江苏省常州市高级中学2013~2014学年第二学期期中质量检查高一年级数学试卷
江苏省常州市2013-2014学年高一上学期期末考试数学试题
8
8
（3）由题意得：
π6
π3
2sin(2 a ) ，即 sin(2a ) ，
45
45
∵ π a 3π， ∴ 0 2a π π，
8
8
42
∴ cos(2a π) 4
1 sin2 (2a
π)
4 ，
45
f ( π a ) 2sin[2( π a ) π] 2sin[(2 a π) π]
8
8
4
44
2[sin(2 a
（2）由题意得 B = ( , 1) ，a∴ AN * B (0, 1 ) ，
a
a
11
∵C A B， ∴
，
a2
--------------6 分 --------8 分
∴ 0 a 2 ，又∵ a N ， ∴ a =1．
16．解：（ 1）∵ x R ，
f ( x)
x
12
x
21
1 1x
2 1 2x 1
x
x 2y 且 x 0 ；……………………… 2 分 又 c 2 ， x2 y2 4 ，……………………… 3 分
45
x
解得
5 （负舍）， c
y 25
5
4
52 ,
5
。………………………
5分
55
法二、 c 与 AB 同向， AB 2,1 ，
故可设 c AB
2,1 2 , , 0 ，……………………… 2 分
∵ | AC | | BC |，∴ (cosa
2
2)
2
sin a
2
cos a
(sin a
2
2) , 整理得
tan a
江苏省徐州市2023-2024学年度第二学期期中学业水平质量监测高一年级数学试题
2023~2024学年度第二学期期中联校考试高一数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.︒︒-︒︒=cos14cos16cos 76sin16（ ）A. 21B.C. -21 D. 2. 已知(),512a a b ⋅==，，若()2b a b ⊥-，则向量a 与向量b 的夹角为（ ）A ．6πB ． 4πC ．3πD ．4π3 3.ABC 中角A,B,C 所对边的长分别为a ，b ，c .向量(p a c b =+,)，(,q b a c a =--).若p q ∥，则角C 的大小为（ ）A ．6π B. 3π C.2π D. 3π2 4. 如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，则AF =（ ）A. 31AB AD +44B. 13AB AD +44C. AB AD +21D. 31AB AD +425. 函数⎝⎭ ⎪=+⎛⎫f x x 3sin 21)(在区间π0,2)(内的零点个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 56. 已知⎝⎭ ⎪-=-⎛⎫α63cos 1π，则⎝⎭ ⎪+=⎛⎫α6sin 2π（ ） A ．-97B ．97C ．-32D ．32 7. 在ABC 中，若⋅⋅=--c B b CC B cos cos 1cos21cos2，则ABC 的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形8. 如图，已知正方形ABCD 的边长为2，若动点P 在以AB 为直径的半圆上（正方形ABCD 内部，含边界），则PC PD ⋅的取值范围为（ ）A ．0,4)(B ．0,4][C ．0,2)(D ．0,2][二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）A. 已知O 为点A,B,C 所在直线外一点，且0.40.6.OC xOA OB x =+=则，B. 已知非零向量(1,2),(1,1)a b ==，且a 与a λb +的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是⎝⎭⎪-+∞⎛⎫3,5C. 已知向量(23,2AB =)，(1,3AC =--)，则AB 在AC 上的投影向量的坐标为) D. 若点G 为ABC 中线的交点，则0GA GB GC ++=10. 已知=αβtan 2tan ，则（ ）A ．⎝⎭ ⎪∃∈⎛⎫αβ2,0,π，使得=αβ2B ．若=αβ5sin cos 2，则-=αβ5sin 1)( C ．若=αβ5sin cos 2，则+=-αβ25cos 227)(D ．若α，⎝⎭ ⎪∈⎛⎫β20,π，则-αβtan )(的最大值为411. ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC 的面积，且=a 2，23AB AC S ⋅=，下列选项正确的是（ ）A ．=A 6πB ．若=b ABC 只有一解C ．若ABC 为锐角三角形，则b 取值范围是D ．若D 为BC 边上的中点，则AD 的最大值为2三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知⎝⎭ ⎪+=-⎛⎫απαπ2sin 2sin )(，则⎝⎭ ⎪-=⎛⎫απ4tan ．13.圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣·索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB ，高约为36m ，在它们之间的地面上的点M （B M D ,, 三点共线）处测得建筑物顶A 、教堂顶C 的仰角分别是︒45和︒60，在建筑物顶A 处测得教堂顶C 的仰角为︒15，则可估算圣·索菲亚教堂的 高度CD 为 m.14. △ABC 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，点P 是△ABC 所在平面内的动点，满足BC BA OP OB BC BA λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭（>λ0）．射线BP 与边AC 交于点D ．若+-=a A c C b B a C sin sin sin sin ，=BD 2，则角B 的值 为_____________，△ABC 面积的最小值为_____________．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝3，AD ＝2，∠BAD ＝120°.(1) 求AC → 的模；(2) 若AE → ＝13 AB → ，BF → ＝12 BC → ，求AF → ·DE → 的值．16.（15分）已知向量(2sin ,3(cos sin ))222x x m =+x ，(cos ,sin cos )222x x x n =-，且函数f x m n =⋅(). (1)若⎣⎦⎢⎥∈⎡⎤πx 20,，且=f x 32)(，求x sin 的值； (2)若将函数f x )(的图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的21，再将所得图像向左平移π4个单位，得到g x )(的图像，求函数g x )(单调增区间．分）记ABC 的内角18.（17分）在直角梯形ABCD 中，已知，AD AB CD AB DC AD ，，，，===⊥AB 213，动点E 、F 分别在线段BC 和DC 上，AE 和BD 交于点M ，且(),1BE BC DF DC λλ==-，∈λR ．(1)当0AE BC ⋅=时，求λ的值；(2)当=λ32时，求MB DM 的值； (3)求1AF AE +2的取值范围．19.（17分）定义函数=+f x m x n x sin cos )(的“源向量”为(,OM m n =)，非零向量(,OM m n =)的 “伴随函数”为=+f x m x n x sin cos )(，其中O 为坐标原点．(1)若向量(1,3OM =)的“伴随函数”为f x )(，求f x )(在∈x π0,][的值域；(2)若函数=+αg x x )()(的“源向量”为OM ，且以O 为圆心，OM 为半径的圆内切于正ABC（顶点C 恰好在y 轴的正半轴上），求证：222MA MB MC ++为定值； (3)在ABC 中，角A B C ,,的对边分别为a b c ,,，若函数h x )(的“源向量”为(0,1OM =)，且已知==a h A 58,3)(，求AB AC AB AC +-⋅的取值范围．。
2014-2015年江苏省常州高级中学高一上学期期末数学试卷与答案Word版
2014-2015学年江苏省常州高级中学高一（上）期末数学试卷一．选择题（本大题共12小题，第小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符是合题目要求的．）1．（5.00分）下列符号语言表述正确的是（）A．A∈l B．A⊂αC．A⊂l D．l∈α2．（5.00分）如图，在下列几何体中是棱柱的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（5.00分）已知点A（1，﹣3），B（﹣1，3），则直线AB的斜率是（）A．B．C．3 D．﹣34．（5.00分）以点A（﹣3，0），B（3，﹣2），C（﹣1，2）为顶点的三角形是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．以上都不是5．（5.00分）以（3，﹣1）为圆心，4为半径的圆的方程为（）A．（x+3）2+（y﹣1）2=4 B．（x﹣3）2+（y+1）2=4 C．（x﹣3）2+（y+1）2=16 D．（x+3）2+（y﹣1）2=166．（5.00分）若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（）A．k1＜k2＜k3B．k3＜k1＜k2C．k3＜k2＜k1D．k1＜k3＜k27．（5.00分）直线a∥b，b⊥c，则a与c的关系是（）A．异面B．平行C．垂直D．相交8．（5.00分）在下列命题中，不是公理的是（）A．平行于同一个平面的两个平面平行B．过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线9．（5.00分）下列说法中正确的是（）A．以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥B．以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆D．圆锥侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的底面圆的半径10．（5.00分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（）A．棱柱B．棱台C．圆柱D．圆台11．（5.00分）给下列几种关于投影的说法，正确的是（）A．矩形的平行投影一定是矩形B．平行直线的平行投影仍是平行直线C．垂直于投影面的直线或线段的正投影是点D．中心投影的投影线是互相平行的12．（5.00分）如果圆锥的底面半径为，高为2，那么它的侧面积是（）A．B．C．D．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．）13．（5.00分）球的表面积扩大为原来的4倍，它的体积扩大为原来的倍．14．（5.00分）平行四边形的一个顶点A在平面a内，其余顶点在a的同侧，已知其中有两个顶点到a的距离分别为1和2，那么剩下的一个顶点到平面a的距离可能是：①1；②2；③3；④4；以上结论正确的为．（写出所有正确结论的编号）15．（5.00分）在坐标轴上，与两点A（1，5），B（2，4）等距离的点的坐标是．16．（5.00分）将长和宽分别为6和4的矩形卷成一个圆柱，则该圆柱的体积为．三、解答题：本大题共7小题，共70分．题解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（8.00分）已知点M（2，2）和N（5，﹣2），点P在x轴上，且∠MPN为直角，求点P的坐标．18．（8.00分）已知直线经过点A（3，﹣2），斜率为﹣，求该直线方程．19．（10.00分）如图是水平放置的等边三角形ABC的直观图，其中BC=2a，求直观图中AB和AC的长度．20．（10.00分）已知点M（1，0），N（﹣1，0），点P为直线2x﹣y﹣1=0上的动点．求PM2+PN2的最小值及取最小值时点P的坐标．21．（10.00分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G 分别是BC，DC和SC的中点，求证：平面EFG∥平面BB1D1D．22．（12.00分）求证：如果一条直线和两个相交的平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行，已知：如图，α∩β=l，a∥α，a∥β，求证：a∥l．23．（12.00分）养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12m，高4m，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4m（高不变）；二是高度增加4m（底面直径不变）（1）分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；（2）分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；（3）哪个方案更经济些？2014-2015学年江苏省常州高级中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，第小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符是合题目要求的．）1．（5.00分）下列符号语言表述正确的是（）A．A∈l B．A⊂αC．A⊂l D．l∈α【解答】解：A、点A在直线l上，记作：A∈l，故本选项正确；B、点A在平面α内，记作：A∈a，故本选项错误；C、点A在直线l上，记作：A∈l，故本选项错误；D、直线l在平面α内，记作：l⊂α，故本选项错误．故选：A．2．（5.00分）如图，在下列几何体中是棱柱的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：由棱柱的结构特征：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻四边形的公共边互相平行．可知：图（1）为三棱柱；图（3）为六棱柱；图（4）为三棱柱．∴题中所给的几何体是棱柱的有3个．故选：C．3．（5.00分）已知点A（1，﹣3），B（﹣1，3），则直线AB的斜率是（）A．B．C．3 D．﹣3【解答】解：因为A（1，﹣3），B（﹣1，3），所以直线AB的斜率k==﹣3．故选：D．4．（5.00分）以点A（﹣3，0），B（3，﹣2），C（﹣1，2）为顶点的三角形是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．以上都不是【解答】解：AB=，BC==，AC=，∵AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形．故选：C．5．（5.00分）以（3，﹣1）为圆心，4为半径的圆的方程为（）A．（x+3）2+（y﹣1）2=4 B．（x﹣3）2+（y+1）2=4 C．（x﹣3）2+（y+1）2=16 D．（x+3）2+（y﹣1）2=16【解答】解：由圆的标准方程可知，以（3，﹣1）为圆心，4为半径的圆的方程为：（x﹣3）2+（y+1）2=16，故选：C．6．（5.00分）若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（）A．k1＜k2＜k3B．k3＜k1＜k2C．k3＜k2＜k1D．k1＜k3＜k2【解答】解：直线l1的倾斜角是钝角，则斜率k1＜0；直线l2与l3的倾斜角都是锐角，斜率都是正数，但直线l2的倾斜角大于l3的倾斜角，所以k2＞k3＞0，所以k1＜k3＜k2，故选：D．7．（5.00分）直线a∥b，b⊥c，则a与c的关系是（）A．异面B．平行C．垂直D．相交【解答】解：∵b⊥c∴b，c 所成的角是90°∵a∥b∴a，c所成的角是90°∴a与c的关系是垂直；故选：C．8．（5.00分）在下列命题中，不是公理的是（）A．平行于同一个平面的两个平面平行B．过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线【解答】解：B，C，D经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加以证明的命题和原理故是公理；而A平行于同一个平面的两个平面平行是定理不是公理．故选：A．9．（5.00分）下列说法中正确的是（）A．以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥B．以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆D．圆锥侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的底面圆的半径【解答】解：A中以直角三角形的斜边为轴旋转所得的旋转体不是圆锥，故A错误；B中以直角梯形的垂直于底边的腰为轴旋转所得的旋转体才是圆台，以另一腰为轴所得旋转体不是圆台，故B错误；C显然正确；D中圆锥侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长，故D错误．故选：C．10．（5.00分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（）A．棱柱B．棱台C．圆柱D．圆台【解答】解：由三视图知，从正面和侧面看都是梯形，从上面看为圆形，下面看是圆形，并且可以想象到该几何体是圆台，则该几何体可以是圆台．故选：D．11．（5.00分）给下列几种关于投影的说法，正确的是（）A．矩形的平行投影一定是矩形B．平行直线的平行投影仍是平行直线C．垂直于投影面的直线或线段的正投影是点D．中心投影的投影线是互相平行的【解答】解：矩形的平行投影一定是矩形可能平行四边形，也可能是线段，故A 不正确；平行直线的平行投影可能是平行直线，也可能重合，故B不正确；垂直于投影面的直线或线段的正投影是点，故C正确；中心投影的投影线是相交于一点的，故D不正确；故选：C．12．（5.00分）如果圆锥的底面半径为，高为2，那么它的侧面积是（）A．B．C．D．【解答】解：圆锥的底面半径为，高为2，母线长为：，那么它的侧面积：故选：C．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．）13．（5.00分）球的表面积扩大为原来的4倍，它的体积扩大为原来的8倍．【解答】解：设原来球的半径为R则原来球的表面积S1=4πR2，体积V1=若球的表面积扩大为原来的4倍，则S2=16πR2则球的半径为2R体积V2==∵V2：V1=8：1故球的体积扩大了8倍故答案为：814．（5.00分）平行四边形的一个顶点A在平面a内，其余顶点在a的同侧，已知其中有两个顶点到a的距离分别为1和2，那么剩下的一个顶点到平面a的距离可能是：①1；②2；③3；④4；以上结论正确的为①③．（写出所有正确结论的编号）【解答】解：如图，B、D到平面a的距离为1、2，则D、B的中点到平面a的距离为，所以C到平面a的距离为3；B、C到平面a的距离为1、2，D到平面a的距离为x，则x+1=2或x+2=1，即x=1，所以D到平面a的距离为1；C、D到平面a的距离为1、2，同理可得B到平面a的距离为1；所以选①③．故答案为：①③15．（5.00分）在坐标轴上，与两点A（1，5），B（2，4）等距离的点的坐标是（0，3）或（﹣3，0）．【解答】解：A（1，5），B（2，4）的垂直平分线的方程为y﹣4.5=﹣（x﹣1.5），令x=0，可得y=3；令y=0可得x=﹣3，∴在坐标轴上，与两点A（1，5），B（2，4）等距离的点的坐标是（0，3）或（﹣3，0）．故答案为：（0，3）或（﹣3，0）．16．（5.00分）将长和宽分别为6和4的矩形卷成一个圆柱，则该圆柱的体积为或．【解答】解：若圆柱的底面周长为4，则底面半径R=，h=6，此时圆柱的体积V=π•R2•h=，若圆柱的底面周长为6，则底面半径R=，h=4，此时圆柱的体积V=π•R2•h=，∴圆锥的体积为：或．故答案为：或．三、解答题：本大题共7小题，共70分．题解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（8.00分）已知点M（2，2）和N（5，﹣2），点P在x轴上，且∠MPN为直角，求点P的坐标．【解答】解：根据题意，设点P（x，0），∴=（2﹣x，2），=（5﹣x，﹣2）；又∵∠MPN为直角，∴•=0；即（2﹣x）（5﹣x）+2×（﹣2）=0，化简得x2﹣7x+6=0，解得x=1或x=6；∴P（1，0）或P（6，0）．18．（8.00分）已知直线经过点A（3，﹣2），斜率为﹣，求该直线方程．【解答】解：∵直线经过点A（3，﹣2），斜率为﹣，由直线方程的点斜式得：y+2=，化为一般式得：4x+3y﹣6=0．19．（10.00分）如图是水平放置的等边三角形ABC的直观图，其中BC=2a，求直观图中AB和AC的长度．【解答】解：由题意，OB=OC=a，OA=a，∠AOC=45°，∠AOB=135°，∴AC==a=a，AB==a．20．（10.00分）已知点M（1，0），N（﹣1，0），点P为直线2x﹣y﹣1=0上的动点．求PM2+PN2的最小值及取最小值时点P的坐标．【解答】解：设P坐标为（x，y），由已知有y=2x﹣1，故PM2+PN2=y2+（x+1）2+y2+（x﹣1）2=2y2+2x2+2=2（2x﹣1）2+2x2+2=10x2﹣8x+4，由二次函数的性质可知，其图象开口向上，最小值为=．此时x=﹣=，故PM2+PN2的最小值为，点P的坐标（，﹣）．21．（10.00分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G 分别是BC，DC和SC的中点，求证：平面EFG∥平面BB1D1D．【解答】证明：连结SB，连结SD，∵E、G分别是BC、SC的中点，∴EG∥SB，又SB⊂平面BDD1B1，EG不包含于平面BDD1B1，∴直线EG∥平面BDD1B1．∵F，G分别是DC、SC的中点，∴FG∥SD，又SD⊂平面BDD1B1，FG不包含于平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1，又直线EG∥平面BDD1B1，且直线EG⊂平面EFG，直线FG⊂平面EFG，EG∩FG=G，∴平面EFG∥平面BDD1B122．（12.00分）求证：如果一条直线和两个相交的平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行，已知：如图，α∩β=l，a∥α，a∥β，求证：a∥l．【解答】证明：过a作平面γ交平面α于b，∵a∥α，∴a∥b．同样，过a作平面ξ交平面β于C．∵a∥β，∴a∥C．∴b∥C．β且C⊂β，∴b∥β．又∵b⊄又平面α经过b交β于l．∴b∥l，且a∥b．∴a∥l．23．（12.00分）养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12m，高4m，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4m（高不变）；二是高度增加4m（底面直径不变）（1）分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；（2）分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；（3）哪个方案更经济些？【解答】解：（1）如果按方案一，仓库的底面直径变成16m，则仓库的体积（2分）如果按方案二，仓库的高变成8m，则仓库的体积（4分）（2）如果按方案一，仓库的底面直径变成16m，半径为8m棱锥的母线长为l=则仓库的表面积S1=π×8×4=32π（m2）（6分）如果按方案二，仓库的高变成8m棱锥的母线长为l==10则仓库的表面积S2=π×6×10=60π（m2）（8分）（3）∵V2＞V1，S2＜S1赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x．1．< ．x．2．时，都有f(x．．．1．)<f(x．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．．x1x2y=f(X)xyf(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4）利用复合函数如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法yxo函数的 性 质定义图象 判定方法 函数的 奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x ．．．)．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称） 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y 轴对称） ②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．∴方案二比方案一更加经济（12分）。
江苏省常州市2014届高三上学期期末考试数学试题(WORD版,有答案)
常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅰ试题 2014年1月参考公式：样本数据1x ，2x ，… ，n x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中x =11n i i x n =∑．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 设集合{}21A x x x =<∈R ，，{}20B x x =≤≤，则A B = ▲ ． 2． 若1i1i im n +=+（m n ∈R ，，i 为虚数单位），则mn 的值为 ▲ ． 3． 已知双曲线2221(0)4x y a a -=>的一条渐近线方程为20x y -=，则a 的值为 ▲ ．4． 某学校选修羽毛球课程的学生中，高一，高二年级分别有80名，50名．现用分层抽样的方法在这130名学生中抽取一个样本，已知在高一年级学生中抽取了24 名，则在高二年级学生中应抽取的人数为 ▲ ．5． 某市连续5天测得空气中PM2.5（直径小于或等于2.5微米的颗粒物）的数据（单位：3/g m m ）分别为115，125，132，128，125，则该组数据的方差为 ▲ ． 6． 函数222sin 3cos 4y x x =+-的最小正周期为 ▲ ．7． 已知5瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁类饮料．从这5瓶饮料中随机取2瓶，则所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为 ▲ ．8． 已知实数x ，y 满足约束条件333x y y x +⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≤，，，则225z x y =--的最大值为 ▲ ．9． 若曲线1C ：43236y x ax x =--与曲线2C ：e x y =在1x =处的切线互相垂直，则实数a 的值为▲ ． 10．给出下列命题：（1）若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面； （2）若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面； （3）若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面； （4）若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面．则其中所有真命题的序号为 ▲ ．11．已知,66⎛⎫∈- ⎪⎝⎭p p q ，等比数列{}n a 中，11a =，343tan 39a =q ，若数列{}n a 的前2014项的和为0，则q 的值为 ▲ ．12．已知函数f (x )＝201,02(1),xx x x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪-⎩≥，，若((2))()f f f k ->，则实数k 的取值范围为 ▲ ． 13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若t a n 7t a nA B =，223a b c-=，则c = ▲ ． 14．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：2216x y +=，点(1,2)P ，M ，N 为圆O 上不同的两点，且满足0PM PN ⋅=．若PQ PM PN =+ ，则PQ 的最小值为 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．设向量(,)m a c = ，(cos ,cos )n C A =．（1）若m n∥，3c a =，求角A ；（2）若3sin m n b B ⋅= ，4cos 5A =，求cos C 的值．16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111A B C ABC -中，AB ⊥BC ，E ，F 分别是1A B ，1AC 的中点． （1）求证：EF ∥平面ABC ；（2）求证：平面AEF ⊥平面11AA B B ； （3）若1222A A AB BC a ===，求三棱锥F ABC -的体积．17．（本小题满分14分）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，已知35S a =，525S =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若p ，q 为互不相等的正整数，且等差数列{}n b 满足p a b p =，q a b q =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E :22221(0)x ya b a b+=>>的右准线为直ABMOPQlxyFBCEA1A 1B 1C （第16题）线l ，动直线y kx m =+(00)k m <>，交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，射线OM 分别交椭圆及直线l 于P ，Q 两点，如图．若A ，B 两点分别是椭圆E 的右顶点，上顶点时，点Q 的纵坐标为1e（其中e 为椭圆的离心率），且5OQ OM =．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）如果OP 是OM ，OQ 的等比中项，那么mk是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由．19．（本小题满分16分）几名大学毕业生合作开设3D 打印店，生产并销售某种3D 产品．已知该店每月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为34元，该店的月总成本由两部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分是其它固定支出20000元．假设该产品的月销售量()t x （件）与销售价格x （元/件）（x *∈N ）之间满足如下关系：①当3460x ≤≤时，2()(5)10050t x a x =-++；②当6070x ≤≤时，()1007600t x x =-+．设该店月利润为M （元），月利润=月销售总额－月总成本． （1）求M 关于销售价格x 的函数关系式；（2）求该打印店月利润M 的最大值及此时产品的销售价格．20．（本小题满分16分） 已知函数()ln af x x x x=--，a ∈R ． （1）当0a =时，求函数()f x 的极大值； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）当1a >时，设函数()(1)11ag x f x x x =-+-+-，若实数b 满足：b a >且 ()1b g g a b ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，()22a b g b g +⎛⎫= ⎪⎝⎭，求证：45b <<．常州市教育学会学生学业水平监测数学Ⅱ（附加题） 2014年1月21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡．．．指定区域．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，等腰梯形ABCD 内接于⊙O ，AB ∥CD ．过点A 作⊙O 的切线交CD 的延长线于点E ． 求证：∠DAE =∠BAC .B ．选修4—2：矩阵与变换已知直线:0l ax y -=在矩阵A 0112⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到直线l '，若直线l '过点（1,1），求实数a 的值．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知点(23,)6P p ，直线:cos()224l +=pr q ，求点P 到直线l 的距离．D ．选修4—5：不等式选讲已知1x ≥，1y ≥，求证：22221x x y xy y x y ++++≤．（第21-A 题）AEOCD B【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22． (本小题满分10分)如图，三棱锥P －ABC 中，已知平面PAB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC =BC =2a ，点O ，D 分别是AB ，PB 的中点，PO ⊥AB ，连结CD ．（1）若2PA a =，求异面直线PA 与CD 所成角的余弦 值的大小；（2）若二面角A －PB －C 的余弦值的大小为55，求 PA ．23．（本小题满分10分）设集合A ，B 是非空集合M 的两个不同子集，满足：A不是B 的子集，且B 也不是A 的子集．（1）若M=1234{,,,}a a a a ，直接写出所有不同的有序集合对(A ,B )的个数； （2）若M=123{,,,,}n a a a a ⋅⋅⋅，求所有不同的有序集合对(A ,B )的个数．A BCDOP（第22题）常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅰ试题参考答案及评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 1．[)0,1 2．1- 3． 1 4． 15 5．31.6（写成1585也对） 6．p 7．7108．12 9．13e 10．（1）（2） 11．9-p12．12(log 9,4) 13．4 14．335- 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：（1）∵m n∥，∴cos cos a A c C =．由正弦定理，得sin cos sin cos A A C C =．化简，得sin2sin2A C =． ………………………………………………2分 ∵,(0,)A C p ∈，∴22A C =或22A C p +=， 从而A C =（舍）或2A C p +=．∴2B p=． ………………………………4分 在Rt △ABC 中，3tan 3a A c ==，6A p=． …………………………………6分 （2）∵3cos m n b B ⋅=，∴cos cos 3sin a C c A b B +=．由正弦定理，得2sin cos sin cos 3sin A C C A B +=，从而2sin()3sin A C B +=． ∵A B C p ++=，∴sin()sin A C B +=． 从而1sin 3B =． ……………8分∵4cos 05A =>，(0,)A p ∈，∴(0,)2A p ∈，3sin 5A =． ……………………10分 ∵sin sin AB >，∴a b >，从而A B >，B 为锐角，22cos 3B =． ………12分 ∴cos cos()cos cos sin sinC A B A B A B =-+=-+=42231382535315--⨯+⨯=． …………………………………14分 16．证明：（1）连结1AC ． ∵直三棱柱111A B C ABC -中，11AAC C 是矩形， ∴点F 在1AC 上，且为1AC 的中点． 在△1A BC 中，∵E ，F 分别是1A B ，1AC 的中点， ∴EF ∥BC ． ……………2分 又∵BC ⊂平面ABC ， EF ⊄平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ． ………………4分 （2）∵直三棱柱111A B C ABC -中，1B B ⊥平面ABC ，∴1B B ⊥BC ．∵EF ∥BC ，AB ⊥BC ，∴AB ⊥EF ，1B B ⊥ EF ． ………………………………6分 ∵1B B AB B = ，∴EF ⊥平面11ABB A ． ………………………………8分 ∵EF ⊂平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面11ABB A ． ………………………………10分 （3）11111223F ABC A ABC ABC V V S AA --∆==⨯⨯⨯ ………………………………12分=3211122326a a a ⨯⨯⨯=． ………………………………14分17．解：（1）由已知，得11133451025a d a d a d +=+⎧⎨+=⎩，， 解得11,2.a d =⎧⎨=⎩ …………………4分∴21n a n =-． ……………………………………………………………6分 （2）p ，q 为正整数， 由（1）得21p a p =-，21q a q =-． …………………8分 进一步由已知，得21p b p -=，21q b q -=． ………………………………………10分 ∵{}n b 是等差数列，p q ≠，∴{}n b 的公差1222q p d q p -'==-． ………………12分由211(22)b b b p d p -'=+-=，得11b =．∴21(1)324n n n n nT nb d -+'=+=． …………………………………………14分 18． 解：当A ，B 两点分别是椭圆E 的右顶点和上顶点时，则(,0)A a ，(0,)B b ，(,)22a bM ．∵21(,)a Q c e，∴由O ，M ，Q 三点共线，得21b e a a c=，化简，得1b =．………2分∵5OQ OM =，∴252a c a =，化简，得25a c =．由222125a b c b a c ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩，，，解得225,4.a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩…………………………………………4分（1）椭圆E 的标准方程为2215x y +=． …………………………………………6分（2）把(0,0)y kx m k m =+<>，代入2215x y +=，得222(51)10550k x mkx m +++-=． ……………………………………………8分当△0>，22510k m -+>时，2551M mk x k =-+，251Mmy k =+， 从而点225(,)5151mk mM k k -++． ……………………………………………10分 所以直线OM 的方程15y x k=-． 由221515y x k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，得2222551P k x k =+． ……………………………………………12分∵OP 是OM ，OQ 的等比中项，∴2OP OM OQ =⋅， 从而22252(51)P M Q mkx x x k ==-+． ……………………………………………14分由2222525512(51)k mk k k =-++，得2m k =-，从而2m k=-，满足△0>． ……………15分 ∴mk为常数2-． ………………………………………………………………16分 19．解：（1）当60x =时，(60)1600t =，代入2()(5)10050t x a x =-++，解得2a =． ………………………………………………………………2分 ∴2(22010000)(34)20000,3460,,()(1007600)(34)20000,6070,.x x x x x M x x x x x **⎧--+--<∈⎪=⎨-+--∈⎪⎩ΝΝ≤≤≤ 即32224810680360000,3460,,()1001100278400,6070,.x x x x x M x x x x x **⎧-++-<∈⎪=⎨-+-∈⎪⎩ΝΝ≤≤≤ ……………4分 （注：写到上一步，不扣分．）（2）设2()(22010000)(34)20000g u u u u =--+--，3460u <≤，u ∈R ，则 2()6(161780)g u u u '=---．令()0g u '=，解得182461u =-（舍去），282461(50,51)u =+∈．……………7分 当3450u <<时，()0g u '>，()g u 单调递增；当5160u <<时，()0g u '<，()g u 单调递减． … ………………………………10分 ∵x *∈Ν，(50)44000M =，(51)44226M =，∴()M x 的最大值为44226．………12分 当6070x ≤≤时，2()100(1102584)20000M x x x =-+--单调递减，故此时()M x 的最大值为(60)216000M =． … ………………………………14分 综上所述，当51x =时，月利润()M x 有最大值44226元． ……………………15分 答：该打印店店月利润最大为44226元，此时产品的销售价格为51元/件． ……16分 20．解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞． （1）当0a =时，()ln f x x x =-，1()1f x x'=-，令()0f x '=得1x =． ………1分 列表：x(0,1)1(1,)+∞()f x ' + 0 - ()f x↗极大值↘所以()f x 的极大值为(1)1f =-． …………………………………………3分 (2) 2221()1a x x af x x x x -++'=-+=．令()0f x '=，得20x x a -++=，记14a ∆=+．（ⅰ）当14a -≤时，()0f x '≤，所以()f x 单调减区间为(0,)+∞； …………5分（ⅱ）当14a >-时，由()0f x '=得12114114,22a a x x ++-+==， ①若104a -<<，则120x x >>，由()0f x '<，得20x x <<，1x x >；由()0f x '>，得21x x x <<．所以，()f x 的单调减区间为114(0,)2a -+，114(,)2a+++∞，单调增区间为114114(,)22a a-+++； …………………………………………………………7分②若0a =，由（1）知()f x 单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1,)+∞；③若0a >，则120x x >>，由()0f x '<，得1x x >；由()0f x '>，得10x x <<．()f x 的单调减区间为114(,)2a +++∞，单调增区间为114(0,)2a ++． ……9分综上所述：当14a -≤时，()f x 的单调减区间为(0,)+∞；当104a -<<时，()f x 的单调减区间为114(0,)2a -+，114(,)2a +++∞，单调增区间为114114(,)22a a-+++；当0a ≥时，()f x 单调减区间为114(,)2a+++∞，单调增区间为114(0,)2a++． ………………………………………………………10分 （3）()ln(1)g x x =-（1x >）．由()()1bg g a b =-得1lnln(1)1a b =--． ∵1a b <<， ∴11b a -=-(舍)，或(1)(1)1a b --=．∵21(1)(1)(1)a b b =--<-，∴2b >． …………………………………12分 由()2()2a bg b g +=得， 1ln(1)2ln(1)2ln [(1)(1)](*)22a b b a b +-=-=-+-⋅⋅⋅，因为11(1)(1)=12a b a b -+---≥， 所以（*）式可化为1ln(1)2ln [(1)(1)]2b a b -=-+-，即2111[1]21b b b -=+--（）． ………………………………………………14分令1(1)b t t -=>，则211[()]2t t t=+，整理，得4324210t t t -++=，从而32(1)(31)0t t t t ----=，即32310t t t ---=．记32()31,1h t t t t t =--->．2()361h t t t '=--，令()0h t '=得2313t =-（舍），2313t =+，列表：t23(1,1)3+23(1,)3++∞ ()h t '-+ ()h t↘↗所以，()h t 在23(1,1)3+单调减，在23(1,)3++∞单调增，又因为(3)0,(4)0h h <>，所以34t <<，从而45b <<． ………………………………………………16分常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅱ（附加题） 参考答案21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分． A ．选修4—1：几何证明选讲证明：∵ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ， ∴AD =BC ． 从而AD BC =． ∴∠ACD =∠BAC . ……………………………………………………4分 ∵AE 为圆的切线，∴∠EAD =∠ACD . …………………………………8分 ∴∠DAE =∠BAC . ……………………………………………………10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：设(,)P x y 为直线l 上任意一点，在矩阵A 对应的变换下变为直线l '上点(,)P x y '''，则0112x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，化简，得 2,.x x y y x ''=-+⎧⎨'=⎩……………………………………………4分 代入0ax y -=，整理，得(21)0a x ay ''-++=． ……………………………8分 将点（1,1）代入上述方程，解得a =-1． ……………………………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：点P 的直角坐标为(3,3)， …………………………………………………4分直线l 的普通方程为40x y --=， ………………………………………8分从而点P 到直线l 的距离为3342622--+=． …………………………10分 D ．选修4—5：不等式选讲证明：左边-右边=2222()(1)1(1)[(1)1]y y x y x y y yx y x -+--+=--++………4分 =(1)(1)(1)y xy x ---， ………………………………………………………6分 ∵1x ≥，1y ≥，∴0,0,0111y xy x ---≤≥≥． ………………………………………………8分 从而左边-右边≤0，∴22221x x y xy y x y ++++≤． ………………………………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．解：连结OC ．∵平面PAB ⊥平面ABC ，PO ⊥AB ，∴PO ⊥平面ABC ．从而PO ⊥AB ，PO ⊥O C ． ∵AC =BC ，点O 是AB 的中点，∴OC ⊥AB ．且2OA OB OC a ===． ……………2分 如图，建立空间直角坐标系O xyz -． （1）2PA a =，2PO a =． (0,2,0)A a -，(0,2,0)B a ，(2,0,0)C a ， (0,0,2)P a ，22(0,,)22a a D ． …………4分 从而(02,2)PA a a =-- ，， 22(2,)22CD a a a =- ，． ∵223cos ,323PA CD a PA CD a aPA CD ⋅-<>===-⋅ ， ∴异面直线PA 与CD 所成角的余弦值的大小为33． ……………………………6分 （2）设PO h =，则(0,0,)P h ．∵ PO ⊥O C ，OC ⊥AB ，∴OC ⊥平面P AB ． 从而(2,0,0)OC a = 是平面PAB 的一个法向量．不妨设平面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z = ， ∵(02,)PB a h =- ，，(22,0)BC a a =- ，，0,0.n PB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ∴2,.ay hz x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ z yx DO A BCP不妨令x =1，则y =1，2a z h =，则2(1,1,)a n h = ． ………………………8分 由已知，得22525222OC n a OC n a a h ⋅==+，化简，得2223h a =． ∴2222226233PA PO OA a a a =+=+=． …………………………………10分23．解：（1）110； ………………………………………………………………3分（2）集合M 有2n 个子集，不同的有序集合对(A ,B )有2(21)n n -个．若A ⊂≠B ，并设B 中含有*(1,)k k n k ∈N ≤≤个元素，则满足A ⊂≠B 的有序集合对 (A ,B ) 有100(21)232nnn k k k k kn n n n n k k k C C C ===-=-=-∑∑∑个 ． …………………6分 同理，满足B ⊂≠A 的有序集合对(A ,B )有32n n -个． …………………8分 故满足条件的有序集合对(A ,B )的个数为2(21)2(3n n n n n n n ---=+-⨯ ………………………………………………10分。
2021-2022学年江苏省常州市第二中学高一年级下册学期5月学情调研数学试题【含答案】
2021-2022学年江苏省常州市高一下学期5月学情调研数学试题一、单选题1．已知复数12z i =+，其中i 为虚数单位，则复数2z 在复平面内对应的点的坐标为（ ） A ．()4,5- B ．()4,3 C ．()3,4- D ．()5,4C【分析】根据题意得234i z =-+，再分析求解即可. 【详解】根据题意得：()22212i 14i 4i 34i z =+=++=-+， 所以复数2z 在复平面内对应的点的坐标为.()3,4- 故选：C.2．已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，若bcosC +ccosB ＝b ，则△ABC 一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．等腰直角三角形 D ．直角三角形A【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理的应用求出结果. 【详解】解：△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ， 由bcosC +ccosB ＝b ，根据正弦定理：sinBcosC +sinCcosB ＝sinB ， 整理得sin （B +C ）＝sinA ＝sinB ， 故a ＝b ，则△ABC 一定是等腰三角形. 故选：A.本题考查的知识要点：正弦定理和三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.3．已知向量()()1,2,4,a b k ==，若a 与b 垂直，则a 与a b +夹角的余弦值为（ ）A B ．34C D ．45A【分析】利用垂直向量的坐标表示求解k ，进而得到a b +的坐标，利用向量数量积的坐标表示求解夹角的余弦值即可.【详解】解：因为a 与b 垂直，故1420a b k ⋅=⨯+=，解得2k =-，则(4,2)b =-, (5,0)a b +=，设a 与a b +夹角为θ，则22()55cos 5125a ab a a bθ⋅+===⋅++⨯. 故选：A.4．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB AC AA ===，2BC =，点D 为BC 的中点，则异面直线AD 与1A C 所成的角为A ．2π B ．3π C ．4π D ．6πB【分析】取11B C 的中点1D ，连结11A D ,这样求异面直线AD 与1A C 所成的角就转化成求11CA D ∠的大小．【详解】取11B C 的中点1D ，连结111A D CD 、,在直三棱柱111ABC A B C -，点D 为BC 的中点,11AA DD ∴= 且11AA DD ，11AD A D ∴且11AD A D =，所以11CA D ∠就是异面直线AD 与1A C 所成的角．A 2B AC ==2BC =可以求出111AD A D ==，在11Rt CC D ∆中，由勾股定理可求出13CD ，在1Rt AAC ∆中，由勾股定理可求出12AC =，显然11A D C ∆是直角三角形，11113sin CD CA D AC ∠=,所以113CA D π∠=，因此本题选B.本题考查了异面直线所成角的问题，解决的关键转化成相交线所成的角，但要注意异面直线所成角的范围是(0,]2π．5．已知α为锐角，且sin sin 36ππαα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan α=（ ）A 3B ．23C 6D 63B【分析】运用两角和与差的正弦公式和同角的商数关系，计算即可得到所求值【详解】因为sin sin 36ππαα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1331sin cos sin cos 2222αααα+=-，所以()()31cos 31sin αα+=-，所以31tan 2331α+==+-. 故选：B6．已知某圆锥的的底面半径为2，侧面积是底面积的3倍.将该圆锥切割成一个正四棱锥，且四棱锥的顶点和圆锥的顶点重合，四棱锥的底面是圆锥底面的内接正方形，则该四棱锥的体积为（ ） A ．1623B ．2023C ．2823D ．3223D【分析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l .利用侧面积是底面积的3倍求出36l r ==，再求出正四棱锥的高42OP =，和底面积ABCD S ，即可求出该四棱锥的体积. 【详解】如图示，设圆锥的底面半径为r ，母线长为l .O 为底面圆的圆心，ABCD 为底面的一个圆内接正方形，OP 为圆锥的高.由题意可得：23rl r ππ=，解得：36l r ==，所以22226242OP l r =-=-=. 而()2228ABCD S AB BC =⨯==.所以该四棱锥的体积为11322842333ABCD V S OP =⨯=⨯⨯=. 故选：D7．如图，已知平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 的直线与,AB AD 所在直线分别交于点M ，N ，满足,,(0,0)AB mAM AN nAD m n ==>>，若13mn =，则mn 的值为（ ）A ．23B ．34C ．45D ．56B【分析】用向量,AM AN 表示AO ，再利用点M ，O ，N 共线列式计算作答. 【详解】因平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，则1122AO AB AD =+， 而,,(0,0)AB mAM AN nAD m n ==>>，于是得122m AO AM AN n=+，又点M ，O ，N 共线， 因此，1122m n +=，即12mn n +=，又13mn =，解得12,23m n ==， 所以34m n =. 故选：B8．在长方体1111ABCD A B C D -中，直线1AC 与平面ABCD 所成角为α，与平面11ABB A 所成角为β，与平面11ADD A 所成角为γ，若1tan 2α=，1tan 3β=，tan γ=（ ） A ．6 B ．16CDD【分析】根据题意得1C AC α∠=，11C AB β∠=，11C AD γ∠=，设11C B a =，11A B b =，1CC c =，根据1tan 2α=，1tan 3β=，可以得到2217a b =，2227c b =，而tan γ=再分析求解即可.【详解】根据题意，画出如下示意图：根据长方体的性质，1CC ⊥平面ABCD ，所以1C AC α∠=，11C B ⊥平面11ABB A ，所以11C AB β∠=，11C D ⊥平面11ADD A ，所以11C AD γ∠=，所以11tan 2CC AC α==，1111tan 3C B AB β==，111tan C D AD γ=，设11C B a =，11A B b =，1CC c =，所以AC =12=，即2224c a b =+，又1AB ==13=，即2229a b c =+，又1AD所以111tan C D AD γ=，联立22222249c a b a b c ⎧=+⎨=+⎩，解得22221727a b c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以222221tan 31277b b ac b b γ===++.故选：D.二、多选题9．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β，γ是三个两两不重合的平面，则下列命题正确的是A ．若m α⊥，n β⊥，//αβ，则//m nB ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβC ．若//m β，βn//，,m n α⊂，则//αβD ．若n ⊂α，n β⊥，则αβ⊥AD【分析】A 利用线面垂直的性质判断；B 利用面面关系来判断；C 利用面面平行的判定定理来判断；D 利用面面垂直的判定定理来判断.【详解】解：对A ：若m α⊥，//αβ，则m β⊥，又n β⊥，所以//m n ，故正确； 对B ：若αγ⊥，βγ⊥，则α与β可能平行，也可能相交，故错误；对C ：若//m β，βn//，,m n α⊂，由于没有强调m 与n 相交，故不能推出//αβ，故错误；对D ：若n ⊂α，n β⊥，根据面面垂直的判定定理，可得αβ⊥，故正确. 故选：AD.本题考查线面面面平行与垂直的判定和性质，是基础题. 10．已知,αβ满足π0π2αβ<<<<，且253sin 5αβ==-，则（ ）A ．αβπ+<B ．2πβα-<C ．20βα-=D ．tan2tan20αβ+>BCD【分析】根据平方关系求出cos ,sin αβ，再根据两角和的正弦公式即可判断A ；根据两角差的余弦公式即可判断B ；根据()2βαβαα-=--结合两角差的正弦公式即可判断C ；根据二倍角的正切公式即可判断D.【详解】解：因为π0π2αβ<<<<，且3sin 5αβ==-，所以4cos 5αβ==，322ππαβ<+<， 则()34sin 55αβ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭ 所以32ππαβ<+<，故A 错误； 由π0π2αβ<<<<，得0βαπ<-<， ()34cos 55βα-=-=， 所以02πβα<-<，则2πβα-<，故B 正确；由02πβα<-<，02πα<<，得222ππβα-<-<，()sin βα-=()()0s i 2sin n βαβαα-=--==⎡⎤⎣⎦， 所以20βα-=，故C 正确； 因为sin sin 4tan 2,tan cos cos 3αβαβαβ====-， 所以2282tan 442tan 243tan2,tan2161tan 1431tan 719αβαβαβ-===-===----， 故42444tan2tan203721αβ+=-+=>，故D 正确. 故选：BCD.11．三棱锥P ABC -中，已知PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，且1PA AC BC ===，则下列说法正确的有（ ） A ．AC PB ⊥B ．BC ⊥平面PACC ．二面角C PB A --的大小为60︒D ．三棱锥的外接球表面积为3πBCD【分析】用反证法证明A 错误，由线面垂直的判定定理的性质定理证明B 正确，作出二面角的平面角，并计算后判断C ，确定外接球的直径（半径）计算出表面积判断D ． 【详解】PA ⊥平面ABC ，,,AC BC AB ⊂平面ABC ，则,,PA AB PA AC PA BC ⊥⊥⊥， 若AC PB ⊥，PA PB P =，,PA PB ⊂平面PAB ，则AC ⊥平面PAB ，而AB 平面PAB ，所以AC AB ⊥，与AC BC ⊥矛盾，A 错； 由AC BC ⊥，PA BC ⊥，PAAC A =，,PA AC ⊂平面PAC 得BC ⊥平面PAC ，B 正确；作AE PB ⊥于E ，PF PC ⊥于F ，连接EF ，如图，由BC ⊥平面PAC ，AF ⊂平面PAC ，得AF BC ⊥，又PC BC C ⋂=，,PC BC ⊂平面PBC ，所以AF ⊥平面PBC ，,EF PB ⊂面PBC ，所以AF EF ⊥，⊥AF PB ， AE AF A ⋂=，,AE AF ⊂平面AEF ，所以PB ⊥平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以PB EF ⊥，所以AEF ∠是二面角C PB A --的平面角，因为1PA AC BC ===，所以22AF =，2AB =，126312PA AB AE PB ⨯⨯===+， AEF 中，232sin 263AF AEF AE ∠===，60AEF ∠=︒，C 正确； 由上面证明知PB 是三棱锥P ABC -外接球的直径，3PB =，所以球表面积为2432PB S ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，D 正确．故选：BCD ．12．如图，正方形1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 有两个动点E ，F ，且2EF 则下列结论正确的是（ ）A ．AC BE ⊥B ．异面直线,AE BF 所成角为定值C ．直线AB 与平面BEF 所成角为定值D ．以ABEF 为顶点的四面体的体积不随EF 位置的变化而变化 ACD【分析】A.连接BD 交AC 于O ，连接OE ，由正方体特征易证AC ⊥平面11BB D D 判断；B.易证EFBO 是平行四边形，得到//OE BF ，则OEA ∠是异面直线,AE BF 所成的角求解判断；C.由AC ⊥平面11BB D D ，得到OBA ∠是直线AB 与平面BEF 所成的角求解判断；D.由四面体的体积为11132A BEF V EF BB OA -=⋅⋅⋅⋅判断. 【详解】如图所示：连接BD 交AC 于O ，连接OE ，由正方体特征知：1,AC BD AC BB ⊥⊥，且1BD BB B ⋂=，则AC ⊥平面11BB D D ，所以AC BE ⊥，故A 正确；因为//,EF OB EF OB =，所以EFBO 是平行四边形，则//OE BF ，所以OEA ∠是异面直线,AE BF 所成的角，又AC ⊥平面11BB D D ，则tan OAOEA OE∠=，因为OE 变化，则OEA ∠变化，故B 错误；由AC ⊥平面11BB D D ，得OBA ∠是直线AB 与平面BEF 所成的角，且45OBA ∠=为定值，故C 正确；以ABEF 为顶点的四面体的体积为1111332A BEF BEFV S h EF BB OA -==⋅⋅⋅⋅ 为定值，故正确； 故选：ACD 三、填空题13．若i 为虚数单位，且复数z 满足()1i 3i z +=-，则复数z 的模是________. 5【分析】根据复数代数形式的除法运算法则化简复数z ，再根据复数模的计算公式计算可得；【详解】解：由()1i 3i z +=-，得()()()()3i 1i 3i 24i12i 1i 1i 1i 2z ----====-++-， ∴()22125z =+-=. 故514．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其对勾股定理的论述比西方早一千多年.其中有这样一个问题：“今有勾三步，股四步，间勾中容方几何？"其意思为：今有直角三角形ABC ，勾AC （短直角边）长3步，股BC （长直角边）长为4步，问该直角三角形能容纳的正方形(,,CDEF D E F 分别在边,,CB BA AC 上）边长为多少？在求得正方形CDEF 的边长后，可进一步求得BAD ∠的正切值为___________.1637【分析】利用三角形相似求出正方形边长，再利用DAB BAC DAC ∠=∠-∠及两角差的正切公式，即可求解.【详解】设正方形的边长为x ，则,4DE EF CD x BD x ====-， 由BDEBCA ，可得BD DEBC AC，即443x x -=，解得127x =， 因为44tan ,tan 37BC DC BAC DAC AC AC ∠==∠==，所以441637tan tan()4437137DAB BAC DAC -∠=∠-∠==+⨯. 故答案为.163715．已知正三棱柱111ABC A B C -，底面正三角形ABC 的边长为2，侧棱1AA 的长为2，则点1B 到平面1A BC 的距离为___________. 【分析】根据题意得1111B A BC C A BB V V --=，再分析求解即可.【详解】根据题意作出如下示意图，取AB 的中点为D ，连接CD ， 因为正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，所以CD AB ⊥，1CD AA ⊥， 又1AB AA A ⋂=，所以CD ⊥平面11ABB A ，设点1B 到平面1A BC 的距离为：h ，所以1111B A BC C A BB V V --=，即1111133A BC A BB S h S CD ⨯⨯=⨯⨯△△，因为CD =1112222A BB S =⨯⨯=△，在1A BC中，1AC =，1A B =2BC =， 所以1A BC 中边BC，所以1122=⨯=A BC S △所以111A BB A BC S CD h S ⨯==△△故答案为四、双空题16．已知一个底面边长为33的正三棱锥，则此三棱锥的侧面与底面所成三面角的余弦值为___________，此三棱锥内切球的半径为___________.6305-【分析】设顶点P 在底面ABC 内的射影为O ，得到O 为底面ABC 的重心，取AB 的中点D ，连接,OD PD ，证得PDO ∠为三棱锥的侧面与底面所成三面角的平面角，分别求得,OD OC 的长，得到,PO PD 的长，在直角POD 中，求得6cos PDO ∠=棱锥的表面和体积，结合13S r V ⋅=，即可求得内切球的半径.【详解】如图所示，正三棱锥P ABC -，底面边长为33， 设顶点P 在底面ABC 内的射影为O ，则O 为底面ABC 的重心， 取AB 的中点D ，连接,OD PD ，则,OD AB PD AB ⊥⊥， 所以PDO ∠为三棱锥的侧面与底面所成二面角的平面角， 因为121,233OD CD OC CD ====，在直角POC △中，因为2,3OC PC ==，可得225PO PC OC - 在直角POD 中，可得2222(5)16PD PO OD +=+ 在直角POD 中，可得6cos 6OD PDO PD ∠== 又由112363222PABSAB PD =⋅=⨯=23(23)33ABCS ==所以正三棱锥P ABC -的表面积为39233PABABCS S S=+=+表面积，正三棱锥P ABC -的体积为113351533ABCV SPO =⋅=⨯⨯=，设正三棱锥P ABC -的内切球的半径为r ， 则1111133333PABPACPBCABCS r S r S r S r S r V ⋅+⋅+⋅+⋅=⋅=表面积， 所以内切球的半径为33151530559233323V r S -====++表面积.故66；3055-.五、解答题17．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1AD 的中点，N 是1DC 的中点.(1)求证：MN 平面ABCD ；(2)求证.11D B B C ⊥ (1)见解析 (2)见解析【分析】（1）连接1,AC D C ，易得MN AC ∥，根据线面平行的判定定理即可得证； （2）根据正方体的结构特征可得11BC B C ⊥，11C D ⊥平面11BCC B ，则有111C D B C ⊥，再根据线面垂直的判定定理可得1B C ⊥平面11BC D ，再根据线面垂直的性质即可得证.【详解】(1)证明：连接1,AC D C ， 则1DC 与1CD 互相平分，因为M 是1AD 的中点，N 是1DC 的中点， 所以点N 为1D C 的中点， 所以MN AC ∥，又AC ⊂平面ABCD ，MN ⊄平面ABCD ， 所以MN平面ABCD ；(2)证明：连接111,,BD BC B C ， 在正方体1111ABCD A B C D -中， 11BC B C ⊥，11C D ⊥平面11BCC B ，因为1B C ⊂平面11BCC B ， 所以111C D B C ⊥，又1111C D BC C ⋂=，111,C BC D ⊂平面11BC D ， 所以1B C ⊥平面11BC D ， 又1BC ⊂平面11BC D ， 所以11D B B C ⊥.18．已知复数12cos isin ,cos isin ,,z z ααββαβ=+=-均为锐角，且1225z z -=.(1)求()cos αβ+的值；(2)若4cos 5α=，求cos β的值. (1)35 (2)2425【分析】（1）先求出()()12cos cos i sin sin z z αβαβ=-+-+，利用12z z -=即可求出()cos αβ+的值；（2）利用平方关系求出()4sin 5αβ+=，3sin 5α=，再利用和差角公式即可求得.【详解】(1)因为复数12cos isin ,cos isin z z ααββ=+=-，所以()()12cos cos i sin sin z z αβαβ=-+-+.所以12z z =-因为12z z -==.()3cos 5αβ+=(2)因为,αβ均为锐角，所以0αβ<+<π，所以()4sin 5αβ+==.因为α为锐角，4cos 5α=，所以sin 53α==.所以()cos cos +βαβα=-⎡⎤⎣⎦()()cos +cos sin +sin αβααβα=+43345555=⨯+⨯ 2425=. 19．在梯形ABCD 中，,2,1,120,,AB CD AB BC CD BCD P Q ===∠=∥分别为线段BC ，CD 上的动点.(1)求BC AB ⋅；(2)若14BP BC =，求AP ； (3)若1,6BP BC DQ DC μμ==，求AP BQ ⋅的最小值；(1)2-(3)43-【分析】（1）根据题意得60ABC ∠=，所以cos BC AB BC AB BC AB =⨯⨯⋅⋅，求解计算即可；（2）根据题意得14AP AB BC =+，所以214B P C A AB ⎛⎫=+ ⎪；（3）根据题意得125536AP BQ μμ=⋅+-，且116μ≤≤，再分析单调性求解即可. 【详解】(1)因为,2,120AB CD AB BC BCD ==∠=∥，所以60ABC ∠=， 所以,180120BC AB ABC =-∠=，所以cos 22cos1202BC AB BC AB BC AB =⨯⨯=⨯⨯=⋅-⋅. (2)由（1）知，2BC AB ⋅=-，因为14BP BC =，所以14AP AB BP AB BC =+=+，所以()222222111111322221146264AP AB AB AB BC BC BC ⎛⎫=+=+⋅+=+⨯-+⨯= ⎪⎝⎭，所以132AP =. (3)因为BP BC μ=，16DQ DC μ=， 则()()()616AP BQ AB BP BC CQ AB BC BC CD μμμ⎛⎫-⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪⎝⎭2611666AB BC AB CD BC CB CD μμμμ--=⋅+⋅++⋅ 261161125221221566236μμμμμμ--⎛⎫=--⨯⨯+⨯+⨯⨯⨯-=+- ⎪⎝⎭， 因为011016μμ<≤⎧⎪⎨<≤⎪⎩，解得116μ≤≤，设()125536f μμμ=+-，116μ≤≤，根据对勾函数的单调性可知，()f μ在1,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，所以当16μ=时，()f μ取得最小值.5254266316f ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭ 20．在ABC 中，角A B C ､､所对的边分别为2,,3a b c A AD π=､､平分BAC ∠，交BC 于点D ，已知2AD =，2b c =.(1)求ABC 的面积S ；(2)若BC 的中点为E ，求DE 的长. (1)932； (2)172. 【分析】（1）利用余弦定理求出cos B ，再利用正弦定理结合角平分线求出边c 即可计算作答.（2）利用（1）的结论直接计算作答. 【详解】(1)在ABC 中，2b c =，23A π=，由余弦定理得：222222222cos 422cos73a b c bc A c c c c π=+-=+-⨯=，即7a c =， 22227cos 27a cb B ac +-==，则221sin 1cos 7B B =-=， 在ABD △中，3BAD π∠=，由正弦定理得：3sin2327sin 217AD BD Bπ⨯===，又()11sin sin 122112sin πsin 22ABD ACDAD BD ADB AD AB DABS BDc CD Sb AD CD ADBAD AC DAC ⋅∠⋅∠=====⋅-∠⋅∠，则227CD BD ==，即有337a BD ==，3c =，所以ABC 的面积2112π93sin 2sin 2232S bc A c ==⨯=. (2)由（1）知，1137222BE BC a ===，所以172DE BE BD =-=. 21．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是菱形，60BAD BPD ∠=∠=︒，2PB PD ==.(1)证明：平面PAC ⊥平面ABCD ；(2)若二面角P BD A --的余弦值为13，求二面角B PA D --的正弦值.(1)证明见解析 (2)223【分析】（1）依据面面垂直判定定理去证明平面PAC ⊥平面ABCD ； （2）建立空间直角坐标系，以向量的方法去求二面角B PA D --的正弦值. 【详解】(1)设ACBD O =，连接PO ，在菱形ABCD 中，O 为BD 中点，且BD AC ⊥， 因为PB PD =，所以BD PO ⊥， 又因为POAC O =，且PO ，AC ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以平面PAC ⊥平面ABCD ；(2)作OM ⊥平面ABCD ，以{},,OA OB OM 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，易知2PB PD BD AB AD =====，则3OA OP =1OB =， 因为OA BD ⊥，OP BD ⊥，所以POA ∠为二面角P BD A --的平面角，所以1cos 3POA ∠=，则326P ⎝⎭，)3,0,0A ，()0,1,0B ，()0,1,0D -，所以()3,1,0AD =--，()3,1,0AB =，2326AP ⎛= ⎝⎭，设平面PAB 的法向量为()111,,m x y z =，由00m AB m AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得1111302326033x y x z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩ 取11z =，则12x =，16y =，所以()2,6,1m =，设平面PAD 的法向量为()222,,n x y z =，由00n AD n AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得2222302326033x y x z ⎧--=⎪⎨-+=⎪⎩ 取21z =，则22x =，26y =-，所以()2,6,1n =-，设二面角B PA D --为θ，则2611cos 3261261m n m nθ⋅-+===++⋅++⋅，又[]0,πθ∈，则222sin 1cos 3θθ=-=. 22．如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，M 为棱AC 的中点.AB ＝BC ，AC ＝2，AA 1＝2.（1）求证：B 1C //平面A 1BM ； （2）求证：AC 1⊥平面A 1BM ；（3）在棱BB 1上是否存在点N ，使得平面AC 1N ⊥平面AA 1C 1C ？如果存在，求此时1BNBB 的值；如果不存在，请说明理由.（1）证明见解析；（2）证明见解析；（2）存在，12.（1）首先连接1AB 与1A B ，两线交于点O ，连接OM ，利用三角形中位线性质得到1//OM B C ，再利用线面平行的判定即可证明1//B C 平面1A BM .（2）首先易证BM ⊥平面11ACC A ，从而得到1BM AC ⊥，根据11AC C A MA ∠=∠和111190AC C C AC A MA C AC ∠+∠=∠+∠=，得到11A M AC ⊥，再利用线面垂直的判定即可证明1AC ⊥平面1A BM . （3）当点N 为1BB 的中点，即112BN BB =时，平面1AC N ⊥平面11AAC C .首先设1AC 的中点为D ，连接DM ，DN ，易证四边形BNDM 为平行四边形，从而得到//BM DN ，DN ⊥平面11ACC A ，再利用面面垂直的判定即可证明平面1AC N ⊥平面11ACC A . 【详解】（1）连接1AB 与1A B ，两线交于点O ，连接OM ，如图所示：在1B AC △中，因为M ，O 分别为AC ，1AB 的中点， 所以1//OM B C ，又因为OM ⊂平面1A BM ，1B C ⊄平面1A BM ， 所以1//B C 平面1A BM .（2）因为侧棱1AA ⊥底面ABC ，BM ⊂平面ABC ， 所以1AA BM ⊥.又因为M 为棱AC 的中点，AB BC =，所以BM AC ⊥. 因为1AA AC A =，1AA ，AC ⊂平面11ACC A ，所以BM ⊥平面11ACC A ，所以1BM AC ⊥. 因为2AC =，所以1AM =.又因为12AA 1RT ACC 和1RT A AM △中，11tan tan 2AC C AMA ∠=∠， 所以11AC C A MA ∠=∠，即111190AC C C AC A MA C AC ∠+∠=∠+∠=， 所以11A M AC ⊥. 因为1BMA M M =，BM ，1A M ⊂平面1A BM ，所以1AC ⊥平面1A BM . （3）当点N 为1BB 的中点，即112BN BB =时，平面1AC N ⊥平面11AAC C . 证明如下：设1AC 的中点为D ，连接DM ，DN ，如图所示：因为D ，M 分别为1AC ，AC 的中点， 所以1//DM CC ，且112DM CC =又因为N 为1BB 的中点，所以//DM BN ，且DM BN =， 所以四边形BNDM 为平行四边形， 所以//BM DN ，由（2）知：BM ⊥平面11ACC A ，所以DN ⊥平面11ACC A . 又因为DN ⊂平面1AC N ， 所以平面1AC N ⊥平面11ACC A .方法点睛：本题考查垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型，属于中档题.（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. （2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. （3）证明线线垂直需转化为证明线面垂直.。
江苏省常州市2013-2014学年高一下学期期末学业水平监测数学试题(WORD版)
4
5
6
7
b1 = 5 − 2t ,公差d = −2 ,其中t ∈ R
1 求实数 t 的值 2 求数列 {bn }的前 n 项和 Tn
18. 小题满分 10 分 常州公交公 为了调整 302 线路发车的时间间隔，在某站点 乘 进行了候车时间的调查， 候车时间的频率分 表和频率分 直方图 候 车 时 间 分钟 频数 4 8 频率 0.2 0.4 y z 0.05 合计 x 1
6.△ABC 中，设角 A,B,C 的 边分别为 a，b，c，若 c=2，b=1，B=30°，则 C=
2x − y ≤ 2
7.若实数 x，y 满足约束条件 x − y ≥ −1 ，则目标函数 z=2x+3y 的最大
x + y ≥1
值为 8.执行如图所示的流程图，输出的 a 的值为 9.设 sn 为 等 比 数 列 {an } 的 前 n 项 和 ， 若 8a2 + a5 = 0 , 则
s5 = s2
10.△ABC 中，设角 A,B,C 的 边分别为 a，b，c，若 a，b，c 成等比数列，且 c=2a，则 cosB= 11.把一个体 为 27cm3 表面涂有红色油漆的 方体木块锯成 27 个体 为 1cm3 的小 方体木块， 从中任取 1 块，则取出的小 方体木块恰有两面涂油漆的概率为
1
12.若 x , y ∈ R , 且 x +
y = 1. 则 9 x + 3 y 的最小值为 2
13.已知函数 f ( x ) = x 2 + ax + b( a ,b ∈ R ) 的值域为 [− 1,+∞ ) ，若关于 x 的不等式 f ( x ) p c 的解集 为 (t ,t + 3) ，则实数 c 的值为 14.数列 {an }中，如果 在非零常数 T，使得 an +T = an 周期数列 T 于任意 整数 n 均成立，那么 数列 {an }为
江苏省常州市奔牛高级中学等四校2023-2024学年高一上学期期中质量调研数学试题
当 log2 b = 1时， b = 2, a = 2 ，则 a + b = 4 . 故选：BC. 【点睛】本题考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的性质，属于基础题. 10．ABC
【分析】由
2y
=
5- x x -1
>
0
，结合基本不等式判断
A；由
x
+
y
=
2( x
>
0,
y
>
0)
，结合基本不
答案第41 页，共22 页
D．函数 g(x)
=
f
(x) -
x 2
有三个零点
三、填空题
13．设集合 A = {0,1, 2} ， B = {4,5} ， M = {x x = a + b , a Î A,b Î B} ，集合 M 的真子集的
个数为 ．
14．已知函数
f
(
x)
=
ìlog2
í î
f
(x
x, x > 0
+ 3), x £
(1)当 a > 0 时， xÎ A 是 xÎ B 的充分条件，求实数 a 的取值范围； (2)若 B Í ðR A ，求实数 a 的取值范围.
19．已知函数
f
(x)
=
2x2
+ ax 2x
+1 (a
Î
R)
为奇函数．
(1)当 x Î[1, +¥ ) 时，判断 f ( x) 的单调性并证明；
( ) (2)解不等式 f
0)
.
(1)当 0 < a < b ，且
f
(a) =
f
江苏省盐城市2013-2014学年高一下学期期终考试 数学(
四星高中使用2013/2014学年度第二学期高一年级期终考试数 学 试 题注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 参考公式：柱体体积公式：V Sh =一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．直线30x y -+=在y 轴上的截距为 ▲ ． 2．若角α的终边经过点(3,2)P ，则tan α的值为 ▲ ．3．已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的体积为 ▲ ． 4．已知点)2,1(A ，)5,3(B ，向量()=,6a x ，若a //AB ，则实数x 的值为 ▲ ． 5．过点(2,1)A ，且与直线230x y -+=平行的直线方程为 ▲ ．6．已知向量a 与b 的夹角为120，且||2a =，1||=b ，则=+|2|b a ▲ ． 7．若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且141,8a a ==，则5S = ▲ ． 8．若54)6sin(=+πx ，则=-)3cos(πx ▲ ．9．直线+10x =被圆032:22=--+x y x C 截得的弦长为 ▲ ． 10．设,m n 是两条不同的直线，βα,是两个不重合的平面，给定下列四个命题： ①若n m ⊥，α⊂n ，则α⊥m ； ②若m α⊥，m β⊂，则βα⊥； ③若α⊥m ，α⊥n ，则n m //； ④若α⊂m ，β⊂n ，βα//，则n m //. 其中真命题的序号为 ▲ ．11．在平面直角坐标系xOy 中，若圆C 的圆心在第一象限，圆C 与x 轴相交于(1,0)A 、(3,0)B 两点，且与直线01=+-y x 相切，则圆C 的标准方程为 ▲ ．BA BC ⋅= ▲ ．13．已知点()5,0A -，()1,3B --，若圆()2220x y r r +=>上恰有两点M ，N ，使得M AB ∆和NAB ∆ 的面积均为5，则r 的取值范围是 ▲ ．14．若单调递增数列{}n a 满足1236n n n a a a n ++++=-，且2112a a =，则1a 的取值范围是 ▲ . 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，90ABC ∠=，PA ⊥平面ABC ，E ,F 分别为PB ,PC 的中点. （1）求证：//EF 平面ABC ； （2）求证：平面AEF ⊥平面PAB .16．（本小题满分14分）已知函数()2sin cos f x x x x +，x R ∈. （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上的值域. 17．（本小题满分14分）在四边形ABCD 中，已知9=AB ，6=BC ，PD CP 2=． （1）若四边形ABCD 是矩形，求BP AP ⋅的值；（2）若四边形ABCD 是平行四边形，且6=⋅BP AP ，求AB 与AD 夹角的余弦值．A18．（本小题满分16分）为绘制海底地貌图，测量海底两点C ，D 间的距离，海底探测仪沿水平方向在A ，B 两点进行测量，A ，B ，C ，D 在同一个铅垂平面内. 海底探测仪测得30,BAC ∠=45,DAC ∠=45,ABD ∠=75,DBC ∠=A ，B 两点的距离为3海里.（1）求ABD ∆的面积； （2）求C ，D 之间的距离. 19．（本小题满分16分）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且22n n a S An Bn C +=++. （1）当0A B ==，1C =时，求n a ； （2）若数列{}n a 为等差数列，且1A =，2C =-. ①求n a ；②设n b ，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求60T 的值.DCBA20．（本小题满分16分）已知圆O 的方程为1322=+y x ，直线:l 00+13x x y y =，设点00(,)A x y ． （1）若点A 在圆O 外，试判断直线l 与圆O 的位置关系；（2）若点A 在圆O 上，且02x =，00y >，过点A 作直线,AM AN 分别交圆O 于,M N 两点，且直线AM 和AN 的斜率互为相反数；① 若直线AM 过点O ，求tan MAN ∠的值；② 试问：不论直线AM 的斜率怎样变化，直线MN 的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．四星高中使用高一数学参考答案一、填空题：每小题5分，共计70分. 1．3 2．233．2π 4．4 5．230x y --= 6．2 7． 31 8．549． 10．②③ 11． 2)1()2(22=-+-y x 12． 13．()15， 14．123(,)52-- 二、解答题：本大题共6小题,共计90分.15．证明:（1）在PBC ∆中，F E , 分别为PC PB ,的中点BC EF //∴………………3分又⊂BC 平面ABC ，⊄EF 平面ABC //EF ∴平面ABC …………………………………7分（2）由条件，⊥PA 平面ABC ，⊂BC 平面ABCBC PA ⊥∴︒=∠90ABC ，即BC AB ⊥，………………………………………………10分 由//EF BC ，∴EF AB ⊥，EF PA ⊥又A AB PA =⋂，AB PA ,都在平面PAB 内 EF ∴⊥平面PAB又⊂EF 平面AEF ∴平面AEF ⊥平面PAB ………………………………………………14分16．解: （1）由条件可得sin22sin(2)3y x x x π+=+，……………………………4分（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,0πx ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+∴65,332πππx ，……………………………………………………8分 当12π=x 时，函数y 取得最大值为2，当4π=x 时，函数y 取得最小值为1∴函数y 的值域为[]2,1…………………………………………………………………………14分17．解：（1）因为四边形ABCD 是矩形，所以0=⋅由PD CP 2=得：DC DP 31=，3232-==．………………………………3分 ∴ BP AP ⋅)()(CP BC DP AD +⋅+=)32()31(-⋅+=229231DC DC AD AD -⋅-=18819236=⨯-=．………………………………7分（2）由题意，DP AD AP +=AB AD DC AD 3131+=+=3232-=+=+=∴ )32()31(AB AD AB AD BP AP -⋅+=⋅221239AD AB AD AB =-⋅-136183AB AD =-⋅-1183AB AD =-⋅………………………………………………10分 又6=⋅BP AP ，∴ 11863AB AD -⋅=， ∴ 36AB AD ⋅=．又θθθcos 54cos 69=⨯⨯==⋅AD AB ∴ 54cos 36θ=，即2cos 3θ=．（利用坐标法求解，同样给分）………………………14分 18．解：（1）如图所示,在ABD ∆中︒=︒+︒=∠+∠=∠754530DAC BAC BAD ︒=∠∴60ADB由正弦定理可得，ABD AD ADB AB ∠=∠sin sin ，260sin 45sin 3=︒︒=AD …………………4分则ABD ∆的面积11sin 22S AB AD BAD =⋅∠==（平方海里）…………8分 （2）︒=︒+︒=∠+∠=∠1207545DBC ABD ABC ，︒=∠=∠30BCA BAC3==∴AB BC 3=∴AC …………………………………………………………………12分在ACD ∆中，由余弦定理得，5cos 2222=∠⋅-+=DAC AD AC AD AC CD即5=CD （海里）答：ABD ∆的面积为433+平方海里，C ，D 间的距离为5海里.……………………16分 19．解：(1)由题意得，21n n a S +=，∴1121(2)n n a S n --+=≥，两式相减，得123n n a a -=，……………………………………………………………………3分 又当1n =时，有131a =，即113a =，∴数列{}n a 为等比数列，∴112=33n n a -⎛⎫⎪⎝⎭.………………………………………………5分（2）①Q 数列{}n a 为等差数列，由通项公式与求和公式，得2211113222(1)()()222222n n d d d da S a n d n a n n a n a d +=+-++-=+++-， Q 1,2A C ==-， ∴12d=，12a d -=-，∴2d =，11a =，∴21n a n =-.………10分②n b=12=…………………………………………………………………………13分则111=+=12122n T n ⎛⎛ -⎝⎝， ∴6011115==1=2121111T ⎛⎛⎫-- ⎪ ⎝⎭⎝……………………………………………………16分20．解：（1）当点A 在圆O 外时，得132020>+y x ，即132020>+y x∴ 圆心到直线l 的距离r yx d =<+=1313202，∴ 直线l 与圆O 相交．…………………………………………………………………………5分 （2）①由点A 在圆O 上，且02x =，00y >，得03y =，即)3,2(A ． 记直线AM 的倾斜角为α，则3tan 2α=，…………………………………………………7分 又∵ 0AM AN k k +=， ∴ 直线AN 的倾斜角为πα-， ∴22tan 312tan tan(2)tan 291tan 514MAN απααα∠=-=-=-=-=--．…………10分 ②记直线AM 的斜率为k ，则直线AM 的方程为：32y kx k =+-．将32y kx k =+-代入圆O 的方程得：22(12)33kx x k +-+=， 化简得：22232(1)2(32)(130)k x k k x k ++-+-=-，∵ 2是方程的一个根， ∴ 2232)2(131M k x k -=+-， ∴226221M x k k k --+=， 由题意知：k k AN-=，同理可得，226221N x k k k +-+=，…………………………………13分 ∴ 32(32)4M N M N MN MN M N M N M Ny y kx k kx k x x k k x x x x x x -+---+++-===⋅---， ∴ 2222222222228421222362621116262111MN k k k k k k k k k k k k k k k k k k --+-+++---+-=⋅=⋅=--+-+++， ∴ 不论直线AM 的斜率怎样变化，直线MN 的斜率总为定值23．………………………16分。
XXX2014-2015学年下学期高一年级期中数学试卷。后有答案
XXX2014-2015学年下学期高一年级期中数学试卷。
后有答案XXX2014-2015学年下学期高一年级期中数学试卷试卷分为两卷，卷(I)100分，卷(II)50分，共计150分。
考试时间：120分钟。
卷(I)一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.若实数a，b满足a>b，则下列不等式一定成立的是（）A。
a^2<b^2B。
1/a<1/bC。
a^2>b^2D。
a^3>b^32.等差数列{an}中，若a2=1，a4=5，则{an}的前5项和S5=（）A。
7B。
15C。
20D。
253.不等式（1/x-1）>1的解集为（）A。
{x>1}B。
{x<1}C。
{x>2}D。
{x<2}4.△ABC中，三边a，b，c的对角为A，B，C，若B=45°，b=23，c=32，则C=（）A。
60°或120°B。
30°或150°C。
60°D。
30°5.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-1（n∈N*），则a5=（）A。
32B。
31C。
16D。
156.等差数列{an}中，an=6-2n，等比数列{bn}中，b5=a5，b7=a7，则b6=（）A。
42B。
-42C。
±42D。
无法确定7.△ABC中，若∠ABC=π/2，AB=2，BC=3，则sin∠BAC=（）A。
4/5B。
3/10C。
5/10D。
1/108.计算机是将信息转换成二进制进行处理的，所谓二进制即“逢二进一”，如（1101）2表示二进制的数，将它转换成十进制数的形式是1×23+1×22+0×21+1×2=13，那么将二进制数（11.1）2转换成十进制数是（）{共9位}A。
512B。
511C。
256D。
2559.不等式①x2+3>3x；②a2+b2≥2(a-b-1)；③ba+≥2，其中恒成立的是（）A。
职高一年级第二学期期中考试题及复习资料
高一语文试题（本试卷共100分，考试时间120分钟）一、基础知识应用（30分）选择题（每小题2分，共20分）1、下列词语中，加点注音完全有错的一组是（）A、徘徊（ái）宽宥(yòu) 嗥(háo)叫褶(ě)皱B、鞭笞(ī) 慰藉（è）不暗(àn)世事攀援(pān)C、饥肠辘辘（lù) 吝(lìn)啬(sè) 废墟(xū) 雾霭（ái）D、遒(qíu)劲栖(qī)息冠冕(ǎn) 睿智（ì）2、下列词语中，有错别字的一组是（）A、隔膜笨拙炫耀良师益友B、攀援援助橡树凌宵花C、崎岖涟漪伟岸巍峨D、馈赠白皙胆怯欣喜若狂3、下列句子中，没有语病的一句是（）A.校区总体设计工作，融会了各派的建筑风格，得到大家的充分肯定。
B.展览馆里陈列着各色各样的孔繁森同志生前使用过的东西。
C.大批灾区儿童重新走进了宽敞明亮的教室，坐上了暂新的座椅，广大家长对此十分满意。
D.降价促销是一种低层次的竞争手段，通过降价来促销，有如饮鸩止渴。
4、下列句子中，加点字的解释正确的一项是（）A、钟鼓馔玉（馔玉，精美的玉）洵美且异（洵，确实）B、君子所依(依，乘) 我戍未定（戍，防守）C、薇亦作止（作，出生）靡室靡家（靡，没有）D、忧心孔疚（孔，非常）自牧归荑（荑‘野花）5. 在下面句子横线处依次填入的词语，最恰当的一组是（）你们一个非常的日子，具有特定意义的花，一个特殊的场合，我出了一道即兴的教育话题。
A.置于选择了在给B. 选择了在置于给C. 在选择了置于给D. 在给置于选择了6. 下列各句中，标点符号使用不正确的一句是（）A.那时候刚好下着雨，柏油路面是冷冷的，还闪烁着青、黄、红颜色的灯火。
B.为什么呢?只带一把雨伞！C.万物生存、繁殖、传宗接代，但只有人才能够爱。
D.“去哪里？你！”他问道。
7、下列各句中，加点的词语使用不恰当的一句是（）A.随着一阵拔尖的刹车声，樱子的一生轻轻地飞了起来，缓缓地，飘落在湿冷的街面，好像一只夜晚的蝴蝶。
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江苏省常州高级中学
2013~2014学年第二学期期中质量检查高一年级
数学试卷
命题人：吴莉娜 2014.4
说明： 1. 以下题目的答案请全部填写在答卷纸上。
2. 本卷总分160分，考试时间120分钟。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
1. 直线x −√3y +1=0的倾斜角为。
2. 在△ABC 中，A ，B ，C 成等差数列，且b=2，则△ABC 的外接圆半径R=。
3. 已知a ⃗，b ⃗⃗的夹角为120°，|a ⃗|=1，|b ⃗⃗|=3，则|5a ⃗−b
⃗⃗|=。
4. 设等差数列*a n +的前n 项和为S n ，若S 3=9，S 6=36，则a 7+a 8+a 9等于 。
5. 经过点（4，-3），且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 。
6. 在△ABC 中，若lgsinA-lgcosB-lgsinC=lg2，则△ABC 的形状是。
7. 在平行四边形ABCD 中，AD=1，∠BAD=60°，E 为CD 的中点，若AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1，则AB 的长为。
8. 一艘船上午9:30在A 处，测得灯塔S 在它的北偏东30°，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10:00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°，且与它相距8√2海里，则此船的航速是
海里/小时。
9. 正奇数集合{1，3，5，…+，现在由小到大按第n 组有（2n-1）个奇数进行分组：
{1}，
{3，5，7}， {9，11，13，15，17}，……
（第一组）
（第二组）
（第三组）
则2009位于第
组中。
10. 已知正项等比数列{a n }满足：a 7=a 6+2a 5，若存在两项a m ，a n ，使得√a m a n =4a 1，则1
m
+4n
的最小值为。
11. 若正数a ，b 满足ab=a+b+3，且不等式m 2+6m≤ab 恒成立，则实数m 的取值范围是。
12. 已知{a n }是公差不为0的等差数列，{b n }是等比数列，其中a 1=2，b 1=1，a 2=b 2，2a 4=b 3，
且存在常数α，β，使得a n=logαb n+β对每一个正整数n都成立，则αβ= 。
13. 设S={x|x=-2n-3，n∈N+}，T={y|y=-12n-5，n∈N+}，等差数列{a n}的任一项a n∈S∩T，其中a1是S∩T中的最大数，-265<a10<-125，则数列{a n}的通项公式为。
14. 已知数列{a n}的通项公式为a n=-n+p，数列{b n}的通项公式为b n=2n-5，设c n=
{a n，a n≤b n
b n，a n>b n
，若在数列{c n}中，C8>C n（n∈N+，n≠），则实数p的取值范围是。
二、解答题：本大题共6小题，满分90分，解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. （本小题满分14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m⃗⃗⃗=
(2cos C
2，−sinC)，n⃗⃗=(cos C
2
，2sinC)，且m⃗⃗⃗⊥n⃗⃗。
（1）求角C的大小；
（2）若a2=2b2+c2，求tanA的值。
16. （本小题满分14分）已知直线l：kx-y+1+2k=0（k∈R）。
（1）求证：无论k取何值，直线l恒过定点；
（2）若直线l交x轴的负半轴于A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S，求S的最小值，并求此直线l的方程。
17. （本小题满分14分）已知数列{a n}各项均为正数，其前n项各为S n，点（a n，S n）在曲线(x+1)2=4y上。
（1）求{a n}的通项公式；
（2）设数列{b n}满足b1=3，令b n+1=a bn，求数列{b n}的前n项和T n。
18. （本小题满分16分）在△ABC中，∠A=π
3
，BC=3，点D在BD边上。
（1）若AD为∠A的平分线，且BD=1，求△ABC的面积；
（2）若AD为△ABC的中线，且AD=3√3
2
，求证：△ABC为等边三角形。
19. （本小题满分16分）如图，在C城周边已有两条公路l1，l2在点O处交汇，且它们的夹角为75°。
已知OC=(√2+√6)km，OC与公路l1的夹角为45°。
现规划在公路l1，l2上分别选择A，B两处为交汇点（异于点O）直接修建一条公路通过C城。
设OA=xkm，OB=ykm。
（1）求y关于x的函数关系式并指出它的定义域；
（2）试确定点A，B的位置，使△OAB的面积最小。
l1
l2 O
C
A B
20. （本小题满分16分）
数列{a n }的前n 项各为S n ，存在常数A ，B ，C ，使得a n +S n =An 2+Bn+C 对任意正整数n 都成立。
（1） 若数列{a n }为等差数列，求证：3A-B+C=0；
（2） 若A=−1
2
，B=−3
2
，C=1，设b n =a n +n ，数量{nb n }的前n 项和为T n ，求证：T n <2；
（3） 若C=0，数列{a n }是首项为1的等差数列，设P =∑√1+
a i
2+
a i+1
22014i<1，求不超过P 的
最大整数的值。
（注：∑x i =x 1+x 2+⋯+x n n i<1）
江苏省常州高级中学
2013~2014学年第二学期期中质量检查高一年级
数学附加卷
命题人：吴莉娜 2014.4
说明： 本卷总分40分，考试时间30分钟；以下题目的答案请全部填写在答卷纸上。
一、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
1. 已知数列{a n }的前n 项和S n =3n -2，则通项公式a n = 。
2. 若不等式
x 236
+
y 24
≥
xy k
对于任意正实数x ，y 总成立，则实数k 的取值范围是。
3. 在锐角三角形ABC ，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b
a
+a b =6cosC ，则tanC tanA
+
tanC tanB
=。
4. 已知数列{a n }满足：a 1=32m ;1
（m ∈N +），a n:1={2a n ，（a n ≤3)
a n −3，（a n >3），则数列{a n }的前
4m+4项的和S 4m+4=。
二、解答题：本大题共1小题，满分20分，解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤。
5. （本题满分20分）数列{a n }中，a 1=1
2，a n:1=
na n (n:1)(na n :1)
（n ∈N +），其前n 项和为S n 。
（1）设b n =
1na n
，求证：数列{b n }是等差数列；
（2）求S n 的表达式； （3）求证：∑(1−S i
S i+1n i<1)
S <2(√2−1)。