4-1弯曲内力-土木

材料力学B 第4章弯曲内力 [自动保存的]教材

圆形
对称面
矩形
工字形
它们都有对称轴，梁横截面的对称轴和梁的轴线所组成的平面通常称为纵向对称平面。
11
四、对称弯曲（平面弯曲）
•对称弯曲(平面弯曲):作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内,弯曲变形后的轴线是一条在该纵向对称面内的平面曲线,这种弯曲称为对称弯曲或平面弯曲.
平面弯曲是弯曲问题中最简单的形式。
7 qa FRB 4
28
3 qa FR A 4
7 qa FRB 4
2、 A 求1-1截面的剪力和弯矩
M=qa2 3 4 q
12
Fy 0, FRA FS1 0
3qa FS1 FRA 4
(
)
A
MC1 0 , M1 FRA a 0FRA
M1
3qa 2 4
(
)
B 求2-2截面的剪力和弯矩
本章重点
（1）剪力和弯矩的计算（2）剪力图和弯矩图（3）剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系
本章难点
（1）画剪力图和弯矩图（2）剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系
3
§4.1 弯曲的概念和工程实例
一、弯曲的概念
弯曲变形: 杆件受垂直于轴线的外力或位于其轴线所
在平面内的外力偶作用时,轴线变成了曲线，这种变形称
FxA
MA
FyA
FAy FAx A
A
FA
15
4. 静定梁与超静定梁
静定梁：由静力学方程可求出支反力。超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。
F
静定梁
F
超静定梁
16
5. 静定梁的三种基本形式
FP
悬臂梁
简支梁

《材料力学》第四章弯曲内力

ql FS = R A－qx＝－qx 2 x qlx qx 2 M = R A x－qx ⋅ ＝－ 2 2 2
M FS
F S
（3）画出FS图与M图。画出F 图与M 剪力图为一斜直线，剪力图为一斜直线， x=0，FS=ql/2；x=l，FS=-ql/2；；弯矩图为一抛物线，弯矩图为一抛物线，由三点来确定：由三点来确定： x=0及x=l时，M＝0； x=l/2， M＝ql2／8。。
M x = a, M = O a AC段 x=0， AC段：x=0，M＝0 ； l
CB段 CB段：x=a, x=l, M＝ x= , M＝0
MO M =－ b l
试作轴的简力图和弯矩图
补例1 补例1
解
（1）求支反力。求支反力。
1 ql 2
R A = RB =
（2）用截面法求剪力和弯矩方程。用截面法求剪力和弯矩方程。
∑ mA = 0 ∑m
B
=0
l －m－P ⋅ + YB ⋅ l = 0 2 l －YA ⋅ l－m+P ⋅ = 0 2
YA－FSC＝0 , 3 FSC＝－ P 2
5 P B 2 3 Y A =－ P 2 Y =
m
（2）计算C截面的内力。计算C截面的内力。
∑Y = 0 ,
P
l 13 mC＝0 , YA ⋅ －m＋M C＝0 , M C＝ Pl ∑ 4 8
求反力：解（1）求反力：
∑ X = 0, X = 0 ∑ Y = 0, P － Y ＝0 ∑ m ＝0， m － Pa ＝0
C C C C
YC＝ P m C＝ Pa
（2）列弯矩和轴力方程。列弯矩和轴力方程。 AB段 AB段：M(x)= Px, N(x)=0 , BC段 BC段：M(y)=mC=Pa, N(y)=P ,

4–1弯曲的概念及实例4-2.4-3.

2、弯矩
M=
i =1左右（）
∑F ai + i
n
k =1左右（）
∑ Mk
mቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
不论在截面的左侧或右侧向上的外力均将引起正值的弯矩,而向下的外力则引起负值的弯矩。正值的弯矩,而向下的外力则引起负值的弯矩。左侧梁段：顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩左侧梁段：逆时针转向的外力偶引起负值的弯矩右侧梁段：右侧梁段：逆时针转向的外力偶引起正值的弯矩顺时针转向的外力偶引起负值的弯矩
A
C
FSE
E
FSE
ME
E
F1
F2
RB
B
c
D
ME
a- c b- c l- c
取右段为研究对象
∑ y =0
∑M E = 0
解得：解得：
B
F
SE
+ RB − F1 − F2 = 0
1 2 E
R (l − c) − F (a − c) − F (b − c) − M FSE = RA +
ME = RA ⋅ c
P1 = P
RA
C A D
RB
P2 = P
B
b
a c
解： 1、求支座反力
RA = RB = F = 60kN
F1 = F
RA
C A D
RB
F2 = F
B
b
a c
2、计算 C 横截面上的剪力 FsC 和弯矩 MC 。看左侧
FsC = −F = −60kN 1
MC = − F1b = −6.0KN.m
§4–1弯曲的概念及实例弯曲的概念及实例
一、弯曲的概念

弯曲内力 (1)

Fs
Fy 一侧
M M一侧
例3
BB
4.4 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
Fy 0
ym
O
Fs( x) [Fs( x) dFs( x)] q( x)dx 0
x dx
F
x
q q( x)
弯曲的工程背景
4.1 Examples under Bending Loading:
弯曲的工程背景
6.1 Examples under Bending Loading:
弯曲的工程背景
4.1 Examples under Bending Loading:
唐山地震
4.2 受弯杆件的力学模型
简支梁 Simply supported beam
l
外伸梁 Overhanging beam
l
悬臂梁 Cantilever beam
l
4.2 受弯杆件的力学模型
l Fx
Fy l
简支梁 Simply supported beam
M
Fx
Fy
Fy
悬臂梁 Cantilever beam
4.2 受弯杆件的力学模型
l1
l2
带中间铰梁
Rx Ry
l1
l2
连续梁
1. 求约束反力
2. 选择截面，静力平衡 3. 确定剪力方程、弯矩方程
4. 作剪力图、弯矩图
5. ？
例1
4.3 平面弯曲的内力
例2
求约束反力
F
Fb
RAy a b
A
Fa RBy a b
RAy
a
B Cb
RBy
选择截面静力平衡
x RAy
M1 Fs1

材料力学第四版刘鸿文编第04章弯曲内力

FA a F
b
A x1 C x2
l
+
b l
F
FS图
－
Fab
l
M图
+
FB
B
(4)内力图特征
在集中力作用的地方，
剪力图有突变，外力F向
下，剪力图向下变，变化
值=F 值；弯矩图有折角。
a l
F
[例6] 求梁的内力方程并画出内力图。
FA
Me
a
b
A
C
x1
x2
l
(2)写出内力方程
AC段：
FS(x1)FA
M(x1)F1x
1 2
qax
1
F S (x 2 )F q (x 2 a )q2aq(x2 a)
M (x2)F2x 1 2q(x2a)2 12qa2x12q(x2a)2
A x1 B x2
a
F qa 2
FS
qa
2
+
M
q
C 2a
(2)根据方程画内力图
FS
(x1)
qa 2
q2aq(x2a)
FS(x2)
极值点：令FS(x2)0
即：q2aq(x2a)0
得：
x
0

3 2
a
M 0 85qa2
§4–5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系一、剪力、弯矩与分布荷载间的关系
取一微段dx，进行平衡分析。
q(x)
Fy 0 ,
FS(x) q(x)dxF S(x)dF S(x)0
a
2 qa qa 1 qa
3
3
MO0,FA2a1 2q2aM0,
q

第四章弯曲内力

（3）画剪力图和弯矩图
(a x l )
Pb l
M max Pab l
x
FS max
例5
画出图示梁的FS图和M图。
y
A
RA
（1）先求出约束反力：解：
a
x
C x
M
b
（2）剪力方程和弯矩方程：
M RA l
M RB l
B
x
l
RB
M l Ma l
AC段： FS M FS1 ( x) RA (0 x a ) l Mx M 1 ( x) R A x (0 x a ) l CB段： M (a x l ) M FS 2 ( x) RA l M M 2 ( x) R A x M xM l (a x l )
0 x3
x
M ( x) P(4 x) 3(4 x) 3 x 4
（3）作剪力和弯矩图；
x
3kN m
dM ( x) 2 2x 0 dx
当 x 1m 时
M | x1m 1kN m
—— 极值点
§4. 5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
图示简支梁，建立如图坐标系。约定：分布力q向上为正，向下为负。
M | x 0 0
—— 斜直线 1 2 M | x l ql 2 —— 二次抛物线
x
ql 2 2
FS
max
ql
M
max
ql 2 2
例4
画出图示梁的FS图和M图。
y
（1）先求出约束反力：解：
a
A
P
C x l
Pb l Pa l
Pab l

4.弯曲内力分析

§4–3 剪力和弯矩
[例]:
求图示梁截面 A、C的内力：
§4–3 剪力和弯矩
§4–3 剪力和弯矩
§4–3 剪力和弯矩
§4–3 剪力和弯矩
基本规律
① 求指定截面上的内力时，既可取梁的左段或右段为脱离体，两者计算结果一致（方向、转向相反）。一般取外力比较简单的一段进行分析。 ② 解题时，先根据内力正负判定规则假设内力的方向为正方向，之后若计算结果是正，则表示此内力的为正内力，反之则表示此内力为负内力。 ③ 梁内任一截面上的剪力FS的大小，等于这截面左边（或右边）所有与截面平行的各外力的代数和。若考虑左段为脱离体时，向上外力则会使该截面上产生正号的剪力，向下的外力会使该截面上产生负号的剪力。（右侧相反） ④ 梁内任一截面上的弯矩的大小，等于这截面左边（或右边）所有外力（包括力偶）对于这个截面形心的力矩的代数和。在此段梁上所有向上的力使该截面上产生正号的弯矩，而所有向下的力会使该截面上产生负号的弯矩。
§4–2 受弯杆件的简化
解：① 研究起重机
由mF 0
YG 2 Q 1 P 5 0
YG
50510 2
50(kN)
② 再研究梁CD
由mC 0
YD 6 YG' 1 0
YD
50 6
8.33(
kN)
§4–2 受弯杆件的简化
③ 再研究整体
mA 0,YB 3 YD 12 P 10 Q 6 0 YB 100(kN)
§4–2 受弯杆件的简化起重机大梁为No.25a工字钢,如图所示,梁长L=10m,单位长度的重量为38.105kg/m,起吊重物的重量为100kN,试求起重机大梁的计算简图.
F =100kN q =38.105kN/m

弯曲内力的知识点总结

弯曲内力的知识点总结1. 弯曲内力的产生原因弯曲内力的产生原因主要是由于外力作用在梁上产生的弯矩。

当梁在弯曲作用下，上部会产生拉应力，下部产生压应力，由于这些应力的存在，会产生相应的应变。

这些内部的应力和应变就是弯曲内力。

2. 弯曲内力的计算弯曲内力可以通过弯曲方程进行计算。

弯曲方程描述了弯曲时材料内部应力的大小和分布。

在梁的不同截面上，受到的弯曲内力的大小和方向是不同的，需要通过弯曲方程计算得出。

3. 弯曲内力的影响因素弯曲内力的大小和分布受多种因素影响，包括弯矩的大小和方向、梁的截面形状和尺寸、材料的力学性质等。

在进行结构设计时，需要综合考虑这些因素，确保结构受力合理、安全可靠。

4. 弯曲内力的作用弯曲内力是结构中非常重要的一种内力，直接影响结构的稳定性和安全性。

对于梁、柱、桁架等结构，弯曲内力是决定其受力性能的关键因素之一。

合理地分析和设计弯曲内力，可以保证结构的稳定性和安全性。

5. 弯曲内力的分布规律弯曲内力的分布规律是指在杆件或梁上受弯矩作用时，内部产生的应力和应变的分布规律。

这些规律直接影响结构的受力性能和变形特性。

通过对弯曲内力的分布规律进行研究，可以更好地理解结构的受力行为并进行合理的设计与分析。

6. 弯曲内力的应力分析弯曲内力还涉及到应力分析的问题，因为在杆件或梁上不同位置受到的弯曲内力有所不同，从而产生的应力也不同。

合理地进行弯曲内力的应力分析可以帮助工程师更好地理解结构的受力性能，进行合理的设计和施工。

7. 弯曲内力的变形分析弯曲内力还会引起结构的变形，这种变形对于结构的使用性能和安全性都有很大的影响。

通过对弯曲内力的变形分析，可以帮助工程师更好地理解结构的变形特性，并进行合理的设计和施工。

总之，弯曲内力是结构工程中非常重要的一种内力，对结构的稳定性和安全性有着直接的影响。

对弯曲内力的认识和分析是结构工程设计的重要内容之一。

希望以上的知识点总结对您有所帮助。

材料力学考研复习资料第4章弯曲内力

M eb l
发生在C截面右侧
思考：对称性与反对称性
FA
F
FB
A
B C
l/2
l/2
Fs
F/2
x
F/2
x
M
Fl/4
FA
Me
FB
A
B C
l/2
l/2
Fs
Me l
x
Me/2
M
Me/2
x
结论：
• 结构对称、外力对称时，弯矩图为正对称，剪力图为反对称
• 结构对称、外力反对称时，弯矩图为反对称，剪力图为正对称
34
A1 2
34
Bx
内力
FS M
1—1 -P -Pa
2—2 2P -Pa
3—3 2P Pa
4—4 2P -2Pa
3、在集中力作用处，剪力值发生突变，突变值= 集中力大小；
在集中力偶作用处，弯矩值发生突变，突变值= 集中力偶矩大小。
例图示简支梁受到三角形分布荷载的作用，最大荷
载集度为q0，试求截面C上的内力。
1 FS1
M1 Fa ( 顺 )
截面2—2
Fy 0 FS2 FA F 0
F
C2 2 M2
FA 2 FS2
FS2 FA F 2F MC2 0 M2 F a 0
M 2 Fa ( 顺 )
y
Me =3Fa
F
1A2 3 4
B
1 2 34
x
a
a
FA
2a
FB
截面3—3 F
C33 M3
1 8
ql
FSB左
1 ql 8
剪力方程为常数，剪力图为
水平线。
M图：

第4章(弯曲内力)

当外力突变时，剪力、弯矩方程可能发生变化，当外力突变时，剪力、弯矩方程可能发生变化，所以集中载荷处、集中力偶处、集中载荷处、集中力偶处、分布载荷的起止处均是方程的分段点。分段点。
三、剪力图与弯矩图
以平行于梁轴线的横坐标表示横截面位置，以平行于梁轴线的横坐标表示横截面位置，以纵坐标表示相应截面的剪力、弯矩。标表示相应截面的剪力、弯矩。建立坐标 FＱ-x 和 M-x 确定各分段点处截面上的剪力弯矩，、弯矩，标在相应的位置在分段点之间按剪力方程、在分段点之间按剪力方程、弯矩方程大致绘出图形标出F 标出Ｑmax和Mmax数值及位置
解得：解得：
5 FAy = qa 3
1 5 FBy = qa qa 3 3 求截面D上的内力 ⑵ 求截面上的内力 FAy =
作截面D取左段为研究对象，受力图如图，建立平衡方程作截面取左段为研究对象，受力图如图，取左段为研究对象
∑F = 0: ∑ M (F ) = 0 :
y D
FAy − q ⋅ a − FQD = 0 a − FAy ⋅ a + q ⋅ a ⋅ + M D = 0 2
( FBy ⋅ a + M − M C左 = 0)
解得：解得： 1 FQC右 = − FBy = − qa 3 1 M C右 = FBy ⋅ a = qa 2 3
1 ( FQC左 = − FBy = − qa ) 3 1 2 4 2 2 ( M C左 = FBy ⋅ a + M = qa + qa = qa ) 3 3
二、剪力方程和弯矩方程
以横坐标x表示横截面在梁轴线的位置，以横坐标表示横截面在梁轴线的位置，各横截面上表示横截面在梁轴线的位置的剪力和弯矩表示为x的函数的函数。的剪力和弯矩表示为的函数。剪力方程 FQ = FQ ( x ) 弯矩方程