Regularized SAR Image Feature Extraction

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基于多模型融合的SAR图像目标轮廓提取方法

优良的输入信息。
关键词：合成孔径雷达；目标轮廓提取；活轮廓模型；多模型融合；ＧＯ分布
中图分类号：ＴＰ７５１．１文献标识码：Ａ文章编号：０２５８ — ７９９８ｆ２０１３）０９ — ００８５ — ０４
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｐｒｏｐｏｓｅｓａｍｅｔｈｏｄｏｆｔａｒｇｅｔｃｏｎｔｏｕｒｅｘｔｒａｃｔｉｏｎｂａｓｅｄｏｎａｃｔｉｖｅｃｏｎｔｏｕｒｍｏｄｅｌａｎｄｍｕｌｔｉ —ｍｏｄｅｌｆｕｓｉｏｎ．ＯｎｔｈｅｂａｓｉｓｏｆＢａｌｌｏｏｎｍｏｄｅｌ，ａｎｉｍｐｒｏｖｅｄａｃｔｉｖｅｃｏｎｔｏｕｒｍｏｄｅｌ，ｗｅｉｎｃｏｒｐｏｒａｔｅＧＯｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌｄｉｓｔｉｂｒｕｔｉｏｎ，ｒｅｇｉｏｎａｌｓｔａｔｉｓｔｉｃｓｂａｓｅｄ
基于多模型融合的ＳＡＲ图像目标轮廓提取方法
王沛，周鑫，王从庆，叶永强（南京航空航天大学自动化学院，江苏南京２１００１６）
摘要：提出一种基于参数活动轮廓模型的多模型融合的合成孔径雷达ＳＡＲ（ＳｙｎｔｈｅｔｉｃＡｐｅｒｔｕｒｅＲａｄａｒ）图像目标轮廓提取方法，即在活动轮廓模型Ｂａｌｌｏｏｎ中引入新兴统计分布模型ＧＯ分布、基于区域的统计活动轮廓模型和多边缘检测算子模型，获得了一种新的目标轮廓提取方法。基于ＭＳＴＡＲ项目的真实ＳＡＲ图像的实验结果表明，本文所提出的方法能准确地获得ＳＡＲ图像目标轮廓，可用于执行实际的ＳＡＲ图像轮廓提取任务，为后续的ＳＡＲ图像自动识别和特征级图像融合等任务提供了较为

基于Rician分布的SAR图像MRG目标提取算法

ＡｂｓｒｃＤｕｅｔＡＲｍａｅｉｈｒｎｈｒｃｅｉｔｓｏｔａｔ：ｏＳｉｇｎｅｅｔｃａａｔｒｓｉｆｍｕｈｉｌｃｔｅｎｉｅａｄｓａｉｔｃｌｐｏｅｔｓｏｏｃｎｓａｔｃｐｉａｉｏｓｎｔｔｓｉａｒｐｒｉｆｎｎ－ｏｔｎｖｅ
假设是矛盾的。１９９７年Ｆｑｔｔｊｒｆ等人针对单边缘检ｂｏ
收稿日期：００）．０修回日期：００１－５２１４８２；２１－１１基金项目：育部研究生创新计划（Ｘ８＿７Ｚ）教ＣＯＢ０８
第１Байду номын сангаасＯ期
孔莹莹，周建江，张焱
（京航空航天大学信息科学与技术学院，南京２０１）南１０６
摘
要：针对ＳＲ图像特有的乘性噪声和非恒虚警统计特性很难正确提取目标的问题，文提出了ＭＲＡ本Ｇ算
行进一步的研究。
均值比（ａｉＯｘｏｅｔｌｉｔｖｒｇｓＲｔｆＥｐｎｎｉｌＷｅｈｅＡｅａｅ，ｏａｙｇｄＲＥＯＷＡ）测器。但ＲＥ检ＯＷＡ检测器只能得到边
缘强度，以准确确定边缘方向，难必须采用其他的方
ＤｏＩ０３７／．ｓｎ１０ —３８２１．００７：１．８３ｊｉｓ．００１２．０１．１１
ＲｉｉｎＤｉｔｉｕｔｏＢａｅＲＧｒｅｔａｔＡｌｏｉｈｏＡＲｍａｅｃａｓｒｂｉｎ－ｓｄＭＴａｇｔＥｘｒｃｇｒｔｍｆｒＳＩｇ

一种基于MLS的SAR图像点特征提取方法

（１．沈阳航空航天大学计算机学院，沈阳１１０１３６；２．辽宁大学信息学院，沈阳ｌ１００３６）
摘要：针对合成孔径雷达图像点特征提取问题，提出了一种基于ＭＬＳ的ＳＡＲ图像点特征提取方法。首先利用提出的基于超像素关联分析的ＳＡＲ图像分割算法得到二值分割图像，再把该二值
ｍｅｎｔａｔｉｏｎａｌｇｏｉｔｒｈｍｂａｓｅｄｏｎｓｕｐｅｒ — ｐｉｘｅｌｃｏｒｒｅｌａｉｏｔｎａｎａｌｙｓｉｓ．Ｔｈｅａｌｇｏｒｉｈｍｔｉｓｕｓｅｄｔｏｏｂｔａｉｎｓｅｇｍｅｎｔａｔｉｏｎ
中图分类号：ＴＮ９５７．５２文献标志码：Ａｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．２０９５—１２４８．２０１３．０３．００９
ＡｍｅｔｈｏｄｏｆＳＡＲｉｍａｇｅｐｏｉｎｔｆｅａｔｕｒｅｅｘｔｒａｃｔｉｏｎｂａｓｅｄｏｎＭＬＳ
图像和ＳＡＲ图像进行点乘运算，获取到含有强度信息的目标区域，然后采用移动最小二乘法（ＭＬＳ）对目标区域进行曲面拟合，根据设定的点特征判决规则，最后提取出ＳＡＲ图像的峰值、脊和谷等多种点特征。基于ＭＳＴＡＲ数据的实验结果表明了该方法的有效性和准确性。关键词：合成孔径雷达；点特征提取；图像分割；移动最小二乘法；曲面拟合

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Associate Editor,
IEEE Trans. On Circuits and Systems Part II, 2004~2006,Part I 2005~2007.
IEEE Distinguished Lecture in 2005 and 2006 Fellow
of IEEE and IES (Industrial Electronics Society)
Adjunct Assistant Professor
CIS, Nanyang Technological University,2002~2004
Assistant Professor
CIS, Nanyang Technological University,2004~now
谢谢聆听
谢谢聆听
K. Toh, X.D. Jiang and W. Yau,
“Exploiting Global and Local Decisions for Multi-Modal Biometrics Verification,”
IEEE TSP, Vol. 52, No.10, pp. 3059-3072, October 2004.
Eigenfeatures are regularized differently in these three subspaces based on an eigenspectrum model to alleviate problems of instability, overfitting, or poor generalization.
X.D. Jiang, M. Liu and A. Kot, “Fingerprint Retrieval for Identification,”

浅析舰船目标识别流程与方法

Artificial Intelligence and Robotics Research 人工智能与机器人研究, 2018, 7(2), 43-52Published Online May 2018 in Hans. /journal/airrhttps:///10.12677/airr.2018.72005Analysis on the Process and Methodof Ship Target RecognitionWei Guo, Huifeng Tang, Shanshan ZhuThe PLA Information Engineering University, Zhengzhou HenanReceived: Apr. 10th, 2018; accepted: Apr. 30th, 2018; published: May 7th, 2018AbstractTarget recognition belongs to pattern recognition, which refers to the process of differentiating one or a class of special targets from a number of targets by means of artificial or technical means.Ship target recognition is of great significance to the maritime rights and maritime security of a country. According to whether the target image is used in the recognition process, the ship target recognition is divided into two categories based on imaging and non-imaging. The identification process of the two kinds of methods is summarized, and their advantages and disadvantages are briefly analyzed.KeywordsShip Target Recognition, Image, Signal, Process浅析舰船目标识别流程与方法郭威，唐慧丰，朱珊珊解放军信息工程大学，河南郑州收稿日期：2018年4月10日；录用日期：2018年4月30日；发布日期：2018年5月7日摘要目标识别属于模式识别，是指通过人工或技术手段把一个或一类特殊目标从众多目标中区分出来的过程。

基于特征向量分解与散射机制判别指数的全极化SAR图像地物提取与分类

的为ＦｅｍａＥｒｅｎ和Ｃｏｄ［分解，者又称特征ｌｕｅ５州］后
极化信息中相位信息与地物结构关系密切，定
义目标的平均散射角嘲ａＡｌｈ）：（ｐａ为
ａ＝Ｐ１ｔ＋Ｐ２２Ｐ３ｔ＝＝０１口＋０３（）４
ＷＡＮＧｎ。，ＮＧ－ｎ０，ＡＯｉｇｊａ。ＱｉｇＺＥＱｉｍｉｇＬＩＪｎ－ｕｎ
（ＩｓｔｔｏｎＩＰｋｎｎｖｒｉＢｉｉｇ１０７； ① ｎｔｕｅｆＲＳａｄＧＳ，ｅｉｇＵｉｅｓｔｅｎ０８１ｉｙ，ｊ
为６。９。０～ｏ。文献［］出了８个Ｈ－ｐａ平面分５给Ａｌｈ
割的区域，以及每个区域对应的电磁波散射物理意义，但其阈值的设定具有一定的浮动性，因为在不同频率、同入射角观测时，射作用过程也不相同，不散对其中的散射机制描述也就有了差异。因此，用利Ｈ— ｐａ面可以对全极化ＳＡｌｈ平ＡＲ数据进行粗略的
遥感信息
理论砷穷
标分类研究提供了新的角度和新的方法口。卅］
极化目标分解技术［是分析和提取极化信息的１］
一
Ｈ一
百
一Ｐｉｏ３１ｇＰｆ
（）３
种常用方法，可以有效地提取蕴含在全极化散其
其中，Ｐ一
摘要ｉ基于特征向量分解和基于散射模型的极化目标分解是全极化ＳＡＲ非相干分解中的典型算法。本文对

基于正则表达式的图像目标特征提取方法研究

ＡｂｓｔｒａｃｔＡｉｍｉｎｇａｔｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍｏｆｈｉｇｈｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙｏｆｍａｔｃｈｉｎｇｔｅｍｐｌａｔｅｇｅｎｅｒａｔｉｏｎｄｕｒｉｎｇｉｍａｇｅｍａｔｃｈｉｎｇ，ａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏｔｈｅｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｏｆｐｈｙｓｉｃａｌｆｅａｔｕｒｅｓｓｕｃｈａｓｃｏｎｔｏｕｒｓ，ｃｏｌｏｒｓａｎｄｓｐａｔｉａｌｒｅｌａｔｉｖｅｐｏｓｉｔｉｏｎｓｕｎｄｅｒｔｈｅａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｃｅｎａｒｉｏ，ｔｈｅｓｅｂａｓｉｃｅｌｅｍｅｎｔｓｗｅｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄｂｙｂｕｉｌｄｉｎｇａｂａｓｅｉｍａｇｅｅｌｅｍｅｎｔｌｉｂｒａｒｙｂａｓｅｄｏｎｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｓｕｃｈａｓｃｏｌｏｕｒ，ｌｉｎｅ，ｐｏｓｉｔｉｏｎａｎｄｕｓｉｎｇｔｈｅｏｒｇａｎｉｚａｔｉｏｎａｌｇｒａｍｍａｒｏｆｔｈｅｒｅｇｕｌａｒｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎｔｏｏｒｇａｎｉｚｅｔｈｅｕｎｄｅｒｌｙｉｎｇｅｌｅｍｅｎｔｓｉｎａｐｒｉｏｒｉｋｎｏｗｌｅｄｇｅｏｆｔｈｅｏｒｄｅｒｅｄｏｒｇａｎｉｚａｔｉｏｎａｎｄｇｉｖｉｎｇｔｈｅｍｔｈｅａｂｉｌｉｔｙｔｏｄｅｓｃｒｉｂｅｔｈｅｔａｒｇｅｔｍａｔｃｈｉｎｇｆｅａｔｕｒｅｓｔｏｂｅｍａｔｃｈｅｄ．Ｔｈｕｓ，ｔｈｅｍａｔｃｈｉｎｇｔｅｍｐｌａｔｅｏｆｔｈｅｉｄｅｎｔｉｆｉｅｄｏｂｊｅｃｔｗａｓｑｕｉｃｋｌｙｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ，ｔｈｅｇｅｎｅｒａｔｉｏｎｔｉｍｅｏｆｔｈｅｔｅｍｐｌａｔｅｉｎｔｈｅｉｍａｇｅｒｅｃｏｇｎｉｔｉｏｎｐｒｏｃｅｓｓｗａｓｓｈｏｒｔｅｎｅｄ，ａｎｄｔｈｅｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙｏｆｉｍａｇｅｒｅｃｏｇｎｉｔｉｏｎｗａｓｉｍｐｒｏｖｅｄ．Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｔｈａｔｔｈｅｔａｒｇｅｔｒｅｃｏｇｎｉｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｂａｓｅｄｏｎｒｅｇｕｌａｒｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎｆｅａｔｕｒｅｅｘｔｒａｃｔｉｏｎｉｄｅｎｔｉｆｉｅｓｔｈｅｔａｒｇｅｔｒａｐｉｄｌｙａｎｄａｃｃｕｒａｔｅｌｙｗｉｔｈａｒｅｃｏｇｎｉｔｉｏｎｒａｔｅｏｆ８７．５％ａｎｄａｎａｖｅｒａｇｅｒｅｃｏｇｎｉｔｉｏｎｔｉｍｅｏｆ６０．３ｍｓａｔａｆｉｘｅｄｖｉｅｗｉｎｇａｎｇｌｅ．ＣｏｍｐａｒｅｄｗｉｔｈｔｈｅｓｃａｌｅｉｎｖａｒｉａｎｔｆｅａｔｕｒｅｔｒａｎｓｆｏｒｍＳＩＦＴａｎｄＳＵＲＦａｌｇｏｒｉｔｈｍ，ｔｈｅｒｅｃｏｇｎｉｔｉｏｎａｃｃｕｒａｃｙａｎｄｒｅｃｏｇｎｉｔｉｏｎｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙｏｆｔｈｉｓａｌｇｏｒｉｔｈｍａｒｅｂｏｔｈｉｍｐｒｏｖｅｄｕｎｄｅｒａｆｉｘｅｄｖｉｓｕａｌａｎｇｌｅ．

高分辨率SAR图像高速公路提取算法

言
道路信息是遥感图像中重要的信息，路提取道技术也是计算机视觉与人工智能领域中重要的课题，对地理信息系统（Ｓ信息更新、它ＧＩ）图像匹配、
摘要：出了一种新的高分辨率合成孔径雷达（ＡＲ给Ｓ）图像高速公路提取算法。首先对ＳＡＲ图像进行
Ｆ０Ｔ滤波，Ｒｓ抑制斑点噪声，再使用ＯＴＵ算法对ＳＳＡＲ图像进行二值化，然后使用腐蚀一膨胀算法与ＨｏｕＧＨ
ＡｂｔａｔＡｉｈｙｅｔａｔｎｍｅｈｄｉｐｏｏｅｏｉｈｒｓｌｔｏｙｔｅｉＡｐｒｕｅＲａａＳｓｒｃ：ｈｇｗａｘｒｃｉｔｏｒｐｓｄｆｒｈｇ－ｅｏｕｉｎＳｎｈｔｅｔｒｄｒ（ＡＲ）ｉｇ．ｒｔｙｔｅｏｓｃｍａｅＦｉｌ，ｈｓｓｅｋｅｎｉｅｉＡＲｉａｅｉｉｅｅｕ．ｘ，ＡＲｇｓｐｏｅｓｄｂＴＵｌｏｉｍ．ｅＳＡＲｇｓｐｏｅｓｄｂｐｃｌｏｓｎＳｍｇｆｌｒｄｏｔＮｅｔＳｓｔｉｍａｅｉｒｃｓｅｙＯＳａｇｒｈＴｈｎ，ｔｉｍａｅｉｒｃｓｅｙ
ＡｗｅｈｄｆｒＨｉｈｗａｔａｔｏｎＨｉｈ。ｅｏｕｉｎＳＮｅＭｔｏｏｇｙＥｘｒｃｉｎｉｇ－ｓｌｔｏＡＲｍａｅｒＩｇ
ＳＵａｇ①～．ＹｎＳＨＥＮｎＴｉｇ０

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文章编号:1001-2486(2003)06-0072-04

规整化SAR图像特征提取Ξ

王岩,梁甸农,郭汉伟(国防科技大学电子科学与工程学院,湖南长沙　410073)

摘　要:SAR成像算法通常都基于FFT运算,图像分辨率要受到瑞利限的制约。为了提高图像分辨率,目

前常用的SAR/ISAR超分辨成像算法大多借助于现代谱估计技术。从解方程的角度考虑,认为有限长数据的高分辨率谱估计是一个欠定方程问题,估计的结果存在“病态”性。在Bayes估计准则下,把信号谱的先验概率密度作为规整项包含进信号频谱的最大后验概率估计中,提高谱估计的分辨率。将这种方法用于SAR图像峰值特征提取,提高了图像分辨率。关键词:合成孔径雷达;规整化;特征提取中图分类号:TN957 文献标识码:B

RegularizedSARImageFeatureExtractionWANGYan,LIANGDian2nong,GUOHan2wei(CollegeofElectronicScienceandEngineering,NationalUniv.ofDefenseTechnology,Changsha410073,China)Abstract:SARimagesgeneratedonthebasisofFFTsufferthepoorresolution.Insuper2resolutionalgorithmsofSAR/ISARimagethemodernspectralestimationtechniqueisusuallyused,suchasMinimumVarianceMethod(MVM),ARmodel,eigen2vector,MUSICandmaximumentropy,toimprovetheresolutionoftheimage.High2resolutionspectralestimationoffinitelengthsampleisconsideredanunderdeterminedproblem.IntheframeworkofBayesiancriteria,apriorprobabilitydensityfunction(pdf)ofthespectraisincludedasaregularterminthecostfunctionforMAPestimation.Toimprovetheefficiencyofcalculationin22Dcase,fastalgorithmisderived.ThebetterresolutionisachievedbythemethodwhilethemethodisappliedtoSARimagepeakfeatureextraction.Keywords:syntheticapertureradar(SAR);regularization;featureextraction

大部分SAR成像算法通常都基于FFT运算。用FFT进行谱估计,分辨率要受到瑞利限的制约,即采样点数越多,分辨率越高。常用的SAR/ISAR超分辨成像算法大多借助现代谱估计算法,比如最小方差法、AR模型、特征结构分解(EV),MUSIC算法和最大熵谱估计等技术,可以超越瑞利限的制约。本文从解方程的角度考虑,认为有限长数据的高分辨谱估计是一个欠定(Underdetermined)问题,

估计的结果存在“病态”性。在Bayes估计准则下,把信号谱的先验概率密度作为规整项包含进信号谱的最大后验概率(MAP)估计中,提高有限长数据谱估计问题的分辨率。

1　SAR回波模型首先介绍SAR的回波观测模型。假设成像区域含有N个点目标,目标之间相互独立,一频率为f的正弦信号照射在目标区域。在角度为θ时,整个成像区域的回波为所有目标回波之和[1],即

E(f,θ)=∑Ni=1Si(f,θ)exp-j4πfcxisinθ+yicosθ(1){xi,yi|i=1,…,N}为目标坐标,ti是各散射中心的延迟,Si(f,θ)是各散射中心的散射特性,对于点目标,S

i(f,θ)等于常数。定义fx=fsinθ,fy=fcosθ,则f2=f2x+f2y,

(1)

式等同于

Ξ收稿日期:2003-04-30

作者简介:王岩(1976—),男,博士生。

国　防　科　技　大　学　学　报第25卷第6期 JOURNALOFNATIONALUNIVERSITYOFDEFENSETECHNOLOGY Vol.25No.62003

可见,SAR回波在频率—角度域为N个二维正弦信号之和:正弦信号的频率对应于散射中心,对于最大不模糊距离的归一化坐标,其幅度等于散射中心的散射强度。因此SAR成像可以看作是二维谱估计问题,其归一化坐标就是正弦信号的频率,散射强度等于正弦信号的幅度,又称作雷达散射截面(RCS)。

2　一维规整化谱估计利用DFT计算N点长信号的频谱,只能得到基本频率ωk=2π/N的整数倍位置上的频谱分量,如

果在两个离散谱线之间存在较大频谱分量时就不能检测出来,这称为“栅栏”效应。采取对时间序列补零的方法使谱线加密,可以减少“栅栏”效应。但是补零不能降低有限数据造成的旁瓣高度,同时也不能提高谱估计的分辨率。设序列补零至M点,M>N,则得到频谱的IDFT为:

xn=1M∑M-1k=0Xkej2πkn/M, n=0,1,…,N-1(3)写作矩阵方程形式为:x=FX,其中,x∈C

N,X∈CM

,分别表示时间序列和未知的频谱,F为N×M

的变换矩阵,其中的元素Fn,k=1/MN×ej2πkn/M。由于M>N,该方程为欠定方程,X有无限多个解,

因此有限长序列的频谱估计是一个“病态”问题。为了得到惟一解,需要增加规整化约束,得到代价函数J(X)=Φ(X)+‖x-FX‖22(4)

X是使(4)式最小的解,其中Φ(X)为规整项。下面从Bayes最优估计准则推导需要增加的规整化约束。假设观测数据受到高斯分布为N(0,σ2x)的噪声的污染,且已知频谱服从先验概率p(X|σX),σx是分布的参数,根据Bayes准则,频谱X在给定观测数据和参数时的后验概率分布为:

p(X|x,σX,σn)=p(X|σX)p(x|X,σn)

p(x|σX,σn)

(5)

文献[2]提出了X的先验概率服从Cauchy分布的假设,推导出最大后验概率估计的规整项为Φ(X)=

∑

M-1

k=0ln(1+X3kXk/2σ2X)(6)

对式(4)求导,并令其等于0,得到使代价函数最小的X为X=(λQ-1+FHF)-1FHx(7)其中,λ=σ2n/σ2X,Q为M×M的对角阵,其对角元素为Qii=1+X3kXk/2σ2X。由于Q与X有关,(7)式需要采用递归的方式求解。因此规整化谱估计的步骤如下:

(1)指定的迭代精度ε;估计出X的初值X0,这可以用序列的DFT近似;

(2)求出矩阵Q,代入式(7),求出Xk;

(3)若‖Xk-Xk-1‖22/‖Xk‖22>ε,k=k+1,转(2);否则迭代收敛,得到X

的估计。

下面给出利用规整化方法估计正弦信号频谱的仿真结果。假设一信号包含两个正弦信号,其归一化频率分别为0.2和0.21,幅度都等于0.5,叠加高斯噪声的方差为0.1,数据长度为50,可以算出,50点数据的傅立叶分辨率Fbin=1/50=0.02,大于两正弦信号的频率之差,因此不能将两个信号区分开来。我们采用Cauchy模型的最大后验概率估计,取频谱点数M=200,频谱分布的参数σx=0.1。经过

若干次迭代,得到的频谱很明显地将两个信号区分开,而且旁瓣电平极大降低,达到-40dB以上。为了更清楚地看到规整化谱估计的迭代过程,我们将各次迭代的频谱和对应的时间序列分别画出,如图1(c)、(d)所示。可以看到,随着迭代次数的增加,两个信号的谱峰逐渐区分开来;对应的时间序列有效

数据的长度也越来越长,形状也越来越接近原序列的周期延拓,可见规整化频谱估计方法等效于数据外推技术[2]。

37王　岩,等:规整化SAR图像特征提取

3　二维规整化谱估计SAR图像在原始回波域是一组二维复正弦信号的叠加,如果能够将SAR回波的频谱估计出来,就可以得到目标的峰值特征,因此可以将规整化谱估计方法推广到二维情况,来提高谱估计的分辨率,并降低频谱旁瓣。对于二维矩阵f,大小为M×N,其二维傅立叶逆反变换为:

f(m,n)=1MN∑M-1k=0∑N-1l=0F(k,l)expj2πkmM+nlN(8)

二维傅立叶逆变换的核函数g(m,n;k,l)=g

1(m,k)g2(n,l)

因此二维

DFT

可以分解为两个

一维的DFT。根据矩阵乘法,上式可以写作f=G1′FG2。G1和G2的元素分别是g

1(m,k)和g2(n,l)

大小分别为M×M和N×N,且G1和G2是对称阵。如果将F和f按行或者列排成列矢量F和f,则两者关系为f=GF,其中G为G1和G2的直积(Kronecker),大小为MN×MN[5],即G=G1󰃁G2。同样,采用F服从Cauchy分布模型的MAP估计,可以得到:

F=(λQ-1+GHG)-1GHf(9)其中,λ=

σα2n/σ2

X,Q为MN×MN的对角阵。对(9)

式进行迭代求解,可以得到形式为列矢量的二维频

谱的规整化估计。将F排列成二维矩阵,就得到数据的二维频谱。假设二维方阵大小为N×N,对于矢量表达式,乘加运算的次数为O(N

而矩阵表达式只需要

O(N3),因此利用矢量形式的表达式存在运算量大的缺点。另外(9)式中存在两个变换矩阵之积GHG,并且要进行两次MN×MN大小矩阵求逆运算,运算量巨大,因此需要寻求快速求解的方法。由于Q是对角阵,可以方便地求出Q

-1

,由矩阵直积的性质得到

GHG=(G1󰃁G2)H(G1󰃁G2)=(GH1G1)󰃁(GH2G2)(10)

GHG=1/MN×IMN󰃁INN=1/MN×IMN×MN(11)

GHG为对角阵,因此λQ-1+GHG也为对角阵,可以方便地求出它的逆矩阵。对于(9)式中GHf,也不需要求出GH并进行矩阵相乘运算,方法如下:由于Gf对应于对矩阵f进行二维傅立叶变换并排列成一维矢量,即GFP=vec(DFT(f))=vec(G1′fG