2020年高考江苏版高考数学 12.2 随机事件与概率、古典概型与几何概型
2019-2020年新人教版高考数学一轮总复习第十二章概率与统计12.2古典概型与几何概型课件理新人教B版
2.几何概型及其概率公式 (1)几何概型:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 长度(面积或体积) 成比例,则 称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型. (2)几何概型的概率公式
设几何概型的基本事件空间为可度量的区域Ω,事件A所对应的区域用A表示(A⊆Ω),则P(A)=
少正确完成其中2道试题则可以进入面试.已知考生甲正确完成每道题的概率为 2 ,且每道题正
3
确完成与否互不影响;考生乙能正确完成6道试题中的4道题,另外2道题不能完成. (1)求考生甲至少正确完成2道题的概率; (2)求考生乙能通过笔试进入面试的概率; (3)记所抽取的三道题中考生乙能正确完成的题数为ξ,求ξ的分布列和数学期望.
.
答案 1
3
3, 3 x 1,
解析
设f(x)=|x+1|-|x-2|,则f(x)=|x+1|-|x-2|=
2
x
由1, 21x-1x≥ 12得, x≥1,故1≤x<2,即当1≤x
3, 2 x 3 .
≤3时,f(x)≥1.由几何概型概率公式得所求概率为 3 = 1 = 2 .1
A的几何度量
Ω的几何度量.
【知识拓展】 1.对古典概型的理解 (1)一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能 性,只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型.正确判断试验的类型是解决概率问题的关 键. (2)古典概型是一种特殊的概率模型,但并不是所有的试验都是古典概型. 2.古典概型与几何概型的异同点 几何概型是与古典概型最为接近的一种概率模型,两者的共同点是基本事件是等可能的,不同点 是基本事件数一个是有限的,一个是无限的.对于几何概型,基本事件可以抽象为点,这些点尽管 是无限的,但它们所占据的区域是有限的,根据等可能性,一个点落在区域的概率与该区域的几 何度量成正比,而与该区域的位置和形状无关.
(江苏专用)2020版高考数学二轮复习专题六概率、统计、复数、算法、推理与证明第1讲概率课件文苏教版
以由古典概型的概率计算公式可得所求概率为16．
[答案]
1 6
2．从 1，2，3，6 这 4 个数中一次随机地取 2 个数，则所取 2 个数的乘积为 6 的概率 是________ ．
[解析] 取两个数的所有情况有：(1，2)，(1，3)，(1，6)，(2，3)，(2，6)，(3，6)，共
6 种．乘积为 6 的情况有：(1，6)，(2，3)，共 2 种．故所求事件的概率为26＝13．
【解析】 (1)由 6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，则 D＝[－2，3]，则所求概率为35－－（（－－24））＝59．
(2)法一：设分别以 OA，OB 为直径的两个半圆交于点 C，OA 的中点为 D，如图，连
结 OC，DC．
不妨令 OA＝OB＝2，则 OD＝DA＝DC＝1．
在以
OA
为直径的半圆中，空白部分的面积
两年是古典概型，一年是几何概
第 7 题 型，难度以中低档题为主，试题
主要是教材习题的改编．
1．古典概型 古典概型有两个特点： ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； ②每个基本事件出现的可能性相等．判断满足以上两个特征，便可用古典概型概率公 式 P＝mn 求解．其中，n 是基本事件总数，m 是所求事件所含的基本事件数．
3．几何概型与古典概型的区别是几何概型试验中的可能结果不是有限个，它的特点是 试验结果在一个区域内均匀分布，故随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状 位置无关，只与该区域的大小有关．几何概型中，线段的端点、图形的边界是否包含 在事件之内不影响所求结果．
古典概型 [典型例题] (1)(2019·高考江苏卷)从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服 务，则选出的 2 名同学中至少有 1 名女同学的概率是________． (2)(2018·高考江苏卷)某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生，现从中任选 2 名学生去参加 活动，则恰好选中 2 名女生的概率为________．
2020版高考数学(福建专用)一轮复习课件：12.2 古典概型与几何概型
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解析 答案
-36-
考点1
考点2
考点3
考点4
考点5
考点6
例8从区间[0,1]中随机抽取2n个数x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn,构成n个 数对(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其中两数的平方和小于1的数对共有m
个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 ( )
思考依据题意如何用随机模拟的方法求圆周率π的近似值? 关闭
考点2
考点3
考点4
考点5
考点6
解题心得1.由向量的数量积公式,得出两个向量夹角的余弦值的 表达式,由夹角的范围得出点数m和n的关系m≥n,然后分别求m=n 和m>n对应的基本事件个数,从而也清楚了基本事件的个数就是点 数m和n组成的点的坐标数.
2.直线与圆有公共点,即圆心到直线的距离小于或等于半径,由此 得出a≤b,到此基本事件就清楚了,事件A包含的基本事件也清楚了.
.
(4)已知关于x的二次函数f(x)=ax2-4bx+1,设a∈{-
1,1,2,3,4,5},b∈{-2,-1,1,2,3,4},则f(x)在区间[1,+∞)内是增函数的概
率为 .
关闭
答案
-23-
考点1
考点2
考点3
考点4
考点5
考点6
解析:(1)连续掷两次骰子,以先后得到的点数m,n为点P的坐标
全飞行的概率是 .
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解析 答案
知识梳理
-11-
知识梳理 双基自测
12345
4.在[-1,1]上随机地取一个数k,则事件“直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9
相交”发生的概率为 .
考点2,古典概型与几何概型
考点二 古典概型与几何概型考点要揽◆理解古典概型及其概率计算公式，理解几何概型的意义。
◆会计算一些随机事件所包含的基本事件及事件发生的概率。
◆了解随机数的意义，能用模拟方法估计概率。
命题趋向◆古典概型经常与排列、组合知识交汇命题，多以选择题、填空题的形式出现，重点考查古典概型公式，利用列举法、树状图、分类讨论的思想解决古典概型问题是重点，也是难点。
◆几何概型多与选择题、填空题的形式出现，属容易题，经常与线性规划、不等式求解、方程的根所在的区间等知识交汇命题，重点考查几何概型概率的求法。
备考策略◆系统掌握有关概念◆熟练掌握几何概型的概率计算的几种类型一、古典概型（一）基本事件的特点1.任何两个基本事件都是互斥的.2.任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和.（二）古典概型概念我们把具有:①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;②每个基本事件出现的可能性相等,两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称为古典概型. 理解总结古典概型的概率公式:如果一次试验中可能出现的结果有n 个,即此试验由n 个基本事件组成,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一个基本事件的概率都是n1,如果某个事件A 包含的结果有m 个基本事件,那么事件A 的概率()nm A P =. 高考导航例1 袋中有6个球,其中4个白球,2个红球,从袋中任意取出两球,求下列事件的概率:(1)取出的两球都是白球;(2)取出的两球1个是白球,另1个是红球.解题思路首先应求出任取两球的基本事件的总数,然后需分别求出事件:取出的两球都是白球的总数和事件:取出的两球1个是白球,而另1个是红球的总数,套用公式求解即可.解析：设4个白球的编号为1、2、3、4,2个红球的编号为5、6,从袋中的6个小球中任取两个方法为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5), (2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)共15个.(1)从袋中的6个球中任取两个,所取的两球全是白球的方法总数,即是从4个白球中任取两个的方法总数,共有6个,即为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4), (3,4). ∴取出的两个球全是白球的概率为521561==P . (2)从袋中的6个球中任取两个,其中一个红球,而另一个为白球,其取法包括(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6)共8个.∴取出的两个球一个是白球,另一个是红球的概率为1582=P . 例2 把一颗骰子投掷2次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为a ,第二次出现的点数为b ,已知方程组⎩⎨⎧=+=+,22,3y x by ax 解答下列各题: (1)求方程组只有一个解的概率;(2)求方程组只有正数解的概率.解析：事件()b a ,的基本事件有6×6=36(个).由方程组⎩⎨⎧=+=+,22,3y x by ax 可得()⎩⎨⎧-=--=-,32)2(,262a y b a b x b a (1) 方程组只有一个解,需满足02≠-a b ，即a b 2≠，而a b 2=的事件有(1,2),(2,4),(3,6),共3个,故a b 2≠的事件有33个,所以方程组只有一个解的概率为12113633==P (2)方程组只有正数解,需a b 2≠且⎪⎩⎪⎨⎧>--=>--=,0232,0226b a a y b a b x 即⎪⎩⎪⎨⎧<>>3232b a b a 或⎪⎩⎪⎨⎧><<3232b a b a 包含的事件有13个:(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(1,4),(1,5),(1,6).因此,所求的概率为3613. 二、几何概型（一）几何概型的定义:对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机取一点,该区域中每一点被取到的机会都一样;而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.（二） 几何概型的特点:1.无限性:在每次随机试验中,不同的试验结果有无穷多个,即基本事件有无限多个;2.等可能性:在这个随机试验中,每个试验结果出现的可能性相等,即基本事件发生是等可能的.理解总结几何概型的概率计算公式：在几何概型中,事件A 的概率的计算公式如下:()积）的区域长度（面积或体实验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A =A P . 高考导航例1 (1)如图,在一个长为π,宽为2的矩形OABC 内,曲线()π≤≤=x x y 0sin 与x 轴围成如图所示的阴影部分,向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的),则所投的点落在阴影部分的概率是 ( )(A) π1. (B) π2. (C) 4π. (D) π3.(2)有一段长为10米的木棍,现要截成两段,则每段不小于3米的概率是 . 解题思路(1)用定积分计算出图中阴影部分的面积,再计算出矩形的面积,利用几何概型公式计算.(2)从该题可以看出,我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中每一点被取到的机会都一样.而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点,这样的概率模型就可以用几何概型来求解.解析： (1) 20cos cos cos sin 00=+-=-=⎰πππx xdx ,而矩形的面积为π2 ∴所投的点落在阴影部分的概率是ππ122=，故选A (2)记“剪得两段都不小于3米”为事件A ,从木棍的两端各度量出3米,这样中间就有10-3-3=4(米).在中间的4米长的木棍处剪都能满足条件,所以()4.0104103310==--=A P . 例2 如图,设T 是直线1-=x ,2=x 与函数2+=x y 的图象在x 轴上方围成的直角梯形区域, S 是T 内函数2x y =图象下方的点构成的区域(图中阴影部分).向T 中随机投一点,则该点落入S 中的概率为 ( )(A) 51. (B) 52. (C) 31. (D) 21.(2)某公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车到达,乘客到达车站的时刻是任意的,则乘客候车时间不超过6分钟的概率是 .解题思路解析：(1) 331213212===--⎰x dx x S s ,()21534121=⨯+=r S ,522153==P ,故选B . (2)设上辆车于时刻1T 到达,而下辆车于时刻2T 到达,则线段21T T 的长度为10,设T 是线段21T T 上的点,且2TT 的长为6,记“等车时间不超过6分钟”为事件A ,则事件A 发生即当点t 落在线段2TT 上,即D =21T T =10,d =2TT =6.所以()53106===D d A P故乘客候车时间不超过6分钟的概率为53. 迁移应用1、（2011·浙江卷理科）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本.若将其随机地抽取并排摆放在图书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是（ ）（A ）51 （B ）52 （C ）53 （D ）54 2、（2011·安徽卷文科）从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于（ ）（A ）101 （B ）81 （C ）61 （D ）51 3、（2012·湖北卷文科）如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆。
[2020高考文数复习江苏]第十一章 统计、概率 第2讲
![[2020高考文数复习江苏]第十一章 统计、概率 第2讲](https://img.taocdn.com/s3/m/b6821f67f111f18583d05a8e.png)
第2讲古典概型考试要求古典概型每年都会考查,主要考查实际背景下的可能事件,通常与互斥事件、对立事件一起考查,常以填空题形式出现,属于中低档题.知识梳理1.随机事件及其概率(1)在一定的条件下必然要发生的事件,叫作必然事件.(2)在一定的条件下不可能发生的事件,叫作不可能事件.(3)在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件,叫作随机事件.(4)在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率mn总是接近于某个常数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫作事件A发生的概率,记作P(A). (5)随机事件的概率P(A)的取值范围是[0,1].2.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.3.古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.(1)所有的基本事件只有有限个；(2)每个基本事件的发生都是等可能的.4.如果1次试验的等可能基本事件共有n 个,那么每一个等可能基本事件发生的概率都是1n .如果某个事件A 包含了其中m 个等可能基本事件,那么事件A 发生的概率为P (A )＝m n .5.古典概型的概率公式P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数. 6.互斥事件与对立事件(1)互斥事件:不可能同时发生的两个事件叫互斥事件.(2)对立事件:两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件.互为对立的两个事件一定互斥,但互斥事件不一定是对立事件.(3)互斥事件的概率如果事件A ,B 互斥,那么事件A ＋B 发生(即A ,B 中有一个发生)的概率,等于事件A ,B 分别发生的概率和,即P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ),推广:如果事件A 1,A 2,…,A n 彼此互斥,那么P (A 1＋A 2＋…＋A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n ).(4)对立事件的概率事件A 的对立事件表示为A －；对立事件的概率和等于1,即P (A )＋P (A －)＝P (A ＋A －)＝1.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)“在适宜条件下,种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型,其基本事件是“发芽”与“不发芽”.( )(2)掷一枚硬币两次,出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”,这三个结果是等可能事件.( )(3)从市场上出售的标准为500±5 g 的袋装食盐中任取一袋测其重量,属于古典概型.( )(4)有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为13.( )(5)从1,2,3,4,5中任取出两个不同的数,其和为5的概率是0.2.()解析(1)(2)基本事件发生不等可能,故不是古典概型；(3)中基本事件个数无限,不是古典概型.答案(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√2.(2019·前黄中学、姜堰中学、溧阳中学联考)从甲、乙、丙、丁四个人中随机选取两人,则甲、乙两人中有且只有一个被选取的概率是________.解析从4人中任选2人的所有基本事件为:甲乙,甲丙,甲丁,乙丙,乙丁,丙丁,共有6种,而甲、乙两人有且只有一个被选取的基本事件为:甲丙,甲丁,乙丙,乙丁,共有4种,根据古典概型的概率公式可知所求的概率为P＝46＝2 3.答案2 33.(2018·全国Ⅱ卷改编)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为________.解析将2名男同学分别记为x,y,3名女同学分别记为a,b,c.设“选中的2人都是女同学”为事件A,则从5名同学中任选2人参加社区服务的所有可能情况有(x,y),(x,a),(x,b),(x,c),(y,a),(y,b),(y,c),(a,b),(a,c),(b,c),共10种,其中事件A包含的可能情况有(a,b),(a,c),(b,c),共3种,故P(A)＝310＝0.3.答案0.34.将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为________.解析设两本不同的数学书为a1,a2,一本语文书为b,则在书架上的摆放方法有a1a2b,a1ba2,a2a1b,a2ba1,ba1a2,ba2a1,共6种,其中数学书相邻的有4种.因此2本数学书相邻的概率为P＝46＝2 3.答案2 35.已知函数f(x)＝2x2－4ax＋2b2,若a∈{4,6,8},b∈{3,5,7},则该函数有两个零点的概率为________.解析要使函数f(x)＝2x2－4ax＋2b2有两个零点,即方程x2－2ax＋b2＝0有两个不相等的实根,则Δ＝16a2－16b2>0,又a∈{4,6,8},b∈{3,5,7},即a>b,而a,b的取法共有3×3＝9(种),其中满足a>b的取法有(4,3),(6,3),(6,5),(8,3),(8,5),(8,7),共6种,所以所求的概率为69＝2 3.答案2 3考点一随机事件的频率与概率【例1】某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示.已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x,y的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率).解(1)由已知得25＋y＋10＝55,x＋30＝45,所以x＝15,y＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本,顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计,其估计值为1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟).(2)记A表示事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”,A1,A2,A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”、“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”、“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”.将频率视为概率得P(A1)＝15100＝320,P(A2)＝30100＝310,P(A3)＝25100＝14.因为A＝A1∪A2∪A3,且A1,A2,A3是互斥事件,所以P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝320＋310＋14＝710.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为7 10.规律方法 1.概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度,频率是随机的,而概率是一个确定的值,通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小,有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.2.随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率,即通过大量的重复试验,事件发生的频率会逐步趋近于某一个常数,这个常数就是概率.【训练1】某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:(1)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求P(A)的估计值；(2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”,求P(B)的估计值；(3)求续保人本年度平均保费的估计值.解(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2,由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为60＋50200＝0.55,故P(A)的估计值为0.55.(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4,由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为30＋30200＝0.3,故P(B)的估计值为0.3.(3)由所给数据得调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a.因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.考点二古典概型的求法【例2】某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选择2个国家去旅游.(1)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.解(1)由题意知,从6个国家中任选2个国家,其一切可能的结果组成的基本事件有:{A1,A2},{A1,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,A3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1}, {A3,B2},{A3,B3},{B1,B2},{B1,B3},{B2,B3},共15个.所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},共3个,则所求事件的概率为P＝315＝15.(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,其一切可能的结果组成的基本事件有:{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},共9个. 包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有:{A1,B2},{A1,B3},共2个,则所求事件的概率为P＝2 9.规律方法求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数,这就需要正确列出基本事件,基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图法,具体应用时可根据需要灵活选择.【训练2】(1)已知A,B,C三人分别在连续三天中值班,每人值班一天,那么A与B 在相邻两天值班的概率为________.(2)(2019·南京、盐城一模)口袋中有形状和大小完全相同的4个球,球的编号分别为1,2,3,4,若从袋中一次随机摸出2个球,则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为________.解析(1)A,B,C三人分别在连续三天中值班,每人值班一天,有ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA,共6种结果,其中A与B在相邻两天值班共有4种结果,故所求概率为46＝2 3.(2)从编号分别为1,2,3,4的4个球中随机一次摸出2个球,编号情况有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4,共6种,其中2个球的编号之和大于4的有4种,则所求概率为46＝2 3.答案(1)23(2)23考点三互斥事件、对立事件的概率【例3】一盒中共装有除颜色外其余均相同的小球12个,其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球.从中随机取出1个球.(1)求取出的1个球是红球或黑球的概率；(2)求取出的1个球是红球或黑球或白球的概率.解 记事件A 1＝{任取1个球为红球},A 2＝{任取1个球为黑球},A 3＝{任取1个球为白球},A 4＝{任取1个球为绿球},则P (A 1)＝512,P (A 2)＝13,P (A 3)＝16,P (A 4)＝112.据题意知事件A 1,A 2,A 3,A 4彼此互斥.(1)P (A 1＋A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝512＋13＝34.(2)法一 P (A 1＋A 2＋A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝512＋13＋16＝1112.法二 P (A 1＋A 2＋A 3)＝1－P (A 4)＝1－112＝1112.规律方法 求较复杂的互斥事件的概率,一般有两种方法:一是直接求解法,即将所求事件的概率分解成一些彼此互斥的事件的概率和,分解后的每个事件概率的计算通常为等可能事件的概率计算,这时应注意事件是否互斥,是否完备；二是间接求解法,先求出此事件的对立事件的概率,再用公式P (A )＝1－P (A －).若解决“至少”、“至多”型的题目,用后一种方法就显得比较方便.解题时需注意“互斥事件”与“对立事件”的区别与联系,搞清楚“互斥事件”与“等可能性事件”的差异.【训练3】 抛掷一枚质地均匀的骰子.(1)求落地时向上的数不小于5的概率；(2)求落地时向上的数大于1的概率；(3)求落地时向上的数是最大或者最小的数的概率.解 设“骰子落地时向上的数为i ”为事件A i (i ＝1,2,3,4,5,6),则 P (A i )＝16.(1)设“落地时向上的数不小于5”为事件C ,则P (C )＝P (A 5＋A 6)＝16＋16＝13.(2)设“落地时向上的数大于1”为事件D ,则P (D )＝1－P (D －)＝1－P (A 1)＝56. (3)设“落地时向上的数是最大或者最小的数”为事件E ,则P(E)＝P(A1＋A6)＝P(A1)＋P(A6)＝16＋16＝13.一、必做题1.(2019·南京、盐城、连云港二模)3名教师被随机派往甲、乙两地支教,每名教师只能被派往其中一个地方,则恰有2名教师被派往甲地的概率为________.解析3名教师被随机派往甲、乙两地支教,每名教师只能被派往其中一个地方,共有23＝8种方法,其中恰有2名教师被派往甲地的方法有3种,故所求概率为38.答案3 82.100张卡片上分别写有1,2,3,…,100.从中任取1张,则这张卡片上的数是6的倍数的概率是________.解析从100张中随机取1张,基本事件有100个.其中为6的倍数事件数16个,故所求的概率为425.答案425(或0.16)3.(2018·江苏卷)某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为________.解析记2名男生分别为A,B,3名女生分别为a,b,c,则从中任选2名学生有AB,Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc,ab,ac,bc,共10种情况,其中恰好选中2名女生有ab,ac,bc,共3种情况,故所求概率为3 10.答案3 104.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为________.解析由题意知,从五位大学毕业生中录用三人,所有不同的可能结果有(甲,乙,丙),(甲,乙,丁),(甲,乙,戊),(甲,丙,丁),(甲,丙,戊),(甲,丁,戊),(乙,丙,丁),(乙,丙,戊),(乙,丁,戊),(丙,丁,戊),共10种,其中“甲与乙均未被录用”的所有不同的可能结果只有(丙,丁,戊)这1种,故其对立事件“甲或乙被录用”的可能结果有9种,所求概率P ＝910.答案9 105.(2018·全国Ⅲ卷改编)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为________.解析设“只用现金支付”为事件A,“既用现金支付也用非现金支付”为事件B,“不用现金支付”为事件C,则P(C)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.45－0.15＝0.4.答案0.46.连掷两次骰子分别得到点数m,n,则向量(m,n)与向量(－1,1)的夹角θ>90°的概率是________.解析∵(m,n)·(－1,1)＝－m＋n<0,∴m>n.基本事件总共有6×6＝36(个),符合要求的有(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),…,(5,4),(6,1),…,(6,5),共1＋2＋3＋4＋5＝15(个).∴P＝1536＝512.答案5 127.(2019·南通模拟)在平面直角坐标系中,从下列五个点:A(0,0),B(2,0),C(1,1),D(0,2),E(2,2)中任取三个,则这三点能构成三角形的概率是________.解析从5个点中取3个点,列举得ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE,共10个基本事件,而其中ACE,BCD两种情况三点共线,其余8个均符合题意,故能构成三角形的概率为8 10＝4 5.答案4 58.(2016·江苏卷)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是________.解析将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次,共有36种不同结果.设事件A＝“出现向上的点数之和小于10”,其对立事件A－＝“出现向上的点数之和大于或等于10”,A－包含的可能结果有(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6),共6种情况.由于P(A－)＝636＝16,因此P(A)＝1－P(A－)＝56.答案5 69.甲、乙两人玩数字游戏,先由甲任想一数字,记为a,再由乙猜甲刚才想的数字,把乙猜出的数字记为b,且a,b∈{1,2,3},若|a－b|≤1,则称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两个人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为________.解析甲想一数字有3种结果,乙猜一数字有3种结果,基本事件总数为3×3＝9.设甲、乙“心有灵犀”为事件A,则A的对立事件B为“|a－b|>1”,即|a－b|＝2包含2个基本事件,∴P(B)＝29,∴P(A)＝1－29＝79.答案7 910.设连续掷两次骰子得到的点数分别为m,n,令平面向量a＝(m,n),b＝(1,－3).(1)求事件“a⊥b”发生的概率；(2)求事件“|a|≤|b|”发生的概率.解(1)由题意知,m∈{1,2,3,4,5,6},n∈{1,2,3,4,5,6},故(m,n)所有可能的取法共36种.因为a⊥b,所以m－3n＝0,即m＝3n,有(3,1),(6,2),共2种,所以事件a⊥b发生的概率为236＝1 18.(2)由|a|≤|b|,得m2＋n2≤10,有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),共6种,其概率为636＝16.11.甲、乙两人用4张扑克牌(分别是红桃2,红桃3,红桃4,方片4)玩游戏,他们将扑克牌洗匀后,背面朝上放在桌面上,甲先抽,乙后抽,抽出的牌不放回,各抽一张. (1)设(i,j)表示甲、乙抽到的牌的牌面数字(如果甲抽到红桃2,乙抽到红桃3,记为(2,3)),写出甲、乙两人抽到的牌的所有情况；(2)若甲抽到红桃3,则乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率是多少?(3)甲、乙约定,若甲抽到的牌的牌面数字比乙大,则甲胜；否则,乙胜,你认为此游戏是否公平?请说明理由.解(1)方片4用4′表示,则甲、乙两人抽到的牌的所有情况为(2,3),(2,4),(2,4′),(3,2),(3,4),(3,4′),(4,2),(4,3),(4,4′),(4′,2),(4′,3),(4′,4),共12种不同的情况.(2)甲抽到3,乙抽到的牌只能是2,4,4′,因此乙抽到的牌的牌面数字大于3的概率为23.(3)甲抽到的牌的牌面数字比乙大,有(3,2),(4,2),(4,3),(4′,2),(4′,3),共5种情况.甲胜的概率为P1＝512,乙胜的概率为P2＝712.因为512<712,所以此游戏不公平.二、选做题12.(2019·徐州一中质检)从边长为1的正方形的中心和顶点这5个点中随机(等可能)取两点,则该两点间距离为22的概率为________.解析设此正方形为ABCD,中心为O,则任取两点的取法有AB,AC,AD,AO,BC,BD,BO,CD,CO,DO,共10种；取出的两个点的距离为22的取法有AO,BO,CO,DO,共4种,故所求概率为410＝2 5.答案2 513.某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶；如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.解(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25,由表中数据可知,最高气温低于25的频率为2＋16＋3690＝0.6.所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时,若最高气温低于20,则Y＝200×6＋(450－200)×2－450×4＝－100；若最高气温位于区间[20,25),则Y＝300×6＋(450－300)×2－450×4＝300；若最高气温不低于25,则Y＝450×(6－4)＝900,所以,利润Y的所有可能值为－100,300,900.Y大于零当且仅当最高气温不低于20,由表格数据知,最高气温不低于20的频率为36＋25＋7＋490＝0.8.因此Y大于零的概率的估计值为0.8.。
古典概型与几何概型
课题 古典概型与几何概型教学目标 1、理解古典概型及其概率计算公式。
2、会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。
3、了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率。
4、了解几何概型的意义。
重 点 理解古典概型，几何概型的概念难 点掌握古典概型，几何概型的概率公式 【知识点梳理】一、古典概型1．基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果,称为一个基本事件。
基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件。
基本事件有以下两个特点：（1）任何两个基本事件是互斥的；（2）任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和。
2．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果都是等可能的，这种事件叫等可能性事件3．古典概型：具有以下两个特征的随机试验的概率模型称为古典概型。
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(2)每个基本事件出现的可能性相等。
4．古典概型的概率计算公式： 对于古典概型，若试验的所有基本事件数为n ，随机事件A 包含的基本事件数为m ，那么事件A 的概率定义为()m P A n=。
二、几何概型1. 几何概型的概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成正比，则称这样的概率模型为几何概型。
2. 几何概型试验的两个基本特征：（1）无限性：指在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；（2）等可能性：每个结果的发生具有等可能性。
3. 几何概型事件的概率计算公式：积）的区域长度（面积或体实验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A A P =)(作业【典型例题分析】题型一、古典概型的概率求法例1.单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案。
如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案。
假设考生不会做，他随机地选择一个答案，问他答对的概率是_________.例2.在6瓶饮料中，有2瓶已过了保质期。
古典概型与几何概型
2.直线与圆有公共点,即圆心到直线的距离小于或等于半径,由此 得出a≤b,到此基本事件就清楚了,事件A包含的基本事件也清楚了.
中任取两个元素a,b,且a·b≠0,则方程
双曲线的概率为
.
������2 ������2
+
������������22=1表示焦点在x轴上的
考点1
考点2
考点3
考点4
考点5 知识方法 易错易混
(2)(2015江西南昌一模)将a,b,c,d四封不同的信随机放入A,B,C,D
4个不同的信封里,每个信封至少有一封信.其中a没有放入A中的概
率是
.
关闭
将四封不同的信随机放入 4 个不同的信封中,每个信封至少有一封
信的放法有A44=24 种,其中信 a 放入 A 中的结果有A33=6 种,故“信 a
;a⊥b的
概率为
.
关闭
由题意,得(x,y)所有的基本事件共有C31 ·C31=9 个.
设“a∥b”为事件 A,则 xy=-3.事件 A 包含的基本事件有(-1,3),故 a∥b
的概率为 P(A)=1;
9
设“a⊥b”为事件 B,则 y=3x.事件 B 包含的基本事件有(1,3),(3,9),故 a
⊥1 b
.
关闭
设圆的半径为 R,由题意知圆内接三角形为等腰直角三角形,其直角
边长为√2R,则所求事件的概率为
1
P=������������阴 圆
古典概型和几何概型
一、古典概型1)基本事件:一次试验中所有可能得结果都就是随机事件,这类随机事件称为基本事件.２)基本事件得特点:①任何两个基本事件就是互斥得;②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件得与.３)我们将具有这两个特点得概率模型称为古典概率模型,其特征就是:①有限性:即在一次试验中所有可能出现得基本事件只有有限个。
②等可能性:每个基本事件发生得可能性就是均等得;称这样得试验为古典概型.４)基本事件得探索方法:①列举法:此法适用于较简单得实验.②树状图法:这就是一种常用得方法,适用于较为复杂问题中得基本事件探索。
5)在古典概型中涉及两种不通得抽取放方法,下列举例来说明:设袋中有个不同得球,现从中一次模球,每次摸一只,则有两种摸球得方法:①有放回得抽样每次摸出一只后,任放回袋中,然后再摸一只,这种模球得方法称为有放回得抽样,显然对于有放回得抽样,依次抽得球可以重复,且摸球可以无限地进行下去.②无放回得抽样每次摸球后,不放回原袋中,在剩下得球中再摸一只,这种模球方法称为五放回抽样,每次摸得球不会重复出现,且摸球只能进行有限次.二、古典概型计算公式１)如果一次试验中可能出现得结果有个,而且所有结果出现得可能性都相等,那么每一个基本事件得概率都就是;2)如果某个事件包括得结果有个,那么事件得概率.３)事件与事件就是互斥事件4)事件与事件可以就是互斥事件,也可以不就是互斥事件。
古典概型注意:①列举法:适合于较简单得试验。
②树状图法:适合于较为复杂得问题中得基本事件得探求、另外在确定基本事件时,可以瞧成就是有序得,如与不同;有时也可以瞧成就是无序得,如与相同、三、几何概型事件理解为区域得某一子区域,得概率只与子区域得几何度量(长度、面积或体积)成正比,而与得位置与形状无关,满足此条件得试验称为几何概型.四、几何概型得计算１)几何概型中,事件得概率定义为,其中表示区域得几何度量,表示区域得几何度量。
2)两种类型线型几何概型:当基本事件只受一个连续得变量控制时。
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12.2 随机事件与概率、古典概型与几何概型挖命题【考情探究】分析解读随机事件与概率、古典概型、几何概型是江苏高考的必考内容,题目难度不大,但对学生建模能力和运算能力要求比较高.破考点【考点集训】考点一随机事件与概率1.从某校高二年级的所有学生中,随机抽取20人,测得他们的身高(单位:cm)分别为:162,153,148,154,165,168,172,171,173,150,151,152,160,165,164,179,149,158,159,175.根据样本频率分布估计总体分布的原理,在该校高二年级的所有学生中任抽一人,估计该生的身高在155.5 cm~170.5 cm之间的概率约为.答案2.(2019届江苏苏州实验中学检测)掷一个骰子的试验,事件A表示“小于5的偶数点出现”,事件B表示“小于5的点数出现”,若表示B的对立事件,则一次试验中,事件A+发生的概率为.答案考点二古典概型1.(2018江苏徐州高三年级期中)从2个黄球,3个红球中随机取出两个球,则两球颜色不同的概率是.答案2.(2019届江苏启东中学检测)已知函数f(x)=x3+ax2+b2x+1,若a是从1,2,3三个数中任取的一个数,b是从0,1,2三个数中任取的一个数,则该函数有两个极值点的概率为.答案考点三几何概型1.(2018江苏海安高三上学期第一次学业质量测试)已知一个边长为2的正方形及其外接圆.现随机地向圆内丢一粒豆子,则豆子落入正方形内的概率为.答案2.已知正棱锥S-ABC的底面边长为4,高为3,在正棱锥内任取一点P,使得V P-ABC<V S-ABC的概率是.答案炼技法【方法集训】方法一求解古典概型问题的方法1.(2018江苏启东高三调研测试)从1,2,3,4这四个数中一次随机地选两个数,则选中的两个数中至多有一个是奇数的概率为.答案2.集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B中各任意取一个数,则这两数之和等于4的概率是.答案方法二求解几何概型问题的方法1.在区间[-1,2]上随机取一个数x,则|x|≤1的概率为.答案2.(2019届江苏教育学院附属中学检测)点P在边长为1的正方形ABCD内运动,则动点P到顶点A的距离PA<1的概率为.答案方法三古典概型与统计综合问题的解法移动公司在国庆期间推出4G套餐,对国庆节当日办理套餐的客户进行优惠,优惠方案如下:选择套餐1的客户可获得优惠200元,选择套餐2的客户可获得优惠500元,选择套餐3的客户可获得优惠300元.国庆节当天参与活动的人数统计结果如图所示,现将频率视为概率.(1)求从中任选1人获得优惠金额不低于300元的概率;(2)若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中选出6人,再从该6人中随机选出2人,求这2人获得相等优惠金额的概率.解析(1)设事件A为“从中任选1人获得优惠金额不低于300元”,则P(A)==.(2)设事件B为“从这6人中选出2人,他们获得相等优惠金额”.由题意可知按分层抽样方式选出的6人中,获得优惠200元的有1人,获得优惠500元的有3人,获得优惠300元的有2人,分别记为a1,b1,b2,b3,c1,c2,从中选出2人的所有基本事件如下:a1b1,a1b2,a1b3,a1c1,a1c2,b1b2,b1b3,b1c1,b1c2,b2b3,b2c1,b2c2,b3c1,b3c2,c1c2,共15个.其中使得事件B成立的有b1b2,b1b3,b2b3,c1c2,共4个.则P(B)=.过专题【五年高考】A组自主命题·江苏卷题组1.(2018江苏,6,5分)某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为.答案2.(2017江苏,7,5分)记函数f(x)=-的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率是.答案3.(2014江苏,4,5分,0.960)从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是.答案4.(2015江苏,5,5分,0.942)袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球.从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为.答案5.(2016江苏,7,5分)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是.答案B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一随机事件与概率1.(2016天津改编,2,5分)甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是,甲获胜的概率是,则甲不输的概率为.答案2.(2016课标全国Ⅱ,18,12分)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:(1)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求P(A)的估计值;(2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(B)的估计值;(3)求续保人本年度平均保费的估计值.解析(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为=0.55,故P(A)的估计值为0.55.(3分)(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为=0.3,故P(B)的估计值为0.3.(6分)(3)由所给数据得(10分)调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.192 5a.因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.(12分)评析本题考查了频率的求解方法,同时对考生的应用意识及数据处理能力进行了考查,属中档题.考点二古典概型1.(2018课标全国Ⅲ文改编,5,5分)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为.答案0.42.(2018课标全国Ⅱ理改编,8,5分)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是.答案3.(2017天津文改编,3,5分)有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为.答案4.(2016课标全国Ⅰ改编,3,5分)为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是.答案5.(2016课标全国Ⅲ改编,5,5分)小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,N中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是.答案6.(2014陕西改编,6,5分)从正方形四个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为.答案7.(2018天津文,15,13分)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人?(2)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M发生的概率.解析本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.(1)由已知,甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学,因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人,2人,2人.(2)①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{A,G},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{B,G},{C,D},{C,E},{C,F},{C,G},{D,E},{D,F},{D, G},{E,F},{E,G},{F,G},共21种.②由(1),不妨设抽出的7名同学中,来自甲年级的是A,B,C,来自乙年级的是D,E,来自丙年级的是F,G,则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A,B},{A,C},{B,C},{D,E},{F,G},共5种. 所以,事件M发生的概率P(M)=.易错警示解决古典概型问题时,需注意以下几点:(1)忽视基本事件的等可能性导致错误;(2)列举基本事件考虑不全面导致错误;(3)在求基本事件总数和所求事件包含的基本事件数时,一个按有序,一个按无序处理导致错误.8.(2015陕西,19,12分)随机抽取一个年份,对西安市该年4月份的天气情况进行统计,结果如下:(1)在4月份任取一天,估计西安市在该天不下雨···的概率;(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天··开始举行连续2天的运动会,估计运动会期间不下雨···的概率.解析(1)在容量为30的样本中,不下雨的天数是26,以频率估计概率,4月份任选一天,西安市不下雨的概率为.(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如,1日与2日,2日与3日等).这样,在4月份中,前一天为晴天的互邻日期对有16个,其中后一天不下雨的有14个,所以晴天的次日不下雨的频率为.以频率估计概率,运动会期间不下雨的概率为.9.(2017山东文,16,12分)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选择2个国家去旅游.(1)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率;(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.解析本题考查古典概型.(1)由题意知,从6个国家中任选两个国家,其一切可能的结果组成的基本事件有{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{B1,B2},{B1,B3} ,{B2,B3},共15个.所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},共3个,则所求事件的概率为P==.(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个,其一切可能的结果组成的基本事件有{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},共9个.包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有:{A1,B2},{A1,B3},共2个,则所求事件的概率P=.方法总结求古典概型概率的一般步骤:1.求出所有基本事件的个数n,常用的方法有列举法、列表法、画树状图法;2.求出事件A所包含的基本事件的个数m;3.代入公式P(A)=求解.10.(2016山东,16,12分)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x,y.奖励规则如下:①若xy≤3,则奖励玩具一个;②若xy≥8,则奖励水杯一个;③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.(1)求小亮获得玩具的概率;(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.解析用数对(x,y)表示儿童参加活动先后记录的数,则基本事件空间Ω与点集S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应.因为S中元素的个数是4×4=16,所以基本事件总数n=16.(1)记“xy≤3”为事件A,则事件A包含的基本事件数共5个,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1).所以P(A)=,即小亮获得玩具的概率为.(2)记“xy≥8”为事件B,“3<xy<8”为事件C,则事件B包含的基本事件数共6个,即(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4).所以P(B)==.事件C包含的基本事件数共5个,即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1).所以P(C)=.因为>,所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.易错警示本题出错的原因有两个:(1)理解不清题意,不能将基本事件列举出来;(2)列举基本事件有遗漏. 评析本题主要考查古典概型.理解题意,不重不漏地列举出基本事件是解题关键.考点三几何概型1.(2017课标全国Ⅰ理改编,2,5分)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是.答案2.(2016课标全国Ⅱ改编,8,5分)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为.答案3.(2014重庆,15,5分)某校早上8:00开始上课,假设该校学生小张与小王在早上7:30~7:50之间到校,且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的,则小张比小王至少早5分钟到校的概率为(用数字作答). 答案C组教师专用题组1.(2016四川,13,5分)从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则log a b为整数的概率是. 答案2.(2014课标Ⅱ,13,5分)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种,则他们选择相同颜色运动服的概率为.答案3.(2014浙江,14,4分)在3张奖券中有一、二等奖各1张,另1张无奖.甲、乙两人各抽取1张,两人都中奖的概率是.答案4.(2009江苏,5,5分)现有5根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽取2根竹竿,则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为.答案0.25.(2010江苏,3,5分)盒子里共有大小相同的3只白球,1只黑球.若从中随机摸出两只球,则它们颜色不同的概率是.答案6.(2011江苏,5,5分)从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数,则其中一个数是另一个数的两倍的概率是.答案7.(2012江苏,6,5分)现有10个数,它们能构成一个以1为首项,-3为公比的等比数列,若从这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是.答案【三年模拟】一、填空题(每小题5分,共45分)1.(2019届江苏通州高级中学检测)某射手的一次射击中,射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1,则此射手在一次射击中不超过8环的概率为.答案0.52.(2018江苏淮安高三期中)抛一枚硬币3次,恰好2次正面向上的概率为.答案3.(2018江苏苏州高三第一次调研测试)苏州轨道交通1号线每5分钟一班,其中,列车在车站停留0.5分钟,假设乘客到达站台的时刻是随机的,则该乘客到达站台立即能乘上车的概率为.答案4.(2018江苏南通高三第一次调研测试)某同学欲从数学建模、航模制作、程序设计和机器人制作4个社团中随机选择2个,则数学建模社团被选中的概率为.答案5.(2019届江苏常熟中学检测)有两个正四面体的玩具,其四个面上分别标有1,2,3,4,下面做投掷这两个正四面体玩具的试验:用(x,y)表示结果,其中x表示第1个正四面体玩具向下的面出现的点数,y表示第2个正四面体玩具向下的面出现的点数,则事件“x=y”的概率是.答案6.(2019届江苏镇江中学检测)从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数,下列事件①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数;②至少有一个是奇数和两个都是奇数;③至少有一个是奇数和两个都是偶数;④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.其中,是对立事件的是.答案③7.(2018江苏南京、盐城高三年级第一次模拟考试)口袋中有形状和大小完全相同的4个球,球的编号分别为1,2,3,4,若从袋中一次随机摸出2个球,则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为.答案8.(2019届江苏常州教育学会学生学业水平监测)函数f(x)=的定义域记作集合D.随机地投掷一枚质地均匀的正方体骰子(骰子的每个面上分别标有点数1,2,…,6),记骰子向上的点数为t,则事件“t∈D”的概率为.答案9.(2019届江苏如东栟茶中学检测)若随机事件A,B互斥,A,B发生的概率均不等于0,且P(A)=2-a,P(B)=4a-5,则实数a的取值范围是.答案二、解答题(共40分)10.(2019届江苏太仓高级中学检测)已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干,其中标号为0的小球1个,标号为1的小球1个,标号为2的小球n个.若从袋子中随机抽取1个小球,取到标号为2的小球的概率是.(1)求n的值;(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球,记第一次取出的小球标号为a,第二次取出的小球标号为b.①记“2≤a+b≤3”为事件A,求事件A的概率;②在区间[0,2]内任取2个实数x,y,求事件“x2+y2>(a-b)2恒成立”的概率.解析(1)依题意共有小球(n+2)个,标号为2的小球n个,从袋子中随机抽取1个小球,取到标号为2的小球的概率为=,解得n=2.经检验,n=2是原方程的根.(2)①从袋子中不放回地随机抽取2个小球,(a,b)所有可能的结果为(0,1),(0,2),(0,2),(1,2),(1,2),(2,2),(1,0),(2,0),(2,0),(2,1),(2,1),(2,2),共有12种,而满足2≤a+b≤3的结果有8种,故P(A)==.②由①可知,(a-b)2≤4,故x2+y2>4,(x,y)可以看成平面中的点的坐标,则全部结果所构成的区域为Ω={x,y|0≤x≤2,0≤y≤2,x,y∈R},由几何概型得概率P=-·=1-.11.(2019届江苏金坛中学检测)某银行柜台有从左到右编号依次为1,2,3,4,5,6的六个服务窗口,其中1,2,3,4,5号服务窗口办理A类业务,6号服务窗口办理B类业务.(1)每天12:00至14:00,由于需要办理A类业务的顾客较少,现从1,2,3,4,5号服务窗口中随机选择2个窗口暂停服务,求“1号窗口或2号窗口暂停服务”的概率;(2)经统计,在6号窗口办理B类业务的等候人数及相应概率如下:求至少2人排队等候的概率.解析(1)由题意有如下基本事件((i, j)表示第i, j号窗口暂停服务):(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),因此,共有10个基本事件.记事件A为“1号窗口或2号窗口暂停服务”,事件A包括:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),共7个,故P(A)=.(2)事件“6号窗口办理B类业务的等候人数为k”记为B k(k∈N),则事件B k两两互斥.记事件B为“至少2人排队等候”,则事件为“排队等候人数为0或1”,所以P()=P(B0)+P(B1)=0.1+0.16=0.26,所以P(B)=1-P()=1-0.26=0.74.12.(2019届江苏南京第十三中学检测)设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0,其中a,b是某范围内的随机数,分别在下列条件下,求上述方程有实根的概率.(1)若随机数a,b∈{1,2,3,4};(2)若a是从区间[0,3]中任取的一个数,b是从区间[0,2]中任取的一个数.解析设事件A为“方程x2+2ax+b2=0有实根”.当a≥0,b≥0时,方程x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为a≥b.(1)基本事件共有16个:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),其中第一个数表示a的取值,第二个数表示b的取值.事件A中包含10个基本事件,故事件A发生的概率为P(A)==.(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2}.构成事件A的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b},即如图的阴影区域所示.所以所求的概率为P(A)=-=.。