a、b两点的电势分别用Va、Vb表示.由 式（8-18），定义
dW=F·dl=q0E·dl=q0Edlcosθ
静电场的环路定理 电势
式中，θ为E与dl的夹角.由图8-20可以看出，元位移dl在电场力 方向的投影为dlcosθ=dr，则元功可写成
静电场的环路定理 电势
既然每个点电荷的电场力对q0所做 的功都与路径无关，那么它们的代数和 也必然与路径无关.由此可以得到以下结 论：在任意带电体的电场中，电场力对 试验电荷q0所做的功只与试验电荷q0及 其始末位置有关，而与路径无关.
静电场的环路定理 电势
2. 电势叠加原理
设场源电荷是由分布在有限区域内的点电荷系q1、q2、q3、 …、qn组成，根据场强叠加原理，任一点P处的场强等于各个点电 荷在该点产生场强的矢量和，即
静电场的环路定理 电势
式中，Uab为静电场中任意两点 a、b间的电势差，也称为电压.式（ 8-22）表明，静电场中a、b两点的 电势之差等于把单位正电荷从a点沿 任意路径移到b点电场力所做的功.电 势差是绝对的.
静电场的环路定理 电势
四、 电势的计算 1. 点电荷电场的电势
设在真空中有一点电荷q，其周围的电场分布为
(8- 21)
式（8-21
a的电势在数值上等
于把单位正电荷从a点沿任意路径移到无限远电场力所做的功.在
许多实际问题中，也常选地球为电势零点.
电势是标量，在国际单位制中，电势的单位为伏特（V）.
静电场的环路定理 电势
2. 电势差
从电场力做功的角度引入电势能的概念，由式(8-19) 和式(8-20)可以看出，电势能Wa不仅与a点的电场性质有 关，还与试验电荷q0有关，因而不能用来描述电场中某场 点的性质.但是，人们发现电势能与试验电荷q0的比值与试 验电荷q0无关，仅与a点电场的性质有关.因此，用电势描 述电场的能量特征.a、b两点的电势分别用Va、Vb表示.由 式（8-18），定义
dW=F·dl=q0E·dl=q0Edlcosθ
静电场的环路定理 电势
式中，θ为E与dl的夹角.由图8-20可以看出，元位移dl在电场力 方向的投影为dlcosθ=dr，则元功可写成
静电场的环路定理 电势
既然每个点电荷的电场力对q0所做 的功都与路径无关，那么它们的代数和 也必然与路径无关.由此可以得到以下结 论：在任意带电体的电场中，电场力对 试验电荷q0所做的功只与试验电荷q0及 其始末位置有关，而与路径无关.
静电场的环路定理 电势
2. 电势叠加原理
设场源电荷是由分布在有限区域内的点电荷系q1、q2、q3、 …、qn组成，根据场强叠加原理，任一点P处的场强等于各个点电 荷在该点产生场强的矢量和，即
静电场的环路定理静电场力的功电势能
静电场力的功
02
电场力的定义
电场力是电荷在电场中受到的 力，其大小和方向由电场强度
和电荷的乘积决定。
电场力的大小为 F=qE，其 中 F 是电场力，q 是电荷量，
E 是电场强度。
电场力的方向与电场强度的方 向相同，即由正电荷指向负电
荷。
电场力做功的计算
电场力做功可以通过积分计算，即 W=∫F·dr，其中 W 是电场力做的功， F 是电场力，dr 是位移矢量。
在匀强电场中，电场力做功可以通过 W=qEd计算，其中 W 是电场力做 的功，q 是电荷量，E 是电场强度，d 是位移。
在非匀强电场中，需要计算电场力在路径上的积分来计算电场力做的功。
电场力做功的特点
01
电场力做功与路径无关，只与初末位置的电势差有关。
02
电场力做功是标量，没有方向。
03
电场力做功的过程是能量转化的过程，可以转化为其他形式 的能量。
电势能
03
电势能的定义
电势能是指电荷在电场中由于位置差 异而具有的能量。
电势能是电荷与电场共同具有的能量， 其大小由电场强度和电荷量共同决定。
电势能是相对的，与零电势点的选择 有关。
电势能的变化规律
1
电场力做功与路径无关，只与初末位置有关。
2
电场力做正功，电势能减少；电场力做负功，电 势能增加。
3
静电力做功与电荷的运动路径无关，只与初末位 置有关。
电势能与电场力的关系
01
电场力做功等于电势能的减少量。
02
电势能的变化量等于电场力做的功。
03 电势能与电场力做功的关系是能量守恒定律在静 电场中的具体表现。
THANKS.
静电场的环路定理、静 电场力的功、电势能
10.4静电场环路定理
V V V ( i j k) x y z
V Ez z
E
10-4 静电场的环路定理 V V V E ( i j k) x y z V的梯度: gradV 或
E gradV V
E 的方向与V的梯度反向.
10-4 静电场的环路定理
一
电场的环量
E dl E cos dl
l l
环量：场强沿闭合路径的线积分称为电场的环量
dl
l
F dl qLeabharlann E cos dll l
E
环量的意义：将单位正电荷沿闭合路径 移动一周电场力做的功。
10-4 静电场的环路定理
RB
q A qB qA 1 1 ( ) 4 0 R B 40 r RB
qA qB 40 r 40 RB
（3）r RA
U
RA r
10-4 静电场的环路定理
RB E dr E dr E dr RA RB 0
V
另一方面，由于场强沿法线方向 dV dV E V n E En n n dn dn 电势梯度是一个矢量，它的大小为电势沿等势面法线 方向的变化率（该方向电势的变化率最大），它的方 向沿等势面法线方向且指向电势增大的方向。
10-4 静电场的环路定理
静电场力的功 b Aab q E dl qUab q(U a U b )
a
原子物理中能量单位: 电子伏特eV
1 eV 1.6021019 J
10-4 静电场的环路定理
点电荷电场的电势
E q e 2 r 4 πε0 r
V Ez z
E
10-4 静电场的环路定理 V V V E ( i j k) x y z V的梯度: gradV 或
E gradV V
E 的方向与V的梯度反向.
10-4 静电场的环路定理
一
电场的环量
E dl E cos dl
l l
环量：场强沿闭合路径的线积分称为电场的环量
dl
l
F dl qLeabharlann E cos dll l
E
环量的意义：将单位正电荷沿闭合路径 移动一周电场力做的功。
10-4 静电场的环路定理
RB
q A qB qA 1 1 ( ) 4 0 R B 40 r RB
qA qB 40 r 40 RB
（3）r RA
U
RA r
10-4 静电场的环路定理
RB E dr E dr E dr RA RB 0
V
另一方面，由于场强沿法线方向 dV dV E V n E En n n dn dn 电势梯度是一个矢量，它的大小为电势沿等势面法线 方向的变化率（该方向电势的变化率最大），它的方 向沿等势面法线方向且指向电势增大的方向。
10-4 静电场的环路定理
静电场力的功 b Aab q E dl qUab q(U a U b )
a
原子物理中能量单位: 电子伏特eV
1 eV 1.6021019 J
10-4 静电场的环路定理
点电荷电场的电势
E q e 2 r 4 πε0 r
电势
2. 点电荷系的电势
q 点电荷的电势： VP 4 0 r
q2 r1
q1
由电势叠加原理，P 点的电势为
r2
qn
P
qi V Vi 4 0 ri
3. 连续带电体的电势
rn
由电势叠加原理
dq
r
P
dq V dV 4 0 r
六．等势面 电势与电场强度的关系 等势面--形象表示电场中电势的分布
cosdl dr q
dA q0 Edr
r
ra
q0 c
dl F
c
则
a
qq0 1 1 A q0 Edr qo dr ( ) 2 40 r 40 ra rb a ra q
b
rb
２．点电荷系电场中静电力作功与路径无关 dA F dl q0 E dl
a
b
q0 qi 1 1 A1 A2 An ( ) rib i 40 ria
3．任意带电体所产生电场中静电力作功与路径无关
在任何静电场中，电荷运动时电场力所作的功只与路径的 始末位置有关，而与电荷运动路径无关。静电场的这一特 性称静电场的保守性。静电场是保守场。
二、静电场的环路定理 — 保守性的表述
说明：
• 电势能是属于系统的，为场源电荷与试验电荷所 共有。是试验电荷与电场之间的相互作用能。 • 电势描述场的性质，与试验电荷无关 • 电势能的量值与电势能零点的选择有关。 • 某点电势与电势零点的选取有关。常以地球为电 势零点。
★讨论:
功、电势差、电势能之间的关系
Aab q E dl q(Va Vb ) Wa Wb
10-(4)安培环路定理
10-4 安培环路定理及其应用
在静电场中
E dl 0 -- 静电场是保守力场。
l
在稳恒电流的磁场中
LB
dl
？
一 安培环路定理
以无限长直线电流的附近的某个回路为例。 I
无限长直线电流的磁感应线
1、闭合曲线所在平面与电流垂直 I
L
OR
S
B
俯视图
L
B
I d
B
Or
θ dl
P’
P
证： 任取曲线上一点P：
n, I
1、内部磁场 M
Bin Bin 平行于轴线 Bin
N
1、内部磁场
Bin 平行于轴线
L
均匀分布
LBdl 0
Bin均匀分布
安培环路定理 Bin均匀分布
2、外部磁场 Bout
Bout
Bout≈0
M
Bin 平行于轴线 Bin
Bout
N Bout Bout≈0
3、磁场分布
n, I
Bin 均匀分布
(2) 选择合适的闭合回路，含方向；
(3) 求出
B dl ?
和 0
I ?
L
L内
(4) 利用
B dl
L
0 I，求出B的值。
L内
环路L的选择：
(1) L上的B大小相等，方向相同或B与dl 平行或垂直。
(2) 环路的长度( Bdl cos )便于计算。
例1 求通电无限长直密绕细螺线管内磁场。
静电场
LE dl 0
电场有保守性，是 保守力场，或有势场
S
E
ds
1
0
qi
电力线起于正电荷、
止于负电荷。
在静电场中
E dl 0 -- 静电场是保守力场。
l
在稳恒电流的磁场中
LB
dl
？
一 安培环路定理
以无限长直线电流的附近的某个回路为例。 I
无限长直线电流的磁感应线
1、闭合曲线所在平面与电流垂直 I
L
OR
S
B
俯视图
L
B
I d
B
Or
θ dl
P’
P
证： 任取曲线上一点P：
n, I
1、内部磁场 M
Bin Bin 平行于轴线 Bin
N
1、内部磁场
Bin 平行于轴线
L
均匀分布
LBdl 0
Bin均匀分布
安培环路定理 Bin均匀分布
2、外部磁场 Bout
Bout
Bout≈0
M
Bin 平行于轴线 Bin
Bout
N Bout Bout≈0
3、磁场分布
n, I
Bin 均匀分布
(2) 选择合适的闭合回路，含方向；
(3) 求出
B dl ?
和 0
I ?
L
L内
(4) 利用
B dl
L
0 I，求出B的值。
L内
环路L的选择：
(1) L上的B大小相等，方向相同或B与dl 平行或垂直。
(2) 环路的长度( Bdl cos )便于计算。
例1 求通电无限长直密绕细螺线管内磁场。
静电场
LE dl 0
电场有保守性，是 保守力场，或有势场
S
E
ds
1
0
qi
电力线起于正电荷、
止于负电荷。
第10章静电学-3-静电场环路定理
+q
11
(2)电荷分布如图所示, 将点电荷qo从a 经半圆b移到c的 过程中, 电场力对qo的功？
解 Aac qo (Ua Uc )
b
Ua
q
4o R
q
4o R
0
-q
a
+q R
o
c
Uc
q
4 o (3 R)
q
4o R
R
R
q
6o R
Aac
qqo
6o R
12
例10-14 一均匀带电直线段，长为L，电量为q ;取无穷远为电 势零点，求直线延长线上离一端距离为d 的P点的电势。
9
③对于电荷连续分布的带电体，可将其分割为无数多电荷元
dq，每个电荷元dq当作点电荷，其电势为
dU dq 4πε0r
根据电势叠加原理
U
V
dq
4 0r
dl dq dS
dV
积分遍及整个带电体，V是带电体的体积。
电势叠加原理也可以计算多个带电体所产生电场的总电 势，总电势应等于各带电体所产生电场的电势的代数和。
(3)电势差：
b
Uab Ua Ub E dl
a
静电场中a、b两点的电势差等于将单位正电荷由a沿任意路 径移至b过程中电场力做的功。
电势差是绝对量，与电势零点的选择无关。
6
由Wa
q
零势点 E
a
dl ,
得 Wa qUa
由Aab
q
b
E dl
a
Wa Wb ,
得 Aab q(Ua Ub )
(3)等于场强从该点沿任意路径到零势点的线积分。
说明：
(1)电势是相对量，要确定场中各点的电势必须选定电势零点。
大学物理10.4静电场的环路定理电势能.ppt
q1
q2
qi qn
带电体对q0 做功与路径无关 结论 静电场力做功只与始末位置有关，与路径无关，所以静 电力是保守力，静电场是保守力场。
二、静电场的环路定理
在静电场中，沿闭合路径移动q0，电场力做功
b
Aab q0E dl
L1
q0 由 a 点经 L1 到 达 b 点所做的功
b
a
a(L1) q0E dl b(L2 ) q0E dl
验一个电场不是静电场。 b c d a
E dl a E dl b E dl c E dl d E dl
b
d
a E1dl c E2dl
E1ab E2 cd 0 不是静电场
a
b
E
d
c
(2) 环路定理表明静电场电力线不能闭合（无旋场）。 (3) 静电场是无旋场，可引进电势能。
单个点电荷产生的电场rrqq4barrd1200???0al?dbabaqel????11400barrqq???lr?d?rqqbarr?4300???balbrardl?rd?qe??q0点电荷对q0做功与路径无关dr?l??drr?cosd?rl?r?r?d?r?dr?rr????0al?balqe?bqe?dbabaqel????012d?neel??????????01020alal?al?dddbbnlqelqel????????????????结论静电场力做功只与始末位置有关与路径无关所以静电力是保守力静电场是保守力场
例 如图所示, 在带电量为 Q 的点电荷所产生的静电场中，
有一带电量为 q 的点电荷
求 q 在 a 点和 b 点的电势能
解 • 选无穷远为电势能零点
Q
qQ 1
静电场的环路定理
已知q的电场分布 E
根据定义, P点的电势为
4
q
0r
2
er
VP
P
E dl
r
q
40r
2Pdr4q04r2qe0rrP dl
q > 0时, VP为正, r V, r处V= 0 min q < 0时, VP为负, r V, r处V = 0 max
2.电场强度与电势梯度的关系
根据电势差的定义, 把单位正电荷从P1移到P2 电场力所作的功为：
dA E dn V (V dV )
r E
dn
n
P1
P2
V V dV
E dn dV
E
dV dn
grad V
E
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dV dn
n
r E grad V
r 即:电场中某点的场强 E 等于该点电势梯度的负值
无意义
VP
P
E
dr
rP
2 0r
dr
2 0
ln
rP
r
P
P'
令某处 r = r0（有限值） V=0，则
VP
P0
P
E
dl
P
P
E dl
P0
P
E dl
r0 P0
P
P
2
0r
dr
2 0
ln
r0 r
可见：当电荷分布到无穷远时，
22
归纳 电场强度与电势的关系
积分关系：
2023-2024学年高二下学期物理竞赛课件：静电场的环路定理和电势
四、电势差
Q Aab qo
bv v a E dl Wa Wb
电势差：
b
E dl
Wa
Wb
a
qo b qvo v
Uab Va Vb
E dl
a
结论：静电场中a,b两点的电势差，在数值上等于 将单位正电荷从a点移至b点电场力所作的功。
Aab W Wa Wb qo (Va Vb )
二、电势能（W）
Wa q0
Wb
保守力作功等于势能的减少 a
b
b
Aab qo a E dl Wa Wb W
Wa,Wb的量值是相对的量；与零势能参考点的选取 有关，而势能的增量 W与零势能点选取无关是绝对
的量.
1、对有限的带电体选无限远处作为电势能零点，
Aa
qo
a
E dl
Wa W
1) rib
电场力是保守力
qi ria
qn a
qo
3、若q0在电场中沿L运动一周
A lqo E dl 0
q0
静电场的环路定理：
l
静电场中电场强度 E的环流为零。
l E dl 0
结论：一定量的电荷在静电场中移动时，电场力所作 的功只与电荷的起点和终点的位置有关，而与路径无 关。即电场力是保守力。静电场是保守场。
致冷系数：
Q2 Q2
A Q1 Q2
K‘系观察者测得相对他静止的棒的长度为：
l0 x2 ' x1 ' l0 称为固有长度
问：在K系中观察者（相对棒运动的观察者）测得
的棒的长度为多少？
他测得棒两端的坐标为x1和x2, t1=t2=t（同时测）
则棒长 l= x2-x1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（若已知电量 q，细杆长L）
ln
ab b
《大学物理》校级精品课程教学团队
课堂例题6: P25例10.5.1
求均匀带电球面的电势分布，已知R，Q。 解：由高斯定理求出场强分布
0 E Q 4 r 2 0 rR rR
R
Q
O
r
取积分路径沿电场线方向（或沿径向） 由定义⑴ ：r R
21
《大学物理》校级精品课程教学团队
分别用四个点电荷放置在正方形的端点上， 组成不同的图形，点电荷的电量值均相等， 符号如图所示，假定无穷远处的电势为零， 试问上述图形中哪一种正方形中心处的电场 强度和电势都为零。
答: （ D ）
《大学物理》校级精品课程教学团队
课 堂 练 习 5
电场强度 的分布如图所示，将一负电荷 q 从a点移动到b点时，电场力做的功为Aab，a 点和b点的电势分别为Ua和Ub，则应有 (A) Aab>0 Ua > Ub (B) Aab>0 Ua < Ub (C) Aab<0 Ua < Ub (D) Aab<0 Ua > Ub
《大学物理》校级精品课程教学团队
课堂例题7
求等量异号的同心均匀带电球面的电势差。 已知：+Q，-Q，R1，R2 求：UAB 解法1：定义法： 由高斯定理得
0 Q E 2 4 r 0 0 r R1 R1 r R2 r R2
Q
Q
R1 R2 O
A
B
r
答: （ D ）
《大学物理》校级精品课程教学团队
课堂例题1：与P26例10.5.2类似
求电偶极子电场中任一点P(x，y)的电势。已知 q，l，x，y。 解：由电势叠加原理 q q qr2 r1
U P U1 U 2
4 0 r1
4 0 r2
4 0 r1r2
R2 E dr
R1
dr 2 0 r
E 2 rh
0
h h 0
R ln 2 2 0 R1
《大学物理》校级精品课程教学团队
作
教材P33-32:
业
10-17, 10-19，10-20, 10-22, 10-23,
10-24, 10-28
0 0
球心O处的总场强 球壳Q在O处的电势
E E1 E2 U1 Q
q 0 R 2
点电荷q在O处的电势
球心O处的总电势
4 0 R q q U2 4 0 R 2 2 0 R
U U1 U 2 Q 4 0 R q 2 0 R Q 2q 4 0 R
U
P
R E dl E内dr E外 dr 0
r R R
Q 4 0 r 2
dr
⑵
rR
P
Q 1 Q 4 0 r R 4 0 R
U
E dl E外 dr
r r
1 E d S E 2 rh
SR2R1源自rh0q
S内
i
① r R1 ② R1 r R2 ③ r R2
q
S内
i
0
E 0
h E 2 rh E 0 2 0 r
1
这两圆柱面间的电势差：
U12
E 0
R2 R1
AOC qU OC
AO qUO qU U O
O
R
B q R
C
q q q U O U C 1 0 6 0 R 6 0 R
《大学物理》校级精品课程教学团队
课 堂 练 习 6
如图所示，直线MN长为2l，O点为MN的中心，折线 OB=l，BC=2l，CD=l，N点有正电荷+q，M点有负电荷−q。 求：⑴ B点、D点的电势。⑵ 今将一试验电荷 q0 从O点出 发沿路径OBCD移到D点（设无限远处电势为零），求电场 C B 力做的功。 解：⑴
UB q 4 0 ( 2l ) q 4 0 ( 2l ) 0
q M
q O
UD
q 4 0 l
q q 4 0 3l 6 0 l
N
D
P
⑵ UO
q 4 0 l
q 0 4 0 l
q0 q q AOD q0 U O U D q 0 0 6 0 l 6 0 l
rR rR
答：(A)
《大学物理》校级精品课程教学团队
课堂练习8
真空中一半径为R的均匀带电球壳，带电量为Q。 与球心O相距R/2处有一静止点电荷q，如图所示， 求：球心O处的电场强度大小和电势。 E1 0 解：球壳Q在O处的场强 q R Q q q E 点电荷q在O处的场强 2 4 R 22 R 2 O
C
R
B
O
D
答: (B)
《大学物理》校级精品课程教学团队
课 堂 练 习 3
分别用四个点电荷放置在正方形的端点上， 组成不同的图形，点电荷的电量值均相等， 符号如图所示，假定无穷远处的电势为零， 试问上述图形中哪一种正方形中心处的电势 不为零。
答: （ C ）
《大学物理》校级精品课程教学团队
课 堂 练 习 4
求均匀带电圆环轴线上的电势分布，R，Q已知。 解：在圆环上取一 电荷元dq，该电荷 元在圆环轴线上某 点P处的元电势
dU dq 4 0 r
Q
y
dl
R
r
O
x
P
x
z
U P dU
dq 4 0 r
0
Q 4 0 r
Q 4 0 R2 x 2
《大学物理》校级精品课程教学团队
A
B
r
U A U A U A U B U B U B
U AB U A U B
Q 1 1 4 0 R1 R2
《大学物理》校级精品课程教学团队
课堂例题8
两个无限长共轴柱面，半径分别 为R1、R2，带等量异号电荷，单位长 度上的电量为 λ，求电场强度分布和 两柱面之间的电势差。 解：分三个区域，由高斯定理：
如图已知：A，B处分别有点电荷±q，半圆ODC的半径为R。 ⑴ 求将单位负电荷由 O ，电场力所做的功； ⑵ 求单位正电荷沿ODC 由O移至C，电场力所做的功。
解：⑴ U 0
UO q 4 0 R q
D
4 0 R
0
A q
1 0 0 0 R q q 0 ⑵ UO 4 0 R 4 0 R q q 2q q UC 4 0 3R 4 0 R 4 3 0 R 6 0 R
《大学物理》校级精品课程教学团队
课 堂 练 习 2
如图所示，BCD是以O点 为圆心，以R为半径的半圆 q 弧，在A点有一电量为+q的 A 点电荷，线段 BA R ，现 将一单位正电荷从B点沿半 圆弧轨道BCD移到D点，则 (A) 电场力做正功，电势能增加； (B) 电场力做正功，电势能减小； (C) 电场力做负功，电势能增加； (D) 电场力做负功，电势能减少。
整个细杆在场点处的电势： a dx U dU 0 4 a b x 4 0 0
a
0
da b x a b x
ab a lna b x 0 ln 4 0 4 0 b
《大学物理》校级精品课程教学团队
《大学物理》校级精品课程教学团队
课堂例题3
真空中一半径为R的均匀带电Q的细圆环，设无 穷远处为电势零点，求：⑴环心处的电势；⑵若将 一点电荷-q从无穷远移到圆心处，电场力做的功。
解：⑴ 在圆环上任取一电荷元dq， 在环心处元电势
dU O dq 4 0 R
Q 0
dq
R
O
U O dU O
带电细杆长为a，其上均匀分布线密度为 λ 的正电荷。求 在细杆延长线上与杆右端相距为b的点P的电势。 解：以杆左端点为原点建 x dx 立如图Ox坐标系，在x处 P O dU 取微元dx，其电量为 b a
dq dx
x
dq 微元dx在场点处的元电势： dU 4 0 a b x
Q
《大学物理》校级精品课程教学团队
课堂例题7
解法2：叠加法 由均匀带电球面的电势分布：
Q 4 R 0 U Q 4 0 r rR rR
Q 4 0 R1 Q 4 0 R2 Q 4 0 R2 Q 0 4 0 R2
Q
Q
R1 R2 O
课堂例题5
解法二：
x a
dx
x
P
O dU
b
以场点P为原点，建立如图Ox坐标系，在x处取微元dx
dx 微元dx在场点处的元电势： dU 4 0 x 4 0 x
dq
整个细杆在场点处的电势：
U dU q 4 0 L
a b b
dx ab ln 4 0 x 4 0 b
课 堂 练 习 1
一电量为-q 的点电荷位于 圆心O处，A、B、C、D为同 q A B O 一圆周上的四点，如图所示， C 现将一试验电荷从A点沿以 D 下不同路径移动到B，则 (A) 从A沿直线到B，电场力做功最大。 (B) 从A到经C再到B，电场力做功最大。 (C) 从A经D再到B，电场力作做最大。 (D) 从A以上各路径到B，电场力做功均相等。 答: （ D ）
AO qU O
dq 4 0 R
4 R
0
1
Q
0
ln
ab b
《大学物理》校级精品课程教学团队
课堂例题6: P25例10.5.1
求均匀带电球面的电势分布，已知R，Q。 解：由高斯定理求出场强分布
0 E Q 4 r 2 0 rR rR
R
Q
O
r
取积分路径沿电场线方向（或沿径向） 由定义⑴ ：r R
21
《大学物理》校级精品课程教学团队
分别用四个点电荷放置在正方形的端点上， 组成不同的图形，点电荷的电量值均相等， 符号如图所示，假定无穷远处的电势为零， 试问上述图形中哪一种正方形中心处的电场 强度和电势都为零。
答: （ D ）
《大学物理》校级精品课程教学团队
课 堂 练 习 5
电场强度 的分布如图所示，将一负电荷 q 从a点移动到b点时，电场力做的功为Aab，a 点和b点的电势分别为Ua和Ub，则应有 (A) Aab>0 Ua > Ub (B) Aab>0 Ua < Ub (C) Aab<0 Ua < Ub (D) Aab<0 Ua > Ub
《大学物理》校级精品课程教学团队
课堂例题7
求等量异号的同心均匀带电球面的电势差。 已知：+Q，-Q，R1，R2 求：UAB 解法1：定义法： 由高斯定理得
0 Q E 2 4 r 0 0 r R1 R1 r R2 r R2
Q
Q
R1 R2 O
A
B
r
答: （ D ）
《大学物理》校级精品课程教学团队
课堂例题1：与P26例10.5.2类似
求电偶极子电场中任一点P(x，y)的电势。已知 q，l，x，y。 解：由电势叠加原理 q q qr2 r1
U P U1 U 2
4 0 r1
4 0 r2
4 0 r1r2
R2 E dr
R1
dr 2 0 r
E 2 rh
0
h h 0
R ln 2 2 0 R1
《大学物理》校级精品课程教学团队
作
教材P33-32:
业
10-17, 10-19，10-20, 10-22, 10-23,
10-24, 10-28
0 0
球心O处的总场强 球壳Q在O处的电势
E E1 E2 U1 Q
q 0 R 2
点电荷q在O处的电势
球心O处的总电势
4 0 R q q U2 4 0 R 2 2 0 R
U U1 U 2 Q 4 0 R q 2 0 R Q 2q 4 0 R
U
P
R E dl E内dr E外 dr 0
r R R
Q 4 0 r 2
dr
⑵
rR
P
Q 1 Q 4 0 r R 4 0 R
U
E dl E外 dr
r r
1 E d S E 2 rh
SR2R1源自rh0q
S内
i
① r R1 ② R1 r R2 ③ r R2
q
S内
i
0
E 0
h E 2 rh E 0 2 0 r
1
这两圆柱面间的电势差：
U12
E 0
R2 R1
AOC qU OC
AO qUO qU U O
O
R
B q R
C
q q q U O U C 1 0 6 0 R 6 0 R
《大学物理》校级精品课程教学团队
课 堂 练 习 6
如图所示，直线MN长为2l，O点为MN的中心，折线 OB=l，BC=2l，CD=l，N点有正电荷+q，M点有负电荷−q。 求：⑴ B点、D点的电势。⑵ 今将一试验电荷 q0 从O点出 发沿路径OBCD移到D点（设无限远处电势为零），求电场 C B 力做的功。 解：⑴
UB q 4 0 ( 2l ) q 4 0 ( 2l ) 0
q M
q O
UD
q 4 0 l
q q 4 0 3l 6 0 l
N
D
P
⑵ UO
q 4 0 l
q 0 4 0 l
q0 q q AOD q0 U O U D q 0 0 6 0 l 6 0 l
rR rR
答：(A)
《大学物理》校级精品课程教学团队
课堂练习8
真空中一半径为R的均匀带电球壳，带电量为Q。 与球心O相距R/2处有一静止点电荷q，如图所示， 求：球心O处的电场强度大小和电势。 E1 0 解：球壳Q在O处的场强 q R Q q q E 点电荷q在O处的场强 2 4 R 22 R 2 O
C
R
B
O
D
答: (B)
《大学物理》校级精品课程教学团队
课 堂 练 习 3
分别用四个点电荷放置在正方形的端点上， 组成不同的图形，点电荷的电量值均相等， 符号如图所示，假定无穷远处的电势为零， 试问上述图形中哪一种正方形中心处的电势 不为零。
答: （ C ）
《大学物理》校级精品课程教学团队
课 堂 练 习 4
求均匀带电圆环轴线上的电势分布，R，Q已知。 解：在圆环上取一 电荷元dq，该电荷 元在圆环轴线上某 点P处的元电势
dU dq 4 0 r
Q
y
dl
R
r
O
x
P
x
z
U P dU
dq 4 0 r
0
Q 4 0 r
Q 4 0 R2 x 2
《大学物理》校级精品课程教学团队
A
B
r
U A U A U A U B U B U B
U AB U A U B
Q 1 1 4 0 R1 R2
《大学物理》校级精品课程教学团队
课堂例题8
两个无限长共轴柱面，半径分别 为R1、R2，带等量异号电荷，单位长 度上的电量为 λ，求电场强度分布和 两柱面之间的电势差。 解：分三个区域，由高斯定理：
如图已知：A，B处分别有点电荷±q，半圆ODC的半径为R。 ⑴ 求将单位负电荷由 O ，电场力所做的功； ⑵ 求单位正电荷沿ODC 由O移至C，电场力所做的功。
解：⑴ U 0
UO q 4 0 R q
D
4 0 R
0
A q
1 0 0 0 R q q 0 ⑵ UO 4 0 R 4 0 R q q 2q q UC 4 0 3R 4 0 R 4 3 0 R 6 0 R
《大学物理》校级精品课程教学团队
课 堂 练 习 2
如图所示，BCD是以O点 为圆心，以R为半径的半圆 q 弧，在A点有一电量为+q的 A 点电荷，线段 BA R ，现 将一单位正电荷从B点沿半 圆弧轨道BCD移到D点，则 (A) 电场力做正功，电势能增加； (B) 电场力做正功，电势能减小； (C) 电场力做负功，电势能增加； (D) 电场力做负功，电势能减少。
整个细杆在场点处的电势： a dx U dU 0 4 a b x 4 0 0
a
0
da b x a b x
ab a lna b x 0 ln 4 0 4 0 b
《大学物理》校级精品课程教学团队
《大学物理》校级精品课程教学团队
课堂例题3
真空中一半径为R的均匀带电Q的细圆环，设无 穷远处为电势零点，求：⑴环心处的电势；⑵若将 一点电荷-q从无穷远移到圆心处，电场力做的功。
解：⑴ 在圆环上任取一电荷元dq， 在环心处元电势
dU O dq 4 0 R
Q 0
dq
R
O
U O dU O
带电细杆长为a，其上均匀分布线密度为 λ 的正电荷。求 在细杆延长线上与杆右端相距为b的点P的电势。 解：以杆左端点为原点建 x dx 立如图Ox坐标系，在x处 P O dU 取微元dx，其电量为 b a
dq dx
x
dq 微元dx在场点处的元电势： dU 4 0 a b x
Q
《大学物理》校级精品课程教学团队
课堂例题7
解法2：叠加法 由均匀带电球面的电势分布：
Q 4 R 0 U Q 4 0 r rR rR
Q 4 0 R1 Q 4 0 R2 Q 4 0 R2 Q 0 4 0 R2
Q
Q
R1 R2 O
课堂例题5
解法二：
x a
dx
x
P
O dU
b
以场点P为原点，建立如图Ox坐标系，在x处取微元dx
dx 微元dx在场点处的元电势： dU 4 0 x 4 0 x
dq
整个细杆在场点处的电势：
U dU q 4 0 L
a b b
dx ab ln 4 0 x 4 0 b
课 堂 练 习 1
一电量为-q 的点电荷位于 圆心O处，A、B、C、D为同 q A B O 一圆周上的四点，如图所示， C 现将一试验电荷从A点沿以 D 下不同路径移动到B，则 (A) 从A沿直线到B，电场力做功最大。 (B) 从A到经C再到B，电场力做功最大。 (C) 从A经D再到B，电场力作做最大。 (D) 从A以上各路径到B，电场力做功均相等。 答: （ D ）
AO qU O
dq 4 0 R
4 R
0
1
Q
0