线段的垂直平分线(教案)

§1.3.1 线段的垂直平分线(教案)郑州市第三十一初级中学荆飞教学分析【教材分析】在七年级我们曾经学习过轴对称和轴对称图形，本章将继续学习一些有关轴对称和轴对称图形的性质和证明.以前的学习过程，主要是发展学生的合情推理，而这一章的内容将要求学生从演绎推理的角度对问题进行证明.另外，在整个初中阶段，学生主要接触图形的四种运动状态，而本章将对轴对称和轴对称图形进行深入研究，本节课的线段的垂直平分线就是一个轴对称图形非常重要的一个数学模型.【我的思考】学生对于掌握定理及定理的证明并不存在太大的困难，这是因为在七年级“生活中的轴对称”中学生已经有了一定的基础.但是对于定理的逆定理的掌握应该是比较困难的，所以对逆定理研究时应该给学生留出更多的时间和空间去理解思考和感受.【学习目标】1、证明线段垂直平分线的性质定理，探索并证明线段垂直平分线的判定定理，进一步发展推理能力.2、能运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决简单的几何问题.3、经历“探索-发现-猜想-证明”的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力.【教学重、难点】重点：写出线段垂直平分线的性质定理的逆定理.难点：两者在应用上的区别及各自的作用.【教学准备】1、分配学习小组（建议2人一组），明确每个人的任务.2、预习本节课的内容.P M N CB A 【教学过程】一、 巧妙设疑，引入新课【设计说明：本环节主要利用学生学习过的线段的垂直平分线，将此思考头一天布置给学生，让学生提前思考提出解决方案，并总结结论，在上课时进行小组内的交流，共享.从而能有效地引起学生的研究兴趣.】问题1：我们曾经利用折纸的办法得到线段的垂直平分线，那么线段垂直平分线的性质是什么？师生活动：将此思考头一天布置给学生，让学生提前思考并提出解决方案，在上课时展示.问题2：你能尝试证明这个结论吗？请画出图形，写出已知和求证，并写出证明过程，与你的同伴交流.师生活动：此时学生可能提出了一个问题：要证明“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，可线段垂直平分线上的点有无数多个，需要一个一个依次证明吗？何况不能一个一个依次证明呢？此时教师应鼓励学生思考，想办法来解决此问题.师：如果一个图形上的每一点都具有某种性质，那么只需在图形上任取一点作代表，就可以了，所以我们只需在线段垂直平分线上任取一点代表即可，因为线段垂直平分线上的点都具有相同的性质.二、 新知探究活动一：线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等已知：直线AB MN ⊥,垂足为C ，且BC AC =,P 是MN 上的任意一点.求证：PB PA =证明：AB MN ⊥PM N C B A 90=∠=∠∴PCB PCAPC PC BC AC ==,)(SAS PCB PCA ∆≅∆∴PB PA =∴(全等三角形的对应边相等）师：总结证明线段平分线的性质定理后，你能给出它的符号语言吗？生：∵ 点P 在线段AB 的垂直平分线上 ∴ PA=PB师：那么通过线段垂直平分线的性质定理学习，对我们有哪些新的方法应用呢？生：这个结论可以用来证明两条线段相等。

设计意图：学生独立思考后，请两位同学分别上台讲解证明过程，体现学生自主解决问题的能力，最后学生纠错，教师引导，直至规范。

引导学生结合图形用几何语言叙述线段垂直平分线的性质定理。

进一步加深对其理解和应用能力。

活动二：线段垂直平分线的逆定理（判定定理）：师：上节课我们认识学习了命题和真命题，你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？生：逆命题：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．师：当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．让我们一起找到它们的条件与结论。

给出图形生：己知：PA=PB, 求证: 点P 在AB 的垂直平分线上.师：同学们可以前后小组为单位讨论一下如何证明点在垂直平分线上，需要辅助线帮助吗？并思考你还有没有别的解法？设计意图：教师引导学生从不同的角度对该命题进行证明.为线段垂直平分线的逆定理证明做铺垫。

之后学生先独立完成证明过程后，教师在白板上投屏展示其作品给与评价。

生1：取AB 的中点C ，过PC 作直线.90180)(,,,=∠=∠∴=∠+∠∠=∠∴∆≅∆∴===PCB PCA PCB PCA PCBPCA SSS BPC PCA CB AC PC PC BP AP即AB PC ⊥∴点P 在AB 的垂直平分线上.生2:过P 点作APB ∠的角平分线.PC PC BPC APC BP AP =∠=∠=,,)(SAS BPC APC ∆≅∆∴PCB PCA BC AC ∠=∠=∴,(全等三角形的对应边相等，对应角相等）又 180=∠+∠PCB PCA ∴ 90=∠=∠∴PCB PCA∴点P 在AB 的垂直平分线上.生3：过P 作线段AB 的垂直平分线PC .90,=∠=∠=PCB PCA CB AC∴点P 在AB 的垂直平分线上.三种证法由学生表述后，师生共同分析：一般情况下，过P 作线段AB 的垂直平分线PC 是不可能实现的，所以第三个同学的证法是错误的.设计意图：通过多种方法的对比，培养学生的分类讨论思想.总结定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.三、 典型例题例1 已知：如图，在ABC ∆中，AC AB =，O 是ABC ∆内一点，且OC OB = 求证：直线AO 垂直平分线段BC .解法一：BCAO ACAB CAOBAO SSS ACO ABO AOAO OCOB ACAB 垂直平分线段△△∴=∠=∠∴≅∴=== )(解法二：证明：AC AB =∴点A 在BC 的垂直平分线上.（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）同理，点O 在BC 的垂直平分线上.∴直线AO 是线段BC 的垂直平分线.（两点确定一条直线）设计意图：引导学生分析证明方法，学生动手证明，写出证明过程。

例题可以加强学生对线段垂直平分线性质定理的逆定理的进一步认识，使学生感受到两点确定一条直线在本定理中的应用。

师：通过证明线段垂直平分线的逆定理，我们得到今天的第二个新知识点，那么它的几何语言怎么书写呢？生：∵PA=PB∴点P 在AB 的垂直平分线上师：线段垂直平分线的判定定理如何应用呢？生：可以判定垂直和线段平分师：对，这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据.设计意图：引导学生结合图形用几何语言叙述线段垂直平分线的判定定理。

进一步加深对其理解和应用能力。

活动三：线段垂直平分线的点在线段的垂直平分线上（判定定理）师：那么线段垂直平分线上的点有什么特点呢？请同学们观看微课。

微课展示环节：总结：线段的垂直平分线可以看作是到线段的两个端点的距离相等的所有点的集合.师：遇见一点到线段的两个端点距离相等，要联想到这个点在这条线段的垂直平分线上. 设计意图：通过上面的例题和微课讲解，让学生进一步认识到线段垂直平分线的判定定理的应用，巩固提高本课新知的作用，也培养学生解决综合问题的能力四、提升能力例2 已知：如图 ，在 △ABC 中，AB = AC ，O 是△ABC 内一点，且 OB = OC.求证：直线 AO 垂直平分线段BC ．证明：∵ AB = AC ， ∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上.∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）.教师活动：多媒体展示题目，在学生自主探究后明晰答案.学生活动：独立思考，书写，两位同学上讲台展示.设计说明：分析学生的学情，有的题目采取自主独立完成，有的题目要求学生通过小组合作学习的方式来完成，这样通过解题问题方式的多样化，调动学生的学习兴趣，形成良好的学习效果.四、 归纳小结，认知升华教师活动：1、本节课你学习了哪些新知识？2、在数学思想或方法上，你有什么感悟？A B CO3、你还有什么困惑吗？学生活动：畅所欲言，说出自己对这节课学习的感受和收获.【设计说明：主要是从三个方面进行思考，分别是知识、数学思想方法和小组建设的问题.】五、分层作业必做作业：课本P23 习题1.7知识技能1、2、3、4选做作业：如图，DF DE ,分别是ABD ∆和ACD ∆的高,且DF DE =.求证：AD 垂直平分EF .【设计说明：给学生有余力的学生提出一些可以进一步发展能力的题目.】六、教学反思在本节课中，所介绍的定理实际是在七年级曾经探索过的命题，如线段垂直平分线的性质定理，作为探索活动的自然延续和必要发展，我们作为老师要善于引导学生从问题出发，根据观察、实验的结果，先得出猜想，然后再进行证明，要求学生掌握证明的基本要求和方法，注意数学思想方法的强化和渗透.本节课我采用“引导—探索式”教学方法，整节课以学生观察、思考、发现为主。

作为课堂的组织者和引导者，我通过复习七年级折纸找三角形垂直平分线引入新课，让学生主动思考探索证明方法，激发他们的求知欲望。

整节课突出以下特点：（1）合情推理与演绎相结合，通过教学综合实践活动让学生印象深刻，提高教学效果。

（2）教学目标明了，目标明确设计巧妙，围绕一个核心展开整节课活动环节紧凑，学生记忆生动。

(3)概念夯实深入，重视学生在概念认知过程中教学经验的形成，通过两个探索活动引导学生从多角度了解线段垂直平分线的性质，然后一系列强化训练，让学生能充分理解和掌握本课所学知识。

总之，本节课抓住教学内容重点，学生学习过程紧凑，相信本节课学生可以熟练掌握垂直平分线相关性质，也能为以后的学习打下夯实基础。