第十五章傅里叶级数-资料
A 0 ( A n s in c n n o t A s n c o n sn s i t) n
n 1
令a0 2
A0,
anA nsi n n,bnA nco n,stx,
a 2 0n 1 (anco ns x bnsin n )x三角级数
定理15.1
若级数
|
a0 2
|
(|
２．收敛定理:
若 以 2 为 周 期 的 函 数 f 在 [ ， ] 上 按 段 光 滑 ， 则 在 每 一 点 x [ , ] ,
f 的 傅 里 叶 级 数 收 敛 于 f 在 点 x 的 左 ， 右 极 限 的 算 术 平 均 值 ， 即
f(x 0 ) 2f(x 0 ) a 2 0 n 1(a ncn o x s b nsn in )x
定义：若 f ( x ) 的导函数 f ( x ) 在 [ a , b ]上连续，则称 f ( x ) 在 [ a , b ]上光滑。
若函数 f ( x ) 在 [ a , b ]上至多有有限个第一类间断点，且 f ( x ) 仅在 [ a , b ]上
有限个点处不连续且为第一类间断点, 则称 f ( x )是 [ a , b ]上的按段光滑函数。
为角频率，于是简谐振动 y的周期是 T 2
较为复杂的周期运动，则常是几个简谐振动的叠加
y k A k sk ix n k ) (, k 1 ,2 ,,n振动的 T k T周 2 期 , k为 1,2,n
n
n
y yk Aksin k(xk) 振动的周期为T
k1
k1
1.三角级数
f(t)A 0 A nsin n t ( n) n 1
f(x)a 20n 1(ancons xbnsinn)x (9)
且等,1 ,2 ,
b n 1 f(x)sinnxdx, n1 ,2,
(10a) (10b)
证: 由定理的条件, f(x)在[-π, π]上连续且可积, 对(9)式逐项积分, 得
ak
1
f(x)coskxdx
同理可得:
bk
1
f(x)sinkxdx
定理15.2 若在整个数轴上
f(x)a 20n 1(ancosnxbnsinnx) (9)
且右边的级数一致收敛, 则有以下关系式:
1
a n
f(x)c o sn x d x,
(n 0 ,1 ,2 ,L )
(10a)
b n1 f(x)sinn xd x (n 1 ,2 ,L) (10b)
按段光滑函数的性质:
设函数 f ( x ) 在区间 [ a , b ]是按段光滑，则
（1） f在[a,b]上可积
（ 2）在 [a,b]上每一点f(都 x0存 ),且 在
limf(xt)f(x0)f(x0) lim f(xt)f(x0 )f(x0 )
t 0
t
t 0
t
（ 3 ） 在补f在 充 [a,b]上 定那 义些至 在 多 点 值 有 上 后 f在 限 [的 a,b ， ]上 个可 不
第十五章 傅里叶级数
§15.1 傅里叶级数
一、 三角级数 • 正交函数系
二、以 2 为周期的函数的傅里叶级数
三、收敛定理
§15.1 傅里叶级数
一、三角函数 正交函数系
在科学实验与工程技术的某些现象中，常会碰到一种周期运动，最简
单的周期运动，可用正弦函数 Asin x()来描写。
所表达的周期运动也称为简谐运动，其中 A 为振幅， 为初相角，
f( x ) d x a 2 0 d x n 1a n c o s n x d x b n s i n n x d x
f(x)dxa202a0
a0
1
f (x)dx
以coskx乘f (9( )x 式) c 两o s 边k x ,d 得x a 2 0 c o s k x n 1 ( a n c o s n x c o s k x b n s in n x c o s k x ) f( x ) c o s k x d x a 2 0 c o s k x d x n 1 ( a n c o s n x c o s k x b n s i n n x c o s k x ) d x
正交 若 两 个 函 数 ( x ) , ( x ) 在 [ a , b ] 上 可 积 , 且
b(x)(x)dx0 a
则 称 ( x ) ,( x ) 在 [ a ,b ] 上 是 正 交 的 。
具有正交性的三角函数系是正交函数系。
二、以2 为周期的函数的傅里叶级数
定理15.2 若在整个数轴上
f ( x ) c o s k x d x a 2 0 c o s k x d x n 1 ( a n c o s n x c o s k x b n s i n n x c o s k x ) d x
cos2kxdx
f(x )c o sk x d x a k (k 1 ,2 ,L )
若f ( x )是以 2 为周期且在 [ , ] 可积的函数, 则称按上述公
式确定的 a n 和 b n 为 f ( x ) 的傅里叶系数, 相应的三角级数称为 f ( x )
的傅里叶级数, 记作
f(x)~a 20n 1(ancosnxbnsinnx) (11)
三、收敛定理
１. 按段光滑函数:
co sm xco sn xd x0 (m n )
sinm xsinnxdx0 (m n)
(7)
cosmxsinnxdx0
任 意 两 个 不 同 函 数 在 [ ,] 上 的 积 分 等 于 零 .
cos2nxdxsin2nxdx
(8)
12dx 2
任一个函数平方在 [ , ] 上的积分为不为零.
n1
an
|
|
bn
|)
(4)
收敛, 则级数(1)在整个数轴上绝对收敛且一致收敛.
2.三角函数系的正交性
构成三角级数的基本要素:
1 ,c o s x ,s i n x ,c o s 2 x ,s i n 2 x ,L ,c o s n x ,s i n n x ,L(5)
性质:
cosnxdx sinnxdx0
(整理)第十五章 傅里叶级数
第十五章 傅立叶级数§1 傅立叶级数1．在指定区间内把下列函数展开成傅立叶级数： （1）f(x)=x (i),x p p -<<(ii) 02;x p << (2) f(x)=x 2 (i),x p p -<<(ii) 02;x p << (3) ax 0,x p -<?f(x)= (a,b 为不等于0的常数，且a ≠b) bx 0x p <<解：（1）（i ）f(x)按段光滑，由收敛定理知它可以展成傅立叶级数。
011()0,a f x dx xdx p p p p p p--===蝌1n ³时，有11cos sin sin 0n xa x nxdx nxnxdx n n p p ppp pp pp---==-=蝌2,1sin 2,n nb x nxdx n p pp -ìïï-ïï==íïïïïïîò所以在(,)p p -上11sin ()2(1)n n nx f x n ¥+==-å（ii ）f(x)按段光滑，由收敛定理知它可以展成傅立叶级数。
20012,a xdx pp p ==ò1n ³时，有201cos 0,n a x nxdx pp ==ò2012sin ,n b x nxdx np p ==-ò所以在(0,2)p 上1sin ()2n nxf x n p ¥==-å（2）（i ）f(x)按段光滑，由收敛定理知它可以展成傅立叶级数。
22012,3a x dx p p p p -==ò1n ³时，有22241cos 4n n a x nxdx np pp -ìïïïï==íïï-ïïïîò 21sin 0n b x nxdx p pp -==ò所以在(,)p p -上221cos ()4(1)3n n nx f x n p ¥==+-å （ii ）f(x)按段光滑，由收敛定理知它可以展成傅立叶级数。
第十五章 傅里叶级数
第十五章 傅里叶级数1 三角级数与傅里叶级数1．证明(1) sin x ，sin 2x ， ， sin nx ， 是[0,]π上的正交系； (2) sin x ，sin 3x ， ， ()sin 21n x +， 是[0,]2π上的正交系；(3) 1，cos x ，cos 2x ， ，cos nx ， 是[0,]π上的正交系； (4) 1，sin x ，sin 2x ， ， sin nx ， 不是[0,]π上的正交系； 2．求下列周期为2π的函数的傅里叶级数： (1) 三角多项式()()0cos sin nn iii P x a ix b ix ==+∑；(2) ()()3f x x x ππ=-<<； (3) ()cos2xf x =； (4) ()() axf x e x ππ=-<<； (5) ()()sin f x x x ππ=-<<； (6) ()()cos f x x x x ππ=-<<； (7) (), 00, 0x x f x x ππ-<<⎧=⎨≤<⎩；(8) ()()22f x x x πππ=--<<； (9) ()sgncos f x x =； (10) ()() 022xf x x ππ-=<<.3．设()f x 以2π为周期，在[,]ππ-绝对可积，证明： (1) 如果函数()f x 在[,]ππ-满足()()f x f x π+=，则21210, 1,2,m m a b m --=== ；(2) 如果函数()f x 在[,]ππ-满足()()f x f x π+=-，则220, 1,2,m m a b m === .2 傅里叶级数的收敛性1．将下列函数展成傅里叶级数，并讨论收敛性： (1) ()sin [,]f x x x x ππ=∈-；(2) ()2, [0,]1, [,0)x x f x x ππ⎧∈=⎨∈-⎩；2．由展开式()11sin 2(1) n n nxx x nππ∞+==--<<∑， (1) 用逐项积分法求2x ，3x ，4x 在(,)ππ-中的傅里叶展开式；(2) 求级数()1411n n n +∞=-∑，411n n∞=∑的和. 3． (1) 在 (,)ππ-内，求()xf x e =的傅里叶展开式； (2) 求级数2111n n ∞=+∑的和. 4．设()f x 在[,]ππ-上逐段可微，且()()f f ππ-=. n a ，n b 为()f x 的傅里叶系数，'n a ，'n b 是()f x 的导函数'()f x 的傅里叶系数，证明：0'0a =，'n n a nb =，'n n b na =- ( n 1,2,=. 5．证明：若三角级数()01cos sin 2n n n a a nx b nx ∞=++∑ 中的系数n a ，n b 满足关系{}33max ,n n n a n b M ≤，M 为常数，则上述三角级数收敛，且其和函数具有连续的导函数.6．设()()01cos sin 2nn k k k a T x a kx b kx ==++∑，求证：()()1sin 122sin2n n n tT x T x t dt t πππ-⎛⎫+ ⎪⎝⎭=+⎰. 7．设()f x 以2π为周期，在(0,2)π上单调递减，且有界，求证：()0 0n b n ≥>. 8．设()f x 以2π为周期，在(0,2)π上导数'()f x 单调上升有界. 求证：()0 0n a n ≥>.9．证明：若()f x 在0x 点满足α阶的利普希茨条件，则()f x 在0x 点连续. 给出一个表明这论断的逆命题不成立的例子.10．设()f x 是以2π为周期的函数，在[,]ππ-绝对可积，又设()n S x 是()f x 的傅里叶级数的前n 项部分和()()01cos sin 2nn k k k a S x a kx b kx ==++∑，则 ()()()()2022422n n f x t f x t S x D t dt ππ++-=⎰，其中()n D t 是狄利克雷核.11．设()f x 是以2π为周期，在(),-∞∞连续，它的傅里叶级数在0x 点收敛. 求证：()()()00 n S x f x n →→+∞.12．设()f x 是以2π为周期、连续，其傅里叶系数全为0，则()0f x ≡. 13．设()f x 是以2π为周期，在[,]ππ-绝对可积. 又设0(,)x ππ∈-满足()()000lim 2t f x t f x t L +→++-= 存在. 证明()0lim n n x L σ→∞=. 进一步，若()f x 在0x 点连续，则()()00lim n n x f x σ→∞=，其中()()011nn k k x S x n σ==+∑.3 任意区间上的傅里叶级数1．将下列函数在指定区间上展开为傅里叶级数，并讨论其收敛性： (1) 在区间()0,2l 展开, 0,()0, 2;A x l f x l x l <<⎧=⎨≤<⎩(2) ()cos , ,22f x x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭； (3) ()(), 0,f x x l =；(4) , 01,()1, 12,3, 2 3.x x f x x x x ≤≤⎧⎪=<<⎨⎪-≤≤⎩2．求下列周期函数的傅里叶级数： (1) ()cos f x x =； (2) []()f x x x =-.3．把下列函数在指定区间上展开为余弦级数： (1) ()sin , 0f x x x π=≤≤；(2) 1, 02,()3, 2 4.x x f x x x -<≤⎧=⎨-<<⎩4．把下列函数在指定区间上展开为正弦级数： (1) ()cos, 02xf x x π=≤≤ (2) 2(), 02f x x x =≤≤.5．把函数()2()1f x x =-在()0,1上展开成余弦级数，并推出222116123π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭.6．将函数()f x 分别作奇延拓和偶延拓后，求函数的傅里叶级数，其中1, 0,21(), ,220, .2x f x x x ππππ⎧<<⎪⎪⎪==⎨⎪⎪<≤⎪⎩7．应当如何把给定在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭的可积函数延拓到区间(),ππ-内，使得它在(),ππ-中对应的傅里叶级数为： (1) ()()211cos 21n n f x an x ∞-=-∑； (2) ()()211sin 21n n f x bn x ∞-=-∑ .4 傅里叶级数的平均收敛性1．若()f x ,()g x 以2π为周期，在[,]ππ-平方可积，()01()cos sin 2n n n a f x a nx b nx ∞=++∑ ，()01()cos sin 2n n n g x nx nx ααβ∞=++∑，则()0011()()2n n n n n a f x g x dx a b ππααβπ∞-==++∑⎰.2．设()f x 在[0,]l 上平方可积，求证：22200121()2l n n f x dx a a l ∞==+∑⎰， 其中02()cos l n n xa f x dx l lπ=⎰.。
十五章傅里叶级数
2
2
2
当只给出一种周期旳体现式时，傅里叶级数在两端点旳值
可用 上述公式求之.
例1：设
x, f (x) 0,
0 x x 0
求f
旳傅里叶级数展开式.
解： 函数f 及其周期延拓后的图象如图所示，
y
3 2 O 2 3 4
x
显然 f 是按段光滑旳,故由收敛定理，它能够展开成傅里叶级数。
因为
第十五章 傅里叶级数
§15.1 傅里叶级数
一、 三角级数 • 正交函数系
二、以 2 为周期旳函数旳傅里叶级数
三、收敛定理
§15.1 傅里叶级数
一、三角函数 正交函数系
在科学试验与工程技术旳某些现象中，常会遇到一种周期运动，最简
单旳周期运动，可用正弦函数 A sin(x ) 来描写。
所体现旳周期运动也称为简谐运动，其中 A 为振幅， 为初相角，
f (x) cos kxdx
a0 cos kxdx 2
(an cos nx cos kx bn sin nx cos kx)dx n1
cos2 kxdx
f (x) cos kxdx ak
ak
1
f (x) cos kxdx
(k 1, 2, )
同理可得:
bk
1
f (x) sin kxdx
f 的傅里叶级数收敛于f 在点x的左，右极限的算术平均值，即
f
(x
0) 2
f
(x 0)
a0 2
(an
n1
cos nx bn
sin nx)
其中an ,bn为f的傅里叶系数。
推论：
若f 是以2为周期的连续函数，且在[， ]上按段光滑，则 f 的
第十五章 傅里叶级数
第十五章 傅立叶级数§1 傅立叶级数1．在指定区间内把下列函数展开成傅立叶级数： （1）f(x)=x (i),x p p -<<(ii) 02;x p << (2) f(x)=x 2 (i),x p p -<<(ii) 02;x p << (3) ax 0,x p -<?f(x)= (a,b 为不等于0的常数，且a ≠b) bx 0x p <<解：（1）（i ）f(x)按段光滑，由收敛定理知它可以展成傅立叶级数。
011()0,a f x dx xdx p p p pp p --===蝌1n ³时，有11cos sin sin 0n xa x nxdx nx nxdx n n p p ppp pp pp---==-=蝌2,1sin 2,n nb x nxdx n p pp -ìïï-ïï==íïïïïïîò所以在(,)p p -上11sin ()2(1)n n nx f x n ¥+==-å（ii ）f(x)按段光滑，由收敛定理知它可以展成傅立叶级数。
20012,a xdx pp p ==ò1n ³时，有201cos 0,n a x nxdx pp ==ò2012sin ,n b x nxdx np p ==-ò所以在(0,2)p 上1sin ()2n nxf x n p ¥==-å（2）（i ）f(x)按段光滑，由收敛定理知它可以展成傅立叶级数。
22012,3a x dx p p p p -==ò1n ³时，有22241cos 4n n a x nxdx n p pp -ìïïïï==íïï-ïïïîò21sin 0n b x nxdx p pp -==ò所以在(,)p p -上221cos ()4(1)3nn nxf x n p ¥==+-å （ii ）f(x)按段光滑，由收敛定理知它可以展成傅立叶级数。
傅里叶级数
(3)
n1
若(3)收敛, 则它所描述的是更为一般的周期运动现象.
数学分析 第十五章 傅里叶级数
高等教育出版社
§1 傅里叶级数 三角级数 · 正交函数系 以2π为周期的函数的傅里叶级数
收敛定理
对于级数(3), 只须讨论 1 (如果 1 可
用 x 代换x )的情形. 由于
sin(nx n ) sinn cos nx cosn sin nx,
(an cos nx cos kx bn sin nx cos kx). (11) n1
从第十三章§1 习题4知道, 由级数(9)一致收敛, 可
得级数(11)也一致收敛. 于是对级数(11)逐项求积,
π
有 f ( x)cos kxdx π
f
(
x)
a0
π
cos
2 π
a0
2 n1
§1 傅里叶级数 三角级数 · 正交函数系 以2π为周期的函数的傅里叶级数
收敛定理
以的傅里叶系数为系数的三角级数(9)称为 f (关于三
角函数系) 的傅里叶级数, 记作
f
(x)
~
a0 2
(an
n1
cos nx
bn
sin nx).
(12)
这里记号“~”表示上式右边是左边函数的傅里叶级
数, 由定理15.2知道: 若(9)式右边的三角级数在整
(x)
a0 2
an01(aπ1n
π
cos π
nf x( x)dbxn s.in
nx
)
(9)
数学分析 第十五章 傅里叶级数
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§1 傅里叶级数 三角级数 · 正交函数系 以2π为周期的函数的傅里叶级数
数学分析15.1傅里叶级数
第十5章 傅里叶级数1傅里叶级数一、三角级数·正交函数系概念1：由正弦函数y=Asin(ωx+φ)表示的周期运动称为简谐振动，其中A 为振幅，φ为初相角，ω为角频率，其周期T=ω2π.常用几个简谐振动y k =A k sin(k ωx+φk ), k=1,2,…,n 的叠加来表示较复杂的周期运动，即：y=∑=n 1k k y =∑=n1k k k )φ+ x sin(k ωA ，其周期为T=ω2π.若由无穷多个简谐振动叠加得函数项级数A 0+∑∞=1n n n )φ+ x sin(n ωA 收敛，当ω=1时，sin(nx+φn )=sin φn cosnx+cos φn sinnx ，所以 A 0+∑∞=1n n n )φ+sin(nx A = A 0+∑∞=1n n n n n sinnx )cos φA +cosnx sin φ(A ，记A 0=2a 0，A n sin φn =a n ，A n cos φn =b n ，n=1,2,…，则该级数可以表示为： 2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a . 它是由三角函数列(或称为三角函数系) 1,cosx,sinx,cos2x, sin2x,…,cosnx,sinnx,…构成一般形式的三角级数.定理15.1：若级数2a 0+∑∞=+1n n n |)b ||a (|收敛，则三角级数2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a 在整个数轴上绝对收敛且一致收敛.证：对任何实数x ，∵|a n cosnx+b n sinnx|≤|a n |+|b n |， 由魏尔斯特拉斯M 判别法得证.概念2：若两个函数φ与ψ在[a,b]上可积，且⎰ba φ(x )ψ(x )dx=0，则 称函数φ与ψ在[a,b]上是正交的, 或称它们在[a,b]上具有正交性，若有一系列函数两两具有正交性，则称其为正交函数系.注：三角函数列：1,cosx,sinx,cos2x, sin2x,…,cosnx,sinnx,…有以下性质： 1、所有函数具有共同的周期2π；2、任何两个不相同的函数在[-π, π]上具有正交性，即为在 [-π, π]上的正交函数系. 即有：⎰ππ-cosnx dx=⎰ππ-sinnx dx=0；⎰ππ-cosmx cosnx dx=0 (m ≠n)；⎰ππ-sinmx sinnx dx=0 (m ≠n)；⎰ππ-cosmx sinnx dx=0 (m ≠n).3、任何一个函数的平方在[-π, π]上的积分都不等于零，即⎰ππ-2nx cos dx=⎰ππ-2nx sin dx=π；⎰ππ-21dx=2π.二、以2π为周期的函数的傅里叶级数定理15.2：若2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a 在整个数轴上一致收敛于f ，则：a n =⎰ππ-f(x)cosnx π1dx, b n =⎰ππ-f(x)sinnx π1dx, n=1,2,…. 证：由定理条件可知，f(x)在[-π, π]上连续且可积，∴⎰ππ-f(x )dx=2a⎰ππ-dx +∑⎰⎰∞=1n ππ-n ππ-n )sinnx dx b +dx cosnx (a =2a 0·2π=a 0π.即a 0=⎰ππ-f(x)π1dx. 对f(x)=2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a两边同时乘以coskx(k 为正整数)，可得：f(x)coskx=2a 0coskx +∑∞=1n n n )sinnx coskx b +cosnx coskx (a ，则新级数收敛，有coskx f(x )ππ-⎰dx=2a 0⎰ππ-coskx dx +∑⎰⎰∞=1n ππ-n ππ-n )dx sinnx coskx b +coskx dx cosnx a (.由三解函数的正交性，等式右边除了以=a k 为系数的那一项积分kx cos a 2ππ-k ⎰dx= a k π外，其余各项积分都为0，∴coskx f(x )ππ-⎰dx= a k π，即a k =⎰ππ-f(x)coskx π1dx (k=1,2,…). 同理，对f(x)=2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a两边同时乘以sinkx(k 为正整数)，可得：b k =⎰ππ-f(x)sinkx π1dx (k=1,2,…).概念3：若f 是以2π为周期且在[-π, π]上可积的函数，则按定理15.2中所求a n , b n 称为函数f(关于三角函数系)的傅里叶系数，以f 的傅里叶系数为系数的三角级数2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a 称为f(关于三角函数系)的傅里叶级数，记作f(x)~2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a .注：若2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a 在整个数轴上一致收敛于f ，则，f(x)=2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a .三、收敛定理概念4：若f 的导函数在[a,b]上连续，则称f 在[a,b]上光滑. 若定义在[a,b]上除了至多有限个第一类间断点的函数f 的导函数在[a,b]上除了至多有限个点外都存在且连续，在这有限个点上导函数f ’的左右极限存在，则称f 在[a,b]上按段光滑.注：若函数f 在[a,b]上按段光滑，则有： 1、f 在[a,b]上可积；2、在[a,b]上每一点都存在f(x ±0)，且有t 0)f(x -t)f(x lim 0t +++→=f ’(x+0)，t-0)f(x -t)f(x lim 0t ---→=f ’(x-0)；3、补充定义f ’在[a,b]上那些至多有限个不存在点上的值后，f ’在[a,b]上可积.定理15.3：(傅里叶级数收敛定理)若周期为2π的函数f 在[-π, π]上按段光滑，则在每一点x ∈[-π, π]，f 的傅里叶级数2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a 收敛于f 在点x 的左右极限的算术平均值，即20)-f(x 0)f(x ++=2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a ，其中a n , b n 为傅里叶系数.注：当f 在点x 连续时，则有20)-f(x 0)f(x ++=f(x)，即f 的傅里叶级数收敛于f(x).推论：若周期为2π的续连函数f 在[-π, π]上按段光滑，则f 的傅里叶级数在(-∞,+∞)上收敛于f.注：由f 周期为2π，可将系数公式的积分区间[-π, π]任意平移，即：a n =⎰+2πc c f(x)cosnx π1dx, b n =⎰+2πc c f(x)sinnx π1dx, n=1,2,….c 为任意实数. 在(-π, π]以外的部分，按函数在(-π, π]上的对应关系作周期延拓，如 f 通过周期延拓后的函数为：,2,1k ],1)π(2k , 1)π-(-(2k x ，) 2π-f(x ]π, (-πx ，f(x)(x)f ˆ⎩⎨⎧⋯±±=+∈∈= 函数f 的傅里叶级数就是指函数(x)fˆ的傅里叶级数.例1：设f(x) )0, (-πx ，0]π[0,x x ，⎩⎨⎧∈∈=，求f 的傅里叶级数展开式.解：f 及其周期延拓后图象如图：可见f 按段光滑.由收敛定理，有a 0=⎰ππ-f(x)π1dx=⎰π0x π1dx=2π. 当n ≥1时，a n =nx cos f(x)π1ππ-⎰dx=⎰π0xcosnx π1dx=⎰-π0π0sinnx n π1|xsinnx n π1dx=π2|cosnx πn 1 =πn 12(cosn π-1)=πn 1(-1)2n -；b n =⎰ππ-f(x)sinnx π1dx=⎰π0xsinnx π1dx=-⎰+π0π0cosnx n π1|xcosnx n π1dx=n (-1)1n +.∴在(-π, π)上，f(x)=4π+∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-1n n2n sinnx n (-1)cosnx πn 1-)1(.当x=±π时，该傅里叶级数收敛于20)πf(0)πf(+±+-±=20π+=2π.∴f 在[-π, π]上的傅里叶级数图象如下图：例2：把函数f(x)= π2x πx πx 0πx 0 x 22⎪⎩⎪⎨⎧≤<-=<<，，，展开成傅里叶级数. 解：f 及其周期延拓后图象如图：可见f 按段光滑.由收敛定理，有a 0=⎰2π0f(x)π1dx=⎰π02x π1dx-⎰2ππ2x π1dx =-2π2. 当n ≥1时，a n =nx cos f(x)π1ππ-⎰dx =⎰π02cosnx x π1dx-⎰2ππ2cosnx x π1dx ； 又⎰π02cosnx x π1dx=⎰-π0π02xsinnx n π2|sinnx x n π1dx=21n n 2(-1)+-；⎰2ππ2cosnx x π1dx=⎰-2ππ2ππ2xsinnx n π2|sinnx x n π1=21n 2n 2(-1)n 4++； ∴a n =21n 221n n 2(-1)n 4n 2(-1)++---=2n4[(-1)n -1]. b n =⎰2π0f(x)sinnx π1dx=⎰π02sinnx x π1dx-⎰2ππ2sinnx x π1dx ；又⎰π02sinnx x π1dx=-⎰-π0π02xcosnx n π2|cosnx x n π1dx=πn ](-1)-2[1n π)1(3n 1n --+；⎰2ππ2sinnx x π1dx=-⎰-2ππ2ππ2xcosnx n π2|cosnx x n π1dx=-πn ](-1)-2[1n π)1(n 4π3n 1n +--+； ∴b n =πn ](-1)-2[1n π)1(3n 1n --++πn ](-1)-2[1n π)1(n 4π3n 1n --++ =πn ](-1)-4[1n 2π)1(n 4π3n n ---=πn ](-1)-4[1n (-1)]-[1 2πn 2π3n n -+ =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+πn 4n 2π](-1)-[1n 2π3n ；∴当x ∈(0, π)∪(π, 2π]时， f(x)= -π2+∑∞=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++1n 3n n 2sinnx πn 4n 2π](-1)-[1n 2π1]cosnx -[(-1)n 4 .当x=π时，该傅里叶级数收敛于20)f(π0)f(π++-=2)π(π22-+=0；当x=0或2π时，该傅里叶级数收敛于20)f(00)f(0++-=204π-2+=-2π2.注：由当x=2π时，有f(x)= -π2+∑∞=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++1n 3n n 2sinnx πn 4n 2π](-1)-[1n 2π1]cosnx -[(-1)n 4=-π2+∑∞=1n n 21]-[(-1)n4=-π2-8∑∞=+0n 21)(2n 1=-2π2. 可求得∑∞=+0n 21)(2n 1=8π2.例3：在电子技术中经常用到矩形波，用傅里叶级数展开后，就可以将巨形波看成一系列不同频率的简庇振动的叠加，在电工学中称为谐波分析。
傅里叶级数
第十五章 傅里叶级数§1 傅里叶级数教学目标 掌握三角级数和傅里叶级数定义，了解傅里叶级数的收敛定理． 教学要求(1) 基本要求：掌握三角级数和傅里叶级数定义，了解傅里叶级数的收敛定理；能够展开比较简单的函数的傅里叶级数．(2) 较高要求：有关傅里叶级数的逐项求导和逐项求积的问题，向学生介绍引入傅里叶级数的意义 (包括物理意义和数学意义)． 教学建议(1) 向学生介绍引入傅里叶级数的意义(包括物理意义和数学意义)． (2) 三角级数和傅里叶级数的展开计算量较大，可布置适量习题使学生了解展开的方法与步骤． 教学程序一、 Fourier 级数的定义背景：⑴ 波的分析：频谱分析 . 基频T1( ωπ2=T ) . 倍频.⑵ 函数展开条件的减弱 : 积分展开 .⑶ n R 中用Descartes 坐标系建立坐标表示向量思想的推广:调和分析简介: 十九世纪八十年代法国工程师Fourier 建立了Fourier 分析理论的基础.（一） 定义 设()f x 是(,)-∞+∞上以2π为周期的函数，且()f x 在[,]ππ-上绝对可积，称形如01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑ 的函数项级数为()f x 的 Fourier 级数或三角级数(()f x 的 Fourier 展开式)，其中01()a f x dx πππ-=⎰，1()cos ,1,2,n a f x nxdx n πππ-==⎰，1()sin ,1,2,n b f x nxdx n πππ-==⎰称为()f x 的 Fourier 系数，记为01()~(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞=++∑ 定理15.1 若级数∑∞=++10) |||| (2||n n n b a a 收敛 , 则级数 01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑ 在R 内绝对且一致收敛 . 证明： 用M 判别法. （二）说明1）在未讨论收敛性，证明01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑一致收敛到()f x 之前，不能将“~”改为“=”；此处“~”也不包含“等价”之意，而仅仅表示01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑是()f x 的 Fourier 级数，或者说()f x 的 Fourier 级数是01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑. 2) 要求[,]ππ-上()f x 的 Fourier 级数,只须求出Fourier 系数.例1 设()f x 是以2π为周期的函数，其在[,]ππ-上可表示为1,0()0,0x f x x ππ≤≤⎧=⎨-<<⎩, 求()f x 的 Fourier 展开式.3) 计算()f x 的 Fourier 系数的积分也可以沿别的长度为2π的去件来积.如2001()a f x dx ππ=⎰，201()cos ,1,2,n a f x nxdx n ππ==⎰，201()sin ,1,2,n b f x nxdx n ππ==⎰例 2 设()f x 是以2π为周期的函数,其在[0,2)π上等于x ,求()f x 的 Fourier 级数.4) 如果()f x 仅定义在长为2π的区间上,例如定义在[0,2)π上, 此时()f x 不是周期函数, 从而不能按上述方法展开为Fourier 级数.但可对()f x 在[0,2)π外补充定义,使其以2π为周期, 如定义~()(2)f x f x n π=-, (2,2(1))x n n ππ∈+它有下述性质: a) [0,2)x π∈时,~()()f x f x =； b) ~()f x 以2π为周期.例3 (),()x f x e x ππ=-≤<,求()f x 的 Fourier 级数. 内积和正交: 由R 3中的内积与正交概念引入.设函数f 和g 在区间] , [b a 上 ( R )可积 . 定义内积为 ⎰=><ba dx x g x f g f )()( , .当>< , g f =0时 , 称函数)(x f 和)(x g 在区间] , [b a 上正交函数的正交性与区间有关 . 例如函数)(x f =x -和2)(x x g =在区间] 1 , 0 [上并不正交 ( 因为>< , g f =41-) , 但在区间] 1 , 1 [-却是正交的 . 正交函数系统 : 标准正交系 ( 幺正系 ) , 完全系 二、 以π2为周期函数的Fourier 级数 定理15.2 若在整个数轴上)(x f =∑∞=++1, sin cos 2n n n nx b nx a a 且等式右端的级数一致收敛，则有如下关系式 π1=n a ⎰-ππnxdx x f cos )(， , 2 , 1 , 0=nπ1=n b ⎰-ππnxdx x f sin )( ， , 2 , 1=n三、 收敛定理:（一） 按段光滑函数: .定义：若)(x f 的导函数)(x f '在区间] , [b a 上连续 , 则称函数)(x f 在区间] , [b a 上光滑. 若函数)(x f 在区间] , [b a 上至多有有限个第一类间断点, 且)(x f '仅在区间] , [b a 上有限个点处不连续且为第一类间断点, 则称)(x f 是区间] , [b a 上的按段光滑函数.按段光滑函数的性质: 设函数)(x f 在区间] , [b a 上按段光滑, 则 ⑴ )(x f 在区间] , [b a 上可积;⑵ 对∈∀x ] , [b a , )0(±x f 都存在 , 且有)0()0()(lim 0+'=+-++→x f tx f t x f t ,)0()0()(lim 0-'=----+→x f t x f t x f t . ( 用Lagrange 中值定理证明 )⑶ )(x f '在区间] , [b a 上可积 . （二）收敛定理:定理15.3 设函数)(x f 是以π2为周期的周期函数且在区间] , [ππ-上按段光滑 , 则在∀∈x ] , [ππ-, )(x f 的Fourier 级数∑∞=++1sin cos 2n n n nx b nx a a 收敛于)(x f 在点x 的左、右极限的算术平均值 , 即 =-++2)0()0(x f x f ∑∞=++10 sin cos 2n n n nx b nx a a 其中n a 和n b 为函数)(x f 的Fourier 系数. ( 证明放到以后进行 )推论 若)(x f 是以π2为周期的连续函数 , 在] , [ππ-上按段光滑,且则)(x f 的Fourier 级数在) , (∞+∞-内收敛于)(x f .四、 正弦级数和余弦级数 （一）定义 形如1sin nn bnx ∞=∑的三角级数(函数项级数)称为正弦级数;形如1cos 2n n a a nx ∞=+∑的三角级数(函数项级数称为余弦级数. （二） 如果()f x 是以2π为周期的函数,在[,]ππ-上绝对可积, 若()f x 是奇函数,则有1()~sin n n f x b nx ∞=∑；若()f x 是偶函数,则有01()~cos 2n n a f x a nx ∞=+∑. （三）设()f x 仅在[0,]π上有定义, 如果按奇函数的要求,补充定义()(),[,0)f x f x x π=--∈-,然后再作2π周期延拓,必得奇函数, 所得Fourier 级数必为正弦级数. 对应地, 补充定义()(),[,0)f x f x x π=-∈-后,再作2π周期延拓,必得偶函数, 所得Fourier 级数必为余弦级数.例4 1,0()0,x hf x h x π≤<⎧=⎨≤<⎩ (0h π<<),将()f x 展开成余弦函数.五、 一般周期函数的Fourier 级数设()f x 是周期为T 的函数,且在[0,]T 上绝对可积, 则有0122()~(cos sin )2n n n a n n f x a x b x T T ππ∞=++∑,其中002()Ta f x dx T =⎰，022()cos ,1,2,T n n a f x xdx n T T π==⎰022()sin ,1,2,T n n b f x xdx n T Tπ==⎰例5: 求(),11f x x x =-≤≤的Fourier 展开式. 六、 Fourier 级数的复数表示形式设01()~(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞=++∑, 则其复数表示形式为 ()~inx n f x C e +∞-∞∑,其中, 复的Fourier 系数201()22inx n n n n a ib C f x e dx C ππ---===⎰.作业 教材P70：1，2，3，4，5，6，7，8.§2 以l 2为周期的函数的展开式教学目的 掌握以l 2为周期的函数的展开式，偶函数和奇函数的傅里叶级数的展开，正弦级数，余弦级数． 教学要求(1)掌握以l 2为周期的函数的傅里叶级数展开的基本方法．(2)掌握通过对函数做奇延拓或偶延拓并展开为正弦级数或余弦级数的基本 方法． 教学建议三角级数和傅里叶级数的展开计算量较大，可布置少量习题使学生了解展开 的方法与步骤． 教学程序一、 以l 2为周期的函数的Fourier 级数设函数)(x f 以l 2为周期 , 在区间] , [l l -上 (R )可积 . 作代换πtl x =,则函数)()(πltf t F =以π2为周期. 由πtl x =是线性函数, )(t F 在区间], [ππ-上(R )可积 .函数)(t F 的Fourier 系数为 ⎰-=πππntdt t F a n cos )(1, , 2 , 1 , 0=n⎰-=πππntdt t F b n sin )(1, , 2 , 1 =n)(t F ～ ∑∞=++10. sin cos 2n n n nt b nt a a还原为自变量x , 注意到l xt x f t l f t F , )() ()(ππ===, 就有 )()(t F x f =～∑∞=++10. sin cos 2n n n l x n b l x n a a ππ其中⎰-=πππntdt t F a n cos )(1⎰-=====l l l xt dx l x n x f l ππcos )(1, , 2 , 1 , 0=n=n b ⎰-l l dx l xn x f l πsin )(1, , 2 , 1 =n当函数)(x f 在区间] , [l l -上按段光滑时, )(x f 可展开为Fourie r 级数. 註明三角函数系 } , sin , cos, , sin, cos, 1 { l xn l x n lxlxππππ是区间], [l l -上的正交函数系统 .例１把函数⎩⎨⎧<≤<<-=50 , 3 , 05, 0 )(x x x f 展开成Fourier 级数. 二、 偶函数和奇函数的Fourier 级数（一）区间[ , ]l l -上偶函数和奇函数的Fourier 级数设f 是以2l 为周期的偶函数，或是定义在[],l l -上的偶函数，则()()()01cos 2cos ,0,1,2.,sin 0,1,2,.ln l l l n l n xa f x dxl ln x f x dx n l l n x b f x dx n l πππ--⎫=⎪⎪⎪⎪==⎬⎪⎪⎪===⎪⎭⎰⎰⎰ (6) 于是()01cos 2n n a n x f x a l π∞=+∑ （7）其中n a 如(6)所示，（7）的右边为余弦级数。
数学分析课件 傅里叶级数
03
工程学
在工程学中，傅里叶级数可以用于分析和设计各种周期性结构，例如在
机械工程和土木工程等领域中，可以通过傅里叶级数来描述和分析周期
性振动和波动等问题。
02
傅里叶级数的基本性质
三角函数的正交性
三角函数的正交性是指在一周期内，任何两个不同的三角函 数都不相交，即它们的乘积在全周期内的积分值为零。这一 性质在傅里叶级数的展开和重构中起到关键作用，确保了频 谱的纯净性和分离性。
三角函数的周期性使得我们能够将无限长的信号转化为有限长的频谱，从而方便 了信号的分析和处理。
傅里叶级数的收敛性
傅里叶级数的收敛性是指一个信号的傅里叶级数展开在一 定条件下能够无限接近原信号。这一性质保证了傅里叶级 数展开的精度和可靠性，使得我们能够通过有限项的级数 展开来近似表示复杂的信号。
收敛性的判定是数学分析中的重要问题，涉及到级数的收 敛半径、收敛域等概念。在实际应用中，我们需要根据信 号的特性和精度要求来选择合适的收敛域和级数项数，以 保证傅里叶级数展开的准确性。
首先，确定函数的周期和定义域；其次，计算正弦和余弦函数的系数；最后，将得到的系数代入正弦和余弦函数的线 性组合中，得到函数的傅里叶级数表示。
傅里叶级数的表示方法的优缺点
傅里叶级数具有简洁、易计算等优点，能够将复杂的周期函数分解为简单的正弦和余弦函数。然而，傅 里叶级数也存在着一些缺点，例如在非周期函数的情况下，傅里叶级数可能无法得到正确的结果。
图像增强
利用傅里叶级数，可以对图像进行增 强处理，如锐化、降噪等，提高图像 的视觉效果。
数值分析中的傅里叶级数
数值逼近
傅里叶级数可以用于求解某些函数的 数值逼近问题，如求解函数的零点、 极值等。
《傅里叶级数》课件
FFT的出现极大地促进了数字信号处理领域的发展，尤其在实时信号处理 和大数据分析方面。
小波变换与傅里叶级数的关系
01
小波变换是一种时间和频率的局部化分析方法，用于多尺度信 号处理和分析。
02
小波变换与傅里叶级数都是信号的频域表示方法，但小波变换
频域处理
傅里叶变换将图像从空间域转换到频域，使得图 像的频率特征更加明显，便于进行滤波、增强等 操作。
图像压缩
通过分析图像的频谱，可以去除不重要的频率成 分，从而实现图像的压缩，节省存储和传输资源 。
图像去噪
傅里叶变换在图像去噪中发挥了重要作用，通过 滤除噪声对应的频率成分，可以有效去除图像中 的噪声。
傅里叶级数提供了一种将 复杂信号分解为简单正弦 波的方法，有助于理解和 处理信号。
频谱分析
通过傅里叶变换，可以分 析信号的频率成分，这在 通信、音频处理等领域有 广泛应用。
滤波器设计
利用傅里叶级数或其变换 形式，可以设计各种滤波 器，用于提取特定频率范 围的信号或抑制噪声。
图像处理中的应用
1 2 3
数值分析中的应用
求解微分方程
傅里叶级数在数值分析中常用于 求解初值问题和偏微分方程，通 过离散化和变换，将复杂问题转 化为易于处理的简单问题。
数值积分与微分
傅里叶级数在数值积分和微分中 也有应用，可以将复杂的积分或 微分运算转换为易于计算的离散 形式。
插值与拟合
傅里叶级数可以用于多项式插值 和函数拟合，通过选取适当的基 函数，可以构造出精度较高的插 值函数或拟合模型。
04
傅里叶级数的扩展知识
离散傅里叶变换
离散傅里叶变换（DFT）是连续傅里叶变换的离 散化形式，用于将时域信号转换为频域信号。
傅里叶级数
∫πcos nxdx = 0,
π
π
∫πsin nxdx = 0,
π
( n = 1,2,3,L)
0, m ≠ n ∫ πsin mx sin nxdx = π, m = n, 0, m ≠ n ∫ πcos mx cos nxdx = π, m = n,
π
∫π
π
sin mx cos nxdx = 0.
右端级数收敛吗?若收敛是否收敛于 右端级数收敛吗?若收敛是否收敛于f(x)?
f ( x)在 a, b]光滑: f ′( x )在[a , b]连续. [ 光滑: 连续. f ( x)在 a, b]按段光滑: [ 按段光滑:
f ( x )在[a , b]有定义,且至多有有限 个第一类 有定义, 间断点, 间断点, f ′( x )在 [a , b] 除有限个点外有定义且 连续,在这有限个点上 f ′( x ) 左右极限存在. 左右极限存在. 连续,
第, 古今往来,众多数学家一直在寻找用简单函数较好 地近似代替复杂函数的途径,除了理论上的需要外, 地近似代替复杂函数的途径,除了理论上的需要外, 它对实际应用的领域的意义更是不可估量. 它对实际应用的领域的意义更是不可估量. 在微积分发明之前,这个问题一直没有本质上的 在微积分发明之前, 突破. 突破. 熟知的简单函数:幂函数,三角函数. 熟知的简单函数:幂函数,三角函数.
π π
1 π bn = ∫π f ( x)sinnxdx π
( n = 1,2,3,L)
f(x)的傅里叶系数 的傅里叶系数
1 π ) an = π ∫π f ( x)cos nxdx, (n = 0,1,2,L 1 π bn = ∫π f ( x)sinnxdx, (n = 1,2,L) π 1 2π ) an = π ∫0 f ( x)cos nxdx, (n = 0,1,2,L 或 2 bn = 1 π f ( x)sin nxdx, (n = 1,2,L ) ∫0 π