奥林匹克及自主招生辅导材料(强烈推荐)第二集第一讲：不等式的证明
数学竞赛辅导讲座：组合恒等式、组合不等式
数学竞赛辅导讲座：组合恒等式、组合不等式① ⑤ ② ③ ④ ⑥ 数学竞赛辅导讲座：组合恒等式、组合不等式知识、方法、技能Ⅰ．组合恒等式竞赛数学中的组合恒等式是以高中排列组合、二项式定理为基础，加以推广、补充而形成的一类组合问题.组合恒等式的证明要借助于高中常见的基础组合等式.例如0)1(2321021011111=-++-+-=++++?==+==----+++-nn n n n n n nn n n n n mr mn m n m n r n r n rn r n r nr n rn nr nC C C C C C C C C C C C C C r n C C C C C C组合恒等式的证明方法有：①恒等变形，变换求和指标；②建立递推关系；③数学归纳法；④考虑组合意义；⑤母函数. Ⅱ．组合不等式组事不等式以前我们见的不多，在其他一些书籍中组合不等式的著述也很少，但是近年来组合不等式的证明却出现在国内、国际大赛上.例如1993年中国高中数学联赛二试第二大题为：设A 是一个有n 个元素的集合，A 的m 个子集A 1，A 2…，A m 两两互不包含，试证：（1）∑=≤mi A nI C（2）∑=≥m i A n m C I 12||其中|A i |表示A i 所含元素的个数，||I A n C 表示n 个不同元素取|A i |的组合数. 再如1998年第39届国际数学奥林匹克竞赛中第二大试题为：在某一次竞赛中，共有a 个参赛选手与b 个裁判，其中b ≥3，且为奇数.每个裁判对每个选手的评分中只有“通过”或“不及格”两个等级，设k 是满足条件的整数；任何两个裁判至多可对k 个选手有完全相同的评分. 证明：.21bb a k -≥ 因此我们有必要研究组合不等式的证明方法.组合不等式的证明方法有： 1．在集合间建立单射，利用集合阶的不等关系定理，设X 和Y 都是有限集，f 为从X 到Y 的一个映射，（1）若f 为单射，则|X|≤|Y|；（2）若f 为满射，则|X|≥|Y|. 2．利用容斥原理例如：设元素a 属于集族{A 1，A 2，…，A n }的k 个不同集合k i i i A A A ,,,21 ，则在∑=ni iA 1||中a 被计算了k 次，当k ≥2时，集合k i i i A A A ,,,21 两两的交集共有2k C 个.由于||,12)1(12j nj i i k A A a k k k C ∑≤≤≤-≥-=在故中至少少被计算了k －1次，这样我们得到下面的不等式：1jnj i ii ni i ni AA A A ∑∑≤≤≤==-≥组合不等式（*）可由容斥公式：||)1(||||||1)1(111i ni n jnj i ii ni i ni A AA A A =-≤≤≤==-++-=∑∑ 删去右边第三个和式起的所有和式得到.采用这种办法，我们可以从容斥公式得到另外一些组合不等式，只是要注意这些不等式的方向的变化.3．利用抽屉原则由于抽世原则的结论本身就是组合不等式关系，所以我们利用抽屉原则，巧妙构造抽屉的方法证明组合不等式.4．利用组合分析在复杂的组合计数问题、离散极值问题等问题中，会出现一些组合不等式，这时可运用组合分析方法证明之.赛题精讲例1 证明：∑=-?+=nk n k n n n n C 0122!!2)!2(2【分析】把∑∑∑∑+=+===-nn k kn n n k knnk k nnk k nC C CC21221220202,而对于变形为，变换求和指标.【证明】k n j C CCC Cnn k kn nn k k nnnn k k nnk k nnk k n-=-=-=∑∑∑∑∑+=+=+===2,,2 212212221220202令对于和式，则.20202212212nn nk k n nj n nj n n j j n nn k k nC C C C C C-=-==∑∑∑∑==-=+= 所以.2202202nn nk k n nnk k nC C C+-=∑∑== 即 nn n nk kn C C220222+=∑=，从而有∑=-?+=nk n k n n n n C 0122!!2)!2(2.例2 求证：.,)1(111)1(312111210N n C n m C n m C m C m C m n nm nn nnn n ∈++=++-+-+++-++其中证明设n n n n n n n C n m C m C m C m a 11)1(312111210++-+-+++-+=，则由基本恒等式r n r n r n r n r n C nr C C C C =+=----1111及得.1)1()()1()(31)(211111122111112101110------------++-+++-+-+++++-+=n n n n n n n n n n n n n n C n m C C n m C C m C C m C m a .)1(1)1)(2())(1(!,)1)(2(12111,)3())(1(!))(1()1(1.1,1112111nn m n n n n n n n n n n C n m m m n m n m n a m m m m a a m n m n m n a n m n m n n a n m n a a a n m a a n m a a +----++=+++++=++=+-+=++++==+++-=++==+++-=从而有而所以即故【说明】注意到a n 中各项的系数均与n 无关，且符号正负相同，由此想到a n 与a n －1之间必定存在着某些联系，且是递推关系. 例3 求证：∑=+--+=?-nk kk n k n kn C 01222.12)1(【分析】考虑到恒等式12212---+-+=k k n k k n k k n C C C ，仿例2解决.【证明】令∑=+--??-=nk kk n k n kn C a 01222,2)1(因为，12212---+-+=k k n k kn kk n C C C ，.2)1(2)1(2)1(,1.2)1(2)1()(2)1(22)1(211)1(2102)1(21)1(212)1(21121221212202221212222112222-+---=--+---=--+--=---=-=----=--=+---=--=?-=?--=?-+?-=+?-+=?-+=∑∑∑∑∑∑∑n r r n n r r n r r r n n r r n r k kn nk kn kk k n nk k n k nk kkn kn kk k n nk k k n k n k nnk kk n k n k nn a C C Ck r C C C C C a 则令所以令∑=---+==?-nk n n n n kk n k n ka ab b C 01222,2)1(则① .42)1(4)1()(2)1(2)1(2)1(21110)1(22)1(211121112222112222---=---------=----=---=?--=-++?-+=-+?-+=∑∑∑n n n j j jn j n j n n k k n n k k k n k n k nn k n k k n k n k nn b a C a C C C b 又于是由①式得1221112112,4,---------=+--=++=n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a b 即从而推知. 这说明{a n }为等差数列，而a 0=1,a 1=2，故公差d=1，且a n =n+1 .【说明】此题运用变换求和指标的方法，找出了a n ，a n －1，a n －2之间的线性关系式，再由初始条件求得a n .这种利用递推关系求组合数的方法，在解决较复杂的计算或证明组事恒等式时经常用到.。
2016年竞赛与自主招生专题第二讲：均值、柯西、排序不等式(教师版)
n
得最大值和最小
值．重 重
。来源:学科网上
竞赛题目精
2013 江
重
1 ≤ b ≤ 1 . 证明： 2(b − a) ≤ cos π a − cos π b ． 2
竞赛 13. 设实数 a ， b 满足 0 ≤ a ≤
证明：设 f (x) = 2x+cosπx，欲证 等式转化为 f (b) ≤ f (a). 由于 f ′(x) = 2-πsinπx，f ″(x) = - π2cosπx . 当 x∈(0,
4.排序
等式
又
排序 定理
重
b1，b2， ⋯，bn ． 如 果 a1 ≤ a2 ≤ ⋯ ≤ an
重重重重给 定 两
⋯，an 实 数 a1，a2，
b1 ≤ b2 ≤ ⋯ ≤ bn ．那
重重重重
重重重重 a1bn +a2bn −1 + ⋯ +an b1 ≤ a1bi1 +a2bi2 + ⋯ +an bin ≤ a1b1 +a2b2 + ⋯ +an bn 重 重重重重重重重重 重 反序和 重重重重重重重重重重重重 乱序和 重重重重重重重重重重重重 同序和 重
⋯⋯，in 是 1，， 2 ⋯⋯，n 的一个排列．重 中 i1，i2，
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该
等式所表达的意
是和式 ∑ a j bi j 在同序和反序时分别
An =
等式
设 a1 , a2 , a3 ,⋯ an 是 n 个
第2讲 不等式的证明
第2讲 不等式的证明[学生用书P256]一、知识梳理 1．基本不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理2：如果a ，b 为正数，则a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理3：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．定理推广：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．2．不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等． 3．数学归纳法证明不等式的关键使用数学归纳法证明与自然数有关的不等式，关键是由n ＝k 时不等式成立推证n ＝k ＋1时不等式成立，此步的证明要具有目标意识，要注意与最终达到的解题目标进行分析、比较，以便确定解题方向．常用结论 1．a 2≥0(a ∈R )．2．(a －b )2≥0(a ，b ∈R )，其变形有a 2＋b 2≥2ab ，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab ，a 2＋b 2≥12(a ＋b )2. 3．若a ，b 为正实数，则a ＋b 2≥ab .特别地，b a ＋ab ≥2.4．a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 二、习题改编1．(选修4-5P23习题T1改编)已知a ≥b >0，M ＝2a 3－b 3，N ＝2ab 2－a 2b ，则M ，N 的大小关系为________．解析：2a 3－b 3－(2ab 2－a 2b )＝2a (a 2－b 2)＋b (a 2－b 2)＝(a 2－b 2)(2a ＋b )＝(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )．因为a ≥b >0.所以a －b ≥0，a ＋b >0，2a ＋b >0，从而(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )≥0，故2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .答案：M ≥N2．(选修4-5P24例3改编)求证：3＋7<2＋ 6. 证明：3＋7<2＋6 ⇐(3＋7)2<(2＋6)2 ⇐10＋221<10＋46 ⇐21<26⇐21<24. 故原不等式成立．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)比较法最终要判断式子的符号得出结论．( )(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论．( )(3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．( )(4)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× 二、易错纠偏常见误区|Ｋ不等式放缩不当致误设a ，b ∈(0，＋∞)，且ab －a －b ＝1，则有( ) A ．a ＋b ≥2(2＋1) B ．a ＋b ≤2＋1 C ．a ＋b <2＋1D ．a ＋b >2(2＋1)解析：选A.由已知得a ＋b ＋1＝ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，故有(a ＋b )2－4(a ＋b )－4≥0，解得a ＋b ≥22＋2或a ＋b ≤－22＋2(舍去)，即a ＋b ≥22＋2.(当且仅当a ＝b ＝2＋1时取等号)故选A.[学生用书P257]比较法证明不等式(师生共研)设a，b是非负实数，求证：a3＋b3≥ab(a2＋b2)．【证明】因为a，b是非负实数，所以a3＋b3－ab(a2＋b2)＝a2a(a－b)＋b2b(b－a)＝(a－b)[(a)5－(b)5]．当a≥b时，a≥b，从而(a)5≥(b)5，得(a－b)[(a)5－(b)5]≥0；当a<b时，a<b，从而(a)5<(b)5，得(a－b)[(a)5－(b)5]>0.所以a3＋b3≥ab(a2＋b2)．比较法证明不等式的方法与步骤(1)作差比较法：作差、变形、判号、下结论．(2)作商比较法：作商、变形、判断、下结论．[提醒](1)当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时，一般使用作差比较法．(2)当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时，一般使用作商比较法．1．当p，q都是正数且p＋q＝1时，试比较(px＋qy)2与px2＋qy2的大小．解：(px＋qy)2－(px2＋qy2)＝p2x2＋q2y2＋2pqxy－(px2＋qy2)＝p(p－1)x2＋q(q－1)y2＋2pqxy.因为p＋q＝1，所以p－1＝－q，q－1＝－p.所以(px ＋qy )2－(px 2＋qy 2)＝－pq (x 2＋y 2－2xy )＝－pq (x －y )2. 因为p ，q 为正数，所以－pq (x －y )2≤0， 所以(px ＋qy )2≤px 2＋qy 2.当且仅当x ＝y 时，不等式中等号成立． 2．已知a ，b ∈(0，＋∞)，求证：a b b a ≤(ab )a ＋b 2.证明：a b b a （ab ）a ＋b 2＝ab －a ＋b 2ba －a ＋b 2＝⎝⎛⎭⎫b a a －b2.当a ＝b 时，⎝⎛⎭⎫b a a －b2＝1；当a >b >0时，0<ba<1，a －b 2>0，⎝⎛⎭⎫b a a －b2<1. 当b >a >0时，b a >1，a －b 2<0，⎝⎛⎭⎫b a a －b2<1. 所以a b b a ≤(ab )a ＋b2.综合法、分析法证明不等式(师生共研)(一题多解)已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2.证明： (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4； (2)a ＋b ≤2.【证明】 法一(综合法)： (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6 ＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4) ＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.(2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3 ＝2＋3ab (a ＋b ) ≤2＋3（a ＋b ）24·(a ＋b )＝2＋3（a ＋b ）34，所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2. 法二(分析法)：(1)因为a >0，b >0，a 3＋b 3＝2. 要证(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4，只需证(a ＋b )(a 5＋b 5)≥(a 3＋b 3)2， 即证a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6≥a 6＋2a 3b 3＋b 6， 即证a 4＋b 4≥2a 2b 2，因为(a 2－b 2)2≥0，即a 4＋b 4≥2a 2b 2成立． 故原不等式成立． (2)要证a ＋b ≤2成立， 只需证(a ＋b )3≤8，即证a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3≤8， 即证ab (a ＋b )≤2， 即证ab (a ＋b )≤a 3＋b 3，即证ab (a ＋b )≤(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)， 即证ab ≤a 2－ab ＋b 2，显然成立． 故原不等式成立．分析法与综合法常常结合起来使用，称为分析综合法，其实质是既充分利用已知条件，又时刻瞄准解题目标，即不仅要搞清已知什么，还要明确要干什么，通常用分析法找到解题思路，用综合法书写证题过程．1．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1，证明： (1)1a ＋1b ＋1c ≤a 2＋b 2＋c 2； (2)(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.证明：(1)因为a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ， 且abc ＝1，故有a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ＝ab ＋bc ＋ca abc ＝1a ＋1b ＋1c .所以1a ＋1b ＋1c≤a 2＋b 2＋c 2.(2)因为a ，b ，c 为正数且abc ＝1，故有 (a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3 ≥33（a ＋b ）3（b ＋c ）3（a ＋c ）3＝3(a ＋b )(b ＋c )(a ＋c ) ≥3×(2ab )×(2bc )×(2ac ) ＝24.所以(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.2．(2020·湖南长沙长郡中学调研)已知函数f (x )＝|x ＋2|. (1)解不等式f (x )>4－|x ＋1|；(2)已知a ＋b ＝2(a >0，b >0)，求证：|x －2.5|－f (x )≤4a ＋1b .解：(1)f (x )>4－|x ＋1|，即|x ＋2|＋|x ＋1|>4，则⎩⎪⎨⎪⎧x <－2，－x －2－x －1>4，得x <－3.5； ⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x <1，x ＋2－x －1>4，无解； ⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，x ＋2＋x ＋1>4，得x >0.5. 所以原不等式的解集为{x |x <－3.5或x >0.5}． (2)证明：|x －2.5|－f (x )＝|x －2.5|－|x ＋2|≤4.5， 4a ＋1b ＝12(a ＋b )(4a ＋1b )＝12(4＋1＋4b a ＋a b )≥12(5＋4)＝4.5， 所以|x －2.5|－f (x )≤4a ＋1b.反证法证明不等式(师生共研)设0<a ，b ，c <1，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不可能同时大于14.【证明】 设(1－a )b >14，(1－b )c >14，(1－c )a >14，三式相乘得(1－a )b ·(1－b )c ·(1－c )a >164，①又因为0<a ，b ，c <1，所以0<(1－a )a ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1－a ）＋a 22＝14.同理(1－b )b ≤14，(1－c )c ≤14，以上三式相乘得(1－a )a ·(1－b )b ·(1－c )c ≤164，与①矛盾．所以(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不可能同时大于14.利用反证法证明问题的一般步骤(1)否定原结论．(2)从假设出发，导出矛盾． (3)证明原命题正确．已知a ＋b ＋c >0，ab ＋bc ＋ca >0，abc >0，求证：a ，b ，c >0.证明：(1)设a <0，因为abc >0， 所以bc <0.又由a ＋b ＋c >0，则b ＋c >－a >0，所以ab ＋bc ＋ca ＝a (b ＋c )＋bc <0，与题设矛盾． (2)若a ＝0，则与abc >0矛盾， 所以必有a >0. 同理可证b >0，c >0. 综上可证a ，b ，c >0.放缩法证明不等式(师生共研)若a ，b ∈R，求证：|a ＋b |1＋|a ＋b |≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |.【证明】 当|a ＋b |＝0时，不等式显然成立． 当|a ＋b |≠0时， 由0＜|a ＋b |≤|a |＋|b | ⇒1|a ＋b |≥1|a |＋|b |， 所以|a ＋b |1＋|a ＋b |＝11|a ＋b |＋1≤11＋1|a |＋|b |＝|a |＋|b |1＋|a |＋|b |＝|a |1＋|a |＋|b |＋|b |1＋|a |＋|b |≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |.综上，原不等式成立．“放”和“缩”的常用技巧在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧．常见的放缩变换有： (1)变换分式的分子和分母，如1k 2<1k （k －1），1k 2>1k （k ＋1），1k <2k ＋k －1，1k >2k ＋k ＋1.上面不等式中k ∈N *，k >1. (2)利用函数的单调性．(3)真分数性质“若0<a <b ，m >0，则a b <a ＋mb ＋m”．[提醒] 在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度．设n 是正整数，求证：12≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n<1.证明：由2n ≥n ＋k >n (k ＝1，2，…，n )，得12n ≤1n ＋k <1n .当k ＝1时，12n ≤1n ＋1<1n ；当k ＝2时，12n ≤1n ＋2<1n ；…当k ＝n 时，12n ≤1n ＋n <1n，所以12＝n 2n ≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n <n n ＝1.所以原不等式成立．[学生用书P401(单独成册)][基础题组练]1．(2020·衡阳模拟)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|. (1)解不等式f (x )≤3；(2)记函数g (x )＝f (x )＋|x ＋1|的值域为M ，若t ∈M ，证明：t 2＋1≥3t＋3t .解：(1)依题意，得f (x )⎩⎨⎧－3x ，x ≤－1，2－x ，－1<x <12，3x ，x ≥12.于是f (x )≤3⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－3x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <12，2－x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，3x ≤3，解得－1≤x ≤1.即不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤1}． (2)证明：g (x )＝f (x )＋|x ＋1|＝|2x －1|＋|2x ＋2|≥ |2x －1－2x －2|＝3，当且仅当(2x －1)(2x ＋2)≤0时，取等号， 所以M ＝[3，＋∞)．要证t 2＋1≥3t ＋3t ，即证t 2－3t ＋1－3t≥0.而t 2－3t ＋1－3t ＝t 3－3t 2＋t －3t ＝（t －3）（t 2＋1）t .因为t ∈M ，所以t －3≥0，t 2＋1>0， 所以（t －3）（t 2＋1）t ≥0.所以t 2＋1≥3t＋3t .2．(2020·榆林模拟)已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. (1)求函数f (x )的最小值a ；(2)根据(1)中的结论，若m 3＋n 3＝a ，且m >0，n >0，求证：m ＋n ≤2.解：(1)f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|≥|x ＋1－(x －1)|＝2，当且仅当(x ＋1)(x －1)≤0即－1≤x ≤1时取等号，所以f (x )min ＝2，即a ＝2.(2)证明：假设m ＋n >2，则m >2－n ，m 3>(2－n )3. 所以m 3＋n 3>(2－n )3＋n 3＝2＋6(1－n )2≥2.① 由(1)知a ＝2，所以m 3＋n 3＝2.② ①②矛盾，所以m ＋n ≤2.3．(2020·银川模拟)已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －2|，集合A ＝{x |f (x )<3}． (1)求集合A ；(2)若实数s ，t ∈A ，求证：⎪⎪⎪⎪1－t s <⎪⎪⎪⎪t －1s . 解：(1)函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －2|＝⎩⎨⎧－3x ＋1，x <－12，x ＋3，－12≤x <2，3x －1，x ≥2.首先画出y ＝f (x )与y ＝3的图象如图所示．可得不等式f (x )<3的解集A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－23<x <0. (2)证明：因为实数s ，t ∈A ，所以s ，t ∈⎝⎛⎭⎫－23，0. 所以⎝⎛⎭⎫1－t s 2－⎝⎛⎭⎫t －1s 2＝1＋t 2s 2－t 2－1s 2＝1s 2(1－t 2)·(s 2－1)<0， 所以⎝⎛⎭⎫1－t s 2<⎝⎛⎭⎫t －1s 2，所以⎪⎪⎪⎪1－t s <⎪⎪⎪⎪t －1s . 4．(2020·重庆模拟)已知关于x 的不等式|2x |＋|2x －1|≤m 有解．(1)求实数m 的取值范围；(2)已知a >0，b >0，a ＋b ＝m ，证明：a 2a ＋2b ＋b 22a ＋b ≥13. 解：(1)|2x |＋|2x －1|≥|2x －(2x －1)|＝1，当且仅当2x (2x －1)≤0即0≤x ≤12时取等号，故m ≥1.所以实数m 的取值范围为[1，＋∞)．(2)证明：由题知a ＋b ≥1， 又⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a ＋2b ＋b 22a ＋b (a ＋2b ＋2a ＋b )≥(a ＋b )2， 所以a 2a ＋2b ＋b 22a ＋b ≥13(a ＋b )≥13. [综合题组练]1．设不等式||x ＋1|－|x －1||<2的解集为A .(1)求集合A ；(2)若a ，b ，c ∈A ，求证：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－abc ab －c >1. 解：(1)由已知，令f (x )＝|x ＋1|－|x －1|＝⎩⎨⎧2，x ≥1，2x ，－1＜x ＜1，－2，x ≤－1，由|f (x )|<2得－1<x <1，即A ＝{x |－1<x <1}．(2)证明：要证⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－abc ab －c >1，只需证|1－abc |>|ab －c |， 只需证1＋a 2b 2c 2>a 2b 2＋c 2，只需证1－a 2b 2>c 2(1－a 2b 2)，只需证(1－a 2b 2)(1－c 2)>0，由a ，b ，c ∈A ，得－1<ab <1，c 2<1，所以(1－a 2b 2)(1－c 2)>0恒成立．综上，⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－abc ab －c >1. 2．已知函数f (x )＝k －|x －3|，k ∈R ，且f (x ＋3)≥0的解集为[－1，1]．(1)求k 的值；(2)若a ，b ，c 是正实数，且1ka ＋12kb ＋13kc＝1， 求证：a ＋2b ＋3c ≥9.解：(1)因为f (x )＝k －|x －3|，所以f (x ＋3)≥0等价于|x |≤k ，由|x |≤k 有解，得k ≥0，且解集为[－k ，k ]．因为f (x ＋3)≥0的解集为[－1，1]．因此k ＝1.(2)证明：由(1)知1a ＋12b ＋13c＝1， 因为a ，b ，c 为正实数，所以a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝⎛⎭⎫1a ＋12b ＋13c＝3＋a 2b ＋a 3c ＋2b a ＋2b 3c ＋3c a ＋3c 2b＝3＋⎝⎛⎭⎫a 2b ＋2b a ＋⎝⎛⎭⎫a 3c ＋3c a ＋⎝⎛⎭⎫2b 3c ＋3c 2b≥3＋2a 2b ·2b a ＋2a 3c ·3c a ＋22b 3c ·3c 2b＝9. 当且仅当a ＝2b ＝3c 时，等号成立．因此a ＋2b ＋3c ≥9.3．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，当x ∈[－1，1]时，|f (x )|≤1.(1)求证：|b |≤1；(2)若f (0)＝－1，f (1)＝1，求实数a 的值．解：(1)证明：由题意知f (1)＝a ＋b ＋c ，f (－1)＝a －b ＋c ，所以b ＝12[f (1)－f (－1)]． 因为当x ∈[－1，1]时，|f (x )|≤1，所以|f (1)|≤1，|f (－1)|≤1，所以|b |＝12|f (1)－f (－1)|≤12[|f (1)|＋|f (－1)|]≤1. (2)由f (0)＝－1，f (1)＝1可得c ＝－1，b ＝2－a ，所以f (x )＝ax 2＋(2－a )x －1.当a ＝0时，不满足题意，当a ≠0时，函数f (x )图象的对称轴为x ＝a －22a ，即x ＝12－1a. 因为x ∈[－1，1]时，|f (x )|≤1，即|f (－1)|≤1，所以|2a －3|≤1，解得1≤a ≤2. 所以－12≤12－1a≤0，故|f ⎝⎛⎭⎫12－1a |＝ |a ⎝⎛⎭⎫12－1a 2＋(2－a )⎝⎛⎭⎫12－1a －1|≤1. 整理得|（a －2）24a＋1|≤1， 所以－1≤（a －2）24a＋1≤1， 所以－2≤（a －2）24a≤0， 又a ＞0，所以（a －2）24a ≥0，所以（a －2）24a＝0，所以a ＝2. 4．(2019·高考全国卷Ⅲ)设x ，y ，z ∈R ，且x ＋y ＋z ＝1.(1)求(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值；(2)若(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥13成立，证明：a ≤－3或a ≥－1. 解：(1)由于[(x －1)＋(y ＋1)＋(z ＋1)]2＝(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2＋2[(x －1)(y ＋1)＋(y ＋1)(z ＋1)＋(z ＋1)(x －1)] ≤3[(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2]，故由已知得(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2≥43，当且仅当x ＝53，y ＝－13，z ＝－13时等号成立． 所以(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值为43. (2)证明：由于[(x －2)＋(y －1)＋(z －a )]2＝(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2＋2[(x －2)(y －1)＋(y －1)(z －a )＋(z －a )(x －2)] ≤3[(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2]，故由已知得(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥（2＋a ）23，当且仅当x ＝4－a 3，y ＝1－a 3，z ＝2a －23时等号成立．因此(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2的最小值为（2＋a ）23. 由题设知（2＋a ）23≥13，解得a ≤－3或a ≥－1.。
高中数学竞赛讲义(九)不等式
高中数学竞赛讲义（九）──不等式一、基础知识不等式的基本性质：（1）a>b a-b>0；（2）a>b, b>c a>c；（3）a>b a+c>b+c；（4）a>b, c>0ac>bc；（5）a>b, c<0ac<bc; （6）a>b>0, c>d>0ac>bd;（7）a>b>0, n∈N+a n>b n; （8）a>b>0, n∈N+;（9）a>0, |x|<a-a<x<a, |x|>a x>a或x<-a;（10）a, b∈R，则|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|;（11）a, b∈R，则(a-b)2≥0a2+b2≥2ab;（12）x, y, z∈R+，则x+y≥2, x+y+z前五条是显然的，以下从第六条开始给出证明。
（6）因为a>b>0, c>d>0，所以ac>bc, bc>bd，所以ac>bd；重复利用性质（6），可得性质（7）；再证性质（8），用反证法，若，由性质（7）得，即a≤b，与a>b矛盾，所以假设不成立，所以；由绝对值的意义知（9）成立；-|a|≤a≤|a|,-|b|≤b≤|b|，所以-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|，所以|a+b|≤|a|+|b|；下面再证（10）的左边，因为|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|b|，所以|a|-|b|≤|a+b|，所以（10）成立；（11）显然成立；下证（12），因为x+y-2≥0，所以x+y≥，当且仅当x=y时，等号成立，再证另一不等式，令，因为x3+b3+c3-3abc =(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc =(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)=(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2] ≥0，所以a3+b3+c3≥3abc，即x+y+z≥，等号当且仅当x=y=z 时成立。
高校自主招生数学讲义 等式与不等式
第一讲.方程与多项式知识要求1.因式分解方法2.待定系数方法 3．对称参引方法 4.构造方法例题分析1. 解不等式(1)(2)(3)(4)24.x x x x ----≥ （2009年南京大学）2. 3.= （2005年复旦大学保送生试题） 相关习题（1）.已知1x y +=，n 为正整数，求证：22122.nn n xy -+≥ （2009年清华大学）（2）已知a 、b 为非负实数，44M a b =+，且1a b +=，求M 的最值.（2006年清华大学）3.设实数9k ≥，解方程32229270.x kx k x k ++++= （2006年复旦大学保送生） 相关习题（1）.已知方程3210x px qx +++=有3个实根，0p >且0q >.求证：9.pq ≥（2008年南开大学）（2）.设,,a b c ∈R ，使得方程320x ax bx c +++=有3个实根. 证明：如果20a b c -≤++≤，则至少存在一个根在区间[0,2]中.（2013年清华大学夏令营）4.已知方程320x ax bx c +++=的三个根分别为a ，b ，c ，并且,a ，b ，c 是不全为零的有理数，求a ，b ，c 的值. （2005年上海交通大学） 相关习题（1）.是否存在实数x ，使得tan x 和cot x + （2009年北京大学）（2是一个无理数. （2008年复旦大学面试） 5.设实数1a 、2a 、3a 、1b 、2b 、3b 满足123123122331122331123123,,min{,,}min{,,}.a a ab b b a a a a a a b b b b b b a a a b b b ++=++⎧⎪++=++⎨⎪≤⎩求证：123123max{,,}max{,,}.a a a b b b ≤ （2008年北京大学） 6.（1）证明：多项式3()31p x x x =-+有三个实根a b c <<；（2）证明：若x t =为()p x 的一个根，则22x t =-也是()p x 的一个根； （3）定义映射:{,,}{,,}f a b c a b c →，22tt -，求()f a ，()f b ，()f c 的值.（2013年清华大学金秋营）7.给出一个整系数多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++，使()0f x =有一个根为（2009年清华大学）相关习题（1）.已知x =42()f x x bx c =++的一个零点，,b c 为整数，则b c +的值是多少？ （2013年清华大学夏令营） （2）.和1n 次方程的最高次数n 的最小值为（ ）A.2B.3C.5D.6 （2013年北约）第二讲．数学逻辑知识要求1.反证法2.数形结合方法3.不动点问题例题分析1. 是否存在四个正实数，它们两两乘积分别为2，3，5，6，10，16.（2011年北约十三校联考）相关习题（1）.是否存在π02x <<，使得sin x ，cos x ，tan x cot x 的某种排列为等差数列？ （2010年北约）（2）是否存在两两不同的实数,,a b c 使平面直角坐标系中的三条直线y ax b =+，y bx c =+，y cx a =+共点. （2013年北京大学保送生）2.已知由正整数组成的无穷等差数列中有3项：13，25，41，求证：2009为其中一项.（2009年北京大学）相关习题（1）. 已知12310,,,,a a a a 为大于零的正实数，且1231030a a a a ++++=，1231021a a a a <.求证：12310,,,,a a a a 这10个数是必有一个数在(0,1)之间.（2012年北京大学保送生）（2）已知正数数列12,,,n a a a .对于大于的整数n ，有1232n a a a n +++=，1212n n a a a +=，试证：12,,,n a a a 中至少有一个小于1. （2000年上海交通大学）（3）已知i a （1,2,,2013i =）为2013个实数，满足：1220130a a a +++=，且122320131|2||2||2|a a a a a a -=-==-，求证：1220130.a a a ==== （2013年北约）3.至多能取多少个两两不同的正整数，使得其中任意三个数的和为质数？证明你的结论.（2013年北约）相关习题（1）在1、2、3、…、2012中任取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，则所取的这组数中最多有多少个数？ （2012年北约） （2）写出由3个质数组成的公差为8的等差数列. （2009年清华大学） 4. 有限多条抛物线（线和线的内部）能够覆盖整个平面吗？证明你的结论.（2009年清华大学特色测试）5. 设p ，q 为实数，函数2()f x x px q =++，如果(())0f f x =只有一个实数根， 求证：p ，0.q ≥ （2011年北京大学保送生试题） 相关习题（1）. 已知函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且()f x x =没有实数根.那么(())f f x x =是否有实数根？并证明你的结论. （2008年上海交通大学冬令营） （2）.证明：若(())f f x 有唯一的不动点，则()f x 也有唯一的不动点.（2009年上海交通大学）6.已知方程()f x x =的根是函数()f x 的不动点，令().bx cf x x a+=+ （1）若12，3为函数()f x 的不动点，求a ，b ，c 的值； （2）在（1）的条件下，若1(1)3f =，求()f x 的解析式. （2003年同济大学）相关习题（1） .已知a 、b 、c 、d 为非负实数，()ax bf x cx d+=+()x ∈R ，且(19)19f =，(97)97f =，若dx c≠-，对任意的x 均有(())f f x x =，试求出()f x 值域以外的唯一数. （2013年清华大学夏令营）7.求证：一个数列12321,,,,n a a a a +中各数相等的充分必要条件是p ：其中任意2n 个元素中n 个元素之和等于另外n 个元素之和. （2009年清华大学）第三讲．集合与函数知识要求1.注重理解集合的基础知识2.掌握柯西方法及柯西方程的转化3.注意函数性质拓展与深化，注意导数工具的作用4.了解极限的概念典型例题1.已知集合225{(,)(1)(2)}4A x y x y =-+-≤，集合{(,)|1|2|2|}B x y x y a =-+-≤， 且A B ⊆，求实数a 的取值范围. （2008年浙江大学） 相关习题（1）已知集合{(,)|(1)(1)}M x y x x y y =-≤-，22{(,)|}N x y x y k =+≤.若M N ⊂，则实数k 的最小值为 （2009年上海交通大学）2. 设{|()}M x f x x ==，{|(())}.N x f f x x == （1）求证：.M N ⊆（2）当()f x 是一个R 上增函数时，是否有?M N =如果有，请证明.（2010年浙江大学）3. 求有限集合12{,,,}n A a a a =，其中12,,,n a a a 为互不相等的正整数，使得1212.n n a a a a a a =++ （2009年上海交通大学、2006年清华大学）相关习题（1）求所有满足tan tan tan [tan ][tan ][tan ]A B C A B C ++≤++的非直角ABC ∆. 这里[]x 表示不大于x 的最大整数（例如[ 1.62]-=-，[1.6]1=）.（2009年南京大学保送生）（2）方程1111x y z++=的所有正整数解(,,)x y z = （2012年清华大学保送生）（2003年上海交通大学冬令营）4. 对于集合2M R ⊆，称M 为开集，当且仅当0P M ∀∈，0r ∃>，使得20{||}}.P R PP r M ∈<⊆判断集合{(,)4250}x y x y +->与{(,)0,0}x y x y ≥>是否为开集，并证明你的结论. （2007年清华大学） 相关习题（1）. 称{1,2,39}，，的某些非空子集为奇子集，如果其中所有数的和为奇数；则共有多少个奇子集？ （2013年北京大学保送生） 5. 已知当1α>时，函数y x α=（0α>）的图象如图所示.（1）设1α>，试用y x α=（0α>）说明，当10x >，20x >时，不等式1212()22x x x x ααα++≤ ○1 成立. （2）利用（1）中不等式证明：若0s t <<，则对任意的正数1x 、2x ，不等式111212()()22s s t t s tx x x x ++≤ ○2 成立. （3）当0x >、0y >且332216x y +=时，求22x y +的最小值.（2010年华中师范大学）6. （柯西方程）设()f x 在R 上单调，对12,x x R ∈有1212()()()f x x f x f x +=+ ○1 则()(1).f x f x =⋅ 相关习题（1）. 若函数()f x 满足()()()()f x y f x f y xy x y +=+++且(0)1f '=，求函数()f x 的解析式. （2000年上海交通大学）（2） 若对每一个实数x ，y ，函数()f x 满足()()()1f x y f x f y xy +=+++，若(2)2f -=-，试求满足()f a a =的所有整数.a （2013年清华大学夏令营）7.已知函数()f x 满足：对实数a ，b 有()()()f ab af b bf a =+，且|()|1f x ≤， 求证：()0f x ≡.（可用以下结论：若lim ()0x g x →+∞=，|()|f x M ≤，M 为一常数，那么lim ()()0x f x g x →+∞=）（2006年清华大学）相关习题（1）. 设()f x 对一切实数x ，y 满足：222()()()()f x y x f y y f x x y =+-，且2|()| 1.f x x -≤求函数().f x （2007年南京大学）（2）求所有的**:f →N N ，满足22()()()()xf y yf x x y f x y +=++对所有的正整数x ，y 都成立. （2013年中国科技大学夏令营）8.方程e 4xx =-，ln 4x x =-的解分别为1x ，2x ，则12x x +=（ ）A.2B.4C.6D.8 （2013年复旦大学） 相关习题（1）实数a ，b 满足lg 10a a +=，1010bb +=，则a b +=_________（2009年上海交通大学）9.（1）已知函数()f x 不恒为0，且对,x y ∀∈R ，有()()2()()f x y f x y f x f y ++-=，若存在常数T ，使得()0.f T =求证：4T 是()f x 的一个周期，且1() 1.f x -≤≤（2013年华东师范大学）相关习题（1）已知函数()f x 满足1(1)4f =，4()()()()(,)f x f y f x y f x y x y R =++-∈，则(2010)f ＝ （2010年高考重庆卷）（2）定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++（,x y R ∈），且(1)2f =，则(3)f -=（ ）A.2B.3C.6D.9 （2008年陕西卷） 10. 已知函数()f x 在[0,)+∞上可导，且满足(0)0f =，|()()| 1.f x f x '-≤证明：当[0,)x ∈+∞时，|()|e 1.xf x ≤- (2012山东大学) 11. （1）设函数()|lg |,,f x x a b =为实数，且0a b <<，若,a b 满足：()()2()2a bf a f b f +==，试写出a 与b 的关系，并证明在这一类关系中存在b 满足3 4.b << （2002上海交通大学）相关习题（1）已知函数|lg |,010,()16,10.2x x f x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩若a 、b 、c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（ ）A.(1,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)（2010年全国课标卷）（2）已知函数()|lg |.f x x =若0a b <<，且()()f a f b =，则2a b +的取值范围是（ ）A.)+∞B.)+∞C.(3,)+∞D.[3,)+∞ （2010年全国I 卷） 12.是否存在这样的实数a ，使得()sin f x ax x =+存在两切线相互垂直.（2011年北京大学保送生）13.求证：方程2270x x --=只有5x =一个根. （2008年南开大学） 14. 设0x >，（1）求证：21e 12xx x >++； （2）若21e 1e 2xyx x =++，求证：0.y x << （2013年卓越） 15.已知()(1)e 1.xf x x =-- （1）求证：当0x >时，()0f x <； （2）若数列{}n x 满足1e1n x n x +=-，11x =，求证：数列{}n x 单调递减，且1.2n x > （2013年华约） 相关习题（1）.已知e 1()ln x f x x-=，11a =，1()n n a f a +=.（i ）求证：e e 10xxx -+≥恒成立； （ii ）试求()f x 的单调区间；（iii ）求证：{}n a 为递减数列，且0n a >恒成立. （2012年清华大学保送生）第四讲．三角函数知识要求1.三角公式的灵活运用2.了解布洛卡点3.合理运用平面几何知识解决三角形问题典型例题1. 已知sin(20)cos(10)cos(10)x x x +=++-，求ta n x 的值. （2010年浙江大学） 相关习题（1）. 求值：444sin 10sin 50sin 70.++ （2010年清华大学）（2）. 比较1)sin cos 22x y x y -+与1的大小. （2013年清华大学夏令营） 2.. 在单位圆221x y +=上有三点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y 满足：1230x x x ++=，1230.y y y ++=求证：2222221231233.2x x x y y y ++=++=（2011年北京大学保送生）3. 已知方程sin4sin2sin sin3x x x x a -=在[0,)π有唯一解，求实数a 的值.（2012年北约）相关习题（1）方程2(sin cos )30x x ++=是否有解？若有解，求出所有的解；若无解，说明理由.（2009年清华大学）4.在ABC ∆内存在一点O ，满足BAO CAO CBO ACO ∠=∠=∠=∠，求证：ABC ∆的三边构成等比数列. （2011年北京大学保送生）5.设函数()|sin ||cos |f x x x =+，讨论函数()f x 的性质（有界性、奇偶性、单调性、周期性等），并求出极值. （2007年上海交通大学） 相关习题（1）. .函数()2(sin 2sin3f x x x x =-，且[0,2].x π∈ （i ）求函数()f x 的最大值与最小值；（ii ）求方程()f x =. （2012年清华大学保送生试题）6. 求证：边长为1 （2008年北约）相关习题（1）. 设,,A B C 为边长为1的三角形三边长上各一点，求222AB BC CA ++的最小值.（2013年北约联考）（2）一个圆内接四边形的四个边长依次为1，2，3，4，求这个圆的半径.（2009年北京大学）7.已知ABC ∆不是直角三角形.(1)证明:tan tan tan tan tan tan .A B C A B C ++=⋅⋅(2)若tan tan 1tan B CC A+-=，且sin 2A 、sin 2B 、sin 2C 的倒数成等差数列，求cos2A C-的值. (2011年华约七校联考) 相关习题63 .在ABC ∆中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ， 已知()(sin sin )()sin .a c A C a b B -+=- （1）求角C 的大小；（2）求sin sin A B 的最大值. （2013年卓越） 8. 设,,,a b A B 均为已知实数，对任意x ∈R ，cos2sin2cos sin 1A x B x a x b x +++≤恒成立，求证：222a b +≤且221.A B +≤ （第19届IMO ）（2009年哈尔滨工业大学） 相关习题（1）.已知对任意x 均有cos cos21a x b x +≥-恒成立，求a b ω=+的最大值.（2009年北京大学）第五讲．等式与不等式知识要求1.研究等式成立的条件，并进行求值；2.掌握不等式的解法3.掌握几个重要的不等式，如平均值不等式、柯西不等式、排序不等式、琴生不等式等典型例题1..已知1abc =-，221a bc c+=，222a b b c c a t ++=，求555ab bc ca ++的值. （2013年清华大学保送生试题）相关习题（1）已知225x y =+，225y x =+，求32232x x y y -+的值. （2013年北约）2. 若α、β、π(0,)2γ∈，且222cos cos cos 1.αβγ++=求证：tan tan tan αβγ⋅⋅≥ （2013年中国科技大学夏令营） 相关习题（1）有小于1的正数：12,,,n x x x 满足12 1.n x x x +++=求证：33311221114.n nx x x x x x +++>--- （2010年浙江大学） 3. 求证：对任意的,x y R ∈，不等式223(1)x xy y x y ++≥+-总成立.（2009年中国科技大学）4.. 设12342x x x x ≥≥≥≥，且2341.x x x x ++≥求证：212341234()4.x x x x x x x x +++≤ （2013年清华大学夏令营）相关习题（1）. 已知*n ∈N ， 2.n ≥求证：1(1) 3.nn+< （2013年中国科技大学夏令营）5. （1）求证：对于任何实数a ，b ，三个数||a b +、||a b -、|1|a -中至少有一个不小于1.2（2004年同济大学）（2）若对一切实数x 都有|5||7|x x a -+->，则实数a 的取值范围是（ ） A.12a < B.7a < C.5a < D.2a < （2008年复旦大学） 相关习题（1）. 如图，一条公路的两侧有六个村庄，要建一个车站，要求到六个村庄的路程之和最小，应该选在哪里最合适？如果在P 的地方增加了一个村庄，并且沿着地图的虚线修了一条小路，那么这时车站设在什么地方好？（2010年浙江大学）（2）. 求()|1||21||20111|f x x x x =-+-++-的最小值. （2011年北约）3.. 若正数,,a b c 1a b c ++=.求证：1111000()()().27a b c a b c ++++≥（2008年南京大学） 相关习题（1）. 设n 为正整数，求证：111(1)(1).1nn nn ++<++ （2008年山东大学）（2）设,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：222111()()()a b c a b c+++++的最小值.（2008年南开大学）4. 设P 为ABC ∆内一点，它到三边,,BC CA AB 的距离分别为123,,,d d d S 为ABC ∆的面积，求证：2123().2a b c a b c d d d S++++≥ （2009年南京大学）（1）.在实数范围内求满足方程组2229,4862439.x y z x y z ⎧++=⎪⎨⎪-+-=⎩的实数,,x y z 的值.（2008年同济大学） 1A 2A 3A 4A 5A 6A BCD EFP（2）.设实数,,a b c 222323.2a b c ++=求证：3927 1.a b c ---++>（2008年西安交通大学）（3）求函数1()2f x x =(06)x <<的最大值. （2013年中国科技大学夏令营）5. 已知,,0x y z >，3x y z ++=，求证：3232321.x y zx y z y z x z x y++≤++++++ （2013年北京大学“百年数学” 金秋科学体验营）相关习题（1）.已知,,A B C 是锐角三角形ABC ∆的三个内角，求tan tan tan A B C ++的最小值.（2010年北京科技大学）（2）. 已知A 、B 、π(0,)2C ∈，且222sin sin sin 1A B C ++=.求A B C ++的最大值.（2013年清华大学夏令营）6.求实数k 的最大值，使得对于任意正实数x ，y ，z ，均有3333|()()()|.x y z xyz k x y y z z x ++-≥--- （2013年北京大学单独招生）7. 求证：在ABC ∆中，3cos cos cos .2A B C ++≤ （2013年中国科技大学夏令营）。
上海市华师大二附中自主招生高考数学应试辅导第2讲 不等式(1).doc
第二讲：不等式————————————————————————————————————————————第一部分 概述不等式部分包括：解不等式；不等式的证明在复旦大学近三年自主招生试题中，不等式题目占12%，其中绝大多数涉及到不等式的证明；交大试题中，不等式部分通常占1%，其中涉及到一些考纲之外的特殊不等式 常用不等式及其推广：需要适当补充一点超纲知识 柯西不等式均值不等式及其推广第二部分 知识补充：1、柯西不等式的证明2121212,,2((112111n n n na b R a b a bn a a a a na a n a a a +∀∈+≥≥≥++++++≥≥≥++有平方平均）算术平均）调和平均）推广到个正实数，有123123,,,,,,,,,,0(1,2,,),(1,2,,),n n i i i a a a a b b b b b i n k a kb i n ====柯西不等式设是实数则当且仅当或存在一个数使得时等号成立222222212121122()()()n n n b a a a b b b a b a b a b +++++++≥222222212121122()()()n n n b a a a b b b a b a b a b +++++++≥②分析：证明：柯西不等式的推论一柯西不等式的推论二柯西不等式的应用，a a a A n 22221+++= 设nn b a b a b a B ++=2211，b b b C n 22221+++= 2AC B 不等式就是②≥()2222121122222121,2,()()2() ()i i n n n n a i n a f x a a a x a b a b a b xb b b ==+++++++++若全部为零，则原不等式显然成立。
若不全部为零，构造二次函数0)()()()(2222211≥++++++=n n b x a b x a b x a x f 又∴二次函数()f x 的判别式0△≤,即2222222112212124()4()()0n n nn a b a b a b a a a b b b ++-++⋅+++≤ 证明： 22222212212(111)() (111)n n a a a a a a ++++++⨯+⨯++⨯≥ 例1已知12,,,n a a a 都是实数，求证： 222212121()n n a a a a a a n ++++++≤ 22221212() ()n n n a a a a a a ∴++++++≥222212121()n na a a a a a n ∴++++++≤2111,nn i i i i i a R a n a +==⎛⎫⎛⎫∈≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑设则例2 已知,,,a b c d 是不全相等的正数，证明： 2222a b c d ab bc cd da +++>+++柯西不等式练习1、 2.已知21x y +=,求22x y +的最小值. 3.设,x y R +∈,且x+2y =36,求12x y+的最小值．第三部分 真题精析：证明： 222222222()()()≥a b c d b c d a ab bc cd da +++++++++ ∵,,,a b c d 是不全相等的正数，a b c d b c d a∴===不成立.∴222222()()a b c d ab bc cd da +++>+++ 2222 a b c d ab bc cd da +++>+++即 2223 231,x y z x y z ++=++例已知求的最小值.141143,71,1413211411)32()321)((:2222222222222取最小值时即当且仅当证明z y x z y x z y x z y x z y x z y x ++=====≥++∴=++≥++++4111,b a ,, 2≥+=+∈+ba Rb a 求证设例222,sin cos 1sin cos ,sin cos ,2y y x x t x x t x x t y t y t ==++-⎡+==∈⎣=+令则且显然，关于是单调递增的（，复旦）（，同济）关键步骤提示：=<=<=。
奥林匹克竞赛及自主招生辅导材料第二讲：集合
Card ( A C ) Card ( A B C ) .
(3) Card ( A B) Card ( A) Card ( B) Card ( A B) (4)若 B A ,则 Crad ( B ) Crad ( A) Crad (C A B )
10
求 (x
1 1 1 ) ( x 2 2 ) ……+ ( x 2008 2008 ) 的值. y y y
三．有限集元素的个数
我们首先约定:若 X 是一个有限集,则 X 内所含的全部元素的个数用 Card ( X ) 表示. 如果 A、B、C 是任意的三个有限集,那么有以下几个公式(容斥原理): (1) Card ( A B) Card ( A) Card ( B) Card ( A B) ; (2) Card ( A B C ) Card ( A) Card ( B) Card (C ) Card ( A B) Card ( B C )
2 y x 4 x 3, 错解：联立方程组 2 y x 2 x 2.
消去 y ，得 2 x 2 2 x 1 0. 因为方程无实根，故 A B . 如果我们画出已知两条抛物线的图象，也可以发现它们的确是没有交点的.但这是将
A, B 的元素误解成为了平面上的点了。其实，集合 A 表示二次函数 y x 2 4 x 3 的学习， 但从小学就开始渗透， 有的概念在初中曾做为专用名词 来使用.它是现代数学思想向中学数学渗透的一种重要表现。对于集合的学习应认识两点： (1)集合是一种数学语言、一种基本数学工具。它不仅是高中第一课，而且是整个数学 的基础； (2)对集合的理解和掌握不要仅仅停留在高中数学起始课的水平上，而是要随着数学学 习过程的不断深入而深化。 自觉使用集合语言来表示各种数学名词， 主动使用集合工具来表 示各种数量关系。 如用集合表示空间的线面及其关系、 表示平面轨迹及其关系、 表示方程 （组） 或不等式的解、表示充要条件、描述排列组合，用集合的性质进行组合运算等。
奥林匹克及自主招生辅导材料第二集(强烈推荐)第十三讲：构造法
探究 2：
证明：如果 ( x
x 2 1)( y y 2 1) 1 ，那么 x y 0 .
3. 构造对偶式证明不等式 例 3.对任意自然数 n，求证：(1+1)(1+ 简析与证明：设 an = (1+1)(1+ 构造对偶式：bn =
1 1 )…(1+ )> 4 3n 2
a 2 b 2 + (1 a) 2 b 2 + a 2 (1 b) 2 + (1 a) 2 (1 b) 2 ≥ 2 2
分析：从题型上看这是个纯代数题.但用代数法证非常难.如 果把左边的式子用几何意义来理解， 看作是直角三角形的斜边为 此，按如图构造一个正方形，并按图划分为四个矩形. 显然DO= a b ，OC= (1 a ) b ，
1
1 1 1 1 ，1 1 1 3n 2 3n 1 3n 2 3n
3 即 an > bn，an > cn，∴ a n > an bn cn
∴an >
3
1 1 )>…(1+ 4 3n 2
131
3
3n 1 。
二．利用构造法求最值
一．利用构造法解不等式问题
证明有些不等式时,若按照常规思维寻求解答,往往比较困难,甚至一时受阻,这时就应该 调整思维方式,寻求新的解题方法.构造数学模型是常用的技巧之一,根据题目的特点,巧妙地 构造图形、函数、数列等，可使复杂的问题简单化,使不等式获得简捷的证明. 1.构造图形 数形结合是一种很重要的数学思想方法,正如华罗庚先生所说的那样： “数形结合百般好, 隔离分家万事休.”当题设中的数量关系有比较明显的几何意义或以某种方式与几何图形相 联系时,可以根据已知条件或结论构造出符合题目要求的几何图形,把数量关系转化为图形性 质问题,原问题就可以迎刃而解了. 例1.若a,b,c均是小于1的正数，求证：
奥林匹克及自主招生辅导材料第二集(强烈推荐)第十五讲：放缩法
k (k 1) , k 1,2, , n.
n n 1 k k 1 1 k ， k S n ( k ) ， 2 2 2 k 1 k 1
2 即 n(n 1) S n n(n 1) n (n 1) .
k
简.
探究１：
已知 a、b、c 不全为零，求证：
a2 ab b2 b2 bc c2 c2 ac a2 ＞ 3 （a b c） 2
二．分式放缩
一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分 母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。 例２. 已知 a、b、c 为三角形的三边，求证： 1＜
综合得 1＜
探究２：
函数 f（x）=
4x 1 4
x
，求证：f（1）+f（2）+…+f（n）>n+
1 2
n 1
1 (n N * ) . 2
143
三. 裂项放缩
若欲证不等式含有与自然数 n 有关的 n 项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。 例３.已知 an=n ，求证： ∑ 证明： ∑
n n
式证明中一种常用的方法，也是一种非常重要的方法。在证明过程中，适当地进行放缩，可 以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握，常常出现放缩之后 得不出结论或得出相反结论的现象。因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。要 想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点。在使用放缩法应注意以下 事项： （ 1 ）放缩的方向要一致。 （ 2 ）放与缩要适度 （ 3 ）用放缩法证明极其简单，然而，用放缩法证不等式，技巧性极强，稍有不慎， 则会出现放缩失当的现象。 利用放缩法证明不等式时，常用的技巧主要有以下几种：
高中奥林匹克数学竞赛讲座三角恒等式和三角不等式
高中奥林匹克数学竞赛讲座三角恒等式和三角不等式知识、方法、技能三角恒等变形，既要遵循代数式恒等变形的一般法则，又有三角所特有的规律. 三角恒等式包括绝对恒等式和条件恒等式两类。
证明三角恒等式时，首先要观察已知与求证或所证恒等式等号两边三角式的繁简程度，以决定恒等变形的方向；其次要观察已知与求证或所证恒等式等号两边三角式的角、函数名称、次数以及结构的差别与联系，抓住其主要差异，选择恰当的公式对其进行恒等变形，从而逐步消除差异，统一形式，完成证明.“和差化积”、“积化和差”、“切割化弦”、“降次”等是我们常用的变形技巧。
当然有时也可以利用万能公式“弦化切割”，将题目转化为一个关于2tanxt =的代数恒等式的证明问题. 要快捷地完成三角恒等式的证明，必须选择恰当的三角公式. 为此，同学们要熟练掌握上图为三角公式脉络图，由图可见两角和差的三角函数的公式是所有三角公式的核心和基础. 此外，三角是代数与几何联系的“桥梁”，与复数也有紧密的联系，因而许多三角问题往往可以从几何或复数角度获得巧妙的解法. 三角不等式首先是不等式，因此，要掌握证明不等式的常用方法：配方法、比较法、放缩法、基本不等式法、数学归纳法等. 其次，三角不等式又有自己的特点——含有三角式，因而三角函数的单调性、有界性以及图象特征等都是处理三角不等式的锐利武器. 三角形中有关问题也是数学竞赛和高考的常见题型. 解决这类问题，要充分利用好三角形内角和等于180°这一结论及其变形形式. 如果问题中同时涉及边和角，则应尽量利用正弦定理、余弦定理、面积公式等进行转化，实现边角统一. 求三角形面积的海伦公式)](21[))()((c b a p c p b p a p p S ++=---=其中，大家往往不甚熟悉，但十分有用. 赛题精讲例1：已知.cos sin )tan(:,1||),sin(sin AA A -=+>+=βββαβαα求证【思路分析】条件涉及到角α、βα+，而结论涉及到角βα+，β.故可利用αβαβββαα-+=-+=)()(或消除条件与结论间角的差异，当然亦可从式中的“A ”入手. 【证法1】 ),sin(sin βαα+=A),sin()sin(βαββα+=-+∴A),cos(sin ))(cos sin(),sin(sin )cos(cos )sin(βαβββαβαββαββα+=-++=+-+A A.cos sin )tan(,0)cos(,0cos ,1||AA A -=+≠+≠-∴>βββαβαβ从而【证法2】αβαβββαβααββββsin )sin(cos sin )sin()sin(sin cos sin sin sin -++=+-=-A).tan(sin )cos(sin )sin(])sin[()sin(cos sin )sin(βαββαββαββαβαβββα+=++=-+-++=例2：证明：.cos 64cos 353215cos 77cos 7x x x ocs x x =+++ 【思路分析】等号左边涉及角7x 、5x 、3x 、x 右边仅涉及角x ，可将左边各项逐步转化为x sin 、x cos 的表达式，但相对较繁. 观察到右边的次数较高，可尝试降次. 【证明】因为,cos 33cos cos 4,cos 3cos 43cos 33x x x x x x +=-=所以 从而有x x x x x 226cos 9cos 3cos 63cos cos 16++= =)2cos 1(29)2cos 4(cos 326cos 1x x x x +++++xx x x x x x x x x x x x cos 20cos 2cos 30cos 4cos 12cos 6cos 2cos 64,2cos 992cos 64cos 66cos 1cos 3276+++=+++++=.cos 353cos 215cos 77cos cos 20cos 153cos 153cos 65cos 65cos 7cos x x x x xx x x x x x +++=++++++=【评述】本题看似“化简为繁”，实质上抓住了降次这一关键，很是简捷. 另本题也可利用复数求解. 令77)1(cos 128,,1cos 2,sin cos zz z z i z +=+=+=αααα从而则，展开即可. 例3：求证：.112tan 312tan 18tan 18tan 3=++【思路分析】等式左边同时出现12tan 18tan 、12tan 18tan +，联想到公式βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+.【证明】 12tan 312tan 18tan 18tan 3++112tan 18tan )12tan 18tan 1)(1218tan(312tan 18tan )12tan 18(tan 3=+-+⨯=++=【评述】本题方法具有一定的普遍性. 仿此可证)43tan 1()2tan 1)(1tan 1(+++222)44tan 1(=+ 等.例4：已知.20012tan 2sec :,2001tan 1tan 1=+=-+αααα求证【证明】)4tan()22sin()22cos(12cos 2sin 12tan 2sec απαπαπαααα+=++-=+=+.2001tan 1tan 1=-+=αα 例5：证 明：.3sin )60sin()60sin(sin 4θθθθ=+- 【证明】θθθ3sin 4sin 33sin -=)60sin()60sin(sin 4)sin 60cos cos 60)(sin sin 60cos cos 60(sin sin 4])sin 21()cos 23[(sin 4)sin 41cos 43(sin 4)sin 43(sin 422222θθθθθθθθθθθθθθθθ-+=-+=-=-=-=【评述】这是三倍角的正弦的又一表示. 类似地，有)60cos()60cos(cos 43cos θθθθ+-=)60tan()60tan(tan 3tan θθθθ+-+= . 利用这几个公式可解下例.例6：求证：①16178cos 66cos 42cos 6cos = ②sin1°sin2°sin3°…sin89°=.106)41(45⨯【证明】①cos6°cos42°cos66°cos78°=cos6°cos54°cos66°54cos 78cos 42cos ⨯.16154cos 4)183cos(4154cos 478cos 42cos 18cos =⨯==②sin1°sin2°sin3°…sin89°=(sin1°sin59°sin61°)(sin2°sin58°sin62°)…(sin29°sin31°sin89°)sin30°sin60° =4387sin 6sin 3sin )41(29⨯60sin 30sin )87sin 33sin 27(sin )66sin 54sin 6)(sin 63sin 57sin 3(sin 3)41(30=45sin )54sin 36)(sin 63sin 27)(sin 72sin 18)(sin 18sin 9(sin 3)41(81sin 18sin 9sin 3)41(4040⋅⨯⨯=⋅⨯=36sin 18cos 223)41(54cos 72sin 223)41(54cos 18sin 36cos 18cos 223)41(54cos 72cos 36cos 18cos 223)41(18cos 36cos 54cos 72cos 223)41(72sin 54sin 36sin 18sin 223)41(434342424242⨯=⨯=⨯=⨯=⨯=⋅= 又)72cos 1)(36cos 1(41)36sin 18(cos 2 -+=165)72cos 36cos 1(41)72cos 36cos 72cos 36cos 1(41=+=--+=即 .4536sin 18cos =所以 .106)41(89sin 2sin 1sin 45⨯= 例7：证明：对任一自然数n 及任意实数m n k mx k,,,2,1,0(2=≠π为任一整数），有.2cot cot 2sin 14sin 12sin 1x x xx x n n-=+++ 【思路分析】本题左边为n 项的和，右边为2项之差，故尝试将左边各项“裂”成两项之差，并希冀能消去其中许多中间项.【证明】,2cot cot 2sin 2cos cos sin 2cos 22sin 2cos cos 22sin 122x x x xx x x x x x x -=-=-=同理x x x4cot 2cot 4sin 1-=……x x xnn n2cot 2cot 2sin 11-=- 【评述】①本题裂项技巧也可通过数学归纳法获得.②“裂项相消”在解题中具有一定的普遍性，类似可证下列各题：n n n n -=-+++ααααααααtan tan tan )1tan(3tan 2tan 2tan tan .1cot 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1.2cot 2cot 2tan 22tan 22tan 2tan 1122=+++-=++++++ααααααn n n n 例8：证明：.2sin21sin )2sin()sin()2sin()sin(sin βββαβαβαβαα++=+++++++n n n 【证明】)],2cos()2[cos(212sinsin βαβαβα--+-=)]sin()2sin()sin([sin 2sin,,)]212cos()212[cos(212sin )sin(,)]23cos()25[cos(212sin )2sin()],2cos()23[cos(212sin)sin(βαβαβααββαβαββαβαβαββαβαβαββαn n n n +++++++-+-++-=++-+-=++-+-=+各项相加得类似地.21sin )2sin()]2cos()212[cos(21ββαβαβα++=--++-=n n n所以，.2sin21sin )2sin()sin()sin(sin βββαβαβαα++=+++++n n n 【评述】①本题也可借助复数获证.②类似地，有.2sin)2cos(21sin)cos()cos(cos ββαββαβααnn n ++=+++++利用上述公式可快速证明下列各式：2sin 21cos 2sin cos 3cos 2cos cos θθθθθθθ+=++++n n n.2197cos 95cos 93cos 9cos .2175cos 73cos 9cos等=+++=++πππππππ针对性训练题1．证明：sin47°+sin61°－sin11°－sin25°=cos7°. 2．证明：.sin sin )cos(2sin )2sin(αββααβα=+-+3．已知：sin A +sin B +sin C =0，cos A +cos B +cos C =0.求证：sin2A +sin2B +sin2C =0，cos2A +cos2B +cos2C =0. 4．已知.03sin 312sin 21sin :),,0(=++∈θθθπθ求证 5．已知αβαβπβα-=<<<求且,tan 3tan ,20的最大值.6．已知α、β、γ、θθγβαπθγβαπsin sin sin sin .),2,0(==+++∈y 求且的最大值. 7．△ABC 中，C=2B 的充要条件是.22ab b c =-8．△ABC 中，已知A 2sin 、B 2sin 、C 2sin 成等差数列，求证：A cot 、B cot 、C cot 也成等差数列.9．△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知c a b +=2，求B 的最大值. 10．若α、),2,0(πβ∈能否以αsin 、βsin 、)sin(βα+的值为边长构成一个三角形.11．求函数x x y 382-++=的值域.12．求函数22122++++=x x xy 的值域.。
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２.综合法
所谓的综合法就是由已知条件出发推导结论的一种证明方法。 【例 2】设 x1 , x2 , , xn R , 求证：
2 x2 x2 x12 x2 n 1 n x1 x2 xn . x2 x3 xn x1
〖分析〗本题是 1984 年全国联赛的一道试题，题目本身的难度并不大，证法也比较多，这 里我们只是采用综合法对本题加以证明。
探究 2
4 设 a b c, 且 a b c 1, a 2 b 2 c 2 1, 求证： 1 ab . 3
３.分析法
假定给定的不等式成立，然后找充分条件，一直找到已知条件或明显成立的不等式。 在具体进行时，也可以找充要条件，或先找必要条件再验证步步可逆就可以了。 【例 3】若 m 0, 求证： m
目
第一讲 第二讲 第三讲 第四讲 第五讲 第六讲 第七讲 第八讲 第九讲 第十讲 第十一讲 第十二讲 第十三讲 第十四讲 第十五讲
录
不等式的证明…………………………………………… （1 ） 三个重要的不等式……………………………………（10） 直线与圆的方程………………………………………（25） 简单的线性规划………………………………………（36） 平面几何的著名定理…………………………………（47） 四点共圆………………………………………………（59） 三角形问题……………………………………………（68） 共线与共点……………………………………………（81） 几何中的运动…………………………………………（89） 几何不等式…………………………………………… （101） 面积问题与面积方法………………………………… （115） 平面几何常用的解题方法…………………………… （123） 构造法………………………………………………… （130） 反证法………………………………………………… （136） 放缩法………………………………………………… （142）
习题参考答案……………………………………………………… （151） 探究题目参考答案………………………………………………… （190）
第一讲 不等式的证明
证明不等式一般没有固定的程序，方法因题而异，灵活多样，技巧性较强.有时，一个 不等式的证法不止一种，而一种证法又可能用到几个技巧。但基本思想是一样的，即把原来 的不等式转化为明显成立的不等式。本讲中，我们主要介绍不等式证明的基本方法。
二．不等式证明的基本方法
１.比较法
比较法证明不等式主要有两种形式，一种是差值比较法，另一种是商值比较法： 【例 1】对于 1 a b 1 ，求证
a b .. 2 1 a 1 b2
【证明】由 1 a b 1 知 a b 0,1 ab 0 ， 且
a b a (1 b 2 ) b(1 a 2 ) (a b)(1 ab) 0. 2 2 1 a 1 b (1 a 2 )(1 b 2 ) (1 a 2 )(1 b 2 ) a b . 1 a 2 1 b2
1 | x0 y0 f ( x0 ) g ( y0 ) | . 4 1 【证明】假设这样的 x0 , y0 不存在，则对于一切 x, y [0,1] 均有 | xy f ( x) g ( y ) | . 4
4 3, 只需证 m3 3m 2 4 0 ， 即证 (m 1)(m 2) 2 0 ， 由 m 0 得 m 1 0 ； m2
而 (m 2) 2 0 ，所以两个非负数的积为非负数，知最后一式成立，从而求证ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ成立.
探究 3
设 a, b, c 是三角形的三边， m 0 ，求证：
从而
差值比较法通常分成三步：作差、变形、判号.其中最重要的步骤是变形，变形中一定 要设法出现已知条件， 并且常作分解因式或配方等以便于判别符号的恒等变形。 比较法的好 处在于能变定性推理为定量计算，能变放缩技巧为恒等变形。
1
探究 1
设 a, b, c R ，求证 a a bb c c (abc)
一．证明不等式的基本出发点
证明不等式的基本出发点是实数的符号性质，主要有： （１）实数的三歧性：两个实数有且只有三种关系之一，即 a b, a b, a b 三种关系 中必有其一成立。 （２）正数大于０,也大于负数；负数小于０,也小于正数。 （３）正数的绝对值大的较大，负数中绝对值小的较大。 （４）正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。 （５）两个正数的和仍是正数，两个负数的和仍是负数。 （６）两个实数的积是正数，当且仅当两个数同号；两个实数的积是负数，当且仅当 两个数是异号的。 （７）除了零以外，任何数与它的倒数同号；两个正数，较大的倒数较小。 （８）任何一个实数的平方都不小于０. （９）正数的全量大于它的任一部分。 由这些，可以顺利地推出不等式的基本性质和重要不等式。
a b c . am bm cm
４.反证法
反证法证明不等式的一个明显的好处在于：当否定 A B 时，就得到了 A B ，可以 作为已知条件而参加推理。 【例 4】设 f ( x), g ( x) 是定义在 [0,1] 上的函数，证明：存在 x0 , y0 [0,1] ，使得
x x2 【证明】由 i xi 1 0 ，有 i 2 xi xi 1 . xi 1 xi 1
2
从而得
x12 2 x1 x2 ; x2
2 x2 2 x2 x3 ; x3
……
2 xn 2 xn x1 . x1
左边和右边分别相加，得左边 右边. 这里运用了 n 个不等式同向相加的技号，俗称为叠加法。
4 3. m2
〖分析〗如果具有较强的不等式论证能力，就可以一眼看出，这是一个三维平均值不等式的 应用问题： m
4 m m 4 m m 4 3 3 2 3. 但是，如果没有拆项证题的经验，依然可 2 2 m m2 2 2 m2
2
以借助于分析法来获得证明的成功。 【证明】 欲证 m