(完整版)变化率与导数练习题及答案

【巩固练习】 一、选择题
1．（2015春 保定校级月考）函数在一点的导数是（ ） A.在该点的函数值的增量与自变量的增量的比 B.一个函数
C.一个常数，不是变数
D.函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率。

2.（2015春 淄博校级月考）在曲线2
2y x =+的图象上取一点（1,3）及邻近一点()1,3x y +∆+∆，则
y
x
∆∆ 为（ ）
A. 12x x ∆+
+∆ B. 2x ∆+ C. 1x x ∆-∆ D. 1
2x x
∆-+∆
3.一直线运动的物体，从时间t 到t t +∆时，物体的位移为s ∆，那么t
s
t ∆∆→∆0lim 为 （ ）
A ．从时间t 到t t +∆时，物体的平均速度
B ．时间t 时该物体的瞬时速度
C ．当时间为t ∆时该物体的速度
D ．从时间t 到t t +∆时位移的平均变化率
4. 已知函数)(x f y =，下列说法错误的是（ ） A. )()(00x f x x f y -∆+=∆叫函数增量
B.
x
x f x x f x y ∆-∆+=
∆∆)
()(00叫函数在[x x x ∆+00,]上的平均变化率 C. )(x f 在点0x 处的导数记为y ' D. )(x f 在点0x 处的导数记为)(0x f '
5．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的函数关系为2
18
s t =， 则t=2 s 时，此木块在水平方向的瞬时速度为（ ） A ．2 B ．1 C ．
12 D ．14
6． 设()4f x ax =+，若'(1)2f =，则a=（ ）
A ．2
B ．－2
C ．3
D ．不确定
7．（2015秋 泗县校级期末）若()f x 在(),-∞+∞可导，且
(2)()
13lim
x f a x f a x
∆→+∆-=∆，则'()f a =（ ）
A. 23
B.2
C.3
D.32
8．在地球上一物体作自由落体运动时，下落距离2
12
S gt =其中t 为经历的时间，29.8/g m s =， 若 0(1)(1)
lim
t S t S V t
∆→+∆-=∆9.8/m s =，则下列说法正确的是（ ）
A. 0～1s 时间段内的速率为9.8/m s
B. 在1～1+△ts 时间段内的速率为9.8/m s
C. 在1s 末的速率为9.8/m s
D. 若△t ＞0，则9.8/m s 是1～1+△ts 时段的速率；
若△t ＜0，则9.8/m s 是1+△ts ～1时段的速率．
二、填空题
9．已知函数y ＝x 3
－2，当x ＝2时，Δy Δx
＝ .
10.如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ,其中A ,B ,C 的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则
[(0)]f f = ；0
(1)(1)
lim
x f x f x
∆→+∆-∆= .
11． 一质点的运动方程是3
2
2s t t t =-+, 其中最小速度是 。

三、解答题 12．已知函数1
y x x
=求函数在x=4处的导数.
13.将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。

如果在第x h 时，原油温度（单位：C ︒）为()()801572
≤≤+-=x x x x f ．计算第2h 和第6h 时，原油温度的瞬时变化
率，并说明它们的意义。

14． 已知函数y=log 2x+1。

（1）求函数在[2，2.1]上的平均变化率；
（2）若自变量从x 0增加到x 0+Δx ，该函数的平均变化率又是多少？（x 0＞0）
15. 已知曲线2
2(0)y px y =>，用定义求：0x x =处的导数；
【答案与解析】 1． 【答案】 C 2. 【答案】B
【解析】Δy =（1+Δx ）2+2－1－1=Δx 2+2Δx ，x
y
∆∆=2+Δx .选B 。

3． 【答案】 C
【解析】 ∵f ′(4)=－sin4,π<4<2
3π
, ∴sin4<0.∴f ′(4)>0,即函数在点(4,f (4))处的斜率为正值. ∴切线的倾斜角为锐角.
4. 【答案】 C
【解析】 正确的写法应该是0'|x x y = 5． 【答案】 C
【解析】 220011(2)2
1118
8'|lim lim 822t t t t s t t =∆→∆→+∆-⨯⎛⎫==∆+= ⎪∆⎝
⎭。

故选C 。

6． 【答案】 A
【解析】 ∵0
0(1)(1)'(1)lim lim 2x x f x f a x
f a x x
∆→∆→+∆-∆====∆∆，∴a=2，故选A 。

7． 【答案】 D
【解析】因为
(2)()
13lim
x f a x f a x
∆→+∆-=∆，即
2(2)()132lim x f a x f a x ∆→+∆-⋅=∆，02(2)()132lim x f a x f a x ∆→+∆-=∆，'2()13f a = ，所以'
3()2
f a =，故选D 。

8． 【答案】 C
【解析】 0(1)(1)
lim
'(1)t s t s v s t
∆→+∆-==∆，即s （t ）在t=1 s 时的导数值。

由导数的物理意义，得
9.8 m / s 是物体在t=1 s 这一时刻的速率。

故选C 。

9. 【答案】 2
42()x x +∆+∆
【解析】332(2)(22)42()y x x x x x
∆+∆--==+∆+∆∆∆ 10. 【答案】 2， 2
【解析】 由图可知：f(0)=4,f(4)=2; f(x)=-2x+4,带入可得。

11. 【答案】
53
【解析】由于()2
2
155
3223333
s t t t t ⎛⎫'=-+=-+≥ ⎪⎝⎭
12. 【答案】
12
【解析】
0011
(2)
(4)(4)44'(4)lim lim x x f x f x f x x
∆→∆→-+∆-+∆==∆∆
01
12)44lim x x x ∆→⎛⎫-- ⎪+∆⎝⎭=
∆0lim x ∆→=
15
lim 4(4)
16x x ∆→⎛
-==- +∆⎝， 13. 【解析】在第2h 时和第6h 时,原油温度的瞬时变化率就是'(2)f 和'(6)f
根据导数定义
0(2)()f x f x f
x x
+∆-∆=
∆∆ 22(2)7(2)15(27215)3x x x x
+∆-+∆+--⨯+==∆-∆
所以00
(2)lim lim(3)3x x f
f x x ∆→∆→∆'==∆-=-∆ 同理可得:(6)5f '=
在第2h 时和第6h 时,原油温度的瞬时变化率分别为3-和5, 说明在第2h 附近,原油温度大约以3/C h 的速率下降
在第6h 附近,原油温度大约以5/C h 的速率上升.
14．【 答案】0.7 120log 1x
x x ∆⎛⎫
∆+ ⎪⎝
⎭
【解析】（1）∵x 1=2，x 2=2.1，Δx=x 2－x 1=0.1，
∴12()log 212f x =+=，22()log 2.11 2.07f x =+≈， ∴函数在[2，2.1]上的平均变化率 2121()() 2.072
0.70.1
f x f x y x x x -∆-===∆-。

（2）x1=x0，x2=x0+Δx ，
020()log 1f x x =+，
020()log ()1f x x x x +∆=+∆+，
200020202
00()()log ()log log log 1x x
x y f x x f x x x x x x ⎛⎫+∆∆∆=+∆-=+∆-==+ ⎪⎝
⎭， ∴ 函数的平均变化率
1
2200log 1log 1x
y
x x x x x x ∆⎛⎫⎛⎫∆∆∆=+÷∆=+ ⎪ ⎪∆⎝⎭⎝
⎭。

15.
【解析】∵y ＞0
，∴y =
∴y ∆=
∴
y x ∆=∆
=
= 当x ∆趋近于0
lim x ∆→
=。