二项分布概率模型
二项分布
【模块标题】二项分布 【模块目标】★★★★★☆ 迁移【模块讲解】知识回顾：1.定义：在n 次独立重复试验中，事件A 发生的次数ξ是一个随机变量，其所有可能取的值为0,1,2,,n ⋅⋅⋅，并且()()1n kk kn P k C p p ξ−==−（其中0,1,2,,k n =⋅⋅⋅），即分布列为()n p B ，2.二项分布的期望与方差：若()n p B ξ，，则()=E np ξ，()()1D np p ξ=−【教材内容1】利用二项分布的计算式求解问题(3星)<讲解指南>一.题型分类：1.二项分布基本概念题型；2.根据二项分布求某一事件的概率；3.根据二项分布求某一范围的概率；4.根据二项分布求EX 、DX 及其变形；5.根据EX 求概率p 及某一事件的概率6.根据EX 和DX 求np 二.方法步骤：1.根据条件判断是否服从二项分布；2.根据二项分布的性质列出相应的分布列3. 根据二项分布的公式求解数学期望及方差； 三.难点：本节的难点在于根据二项分布的公式进行某一事件或某一范围求概率的题型，需要教会学生求解二项分布里面的参数，然后套用公式进行求解。
<题目讲解>例1. 下列随机变量ξ服从二项分布的是（ ）。
（1）随机变量ξ表示重复抛掷一枚骰子n 次中出现点数是3的倍数的次数； （2）某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ；（3）有一批产品共有N 件，其中M 件为次品，采用有放回抽取方法，ξ表示n 次抽取中出现次品的件数()M N ＜；（4）有一批产品共有N 件，其中M 件为次品，采用不放回抽取方法，ξ表示n 次抽取中出现次品的件数()M N ＜A. ()2 ()3B. ()1 ()4C. ()3 ()4D.()1 ()3练1. 下面随机变量X 的分布列不属于二项分布的是（）A 、据中央电视台新闻联播报道，一周内在某网站下载一次数据，电脑被感染某种病毒的概率是0.65，设在这一周内，某电脑从该网站下载数据n次中被感染这种病毒的次数为XB 、某射手射击击中目标的概率为p ，设每次射击是相互独立的，从开始射击到击中目标所需要的射击次数为XC 、某射手射击击中目标的概率为p ，设每次射击是相互独立的，射击n 次命中目标的次数为XD 、位于某汽车站附近有一个加油站，汽车每次出站后到这个加油站加油的概率为0.6，国庆节这一天有50辆汽车开出该站，假设一天里汽车去该加油站加油是相互独立的，去该加油站加油的汽车数为X例⎛ ⎝A B练2. 若随机变量X 服从二项分布24,3B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则（ ） A 、()()13P X P X === B 、()()221P X P X === C 、()()23P X P X === D 、()()341P X P X ===例3. 若1~10,2B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，则()2P ξ≥=( )A 、111024 B 、501512 C 、 10131024 D 、 507512练3. 已知随机变量~6,2X B ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则()5P X ≤=（ ）A 、78B 、18C 、6364D 、3132例4. 已知随机变量ξ服从二项分布1~34B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则E ξ=（ ）A 、964B 、34C 、916D 、43练4. 某班有14名学生数学成绩优秀，若从该班随机找出 5名学生，其中数学成绩优秀的学生数例5. 已知随机变量()~36,B p ξ，且()12E ξ=，则()D ξ＝________.练5 若()~B p ξ6，，且()3E ξ=，则()1P ξ=的值为（ ） A 、32 B 、14 C 、332 D 、116例6. 随机变量ξ服从二项分布()~B n p ξ，，且()()=300=200E D ξξ，，则p 等于（ ）A 、23 B 、 13 C 、 14 D 、12练<讲解小结>通过本章节的学习，着重需要注意以下几个方面：①授课思路：这部分内容讲解的时候，首先需要先针对二项分布的概念进行细致讲解，然后解决二项分布某一值和某一范围的概率问题，之后根据二项分布的性质解决数学期望和方差的题型，最后进行变形式的讲解与分析。
深度剖析超几何分布和二项分布
高考数学2021年$月深度咅慚趨几何分布和二顶分布■江苏省天一中学周海军概率统计是高中数学的重要知识模块#近几年来在高考中考查的比例越来越高，基本以两道小题加一道解答题的形式出现，试题富有时代气息，通过创设源于社会生活中的真实情境，考查同学们的阅读、识图、计算、表达等能力，考查的重心是数据分析能力和数学运算能力。
在概率中，二项分布、超几何分布是出现频率较高的两种概率模型，很多同学在学习的过程中容易产生混淆，经常有同学问二项分布与超几何分布到底怎么区分。
要弄清楚两者的关系，我们先来看看人教版新课标教材选修2—$给出的概念：超几何分布：一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取九件，其中恰有X件次品，那么+Q,-<)=C C C—3(<=0,1,2,…，C nB)#其中B=min{32}，且2&N,M&N，n，3，N+N*。
如果随机变量X的分布列具有表1的形式，则称随机变量X服从超几何分布，记为X〜H53N)。
表1X01…BP厂0厂2—0J3「N—3c3c n—3…C3C n—3C N C N C N二项分布：在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为。
，则P(X=k)=C n p k(1—p)n—k(@=0,1,2，…，n),此时称随机变量X 服从二项分布，记为X〜B21)，并称p为成功概率。
从定义通过实践我们可以提炼出两者的关系：相同点：超几何分布和二项分布都是离散型分布。
区别:(1)超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；))超几何分布是“不放回％由取，而二项分布是“有放回％由取(独立重复)；($)当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布。
一、超几何分布模型超几何分布特点：超几何分布是离散型分布，需要知道总体的容量，并且是“不放回”抽取。
!!(2020年广东模拟)台风“山竹”对我国多个省市的财产造成重大损害，据统计，直接经济损失达52亿元。
二项式分布PPT教学课件
二 、 教 法 探 讨:
自主性、能动性是人的各种潜能中最主要也是最高层次的潜 能，教育只有在尊重学生主体的基础上，才能激发学生的主体意 识，培养学生的主体精神和主体人格，“主体”参与是现代教学 论关注的要素 。我在课堂教学中做到以学生的自主学习为中心， 给学生提供尽可能多的思考、探索、发现、想象、创新的时间和 空间。另一方面，从学生的认知结构，预备知识的掌握情况，我 班学生有自主学习、主动构建新知识的能力。
设计意图：从实际中来，到实际中去，抽象出的二项分布 有何用途？什么时候用?这是学生想知道的。也是我们学 习数学的目的所在。怎么用呢？导入下一个环节。
重难点的突破：
（1）强调二项分布模型的应用范围：独立重复试 验。（前深化认识）
(2)运用类比法对学生容易混淆的地方，加以比较。 （后例题增加的③④）
(3)创设条件、保证充分的练习。设置基础训练、 能力训练、实践创新三个层次的训练题，即模型的直 接应用、变形应用和实际应用来二项分布模型，要反复引导,循序渐进,加以巩固.
=
1 0.7
3
0.7
1
上述解答是一个前面所学知识的应用过程 . 学生看到最后的结果,有一种``拨开云雾看青天” 的感觉,这不就是二项式定理吗?学生热情高涨, 课堂达到高潮,把对知识的学习掌握变成了对知 识的探索 、发现、总结、创新的过程.
通过解决问题2,学生在老师引导下,由特殊 到一般，由具体到抽象,由n次独立重复试验发生 k次的概率,主动构建二项分布这一重要的离散型 随机变量的分布列.攻破本节课的难点。
• 可以循环使用.多媒体辅助贯穿整个教学过程.
(一)创设情景,激发求知
1、投掷一枚相同的硬币5次，每次正面向上的概率为0.5。 2、某同学玩射击气球游戏,每次射击击破气球的概率为0.7， 现有气球10个。 3、某篮球队员罚球命中率为0.8，罚球6次。 4、口袋内装有5个白球、3个黑球，不放回地抽取5个球。 问题1、上面这些试验有什么共同的特点？
二项分布与正态分布
二项分布与正态分布二项分布与正态分布是概率统计学中两个重要的分布模型。
它们在实际应用中发挥着重要的作用，对于描述随机事件和现象的分布规律具有重要意义。
本文将分别介绍二项分布和正态分布的基本概念和性质，并对它们之间的关系进行探讨。
一、二项分布二项分布是概率统计学中最基本的离散型概率分布之一。
它描述了在n次独立重复试验中成功次数的概率分布。
其中，每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p。
试验次数n和成功次数X（取值范围为0到n）是二项分布的两个重要参数。
二项分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，C(n, k)表示从n个物体中取出k个的组合数。
二项分布具有以下性质：1. 期望和方差：二项分布的期望为E(X) = np，方差为Var(X) = np(1-p)。
2. 归一性：二项分布的概率之和为1，即∑P(X=k) = 1，其中k的取值范围为0到n。
二、正态分布正态分布是概率统计学中最重要的连续型概率分布之一。
它以钟形曲线的形式描述了大量随机变量分布的特征。
正态分布由两个参数决定，即均值μ和标准差σ。
正态分布的概率密度函数可以表示为：f(x) = (1 / (σ * sqrt(2π))) * exp(-(x-μ)^2 / (2σ^2))其中，exp表示自然指数函数，sqrt表示开方。
正态分布具有以下性质：1. 对称性：正态分布呈现出关于均值对称的特点，即其左右两侧的曲线是镜像关系。
2. 均值和方差：正态分布的均值即为μ，方差即为σ^2。
3. 中心极限定理：当样本容量较大时，多个独立随机变量的均值近似服从正态分布。
三、二项分布与正态分布的关系在一些情况下，二项分布可以近似看作正态分布。
当试验次数n较大，成功概率p较接近0.5时，二项分布的概率分布形状逐渐接近于正态分布。
根据中心极限定理，当n足够大时，二项分布的均值和方差趋近于正态分布的均值和方差，因此可以用正态分布来近似描述二项分布的概率分布。
改进的二项分布模型及其参数估计
改进的二项分布模型及其参数估计
改进的二项分布模型和其参数估计是在二项分布模型基础上进行改进和优化的统计模型。
二项分布模型适用于二分类问题，例如投硬币的结果为正面或反面的概率。
但是在实际应用中，常常需要考虑更多的因素，因此需要改进二项分布模型来更好地描述数据的分布。
改进的二项分布模型可以考虑多个因素对结果的影响，例如在投硬币的例子中，除了硬币本身的特性外，还可以考虑投掷的力度、角度等因素对结果的影响。
通过引入更多的参数，改进的二项分布模型可以更准确地描述数据的分布。
参数估计是利用已有的数据样本来估计模型中的参数值。
对于改进的二项分布模型，参数估计的目标是找到最优的参数值，使得模型在样本和总体中的拟合效果最佳。
常用的参数估计方法有最大似然估计和贝叶斯估计。
最大似然估计是基于样本数据的概率分布来估计参数值，即选择使得样本数据的概率最大化的参数值作为估计值。
贝叶斯估计则是基于贝叶斯定理来估计参数值，将先验分布和似然函数结合起来，通过计算后验分布来估计参数值。
在改进的二项分布模型中，参数估计可以通过最大似然估计或贝叶斯估计来进行。
通过样本数据，可以计算出对应的似然函数或后验分布，然后选择使得概率最大化的参数值作为估计值。
改进的二项分布模型及其参数估计在统计学和机器学习中有广泛的应用。
通过引入更多的参数和更准确的估计方法，改进的二项分布模型可以更好地描述实际数据的分布，并在实践中提供更准确的结果。
研究和应用改进的二项分布模型及其参数估计是一个重要的课题，对于深入理解和应用统计学和机器学习模型具有重要的意义。
概率分布模型在风险评估中的应用
概率分布模型在风险评估中的应用概率分布模型是数据分析领域中常用的工具，它可以帮助我们理解和描述不确定性事件发生的可能性。
在风险评估中，概率分布模型的应用可以帮助我们更准确地估计和评估风险，并为决策提供科学的依据。
一、引言风险评估是在不确定性环境下进行的，并且通常涉及估计和预测某个事件的发生概率以及对应的风险值。
概率分布模型在风险评估中可以帮助我们对未来可能发生的不确定事件进行建模和预测，从而更好地理解和管理风险。
二、常见的概率分布模型在风险评估中，常见的概率分布模型包括正态分布、泊松分布和二项分布等。
下面将通过实际案例分别介绍它们在风险评估中的应用。
1. 正态分布模型正态分布模型在风险评估中的应用非常广泛。
举个例子，假设我们要评估某个公司下个季度的销售额，我们可以使用历史数据构建一个正态分布模型来描述销售额的概率分布。
这样，我们可以通过计算正态分布的期望值和标准差来估计未来销售额的分布范围，从而评估风险和制定相应的决策。
2. 泊松分布模型泊松分布模型适用于在一定时间内某事件发生的次数的概率分布。
在风险评估中，泊松分布模型常用于描述某个设备在一定时间内出现故障的次数。
例如，我们可以通过历史数据统计某个设备在过去一年中出现故障的次数，并使用泊松分布模型来预测未来一年该设备出现故障的概率。
3. 二项分布模型二项分布模型适用于描述在一系列独立事件中某个事件发生的次数的概率分布。
在风险评估中，二项分布模型常用于估计一个项目或产品在经历多次试验或检验后的成功率。
例如，我们可以使用二项分布模型来评估某个产品在一系列生产中的合格率，并据此评估产品在未来生产中出现次品的概率。
三、案例分析为了更好地理解概率分布模型在风险评估中的应用，我们以某公司的财务风险评估为例进行分析。
该公司拥有多个投资项目，并希望评估每个项目的风险。
我们可以使用正态分布模型来建模每个项目的收益率分布，并估计每个项目的风险价值-at-Risk（VaR）。
二项分布的期望和方差
二项分布的期望和方差
介绍该分布
二项分布是一种概率分布，它是用来描述只有成功和失败两种结果的实验结果的统计模型。
它是服从二项式分布的随机变量的概率分布。
它有两个参数，n（实验次数）和p（每一次实验发生成功的概率）。
二项分布的期望是由n和p计算得到的，即E(X)=np。
它表示随机变量X落在某一个事件
上的概率。
这里的X是实验中的结果，0表示失败，1表示成功。
二项分布的方差也有n和p决定，即Var(X)=np(1-p)。
它表示随机变量X的变动范围，即方差越大，随机变量X出现数值范围越大，即实验结果出现的概率越大。
可以看到，二项分布是一种简单而实用的概率分布，它具有简单的期望和方差，能够用来
描述实验结果的概率。
它的应用非常广泛，如质量检验，安全监测等，非常有用和有用。
伯努利分布二项分布泊松分布
伯努利分布、二项分布和泊松分布一、伯努利分布伯努利分布是概率论中的一种离散概率分布，其特点是只包含一个二项随机变量，即成功或失败。
在伯努利试验中，事件发生的概率为p，不发生的概率为q=1-p。
因此，其概率质量函数（PMF）为：P(X=k)=C^k_np^kq^(n-k)其中，k=0,1,2,...,n。
C^k_n是二项式系数，表示从n个不同项中选取k个的组合数。
二、二项分布二项分布是伯努利分布在n次独立重复试验中的扩展。
其特点是随机变量X只能取0到n之间的整数，且成功的概率为p。
二项分布的概率质量函数为：P(X=k)=C^k_np^kq^(n-k)其中，k=0,1,2,...,n。
当q=1时，二项分布退化为泊松分布。
三、泊松分布泊松分布是连续概率分布的一种，常用于描述单位时间内（或单位面积上）随机事件的次数。
其特点是随机变量X取非负整数值，且平均发生率λ与X的值成正比。
泊松分布的概率质量函数为：P(X=k)=e^(-λ) * λ^k / k!其中，k=0,1,2,...。
当λ=1时，泊松分布退化为几何分布。
四、三者比较与总结伯努利分布、二项分布和泊松分布都是离散和连续概率分布的代表，它们在理论和应用上都有重要的地位。
尽管它们各自有独特的特征，但也存在一些共同点和相互联系。
首先，它们都涉及到随机试验和事件的概率模型。
其次，它们都可以描述成功和失败的次数或频率。
此外，它们都涉及到参数的选择和应用，如成功的概率p、平均发生率λ等。
在具体应用中，应根据问题的实际情况选择合适的概率分布模型。
例如，伯努利分布在单次试验中描述成功和失败的概率，二项分布在n次独立重复试验中描述成功次数，而泊松分布在单位时间内描述随机事件的次数。
在统计分析中，这些分布也常常用于参数估计和假设检验等统计推断方法。
因此，理解和掌握这些概率分布对于概率论、统计学以及相关领域的研究和应用都具有重要意义。
二项分布-高中数学课件
解：设A＝“正面朝上”，则P(A)＝0.5. 用X表示事件A发生的次数，
则 X ~ B(10, 0.5).
(1) 恰好出现5次正面朝上的概率为
P(X
5)
C150
0.55
(1 0.5)5
252 1024
63 256
(2) 正面朝上出现的频率在[0.4, 0.6]内等价于4≤X≤6，于是所求概率为
4
3 4
1
3 4
3
C41
3 4
1
1
3 4
41
.
PX
k
P Bk
C4k
3 k 4
1
3 4k 4
k
0,1,2,3,4 .
X的分布列就可以写成如表的形式：
X
0
1
2
3
4
P
C40
3 4
0
1
3 4 4
C41
3 4
1
1
2
1
3 4
2C43
3 4
3
1
3 4
当n=1时，可以得到两 点分布的分布列如右 表：
X
0
1
P 1 p p
两点分布是一种特殊的二项分布，即是n=1的二项分布； 二项分布可以看做两点分布的一般形式.
典例解析
例1 将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求:
(1) 恰好出现5次正面朝上的概率；
(2) 正面朝上出现的频率在[0.4, 0.6]内的概率.
Cnk pk qnk
C
n n
p
nq
0
此时称随机变量X服从二项分布，记作 X~B(n,p),并称p为成功概率。
追问 二项分布和两点分布有什么联系？
二项分布
108
0.30
(2)在10次射击中,至少8次击中目标的概率为
P X 8 P X 8 P X 9 P X 10
8 C10 0.88 1 0.8 108 9 C10 0.89 1 0.8 10 9 10 C10 0.810 1 0.8 1010
一、 n次独立重复试验
在相同条件下重复做的n次试验，各次试验的结 果相互独立，称为n 次独立重复试验
特点:
1).每次试验是在同样的条件下进行的; 2).各次试验中的事件是相互独立的 3).每次试验都只有两种结果:A发生与不发生 4).每次试验,某事件A发生的概率是相同的. 5).每次试验，某事件发生的次数是可以列举的。
P X k C p 1 p
k n k nk
, k 0,1,..., n
公式理解
一次试验中事件 A 发 生的概率
一次试验中事件A 发生的概率
P ( X k ) C p (1 p)
k n k
nk
（其中k = 0，1，2，·，n ） · · 试验总次数
独立重复试验与二项分布
高二数学组 ----------齐艳
复习引入
前面我们学习了互斥事件、 相互独立事件， 这些都是我 们在具体求概率时需要考虑的一些模型， 吻合模型用公式去 求概率简便. ⑴ P ( A B) P ( A) P ( B) （当 A与B 互斥时） ； ⑵ P ( AB ) P ( A) P ( B ) （当 A与B 相互独立时） 那么这节课来学习一个新的模型-----n 次独立重复试验与 二项分布
事件 A 发生的次数
探究三
三、二项分布
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例说二项分布概率模型的构建
概率的计算、离散型随机变量的分布列和数学期望的计算等内容都是考查实
践能力的极好素材．由于中学数学中所学习的概率内容是这一数学分支中最基础
的内容，考虑到教学实际和学生的生活实际，高考对这部分内容的考查贴近考生
生活，注重考查基础知识和基本方法．随机变量是高考的必考内容．其中离散型
随机变量的分布列、期望与方差是热点．题型以解答题为主，以选择题、填空题
为辅． 二项分布是应用最为广泛的离散型随机变量概率模型，在近几年高考中
属于热点内容，特别是在求离散型随机变量及其分布列的问题中既是重点，也是
难点．但如何把一个实际应用问题转化、抽象为二项分布模型却是一个难点，下
面结合实际问题进行分析总结：
1．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，
移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是．那么质点P 移
动5次后位于点的概率为
（A） （B） （C） （D）
分析：第一，我们把质点移动一次记为事件A，它向右移动一次就认为事件
A发生，它向上移动一次就认为事件发生，且P(A)= ；
第二，质点P 移动5次可认进行了5次试验，质点向右移动了2次可认为
事件A发生了2次．
因此质点P 移动5次后位于点的概率为．
2．某篮运动员在三分线投球的命中率是，他投球10次，恰好投进3个球
的概率是____________．
分析：第一，我们把一次三分线投球记为事件A，如果投进就认为事件A发
生，否则就认为事件发生，且P(A)= ；
第二，投球10次可认为进行了10次试验，恰好投进3个球可认为事件A
发生了3次．
因此10次三分线投球中恰投进3个球的概率为．
3．某气象站天气预报的准确率为，求5次预报中恰有2次准确的概率?
分析：第一，我们把一次天气预报记为事件A，如果预报准确就认为事件A
发生，否则就认为事件发生，且P(A)= ；
第二，次预报可认为进行了5次试验，恰有2次准确可认为事件A发生了
2次．
因此次预报中恰有次准确的概率为
．
4．9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为
，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种
子都没发芽，则这个坑需要补种求3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率?
分析：第一，我们把一个坑是否需要补种记为事件A，如果某坑的不需要补
种就认为事件A发生，否则就认为事件发生，且P(A)=；
第二，把种子种在3个坑内可认为进行了3次重复试验，恰有1个坑不需
要补种可认为事件A发生1次．
因此3个坑恰有1个坑不需要补种的概率为．
5．一本20页的小册子，其中共有4个错误，每个错误等可能地出现在每一
页上，试求在指定的一页上恰好有两个错误的概率?
分析：第一，我们把一个错误是否在指定页上记为事件A，如果在该指定页
上就认为事件A发生，否则就认为事件发生，且P(A)= ；
第二，有4个错误可认为进行了4次试验，在指定页有2处错误可认为事
件A发生了2次．
因此在指定页上恰好有两个错误的概率为=．
6．已知mL水中含有N个大肠杆菌，现从中任取出1L水，问取出的1L水
中恰好含有r个大肠杆菌的概率是多少?
分析：第一，我们把一个大肠杆菌是否在取出的1L水中记为事件A，如果该
大肠杆菌在该升水中就认为事件A发生，否则就认为事件不发生，且P(A)= ；
第二，有N个大肠杆菌可认为进行了N次重复试验，1L水中恰好含有r个
大肠杆菌可认为事件A发生了r次．
因此取出的1L水中恰好含有r个大肠杆菌的概率是．
通过对以上题目的分析我们不难发现，某一重复试验是否服从二项分布应从
两个方面考虑：
第一，每次试验都只有两种结果，即和两个，而且事件发生的概率为
P，事件发生概率为1-P；比如质点向上与向右的移动、篮球投中与否、天气
预报准确与否、某坑需补种与否、研究对象指定位置与否等；
第二， 试验可以独立重复地进行，即每重复作一次该试验，事件发生的
概率都是同一常数P，事件发生的概率都是同一常数1-P．
因此具备以上两个条件的试验，在n次独立重复试验中，事件恰好发生k
次的概率是：
．
综上所述，对于实际应用题，能否用二项分布概率模型来求解的关键是能否
构造出符合以上两个条件的试验．