新高二数学上期末模拟试题(附答案)
【典型题】高二数学上期末模拟试卷附答案
【典型题】高二数学上期末模拟试卷附答案一、选择题1．将1000名学生的编号如下：0001，0002，0003，…，1000，若从中抽取50个学生，用系统抽样的方法从第一部分0001，0002，…，0020中抽取的号码为0015时，抽取的第40个号码为（ ） A ．0795B ．0780C ．0810D ．08152．把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，并且不许有空盒，那么任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率是（ ） A ．320B ．720C ．316D ．253．如果数据121x +、221x +、L 、21n x +的平均值为5，方差为16，则数据：153x -、253x -、L 、53n x -的平均值和方差分别为（ ）A ．1-，36B ．1-，41C ．1，72D ．10-，1444．学校为了解新课程标准提升阅读要求对学生阅读兴趣的影响情况，随机抽取了100名学生进行调查.根据调查结果绘制学生周末阅读时间的频率分布直方图如图所示：将阅读时间不低于30分钟的观众称为“阅读霸”，则下列命题正确的是（ ） A ．抽样表明，该校有一半学生为阅读霸 B ．该校只有50名学生不喜欢阅读 C ．该校只有50名学生喜欢阅读 D ．抽样表明，该校有50名学生为阅读霸5．在半径为2圆形纸板中间，有一个边长为2的正方形孔，现向纸板中随机投飞针，则飞针能从正方形孔中穿过的概率为（ ） A ．4π B ．3πC ．2πD ．1π6．在长为10cm 的线段AB 上任取一点C ，作一矩形，邻边长分別等于线段AC 、CB 的长，则该矩形面积小于216cm 的概率为（ ） A ．23B ．34C ．25D ．137．某校从高一(1)班和(2)班的某次数学考试(试卷满分为100分)的成绩中各随机抽取了6份数学成绩组成一个样本，如茎叶图所示.若分别从(1)班、(2)班的样本中各取一份，则(2)班成绩更好的概率为( )A．1636B．1736C．12D．19368．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设D为BE中点，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（）A．17B．14C．13D．4139．从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为（）A．27B．57C．29D．5910．从1,2,3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是 ( )．A．①B．②④C．③D．①③11．如图，边长为2的正方形有一内切圆.向正方形内随机投入1000粒芝麻，假定这些芝麻全部落入该正方形中，发现有795粒芝麻落入圆内，则用随机模拟的方法得到圆周率 的近似值为()A．3.1B．3.2C．3.3D．3.412．小赵和小王约定在早上7:00至7:15之间到某公交站搭乘公交车去上学，已知在这段时间内，共有2班公交车到达该站，到站的时间分别为7:05，7:15，如果他们约定见车就搭乘，则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为（）A ．13B ．49C ．59D ．23二、填空题13．已知实数]9[1x ∈，，执行如图所示的流程图，则输出的x 不小于55的概率为________．14．在[1,1]-上随机地取一个数k ，则事件“直线y kx =与圆22(5)9x y -+=相离”发生的概率为_______。
2023-2024学年河南省信阳市信阳高二上册期末考试数学模拟试题(含解析)
2023-2024学年河南省信阳市信阳高二上册期末考试数学模拟试题一、单选题1．双曲线22132x y -=的渐近线方程是（）A ．23y x=±B ．32y x =±C ．y x =D ．y x =【正确答案】D【分析】根据焦点在横轴上双曲线的渐近线方程直接求解即可.【详解】由题得双曲线的方程为22132x y -=，所以a b ==，所以渐近线方程为3b y x x a =±=±．故选：D2．若平面α的法向量为μ ，直线l 的方向向量为v，直线l 与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是（）A ．cos ||||v v μθμ⋅= B ．||cos ||||v v μθμ⋅= C ．sin |||v v μθμ⋅= ∣D ．||sin ||||v v μθμ⋅=【正确答案】D【分析】由线面角的向量求法判断【详解】由题意得||sin ||||v v μθμ⋅= ，故选：D3．若抛物线C ：22x py =的焦点坐标为()0,1，则抛物线C 的方程为（）A ．22x y =-B ．22x y=C ．24x y=-D ．24x y=【正确答案】D【分析】由已知条件可得12p=，求出p ，从而可求出抛物线的方程.【详解】因为抛物线C ：22x py =的焦点坐标为()0,1，所以12p=，得2p =，所以抛物线方程为24x y =，故选：D4．函数()f x 的定义域为R ，导函数()f x '的图象如图所示，则函数()f x （）A ．无极大值点、有四个极小值点B ．有三个极大值点、一个极小值点C ．有两个极大值点、两个极小值点D ．有四个极大值点、无极小值点【正确答案】C【分析】设()f x '的图象与x 轴的4个交点的横坐标从左至右依次为1234,,,x x x x ，根据导函数的图象写出函数的单调区间，再根据极值点的定义即可得出答案.【详解】解：设()f x '的图象与x 轴的4个交点的横坐标从左至右依次为1234,,,x x x x ，当1x x <或23x x x <<或4x x >时，()0f x ¢>，当12x x x <<或34x x x <<时，()0f x '<，所以函数()f x 在()1,x -∞，()23,x x 和()4,x +∞上递增，在()12,x x 和()34,x x 上递减，所以函数()f x 的极小值点为24,x x ，极大值点为13,x x ，所以函数()f x 有两个极大值点、两个极小值点.故选：C ．5．已知点()1,0A ，直线l ：30x y -+=，则点A 到直线l 的距离为（）A ．1B ．2C D ．【正确答案】D【分析】利用点到直线的距离公式计算即可.【详解】已知点(1,0)A ，直线:30l x y -+=，则点A 到直线l =故选.D6．已知A ，B ，C ，D ，E 是空间中的五个点，其中点A ，B ，C 不共线，则“存在实数x ，y ，使得DE x AB y AC =+是“//DE 平面ABC ”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】利用存在实数x ，y ，使得DE xAB y AC =+⇔uuu ruu u ruuu r//DE 平面ABC 或DE ⊂平面ABC ，结合充分必要条件的定义即可求解.【详解】若//DE 平面ABC ，则,,DE AB AC uuu r uu u r uuu r 共面，故存在实数x ，y ，使得DE x AB y AC =+，所以必要性成立；若存在实数x ，y ，使得DE x AB y AC =+，则,,DE AB AC uuu r uu u r uuu r 共面，则//DE 平面ABC 或DE ⊂平面ABC ，所以充分性不成立；所以“存在实数x ，y ，使得DE x AB y AC =+是“//DE 平面ABC ”的必要不充分条件，故选：B关键点点睛：本题考查空间向量共面的问题，理清存在实数x ，y ，使得DE xAB y AC =+⇔uuu r uu u r uuu r//DE 平面ABC 或DE ⊂平面ABC 是解题的关键，属于基础题.7．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为（）A ．（1B ．（1C ．∞）D ．，＋∞）【正确答案】C【分析】根据渐近线的斜率的范围可求离心率的范围.【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为by x a=，由题意得2b a >，所以双曲线的离心率c e a ==>=故选：C.8．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，()()0xf x f x '-<，且()20f -=，则不等式()0f x x>的解集是（）．A ．()()2,00,2-⋃B ．()(),22,∞∞--⋃+C ．()()2,02,-+∞D ．()(),20,2-∞-【正确答案】D【分析】记()()(),0f x g x x x =≠.判断出()g x 的奇偶性和单调性，即可解不等式.【详解】记()()(),0f x g x x x=≠.因为()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()f x f x -=因为()()()()f x f x g x g x x x --==-=--，所以()g x 为奇函数，所以()()()()222222f fg g --==-=--.因为()20f -=，所以()()220g g -==.当0x >时，()()()20xf x f x g x x'-'=<，所以()g x 在()0,∞+上单减.因为()g x 为奇函数，图像关于原点对称，所以()g x 在(),0∞-上单减.不等式()0f x x>即为()0g x >.当0x >时，()g x 在()0,∞+上单减，且()20g =，所以()0g x >的解集为()0,2；当0x <时，()g x 在(),0∞-上单减，且()20g -=，所以()0g x >的解集为(),2-∞-.综上所述：()0f x x>的解集为()(),20,2-∞-.故选：D二、多选题9．下列导数运算正确的有（）A ．211x x'⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()(1)xx xe x e '=+C ．()222x x e e '=D ．()2ln 2x x'=【正确答案】BC【分析】根据导数的运算法则逐项运算排除可得答案.【详解】对于A ，()12211x x x x --'⎛⎫'==-=- ⎪⎝⎭，故错误；对于B ，()()(1)xx xx xe x ex e x e '''==++，故正确；对于C ，()()22222x x x e x e e ''==，故正确；对于D ，()()''11ln 222x x x x==，故错误.故选：BC.10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，其公差1d >，且7916+=a a ，则（）．A ．88a =B ．15120S =C ．11a <D ．22a >【正确答案】ABC【分析】利用等差数列基本量代换，对四个选项一一验证.【详解】对于A ：因为7916+=a a ，所以978216a a a +==，解得.88a =故A 正确；对于B.()1158151521581512022a a a S +⨯⨯===⨯=故B 正确；对于C ：因为88a =，所以178a d +=，所以187a d =-.因为1d >，所以11a <.故C 正确；对于D ：因为88a =，所以268a d +=，所以286a d =-.因为1d >，所以22a <.故D 错误.故选：ABC11．已知曲线1C ：函数()nx m f x x m+=-的图像，曲线()()2222:12C x y r -+-=，若1C 的所有对称轴平分2C ，且1C 与2C 有公共点，则r 的值可以等于（）．AB C D ．3【正确答案】BD【分析】先将()f x 整理成()nm mf x n x m+=+-可得()f x 的所有对称轴都经过(),m n ，故可求得1,2m n ==，再计算()f x 上的点到圆心()1,2M 的最短距离即可求得答案【详解】因为()nx m nm mf x n x m x m++==+--，且()f x 是由nm m y x +=向右平移m 个单位长度，向上平移n 个单位长度得到，nm my x+=的所有对称轴都经过()0,0，所以()nx m nm mf x n x m x m++==+--的所有对称轴都经过(),m n ，因为1C 的所有对称轴平分2C ，所以1C 的所有对称轴经过2C 的圆心()1,2M ，所以1,2m n ==，所以()321f x x =+-，设函数()f x 图象上的动点3,21P x x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，则MP =当且仅当311x x -=-时，取等号，所以()f x 上的点到圆心()1,2M ，若1C 与2C 有公共点，则r ≥故选：BD12．我国知名品牌小米公司今年启用了具备“超椭圆”数学之美的全新Logo ．新Logo 将原本方正的边框换成了圆角边框（如图），这种由方到圆的弧度变化，为小米融入了东方哲学的思想，赋予了品牌生命的律动感．设计师的灵感来源于数学中的曲线:1nnC x y +=，则下列有关曲线C 的说法中正确．．的是（）．A ．对任意的n ∈R ，曲线C 总关于原点成中心对称B ．当0n >时，曲线C 上总过四个整点（横、纵坐标都为整数的点）C ．当01n <<时，曲线C 围成的图形面积可以为2D ．当1n =-时，曲线C 上的点到原点最近距离为【正确答案】ABD【分析】对于A ：利用代数法验证；对于B ：直接求出曲线C 过四个整点()()()()1,0,1,0,0,1,0,1--，即可判断；对于C ：先判断出||||1x y +=与坐标轴围成的面积为2，再判断出1nnx y +=在||||1x y +=内部,即可判断；对于D ：表示出距离222221x d x y x x ⎛⎫=+=+ ⎪-⎝⎭.令()11x t t -=>-,利用基本不等式求出最小值.【详解】对于A ：在曲线:1nnC x y +=中,以x -替换x ,以y -替换y ,方程不变,则曲线C 关于原点成中心对称.故A 正确；对于B,当0n >时,令0x =,得1y =±；令0y =,得1x =±.曲线C 总过四个整点()()()()1,0,1,0,0,1,0,1--.故B 正确；对于C ：当01n <<时,由1nnx y +=,得:1,1x y ≤≤,且等号不同时成立.∴||||||||1n n x y x y +>+=.又||||1x y +=与坐标轴围成的面积为2222⨯=，且1n nx y +=在||||1x y +=内部,则曲线C 围成图形的面积小于2.故C 错误.对于D ：当1n =-时,曲线C 的方程为.11||||1x y --+=不妨令,x y 均大于0,曲线化为111x y +=，即1x y x =-，则222221x d x y x x ⎛⎫=+=+ ⎪-⎝⎭.令()11x t t -=>-,则2222222112(1)2228t t d t t t t t t ++=++=++++≥+=，当且仅当221t t =且22t t=,即1t =时等号成立.结合对称性可知,曲线C 上点到原点距离的最小值为故D 正确.故选：ABD.三、填空题13．已知{}n a 是公比为2的等比数列，则1234a a a a ++的值为______．【正确答案】14##0.25【分析】利用等比数列的通项公式计算即可.【详解】{}n a 是公比为2的等比数列，121113411123148124a a a a a a a a a a ++∴===++故答案为.1414．设点P是曲线32y x =-+上的任意一点，P 点处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是______.【正确答案】20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【分析】求出23'=-y xtan α≥，根据α的范围可得答案.【详解】∵23y x '=-∴tan α≥，又∵0απ≤≤，∴02πα≤<或23a ππ≤<则角α的取值范围是20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭.故答案为.20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭15．已知数列{}n a 满足()21n a n m n =--，若满足123456a a a a a a <<<<<且对任意[)9,n ∈+∞，都有1n n a a +>，则实数m 的取值范围是______．【正确答案】1016,1117⎛⎫⎪⎝⎭【分析】由123456a a a a a a <<<<<解出1111m -<，由对任意[)9,n ∈+∞，都有1n n a a +>，解出1117m ->，即可求出实数m 的取值范围.【详解】因为()21n a n m n =--，若满足123456a a a a a a <<<<<，所以()()()()()()222222111212313414515616m m m m m m --⨯<--⨯<--⨯<--⨯<--⨯<--⨯，解得.1111m -<因为对任意[)9,n ∈+∞，都有1n n a a +>，由二次函数的性质可得：()()101910212m m ⎧--<⎪+⎨-<⎪--⎩，解得.1117m ->所以1111711m <-<，解得.10161117m <<所以实数m 的取值范围为1016,1117⎛⎫ ⎪⎝⎭.故1016,1117⎛⎫ ⎪⎝⎭16．若方程2l e n 1x x ax x -=--存在唯一实根，则实数a 的取值范围是_____.【正确答案】(]1,01e ⎧⎫-∞+⎨⎬⎩⎭【分析】方程2l en 1xx ax x -=--存在唯一实根，则2ln 1e x x a x x-++=存在唯一实根，则函数y a =与函数()()2ln 1ln 10e ,e xx f x x x x x x x x-+++==+>有唯一的交点，利用导数分析()f x 的单调性，并在同一坐标系中做出y a =与函数()e ln 1x f x xx x +=+的图象，即可求解【详解】方程2l e n 1x x ax x -=--存在唯一实根，则2ln 1e x x a x x -++=存在唯一实根，令()()2ln 10e ,x x x x xf x -++=>，则()()2221e n e e 2l 1x x x x x x x x x x f x ---⎛⎫-+⋅- +⎪⎭+⎝'=()222231l e l e n e n x x x x x x x x xx x ----+==-⋅--令()()()2211ln e e ln xxx x h x x x x x --⋅=-++⋅=，注意到()10h =，则()10f '=，且当()0,1x ∈时，210,ln 0,0,e 0x x x x >-<><，所以()()22110,n eel 0xxx x x x x ⋅⋅--<+<，即()0h x <；当()1,x ∈+∞时，210,ln 0,0,e 0x x x x >->>>，所以()()22110,n e e l 0xxx x x x x ⋅⋅-->+>，即()0h x >；所以当()0,1x ∈时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；又()()2ln 1ln 10e ,e x x f x x x x x x x x-+++==+>，当()1,x ∈+∞时，()0f x >恒成立；当0x →时，()f x →-∞；所以()()2ln 1ln 10e ,e x x f x x x x x x x x-+++==+>的大致图象为：由2ln 1e x x a x x-++=存在唯一实根，则函数y a =与函数()()2ln 1ln 10e ,e x x f x x x x x x x x-+++==+>有唯一的交点，由图象可知0a ≤或11ea =+时满足条件，所以方程2l e n 1x x ax x -=--存在唯一实根时，实数a 的取值范围是(]1,01e a ⎧⎫∈-∞⋃+⎨⎬⎩⎭故(]1,01e ⎧⎫-∞⋃+⎨⎬⎩⎭四、解答题17．已知函数321()213f x x x =-++.（1）求()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在区间[]1,2-上的最大值与最小值.【正确答案】（1）单调递增区间为[]0,4；单调减区间为(),0∞-和()4,+∞；（2）()min 1f x =；()max 193f x =.（1）求出导函数，令()0f x ¢>，求出单调递增区间；令()0f x '<，求出单调递减区间.（2）求出函数的单调区间，利用函数的单调性即可求解.【详解】(1)函数()f x 的定义域是R ，2()4f x x x '=-+，令()0f x '≥，解得04x ≤≤令()0f x '<，解得>4x 或0x <，所以()f x 的单调递增区间为[]0,4，单调减区间为(),0∞-和()4,+∞；(2)由()()1f x 在[)1,0-单调递减，在[]0,2单调递增，所以()()min 01f x f ==，而()81928133f =-++=，()11012133f -=++=，故最大值是()9231f =.18．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线与x 轴交于点()1,0M -．（1）求抛物线C 的方程；（2）若过点M 的直线l 与抛物线C 相切，求直线l 的方程．【正确答案】（1）24y x =；（2）10x y -+=或10x y ++=（1）利用准线方程2p x =-求解（2）设出直线方程，与抛物线方程联立，利用0∆=求解.【详解】（1）2:2(0)C y px p =>的准线2p x =-过()1,0M -故12p -=-，则2p =抛物线方程为24y x=（2）设切线方程为1x my =-与抛物线方程联立有2440y my -+=()24160m ∆=-=故1m =±故直线l 的方程为：10x y -+=或10x y ++=求抛物线的切线方程的方法：方法一：将抛物线转化为二次函数，然后利用导数求解切线方程，这在开口朝上的抛物线中经常用到。
2024北京延庆区高二(上)期末数学试题及答案
2024北京延庆高二（上）期末数 学本试卷共4页，150分，考试时长120分钟.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{}24A x x =≤，集合{}0B x x =>，则A B ⋃=（ ） A. (],2−∞−B. [)2,0−C. [)2,−+∞D. (]0,22. 已知双曲线的一个焦点是(5,0)，渐近线方程为34y x ，则双曲线的离心率为（ ） A.53B.54 C.35D.453. 复数()i 23i z =+，则z 的虚部为（ ） A. 2B. 3−C. 2iD. 3i4. 已知P 是椭圆22194x y +=上的动点，则P 到椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）A. 3B. 4C. D. 65. 到定点1,0()F 的距离比到y 轴的距离大1的动点且动点不在x 轴的负半轴的轨迹方程是（ ） A. 28y x =B. 24y x =C. 22y x =D. 2y x =6. 正方体1111ABCD A B C D −的棱长为2，则点1C 到平面11BD A 的距离为（ ）A. 1D. 27. 已知圆224x y +=上一点A 和圆22440x y x y +−−=上一点B ，则AB 的最大值为（ ）A. 2+B. 2+C.D.8. “12m <<”是“方程22121x y m m +=−−表示椭圆”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9. 若不论k 为何值，直线(2)y k x b =−+与曲线229x y +=总有公共点，则b 的取值范围是（ ）．A. (B. ⎡⎣C. (2,2)−D. []22−,10. 在平面直角坐标系xOy 中，点(1,1)A ，(2,1)B ，(2,2)C ，P 是圆22:(4)2M x y +−=上一点，Q 是ABC 边上一点，则OP OQ ⋅的最大值是（ ）A.B. 12C.D. 16第二部分 （非选择题 共110 分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 椭圆223412x y +=的长轴长为_________．12. 双曲线2214y x −=的渐近线方程是__________．13. 已知圆222x y +=，求经过点(1,1)的圆的切线方程_________． 14. 已知方程22||40x x y −+=，求y 的取值范围_________．15. 若曲线(),0F x y =上的两点()111,P x y ，()222,P x y 满足1212,x x y y ≤≥，则称这两点为曲线(),0F x y =上的一对“双胞点”.下列曲线中：①()221043x y y +=<；②()221043x y xy −=>；③()240y x y =>；④1x y +=.存在“双胞点”的曲线序号是_________．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. 根据下列条件，分别求出曲线的标准方程： （1）焦距是6，过点(0,5)，焦点在y 轴上的椭圆；（2）一个焦点是(5,0)340x y −=的双曲线； （3）焦点到准线的距离是4，而且焦点在y 轴上的抛物线.17. 已知过点()0,5P 的直线l 被圆22:412240C xy x y ++−+=所截得的弦长为（1）写出圆C 的标准方程及圆心坐标、半径； （2）求直线l 的方程．18. 如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，点E 为棱PD 的中点，1AB =，2AD AP ==.（1）求平面ACE 与平面PAB 夹角的余弦值；（2）若F 为棱PC 的中点，则棱PA 上是否存在一点G ，使得PC ⊥平面EFG . 若存在，求线段AG 的长；若不存在，请说明理由.19. 已知抛物线C ：y 2=4x ，过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，定点M （5，0）． （1）若直线l 的斜率为1，求△ABM 的面积；（2）若△AMB 是以M 为直角顶点的直角三角形，求直线l 的方程．20. 已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的短半轴长为1，焦距为（1）求椭圆E 的离心率；（2）设椭圆E 的右顶点为A ，过点()4,0P 且斜率为(0)k k ≠的直线交椭圆E 于不同的两点,B C ，直线,AB AC 分别与直线4x =交于点,M N ．求PM PN +的取值范围．21. 给定正整数2n ≥，设集合(){}{}12,,,,0,1,1,2,,n k M t t t t k n αα==∈=．对于集合M 中的任意元素()12,,,n x x x β=和()12,,,n y y y γ=，记1122n n x y x y x y ⋅=+++βγ．设A M ⊆，且集合(){}12,,,,1,2,,i i i i in A t t t i n αα===，对于A 中任意元素,i j αα，若,,1,,i j p i j i j αα=⎧⋅=⎨≠⎩则称A 具有性质(),T n p ． （1）判断集合()()(){}1,1,0,1,0,1,0,1,1A =是否具有性质()3,2T ？说明理由；（2）判断是否存在具有性质()4,T p 的集合A ，并加以证明．参考答案第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 【答案】C 【解析】【分析】化简{}|22A x x =−≤≤，再由集合并集的运算即可得解.【详解】由题意{}{}2|4|22A x x x x =≤=−≤≤，{}0B x x =>，所以{}{}{}[)|220|22,A B x x x x x x ∞⋃=−≤≤⋃>=≥−=−+. 故选：C. 2. 【答案】B 【解析】【分析】根据题意求出,a c ，再根据离心率公式即可得解. 【详解】设双曲线的实轴长为2a ，虚轴长为2b ，焦距为2c ， 由题意可得双曲线的焦点在x 轴上，且5c =，34b a ， 所以34b a =， 又222+=a b c ，所以2252516a =，解得216a =，所以4a =， 所以双曲线的离心率54c a =. 故选：B . 3. 【答案】A 【解析】【分析】先根据复数的乘法运算求解出z ，则复数的虚部可知. 【详解】因为()2i 23i 2i 3i 32i z =+=+=−+，所以z 的虚部为2，故选：A. 4. 【答案】D 【解析】【分析】根据椭圆方程求解出a 的值，再由椭圆定义可知结果. 【详解】由椭圆方程可知：3a =，由椭圆定义可知：P 到椭圆的两个焦点的距离之和为26a =， 故选：D .5. 【答案】B 【解析】【分析】根据抛物线的定义即可得解.【详解】因为动点到定点1,0()F 的距离比到y 轴的距离大1， 所以动点到定点1,0()F 的距离等于到=1x −的距离， 所以动点的轨迹是以1,0()F 为焦点，=1x −为准线的抛物线， 所以动点的轨迹方程是24y x =. 故选：B. 6. 【答案】B 【解析】【分析】根据等体积法可知111111C A BD B A C D V V −−=，然后计算出11111,A BD A C D S S，结合三棱锥体积公式则点1C 到平面11BD A 的距离可求.【详解】设点1C 到平面11BD A 的距离为d ， 因为111111C A BD B A C D V V −−=，所以1111111133A BD A C D S d S BB ⨯⨯=⨯⨯，又因为11122A BD S=⨯=11112222A C D S =⨯⨯=，所以112233d ⨯=⨯⨯，所以d = 故选：B .7.【答案】A 【解析】【分析】利用两圆的位置关系数形结合计算即可.【详解】易知圆224x y +=的圆心为原点()0,0，半径12r =，由圆()()2222440228x y x y x y +−−=⇒−+−=，故其圆心为()2,2，半径2r =两圆圆心距为()2d ==，所以两圆相交，则12max 2AB d r r =++=+，如图所示.故选：A 8. 【答案】B 【解析】【分析】根据“12m <<”与“方程22121x y m m +=−−表示椭圆”的互相推出关系判断出属于何种条件.【详解】当12m <<时，取32m =，此时22221221x y x y m m +=⇔+=−−，故方程表示圆；当方程22121x ym m +=−−表示椭圆时，则201021m m m m −>⎧⎪−>⎨⎪−≠−⎩， 解得312m m ⎧<<⎨⎩或322m ⎫<<⎬⎭，此时312m m ⎧<<⎨⎩或322m ⎫<<⎬⎭是{}12m m <<的真子集， 所以312m m ⎧<<⎨⎩或322m ⎫<<⎬⎭可推出{}12m m <<； 综上可知，“12m <<”是“方程22121x y m m +=−−表示椭圆”的必要而不充分条件，故选：B . 9. 【答案】B 【解析】【分析】由题知直线恒过定点(2,)b ，进而将问题转化为点(2,)b 在圆内或圆上问题求解即可. 【详解】解：由直线方程可知直线恒过定点(2,)b ，要使直线(2)y k x b =−+与曲线229x y +=总有公共点，则点(2,)b 在圆内或圆上， 所以2229b +≤，解得：b ≤≤所以，b 的取值范围是：⎡⎣.故选：B ． 10. 【答案】B 【解析】【分析】设1122(,),(,)P x y Q x y ，则1212OP OQ x x y y ⋅=+，因为22[1,2],[1,2]x y ∈∈，所以当222,2x y ==，即Q 点与C 点重合时，1212OP OQ x x y y ⋅=+有最大值112()x y +，问题转化为11(,)P x y 在圆22:(4)2M x y +−=上，求11x y +的最大值，【详解】解：设1122(,),(,)P x y Q x y ，则1122(,),(,)OP x y OQ x y ==， 所以1212OP OQ x x y y ⋅=+， 因为22[1,2],[1,2]x y ∈∈，所以当222,2x y ==，即Q 点与C 点重合时，1212OP OQ x x y y ⋅=+有最大值112()x y +， 所以问题转化为11(,)P x y 在圆22:(4)2M x y +−=上，求11x y +的最大值， 因为点(,)P x y 在圆M 上，设点(,)P x y 所在的直线l 为x y t +=， 因为直线l 与圆M 有公共点，≤所以42t −≤，解得26t ≤≤，即1126x y ≤+≤， 所以1142()12x y ≤+≤， 所以OP OQ ⋅的最大值是12， 故选：B【点睛】关键点点睛：此题考查向量数量积的运算律，考查直线与圆的位置关系，解题的关键是当222,2x y ==，即Q 点与C 点重合时，1212OP OQ x x y y ⋅=+有最大值112()x y +，问题转化为11(,)P x y 在圆22:(4)2M x y +−=上，求11x y +的最大值，然后利用直线与圆的位置关系求解即可，考查数形结合的思想，属于中档题第二部分 （非选择题 共110 分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 【答案】4 【解析】【分析】将椭圆方程化为标准方程，根据椭圆的性质计算即可.【详解】由22223412143x y x y +=⇔+=，显然椭圆的焦点在横轴上，其实轴长为24=. 故答案为：4 12. 【答案】2y x =± 【解析】【详解】根据双曲线的渐近线公式得到,2ay x y x b=±=± 故答案为2y x =±. 13. 【答案】20x y +−= 【解析】【分析】由题可知切线的斜率存在，设出切线方程利用圆心到切线的距离为半径可求斜率，从而得到切线方程.【详解】由题可知切线的斜率存在，设切线方程为()11y k x −=−，即10kx y k −+−=，=1k =−，所以切线方程为20x y +−=.故答案为：20x y +−=. 14.【答案】(,[42,)−∞−+∞【解析】【分析】分离出||y ，得4||2=+y x x，求出对应的4()2f x x x=+的值域即可求解. 【详解】当0x =时，原式化为4=，无解，故0x ≠， 则4||2=+y x x，由||0≥y 得0x >，设4()2f x x x=+，由对勾函数知， 函数()f x 在单调递减，)+∞单调递增，故min ()f x f ==，则()fx 的值域为)+∞， 即||y ≥，则y ≥y ≤−故答案为：(,[42,)−∞−+∞15. 【答案】①④ 【解析】【分析】根据定义结合椭圆、双曲线、抛物线的性质与图象一一判定即可.【详解】对于①()221043x y y +=<，如(1231,,0,2P P ⎛⎫−− ⎪⎝⎭显然符合“双胞点”定义；对于②()221043x y xy −=>，易知其图象为双曲线221?43x y −=的图象在第一、三象限的部分， 显然该部分图象单调递增，没有符合“双胞点”定义的点；对于③()240y x y =>，易知其图象为抛物线24y x =的图象在第一象限的部分，显然该部分图象单调递增，没有符合“双胞点”定义的点； 对于④1x y +=，如()12111,0,,22P P ⎛⎫−− ⎪⎝⎭显然符合“双胞点”定义； 综上①④有“双胞点”. 故答案为：①④【点睛】思路点睛：根据“双胞点”的定义结合椭圆、双曲线、抛物线的图象与性质一一判定选项即可.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. 【答案】（1）2212516y x +=；（2）221169x y −=； （3）28x y =±. 【解析】【分析】（1）根据椭圆的焦距与顶点及焦点在y 轴上写出椭圆标准方程即可； （2）根据双曲线的焦点及渐近线方程写出双曲线标准方程即可； （3）根据抛物线的性质及焦点在y . 【小问1详解】由题意可设()222210y x a b a b+=>>，可知22222625,1625a b a b a ⎧⎛⎫−=⎪ ⎪⇒==⎨⎝⎭⎪=⎩， 则椭圆的标准方程为：2212516y x +=；【小问2详解】易知双曲线的焦点在横轴上，可设标准方程为()222210,0x y a b a b−=>>，则2225a b ，且0bx ay −=是其一条渐近线，即34ba ，故2216,9a b ==，所以双曲线的标准方程为：221169x y −=；【小问3详解】若焦点在纵轴正半轴，可设抛物线标准方程为：()220x py p =>，因为焦点到准线的距离是4，则有4p =，所以28x y =，若焦点在纵轴负半轴上，可设抛物线标准方程为：()220x py p =−>，因为焦点到准线的距离是4，则有4p =，所以28x y ，综上抛物线的标准方程为：28x y =±.17. 【答案】（1）()()222616x y ++−=，圆心坐标为()2,6−，半径为4.（2）34200x y −+=或0x =. 【解析】【分析】（1）根据圆的一般方程与圆的标准方程的关系，即可求解；（2）根据直线与圆的位置关系，当直线斜率存在时，结合勾股定理和点到直线的距离公式即可求解，当直线斜率不存在时，特殊情形验证下即可.【小问1详解】由题意整理圆的方程得，标准方程为()()222616x y ++−=，故圆心坐标为()2,6−，半径为4.【小问2详解】由（1），又直线被圆截得的弦长为2=，当直线斜率存在时，设直线的斜率为k ,则过(0,5)P 的直线，可设为5y kx =+，即50kx y −+=， 直线与圆C 的圆心相距为2，2d ∴==，解得34k =，此时直线的方程为34200x y −+=，当直线的斜率不存在时，直线的方程为0x =，也符合题意. 故所求直线的方程为34200x y −+=或0x =. 18. 【答案】（1 （2）不存在，因为,PC EF 不垂直. 【解析】【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算面面夹角即可； （2）设存在点G 满足条件，利用线面垂直的向量关系判定即可.【小问1详解】因为底面ABCD 是矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，可知,,PA AB AD 三线两两垂直，如图示建立空间直角坐标系，由题意可知()()()1,2,0,0,0,2,0,2,0C P D ，所以()0,1,1E ,则()()0,1,1,1,2,0AE AC ==，设平面ACE 的一个法向量为(),,m a b c =，则020m AE b c m AC a b ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩， 令1b ，则2,1a c ==，即()2,1,1m =−，易知平面PAB 的一个法向量为()0,1,0n =，设平面ACE 与平面PAB 的夹角为α，则1cos cos ,66m nm n m n α⋅====⋅； 【小问2详解】假设存在点G ，使得PC ⊥平面EFG ，且()0,0,G t ，根据（1）可知()1,1,1,1,2,22F PC ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，则()1,0,0,0,1,12EF EG t ⎛⎫==−− ⎪⎝⎭， 若PC ⊥平面EFG ，又EF ⊂平面EFG ，所以PC EF ⊥，而102PC EF ⋅=≠，则PC EF ⊥不成立，所以PC⊥平面EFG 不成立. 19. 【答案】（1）（2）(1)3y x =±− 【解析】【分析】（1）AB 的斜率为1时，:1l y x =−，代入抛物线方程得2610x x −+=，求出||AB ，点M到直线AB 的距离，即可求ABM 的面积；（2）设出过焦点弦的直线方程，与抛物线方程联立消去y ，根据韦达定理表示出12242x x k +=+，121=x x ，124y y =−，由MA MB ⊥，求得k 值，进而得出结论．【小问1详解】解：由题意(1,0)F ，当AB 的斜率为1时，:1l y x =−代入抛物线方程得2610x x −+=设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，126x x +=，12||28AB x x =++=，点M 到直线AB的距离d ==ABM ∴的面积182S =⨯⨯=； 【小问2详解】 解：易知直线l x ⊥时不符合题意．可设焦点弦方程为(1)y k x =−，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 代入抛物线方程得2222(24)0k x k x k −++=，则12242x x k+=+，121=x x ，124y y =− MA MB ⊥，1(5MA x =−，1)y ，2(5MB x =−，2)y ， ∴121212245()25225(2)0MA MB x x x x y y k ⋅=−+++=−⨯+=，k ∴= 故L的方程为1)3y x =±− 20. 【答案】（1）2 （2）()+∞【解析】 【分析】（1）由短半轴，焦距及222a b c =+求解出,,a b c ，再根据离心率公式即可得解；（2）设出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理表达出1PM PN k +=，结合2112k <求得答案. 【小问1详解】依题意知22212b c a b c =⎧⎪=⎨⎪=+⎩，解得2,1,a b c ===，所以离心率c e a ==； 【小问2详解】由（2）得，椭圆E 的方程为2214x y +=，则()2,0A ， 设直线BC 的方程为()()40y k x k =−≠，联立()22414y k x x y ⎧=−⎪⎨+=⎪⎩得()222214326440k x k x k +−+−=， ()()()()2222232414644161120k k k k ∆=−+−=−>，得2112k <，且20k ≠.， 设()()1122,,,B x y C x y ，122,2x x <<， 则22121222326441414k k x x x x k k−+==++,， 设()()4,,4,M m N n ，依题意有:1122y m x =−，2222y n x =−， 因为()()21212440y y kx x =−−>， 所以()()12124022y y mn x x =>−−， 所以12122222y y PM PN m n m n x x +=+=+=+−− ()()1212242422k x k x x x −−=+−−()1212124424x x k x x x x ⎡⎤+−=−⎢⎥−++⎢⎥⎣⎦ 2222223241144164432241414k k k k k k k k ⎡⎤−⎢⎥+=−=⎢⎥−⎢⎥−⨯+⎢⎥++⎣⎦， 因为2112k <，且20k ≠，所以1k >， 所以PM PN +的取值范围是()+∞.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 21. 【答案】（1）A 具有性质()3,2T ，理由见解析；（2）不存在，证明见解析.【解析】【分析】（1）根据定义计算即可判定；（2）根据定义对p 进行讨论，一一计算即可证明.【小问1详解】对于集合()()(){}1,1,0,1,0,1,0,1,1A =，根据定义可知()()()()()()1,1,01,1,021,0,11,0,120,1,10,1,12⎧⋅=⎪⋅=⎨⎪⋅=⎩，且()()()()()()1,1,01,0,111,0,10,1,110,1,11,1,01⎧⋅=⎪⋅=⎨⎪⋅=⎩符合定义，所以A 具有性质()3,2T ；【小问2详解】假设存在A 具有性质()4,T p ，根据定义易知A 中有4个元素且{}0,1,2,3,4p ∈，①若0p =，则(){}0,0,0,0A =，没有4个元素，不符题意舍去； ②若1p =，则()()()(){}1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1A ⊆，而()()1,0,0,00,1,0,00⋅=，不符题意舍去； ③若2p =，则()()()()()(){}1,1,0,0,0,1,1,0,0,0,1,1,1,0,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1A ⊆，而()()()()()()1,1,0,00,0,1,11,0,1,00,1,0,11,0,0,10,1,1,00⋅=⋅=⋅=，故A 中至多包含3个元素，不符题意舍去；④若3p =，则()()()(){}1,1,1,0,0,1,1,1,1,0,1,1,1,1,0,1A ⊆，而()()1,1,1,01,1,0,12⋅=，不符题意舍去； ⑤若4p =，则(){}1,1,1,1A ⊆，没有4个元素，不符题意舍去； 综上可知：不存在具有性质()4,T p 的集合A .【点睛】思路点睛：第二问需要根据定义得出{}0,1,2,3,4p ∈，从而分五种情况进行讨论，讨论时依次得出集合A 的可能情况结合定义验证判定即可.。
2023-2024学年江苏省常州市高二上学期期末数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年江苏省常州市高二上册期末数学模拟试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.若直线(1)10x a y +-+=与直线210ax y +-=互相垂直，则实数=a （）A.32B.23C.1-D.2【正确答案】B【分析】直接根据直线垂直公式计算得到答案.【详解】由两直线互相垂直可知2(1)0a a +-=，解得23a =，故选：B.本题考查了根据直线垂直求参数，属于简单题.2.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233,,a S a 成公比为q 的等比数列，则q =（）A.13B.1C.13-D.3【正确答案】B【分析】由等比中项的性质结合等差数列的通项公式得出1a d =，进而由213S q a =得出q .【详解】等差数列{}n a 的公差为d ，则21312,2S a d a a d =+=+，因为1233,,a S a 成公比为q 的等比数列，所以()()2111232a d a a d +=+，整理得()210a d -=，故1a d =，则213133S d q a d===故选：B3.若数列{}n a 满足111n na a +=-，且12a =，则2022a =（）A.－1 B.2C.D.12【正确答案】A【分析】根据递推公式求出{}n a 的周期即可.【详解】由题意，1234112,1,121,11222a a a a ==-==-=-=+=，又1231211111,1,11n n n n n n n n a a a a a a a a +++++=-=-==-=-，∴{}n a 是周期为3的周期数列，20223367331a a a +⨯===-.故选：A.4.函数()||3e x x xf =的部分图象大致为（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】先求解()f x 的定义域并判断奇偶性，然后根据()1f 的值以及()f x 在()0,∞+上的单调性选择合适图象.【详解】()e 3x f x x =定义域为()(),00,-∞⋃+∞，()e3xf x x-=-，则()()f x f x -=-，()f x 为奇函数，图象关于原点对称，故排除B ；()e113f =<，故排除A ；∵()e3xf x x =，当0x >时，可得()()21e 3xx f x x-'=，当1x >时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，故排除D.故选：C.5.椭圆焦点为1F ，2F ，过1F 的最短弦PQ 长为10，2PF Q ∆的周长为36，则此椭圆的离心率为 A.33B.13C.23D.63【正确答案】C【详解】试题分析：设椭圆方程为22221x y a b +=其焦点坐标为1F (-c,0)，由已知P 、Q 坐标为：M(-c,2b a ),N(-c,-2b a )所以，2·2b a=10，25b a =；△P 2F Q 的周长为36|P 2F |=|2F Q|=36|PQ|2-=13,c=62a =225b c a +=+36，所以(a-9)(a+4)=0因为a>0,所以，a=9，椭圆的离心率为23，故选C ．考点：本题主要考查了椭圆的标准方程、几何性质．点评：过1F 的最短弦PQ 垂直于x 轴，另外，由椭圆的对称性，△P 2F Q 是一直角三角形．6.《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织六尺，今一月织十一匹三丈(1匹40=尺，一丈10=尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织6尺，一月织了十一匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，记该女子一个月中的第n 天所织布的尺数为n a ，则13292430a a a a a a ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+的值为（）A.1415B.1617C.2324D.23【正确答案】C 【分析】由题意，数列{}n a 为等差数列，利用1a 和30S 求出公差d 和通项公式，利用等差数列的性质化简132915243016a a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+，求解1516a a 即可.【详解】由题意，数列{}n a 为等差数列，16a =，301140310470S =⨯+⨯=，设数列{}n a 公差为d ，由等差数列前n 项和公式，()30303013064702S d ⨯-=⨯+=，解得23d =，所以()221661333n a n n =+-⨯=+()12913291515152a a a a a a +⨯++⋅⋅⋅+==，()23024301615152a a a a a a +⨯++⋅⋅⋅+==，所以132915243016216152333216241633a a a a a a a a ⨯+++⋅⋅⋅+===++⋅⋅⋅+⨯+.故选：C本题主要考查利用等差数列前n 项和公式求解通项公式和等差数列性质的应用，熟练掌握等差数列相关公式是求解的关键，考查学生的转化能力和计算能力，属于中档题.7.已知函数()1y f x =-的图像关于点()1,0对称，且当(),0x ∈-∞，()()0f x xf x '+<成立.若()()0.20.222a f =⋅，()()ln 2ln 2b f =⋅，2211log log 44c f ⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（）A.a b c >> B.b a c >>C.c a b >> D.a c b>>【正确答案】C【分析】由题知()f x 是奇函数，令()()g x xf x =，进而得函数()g x 为偶函数，在()0,∞+上单调递增，再根据函数单调性比较大小即可.【详解】解：函数()1y f x =-的图像关于点()1,0对称，所以函数()f x 图像关于点()0,0对称，即()f x 是奇函数，()()f x f x -=-构造函数()()g x xf x =，()()()g x f x xf x ''=+，因为当(),0x ∈-∞时，()()()0g x f x xf x =+'<'，所以函数()g x 在(),0x ∈-∞上单调递减．因为()()f x f x -=-，()()()()g x xf x xf x g x -=--==，所以函数()g x 为偶函数，所以，函数()g x 在()0,∞+上单调递增，因为()0.20.222a f ==()0.22g ，()ln2ln2b f ==()ln2g ()()()2211log log 2222244c f f f g ⎛⎫⎛⎫=⋅=--== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0.2122ln20>>>>所以，()()()0.222ln2g g g >>，即c a b >>.故选：C ．8.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一；享有“数学王子“的称号.用他名字定义的函数称为高斯函数()[]f x x =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，已知数列{}n a 满足12a =，26a =，2156n n n a a a +++=，若[]51log n n b a +=，n S 为数列11000n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和，则[]2023S =（）A.999B.749C.499D.249【正确答案】A【分析】根据递推关系可得{}1n n a a +-为等比数列，进而可得1145n n n a a -+=⨯-，由累加法可求解151n n a +=+，进而根据对数的运算性质可得[]51log n n b a n +==，根据裂项求和即可求解.【详解】由2156n n n a a a +++=得()2115n n n n a a a a +++-=-，因此数列{}1n n a a +-为公比为5，首项为214a a -=的等比数列，故1145n n n a a -+=⨯-，进而根据累加法得()()()()1111112024555251n n n n n n n n a a a a a a a a ++---=+++=++-+-++=+- ，由于()515log log 51nn a +=+，又()()()5555log 5log 51log 55log 511nnnnn n <+<⨯⇒<+<+，因此[]51log n n b a n +==，则()11000100011100011n n n c b b n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅⋅++⎝⎭，故12110001n n S c c c n ⎛⎫=+++=- ⎪⎝⎭，所以[]20231100010001100099920232023S ⎡⎤⎛⎫⎡⎤=-=-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选：A方法点睛：常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于n n n c a b =+，其中{}n a 和{}n b 分别为特殊数列，裂项相消法类似于()11n a n n =+，错位相减法类似于n n n c a b =⋅，其中{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列等.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知曲线C 的方程为221()91x y k k k +=∈--R ．（）A.当5k =时，曲线C 是半径为2的圆B.当0k =时，曲线C 为双曲线，其渐近线方程为13y x=±C.存在实数k ，使得曲线C的双曲线D.“1k >”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的必要不充分条件【正确答案】ABD 【分析】A.由5k =得到曲线方程判断；B.由0k =得到曲线方程判断；C.根据曲线C为离心率为的双曲线，则由910k k -+-=判断；D.利用充分和必要条件的定义判断.【详解】A.当5k =时，曲线方程为224x y +=，所以是半径为2的圆，故正确；B.当0k =时，曲线方程为2219x y -=，所以是双曲线，且其渐近线方程为13y x =±，故正确；C.若曲线C的双曲线，则910k k -+-=，方程无解，故错误；D.当10k =时，1k >，曲线C 为焦点在y 轴上的椭圆，故不充分，当曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆时，则1091k k k ->⎧⎨->-⎩，解得15k <<，故必要，故正确；故选：ABD本题主要考查曲线与方程，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.10.下列命题中，正确的命题有（）A.a b a b +=- 是a ，b共线的充要条件B.对空间中任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若243OP OA OB OC =-+，则P ，A ，B ，C 四点共面C.若a b ∥，则存在唯一的实数λ，使得a bλ=D.若{},,a b c为空间的一个基底，则{},2,3a b b c c a +++ 构成空间的另一个基底【正确答案】BD【分析】对于选项A ：根据向量的模相等关系，结合充要条件判断；对于选项B ：利用共面向量定理判断；对于选项C ：利用平面向量的基本定理判断；对于选项D ：根据空间向量的基底判断.【详解】对于选项A ：当a b a b +=- 时，a ，b 共线，但当a ，b同向共线，a b a b +≠- ，故a b a b +=- 是a ，b共线的充分不必要条件，故A 错误；对于选项B ：若243OP OA OB OC =-+，而2431-+=，根据共面向量定理得P ，A ，B ，C 四点共面，故B 正确；对于选项C ：当0b = 时，a b ∥，不存在唯一的实数λ，使得a b λ=，故C 错误；对于选项D ：若{},,a b c 为空间的一个基底，则,,a b c 不共面，则,2,3a b b c c a +++不共面，则{},2,3a b b c c a +++可以构成空间的另一个基底，故D 正确；故选：BD.11.已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，22n n S a =-，若存在两项m a ，n a ，使得64m n a a =，则（）A.数列{}n a 为等差数列B.数列{}n a 为等比数列C.22212413n n a a a -+++=L D.m n +为定值【正确答案】BD 【分析】由n S 和n a 的关系求出数列{}n a 为等比数列，所以选项A 错误，选项B 正确；利用等比数列前n 项和公式，求出122212443n n a a a +-+++=L ，故选项C 错误，由等比数列的通项公式得到62642m n +==，所以选项D 正确.【详解】由题意，当1n =时，1122S a =-，解得12a =，当2n ≥时，1122n n S a --=-，所以()111222222n n n n n n n a S S a a a a ----=-=---=，所以12nn a a -=，数列{}n a 是以首项12a =，公比2q =的等比数列，2n n a =，故选项A 错误，选项B 正确；数列{}2na 是以首项214a=，公比14q =的等比数列，所以()()21112221211414441143n n n n a q a a a q +-⨯--+++===--L ，故选项C 错误；6222642m n m n m n a a +====，所以6m n +=为定值，故选项D 正确.故选：BD本题主要考查由n S 和n a 的关系求数列的通项公式，等比数列通项公式和前n 项和公式的应用，考查学生转化能力和计算能力，属于中档题.12.某数学研究小组在研究牛顿三叉戟曲线21()2f x x x=+时通过数学软件绘制出其图象（如图），并给出以下几个结论，则正确的有（）A.函数()f x 的极值点有且只有一个B.当0x >时，|()|()f x f x -<恒成立C.过原点且与曲线()y f x =相切的直线有且仅有2条D.若()()1212,0f x f x x x =<<，则21x x -【正确答案】ABD【分析】由()0f x '=确定极值点的个数（可由图象得极值点个数），判断A ，由绝对值的性质判断B ，设切点为00(,)x y ，利用导数的几何意义求出切点坐标，判断C ，由12()()f x f x =得121212()x x x x +=，然后表示出21x x -，用换元法求得最小值后判断D ．【详解】0x ≠，21()4f x x x '=-＝0，314x =，2x =，极值点有且只有一个，A 正确；（实际上，由图象知函数()f x 的极值点有且只有一个）0x >时，2211()22()f x x x f x x x-=-<+=，B 正确；21()4f x x x '=-，设切点为00(,)x y ，则0001()4f x x x '=-，又切线过原点，所以000()y f x x '=，即20002001214x x x x x +-=，301x =，01x =，只有一个切点(1,3)，过原点的切线只有1条，C 错；12()()f x f x =，且120x x <<，则2212121122x x x x +=+，121212()x x x x +=，()22211212122121()444()x x x x x x x x x x -=+-=-，设12t x x =，0t <，()2212144x x t t-=-，21()44g t t t =-，33111()4(8)22g t t t '=--=-+，当21t <-时，()0g t '<，()g t 递减，102t -<<时，()0g t '>，()g t 递增，所以min 1()(32g t g =-=，所以21x x -，此时12133331,88x x -=-=．D 正确．故选：A BD ．关键点点睛：本题主要考查导数的应用，导数的几何意义，用导数研究函数的极值、最值．在求过某点的切线方程时，一般要设切点坐标为11(,)x y ，写出切线方程，利用切线所过的点求出切点坐标，得切线方程．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上．.13.若直线y x b =+与曲线()2290x y y +=≥有两个公共点，则实数b 的取值范围为______.【正确答案】⎡⎣【分析】画出直线与圆的图象，根据直线y x b =+与曲线()2290x y y +=≥有两个公共点，利用数形结合法求解.【详解】解：如图所示：当直线y x b =+与曲线()2290x y y +=≥相切时，圆心到直线的距离等于半径，即3=，解得b =，因为直线y x b =+与曲线()2290x y y +=≥有两个公共点，所以实数b 的取值范围为⎡⎣，故答案为.⎡⎣14.已知()1,2,1a =-- ，()1,1,1b x =-- ，且a 与b的夹角为钝角，则x 的取值范围是______.【正确答案】()()0,33,⋃+∞【分析】根据题意得出0a b ⋅< 且a 与b不共线，然后根据向量数量积的定义及向量共线的条件即可求出x 的取值范围.【详解】因为a 与b的夹角θ为钝角，所以0a b ⋅< 且a 与b不共线，因为()1,2,1a =--，()1,1,1b x =-- ，所以()12110a b x ⋅=----< ，且1112x --≠-，解得0x >，且3x ≠，所以x 的取值范围是()()0,33,⋃+∞.故答案为.()()0,33,⋃+∞15.已知函数()y f x =满足()()11f x f x +-=，若数列{}n a 满足121(0)(1)n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，则数列{}n a 的前16项的和为______.【正确答案】76【分析】利用倒序相加法可得到12n n a +=，即可求得前16项的和.【详解】121(0)(1)n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，①121(1)(0)n n n a f f f f f n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，②两式相加，又因为()()11f x f x +-=，故21n a n =+，所以12n n a +=，所以{}n a 的前16项的和为161216171163172=176222S a a a ⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭=++++++== 故7616.已知正实数x ，y 满足ln e ln x x y y =+，则e x y --的最大值为______.【正确答案】21e##2e -【分析】把已知等式变形为ln e ln e xxy x x y=⋅，利用函数()0()e xf x x x =>的单调性得,x y 的关系，从而将e x y --转化为x 的函数，再利用导数求得其最大值即可．【详解】由ln e ln x x y y =+得ln e x x y y =，所以ln e xx x x y y =，则ln e ln e x x y x x y=⋅，因为0x >，e 0x >，ln e 0xy >，所以ln 0xy >，令()0()exf x x x =>，则()e (1)0x f x x '=+>，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，所以由ln e ln e xxyx x y =⋅，即()ln x f x f y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得ln x x y =，所以e x x y =，所以11ee e exxx x x x y ---=-=，令()1()0e x x g x x -=>，则2()exxg x -'=，令()0g x '>，得02x <<；令()0g x '<，得2x >，所以()g x 在()0,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减，所以max 21()(2)e g x g ==，即e xy --的最大值为21e ．故21e ．关键点点睛：本题解决的关键对已知等式进行同构变形lne ln e xxy x x y=⋅，从而利用函数的单调性得出变量间的关系，由此得解.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 满足{}12311,9,45,3n n a a a a a +===-为等比数列.（1）证明：3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求出{}n a 的通项公式.（2）求{}n a 的前n 项和为n S .【正确答案】（1）证明见解析，1(21)3n n a n -=-（2）(1)31nn S n =-⨯+【分析】（1）根据题意得11363n n n a a -+-=⨯，进而根据等差数列定义证明，并结合通项公式求解即可；（2）根据错位相减法求解即可；【小问1详解】证明：因为数列{}n a 满足{}12311,9,45,3n n a a a a a +===-为等比数列，所以{}13n n a a +-的公比2213345273393a a q a a --===--，首项为1236a a -=所以11363n n n a a -+-=⨯，即112333n n n n a a ++-=，所以3n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以23为公差的等差数列，首项为1133a =，所以，1221(1)33333n n a n n =+-=-，所以，1(21)3n n a n -=-【小问2详解】解：根据错位相减法有：01211333...(23)3(21)3n n n S n n --=⨯+⨯++-⨯+-⨯，12131333...(23)3(21)3n n n S n n -=⨯+⨯++-⨯+-⨯，所以，0121213232323(21)3n nn S n --=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯ ()10313132(21)313n n n -⨯-=⨯+⨯--⨯-()32(21)33222n n nn n =---⨯=--，所以(1)31nn S n =-⨯+18.已知圆221:(6)(7)25C x y -+-=及其上一点()2,4A .（1）设平行于OA 的直线l 与圆1C 相交于,B C 两点，且BC OA =，求直线l 的方程；（2）设圆2C 与圆1C 外切于点A ，且经过点()3,1P ，求圆2C 的方程.【正确答案】（1）250x y -+=或2150x y --=（2）22(2)(1)25x y ++-=【分析】（1）由题意可设直线l 的方程为2y x b =+，再由根据弦长结合点到直线的距离与勾股定理求解即可；（2）由题意可知圆心2C 在直线1AC 上也在在AP 的中垂线上，先求出这两条直线，再联立可得圆心坐标，进而可得半径，即可求解【小问1详解】因为直线l OA ∥，所以直线l 的斜率为40220-=-.设直线l 的方程为2y x b =+，则圆心1C 到直线l的距离d ==则BC ==又BC OA==∣，所以=，解得5b =或15b =-，即直线l 的方程为：250x y -+=或2150x y --=.【小问2详解】因为圆2C 与圆1C 外切于点A ，所以圆心2C 在直线1AC 上由两点式427462y x --=--得直线1AC 方程为34100x y -+=又因为圆2C 经过点A 和P ，所以圆心2C 在AP 的中垂线上，AP 中点为55,,322AP k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以AP 中垂线方程为515232y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即350x y -+=由34100350x y x y -+=⎧⎨-+=⎩解得圆心坐标为()22,1C -，半径2235r C P ==--=所以圆2C 的方程为22(2)(1)25x y ++-=19.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，等比数列{}n b 的公比为(0)q q >，已知124a b ==，23q d =，949S b =.（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）将{}n a ，{}n b 中相同的项剔除后，两个数列中余下的项按从小到大的顺序排列，构成数列{}n c ，求{}n c 的前100项和.【正确答案】（1）31n a n =+，2n n b =.（2）15080【分析】（1）根据等差数列的求和公式以及等比数列的通项公式，整理方程，解得公比和公差，可得答案；（2）由题意，求得等差数列的第100项，逐项求解等比数列，利用等差数列建立方程，找出相同项，分组求和，可得答案.【小问1详解】由949S b =，得21298992a db q ⨯+=⨯，因为124a b ==，所以21d q +=.结合23q d =，可得2312q q +=，()()2120q q +-=，0q >，解得2q =，3d =，所以数列{}n a 的通项公式为()43131n a n n =+-=+，数列{}n b 的通项公式为2422n n n b -=⨯=.【小问2详解】由（1）可知，当100n =时，100301a =.又2nn b =，所以12b =，24b =，38b =，416b =，532b =，664b =，7128b =，8256b =，9512301b =>，令231n =+，解得13n =，令431n =+，解得1n =，令831n =+，解得73n =，令1631n =+，解得5n =，令3231n =+，解得313n =，令6431n =+，解得31n =，令12831n =+，解得1273n =，令25631n =+，解得85n =，所以数列{}n a 的前100项中与数列{}n b 中相同的项共有4项，即4，16，64，256，即为{}n b 的前8项中的偶数项.将{}n a ，{}n b 中相同的项剔除后，两个数列中余下的项按从小到大的顺序排列构成数列{}n c ，则{}n c 的前100项为数列{}n a 的前100项中剔除与数列{}n b 相同的4项后剩余的96项与{}n b 的前8项中剔除与数列{}n a 相同的4项后剩余的4项，所以{}n c 的前100项和为()()943011002224166425615080212+⨯-+-⨯+++=-.20.已知函数1()1ln 1f x x k x ⎛⎫=++-⎪⎝⎭．（1）若函数()f x 图象的切线倾斜角总是锐角，求实数k 的取值范围；（2）若对任意的1,()0x f x >>恒成立，求整数k 的最大值．【正确答案】（1）0k ≤（2）3【分析】（1）求出函数导数，由题可得()0f x '>对一切正数x 恒成立，即可求出；（2）由题可得ln 1x x x k x +<-对任意1x >恒成立，构造函数ln ()1x x xg x x +=-，利用导数求出()g x 的最小值即可.【小问1详解】由题221()(0)k x kf x x x x x-=-=>'．∵函数()f x 图象的切线倾斜角总是锐角，∴()0f x '>对一切正数x 恒成立，即x k >恒成立，于是0k ≤．【小问2详解】因为对任意的1,()0x f x >>恒成立，即ln 1x x xk x +<-对任意1x >恒成立．令ln ()1x x x g x x +=-，则2ln 2()(1)'--=-x x g x x ，令()ln 2(1)h x x x x =-->，则11()10x h x x x'-=-=>，∴函数()h x 在(1,)+∞上单调递增，∵(3)ln30,(4)22ln 20h h =-<=->，∴方程()0h x =在(1,)+∞上存在唯一实根0x ，且满足0(3,4)x ∈，当01x x <<时，()0h x <，即()0g x '<，当0x x >时，()0h x >，即()0g x '>，∴函数ln ()1x x xg x x +=-在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，∵0x 是()0h x =的根，即00ln 20x x --=，∴()()()0000min 00001ln 12()(3,4)11x x x x g x g x x x x ++-====∈--，∴min 0()k g x x <=，∵0(3,4)x ∈，故整数k 的最大值为3．21.已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．（Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，QM QO λ= ，QN QO μ= ，求证：11λμ+为定值．【正确答案】(1)取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）(2)证明过程见解析【详解】分析：（1）先确定p,再设直线方程，与抛物线联立，根据判别式大于零解得直线l 的斜率的取值范围，最后根据PA ，PB 与y 轴相交，舍去k=3，（2）先设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），与抛物线联立，根据韦达定理可得12224k x x k -+=-，1221x x k =．再由=QM QO λ ，=QN QO μ 得=1M y λ-，1N y μ=-．利用直线PA ，PB 的方程分别得点M ，N 的纵坐标，代入化简11λμ+可得结论.详解：解：（Ⅰ）因为抛物线y 2=2px 经过点P （1，2），所以4=2p ，解得p =2，所以抛物线的方程为y 2=4x ．由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y =kx +1（k ≠0）．由241y x y kx ⎧=⎨=+⎩得()222410k x k x +-+=．依题意()2224410k k ∆=--⨯⨯>，解得k<0或0<k<1．又PA ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点（1，-2）．从而k ≠-3．所以直线l 斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）．（Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由（I ）知12224k x x k -+=-，1221x x k =．直线PA 的方程为()112211y y x x --=--．令x =0，得点M 的纵坐标为1111212211M y kx y x x -+-+=+=+--．同理得点N 的纵坐标为22121N kx y x -+=+-．由=QM QO λ ，=QN QO μ得=1M y λ-，1N y μ=-．所以()()()2212121212122224211111111=21111111M N k x x x x x x k k y y k x k x k x x k k λμ-+-+--+=+=+=⋅=⋅------．所以11λμ+为定值．点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.22.已知函数1()ln ()x f x e x ax a R -=+-∈，'()f x 是()f x 的导函数，且'()f x 有两个零点()1212,x x x x <.（1）讨论'()f x 的单调性；（2）若1214x x >，求证.()()21216f x f x a x x -<--【正确答案】（1）()'f x 在()0,1单调递减，在()1,+¥单调递增；（2）证明见解析.【分析】（1）函数()f x 的定义域为()0,+¥，令()()11'x g x f x ea x -==+-，故()121'x g x e x-=-，由于()'10g =，进而得函数()'0g x <，()'0g x >的解集，进一步得函数的单调区间；（2）由（1）得21112112x x x x ee x x ----=，进而()()1222121121ln l 1n x x f x f x x x a x x x x --=+---，再结合不等式)212112ln ln 0x x x x x x -<<<-即可证得.【详解】解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+¥，()11'x f x ea x-=+-，设()()11'x g x f x ea x -==+-，()121'x g x e x-=-，由于()'10g =所以当()0,1∈x 时，()'0g x <，()g x 单调递减，当()1,∈+∞x 时，()'0g x >，()g x 单调递增，所以()'f x 在()0,1单调递减，在()1,+¥单调递增.（2）证明：因为()1212,x x x x <是函数'()f x 有两个零点，()11'x f x e ax-=+-所以1211121010x x e a x e a x --⎧+-=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，所以211121121211x x x x ee x x x x ----=-=，所以()()()2111212121ln ln x x f x f x e e x x a x x ---=-+---()21221211ln ln x x x x x x a x x =+----所以()()1222121121ln l 1n x x f x f x x x a x x x x --=+---下面先证：)212112ln ln 0x x x x x x -<<<-，只需证：)2121ln0x x x x <<<，只需证：)2121ln 0x x x x <<<，设,1t t =>，故只需证：12ln ,1t t t t <->，只需证12ln 0,1t t t t-->>故设()12ln ,1h t t t t t =-->，()2221221'10t t h t t t t-+=+-=>，所以()12ln h t t t t=--在()1,+¥上单调递增，故()()10h t h >=，所以12ln0,1t t tt-->>成立，故)212112ln ln0x xx x x x-<<<-成立，所以()()1221122 21212111ln ln1124f x f x x xa a ax x x x x xx x⎛⎫--=+-<+=+--⎪⎪--⎭因为121 4x x>()0,2，所以21125,244⎛⎫⎛⎫∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，所以()()22121122121ln ln11251621444x x x xf x f x x xa a a ax x⎛⎫--=+-<--<--=-⎪⎭-⎪-.本题考查利用导数研究函数的单调区间，证明不等式等，考查运算求解能力，是难题.本题第二问解题的关键在于利用不等式)212112ln ln0x xx x x x-<<<-进行放缩求解.。
(某某市区中学)高二(上学期)数学(理)期末复习质量监测模拟考试试题卷(附答案解析)
（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）题号一二三四总分得分一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.直线y=kx+b经过第二、三、四象限，则斜率k和在y轴上的截距b满足的条件为（）A. k＞0，b＞0B. k＜0，b＜0C. k＞0，b＜0D. k＜0，b＞02.已知F为双曲线C：的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为（）A. 11B. 22C. 33D. 443.“a=2”是“l1：ax+4y-1=0与l2：x+ay+3=0平行”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知抛物线x2=2py和-y2=1的公切线PQ（P是PQ与抛物线的切点，未必是PQ与双曲线的切点）与抛物线的准线交于Q，F（0，），若|PQ|=|PF|，则抛物线的方程是（）A. x2=4yB. x2=2yC. x2=6yD. x2=2y5.已知m，n是两条不重合的直线，α，β是不重合的平面，则下列说法正确的是（）A. 若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nB. 若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥βC. 若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥βD. 若m⊥α，n⊥α，则m∥n6.直线l：y=x与圆x2+y2-2x-6y=0相交于A，B两点，则|AB|=（）A. 2B. 4C. 4D. 87.椭圆5x2+ky2=5的一个焦点为（0，2），那么k的值为（）A. B. 2 C. D. 18.直线y=-2x-3与曲线的公共点的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.矩形ABCD中，AB=4，BC=3，将△ABD沿BD折起，使A到A′的位置，A′在平面BCD的射影E恰落在CD上，则（）A. 三棱锥A′-BCD的外接球直径为5B. 平面A′BD⊥平面A′BCC. 平面A′BD⊥平面A′CDD. A′D与BC所成角为60°10.设O为坐标原点，F1，F2是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点.在双曲线的右支上存在点P满足∠F1PF2=60°，且线段PF1的中点B在y轴上，则（）A. 双曲线的离心率为B. 双曲线的方程可以是-y2=1C. |OP|=aD. △PF1F2的面积为11.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，∠A1AB=∠A1AD，则有（）A. A1M∥B1QB. AA1⊥PQC. A1M∥面D1PQB1D. PQ⊥面A1ACC112.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于两点P（x1，y1），Q（x2，y2），点P在l上的射影为P1，则（）A. |PQ|的最小值为4B. 已知曲线C上的两点S，T到点F的距离之和为10，则线段ST的中点横坐标是（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）4C. 设M（0，1），则|PM|+|PP1|≥D. 过M（0，1）与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知A（0，1），B（1，0），C（t，0），点D在直线AC上，若|AD|≤|BD|恒成立，则t的取值范围是______．14.直线2x+y-1=0的倾斜角是______．15.湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下一个直径为12cm，深为2cm的空穴，则该球的半径为______ cm，表面积是______ ．16.已知双曲线C：的右焦点为F，O为坐标原点.过F的直线交双曲线右支于A，B两点，连结AO并延长交双曲线C于点P.若|AF|=2|BF|，且∠PFB=60°，则该双曲线的离心率为______ .四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知圆的圆心在直线上，且与轴交于两点,.（I）求圆的方程；（II）过点的直线与圆交于两点，且，求直线的方程．18.已知圆C：（x-1）2+（y-2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）．（1）证明：不论m为何值时，直线l恒过定点；（2）求直线l被圆C截得的弦长最小时的方程．19.如图，为圆的直径，点．在圆上，且，矩形所在的平面和圆所在的平面互相垂直，且，.（1）设的中点为，求证：平面；（2）求四棱锥的体积．20.在平面直角坐标系中，直线l与抛物线y2=2x相交于A，B两点．求证：“如果直线l过（3，0），那么=3”是真命题．（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）21.如图，四棱锥中，底面是菱形，其对角线的交点为，且．（1）求证：平面；（2）设，，是侧棱上的一点，且∥平面，求三棱锥的体积．22.（本题满分16分）已知椭圆的两焦点分别为 , 是椭圆在第一象限内的一点，并满足，过作倾斜角互补的两条直线分别交椭圆于两点.（1）求点坐标；（2）当直线经过点时，求直线的方程；（3）求证直线的斜率为定值.（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）1.【答案】B【解析】解：要使直线y=kx+b经过第二、三、四象限，则斜率k和在y轴上的截距b 满足的条件，故选：B．由题意利用确定直线的位置的几何要素，得出结论．本题主要考查确定直线的位置的几何要素，属于基础题．2.【答案】D【解析】由双曲线C的方程，知a＝3，b＝4，c＝5，∴点A(5,0)是双曲线C的右焦点，且|PQ|＝|QA|＋|PA|＝4b＝16，由双曲线定义，|PF|－|PA|＝6，|QF|－|QA|＝6.∴|PF|＋|QF|＝12＋|PA|＋|QA|＝28，因此△PQF的周长为|PF|＋|QF|＋|PQ|＝28＋16＝44，选D.3.【答案】A【解析】解：若a=2．则两条直线的方程为2x+4y-1=0与x+2y+3=0满足两直线平行，即充分性成立．当a=0时，两直线等价为4y-1=0与x+3=0不满足两直线平行，故a≠0，若“l1：ax+4y-1=0与l2：x+ay+3=0平行”，则，解得a=2或a=-2，即必要性不成立．故“a=2”是“l1：ax+4y-1=0与l2：x+ay+3=0平行”的充分不必要条件，故选：A（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）根据直线平行的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线平行的等价条件是解决本题的关键．4.【答案】B【解析】解：如图过P作PE⊥抛物线的准线于E，根据抛物线的定义可知，PE=PF∵|PQ|=|PF|，在Rt△PQE中，sin，∴，即直线PQ的斜率为，故设PQ的方程为：y=x+m（m＜0）由消去y得．则△1=8m2-24=0，解得m=-，即PQ：y=由得，△2=8p2-8p=0，得p=．则抛物线的方程是x2=2y．故选：B．如图过P作PE⊥抛物线的准线于E，根据抛物线的定义可知，PE=PF可得直线PQ的斜率为，故设PQ的方程为：y=x+m（m＜0）再依据直线PQ与抛物线、双曲线相切求得p．本题考查了抛物线、双曲线的切线，充分利用圆锥曲线的定义及平面几何的知识是关键，属于中档题．5.【答案】D【解析】解：当m⊥α，n∥β，α⊥β时，直线m与n可能异面不垂直，故选项A错误；当m⊥n，m⊥α，n∥β时，比如n平行于α与β的交线，且满足m⊥n，m⊥α，但α与β可能不垂直，故选项B错误；当m∥n，m∥α，n∥β时，比如m与n都平行于α与β的交线，且满足m∥n，m∥α，但α与β不平行，故选项C错误；垂直于同一个平面的两条直线平行，故选项D正确．故选：D．直接利用空间中线、面之间的关系进行分析判断即可．本题考查了空间中线面位置关系的判断，此类问题一般都是从反例的角度进行考虑，属于基础题．6.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，掌握直线和圆相交的弦长公式是解决本题的关键，属于基础题．根据直线和圆相交的弦长公式进行求解即可．【解答】解：圆的标准方程为（x-1）2+（y-3）2=10，圆心坐标为（1，3），半径R=，则圆心到直线x-y=0的距离d=，则|AB|===4.故选C．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查椭圆的简单性质，是基础题．把椭圆化为标准方程后，找出a与b的值，然后根据a2=b2+c2，表示出c，并根据焦点坐标求出c的值，两者相等即可列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．【解答】解：把椭圆方程化为标准方程得：x2+=1，因为焦点坐标为（0，2），所以长半轴在y轴上，（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）则c==2，解得k=1．故选D．8.【答案】B【解析】解：当x≥0时，曲线的方程为，一条渐近线方程为：y=-x，当x＜0时，曲线的方程为，∴曲线的图象为右图，在同一坐标系中作出直线y=-2x-3的图象，可得直线与曲线交点个数为2个．故选：B．分x大于等于0，和x小于0两种情况去绝对值符号，可得当x≥0时，曲线为焦点在y轴上的双曲线，当x＜0时，曲线为焦点在y轴上的椭圆，在同一坐标系中作出直线y=-2x-3与曲线的图象，就可找到交点个数．本题主要考查图象法求直线与曲线交点个数，关键是去绝对值符号，化简曲线方程．9.【答案】AB【解析】解：对于A，取BD中点E，连接A′E，CE，则A′E=BE=DE=CE==．∴三棱锥A′-BCD的外接球直径为5，故A正确；对于B，∵DA′⊥BA′，BC⊥CD，A′F⊥平面BCD，∴BC⊥A′F，又A′F∩CD=F，A′F、CD⊂平面A′CD，∴BC⊥平面A′CD，∵A′D⊂平面A′CD，∴DA′⊥BC，∵BC∩BA′=B，∴DA′⊥平面A′BC，∵DA′⊂平面A′BD，∴平面A′BD⊥平面A′BC，故B正确；对于C，BC⊥A′C，∴A′B与A′C不垂直，∴平面A′BD与平面A′CD不垂直，故C错误；对于D，∵DA∥BC，∴∠ADA′是A′D与BC所成角（或所成角的补角），∵A′C==，∴A′F=，DF==，AF==，AA′==3，∴cos∠ADA′==0，∴∠ADA′=90°，∴A′D与BC所成角为90°，故D错误．故选：AB．对于A，取BD中点E，连接A′E，CE，推导出A′E=BE=DE=CE=，从而三棱锥A′-BCD 的外接球直径为5；对于B，推导出DA′⊥BA′，BC⊥CD，A′F⊥平面BCD，BC⊥A′F，BC⊥平面A′CD，DA′⊥BC，DA′⊥平面A′BC，从而平面A′BD⊥平面A′BC；对于C，A′B与A′C不垂直，从而平面A′BD与平面A′CD不垂直；对于D，由DA∥BC，得∠ADA′是A′D与BC所成角（或所成角的补角），推导出A′D与BC所成角为90°．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等数学核心素养，是中档题．10.【答案】AC【解析】解：如图，F1（-c，0），F2（c，0），∵B为线段PF1的中点，O为F1F2的中点，∴OB∥PF2，∴∠PF2F1=90°，由双曲线定义可得，|PF1|-|PF2|=2a，设|PF1|=2m（m＞0），则|PF2|=m，，∴2m-m=2a，即a=，又，∴c=，则e=，故A正确；，则b=，双曲线的渐近线方程为y=，选项B的渐近线方程为y=，故B错误；对于C，∵O为F1F2的中点，∴，（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）则，即=，即，①而|PF1|-|PF2|=2a，两边平方并整理得，，②联立①②可得，，，即|PO|=，故C正确；=，故D错误．故选：AC．由已知可得∠PF2F1=90°，设|PF1|=2m（m＞0），再由已知结合双曲线定义可得a，b，c 与m的关系，即可求得双曲线的离心率及渐近线方程，从而判断A与B；由O为F1F2的中点，得，两边平方后结合双曲线定义联立求得|PO|判断C；进一步求出△PF1F2的面积判断D．本题考查双曲线的几何性质，考查运算求解能力，是中档题．11.【答案】BCD【解析】解：连接MP，可得MP AD A1D1，可得四边形MPA1D1是平行四边形∴A1M∥D1P，又A1M⊄平面DCC1D1，D1P⊂平面DCC1D1，A1M∥平面DCC1D1，连接DB，由三角形中位线定理可得：PQ DB，DB D1B1，可得四边形PQB1D1为梯形，QB1与PD1不平行，因此A1M与B1Q不平行，又A1M∥D1P，A1M⊄平面D1PQB1，D1P⊂平面D1PQB1，∴A1M∥平面D1PQB1.故A不正确，C正确；连接AC，由题意四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵P，Q分别为棱CD，BC的中点，∴PQ∥BD，∴PQ⊥AC，∵平行六面体的所有棱长都相等，且∠A1AB=∠A1AD，∴直线AA1在平面ABCD内的射影是AC，且BD⊥AC，∴AA1⊥BD，∴AA1⊥PQ，故B正确；∵AA1∩AC=A，∴PQ⊥面A1ACC1，故D正确．故选：BCD．连接MP，推导出四边形MPA1D1是平行四边形，从而A1M∥D1P，连接DB，推导出四边形PQB1D1为梯形，A1M与B1Q不平行，推民出A1M∥平面D1PQB1；连接AC，推导出四边形ABCD是菱形，AC⊥BD，从而PQ⊥AC，由平行六面体的所有棱长都相等，且∠A1AB=∠A1AD，推志出AA1⊥PQ，从而PQ⊥面A1ACC1．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.【答案】ABC【解析】解：对于A，设直线PQ的方程为x=ty+1,联立解方程组,可得y2-4ty-4=0，x1x2==1，|PQ|=x1+x2+p=x1+x2+2+2=4，故A正确；对于B,根据抛物线的定义可得，|SF|+|TF'|=x S+x T+p=10,则x S+x T=8,则线段ST的中点横坐标是=4,故B成立；对于C，M（0，1），|PM|+|PP1|=|MP|+|PF|≥|MF|=，所以C正确；对于D,过M（0，1）相切的直线有2条，与x轴平行且与抛物线相交且有一个交点的直线有一条，所以最多有三条．所以D不正确；故选：ABC．设出直线方程与抛物线联立，利用弦长公式判断A，结合抛物线的定义，判断B；利用抛物线的性质判断C；直线与抛物线的切线情况判断D．考查抛物线的性质，抛物线与直线的位置关系的应用，是中档题．13.【答案】（-∞，0]【解析】解：设D（x，y），由D在AC上，得+y=1，即x+ty-t=0，由|AD|≤|BD|得≤•，化为（x-2）2+（y+1）2≥4，依题意，线段AD与圆（x-2）2+（y+1）2=4至多有一个公共点，（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）∴≥2，解得：t≤0，则t的取值范围为（-∞，0]，故答案为：（-∞，0]．先设出D（x，y），得到AD的方程为：x+ty-t=0，由|AD|≤|BD|得到圆的方程，结合点到直线的距离公式，解不等式即可得到所求范围．本题考查直线与圆的方程，考查点到直线距离公式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14.【答案】π-arctan【解析】解：直线2x+y-1=0的斜率为，设直线2x+y-1=0的倾斜角为θ（0≤θ＜π），则tan，∴θ=．故答案为：π-arctan．由直线方程求直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求解．本题考查由直线方程求直线的斜率，考查直线的斜率与倾斜角的关系，是基础题．15.【答案】10；400π【解析】解：设球的半径为r，依题意可知36+（r-2）2=r2，解得r=10，∴球的表面积为4πr2=400π故答案为10，400π先设出球的半径，进而根据球的半径，球面上的弦构成的直角三角形，根据勾股定理建立等式，求得r，最后根据球的表面积公式求得球的表面积．本题主要考查了球面上的勾股定理和球的面积公式．属基础题．16.【答案】【解析】【分析】本题考查双曲线的定义以及几何性质的应用，余弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力．属于中档题.设双曲线C的左焦点为F'，连结AF'，BF'，设|BF|=t，则|AF|=2t，推出∠F'AB=60°．在△F'AB 中，由余弦定理求解．结合双曲线的定义，求出，．在△F'AF中，由余弦定理推出a，c关系，得到离心率即可．【解答】解：设双曲线C的左焦点为F'，连结AF'，BF'，设|BF|=t，则|AF|=2t，所以|AF'|=2a+2t，|BF'|=2a+t．由对称性可知，四边形AF'PF为平行四边形，故∠F'AB=60°．在△F'AB中，由余弦定理得（2a+t）2=（2a+2t）2+（3t）2-2×（2a+2t）×3t×cos60°，解得．故，．在△F'AF中，由余弦定理得，，解得：．故答案为：．17.【答案】解：（I）因为圆与轴交于两点,，所以圆心在直线上，由，得，即圆心的坐标为．半径，所以圆的方程为；（II）若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时可得，不符合题意；（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，即，过点作于点，则D为线段MN中点，∴，∴，即点C到直线l的距离，解得或k=-3；综上，直线的方程为x-3y+3=0或3x+y-11=0．【解析】本题考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，属于中档题．（I）根据题意，即可得解；（II）分类讨论，进行求解即可.18.【答案】（1）证明：将直线化为直线束方程：x+y-4+（2x+y-7）=0．联立方程x+y-4=0与2x+y-7=0，得点（3，1）；将点（3，1）代入直线方程，不论m为何值时都满足方程，所以直线l恒过定点（3，1）；（2）解：当直线l过圆心与定点（3，1）时，弦长最大，代入圆心坐标得m=．当直线l垂直于圆心与定点（3，1）所在直线时弦长最短，斜率为2，代入方程得m=此时直线l方程为2x-y-5=0，圆心到直线的距离为，所以最短弦长为．【解析】（1）通过直线l转化为直线系，求出直线恒过的定点；（2）说明直线l被圆C截得的弦长最小时，圆心与定点连线与直线l垂直，求出斜率即可求出m的值，再由勾股定理即可得到最短弦长．本题考查直线系方程的应用，考查直线与圆的位置关系，考查平面几何知识的运用，考查计算能力，属于中档题．19.【答案】（1）证明详见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）要证平面，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证与平面内一直线平行即可，设的中点为，则为平行四边形，则，又平面，不在平面内，满足定理所需条件；（2）过点作于，根据面面垂直的性质可知平面，即正的高，然后根据三棱锥的体积公式进行求解即可.试题解析：（1）设的中点为，则又，∴∴为平行四边形∴又平面，平面∴平面(2)过点作于平面平面，∴平面，即正的高∴∴∴.考点：1.空间中的平行关系；2.空间中的垂直关系；3.棱锥的体积计算.20.【答案】证明：设过点T（3，0）的直线l交抛物线y2=2x于点A（x1，y1）、B（x2，y2）．当直线l的钭率不存在时，直线l的方程为x=3，（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）此时，直线l与抛物线相交于点A（3，）、B（3，-）．∴=3当直线l的钭率存在时，设直线l的方程为y=k（x-3），其中k≠0，由得ky2-2y-6k=0⇒y1y2=-6，又∵x1=y12，x2=y22，∴x1x2=9，∴=x1x2+y1y2=3，综上所述，命题“如果直线l过点T（3，0），那么=3”是真命题；综上，命题成立．【解析】设出A，B两点的坐标根据向量的点乘运算求证即可得到：“如果直线l过（3，0），那么=3”是真命题．本题考查了真假命题的证明，抛物线的简单性质，向量数量积，是抛物线与平面向量的综合应用，难度中档．21.【答案】（1）证明：∵底面是菱形，∴．又平面．又又平面．（2）连接，∵SB平面，平面，平面平面，SB∥平面APC，∴SB∥OP．又∵是的中点，∴是的中点．由题意知△ABD为正三角形．．由（1）知平面，∴．又，∴在Rt△SOD中，．∴到面的距离为.【解析】主要考查了线面垂直的判定和三棱锥的体积.(1)要证明线面垂直，证明SO与平面ABCD中两条相交直线垂直即可，应用已知条件与等腰三角形的三线合一即可得到证明；(2)由SB∥平面APC的性质定理证明得SB∥OP，由(1)得高为PO，利用三棱锥的体积公式即可求出结果.22.【答案】（1）（2）（3），证明略.【解析】解：（1）设P((x，y)，由题意可得，解得，∴P．（某某市区中学）高二（上学期）数学（理）期末复习质量监测模拟考试试题卷（附答案解析）（2）∵，两条直线PA，PB倾斜角互补，∴k PA+k PB=0，解得k PB=1．因此直线PA，PB，的方程分别为，，化为，．联立，解得(舍去)，，即A．同理解得B．∴k AB= = ，∴直线AB的方程为，化为．（3）S设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，设直线PA的方程为：，则直线PB 的方程为．联立，解得A．同理B，∴k AB= = ．即直线AB的斜率为定值．。
2023-2024学年新疆乌鲁木齐市高二上册期末测试数学模拟试题(含解析)
2023-2024学年新疆乌鲁木齐市高二上册期末测试数学模拟试题一、单选题1．已知()1,0,1a = ，(),1,2b x =r ，且3a b ⋅= ，则向量a 与b的夹角为（）A ．30B ．60C ．120D ．150【正确答案】A【分析】利用空间向量数量积的坐标运算可得出x 的值，再利用空间向量数量积可求得a与b的夹角.【详解】由已知可得23a b x ⋅=+=，可得1x =，a ∴=，b =所以，cos ,2a b a b a b⋅<>=⋅，0,180a b ≤<>≤，因此，,30a b <>=.故选：A.2．已知在平行六面体1111ABCD A B C D -中，11AB AD AA ===，且1160A AD A AB DAB ∠=∠=∠=︒，则1AC =（）ABCD．【正确答案】A【分析】先用向量线性表示出1AC uuu r，然后求出1AC 即可.【详解】设AB a =,AD b =，1AA c = ，则111AC AC CC AB AD CC a b c =+=++=++ ，()222221222AC a b c a b c a b a c b c ++=+++=⋅+⋅+⋅ ，又因为1160A AD A AB DAB ∠=∠=∠=︒，所以211111116AC =+++++=，则1AC = 故选.A3．已知点()1,2M -，(),2N m ，若线段MN 的垂直平分线方程是22x y +=，则实数m =（）A ．2-B ．7-C ．3D ．1【正确答案】C【分析】分析可知，直线MN 的斜率为2，且线段MN 的中点在直线22x y +=上，可列出关于实数m 的等式组，由此可得出关于实数m 的值.【详解】由中点坐标公式，得线段MN 的中点坐标为1,02m +⎛⎫⎪⎝⎭，直线22x y +=的斜率为12-，由题意知，直线MN 的斜率为421MN k m ==-，所以，122421m m +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪-⎩，解得3m =.故选.C4．已知圆C 经过两点()0,2A ，()4,6B ，且圆心C 在直线:230l x y --=上，则圆C 的方程为（）A ．2266160x y x y +---=B ．222280x y x y +-+-=C ．226680x y x y +--+=D ．2222560x y x y +-+-=【正确答案】C【分析】先将圆的一般方程写出，然后利用待定系数法即可求解.【详解】设圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，圆心坐标为,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，因为圆C 经过两点()0,2A ，()4,6B ，且圆心C 在直线:230l x y --=上，所以22223022022046460D E E F D E F ⎧⎛⎫⎛⎫⨯----= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪+++=⎨⎪++++=⎪⎪⎩，解得668D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以圆C 的方程为226680x y x y +--+=.故选：C.5．过点()3,2且与椭圆223824x y +=有相同焦点的椭圆方程为（）A ．225110x y +=B ．2211015x y +=C ．2211510x y +=D ．221105x y +=【正确答案】C【分析】根据椭圆223824x y +=化为标准方程22183x y +=，故焦点为(，由题意可得22229415a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解方程即可得解.【详解】由223824x y +=化简可得22183x y +=，焦点为(在x 轴上，同时又过()3,2点，设22221x y a b+=，有22229415a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得2215,10a b ==，故选：C6．已知椭圆C ：2212516x y +=的左右焦点分别为F 1、F 2，过左焦点F 1，作直线交椭圆C 于A 、B 两点，则三角形ABF 2的周长为（）A ．10B ．15C ．20D ．25【正确答案】C【分析】根据椭圆的定义求解即可【详解】由题意椭圆的长轴为210a ==，由椭圆定义知11222,2AF F B a AF BF a +=+=∴2221122420ABF l AB AF BF AF F B AF BF a =++=+++==故选：C7．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点到渐近线的距离是其右顶点到渐近线距离的3倍，则双曲线的渐近线方程为（）A．y =B ．2y x=±C．y =±D ．4y x=±【正确答案】C【分析】利用双曲线的几何性质和点到直线的距离公式，分别求得焦点和顶点到渐近线的距离，根据123d d =，求得3c a =，进而求得b =，即可求得渐近线方程.【详解】由双曲线22221x y a b -=，可得右顶点(,0)A a ，右焦点(c,0)F ，渐近线方程为by x a=，即0bx ay -=，则右焦点(c,0)F 到渐近线0bx ay -=的距离为1d b =，右顶点(,0)A a 到渐近线0bx ay -=的距离为2ab d c=，根据题意，可得123d d =，即3abb c=⨯，即3c a =，所以b ==，所以双曲线的渐近线方程为by x a=±=±.故选：C.8．抛物线y 2＝4x 与直线2x ＋y －4＝0交于两点A 与B ，F 是抛物线的焦点，则|FA |＋|FB |等于（）A ．2B ．3C ．5D ．7【正确答案】D【分析】联立直线与抛物线方程，消元化简可得关于x 的一元二次方程，由此可求点A ，B 的横坐标的和，结合抛物线焦半径公式可求|FA |＋|FB |.【详解】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|FA |＋|FB |＝x 1＋x 2＋2.由24240y x x y ⎧=⎨+-=⎩，得x 2－5x ＋4＝0，∴x 1＋x 2＝5，∴|FA |＋|FB |＝7，故选：D.9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若780a a +>，790a a +<，则n S 取最大值时n 的值为（）A ．8B ．5C ．6D ．7【正确答案】D【分析】由780a a +>，790a a +<，可得100a d >⎧⎨<⎩，再结合等差中项分析得80a <，进而得出70a >，由此得解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，∵787900a a a a +>⎧⎨+<⎩，∴1121302140a d a d +>⎧⎨+<⎩，∴100a d >⎧⎨<⎩.∵780a a +>，79820a a a =+<，∴780a a >⎧⎨<⎩，∴当n S 取最大值时7n =.故选：D.10．已知数列{}n a 为各项都是正数的等比数列，268516a a a ⋅=，则4758a a a a +=+（）A ．2B ．23C ．12D ．13【正确答案】C【分析】根据已知条件求出等比数列{}n a 的公比，进而可求得4753a aa a++的值.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，因为268516a a a ⋅=，即3255516a q a q a ⋅=，所以，416q =，可得2q =，因此，47475784112a a a a a a a q a q q ++===++.故选：C.11．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处的极值为10，则数对(a ，b )为（）A ．(－3,3)B ．(－11,4)C ．(4，－11)D ．(－3,3)或(4，－11)【正确答案】C【分析】先求函数的导数，再根据极值列方程求解参数可得出答案.【详解】f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意可得'(1)0,(1)10,f f =⎧⎨=⎩即2320,110,a b a b a ++=⎧⎨+++=⎩解得3,3,a b =-⎧⎨=⎩或4,11,a b =⎧⎨=-⎩当3,3,a b =-⎧⎨=⎩时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，这时f (x )无极值，不合题意，所以数对(),a b 为(4,-11)，选项C 正确.故选：C.12．函数()x f x x e =⋅的最小值是（）A ．1-B ．e-C ．1e-D ．不存在【正确答案】C函数求导，判断单调性，求得最小值得解.【详解】由题意得，()(1)x x x f x e xe x e '=+=+.令()0f x '=，得=1x -.当1x <-时，()0,()'<f x f x 单调递减；当1x >-时，()0,()'>f x f x 单调递增.因此()f x 在=1x -处取得极小值也是最小值，且最小值为1(1)f e-=-.故选：C.利用导数求函数在某区间上最值的规律：(1)若函数在区间[,]a b 上单调递增或递减，()f a 与()f b 一个为最大值，一个为最小值．(2)若函数在闭区间[,]a b 上有极值，要先求出[,]a b 上的极值，与()f a ，()f b 比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．(3)函数()f x 在区间(,)a b 上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．二、填空题13．已知直线3x+4y ﹣3=0与6x+my+14=0相互平行，则它们之间的距离是_____．【正确答案】2【分析】由两直线平行，可先求出参数m 的值，再由两平行线间距离公式即可求出结果.【详解】因为直线3430x y +-=，6140x my ++=平行，所以3460m -⨯=，解得8m =，所以6140x my ++=即是3470x y ++=，由两条平行线间的距离公式可得d 2==.故答案为2本题主要考查两条平行线间的距离，熟记公式即可求解，属于基础题型.14．已知方程2214y x m m++=-表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是________________.【正确答案】1m <【分析】根据椭圆的焦点在y 轴上列不等式，由此求得m 的取值范围.【详解】由于方程()()221141x y m m m +=---表示焦点在y 轴上的椭圆，所以()()41110m m m m ⎧-->-⎨->⎩，411m m ->⎧⎨>⎩解得1m <.故1m <15．已知数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，设{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 的前n 项和为n T .若352n n S n T n -=+，则55a b =_______.【正确答案】2【分析】根据等差数列下标和性质及等差数列求和公式计算可得.【详解】解：n S Q ，n T 分别为等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和，且352n n S n T n -=+，∴195919599()395229()9222211a a a Sb b b T +⨯-=====++，故2．16．曲线()1e xy ax =+在点()01，处的切线的斜率为2-，则=a ________．【正确答案】3-【分析】求导，利用导数的几何意义计算即可．【详解】解：()y 1x xae ax e=++'则()f 012a =+=-'所以3a =-故答案为-3.本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题．三、解答题17．已知点()1,3M ，圆C ：()()22214x y -++=，l .40x y ++=(1)若直线过点M ，且被圆C 截得的弦长为(2)设P 为已知直线l 上的动点，过点P 向圆C 作一条切线，切点为Q ，求PQ 的最小值.【正确答案】(1)1x =或158390x y +-=【分析】（1）求出圆C 的圆心到直线的距离，再利用垂径定理计算列方程计算；（2）由题意可知当||PQ 最小时，CP 连线与已知直线l 垂直，求出CP ，再利用PQ =.【详解】（1）由题意可知圆C 1=①当直线斜率不存在时，圆C 的圆心到直线距离为1，满足题意；②当直线斜率存在时，设过(1,3)M 的直线方程为：3(1)y k x -=-，即30kx y k -+-=1=解得158k =-综上，过(1,3)M 的直线方程为1x =或158390x y +-=.（2）由题意可知当||PQ 最小时，CP 连线与已知直线l 垂直，2CP ∴==由勾股定理知：2PQ ===，所以||PQ 18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，D ，E ，F 分别为1AA ，AC ，11A C的中点，AB BC ==12AC AA ==.（1）求证：AC ⊥平面BEF ；（2）求二面角1B CD C --的正弦值.【正确答案】（1）证明见解析；（2）210521.【分析】（1）通过证明1AC CC ⊥，AC EF ⊥，然后利用线面垂直的判定定理可得结果.（2）通过建立空间直角坐标系，分别求出平面BCD 和平面1CDC 的一个法向量为1n →和2n →，然后利用夹角公式可得结果.【详解】（1）依题意，AB BC =，E 为中点，所以，AC BE ⊥，又因为1CC ⊥平面ABC ，1AC CC ∴⊥，而1//CC EF 又AC EF ⊥，又EFBE E=所以，AC ⊥平面BEF .（2）由（1）的证明知，以E 为原点，如图，建立空间直角坐标系，则1(1,0,2)C -，(1,0,0)C -，(0,2,0)B ，(1,0,1)D {2,0,1}CD →∴=，{1,2,0}CB →=,1{0,0,2}CC →=设平面BCD 和平面1CDC 的法向量为1n →和2n →，夹角为θ.则1{2,1,4}n CD CB →→→=⨯=-21{0,4,0}n CD CC →→→=⨯=-1111cos 21n n n n θ→→→→⋅===-⋅，sin θ∴=所以，二面角1B CD C --的正弦值为21.本题考查线面垂直判定定理以及利用向量求解面面角，熟知线线、线面、面面之间的关系，利用向量的方法，将几何问题代数化，便于计算，属中档题.19．已知等差数列{}n a 的公差为2，且1241,1,1a a a ---成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设*11()n n n b n N a a +=∈，数列{}n b 的前n 项和n S ，求使215n S <成立的最大正整数n 的值.【正确答案】⑴21n a n =+，*n ∈N ；⑵5【分析】（1）利用2214(1)(1)(1)a a a -=--得到2111(1)(1)(5)a a a +=-+，解出1a 可得通项公式．（2）利用裂项相消法求n S 后解不等式215n S <可得最大正整数n 的值．【详解】（1）由题意知，2214(1)(1)(1)a a a -=--，即2111(1)(1)(5)a a a +=-+，解得13a =，故21n a n =+，*n ∈N ．（2）由1111()(21)(23)22123n b n n n n ==-++++，得123...n n S a a a a =++++，1111111(...)235572123n n =-+-++-++111()2323n =-+3(23)n n =+，由23(23)15n n <+，解得6n <．故所求的最大正整数n 为5．数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.20．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点(1,0),F O 为坐标原点，,A B 是抛物线C 上异于O 的两点.（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线,OA OB 的斜率之积为12-，求证：直线AB 过定点，并求出定点坐标.【正确答案】（1）24y x =，（2）证明见解析，定点(8,0)（1）利用抛扔线的焦点坐标，求出p ，然后求抛物线的方程；（2）通过直线的斜率是否存在，设出直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及斜率乘积关系，转化求解即可【详解】解：（1）因为抛物线22(0)y px p =>的焦点坐标为(1,0)，所以12p =，得2p =，所以抛物线的方程为24y x =，（2）①当直线AB 的斜率不存在时，设22(,),(,)44t t A t B t -，因为直线,OA OB 的斜率之积为12-，所以224412t t t t -⋅=-，化简得232t =，所以(8,),(8,)A t B t -，此时直线AB 的方程为8x =，②当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y kx b =+，1122(,),(,)A x y B x y ，由24y x y kx b ⎧=⎨=+⎩，得2440ky y b -+=，则124b y y k =，因为,OA OB 的斜率之积为12-，所以121212y y x x ⋅=-，即121220x x y y +=，即可2212122044y y y y ⋅+=，解得120y y =（舍去），或1232y y =-，所以432b k=-，即8b k =-，所以8y kx k =-，即(8)y k x =-，综上所述，直线AB 过x 轴上的一定点(8,0)关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的方程的求法，解题的关键是将直线方程y kx b =+与抛物线方程24y x =联立方程组可得2440ky y b -+=，再利用根与系数的关系可得124b y y k =，再结合直线,OA OB 的斜率之积为12-，可得到,k b 的关系，从而可得答案，考查计算能力，属于中档题21．已知函数2()ln f x a x x =+．（1）当2a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数2()()x g f x x=+在[1,)+∞上是单调函数，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1)增区间()1,+∞，减区间()0,1；（2）[)0,∞+.【分析】（1）求出导函数'()f x ，解不等式'()0f x >得增区间，解不等式'()0f x <得减区间．（2）'()g x 在[1,)+∞上的函数值恒为非负或恒为非正．【详解】（1）函数()f x 的定义域是0x >，2a =-时，22(1)(1)'()2x x f x x x x-+=-=，当01x <<时，'()0f x <，()f x 递减，当1x >时，'()0f x >，()f x 递增．∴()f x 的增区间是(1,)+∞，减区间是(0,1)；（2）22()ln g x x a x x =++，22'()2a g x x x x=+-，由题意当1x ≥时，'()0g x ≥恒成立，或'()0g x ≤恒成立．若22()20a g'x x x x =+-≥，2222(1)(1)2x x x a x x x-++≥-=-，当1x ≥时，22(1)(1)0x x x x-++-≤，∴0a ≥；若22()20a g'x x x x =+-≤，2222(1)(1)2x x x a x x x-++≤-=-，当1x ≥时，22(1)(1)0x x x x-++-≤无最小值，∴'()0g x ≤不可能恒成立；综上0a ≥．本题考查用导数研究函数的单调性．解题时只要求出导函数'()f x ，然后解不等式'()0f x >得增区间，解不等式'()0f x <得减区间．。
高二上学期期末考试数学模拟试题(一)参考答案
高二文科数学期末模拟试题（一）参考答案一、选择题：1. D2. D3.C4.C5.C6.B7.D8.B9.A 10.D二、填空题:11．(](),12,-∞-+∞ 12. 7- 13．211n a n =- 14．0 15.M N > 三、解答题:16.解：1sin 4,2ABC S bc A bc ∆===由得…………………………………4分 2222cos ,5a b c bc A b c =+-+=由得，………………………………8分即：:,,45解得又b c bc c b >⎩⎨⎧==+ 所以4,1==c b ………………………………………………………12分17.解：若p 为真，则01a <<，若q 为真，则12a >.…………………………4分 又由""p q ∧为假，""p q ∨为真知,p q 一真一假，…………………………6分01101122a a a a a <<≥≤⎧⎧⎪⎪∴⎨⎨≤>⎪⎪⎩⎩或或,…………………………8分 即1012a a <≤≥或.…………………………12分18.解：（1）设公差为d ，由题意，可得 73273a a d -==-， ……………………3分 220n a n =-, ……………………5分201522015204010a =⋅-=.……………………6分（2）由数列}{n a 的通项公式可知，当9n ≤时，0n a <，当10n =时，0n a =，当11n ≥时，0n a >………………8分所以当n ＝9或n ＝10时，n S 取得最小值为91090S S ==-. ………………12分 19. 解: (1) 当2a =时，不等式为2320x x -+>, ………………2分方程2320x x -+=的两个根为1,2，∴原不等式解集为{|21}.x x x ><或………………4分（2）因为2(1)0()(1)0x a x a x a x -++>⇒-->，………………6分对根分类讨论得到结论：①当1a >时,解集为{|1}x x a x ><或………………8分②当1a =,解集为{|1}x x ≠………………10分③当1a <时,解集为{|1}x x x a ><或………………12分20.解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元，……1分 由题意得3005002009000000.x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，≥ ……………4分目标函数为30002000z x y =+．……………5分 二元一次不等式组等价于3005290000.x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，≥……………6分 作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域,如图.(图占3分)作直线:300020000l x y +=，即320x y +=．平移直线l当直线l 过M 点时，目标函数取得最大值． ………10分联立30052900.x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得100200x y ==，．∴点M 的坐标为(100200)，．……………12分答: 公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为100分钟和200分钟，总收益为70万元.……13分21.解: （1） 设椭圆M 的方程为)0(12222>>=+b a by a x则有⎪⎩⎪⎨⎧==-221122ab a ……………………2分 解得⎩⎨⎧==12b a , ∴椭圆M 的方程为1222=+y x ……………………4分 （2）当k 不存在时,直线为2x =与椭圆无交点;……………………5分 当k 存在时,设)2(:-=x k y PQ , 代入1222=+y x 整理得:0288)21(2222=-+-+k x k x k ,…………………8分 由0,∆>得到21.2k < 设),(),,(2211y x Q y x P ,则有222122212128,218kk x x k k x x +-=+=+,…………………10分 ∴2221221212)2)(2(k k x x k y y +=--=, OP OQ ⊥,∴02121=+x x y y 即02121022=+-kk ……………………12分 解得:55±=k 所求直线PQ 的方程为)2(55-±=x y ……………………14分。
高二数学上学期期末考试试题(及答案)
高二数学上学期期末考试试题(及答案)高二数学上学期期末考试试题及答案第I卷（选择题）1.在三角形ABC中，已知a+b=c-2ab，则C=（）。
A。
2π/3 B。
π/3 C。
π D。
3π/4改写：在三角形ABC中，已知a+b=c-2ab，求C的大小。
答案：B2.在三角形ABC中，已知cosAcosB=p，求以下条件p的充要条件。
A。
充要条件B。
充分不必要条件C。
必要不充分条件D。
既非充分也非必要条件改写：在三角形ABC中，已知cosAcosB=p，求p的充要条件。
答案：B3.已知等比数列{an}中，a2a10=6a6，等差数列{bn}中，b4+b6=a6，则数列{bn}的前9项和为（）。
A。
9 B。
27 C。
54 D。
72改写：已知等比数列{an}和等差数列{bn}的一些条件，求{bn}的前9项和。
答案：C4.已知数列{an}的前n项和Sn=n+2n，则数列{a1}的前n 项和为（）。
A。
n^2/(n-1) B。
n(n+1)/(2n+1) C。
3(2n+3)/(2n+1) D。
3(n+1)/(n-1)改写：已知数列{an}的前n项和Sn=n+2n，求数列{a1}的前n项和。
答案：B5.设 2x-2y-5≤2，3x+y-10≥3，则z=x+y的最小值为（）。
A。
10 B。
8 C。
5 D。
2改写：已知不等式2x-2y-5≤2和3x+y-10≥3，求z=x+y的最小值。
答案：C6.对于曲线C：x^2/4+y^2/k^2=1，给出下面四个命题：①曲线C不可能表示椭圆；②“14”的必要不充分条件；④“曲线C表示焦点在x轴上的椭圆”是“1<k<5”的充要条件。
其中真命题的个数为（）。
A。
0个 B。
1个 C。
2个 D。
3个改写：对于曲线C：x^2/4+y^2/k^2=1，判断下列命题的真假，并统计真命题的个数。
答案：C7.对于曲线C：x^2+y^2=1与直线y=k(x+3)交于点A,B，则三角形ABM的周长为（）。
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新高二数学上期末模拟试题(附答案) 一、选择题 1．把“二进制”数101101（2）化为“八进制”数是（ ） A．40（8） B．45（8） C．50（8） D．55
（8）
2．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均
匀地搅混在一起，从中任意取出一个，则取出的小正方体两面涂有油漆的概率是( )
A． B． C． D．
3．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.小华同学利用刘徽的“割圆术”思想在半径为1的圆内作正n边形求其面积，如图是其设计的一个程序框图，则框图中应填入、输出n的值分别为（ ）
（参考数据：0020sin200.3420,sin()0.11613）
A．01180sin,242Snn B．
01180
sin,182Snn
C．01360sin,542Snn D．
01360
sin,182Snn
4．如果数据121x、221x、L、21nx的平均值为5，方差为16，则数据：153x、253x、L、53nx的平均值和方差分别为（ ）
A．1，36 B．1，41 C．1，72 D．10，
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5．2018年12月12日，某地食品公司对某副食品店某半月内每天的顾客人数进行统计得到样本数据的茎叶图如图所示，则该样本的中位数是（ ） A．45 B．47 C．48 D．63
6．《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出m的值为67，则输入a的值为( )
A．7 B．4 C．5 D．11
7．某工厂对一批新产品的长度(单位：mm)进行检测，如下图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数与平均数分别为( )
A．20，22.5 B．22.5，25 C．22.5，22.75 D．22.75，22.75
8．在半径为2圆形纸板中间，有一个边长为2的正方形孔，现向纸板中随机投飞针，则飞针能从正方形孔中穿过的概率为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
1
9．某校从高一(1)班和(2)班的某次数学考试(试卷满分为100分)的成绩中各随机抽取了6份数学成绩组成一个样本，如茎叶图所示.若分别从(1)班、(2)班的样本中各取一份，则(2)班成绩更好的概率为( ) A．1636 B．1736 C．12 D．
19
36 10．从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为（ ）
A．27 B．57 C．29 D．
5
9 11．甲、乙两位同学在高一年级的5次考试中，数学成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是12,xx，则下列叙述正确的是（ ）
A．12xx，乙比甲成绩稳定
B．12xx，甲比乙成绩稳定
C．12xx，乙比甲成绩稳定
D．12xx，甲比乙成绩稳定
12．有一个容量为200的样本，样本数据分组为[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150)，其频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计样
本数据落在区间[90,110)内的频数为（ ）
A．48 B．60 C．64 D．
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二、填空题 13．根据如图所示算法流程图，则输出S的值是__． 14．某公司的广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间有下列对应数据：由资料显示y对x呈线性相关关系。
x 2 4 5 6 8
y 30 40 60 50 70
根据上表提供的数据得到回归方程ybxa中的7b，预测广告费支出10万元时，销售额约为 _____________万元.（参考公式：aybx） 15．在棱长为2 的正方体内任取一点，则此点到正方体中心的距离不大于1的概率为_____．
16．在[0,1]上随机取两个实数,ab，则,ab满足不等式221ab的概率为________． 17．如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是__________．
18．执行如图所示的程序框图，输出的S值为__________. 19．已知AOB中，60AOBo，2OA，5OB，在线段OB上任取一点C，则AOC为锐角三角形的概率_________．
20．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的45%，在一次考试中，男、女生平均分数依次为72、74，则这次考试该年级学生的平均分数为__________． 三、解答题
21．市政府为了节约用水，调查了100位居民某年的月均用水量（单位：t），频数分布如下：
分组 [0,0.5) [0.5,1) [1,1.5) [1.5,2) [2,2.5) [2.5,3) [3,3.5) [3.5,4) [4,4.5]
频数 4 8 15 22 25 14 6 4 2
（1）根据所给数据将频率分布直方图补充完整（不必说明理由）； （2）根据频率分布直方图估计本市居民月均用水量的中位数； （3）根据频率分布直方图估计本市居民月均用水量的平均数（同一组数据由该组区间的中点值作为代表）. 22．某班60名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如下图所示. （1）求图中a的值及这60名学生数学成绩的中位数； （2）若规定成绩在80分以上为优良，求该班学生中成绩达到优良的人数. 23．某中学随机选取了40名男生，将他们的身高作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．观察图中数据，完成下列问题． （Ⅰ）求a的值及样本中男生身高在185,195（单位:cm）的人数； （Ⅱ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，通过样本估计该校全体男生的平均身高； （Ⅲ）在样本中，从身高在145,155和185,195（单位:cm）内的男生中任选两人，求这两人的身高都不低于185cm的概率．
24．甲、乙两位同学参加数学应用知识竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下：
（Ⅰ）分别估计甲、乙两名同学在培训期间所有测试成绩的平均分； （Ⅱ）从上图中甲、乙两名同学高于85分的成绩中各选一个成绩作为参考，求甲、乙两人成绩都在90分以上的概率； （Ⅲ）现要从甲、乙中选派一人参加正式比赛，根据所抽取的两组数据分析，你认为选派哪位同学参加较为合适？说明理由. 25．某洗车店对每天进店洗车车辆数x和用次卡消费的车辆数y进行了统计对比，得到如下的表格：
车辆数x 10 18 26 36 40
用次卡消费的车辆数y 7 10 17 18 23
(Ⅰ)根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；(b的结果保留两位小
数) (Ⅱ)试根据I求出的线性回归方程，预测50x时，用次卡洗车的车辆数．
参考公式：由最小二乘法所得回归直线的方程是ˆˆˆybxa；其中，
1122211())()nniiiiiinniiiixxyyxynxybxxxnx
$
，aybx$．
26．某医疗器械公司在全国共有100个销售点，总公司每年会根据每个销售点的年销量进行评价分析.规定每个销售点的年销售任务为一万四千台器械.根据这100个销售点的年销量绘制出如下的频率分布直方图.
（1）完成年销售任务的销售点有多少个？ （2）若用分层抽样的方法从这100个销售点中抽取容量为25的样本，求该五组[2,6)，[6,10)，____________，[14,18)，[18,22)，（单位：千台）中每组分别应抽取的销
售点数量. （3）在（2）的条件下，从该样本中完成年销售任务的销售点中随机选取2个，求这两个销售点不在同一组的概率.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除 一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 先将这个二进制转化成十进制,然后除8取余数,即可得出答案. 【详解】 ∵101101（2）=1×25+0+1×23+1×22+0+1×20=45（10）． 再利用“除8取余法”可得：45（10）=55（8）． 故答案选D．
【点睛】 本道题考查了不同进制数的转化,较容易,先将二进制数转化成十进制,然后转为八进制,即可. 2．C 解析：C 【解析】 【分析】 先求出基本事件总数n＝27，在得到的27个小正方体中，若其两面涂有油漆，则这个小正方体必在原正方体的某一条棱上，且原正方体的一条棱上只有一个两面涂有油漆的小正方体，则两面涂有油漆的小正方体共有12个，由此能求出在27个小正方体中，任取一个其两面涂有油漆的概率． 【详解】 ∵一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体， ∴基本事件总数n＝27， 在得到的27个小正方体中， 若其两面涂有油漆，则这个小正方体必在原正方体的某一条棱上， 且原正方体的一条棱上只有一个两面涂有油漆的小正方体， 则两面涂有油漆的小正方体共有12个，则在27个小正方体中，任取一个其两面涂有油漆
的概率P= 故选：C 【点睛】 本题考查概率的求法，考查古典概型、正方体性质等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力，考查函数与方程思想，是基础题． 3．C