配方法
配方法
作业
• P58 • 1、２、３
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５.用配方法解下列方程 (1)x2+5x－1=0 (2)2x2－4x－1=0 (3) x2－6x+3= ０
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一、我们因梦想而伟大，所有的成功者都是大梦想家：在冬夜的火堆旁，在阴天的雨雾中，梦想着未来。有些人让梦想悄然绝灭，有些人则细心培育维护，直到它安然度过困境，迎来光明和希望，而光明和希望 总是降临在那些真心相信梦想一定会成真的人身上。——威尔逊
二、梦想无论怎样模糊，总潜伏在我们心底，使我们的心境永远得不到宁静，直到这些梦想成为事实才止；像种子在地下一样，一定要萌芽滋长，伸出地面来，寻找阳光。——林语堂 三、多少事，从来急；天地转，光阴迫。一万年太久，只争朝夕。——毛泽东 四、拥有梦想的人是值得尊敬的，也让人羡慕。当大多数人碌碌而为为现实奔忙的时候，坚持下去，不用害怕与众不同，你该有怎么样的人生，是该你亲自去撰写的。加油！让我们一起捍卫最初的梦想。——柳岩 五、一个人要实现自己的梦想，最重要的是要具备以下两个条件：勇气和行动。——俞敏洪 六、将相本无主，男儿当自强。——汪洙 七、我们活着不能与草木同腐，不能醉生梦死，枉度人生，要有所作为。——方志敏 八、当我真心在追寻著我的梦想时，每一天都是缤纷的，因为我知道每一个小时都是在实现梦想的一部分。——佚名 九、很多时候，我们富了口袋，但穷了脑袋；我们有梦想，但缺少了思想。——佚名 十、你想成为幸福的人吗？但愿你首先学会吃得起苦。——屠格涅夫 十一、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。——伏尼契 十二、世之初应该立即抓住第一次的战斗机会。——司汤达 十三、哪里有天才，我是把别人喝咖啡的工夫都用在工作上的。──鲁迅 十四、信仰，是人们所必须的。什麽也不信的人不会有幸福。——雨果 十五、对一个有毅力的人来说，无事不可为。——海伍德 十六、有梦者事竟成。——沃特 十七、梦想只要能持久，就能成为现实。我们不就是生活在梦想中的吗？——丁尼生 十八、梦想无论怎样模糊，总潜伏在我们心底，使我们的心境永远得不到宁静，直到这些梦想成为事实。——林语堂 十九、要想成就伟业，除了梦想，必须行动。——佚名 二十、忘掉今天的人将被明天忘掉。──歌德 二十一、梦境总是现实的反面。——伟格利 二十二、世界上最快乐的事，莫过于为理想而奋斗。——苏格拉底 二十三、“梦想”是一个多么“虚无缥缈不切实际”的词啊。在很多人的眼里，梦想只是白日做梦，可是，如果你不曾真切的拥有过梦想，你就不会理解梦想的珍贵。——柳岩 二十四、生命是以时间为单位的，浪费别人的时间等于谋财害命，浪费自己的时间，等于慢性自杀。——鲁迅 二十五、梦是心灵的思想，是我们的秘密真情。——杜鲁门· 卡波特 二十六、坚强的信念能赢得强者的心，并使他们变得更坚强。——白哲特 二十七、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 二十八、青少年是一个美好而又是一去不可再得的时期，是将来一切光明和幸福的开端。——加里宁 二十九、梦想家命长，实干家寿短。——约· 奥赖利 三十、青年时准备好材料，想造一座通向月亮的桥，或者在地上造二所宫殿或庙宇。活到中年，终于决定搭一个棚。——佚名 三十一、在这个并非尽善尽美的世界上，勤奋会得到报偿，而游手好闲则要受到惩罚。——毛姆 三十二、在科学上没有平坦的大道，只有不畏劳苦，沿着陡峭山路攀登的人，才有希望达到光辉的顶点。——马克思 三十三、在劳力上劳心，是一切发明之母。事事在劳力上劳心，变可得事物之真理。——陶行知 三十四、一年之计在于春，一日之计在于晨。——萧绛 三十五、没有一颗心会因为追求梦想而受伤，当你真心想要某样东西时，整个宇宙都会联合起来帮你完成。——佚名 三十六、梦想不抛弃苦心追求的人，只要不停止追求，你们会沐浴在梦想的光辉之中。——佚名 三十七、一块砖没有什么用，一堆砖也没有什么用，如果你心中没有一个造房子的梦想，拥有天下所有的砖头也是一堆废物；但如果只有造房子的梦想，而没有砖头，梦想也没法实现。——俞敏洪 三十八、如意算盘，不一定符合事实。——奥地利 三十九、志向不过是记忆的奴隶，生气勃勃地降生，但却很难成长。——莎士比亚 四十、如果失去梦想，人类将会怎样？——热豆腐 四十一、无论哪个时代，青年的特点总是怀抱着各种理想和幻想。这并不是什么毛病，而是一种宝贵的品质。——佚名 四十二、梦想绝不是梦，两者之间的差别通常都有一段非常值得人们深思的距离。——古龙 四十三、梦想家的缺点是害怕命运。——斯· 菲利普斯 四十四、从工作里爱了生命，就是通彻了生命最深的秘密。——纪伯伦 四十五、穷人并不是指身无分文的人，而是指没有梦想的人。——佚名 四十六、不要怀有渺小的梦想，它们无法打动人心。——歌德 四十七、人生最苦痛的是梦醒了无路可走。做梦的人是幸福的；倘没有看出可以走的路，最要紧的是不要去惊醒他。——鲁迅 四十八、浪费别人的时间是谋财害命，浪费自己的时间是慢性自杀。──列宁 四十九、意志薄弱的人不可能真诚。——拉罗什科 五十、梦想绝不是梦，两者之间的差别通常都有一段非常值得人们深思的距离。——古龙 五十一、得其志，虽死犹生，不得其志，虽生犹死。——无名氏 五十二、所虑时光疾，常怀紧迫情，蹒跚行步慢，落后最宜鞭。——董必武 五十三、梦想只要能持久，就能成为现实。我们不就是生活在梦想中的吗？——丁尼生 五十四、很难说什么是办不到的事情，因为昨天的梦想，可以是今天的希望，并且还可以成为明天的现实。——佚名 五十五、要用你的梦想引领你的一生，要用感恩真诚助人圆梦的心态引领你的一生，要用执著无惧乐观的态度来引领你的人生。——李开复 五十六、人类也需要梦想者，这种人醉心于一种事业的大公无私的发展，因而不能注意自身的物质利益。——居里夫人 五十七、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。——伏尼契 五十八、梦想一旦被付诸行动，就会变得神圣。——阿· 安· 普罗克特 五十九、一个人追求的目标越高，他的才力就发展得越快，对社会就越有益。——高尔基 六十、青春是人生最快乐的时光，但这种快乐往往完全是因为它充满着希望，而不是因为得到了什么或逃避了什么。——佚名 六十一、生命里最重要的事情是要有个远大的目标，并借助才能与坚毅来完成它。——歌德 六十二、没有大胆的猜测就作不出伟大的发现。──牛顿 六十三、梦想，是一个目标，是让自己活下去的原动力，是让自己开心的原因。——佚名 六十四、人生太短，要干的事太多，我要争分夺秒。——爱迪生 六十五、一路上我都会发现从未想像过的东西，如果当初我没有勇气去尝试看来几乎不可能的事，如今我就还只是个牧羊人而已。——《牧羊少年的奇幻之旅》 六十六、一个人越敢于担当大任，他的意气就是越风发。——班生 六十七、贫穷是一切艺术职业的母亲。——托里安诺 六十八、莫道桑榆晚，为霞尚满天。——刘禹锡 六十九、一切活动家都是梦想家。——詹· 哈尼克 七十、如果一个人不知道他要驶向哪个码头，那么任何风都不会是顺风。——小塞涅卡 七十一、人性最可怜的就是：我们总是梦想着天边的一座奇妙的玫瑰园，而不去欣赏今天就开在我们窗口的玫瑰。——佚名 七十二、一个人如果已经把自己完全投入于权力和仇恨中，你怎么能期望他还有梦？——古龙 七十三、一个人有钱没钱不一定，但如果这个人没有了梦想，这个人穷定了。——佚名 七十四、平凡朴实的梦想，我们用那唯一的坚持信念去支撑那梦想。——佚名 七十五、最初所拥有的只是梦想，以及毫无根据的自信而已。但是，所有的一切就从这里出发。——孙正义 七十六、看见一个年轻人丧失了美好的希望和理想，看见那块他透过它来观察人们行为和感情的粉红色轻纱在他面前撕掉，那真是伤心啊！——莱蒙托夫 七十七、努力向上吧，星星就躲藏在你的灵魂深处；做一个悠远的梦吧，每个梦想都会超越你的目标。——佚名 七十八、正如心愿能够激发梦想，梦想也能够激发心愿。——佚名 七十九、梦想一旦被付诸行动，就会变得神圣。——阿· 安· 普罗克特 八十、对于学者获得的成就，是恭维还是挑战？我需要的是后者，因为前者只能使人陶醉而后者却是鞭策。——巴斯德 八十一、冬天已经到来，春天还会远吗？——雪莱 八十二、一个人想要成功，想要改变命运，有梦想是重要的。……我觉得每个人都应该心中有梦，有胸怀祖国的大志向，找到自己的梦想，认准了就去做，不跟风不动摇。同时，我们不仅仅要自己有梦想，你还应该用自己的梦想去感染和影响别人，因为成功者一定是用自己的梦想去点燃别人的梦想，是时刻播种梦想的人。——李彦宏 八十三、梦想是人们与生俱来的重要宝物之一，它等待你的珍视和实践。——邹金宏 八十四、心存希望，幸福就会降临你；心存梦想，机遇就会笼罩你。——佚名 八十五、第一，有梦想。一个人最富有的时候是有梦想，有梦想是最开心的。第二，要坚持自己的梦想。有梦想的人非常多，但能够坚持的人却非常少。阿里巴巴能够成功的原因是因为我们坚持下来。在互联网激烈的竞争环境里，我们还在，是因为我们坚持，并不是因为我们聪明。有时候傻坚持比不坚持要好得多。——马云 八十六、空谈之类，是谈不久，也谈不出什麽来的，它始终被事实的镜子照出原形，拖出尾巴而去。——鲁迅 八十七、每个人的生命都是一只小船，梦想是小船的风帆。——佚名 八十八、所谓天才，只不过是把别人喝咖啡的功夫都用在工作上了。——鲁迅 八十九、不知道并不可怕和有害。任何人都不可能什么都知道，可怕的和有害的是不知道而伪装知道。──托尔斯泰 九十、有时你的梦想达到是一种幸福，有时梦想破灭也是一种幸福。——佚名 九十一、志气和贫困是患难兄弟，世人常见他们伴在一起。——托· 富勒 九十二、雄心壮志是茫茫黑夜中的北斗星。——勃朗宁 九十三、人生的价值，并不是用时间，而是用深度去衡量的。——列夫· 托尔斯泰 九十四、在许愿时，必须要深信不疑。如果你不相信自己有能力让愿望成真，你的愿望就会飞走，再也看不见。但那正说明了最重要的一点。如果你所希望的是有可能实现得了的，那么你有可能会不惜一切地去实现它。最大的魔力不在于许愿，而在于去做。——佚名 九十五、人若志趣不远，心不在焉，虽学无成。——张载 九十六、如果意志要想具有法的权能，它就必须在理性发号施令时受理性的节制。——阿奎那 九十七、不要失去信心，只要坚持不懈，就终会有成果的。——钱学森 九十八、呵，青年人理想多么崇高，立志追求真理，无论是生还是死，呵！莫回首，莫泄气。——罗· 布里奇斯 九十九、一个有事业追求的人，可以把“梦”做得高些。虽然开始时是梦想，但只要不停地做，不轻易放弃，梦想能成真。——虞有澄 一百、要抒写自己梦想的人，反而更应该清醒。
配方法
自主学习
1、解方程 x 2 = 25，依据是什么？ 平方根的意义 2、下列方程： x 2 = 3，2x 2 - 8=0，x 2 = 0，x 2 = - 2… 这些方程有什么共同的特征？ 结构特征：方程可化成 x 2 = p 2 3、如何解方程（x + 3）= 5 ？ 的形式，
学习要求： 1.自学教材P5—6，3分钟， 2.根据自学内容解答上述几个问题3分钟， 3.小组长检查汇报2分钟.
合作探究
怎样解方程 x + 6x + 4 = 0
2
？
学习要求： 1.请你用前面的知识尝试解出此方程5分钟， 2.小组交流解法2分钟， 3. 小组推荐上台展示2分钟.
归纳：通过配成完全平方形式来解一元二次方程 的方法叫做配方法．
学以致用
例1 解下列方程： （1）x2-8x+1=0 （2）2x2+1=3x （3）3x2-6x+4=0
学习要求： 1、独立思考完成6分钟， 2、小组讨论交流2分钟， 3、小组展示汇报2分钟
归纳小结
（1）用配方法解一元二次方程的基本思路是什么？ 把方程配方为（x+n)2=p的形式，运用开平方法， 降次求解． （2）配方法解一元二次方程的一般步骤有哪些? 具体步骤： （1）移项； (2）二次项系数化为1； （3）在方程两边都加上一次项系数一半的平方． （4）利用直接开平方法求解 （3）在配方法解一元二次方程的过程中应该注意 哪些问题?
当堂检测
教科书第 9 页 练习1、2题
学习要求： 1.独立完成6分钟， 2.小组长检查2分钟， 3. 小组上台展示，学生评价3分钟.
布置作业
1、P6练习题2、4、6 2．思考：利用本节课的知识，试解关于 x 的 方程x 2 + px + q =0．
配方法
配方法
当二次项的系数为1时，可先把常数项移到方程的右边，然后在方程的两边都加上一次项系数一半的平方，就把方程的左边配成了一个完全平方式，从而可以由平方根的意义求解方程。
这种解方程的方法叫做配方法。
例1
总结：配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：
①移项（常数项）
②配方（两边同时加上一次项系数一半的平方）
③开平方根
④写解。
练习：
解：移项得， 配方，方程两边都加4，得
即，
开平方得，x+2=+4 ，
以上是对于二次项系数为1的一元二次方程的解法，那么当我们遇到二次项系数不是1的又该怎么办呢？下面我们来具体研究一下这个问题。
我们已经掌握了系数为1 的解法，如果我们能把系数不是1的变成系数为1，接下来我们就会解了。
那么，怎么把系数变成1呢，我们以具体例子来说一下。
比如说，
在这道题中，二次项系数为3，怎么才能把3变成1呢，思考一下。
对，3除以3等于1，所以我们首先就利用等式的基本性质，等式两边同时除以一个相同的数。
等式两边同时除以3，变成了
接下来就好解了。
下面我们整理一下解题过程：
解：系数化为1，得
配方得，
即
开平方得，
所以=0
总结：配方法解二次项系数不是1的一元二次方程的步骤：
①系数化为1
②移项（常数项）
③配方（两边同时加上一次项系数一半的平方）
④开平方根
⑤写解。
配方法(第2课时) 优秀课件
知识 问题 课堂 回顾 探究 小结
探究二：利用配方法解一元二次方程重点、难点知
活 动1
配方法的练习
识★▲
例1.已知2x2 12x a bx c2
，求a，
【解b，题c过的程值】。
解：∵2x2 12x a
2x2 6x9
2x 32
【思路点a拨】2将9 二18，次b项 2系，c数 3不为1的二次三项式
x2 4x4
x 22。
a 4，b 1，c 2。
知识 问题 课堂 回顾 探究 小结
探究二：利用配方法解一元二次方程重点、难点知
识★▲
活
动1 例2.二次三项2x式2 4x 3
C 的值
（）
【解题A.过小程于】1 B.大于1 C.大于等于1 D.不解大：于∵2x12 4x 3
有实数解，但方程两边同时加上的数不是4； 有实数解，且方程两边同时加上的数是4；
方法二3：x2 6x 12 0 x2 2x4 0
x 12 5 0 x 12 5
x1 5 x1 1 5，x2 1 5
两种方法哪种更简单？
知识 问题 课堂 回顾 探究 小结
探究一：配方法解一元二次方程的规律 难点知
识▲
活 动3
集思广益，归纳方法
先将二次项的系数提出 来，将括号内的二次三项式 的二次项系数化为1。
再按照二次项系数为1的 二次三项式的配方法进行配
3x2 6x 12
3x2 2x4
3 x 12 5 3 x 12 15
知识 问题 课堂 回顾 探究 小结
探究一：配方法解一元二次方程的规律 难点知
用 配 方 法 解ax2 一bx元c 0二a 0次 方 程
解方程配方法
第二节 配方法一、课堂导入我们上节课学习了一元二次方程的定义，求解一元二次方程按照我们以前学习方程的步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化一的方法来解题还可以吗？我们不妨来看看这道练习题。
例如0232=--x x ，用我们以前的求解步骤很难进行解答。
今天我们一起学习一下一元二次方程的解法。
二、必讲知识点 1.直接开平方法：A x =2（0≥A ）则A x ±=。
2.2)(0)x a b b +=≥（ x a b ⇒+=± x a b ⇒=-±若b<0,则方程2)x a b +=（无实根。
3.用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确应用平方根的性质，即正数的平方根有两个，他们互为相反数，零的平方根是零，负数无平方跟。
4.配方法的理论依据是完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±通过配方法将方程变成2)x a b +=（的形式，再利用直接开平方法求解。
5.配方法解一元二次方程的步骤：（1）把原方程转化为ax 2+bx+c=0（a ≠0）的形式。
（2）方程两边同时除以二次项系数，使二次项系数化为1，化为20b cx x a a++=的形式，并将常数项移到等号右边。
（3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程转化为2()x m n +=的形式。
（4）当0n ≥时，用直接开平方法解变形后的方程。
三、必讲例题例1： 22720x -= 2x =0.252x 2=18 0.81-x 2=0例2： (x-2)2=9 0.5－(x+1)2=0例3：(1) 212x x ++____ = 2(6)x +(2) 24x x -+____ = (x -___)2(3) 28x x ++____ = (x +____)2（4）2x －54x ＋_____＝（x －____）例4：解下列关于x 的方程x 2+2x-35=0 2x 2-4x-1=0x 2+6x+5=0 2x 2+6x-3=0例5：用配方法解方程（6x+7）2（3x+4）（x+1）=6例6：试判断方程22(817)3320m m x mx -+++=是否为关于x 的一元二次方程。
配方法
配方法，把方程化为的形式，体现了数学形式的转化，公式法直接利用公式把方程中的“未知”转化为“已知”，分解因式法通过“降次”，把一元二次方程转化为两个一元一次方程等。
第2节配方法教学目标：1．会用直接开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程。
2．理解配方法，会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程。
本节将学习配方法，分为2课时。
第1课时，引导学生通过转化得到一元二次方程的配方法，但为了降低难度，本课主要研究二次项系数为1，一次项系数为偶数的一元二次方程。
第2课时再研究利用配方法解一般的一元二次方程。
因承上节问题，引入本节，并首先针对上一课的问题，引导学生回忆能够解那些一元二次方程，学生自然理想到形如x2=4，(x+6)2=4的最简单的一元二次方程；再明确给出几个既有联系有逐步梯进的方程，要求学生回答解题思路；在此基础上，提出解方程x2+12x-15=0的困难在那里，如何克服这个困难。
这样就怀念自然地引入了配方法。
第4节公式法教学目标：1．会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程。
2．通过公式推导，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力。
公式法实际上是配方法的一般化和程式化，它可以更为便捷的解一元二次方程。
由于学生已经有了一定的利用配方法解一元二次方程的经验，教学中可以引导学生自主探索一元二次方程的求解公式，当然，若学生有一定的困难，应适时地给予指导。
第5节分解因式法教学目标：1．会用分解因式法（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程。
2．能根据具体方程的特征，灵活选择方程的解法。
由于《课程标准》中降低了因式分解的要求，根据学生已有的因式分解知识，学生仅能解决形如“ ”和“ ”的特殊一元二次方程，为此，教科书中将因式分解法作为解决特殊问题的特殊方法最后给出。
具体的，对于某个较为简单的问题，引导学生思考其简便解法，并通过三位同学方法的辨析引入因式分解法。
1.一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．ax2称二次项，bx称一次项，c称常数项，a称二次项系数，b称一次项系数．一元二次方程的解叫做方程的根。
21.2.1 配方法 课件
2.方程3x2+9=0的根为（ D ）
A.3 B.-3
C.±3 D.无实数根
3.如果方程2(x-3)2=72，那么，这个一元二次方程的两根
是
9或-3
．
4.如果实数a，b满足 3a 4+b2-12b+36=0，那么ab的值是 -8 ．
探究问题
二、探索新知
怎样解方程x2+4x-96=0？
对比这个方程与可以发现，方程的左边是含有x 的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解 方程；而方程不具有上述形式，直接降次有困难， 能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗？
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转成 (x+n)²=p （Ⅱ）的形式，那么就有： （1）当p＞0时，方程（Ⅱ）有两个不等的实数根 x1 n p, x2 n p ；
（2）当p=0时，方程（Ⅱ）有两个相等的实数根 x1=x2=-n；
（3）当p＜0时，因为对于任意实数x，都有(x+n)² ≥0，所以方程（Ⅱ）无实数根.
二次项系数 为1时
一次项系数 一半的平方
一次项系数 的一半
根据这个技巧，我们来把方程 转化为 x2 = p 或( mx＋n)2 = p（p≥0） 的形式。
1.若x2-4x+p=(x+q)，那么p，q的值分别是（ B ）
A.p=4，q=2
B.p=4，q=-2
C.p=-4，q=2 D.p=-4，q=-2
课堂小结
1. 直接开平方法：
解形如 x2 = p 或( mx＋n)2 = p（p≥0）的一元二次方程时 ，利用
直接开平方法解方程达到降次转化的目的，
。
x p，mx n p
高中配方法
2 2
2
2
999
ω
999
b
a
• 【注】 本题通过配方，简化了所求的表达 式；巧用1的立方虚根，活用ω的性质，计 算表达式中的高次幂。一系列的变换过程， 有较大的灵活性，要求我们善于联想和展 开。
Ⅲ、巩固性题组： 巩固性题组：
1 • 函数y＝(x－a)＋(x－b) （a、b为常数）的最 小值为_____。 A. 8
• 可以说，“知识”是基础，“方法”是手 段，“思想”是深化，提高数学素质的核 心就是提高学生对数学思想方法的认识和 运用，数学素质的综合体现就是“能力”。
• 这几次课老师先重点介绍高考中常用的数 学基本方法：配方法、换元法、待定系数 法、数学归纳法等方法
一配方法
• 配方法是对数学式子进行一种定向变形 （配成“完全平方”）的技巧，通过配方 找到已知和未知的联系，从而化繁为简。 何时配方，需要我们适当预测，并且合理 运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑” 的技巧，从而完成配方。有时也将其称为 “凑配法”。
高中数学解题基本方法
前
言
• 美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意 味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问 题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于 解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及 只有对数学思想、 只有对数学思想 融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。 融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试 题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突 出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的 数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方 法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素 质，使自己具有数学头脑和眼光。
• 例3. 设非零复数a、b满足a＋ab＋b =0， a 1998 1998 b • 求(a + b) ＋( ) 。 a 2 a a+b • 【分析】 对已知式可以联想：变形为( b)＋(b )＋ a 1＝0，则 b ＝ω （ω为1的立方虚根）；或配方 2 为(a＋b) ＝ab 。则代入所求式即得。 a 2 a 2 2 • 【解】由a ＋ab＋b =0变形得：( b )＋( b )＋1＝0 ， • 设ω＝ a ，则ω＋ω＋1＝0，可知ω为1的立方虚 2 根，所以：＝ ，ω＝ ＝1。 b 3 3 1 b ω • 又由a＋ab＋b =0变形得：(a＋b) ＝ab ， 2 a 2 2 • 所以 ( ) ＋( b ) ＝( )999 ＋( ) ＝( ) ＋( ) ＝ 999 a b 999 a 999 a b ω ＋ a＝2 。 a+b +b ab ab
配方法的应用精选题43道参考答案
配方法的应用精选题43道参考答案与试题解析一．选择题（共19小题）1．【分析】由（3x﹣）2+m＝9x2﹣2x++m可知a＝9，m＝【解答】解：由ax2＝（3x﹣）2+m＝9x2﹣2x++m得：a＝9，+m＝1所以：m＝故选：B．【点评】本题主要考查完全平方公式在配方法中的应用．2．【分析】此题考查了配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算．【解答】解：∵x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4﹣4+5＝（x﹣2）2+1∵（x﹣2）2≥0，∴（x﹣2）2+1≥1，∴当x＝2时，代数式x2﹣4x+5的最小值为1．故选：B．【点评】此题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．3．【分析】先用配方法对b2+c2＝2b+4c﹣5变形配方，从而求得b，c的值，再将其代入a2＝b2+c2﹣bc，求出a，再由勾股定理的判定定理得出△ABC为直角三角形，从而其面积易得．【解答】解：∵b2+c2＝2b+4c﹣5∴（b2﹣2b+1）+（c2﹣4c+4）＝0∴（b﹣1）2+（c﹣2）2＝0，∴b﹣1＝0，c﹣2＝0，∴b＝1，c＝2．又∵a2＝b2+c2﹣bc，∴a2＝1+4﹣2＝3，∴a＝或a＝﹣（舍）∵，∴△ABC是以1和为直角边的直角三角形，∴△ABC的面积为：＝，故选：B．【点评】本题考查了应用配方法进行变形，以及偶次方的非负性，勾股定理的逆定理，三角形的面积计算等基础内容，本题难度中等．4．【分析】根据完全平方公式把原式的右边变形，根据题意列出方程，求出m、n，计算即可．【解答】解：（x﹣5）2﹣n＝x2﹣10x+25﹣n，∴x2+mx+19＝x2﹣10x+25﹣n，∴m＝﹣10，25﹣n＝19，解得，m＝﹣10，n＝6，∴m+n＝﹣10+6＝﹣4，故选：C．【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式是解题的关键．5．【分析】通过配方法配出平方根，从而判断M值的大小．【解答】解：M＝5x2﹣12xy+10y2﹣6x﹣4y+13＝4x2﹣12xy+9y2+y2﹣4y+4+x2﹣6x+9＝（2x ﹣3y）2+（y﹣2）2+（x﹣3）2≥0，故M一定是非负数．故选：A．【点评】本题考查了配方法的应用，熟练配方法的应用是解答此题的关键．6．【分析】把Q﹣P利用完全平方公式进行变形，根据偶次方的非负性解答．【解答】解：Q﹣P＝m2﹣1﹣（2m﹣3）＝m2﹣1﹣2m+3＝m2﹣2m+2＝m2﹣2m+1+1＝（m﹣1）2+1，∵（m﹣1）2≥0，∴，（m﹣1）2+1＞0，∴Q﹣P＞0，∴P＜Q，故选：C．【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．7．【分析】先利用配方法将代数式﹣x2+4x﹣2转化为完全平方与常数的和的形式，然后根据非负数的性质进行解答．【解答】解：∵﹣x2+4x﹣2＝﹣（x2﹣4x+4）+4﹣2＝﹣（x﹣2）2+2，又∵（x﹣2）2≥0，∴（x﹣2）2≤0，∴﹣（x﹣2）2+2≤2，∴代数式﹣x2+4x﹣2有最大值2．故选：B．【点评】本题考查配方法的应用，解题的关键是利用完全平方公式，根据非负数的性质解决问题，属于中考常考题型．8．【分析】配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．【解答】解：x2+6x+m＝（x+3）2﹣9+m═（x+n）2﹣1，∴﹣9+m＝﹣1，m＝8．故选：C．【点评】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解题写关键．9．【分析】已知等式变形配方后，利用非负数的性质求出a与b的值，代入原式计算即可求出值．【解答】解：已知等式变形得：（a2+6a+9）+（b2﹣4b+4）＝0，即（a+3）2+（b﹣2）2＝0，可得a+3＝0，b﹣2＝0，解得：a＝﹣3，b＝2，则原式＝（﹣3）2＝9．故选：C．【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．10．【分析】原式配方后，利用非负数的性质确定出m的值即可．【解答】解：原式＝﹣（x2﹣mx）+9＝﹣（x﹣）2+9+，当x﹣＝0，即x＝时，原式取得最大值9+＝10，整理得：m2＝4，解得：m＝±2，则m的值可能为2，故选：B．【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质：偶次方，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．11．【分析】先将多项式2x2﹣2xy+5y2+12x﹣24y+51分组配方，根据偶次方的非负性可得答案．【解答】解：2x2﹣2xy+5y2+12x﹣24y+51＝x2﹣4xy+4y2+12x﹣24y+36+x2+2xy+y2+15＝（x﹣2y）2+12（x﹣2y）+36+（x+y）2+15＝（x﹣2y+6）2+（x+y）2+15∵（x﹣2y+6）2≥0，（x+y）2≥0∴（x﹣2y+6）2+（x+y）2+15≥15故选：C．【点评】本题考查了配方法在多项式最值中的应用，熟练掌握配方法并灵活运用及恰当分组，是解题的关键．12．【分析】先配成非负数的和为0，各项为0，求出a，b代入即可．【解答】解：（1）∵a2+2a+b2﹣6b+10＝0，∴（a+1）2+（b﹣3）2＝0，∴a＝﹣1，b＝3，∴b a＝3﹣1＝，故选：D．【点评】此题是配方法的应用，主要考查了非负数的性质，解本题的关键是求出a，b的值．13．【分析】用配方法把多项式配方，再利用非负数的性质判断多项式的值的范围．【解答】解：∵x2﹣6x+10＝x2﹣6x+9+1＝（x﹣3）2+1而（x﹣3）2≥0，∴（x﹣3）2+1＞0，故选C．【点评】利用非负数的性质可以判断多项式的取值范围，而非负数往往需要用配方法才能得到．14．【分析】把等式左边配成完全平方加或减常数的形式，再与等式右边比较对应位置的字母与数字即可得答案．【解答】解：∵3x2+6x+2＝a（x+k）2+h，等式左边3x2+6x+2＝3（x2+2x+1）﹣1＝3（x+1）2﹣1把上式与a（x+k）2+h比较得k＝1，h＝﹣1．故选：B．【点评】本题考查配方法的应用，需要先把等式左边变形，然后与右边比较对应位置的数字与字母即可，本题属于中档题．15．【分析】利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可．【解答】解：x2﹣4x+7＝x2﹣4x+4+3＝（x﹣2）2+3，∵（x﹣2）2≥0，∴（x﹣2）2+3≥3，∴代数式x2﹣4x+7有最小值3，故选：C．【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．16．【分析】首先把x2+y2+2x﹣4y+9化成（x+1）2+（y﹣2）2+4；然后根据偶次方的非负性质，判断出代数式x2+y2+2x﹣4y+9的值总不小于4即可．【解答】解：x2+y2+2x﹣4y+9＝（x2+2x+1）+（y2﹣4y+4）+4＝（x+1）2+（y﹣2）2+4∵（x+1）2≥0，（y﹣2）2≥0，∴x2+y2+2x﹣4y+9≥4，即不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x﹣4y+9的值总不小于4．故选：A．【点评】此题主要考查了配方法的应用，以及偶次方的非负性质的应用，要熟练掌握．17．【分析】利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可．【解答】解：x2﹣4xy+5y2+8y+15＝x2﹣4xy+4y2+y2+8y+16﹣1＝（x﹣2y）2+（y+4）2﹣1，∵（x﹣2y）2≥0，（y+4）2≥0，∴（x﹣2y）2+（y+4）2﹣1≥﹣1，∴多项式x2﹣4xy+5y2+8y+15的最小值为﹣1，故选：A．【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．18．【分析】利用配方法得到a2﹣4a+5＝（a﹣2）2+1，然后根据非负数的性质易得（a﹣2）2+1＞0．【解答】解：a2﹣4a+5＝（a﹣2）2+1，∵（a﹣2）2≥0，∴（a﹣2）2+1＞0，即数式a2﹣4a+5的值一定是正数．故选：A．【点评】本题考查了配方法的应用：用配方法解一元二次方程；利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．也考查了非负数的性质．19．【分析】通过配方法将代数式变形，由此求得其最小值．【解答】解：由配方法得，x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1．因为（x﹣2）2≥0，所以（x﹣2）2+1≥1，所以代数式x2﹣4x+5的最小值是1．故选：B．【点评】此题考查了配方法的应用和非负数的性质，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．二．填空题（共17小题）20．【分析】题中有﹣8xy，2x应为完全平方式子的第二项，把所给代数式整理为两个完全平方式子与一个常数的和，最小值应为那个常数．【解答】解：原式＝（x2+2x+1）+（4x2﹣8xy+4y2）+3＝4（x﹣y）2+（x+1）2+3，∵4（x﹣y）2和（x+1）2的最小值是0，即原式＝0+0+3＝3，∴5x2+4y2﹣8xy+2x+4的最小值为3．故答案为：3．【点评】考查配方法的应用；根据﹣8xy，2x把所给代数式整理为两个完全平方式子的和是解决本题的关键．21．【分析】首先把所求的式子利用配方法转化为a（x+b）2+c的形式，根据一个式子的平方是非负数，即可确定．【解答】解：∵x2+8x+5＝（x2+16x）+5＝（x2+16x+64﹣64）+5，⇒x2+8x+5＝[（x+8）2﹣64]+5＝（x+8）2﹣27，∵（x+8）2≥0，∴代数式x2+8x+5的最小值是﹣27．【点评】此题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．22．【分析】已知等式左边配方得到结果，即可确定出m的值．【解答】解：已知等式变形得：x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1＝（x﹣2）2+m，则m＝1，故答案为：1【点评】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．23．【分析】原式利用完全平方公式化简即可得到结果．【解答】解：x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1．故答案为：2．【点评】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．24．【分析】根据配方法的步骤先把x2﹣4x﹣5的形式，求出m，k的值，再代入进行计算即可．【解答】解：x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，所以m＝2，k＝﹣9，所以m+k＝2﹣9＝﹣7．故答案是：﹣7．【点评】此题考查了配方法的应用，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．25．【分析】由a﹣b＝2，得出a＝b+2，进一步代入ab+2b﹣c2+2c＝0，进一步利用完全平方公式得到（b+2）2﹣（c﹣1）2﹣3＝0，再根据已知条件得到b的值，进一步求得整数a的值即可．【解答】解：∵a﹣b＝2，∴a＝b+2，∴ab+2b﹣c2+2c＝b（b+2）+2b﹣c2+2c＝b2+4b﹣（c2﹣2c）＝（b+2）2﹣（c﹣1）2﹣3＝0，∵b≥0，﹣2≤c＜1，∴4≤（b+2）2≤12，∵a是整数，∴b＝0或1，∴a＝2或3．故答案为：2或3．【点评】此题考查配方法的运用，非负数的性质，掌握完全平方公式是解决问题的关键．26．【分析】利用配方法把原式化为平方和的形式，根据偶次方的非负性解答．【解答】解：x2+y2+2x﹣4y+7＝x2+2x+1+y2﹣4y+4+2＝（x+1）2+（y﹣2）2+2，∵（x+1）2≥0，（y﹣2）2≥0，∴（x+1）2+（y﹣2）2+2的最小值是2，即代数式x2+y2+2x﹣4y+7的最小值是2，故答案为：2．【点评】本题考查的是配方法的应用、非负数的性质，掌握配方法的一般步骤、偶次方的非负性是解题的关键．27．【分析】利用完全平方公式把原式变形，根据非负数的性质分别求出a、b，根据负整数指数幂的运算法则计算．【解答】解：a2+b2+4a﹣8b+20＝0，a2+4a+4+b2﹣8b+16＝0，（a+2）2+（b﹣4）2＝0，则a+2＝0，b﹣4＝0，解得，a＝﹣2，b＝4，则b a＝4﹣2＝，故答案为：．【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．28．【分析】将等式右边的部分移到左边，然后配方，利用偶次方的非负性，可得a，b，c 的值，从而可求得2b+c的值．【解答】解：∵a+b+c＝2+4+6﹣14∴a+1+b+1+c﹣2﹣2﹣4﹣6+14＝0∴[﹣2+1]+[﹣4+4]+[﹣6+9]＝0∴++＝0∴﹣1＝0，﹣2＝0，﹣3＝0∴＝1，＝2，＝3∴a+1＝1，b+1＝4，c﹣2＝9∴a＝0，b＝3，c＝11∴2b+c＝2×3+11＝17故答案为：17．【点评】本题考查了配方法在二次根式中应用，熟练掌握配方法并明确偶次方的非负性，是解题的关键．29．【分析】本题可以用配方法来做，当二次项系数不是1时，可以先把二次项系数提到括号外面，再凑常数项，常数项等于一次项系数一半的平方，由此可解．【解答】解：2a2﹣a+10＝2+10＝2（）+10＝2+10﹣＝2+∵2≥0，∴2+≥．∴代数式2a2﹣a+10的最小值是．【点评】本题可以用配方法来求最小值．配方法是一种重要的计算化简方法，需要扎实掌握．30．【分析】把原式根据配方法化成x2+10y2+6xy﹣4y+4＝（x+3y）2+（y﹣2）2，即可得出最小值．【解答】解：x2+10y2+6xy﹣4y+4＝x2+6xy+9y2+y2﹣4y+4＝（x+3y）2+（y﹣2）2，∵（x+3y）2+（y﹣2）2≥0，∴x2+10y2+6xy﹣4y+4的最小值是0．故答案为0．【点评】本题考查了配方法的应用，难度不大，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．31．【分析】应用配方法求出a，b，c之间的关系，然后直接计算即可．【解答】解：∵a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝0，∴2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）＝0，∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0，∴a＝b＝c又∵a+3b+4c＝16，∴a＝b＝c＝2，∴a+b+c＝6．故答案为：6【点评】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解答此题的关键．32．【分析】根据完全平方公式把原式变形即可．【解答】解：x2﹣4x+1＝x2﹣4x+4﹣3＝（x﹣2）2﹣3，故答案为：（x﹣2）2﹣3．【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式是解题的关键．33．【分析】先求出A﹣B的值，再判断即可．【解答】解：∵A＝2a2﹣a+3，B＝a2+a，∴A﹣B＝（2a2﹣a+3）﹣（a2+a）＝a2﹣2a+3＝（a﹣1）2+2≥0，∴A＞B，故答案为：A＞B．【点评】本题考查了整式的混合运算和配方法的应用，能选择适当的方法求解是解此题的关键．34．【分析】先利用配方法将代数式2x2﹣4x+1转化为完全平方与常数的和的形式，然后根据非负数的性质进行解答．【解答】解：2x2﹣4x+1＝2（x2﹣2x+1）﹣2+1＝2（x﹣1）2﹣1，∵2（x﹣1）2≥0，∴2x2﹣4x+1的最小值是﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查配方法的应用，解题的关键是利用配方法，根据非负数的性质解决问题，属于中考常考题型．35．【分析】仿照题中的方法将原式配方后，利用非负数的性质确定出最小值即可．【解答】解：y2﹣y+5＝y2﹣y++＝（y﹣）2+≥，则代数式y2﹣y+5的最小值是．故答案为：．【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质：偶次方，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．36．【分析】已知等式左边配方后，利用非负数的性质求出x与y的值，即可求出代数式的值．【解答】解：∵4x2+9y2+12x﹣6y+10＝（4x2+12x+9）+（9y2﹣6y+1）＝（2x+3）2+（3y ﹣1）2＝0，可得2x+3＝0，3y﹣1＝0，解得：x＝﹣，y＝，则8x﹣9y＝8×（﹣）﹣9×＝﹣15，故答案为：﹣15．【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．三．解答题（共7小题）37．【分析】（1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值；（2）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值；（3）根据题意列出关系式，配方后根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值以及x的值即可．【解答】解：（1）m2+m+4＝（m+）2+，∵（m+）2≥0，∴（m+）2+≥，则m2+m+4的最小值是；（2）4﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+5，∵﹣（x﹣1）2≤0，∴﹣（x﹣1）2+5≤5，则4﹣x2+2x的最大值为5；（3）由题意，得花园的面积是x（20﹣2x）＝﹣2x2+20x，∵﹣2x2+20x＝﹣2（x﹣5）2+50∵﹣2（x﹣5）2≤0，∴﹣2（x﹣5）2+50≤50，∴﹣2x2+20x的最大值是50，此时x＝5，则当x＝5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2．【点评】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．38．【分析】（1）首先把x2﹣2xy+2y2﹣2y+1＝0利用完全平方公式因式分解，利用非负数的性质求得x、y代入求得数值；（2）、（3）仿照例题和（1）的解法，利用配方法计算即可．【解答】解：（1）∵x2﹣2xy+2y2﹣2y+1＝0∴x2﹣2xy+y2+y2﹣2y+1＝0∴（x﹣y）2+（y﹣1）2＝0∴x﹣y＝0，y﹣1＝0，∴x＝1，y＝1，∴x+2y＝3；（2）∵a2+5b2﹣4ab﹣2b+1＝0∴a2+4b2﹣4ab+b2﹣2b+1＝0∴（a﹣2b）2+（b﹣1）2＝0∴a﹣2b＝0，b﹣1＝0∴a＝2，b＝1；（3））∵m＝n+4，∴n（n+4）+t2﹣8t+20＝0∴n2+4n+4+t2﹣8t+16＝0∴（n+2）2+（t﹣4）2＝0∴n+2＝0，t﹣4＝0∴n＝﹣2，t＝4∴m＝n+4＝2∴n2m﹣t＝（﹣2）0＝1．【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握配方法的一般步骤和完全平方公式是解题的关键．39．【分析】（1）已知等式利用完全平方公式配方后，利用非负数的性质求出a，b，c的值即可；（2）把a，b，c的值代入已知等式求出++的值，原式变形后代入计算即可求出值．【解答】解：（1）已知等式整理得：（a﹣b）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0，∴a﹣b＝0，b﹣4＝0，c﹣5＝0，解得：a＝b＝4，c＝5；（2）把a＝b＝4，c＝5代入已知等式得：＝﹣4，即+＝﹣；＝，即+＝；＝﹣，即+＝﹣，∴++＝﹣，则原式＝＝﹣8．【点评】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及分式的值，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．40．【分析】（1）根据理解材料一的内容进行解答，比对这题很容易解决．（2）①中把根式下的式子转化成平方+平方的形式，转化成点到点的距离问题，根据两点之间距离最短，所以当三个点共线时距离最短，可以求出最小值和函数关系式②中也根据材料二的内容来解答求出x的值．【解答】解：（1）根据材料一；∵（﹣）×（+）＝（20﹣x）﹣（4﹣x）＝16∵﹣＝2，∴+＝8，∴＝5＝3∴解得：x＝﹣5∴y＝2x+6（﹣2≤x≤1）（2）①解：由材料二知：＝＝＝＝＝．∴可将的值看作点（x，y）到点（1，8）的距离的值看作点（x，y）到点（﹣2，2）的距离∴＝+．∴当代数式取最小值即点（x，y）与点（1，8），（﹣2，2）在同一条直线上，并且点（x，y）位点（1，8）（﹣2，2）的中间∴的最小值＝＝＝3且﹣2≤x≤1设过（x，y），（1，8），（﹣2，2）的直线解析式为：y＝kx+b∴解得：∴y＝2x+6（﹣2≤x≤1）②：∵y＝+中∵y＝2x+6∴+＝2x+6 ①又∵（+）（﹣）＝2x2+5x+12﹣（2x2+3x+6）＝2x+6∴﹣＝1 ②由①+②式得：＝x+解得：x1＝＞1（舍）x2＝∴x的值为1﹣【点评】本题属于新定义题，理解新定义的内容完成题目要求．41．【分析】1、根据阅读材料内容解决问题即可；2、根据矩形的性质和阅读材料内容进行计算即可求解；3、先将代数式变形，再根据阅读内容即可求解；4、根据立方体的体积公式和已知条件表示出长方体的宽，运用阅读内容即可求解．【解答】解：1、由阅读1结论可知：把a﹣1看成一个整体，当a＝4时，函数y＝a﹣1++1（a＞1）的最小值为7．故答案为4、7．2、设矩形周长为y，由题意，得y＝2（x+），∵x+≥2∴x≥4，当x＝即x＝＝2时，函数y＝2（x）的最小值为2×2＝8．故答案为2、8．3、设y＝（m＞﹣1），＝（m+1）+，当m+1＝即m＝1时，y＝4．答：代数式（m＞﹣1）的最小值为4．4、根据题意，得长方体的宽为米，∴y＝x•×120+×2×2×80+80×2×2x＝480+320（x+）当x＝即x＝2时，函数y＝480+320（x+）的最小值为1760，答：当x为2时，水池总造价y最低，最低是1760元．【点评】本题考查了配方法的应用、矩形的性质、长方体体积，解决本题的关键是理解并运用阅读材料内容．42．【分析】（1）当x＞0时，按照公式（当且仅当a＝b时取等号）来计算即可；x＜0时，由于﹣x＞0，﹣＞0，则也可以按照公式（当且仅当a＝b 时取等号）来计算；（2）将的分子分别除以分母，展开，将含x的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可；（3）设S△BOC＝x，已知S△AOB＝4，S△COD＝9，则由等高三角形可知：S△BOC：S△COD ＝S△AOB：S△AOD，用含x的式子表示出S△AOD，四边形ABCD的面积用含x的代数式表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可．【解答】解：（1）当x＞0时，≥2＝2；当x＜0时，＝﹣（﹣x﹣）∵﹣x﹣≥2＝2∴﹣（﹣x﹣）≤﹣2∴当x＞0时，的最小值为2；当x＜0时，的最大值为﹣2．故答案为：2；﹣2；（2）由，∵x＞0，∴，当时，最小值为11．（3）设S△BOC＝x，已知S△AOB＝4，S△COD＝9则由等高三角形可知：S△BOC：S△COD＝S△AOB：S△AOD∴x：9＝4：S△AOD∴：S△AOD＝∴四边形ABCD面积＝4+9+x+≥13+2＝25当且仅当x＝6时取等号，即四边形ABCD面积的最小值为25．【点评】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了分式化简和等高三角形的性质，本题难度中等略大，属于中档题．43．【分析】（1）仿照阅读材料、利用配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答；（2）利用配方法把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可【解答】解：（1）∵x2+10x+7＝x2+10x+25﹣18＝（x+5）2﹣18，由（x+5）2≥0，得（x+5）2﹣18≥﹣18；∴代数式x2+10x+7的最小值是﹣18；（2）﹣a2﹣8a+16＝﹣a2﹣8a﹣16+32＝﹣（a+4）2+32，∵﹣（a+4）2≤0，∴﹣（a+4）2+32≤32，∴代数式﹣a2﹣8a+16有最大值，最大值为32．【点评】本题考查的是配方法的应用和偶次方的非负性，掌握配方法的一般步骤、偶次方的非负性是解题的关键．。
配方法
提示：不行，只有在方程两边加上一次项 系 数一半的平方，方程左边才能变成完成平方 x2+2bx+b2 的形式 .
知识探究
第二十一章 一元二次方程
配方法的定义
像上面那样，通过配成完全平方形式来 解一元二次方程的方法叫做配方法 .
配方是为了降次 ，把一个一元二次 方 程转化成两个一元一次方程来解 .
知识探究
第二十一章 一元二次方程
第二十一章
21.2.1 配方法
新知导入
预备知识 什么是平方根？一个数的平方根怎么
样表示？ 一个数的平方等于 a ，这个数就叫做 a 的平方根 .
a(a≥0) 的平方根记作： ± a x2=a(a≥0), 则根据平方根的定义知， x=± a
新知导入
求出下列各式中 x 的值，并说说你的
理 由. 1. x2=9
x 9
x 3
2. x2=5
x 5
【思考】 如果方程转化为 x2=p, 该如何解呢？
1. 会把一元二次方程降次转化为两个一 元 一次方程 . 一次方程 .
2. 运用开平方法解形如 x2=p 或（ x+n)2=p (xp+≥n)02=) p的方程 . (p≥0) 的方程 .
知识探究
例点1 1 利用直接方开程平方法解下列方程 :
(1) x2=6 ；
(2) x2 － 900=0.
解（：1） x2=6 ， 直接开平方，得
x 6, x1 6 ，x2 6
（ 2 ）移项，得 x2=900. 直接开平方，得 x=±30 ，
∴x1=30, x2= － 30.
巩固练习
第二十一章 一元二次方程
知识探究
第二十一章 一元二次方程
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【配方法】 对一个多项式进行恒等变形,使之出现完全平方式,并化成平方的形式,叫做
配方,它是完全平方公式的逆用。
配方时主要用到下面两个公式:
（1） ()2
2
22b a b ab a +=++; （2） ()2
222b a b ab a -=+-.
★ 配方法用于解一元二次方程
用配方法解一元二次方程 02
=++c bx ax ()0≠a 共分六步: 一移、二化、三配、四开、五转、六解 。
（1）一移 把常数项移到方程的右边,注意变号; c bx ax -=+2
（2）二化 在方程的左右两边同时除以二次项系数a ,化二次项系数为1; a
c x a b x -=+
2 （3）三配 即配方,把方程的左边配成完全平方的形式,需要在方程的左右两边同时加上一
次项系数一半的平方; 222
22⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++a b a c a b x a b x 222
442a ac b a b x -=
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+ （4）四开 直接开平方; a ac
b a b x 2422-±=+ （当a
c b 42-=∆≥0时 方程有实数根） （5）五转 把第（4）步得到的结果转化为两个一元一次方程;
a ac
b a
b
x 2422-=
+ 或 a
ac
b a b x 2422--
=+ （6）解 解这两个一元一次方程, 得到一元二次方程的两个解.
a
ac
b b x a a
c b b x 24,242221---=-+-=.
说明: 由上面配方的结果可以确定一元二次方程有实数根的条件和求根公式:
一元二次方程 02
=++c bx ax ()0≠a 有实数根的条件 是ac b 42-=∆≥0,
求根公式为: a
ac
b b x 242-±-= 。
例1. 用配方法解方程: 01422
=++x x
.
解: 1422-=+x x
()2
2
121112
112212222±
=+=
++-
=++-
=+x x x x x x ∴ 221=
+x 或 2
21-=+x ∴ 2
2
1,22121-
-=+
-=x x .
习题1. 用配方法解下列方程: （1）011242
=--x x ; （2）03232=-+x x .
★ 配方法用于证明代数式的值
例2. 已知代数式752+-x x ,用配方法说明,不论x 取何值,这个代数式的值总是正数。
证明: 432574254255752
2
2
+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=+-+-=+-x x x x x ∵ 2
25⎪⎭⎫ ⎝
⎛-
x ≥0 ∴ 04
3252
>+⎪⎭⎫ ⎝
⎛-x , 即 0752
>+-x x ∴ 不论x 取何值,这个代数式的值总是正数.
★ 配方法用于求函数的最值
对于二次函数 c bx ax y ++=2
()0≠a ,通过配方法可将其化为顶点式()k h x a y +-=2,然
后结合a 的符号得到函数的最大值或最小值.在顶点式中,a
b a
c k a b h 44,22
-=-=。
（1）当0>a , 且 a
b
x 2-
=时,函数有最小值,最小值为 a
b a
c y 442min -=;
（2）当0<a , 且 a
b
x 2-=时,函数有最大值,最大值为 a
b a
c y 442max
-=.
例3. 求函数x x y 92+-=的最大值。
解:481294814819481481992
22
2
+⎪⎭⎫ ⎝
⎛--=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--=+-=x x x x x x x y ∵ 01<-=a
∴ 函数x x y 92+-=有最大值,最大值为 4
81
max =y 。
例 4. 分别在下列范围内求函数322
--=x x y 的最大值与最小值。
（1） 20<<x ; （2） 2≤x ≤3. 解:()()41412322
22
--=-+-=--=x x x x x
y
（1）∵ 20<<x
∴ 当1=x 时,函数322--=x x y 有最小值,最小值为4min -=y ,无最大值; （2）∵ ()412--=x y
∴ 当x ≥1时,y 随x 的增大而增大 ∵ 2≤x ≤3
∴ 当 2=x 时,y 有最小值,最小值为 ()34122min -=--=y ; 当 3=x 时,y 有最大值,最大值为 ()04132
max
=--=y
.。