中山市高二级2015—2016学年度第一学期期末统一考试(数学.理)

中山市高二年级2015–2016学年度第一学期期末统一考试数学试卷（理科）本试卷共4页，22小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1、答卷前，考生务必用2B 铅笔在答题卡“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2、选择题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。

3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案。

不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效。

4、考生必须保持答题卡的整洁．考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1． 已知集合{}{}2|20,|14x x x B x x A =-≤=≤≤，则A B =A ．(0,2]B ．(1,2]C ．[]1,2D ．[]0,42． 已知等比数列{}n a 满足：1324461,2,a a a a a a +=+=+=则 A ．2 B ．4 C ．6 D ．83． 已知抛物线22x ay =（a 为常数）的准线经过点(11)-，，则抛物线的焦点坐标为 A ．(10)-， B ．(10)， C ．(01)-， D ．(01)， 4． 若命题“0x R ∃∈，使得200250x mx m +++<”为假命题，则实数m 的取值范围是 A ．[10,6]- B ．(6,2]- C ．[2,10]- D ．(2,10)-5． 已知实数4,,9m 构成一个等比数列，则圆锥曲线221x y m+=的离心率为A B C D ．56或76． 在棱长为2的正四面体ABCD 中，E , F 分别是 BC , AD 的中点，则AE CF =A ．0B ．2-C ．2D ．3-7． 若函数()ln f x kx x =-在区间(1,)+∞单调递增，则k 的取值范围是A ．(,2]-∞-B ．(,1]-∞-C ．[2,)+∞D ．[1,)+∞ 8． 已知ABC ∆中，内角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ，若3A π=，且2cos b a B =， c =，则ABC ∆的面积等于A BC D9．若不等式216 2a bx xb a+<+对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则实数x的取值范围是A．(－2，0) B．(－∞，－4)∪(2，＋∞)C．(－∞，－2)∪(0，＋∞) D．(－4，2)10．定义在区间[0,1]上的函数()f x的图象如图所示，以(0,(0))A f、(1,(1))B f、(,())C x f x为顶点的∆ABC的面积记为函数()S x，则函数()S x的导函数'()S x的大致图象为11．某同学利用图形计算器探索平面内到定点与定直线的距离之和为常数的动点轨迹，发现其轨迹是常见的探照灯模型（如下左图），于是由具体例子准确分析其轨迹，选取的实例是：平面内到定点(2,0)F和定直线:2l x=-的距离之和为常数6的动点M的轨迹方程。

先设动点M的坐标，写出条件等式，定义函数，用零点表达式作出图形，如下右图。

同时利用图形计算器的CAS运算功能，求出具体的轨迹方程，具体演算过程如下：通过以上研究，可以进一步得到该具体问题的一些结论，下列结论错误的是A ．探照灯模型的深度为6 B．探照灯模型灯口的通径为C ．左侧抛物线的焦点为(10)-，D ．右侧抛物线的焦点为(20)，12．若关于x 的不等式20x ax c +-<的解集为{|21}x x -<<，则函数2()ax g x e x =的单调递减区间为 A ．(,0)-∞ B ．(2,0)- C ．(2,1)-- D ．(,2)-∞-二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应横线上）13．在△ABC 中，若1b =，c =，3C π=，则a = 。

14．已知不等式组110x y x y y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩所表示的平面区域为D ，若直线3y kx =-与平面区域D 有公共点，则k 的取值范围是 。

15．有下列四个命题： （1）“若0xy >，则,x y 同正、或同负”的逆命题； （2）“周长相等的两个三角形全等”的否命题；（3）“若1m ≤，则220x x m -+=有实数解”的逆否命题；（4）“若A B B =，则A B ⊆”的逆否命题。

其中真命题为 。

16．已知数列{}n a 满足()()11,log 12,n n a a n n n N *==+≥∈。

定义：使乘积12k a a a ⋅⋅⋅⋅为正整数的()k k N *∈叫做“易整数”。

则在(1,2015]内所有“易整数”的和为 。

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

）17．（10分）已知△ABC的周长为1)，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且有sin sin B C A +=。

（1）求边长a 的值。

（2）若△ABC 的面积为S ＝3sin A ，求AB AC 的值。

18．（12分）已知数列{}n a 与{}n b ，若13a =且对任意正整数n 满足12n n a a +-=，数列{}n b 的前n 项和2n n S n a =+。

（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T 。

19．（12分）某种产品每件成本为6元，每件售价为x 元（611x <<），年销售u 万件，已知5858u -与221()4x -成正比，且售价为10元时，年销量为28万件。

（1）求年销量利润y 关于售价x的函数关系式；（2）求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润。

20．（12分）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是侧棱1CC 上的一点， CP m =。

（1）试确定m ，使直线AP 与平面11BDD B 所成角的正切值为（2）在线段11A C 上是否存在一个定点Q ，使得对任意的m 1D Q 垂直于AP ，并证明你的结论。

21．（12分）已知椭圆C : 22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为e =，且过点（1 （1）求椭圆C 的方程；（2）设与圆2234x y +=相切的直线l 交椭圆C 与A 、B 两点，求OAB ∆面积的最大值，及取得最大值时直线l 的方程。

22．（12分）设函数()f x 在(,)a b 上的导函数为'()f x ，'()f x 在(,)a b 上的导函数为''()f x ， 若在(,)a b 上，''()0f x <恒成立，则称函数()f x 在(,)a b 上为“凸函数”。

已知432113()1262f x x mx x =--。

（1）若()f x 为区间(1,3)-上的“凸函数”，试确定实数m 的值；（2）若当实数m 满足||2m ≤时，函数()f x 在(,)a b 上总为“凸函数”，求b a -的最大值。

中山市高二年级2015–2016学年度第一学期期末统一考试数学试卷（理科）答案一、选择题： CDDCC BDADD CB 二、填空题：13．2； 13． (,3][3,)-∞-+∞； 15．⑴⑵⑶； 16．2035. 三、解答题：17．解：（1）根据正弦定理，由sin sin B C A +=，得b c +=. ……2分由1)a b c a ++=+=，解得4a =. ……5分 （2） ∵S ＝3sin A ， ∴ 1sin 3sin 2bc A A =，即6bc =. ……6分又b c +=∴2222222()22641cos 22263b c a b c bc a A bc bc +-+---⨯-====⨯. ……9分∴1cos 623AB AC bc A ==⨯=. ……10分18．解：（1）∵对任意正整数n 满足a n+1﹣a n =2， ∴{a n }是公差为2的等差数列， ………1分 又a 1=3， ∴a n =2n +1；……… 2分 当n =1时，b 1=S 1=4； ………3分 当n ≥2时，()()()22121121121n n n b S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=+⎣⎦………5分对b 1=4不成立．∴数列{b n }的通项公式：b n =4,(1)21,(2)n n n =⎧⎨+≥⎩．………6分（2）由（1）知当n =1时，T 1=121114520b b ==⨯，………7分 当n ≥2时，111111()(21)(23)22123n n b b n n n n +==-++++，………9分 ∴T n =11111111111131[()()...()]()202577921232025232046n n n n +-+-++-=+-=-++++， ……11分当n =1时仍成立．∴ 312046n T n =-+ 对任意正整数n 成立．………12分19. 解：（1）设258521()84u k x -=-，售价为10元时，年销量为28万件，解得2k =. 2分 所以22215852()2211848u x x x =--+=-++， ……4分 所以232(22118)(6)233108108(611)y x x x x x x x =-++-=-+--<< (6)分 （2）2'6(1118)6(2)(9)y x x x x =--+=---， ……8分当(6,9)x ∈时，'0y >；当(9,11)x ∈时，'0y <. 所以当9x =时，max 135y =. (11)分答：售价为9元时，年利润最大，年利润最大为135万元. ……12分20．解：（１）建立如图所示的空间直角坐标系，……1分则A(1,0,0), B(1,1,0), P(0,1,ｍ)，C(0,1,0), D(0,0,0), B 1(1,1,1), D 1(0,0,1). 所以1(1,1,0),(0,0,1),BD BB =--=(1,1,),(1,1,0).AP m AC =-=- ……2分 又由110,0AC BD AC BB AC D D ⋅=⋅=1知为平面BB 的一个法向量. ……3分 设AP 与11BDD B 面　所成的角为θ，则||sin cos()2||||2AP AC AP AC πθθ⋅=-==⋅ ……4分=，解得13m =. ……5分故当13m =时，直线AP 11与平面BDD B 所成的角的正切值为 ……6分（２）若在11A C 上存在这样的点Q ，设此点的横坐标为x ，……7分 则1(,1,1),(,1,0)Q x x D Q x x -=-. ……8分依题意，对任意的m 要使1D Q AP ⊥，只需10D Q AP =对任意m 恒成立 ……9分1110(1)02D Q AP D Q AP x x x ⊥⇔=⇔-+-=⇔=，……11分即Q 为11A C 的中点时，满足题设的要求 ……12分21．析：（1）由题意可得：2222131c aab ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎩ …… 2分 解得22223,1,13x a b y ==∴+= …… 4分（2）①当k不存在时，x y =∴=1324OAB S ∆∴== …… 5分 ②当k 存在时，设直线为y kx m =+，()()1122,,,,A x y B x y 则2213x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y 得222(13)6330k x kmx m +++-= ……6分 122613km x x k -+=+，21223313m x x k -=+ …… 7分d r =⇒=2243(1)m k =+， …… 8分242242411094||331169169k k k AB k k k k ++==+++++…… 10分2=≤当且仅当2219,k k = 即k =…… 11分 11222OAB S AB r ∆∴=⨯≤⨯=， ∴ OAB ∆，此时直线方程1y =±. …… 12分22．解：由函数432113()1262f x x mx x =--得，2()3f x x mx ''=--………………2分 (1) 若()f x 为区间(1,3)-上的“凸函数”，则有2()30f x x mx ''=--<在区间(1,3)-上恒成 立，由二次函数的图像，当且仅当(1)130(3)9330f m f m ''-=+-≤⎧⎨''=--≤⎩， 即22m m ≤⎧⎨≥⎩2m ⇔=． …………………………………………………5分 (2)当||2m ≤时，2()30f x x m x ''=--<恒成立⇔当||2m ≤时，23m x x >-恒成立．……………………………………………………………………………6分 当0x =时，()30f x ''=-<显然成立。