2021届湖南省岳阳县第一中学高三上学期第一次月考数学(文)试题Word版含答案
2021届湖南省岳阳县第一中学高三上学期第一次月考
数学(文)试题
分 值: 150分 时 量:120分
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一个项是符合题目要求的)
1.已知集合{}3A x N x =∈≤,{}
26160B x x x =+-<,则A
B = ( )
A.{}82x x -<<
B.{}1
C.{}0 1,
D.{}0 1 2,, 2.已知命题:p x R ?∈,2lg x x ->,命题:q x R ?∈,20x >,则 ( )
A.命题p q ∨是假命题
B.命题p q ∧是真命题
C.命题()p q ∧?是真命题
D.命题()p q ∨?是假命题
3.已知sin cos x x +=
,()0 x π∈,
,则tan x = ( )
A.4.设向量()2 1 3x =-m ,,向量()1 1=-n ,,若⊥m n ,则实数x 的值为 ( )
A.1-
B.1
C.2
D.3
5.已知函数()sin()f x A x ω?=+(0A >,0ω>,R ?∈),则“()f x 是偶函数”是“2
π
?=”的
( )
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充要条件
D .既不充分也不必要条件
6.若2log 0.5a =, 0.52b =, 20.5c =,则a , b , c 三个数的大小关系是 ( )
A. a b c <<
B. b c a <<
C. a c b <<
D. c a b <<
7.函数()()
212
log 4f x x =-的单调递增区间为 ( )
A .(0,+∞)
B .(-∞,0)
C .(2,+∞)
D .(-∞,-2)
8.在湖心孤岛岸边,有一a 米高的观测塔AB ,观测员在塔顶A 望湖面上两小船D C ,,测得它们的俯角
分别为
45,30,小船C 在塔的正西方向,小船D 在塔的南偏东 30的方向上,则两船之间的距离是( )米.
A .a 2
B .a 34+
C .a )13(+
D .a 34-
9.不等式|x -5|+|x +3|≥10的解集是 ( )
A .[-5,7]
B .[-4,6]
C .(-∞,-5]∪[7,+∞)
D .(-∞,-4]∪[6,+∞) 10.曲线2sin()cos()44y x x π
π=+
-与直线1
2
y =在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为123,,,p p p ,则24||p p 等于 ( )
A .π
B .2π
C .3π
D .4π 11.已知函数是定义在上的以2为周期的偶函数,当
时,
.若直线
与
函数
的图像在
内恰有两个不同的公共点,则实数的值是
( ) A .
或
; B .0; C .0或
; D .0或
12.如右图所示,已知点G 是ABC ?的重心,过点G 作直线与,AB AC 两边分别交于,N M 两点,且
,AM xAB AN y AC ==,则2x y +的最小值为 ( )
A .2
B .
13 C 322+ D .3
4
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分。)
13.以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位。已知直线
的极坐标方程为()4R π
θρ=∈,它与曲线12cos 22sin x y α
α=+??=+?
(α为参数)相交于两点A 和B ,则|AB|=_______.
14.已知)1,(x =,)1,2(-=,向量a 在b 方向上的投影为5,则=x .
15.若关于x 的不等式2
|1||2|1()
x x a a x R ---≥++∈的解集为空集,则实数a 的取值范围
是 . 16.已知函数()()()()
log 21{
,(01)252
37a x x f x a a x x -≤=>≠--≤≤且的图象上关于直线1x =对称的点有且仅
有一对,则实数a 的取值范围为_______________.
三、解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 已知直线的极坐标方程为2
2
4sin =
???
?
?
+
πθρ,圆M 的参数方程为 ??
?+-==θ
θ
sin 22cos 2y x (其中θ为参数).
(Ⅰ)将直线的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)求圆M 上的点到直线的距离的最小值.
18.(本小题满分l2分)选修4—5:不等式选讲 已知函数|1||2|)(+--=x x x f . (Ⅰ)求证:3)(3≤≤-x f ; (Ⅱ)解不等式x x x f 2)(2-≥.
19.(本小题满分12分)
已知函数3cos 32cos sin 2)(2+-=x x x x f .
(Ⅰ)若3)(=αf ,α为锐角,求α2cos ;
(Ⅱ)当??
?
???∈2,0πx 时,方程m x f =)(有两个不相等的实数根,求实数m 的取值范围.
20.(本小题满分12分)
已知p :x ∈A={x|x 2
﹣2x ﹣3≤0,x ∈R},q :x ∈B={x|x 2
﹣2mx+m 2
﹣9≤0,x ∈R ,m ∈R}. (1)若A ∩B=[1,3],求实数m 的值;
(2)若p 是?q 的充分条件,求实数m 的取值范围.
21.(本小题满分12分) 在
ABC
?中,角
C
B A ,,所对的边分别是
c
b a ,,,且满足
C B A C B A 222sin sin sin sin sin sin 32-+=.
(Ⅰ)求角C 的大小;
(Ⅱ)若B a A b cos sin =,且22=b ,求ABC ?的面积.
22.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=log 4(4x
+1)+kx(k ∈R)为偶函数. (1)求k 的值;
(2)若方程f(x)=log 4(a ·2x -a)有且只有一个根,求实数a 的取值范围.
2021届湖南省岳阳县第一中学高三上学期第一次月考
数学(文)试题参考答案
1.C 2.C 3.D 4.C 5.B 6.C 7.
D 8.B 9.D 10.A 11.D 12.C
12题分析:因为,,M N G 三点共线,所以()
,MG GN AG AM AN AG λλ=-=-,因为G 是ABC ?重心,
所以()13AG AB AC =+,()()
1133AB AC xAB y AC AB AC λ??+-=-+ ???,所以1
133
113
3x y λλλ?-=-???
?=-??,化简得()()31311x y --=,解得题目所给图像可知
11
1,122
x y ≤≤≤≤.由基本不等式得 ()()2
3162231622x y x y -+-??=--≤ ?
??,即()32232322,23x y x y ++-≥+≥.当且仅当3162x y -=-,即2122,36x y ++=
=
时,等号成立,故最小值为322
3
+. 13.14 14. 3 15.()()+∞?-∞-,01, 16.)
53,75????
???
?? 【解析】作出如图:,
因为函数()()()()
log 21{
,(01)252
37a x x f x a a x x -≤=>≠--≤≤且,的图像上关于直线1x =对称的点有且仅有一
对,所以函数2log ,252y a y x ==--在[3,7]上有且只有一个交点,当对数函数的图像过(5,-2)时,
由5log 52a a =-?=7,2)时同理7,所以a 的取值范围为53,7???? 点睛:对于分段函数首先作出图形,然后根据题意分析函数2log ,252y a y x ==--在[3,7]上有且只有
一个交点,根据图像可知当对数函数的图像过(5,-2
)时,由log 52a a =-?=
7,2)时同理
由此得出结果,在分析此类问题时要注意将问题进行转化,化繁为简再解题.
17.(Ⅰ).01=-+y x (Ⅱ)圆M 上的点到直线的距离的最小值为
.22
2
3- 解:(Ⅰ)以极点为原点,极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系. ----------------1分
224sin =??
? ??
+πθρ
().1cos sin ,2
2cos sin 22
=+∴=+∴
θρθρθρθρ----------------3分 所以,该直线的直角坐标方程为:.01=-+y x ----------------5分 (Ⅱ)圆M 的普通方程为:4)2(2
2
=++y x ----------------7分 圆心)2,0(-M 到直线01=-+y x 的距离.2
2
32
1
20=
--=
d ---------------9分 所以,圆M 上的点到直线的距离的最小值为
.22
2
3-----------------10分
18.解:(1)??
?
??>-<<-+--≤=)
2(3)21(1
2)
1(3)(x x x x x f ,------------------3分 又当2
1<<-x 时,3123<+-<-x ,
∴3)(3≤≤-x f -----------------------------------------------6分 (2)当1-≤x 时,121322=?≤≤-?≤-x x x x ;
当21<<-x 时,11111222≤<-?≤≤-?+-≤-x x x x x ; 当2≥x 时,φ∈?-≤-x x x 322;-------------------------10分 综合所述,不等式的解集为:[]1,1-.-------------------------12分 19.解:(Ⅰ)3cos 32cos sin 2)(2+-=x x x x f
x x x x 2cos 32sin )1cos 2(32sin 2-=--=
)3
2sin(2π
-
=x
由3)(=
αf ,即3)3
2sin(2=-
π
α,得2
3)3
2sin(=
-π
α
又α为锐角,所以)3
2,
3
(3
2π
ππ
α-
∈-,∴3
3
2π
π
α=
-
∴3
π
α=
,所以2
1
2cos -
=α…………………………………………………6分 (Ⅱ)因为??
?
???∈2,
0πx ,所以??????-∈-32,332πππx ∵方程m x f =)(有两个不相等的实数根∴m y =与)(x f y =的图象有两个交点 ∴[)2,3∈m ………………………………………………………………12分
20.(1)m=4;(2) m >6,或m <﹣4.
【解析】试题分析:(1)化简A={x|﹣1≤x ≤3},B={x|m ﹣3≤x ≤m+3}, 由A ∩B=[1,3],得到:m=4;………………………………6分
(2)若p 是?q 的充分条件,即A ?C R B ,易得:m >6,或m <﹣4. 试题解析:
由已知得:A={x|﹣1≤x ≤3},B={x|m ﹣3≤x ≤m+3}. (1)∵A ∩B=[1,3]
∴ ∴, ∴m=4;
(2)∵p 是?q 的充分条件,∴A ?C R B , 而C R B={x|x <m ﹣3,或x >m+3} ∴m ﹣3>3,或m+3<﹣1,
∴m >6,或m <﹣4. ………………………………12分 21.【答案】(Ⅰ)6
π
=
C ;(Ⅱ)13+=
?S
解:(Ⅰ)∵C B A C B A 222sin sin sin sin sin sin 32-+=
由正弦定理得222sin 32c b a C ab -+= ………………………2分
两边同除以ab 2得ab
c b a C 2sin 32
22-+=
由余弦定理得C C cos sin 3= ∴3
3tan =C ∵C 是三角形的内角 ∴6
π
=C …………………………………6分
(Ⅱ)∵B a A b cos sin =
由正弦定理可得B A A B cos sin sin sin =
0sin ≠A ∴B B cos sin = ∴4
π
=
B
∵C c
B b sin sin = ∴2
12
222c
=
解得2=c …………………..9分 )]6
4(sin[21sin 21πππ+-==
∴?bc A bc S 134
2622221+=+???=…………………………….12分 22.(1)
1
2
(2) a 的取值范围为{a|a>1或a =-2-
} 【解析】解:(1)∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),
即log 4(4-x
+1)-kx =log 4(4x
+1)+kx ,
即(2k +1)x =0,∴k =-12
.………………………………4分
(2)依题意令log 4(4x
+1)-
12
x =log 4 (a ·2x
-a), 即()412220
x x x x
a a a a ?+=?-????->??
令t =2x ,则(1-a)t 2+at +1=0,只需其有一正根即可满足题意.………………6分 ①当a =1时,t =-1,不合题意,舍去. ②上式有一正一负根t 1,t 2,
即()2124101
001a a t t a ??=-->??=
-?
经验证满足a ·2x
-a>0,∴a>1.………………………………8分 ③上式有两根相等,即Δ=0?a =±
2,此时t =
()21a a -,若a =
-1),则有t =()
21a
a -<0,
此时方程(1-a)t 2
+at +1=0无正根,故a =
-1)舍去;
若a =-
1),则有t =
()
21a
a ->0,且a · 2x
-a =a(t -1)=a
()121a a ??
-?
?-??
=
()
()
221a a a -->0,因此
a
=-+1).………………………………11分
综上所述,a 的取值范围为{a|a>1或a =-2
-}.………………………………12分
高三数学第一次月考试题(文科)
高三数学第一次月考试题(文科) 一、选择题(四个选项中只选一项,每小题5分,共60分) 1. 设集合V={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={2,5},则A ?(CuB )= ( ) A. {2} B. {2,3} C. {3} D.{1,3} 2. 已知P 是r 的充分不必要条件,S 是r 的必要条件,q 是s 的必要条件,那么p 是q 成立的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 与曲线11 -=x y 关于位点对称的曲线为 ( ) A.x y +=11 B. x y +-=11 C. x y -=11 D. x y --=11 4. 若x x x f 1 )(-=则方程x x f =)4(的根是 ( ) A. 21 B. 2 1- C. 2 D. 2- 5. 等差数列{n a }中,24321-=++a a a ,78201918=++a a a ,则此数列前20项和等于 ( ) A. 160 B. 180 C. 200 D. 220 6. 若不等式2+ax <6的解集为(-1,2),则实数a 等于 ( ) A. 8 B. 2 C. -4 D.-8 7. 函数y=sin ))(6 ( )3 (R X x COS x ∈++-π π 的最小值等于 ( ) A. 5- B. 3- C. 2- D. 1- 8. 函数)1()1(2-+=x x y 在1=x 处的导数等于 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 5本不同的书,全部分给4名学生,每名学生至少1本不同分法的种数为 ( ) A. 480 B. 240 C. 120 D. 96 10. 椭圆14 22 =+y x 的两个焦点为F 1,F 2,过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交,一个交点为P 则||2PF = ( ) A. 2 3 B.3 C. 2 7 D.4 11. 已知点A(1,2)、B (3,1)则线段AB 的垂直平分线的方程是 ( ) A. 524=+y x B. 524=-y x C. 52=+y x D. 52=-y x 12. 四面体ABCD 四个面的重心分别为E 、F 、G 、H ,则四面体EFGH 的表面积与四面体ABCD 的表面积的比值是 ( ) A. 27 1 B. 16 1 C. 9 1 D. 8 1 二、填空题(每小题4分,共16分) 13. )1()2(210-+x x 的展开式中x 的系数为__________。(用数字作答) 14. 设x 、y 满足约束条件,?????≥≤≤+o y x y y x 1则y x z +=2的最大值是__________。 15. 某公司生产三种型号的轿车,产量分别为1200辆,6000辆和2000辆,为检验该公司的产品质量,现用分层抽样