第十一章 傅里叶级数

f ( x)
n 1

(1)n1 2 sin nx n
( x R且x (2k 1) , k )
情况二：设 f (x) 是定义在[– ,]上的函数
周期延拓 注：有相同的傅里叶级数 f ( x) , x [ , )
F ( x)
f ( x 2k ) , 其它
a0 f ( x) an cos nx bn sin nx 2 n 1
x {x | x , f ( x) s( x)}
即：
连续的点以及
满足 f ( x 0) f ( x 0) f ( x) 的间断点
2
例. 设
是周期为2 的周期函数,它在
f ( 0) f ( 0) f ( ) 或 f ( ) 2
的使等号成立的端点
例. 将函数

, x 0 4 f ( x) , 0 x 4
展成傅里叶级数 .
并求

n 1
(1)n 1 . 2n 1
解: 先求傅Baidu Nhomakorabea叶系数

n 1

(1)n1 S( ) f ( ) . 2n 1 2 2 4
注：正弦级数和余弦级数
• 对奇函数 f (x) , 其傅里叶级数为 正弦级数, 它的傅里叶系数为
• 对偶函数 f (x) , 其傅里叶级数为余弦级数 ,
它的傅里叶系数为
情况三：设 f (x) 是定义在[0,]上的函数
2
s ( x)
x 为连续点 x 为间断点
情况二：设 f (x) 是定义在[–l ,l]上的函数
f ( x 0) f ( x 0) , s ( x) 2 f (l 0) f (l 0) , 2
f ( x) ,
x为
x为
(l , l ) (l , l )
连续点
的表达式为 f (x)＝x , 将 f (x) 展成傅里叶级数.
解: 满足收敛定理的条件.
f ( x) 是(-, )的奇函数, 因此
an 0
bn
(n 0 , 1 , 2 , )

0
2

2
f ( x) sin nx d x
2
x cos nx sin nx 2 x sin nx d x n 0 n 0 2 2 cos n (1) n 1 ( n 1 , 2 , 3 , ) n n
间断点
x l
例：设 f ( x) 是以 2 为周期的函数,在 (1,1] 上
f ( x)
2, 1< x 0,
2
x , 0 x 1, x 1 处收敛于（ ）
3 B. 2
则 f ( x) 的傅里叶级数在
A. 1
1 C. 2
D. 2
答案: B
f (1+0) f (1 0) 2 1 3 解： 2 2 2
a0 f ( x) an cos nx bn sin nx 2 n 1
x {x | x , f ( x) s( x)}
即：
( , )
中连续的点以及
f ( x 0) f ( x 0) f ( x) 的间断点以及 2
( , ) 中满足
0
( n 0 , 1 , 2 , )

0

n 1 1 ( 1) 1 cos n 2n 2n

2

4
sin nxdx

故f (x) 的傅里叶级数为:

n 1

n 1 ( 1)
当x ( ,0) (0, ) 时 f ( x)连续,
f (0+0) f (0 0) 当x=0 时 0 f (0) 2 4 当x= 时 f ( +0) f ( 0) 0 f ( ) 2 根据收敛定理可得 f (x) 的傅里叶展开式为:
2n
sin nx
f ( x)
n 1

1 sin(2n 1) x, x ( ,0) (0, ) 2n 1
例. 将函数 数与余弦级数 . 解: 先求余弦级数. 将 则有 作偶延拓 ,
分别展成正弦级
y

1
F ( x)

x 1, x [0, ]
x 1, x [ , 0)
o x
0
2
2
2
( x 1) cos nx d x 0
n ( 1) 1 2 n
11. 第一类曲线积分的计算； 12. 第二类曲线积分的计算； 13. 第一类曲面积分的计算； 14. 第二类曲面积分计算； 15. 高斯公式，向量函数的散度； 16. 斯托克斯公式； 17. 数项级数敛散性判断（含绝对收敛和条件收敛） ； 18. 幂级数的收敛半径，收敛域及和函数； 19. 函数的幂级数展开； 20. 将函数展成以 2 为周期的傅里叶级数； 21. 周期2l的傅里叶级数的和函数。
再问S (8)呢?
S (8) S (0)
f (0+0) f (0 0) 0 2 1 2 2
1. 二元函数在某点处连续，偏导数存在的判定
1) 函数 f ( x, y) 在 ( x0 , y0 )连续:
( x , y )( x0 , y0 )
lim
f ( x, y) f ( x0 , y0 )
x 0 y 0
故f 在 (0,0) 连续;
偏导存在性:
法一:
f x(0, 0) lim f (x, 0) f (0, 0) 00 lim =0 x 0 x x
x 0

2 x2 ( x 1) d x x 2 0
故f (x) 的傅里叶级数为: 1 2 n 2 ( 1) 1 cos nx 2 n 1 n
y

1
o x
又当x [0, ) 时F ( x) f ( x)连续,
F ( +0) F ( 0) 当x= 时 1 f ( ) 2 根据收敛定理可得 f (x) 的傅里叶展开式为:
f ( x)

n 1
2

n 1 ( 1) ( 1) sin nx x (0, ) n
注： • 一定要分清三个概念:傅里叶级数、和函数、 傅里叶展开式 • 若f(x)是奇偶函数，求傅里叶系数一定要利 用定积分的对称性结论简化计算 • 求s(x)是通过f(x)的表达式来求的 • 将 f (x) 展成傅里叶级数,一定要注意x的取 值范围： （1）要属于f (x) 的定义域 （2）包含定义域中除端点外所有连续的点 （3）包含满足“等式”的间断点和端点
x 为连续点
f ( x 0) f ( x 0) , s ( x) 2 f ( 0) f ( 0) , 2
f ( x) ,
x 为 ( , ) 连续点 x 为 ( , ) 间断点
x
[ , ]上的函数f ( x) 傅里叶展开式为：

a0 s ( x ) an cos nx bn sin nx F ( x 0) F ( x 0) , x 间断 2 n 1 2
即S ( x)在(, )上有定义且以2 为周期，且其在[- , ]上的表达式为
收敛定理
F ( x) ,
证明函数极限不存在: 以不同方式函数趋于不同值 或有的极限不存在. (常用的趋近方式为直线式) 证明函数极限存在: 换元或夹逼准则
2)某点处偏导数存在的判定: 应该用法一和法三
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) lim • 利用定义: f x( x0 , y0 ) x 0 x
例如：分段函数分段点 • 先求后代:
f x( x0 , y0 ) f x( x, y) |( x0 , y0 )
f x ( x0 , y0 )
例如：初等函数定义区域的内点
• 先代后求:
例如：上述两种例子情况均可、函数式复杂
x2 y2 2 2 , x y 0 3 例. 讨论 f ( x, y ) ( x 2 y 2 ) 2 2 2 0 , x y 0 在点(0,0) 处连续性及偏导数存在性 . 提示: 利用 2x y x 2 y 2 , 知 1 1 2 2 2 f ( x, y ) ( x y ) 4 lim f ( x, y ) 0 f (0 , 0)
a0 s ( x) an cos nx bn sin nx 2 n 1
f ( x 0) f ( x 0) ,
f ( x) ,
x 为连续点
x 为间断点
2
其中 an , bn 为 f (x) 的傅里叶系数 .
结论：
以2 为周期函数f ( x) 的傅里叶展开式为
21. 将函数展成以 2 为周期的傅里叶级数； 情况一：设 f (x) 是周期为2的周期函数 情况二：设 f (x) 是定义在[– ,]上的函数 情况三：设 f (x) 是定义在[0,]上的函数
(可展成正弦或余弦级数)
情况一：设 f (x) 是周期为2的周期函数
f (x) 的傅里叶级数在 (, ) 收敛 , 且有
21. 周期2l的傅里叶级数的和函数
a0 n n s( x) an cos x bn sin x , x (, ) 2 n 1 l l
情况一：设 f (x) 是周期为2l的周期函数
f ( x) , f ( x 0) f ( x 0) ,
y
故f (x) 的傅里叶级数为: (1)n1 2 sin nx n n 1

o

x
又当x (2k 1) (k )时 f ( x)连续, 当x=(2k 1) 时
f ( x +0) f ( x 0) 0 f ( x) 2 根据收敛定理可得 f (x) 的傅里叶展开式为:
1 4 1 f ( x) cos(2n 1) x 2 2 n 1 (2n 1)
x [0, ]
再求正弦级数. 将 f (x) 作奇延拓,
x 1,
x (0, ]
x 1, x [ , 0)
y
o x
( x 1) sin nx d x 0 2
2013-2014高等数学第二学期期末 考试考点
1. 二元函数在某点处连续，偏导数存在的判定； 2. 多元数值函数的梯度； 3. 二元函数的极值； 4. 多元函数隐函数求偏导； 5. 二重积分的比较； 6. 交换二重积分累次积分次序； 7. 二重积分在直角坐标系下的计算 8. 三重积分的计算； 9. 求立体体积； 10. 重积分对称性；
奇延拓
f ( x), x [0 , ] 偶延拓
y
y

o
x

F ( x)
x f ( x), x [0, ]
o
f ( x), x [ , 0)
f ( x), x [ , 0)
傅里叶级数 f (x) 在 [0 , ] 上展成 正弦级数
傅里叶级数
f (x) 在 [0 , ]上展成 余弦级数

1
2 n 1 ( 1) ( 1) n
故f (x) 的傅里叶级数为:
y

n 1

2 n 1 ( 1) ( 1) sin nx n
o x
1
又当x (0, ) 时F ( x) f ( x)连续,
F ( +0) F ( 0) 当x= 时 0 f ( ) 1 2 F (0+0) F (0 0) 0 f (0) 1 当x=0 时 2 根据收敛定理可得 f (x) 的傅里叶展开式为: