数学与应用数学专业2002级函授本科毕业论文参考题目
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数学与应用数学专业毕业论文参考题目 (精选)
数学与应用数学专业毕业论文参考题目论文指导：选题，排版、大纲、查重QQ：951232671A、1、极限思想的产生和发展；2、利用泰勒展式求函数极限；3、数列极限和函数极限；4、求函数极限的方法；5、等价无穷小求函数极限；6、求二重极限的方法；7、三角函数的极值求法；8、有界非连续函数可积的条件；9、正项级数收敛的判别方法；10、Riemann可积条件探究；11、凸函数的几个等价定义；12、函数的本质探讨；13、数学概念的探究教学法；14、学习《数学分析》的读书报告。
15、用复数证明几何问题；16、用复数证明代数问题；17、解析函数展开成幂级数的方法分析；18、解析函数展开成罗伦级数的方法分析；19、利用残数定理计算一类实积分；20、利用对数残数计算复积分；21、利用辐角原理确定一类方程根的范围；22、学习《复变函数论》的读书报告。
23、采用某某教学方法对试验班的成绩影响（利用假设检验分析试验班的成绩显著水平）；24、概率统计在教学管理中的应用；25、利用假设检验分析班级成绩的显著水平；26、有理数域上多项式不可约的判定；27、利用行列式分解因式。
28、n阶矩阵可对角化的条件；29、有理数域上多项式的因式分解；30、矩阵在解线性方程组中的应用；31、行列式的计算；32、求极值的若干方法；33、数形结合法在初等数学中的应用；34、反例在中学数学教学中的作用；35、生成函数证明递归问题；36、一类组合恒等式的证明；37、一个组合恒等式的推广；38、常生成函数的几个应用；39、指数生成函数的几个应用；40、学习《组合数学》的读书报告；41、学习《离散数学》的读书报告；42、论数学史的教育价值43、学习《常微分方程》的读书报告；44、中学生数学学习目的及学习现壮的调查分析；45、数学优秀生（或后进生）家庭内外状况的分析；46、中学生数学学习习惯和学习状况的调查分析；47、如何通过平面几何教学提高学生逻辑思维能力；48、中学生的数学创新思维的培养；49、在中学数学教学中渗透数学史的教育。
应用文之应用数学毕业论文选题
应用数学毕业论文选题【篇一：数学与应用数学毕业论文题目】数学毕业论文题目1、数学中的研究性学习2、数字危机3、中学数学中的化归方法4、高斯分布的启示5、a2+b2≧2ab的变形推广及应用6、网络优化7、泰勒公式及其应用8、浅谈中学数学中的反证法9、数学选择题的利和弊10、浅谈计算机辅助数学教学11、论研究性学习12、浅谈发展数学思维的学习方法13、关于整系数多项式有理根的几个定理及求解方法14、数学教学中课堂提问的误区与对策15、中学数学教学中的创造性思维的培养16、浅谈数学教学中的“问题情境”17、市场经济中的蛛网模型18、中学数学教学设计前期分析的研究19、数学课堂差异教学20、浅谈线性变换的对角化问题21、圆锥曲线的性质及推广应用22、经济问题中的概率统计模型及应用23、通过逻辑趣题学推理24、直觉思维的训练和培养25、用高等数学知识解初等数学题26、浅谈数学中的变形技巧27、浅谈平均值不等式的应用28、浅谈高中立体几何的入门学习29、数形结合思想30、关于连通性的两个习题31、从赌博和概率到抽奖陷阱中的数学32、情感在数学教学中的作用33、因材施教因性施教34、关于抽象函数的若干问题35、创新教育背景下的数学教学36、实数基本理论的一些探讨37、论数学教学中的心理环境38、以数学教学为例谈谈课堂提问的设计原则39、不等式证明的若干方法40、试论数学中的美41、数学教育与美育42、数学问题情境的创设43、略谈创新思维44、随机变量列的收敛性及其相互关系45、数字新闻中数学应用46、微积分学的发展史47、利用几何知识求函数最值48、数学评价应用举例49、数学思维批判性50、让阅读走进数学课堂51、开放式数学教学52、浅谈中学数列中的探索性问题53、论数学史的教育价值54、思维与智慧的共享--从建构主义到讨论法教学55、微分方程组中的若干问题56、由“唯分是举”浅谈考试改革57、随机变量与可测函数58、二阶变系数齐次微分方程的求解问题59、一种函数方程的解法60、积分中值定理的推广及其应用对原函数存在条件的试探分块矩阵的若干初等运算函数图像中的对称性问题泰勒公式及其应用微分中值定理的证明和应用一元六次方程的矩阵解法数学分析’对中学数学的指导作用“1”的妙用“数形结合”在解题中的应用“数学化”及其在数学教学中的实施“一题多解与一题多变”在培养学生思维能力中的应用《几何画板》与数学教学《几何画板》在圆锥曲线中的应用举例cauchy中值定理的证明及应用dijkstra最短路径算法的一点优化和改进hamilton图的一个充分条件holder不等式的推广与应用n阶矩阵m次方幂的计算及其应用r积分和l积分的联系与区别schwarz积分不等式的证明与应用taylor公式的几种证明及若干应用taylor公式的若干应用taylor公式的应用taylor公式的证明及其应用vandermonde行列式的应用及推广艾滋病传播的微分方程模型把数学和生活融合起来伴随矩阵的秩和特殊值保持函数凸性的几种变换变量代换在数学中的应用不变子空间与若当标准型之间的关系不等式的几种证明方法及简单应用不等式的证明方法探索不等式证明的若干方法不等式证明中导数有关应用不同型余项泰勒公式的证明与应用猜想，探求，论证彩票中的数学常微分方程的新的可解类型常微分方程在一类函数项级数求和中的应用抽奖活动的概率问题抽屉原理及其应用抽屉原理及其应用抽屉原理思维方式的若干应用初等变换在数论中的应用初等数学命题推广的几种方式传染病模型及其应用从趣味问题剖析概率统计的解题技巧从双曲线到双曲面的若干性质推广从统一方程看抛物线、椭圆和双曲线的关系存贮模型的若干讨论带peano余项的泰勒公式及其应用单调有界定理及其应用导数的另外两个定义及其应用导数在不等式证明中的应用导数在不等式证明中的应用导数在不等式证明中的应用等价无穷小在求函数极限中的应用及推广迪克斯特拉(dijkstra)算法及其改进第二积分中值定理“中间点”的性态对均值不等式的探讨对数学教学中开放题的探讨对数学教学中开放题使用的几点思考对现行较普遍的彩票发行方案的讨论对一定理证明过程的感想对一类递推数列收敛性的讨论多扇图和多轮图的生成树计数多维背包问题的扰动修复多项式不可约的判别方法及应用多元函数的极值多元函数的极值及其应用多元函数的极值及其应用多元函数的极值问题多元函数极值问题二次曲线方程的化简二元函数的单调性及其应用二元函数的极值存在的判别方法二元函数极限不存在性之研究反对称矩阵与正交矩阵、对角形矩阵的关系反循环矩阵和分块对称反循环矩阵范德蒙行列式的一些应用方差思想在中学数学中的应用及探讨方阵a的伴随矩阵放缩法及其应用分块矩阵的应用分块矩阵行列式计算的若干方法分析近年三角各种题型，提高学生三角问题解决能力分形几何进入高中数学课程的尝试辅助函数的应用辅助函数在数学分析中的应用辅助元法在中学数学中的应用复合函数的可测性概率的趣味应用概率方法在其他数学问题中的应用概率论的发展简介及其在生活中的若干应用概率论在彩票中的应用概率统计在彩票中的应用概率统计在实际生活中的应用概率在点名机制中的应用概率在中学数学中的应用高等几何知识对初等几何的指导作用高等数学在不等式证明中的应用高观点下的中学数学高阶等差数列的通项，前n项和公式的探讨及应用高中数学教学中的类比推理高中数学开放题及其编制问题高中数学实践“问题解决”的几点思考高中数学研究性学习的课题选择高中数学研究性学习教学及其设计给定点集最小覆盖快速近似算法的进一步研究及其应用构建数学建模意识培养创新思维构造的艺术关联矩阵的一些性质及其应用关于2004年全国高教杯大学生数学建模竞赛题的探究与拓展关于2循环矩阵的特征值关于gauss整数环及其推广关于g-循环矩阵的逆矩阵关于不等式在中学的选修的处理关于不等式证明的高等数学方法关于传染病模型的建立与分析关于二重极限的若干计算方法关于反函数问题的讨论【篇二：数学与应用数学专业毕业论文参考题目】数学与应用数学专业毕业论文参考题目a、1、极限思想的产生和发展；2、利用泰勒展式求函数极限；3、数列极限和函数极限的统一；4、求函数极限的方法；5、等价无穷小求函数极限；6、求二重极限的方法；7、三角函数的极值求法；8、有界非连续函数可积的条件；9、正项级数收敛的判别方法；10、riemann可积条件探究；11、凸函数的几个等价定义；12、函数的本质探讨；13、数学概念的探究教学法；14、学习《数学分析》的读书报告。
数学与应用数学论文题目大全
数学与应用数学论文题目大全一、基础数学1.数学中的无穷概念与应用2.导数与微积分的几何解释3.二次函数的图像与性质4.对数函数的特征与应用5.平方根与立方根的计算方法探究6.三角函数的周期性及性质研究7.概率论在数学中的应用分析8.线性代数与矩阵的相关性研究9.复数在数学中的意义与应用10.数列与级数的收敛性分析二、数学建模1.流体力学中的数学建模与仿真2.数学模型在交通流量预测中的应用研究3.数学模型在金融风险管理中的应用探究4.环境污染问题中的数据分析与模型建立5.数学模型在生物医学领域的应用案例研究6.数学模型在社交网络分析中的应用研究7.网络安全中的数学建模与算法优化8.经济增长模型的构建与分析9.数学模型在供应链管理中的应用研究10.数学模型在能源消耗预测中的应用探索三、计算数学1.数值计算方法在微分方程求解中的应用研究2.迭代算法在非线性方程求解中的效率与收敛性分析3.高维数据处理中的降维算法优化4.近似计算方法在图像压缩中的应用研究5.数据挖掘与机器学习在计算数学中的应用案例6.高性能计算与并行算法的设计与优化7.数值优化方法在工程设计中的应用探讨8.数值计算方法在信号处理中的应用案例分析9.数学模型与算法在大数据分析中的应用研究10.计算数学中的随机算法与蒙特卡洛模拟四、几何与拓扑1.空间几何中的曲面与曲线性质研究2.超立方体的几何性质及其拓扑应用3.二维与三维空间中的投影几何学研究4.结点映射在拓扑学中的应用与分析5.曲面曲率的计算与几何解释6.线性空间与向量空间的拓扑性质研究7.多面体几何学在图形处理中的应用研究8.超几何的拓扑性质及其应用案例分析9.流形理论在数据降维中的应用研究10.曲线与曲面在计算机图形学中的应用探索五、概率论与数理统计1.随机过程在金融风险管理中的应用研究2.概率论模型在生物统计学中的应用案例分析3.置信区间估计方法的比较与应用研究4.大样本理论与统计推断中的相关性分析5.贝叶斯统计在机器学习中的应用研究6.统计模型在生态学研究中的应用案例探索7.时间序列分析方法在经济预测中的应用研究8.因子分析与聚类分析在数据挖掘中的应用探讨9.非参数统计方法在假设检验中的应用案例研究10.多元统计分析在社会调查中的应用与分析以上是数学与应用数学领域中的一些研究方向和题目，希望能够为研究者提供一些思路和参考。
数学应用数学本科毕业论文参考题目
数学应用数学本科毕业论文参考题目1、对数学教学中分层教学的体验和看法2、数学教学中培养学生创新能力浅论3、案例分析:由《立方根》的情景引入所想到的4、浅谈七年级学生数学学习习惯培养策略5、初中数学作业中出现的错误问题及策略6、课堂上如何培养初中学生解决问题的能力7、如何培养初中生的数学探究能力8、浅谈中学数学的函数学习9、现代教育技术在数学教学中的运用10、初中数学课堂情境探究式教学模式的运用探索11、数学教学中良好个性心理品质的培养12、浅谈初中数学学困生的成因及转化策略13、绝对值不等式的解法14、论初中生在数学教学中的数学体验15、主题式教学在初中数学中的应用16、试论如何提高学生代数运算能力17、在数学概念教学中实施“局部探究”的实践18、例谈中学教学的“教与学”19、运用发现法教学,培养学生创新能力20、实践自主学习,促进自主发展1、新课导入环节存在的问题及成因分析2、数学教学目标制定应考虑的几对辩证关系3、提高分层教学实效促进全体学生发展4、初中生数学问题解决观的现状及其分析5、化归思想在数学教学中的应用6、初中生数学学习方式和学习负担的调查分析7、运用数学建模思想提高中学数学教育质量8、人教版和华师版反比例函数编排的比较与探讨9、有效教学的灵魂是以生为本--切线长定理教学案例与分析10、浅谈初中生数学建模能力的培养11、如何培养农村初中学生的数学学习兴趣12、基于学生几何认知水平的教学目标设计探讨13、中考复习导学案设计的实践与思考14、数形结合话三角--三角函数在中考试题中的应用举例15、数形结合在初中数学解题中的应用16、对新课程数学教学中初三复习课的几点思考17、初中数学学案教学教师适应性调查研究18、微课程在初中数学课堂中的功能性研究19、加强初中数学思想方法教学的策略20、试分析新课改下中学数学教学的有效模式1、数学概念教学中有效提问的量化研究2、大、中学数学教学衔接问题的研究综述3、高中数学课程标准下选修课“数学史选讲”教学研究4、普通高中数学课程标准与教学大纲课程编制的对比研究5、新课标下大学概率统计教学与中学数学教学内容的衔接探讨6、让数学文化走进课堂7、高中学生数学建模能力与数学学业成绩关系的调查与分析8、高等数学与新课标下高中数学教学内容对接的研究9、高一数学教学中如何解决好初高中衔接问题10、浅析高中数学生成性课堂的构建策略11、论数学文化视角下的中学数学课堂教学12、高等数学与高中数学衔接改革的研究13、高考数学应用题的特点与启示14、浅谈高中数学导学案教学中存在的问题及对策15、数学课程发展的趋势与思考16、浅议向量在高考数学中的应用17、《函数的概念》教学设计中存在的问题及其解决--兼评网上教学设计18、实施分组分层教学,提高课堂教学效率19、培养反思思维习惯促进创新能力提高感谢您的阅读，祝您生活愉快。
数学与应用数学专业毕业论文题目精选
在20世纪，尤其是近70年以来，人类在科学与技术的各个领域都取得了比以往任何时期更大的成就。
回忆这段科技开展的历程，人们可以发现应用数学和电子计算机在其中所起的关键作用。
如今，数学已成为所有科技和一切学问的根底。
在未来，应用数学的开展必将处于更根本和重要的地位。
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数学与应用数学专业毕业论文题目一：1、初中生利用数学解决实际问题的教学研究2、初中生应用题“懂而不会〞现象的原因分析与对策研究3、高中物理教学培养学生应用数学能力的方法与实践4、数学与数学文化对人类文明开展的作用5、数学史在高中数列教学中的应用探究6、高中生数学应用意识与应用能力培养7、数学思想对高中解析几何学习影响的研究8、高职院校工科学生数学应用意识及其培养研究9、高中数学教学渗透物理知识现状的调查研究10、应用数学模型评价Ⅱ类错〔牙合〕功能矫治后软硬组织的改变11、初中数学应用意识和能力的研究12、新课标数学中考的开展趋势13、培养中职生数学应用意识的教学对策研究14、高中数学应用题教学的调查和研究15、高师院校数学与应用数学专业学生数学文化素养的现状调查与分析16、高师院校数学与应用数学专业学生数学认识信念的调查分析17、数学史在中职数学教学中的应用研究18、职业学校数学教师关于教学中应用数学史的调查研究19、初中数学教学中数学史应用开发研究20、数理经济学史研究21、高中数学课程价值取向研究22、科学个案研究与中国科学观的开展23、审计判断研究24、数学建模的认知机制及其教学策略研究25、钱伟长治学理念及教育思想初探26、力学期刊群的内外关系与学科结构27、高师院校数学教师多元化、分层次培养方案设计与研究28、数学实验的历史考察与理论研究29、日本中小学数学综合学习研究30、高中开展数学建模活动的实验研究31、新课程标准视野下的数学建模研究32、中等职业学校数学应用教学模式研究33、培养中专生应用数学意识的研究34、新课程在初中数学教学实施中的几点体会35、将数学建模融入高中日常教学的实践研究数学与应用数学专业毕业论文题目二：36、基于“三环节〞模式的教学设计研究37、培养初中生数学应用能力的教学研究38、师范生的培养研究39、中美高中数学教材的数学应用水平的比拟研究40、数学史在高中数学课堂教学中的应用研究---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------感谢您使用本套资料，您可以根据您的风格和实际情况对本套资料做相应的修改，这样才能变成属于您的东西，切勿完全照抄照搬哦，这样就失去了本套资料存在的初心，相信您在工作和学习路上会一路高歌，完成您最初的梦想。
数学与应用数学专业毕业论文参考选题
基于新课程理念的数学探究学习实施策略
数学课程改革及教师角色的转变
多媒体技术在现代教学领域中的应用
关于高等数学中极限思想的硏究
重视直观性教学法在数学教学中的应用
谈解题能力的培养及提高
微积分中的化归方法
一个投资问题的数学模型
数学中的问题解决
初中数学课件制作
Bayes方法在经营决策中的应用.
数学习题教学策略研究
浅谈构造法在中学数学中的应用
中学数学教育中高等数学思想方法的渗透
新教材中“人文精神”的分析及其教学策略
新课程改革下的数学及教师教育观念更新初探
高师数学教育如何适应基础教育新课程改革
同余理论在数学竞赛中的应用
概率论的发展简介及其在生活中的若干应用
论数学教师的修养
求随机函数的分布函数和分布密度的方法
经济学中的数学模型(可选其中一种数学问题研究)
不定方程解法研究(可选择一种不定方程研究)
解析几何中曲面方程的建立
多项式或数的整除性的研究
不定积分方法探讨(提出一种新颖的积分方法)
不等式证明方法探讨
函数性态在证明不等式方面的应用
关于 次单位根的性质及应用的研究
比较法在数学教学中的应用
数学教学中创新意识的培养
浅谈班主任工作艺术
浅论高校学生干部素质
数学教学中的语言艺术
对当前大学生失业原因的分析及对策
漫谈“距离”
比较“有效数字”的几种不同定义
逼近思想的运用
非智力因素在数学教学中的作用
创新思想在数学教学中的渗透
马氏链在循环赛中的应用
混和策略最优解的存在性
闭回路的存在性及唯一性研究
怎样从高等数学角度认识初等数学
数学与应用数学本科毕业范文范德蒙行列式及其应用
本科毕业论文论文题目：范德蒙行列式及其应用学生姓名：学号：专业：数学与应用数学指导教师：学院：年月日毕业论文（设计）内容介绍目录中文摘要 (1)英文摘要 (1)一、引言 (2)二、范德蒙行列式定义及性质 (2)三、范德蒙行列式的应用 (3)（一）范德蒙行列式在多项式理论中的应用 (3)（二）范德蒙行列式对整除问题的应用 (5)（三）范德蒙行列式在矩阵的特征值与特征向量中的应用 (6)（四）范德蒙行列式在向量空间理论中的应用 (7)（五）范德蒙行列式在线性变换理论中的应用 (8)（六）范德蒙行列式在微积分中的应用 (10)（七）范德蒙行列式在求解行列式中的应用 (13)参考文献 (16)范德蒙行列式及其应用摘要:行列式最早出现在16世纪关于线性方程组的求解问题中，时至今日行列式理论的应用却远不如此.它主要应用于高等代数理论，作为一种特殊的行列式——范德蒙行列式不仅具有特殊的形式，而且有非常广泛的应用.本文主要探讨范德蒙行列式在向量空间理论，线性变化理论，多项式理论中以及行列式计算中的应用.关键词:范德蒙行列式；线性变换；多项式Application of Vandermonde’s DeterminantAbstrac t：The determinant appeared at the earliest which was used to solve the problem concerning the liner equations in 16 centuries,but the days up to now the theoretical in determinant was far used in lots of domains.Vandermonde’s determinant is regarded an a kind of special determinant,which not only have the special form but also have the extensive application.The article inquired into the Vandermonde’s determinant in vector space, linear transformation,polynomial theories and determinant’s calculation of application. Keywords:Vandermonde’sDeterminant;vectorspace;lineartransformation,polynomial theories; determinant’s calculation of application.一 引言在高等代数中，行列式计算及其相关的证明是一个重点，也是难点.它最早出现在线性方程组的求解问题中，时至今日，行列式理论的应用越来越广泛，它是后期学习和应用线性方程组，向量空间，矩阵和线性变换的基础.正确而快速的解决行列式问题是其他一切工作的前提，也是科研工作中最为关键的一步.行列式的计算有一定的规律性和技巧性，掌握行列式的规律性有助于我们高效准确的解决科研工作中遇到的行列式问题.而范德蒙行列式是一种重要的行列式，在行列式计算中可以把一些特殊的或者是类似于范德蒙行列式的行列式转化为范德蒙行列式进行计算.由于范德蒙行列式有着独特的构造和优美的形式而被广大科研工作者广泛的应用，因而成为一个著名的行列式.二 范德蒙行列式定义及性质1. 范德蒙行列式的定义形如12222121111211 (1)n nn n n nx x x x x x x x x ---的行列式，称为1x ,2x ,…n x 的n 阶范德蒙行列式，记作 n V （1x ,2x ,…n x ）.下面以递推法为例介绍范德蒙行列式的计算n V （1x ,2x ,…n x ）=21311222221331111111122133111111000n n n n n n n n n n n x x x x x xx xx x x x x x x x x x x x x x x x ---------------=2131122133112222213311()()()()()()n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ------------=21()x x -31()x x -…1()n x x -n-1V （2x ,…n x ）.仿上做法有n-1V （2x ,…n x ）=3242223()()n n n x x V x x --（x -x ）(x -x ).再递推下直到11V =，故n V （1x ,2x ,…n x ）=21()x x -31()x x -…1()n x x -.32422()n x x -（x -x ）(x -x )(1n n x x --).1=1i j j i nx x ≤<≤-∏. 有以上的计算易得，定理1 n 阶范德蒙行列式n V （1x ,2x ,…n x ）=12222121111211...1n nn n n nx x x x x x x x x ---=∏(i j x x -). 有这个结果立即得出定理2 n 阶范德蒙行列式为零的充分必要条件是1x ,2x ,…n x 这n 个数中至少有两个相等.三 范德蒙行列式的应用范德蒙行列式由于其独特的构造和优美的形式，而有着广泛的应用.下面将集中说明范德蒙行列式在行列式计算和证明及在微积分计算中的应用，并对范德蒙行列式在线性空间理论，线性变换理论，多项式理论中的应用作出探讨.（一） 范德蒙行列式在多项式理论中的应用在多项式理论中，涉及到求根问题的有许多.在分析有些问题时，范德蒙行列式能够起到关键作用的，若能够熟练有效地运用范德蒙行列式，则对我们最终解决问题会有直接的帮助.例1 证明一个n 次多项式在至多有n 个互异根. 证 不妨设n>0, 如果 f(x)=2012n n a a x a x a x ++++有n+1个互异的零点1x ,2x ,…n x ，1n x +，则有()i f x =22012=0i n+i i n i a a x a x a x ++++≤≤，11即 201121120222222012110,0,.......................0.n n nn n n n n n n a a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x +++⎧++++=⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩这个关于01,,...n a a a 的齐次线性方程组的系数行列式是范德蒙行列式211122222111111nn n n n n x x x x x x x x x +++=∏(i j x x -)≠0.因此010n a a a ====，这个矛盾表明 ，f （x ）至多有n 个互异根. 例2 设12,,n a a a 是数域F 中互不相同的数，12,,n b b b 是数域F 中任一组给定的不全为零的数，则存在唯一的数域F 上次数小于n 的多项式()f x ，使(),1,2,i i f a b i n ==.证明 ：设()1011n n f x c c x c x --=+++，有条件得，(),1,2,i i f a b i n ==.知101111110121221011,,.n n n n n n n n n c c a c a b c c a c a b c c a c a b ------⎧+++=⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩因为12,,n a a a 互不相同，所以，方程组的系数行列式()21111212221211101n n ji i j nn nnna a a a a a D aa a a a --≤<≤-==-≠∏.则方程组有唯一解，即唯一解小于n 的多项式，使得()1011n n f x c c x c x --=+++，使得(),1,2,i i f a b i n ==.例 3 证明：对平面上n 个点()()()12,1,,,i i n a b i n a a a ≤≤互不相等，必存在唯一的一个次数不超过n-1的多项式()f x 通过该n 个点()(),1i i a b i n ≤≤，即()i i f a b =()1i n ≤≤.证明： 设()12121n n n n f x c x c x c x c ---=++++，要使()i i f a b =()1i n ≤≤，即满足关于12,,,n c c c 的线性方程组：12111211112212221212121,,.n n n n n n n n n n n n n n n n a c a c a c c b a c a c a c c b a c a c a c c b ---------⎧++++=⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩，而该方程组的系数行列式为范德蒙行列式：121111222212111121111n n n n n n n n n n n n nn a a a a a a D a a a a a a -----------=.当12,,,n a a a 互不相等时该行列式不为零，由Cramer 定理知方程组有唯一解，即对平面上n 个点()()()12,1,,,i i n a b i n a a a ≤≤互不相等，必存在唯一的一个次数不超过n-1的多项式()f x 通过该n 个点.（二） 范德蒙行列式对整除问题的应用多项式的根与整除性是密切相关的，所以有时候可以用范德蒙行列式的性质讨论某些多项式或者整数的整除题. 例4 设121(),(),(),n f x f x f x -是n-1个复系数多项式，满足 11n x x ++++2121()()()n n n n n f x xf x x f x --+++,证明121(1)(1)(1)0n f f f -====.证 设2121()()()n n n n n f x xf x x f x --+++=1()(1)n p x x x -+++，取22cossini n nππω=+，分别以21,,,n x ωωω-=代入，可得 212122(2)1211(1)(2)121(1)(1)(1)0,(1)(1)(1)0,(1)(1)(1)0.n n n n n n n n f f f f f f f f f ωωωωωω--------⎧+++=⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 这个关于1(1)f ，2(1)f ，1(1)n f -的齐次线性方程组的系数行列式，因此21(,,,)0n V ωωω-=.例5 设12,,n a a a 是正整数，证明()12,,n V a a a 能被()()2121221n n n n ----整除.证明 由()()()111222111111n nn n a a a a aa I aa a --=-1!2!!n =111222112111211121n n n a a a n a a a n a a a n ---. 知()12,,n V a a a 能被1!2!!n =()()2121221n n n n ----整除.（三） 范德蒙行列式在矩阵的特征值与特征向量中的应用例 6 A 是3阶方阵，A 有3个不同的特征值123,,,l l l ，对应的特征向量依次为123,,,a a a 令123b a a a =++.证明：2,,b Ab A b 线性无关.证 21231123()k b k Ab k A b k a a a ++=++22221122333112233()()k l a l a l a k l a l a l a ++++++=222121311222322333333()()()k k l k l a k k l k l a k k l k l a ++++++++=0.123,,a a a 线性无关，故有2111222223331101l l k l l k l l k ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由于i j l l ≠，则0A ≠，所以方程组只有零解， 即2,,b Ab A b 线性无关.例 7 设A 是n 阶矩阵，证明A 的属于不同特征值的特征向量线性无关. 证明：设12,,r λλλ是A 的两两不同的r 个特征值，非零向量12,,r ααα是其相应的特征向量，即r i r A αλα=，1i r ≤≤，假设11220r r x x x ααα+++=那么，()11220,11j r r A x x x j r ααα+++=≤≤-，即()1110r r rjjj i i i i i i i i i i A x x A x ααλα===⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑∑.由于其系数行列式()12,,0r V λλλ≠，故11220r r x x x ααα====，又0i α≠于是，0i x =，这证明了12,,r ααα线性无关.（四） 范德蒙行列式在向量空间理论中的应用在向量空间理论中，我们常常会遇到需要用范德蒙行列式转化问题，通过转化，我们很容易就能得到需要的结论. 例8 设12,,,n t t t 是互不相同的实数，证明向量组21(1,,,)n i i i i a t t t -=，i=1,2,…n,n 是n 维向量空间的一组基.证 令21111121222221111n n n n nnn a t t t a t t t A a t t t ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为12,,,n t t t 是互不相同的实数，所以0T A A =≠，则12,,,n a a a 线性无关.例 9 设V 是数域F 上的n 维向量空间，任给正整数n m ≤，则在V 中存在m 个向量，其中任取n 个向量都线性无关.证明：因为n V F ≅，所以只需在n F 中考虑即可. 取()2111,2,2,,2n α-=，()()()2222121,2,2,2n α-=，()()()211,2,2,2mmm n m α-=，令()()()()()()111222212121122212221222nnnk k k n k k k n n k k k n D ---=，121n k k k m ≤≤≤≤≤，()()()()()()111222212121122212221222n nnk k k n k k k n n k k k n D ---=是范德蒙行列式，且0n D ≠，所以12,,,n k k k ααα线性无关.例 10 设V 是数域F 上的n 维向量空间，则V 的有限个真子空间不能覆盖V.证明：当n=1时，显然成立.设n>1时，令12,,,n ααα是V 的一个基，设}{112n n n S k k k F V ααα-=+++∣∈⊂，其中，n F 为F 中元素之集合.令112:,n n n F S k e ke k e ϕ-→→+++，12,,,n e e e 为单位向量.则易证ϕ是双射，从而S 中有无穷多个不同的元素.设,1,2,i V i t =为V 的真子空间，则S 中的元素在i V 中的个数小于n,否则，若,1,2,j i V j n β∈=111121112,.n n n nn n n k k k k βαααβααα--⎧=+++⎪⎨⎪=+++⎩则由,,1,2,,,i j k k i j n i j ≠=≠，知系数行列式为非零的范德蒙行列式，故有,1,2,,j k V j n α∈=，进而,1,2,i V V i t ==矛盾.从而S 中只有有限多个元素在1ti i V =中，而S 中有无穷多个元素，所以存在x S ∈，但1,ti i x V =∉即V 的有限个真子空间不能覆盖其自身.（五） 范德蒙行列式在线性变换理论中的应用在高等代数的学习中，线性变换一直是一个重点，也是难点，题目的变化也比较多，在有些题目中，我们可以巧妙地利用范德蒙行列式来解决这类题目. 例11 如果12,,,s λλλ是线性变换的全部两两不同的特征值，(1,2,,)i i V s λα∈，则当120s ααα+++=时，必有12s ====0ααα.证明 注意到(1)I i i i s αλαΛ=≤≤，对等式120s ααα+++=两边逐次作用，得112222211221111220,0,0.s s s ss s s s s λαλαλαλαλαλαλαλαλα---+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 用矩阵表示为()()111122121110,0,,01s s s s s s λλλλαααλλ---⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(1)矩阵1111221111s s s s s B λλλλλλ---⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的行列式是范德蒙行列式，由于12,,,s λλλ两两不同，从而B 是可逆矩阵.在(1)式两边右乘1B -， 得12s ====0ααα.例12 数域F 上的n 维向量V 的线性变换σ有n 个互异的特征值12,,n λλλ，则1） 与σ可交换的V 的线性变换都是21,,,n e σσσ-的线性组合，这里e 为恒等变换.2）21,,,,n V αασασασα-∀∈线性无关的充要条件为1,ni i αα==∑这里()i i i σααλ=，1,2,i n =证明：1）设δ是与σ可交换的线性变换，且(),1,2,,i i i i n σαλα==则 }{i i V k k F λα=⎪∈是δ的不变子空间.令21121n n xe x x x δσσσ--=++++且(),1,2,,i i i k i n σαα==，则由以下方程组21111211121212221221121,,.n n n n n nn n n n k x x x x k x x x x k x x x x λλλλλλλλλ------⎧=++++⎪=++++⎪⎨⎪⎪=++++⎩ （1）因为方程组（1）的系数行列式是范德蒙行列式，且()1ij j i nD λλ≤<≤=-∏，所以方程组（1）有唯一解，故δ是21,,,n e σσσ-的线性组合.2)充分性因为1ni i αα==∑，所以()()()()111112212111,,,,,,1n n n n nn λλλλασασααααλλ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,并且()111122111101n i j j i nn nn λλλλλλλλ--≤<≤-=-≠∏，所以1111221111n n nn λλλλλλ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦是可逆矩阵，又因为12,,,n ααα是V 的一组基，()()1,,,n ασασα-线性无关.3)必要性 设12,,,n e e e 是分别属于1,,,n λλλ的特征向量，则12,,,n e e e 构成V 的一个基，因而有1122n n k e k e k e α=+++.若0,1,2,i k i n ≠=，则i i k e 是σ的属于i λ的特征向量，故结论成立.若存在}{1,2,,j n ∈，使0j k ≠，不妨设12,,,r k k k 去不为零，而120r r n k k k ++====，因而有1122r r k e k e k e α=+++则()()()()()111111112222212121,,,,,,,,,n n n r r n r r r r r k k k k k k e e e e e e A k k k λλλλασασαλλ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥==•⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 利用范德蒙行列式可知A 有一个r 阶子式不为零，所以秩（A ）=r ，从而()()()1,,,n r ασασα-=,又因为r n <线性无关，所以()()()1,,,n ασασα-线性无关，矛盾.从而1,ni i αα==∑1,2,i n =.（六） 范德蒙行列式在微积分中的应用如果视多项式为实函数，则范德蒙行列式还可以应用到微积分领域.例13 ()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内存在2阶导数，证明a x b <<上有()()()()()1"2f x f a f b f a x a b a f c x b -----=-，这里(),c a b ∈.特别的，存在,(,)c a b ∈，使()()2,()2()"()24b a a bf b f f a f c -+-+=. 证 在[],a b 上构造函数()()()()()22221111y y f y a a f a F x x x f x b b f b =，为范德蒙行列式，则()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内存在2阶导数.因()()()0F a F x F b ===，故有中值定理，存在12a x x x b <<<<，使()()12''0F x F x ==，故再运用一次中值定理，存在()12,c x x ∈，使()''0F c =，即()()()()()''2''22002111f c a a f a F c x x f x b b f b ==0 . 展开行列式即得()()()()()1"2f x f a f b f a x a b a f c x b -----=-. 特别的，取2a bx +=，则有相应的()',c a b ∈，使上式成立，即()()()()212"22a b f f a f b f a a b b a af c a b b +⎛⎫- ⎪-⎝⎭-+--=+-，化简即得()()2,()2()"()24b a a bf b f f a f c -+-+=.反复利用微分中值定理，可以类似的证明下面更一般的结论：设()f x 在[],a b 内存在n-1阶导数，12n a x x x b <<<<=.证明存在(),c a b ∈，使()()()()()111!n ni i i j j if x f c n x x -=≠=--∑∏. 例 14 设()f x 在区间I上n 阶可导()2n ≥，若对()()()()00,,,,n n n x I f x M f x M M M ∀∈≤≤为正常数，证明：存在n-1个正常数121,,,n M M M -使对x I ∀∈，有()()()1,2,1.k k f x M k n ≤=-证明：设121,,n a a a I -∈，且()0,i i j a a a i j ≠≠≠，由泰勒公式，对于1,2,,1i n =-，有()()()()()11!!n xn k ni i i k f f f x a f x a a k n ξ-=+=++∑，有此得 ()()()()()11!!n xn kn i i i k f f a f x a f x a k n ξ-==+--∑， 因此 ()()()()()1012!!!nx n k n i i i n k f f A a f x a f x a M M k n n ξ-=≤+++≤+∑，其中11max ni i n A a ≤<-=，令()()()11,,1,2,,1!x n ki i k f a A x x I i n k -==∈=-∑,则()()02,1,2,,1!i n AA x M M x I i n n ≤+∈=-，由于方程组的系数行列式D 为()()()2311111231222223111112!3!1!2!3!1!2!3!1!n n n n n n n a a a a n a a a a n D a a a a n ---------=-=()211112122212121111111!21!1n n n n n n n a a a a a a a a a n a a a -------=-！，其中后面的行列式为121,,,n a a a -范德蒙行列式，由()i j a a i j ≠≠及0i a ≠知0D ≠，故由克莱姆法则知，存在于X无关的常数()()()()()()121,,k k k n λλλ-，使得：()()()()()11n k k i i i f x A x λ-==∑，(),1,2,,1x I i n ∀∈∀=-，由此推得,1,2,,1x I k n ∀∈∀=-，有()()()()()()()110112!n n k k k i n k i i i i A fx A x M M M n λλ--==⎡⎤≤≤+=⎢⎥⎣⎦∑∑.例15 设函数()f x 在0x =附近有连续的n 阶导数，且()()()()'00,00,,00n f f f ≠≠≠.若121,,,n c c c +为一组两两互异的实数，证明，存在唯一的一组实数121,,,n λλλ+，使得当0h →时，()()110n i i i f c h f λ-=-∑是比n h 高阶的无穷小.证明：由题设条件可得，()()1,2,1i f c h i n =+在0x =处带有皮亚诺型余项的马克劳林展开式：()()()()1100!k k nk nk h c f c h f h k ==+ο∑，()()()()2200!k k nk n k h c f c h f h k ==+ο∑，当0h →时，若()()110n i i i f c h f λ-=-∑为比n h 高阶的无穷小.则121112211222112211112211++=1,++=0,++=0,++=0.n n n n n nn nn n c c c c c c c c c λλλλλλλλλλλλ++++++++⎧⎪+⎪⎪+⎪⎨⎪⎪⎪+⎪⎩ 这是以121,,,n λλλ+为未知数的线性方程组，其系数行列式为：()121222121111211110n n ijj i n nn n n c c c D c c c c c c c c ++≤<≤++==-≠∏.故上述方程组有唯一解，即存在唯一一组实数121,,,n λλλ+，使得当0h →时，()()110n iii f c h f λ-=-∑是比nh高阶的无穷小.（七） 范德蒙行列式在求解行列式中的应用行列式的计算是高等代数的重点内用之一，在一些行列式的求解问题中，常可见到范德蒙行列式的踪影，此时提示我们可利用行列式的性质或拆项，升降等方法，将给定行列式转化为范德蒙行列式的形式，从而利用其结果，求出原行列式的值，恰当灵活的运用范德蒙行列式会大大简化某些复杂行列式的计算.例16 122222221211112111=nn n n n n n n na x a x a x D a x a x a x a x a x a x ---+++++++++.解 将原n 阶行列式升阶为一个n+1阶行列式122222221211112111110000nnn n n n n n na x a x a x D a x a x a x a x a x a x ---+++=++++++. 然后将此n+1阶行列式第一行乘以()1,2,i a i n -=加到第i+1行可得12222212121111n nnnn n na x x x D a x x x a x x x -=--=1222212122111000n nnn n nx x x x x x x x x -12222212121111n nnnn n na x x x a x x x a x x x =()()()121112nn ijiijj i ni j i nx x x x x x a x x ≤≤≤=≤≤≤•----∏∏∏.例 17 设0x y z >>>，试证明:()2221,,0xx yz f x y z y y xz xy yz xzz z xy=<++. 证明：()()()()222222312222xx yz x x yz x y z x x D yy xz c x y z c c y y xz x y z y y zz xyzz xy x y z z z +++-=+++-+++-+++- ()()()()222x x xy yz xzy y xy yz xz xy yz xz y x z x z y zz xy yz xz++=++=++---++故()2221,,x x yzf x y z y y xz xy yz xzzz xy=++=()()()y x z x z y ---. 由已知0x y z >>>，有()0y x -<，()0z y -<，()0z x -<，所以有(),,0f x y z <例18 计算行列式()()()()()()()()()0001010111101n nnn n nnn n nn nn n n n a b a b a b a b a b a b D a b a b a b +++++++=+++解：设01000111101n nn n n n n n n n n nn n n n nC C a C a C C a C aD C C a C a =，01111012111n nn n n n n nb b b b b b D ---=，对2D 进行各行依交换，就可以得到范德蒙行列式，于是()()0010112112112011111111nnn n nn n n nnnnn n nnn a a b b b a a D D D C CC b b b a a ++=•=•-=12n n nnC C C()0ijj i na a ≤<≤-∏()()121n n +-()0ijj i nb b ≤<≤-∏.参考文献[1] 同济大学数学系.线性代数（第五版）.北京：高等教育出版社.2007（9）[2] 北大数学系编.王萼芳等修订.高等代数.第三版.北京:高等教育社.2003(2).[3] 郭大钧等.吉米多维奇数学分析习题集解（第三版）.济南:山东科学技术出版社.2005（3）.[4] 张禾瑞，郝炳新.高等代数[M].北京:高等教育出版社.1999[5] 白述伟.高等代数选讲[M].哈尔滨黑龙江教育出版社.1996.[6] 同济大学.高等代数与解析几何[M].北京:高等教育出版社.2005:223.[7] 刘丽，林谦，韩本三，等.高等代数学习指导与习题解析[M].成都:西南财经大学出版社.2009:39.170.253.[8] 邹应.数学分析习题及其解答[M].武汉:武汉大学出版社.2001:168.169.176.[9] 吴良森，毛羽辉.数学分析习题精解：多变量部分 [M].北京：科学出版社，2005.[10] 毛纲源.线性代数解题方法和技巧[M].武汉：湖南大学出版社.山东师范大学本科毕业论文（设计）题目审批表山东师范大学本科毕业论文（设计）开题报告论文题目：学院名称：专业：学生姓名：学号：指导教师：年月日山东师范大学本科毕业论文（设计）教师指导记录表指导教师意见评阅人意见答辩委员会意见学院学位分委员会意见山东师范大学本科毕业论文（设计）答辩记录表学院：（章）系别：专业：山东师范大学本科毕业论文（设计）摘要学院：专业：班级：山东师范大学本科毕业论文（设计）摘要学院：专业：班级：。
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数学与应用数学专业2002级函授本科毕业论文参考题目1．数学分析中的构造法证题术，参考文献：《数学分析选讲》刘广云编著《数学分析教材》《数学分析方法论一题》刘广云编著2．用微积分理论证明不等式的方法参考文献：同1.3．数学分析中的化归法参考文献：同1 .4．微积分与辩证法参考文献：《自然辩证法》恩格斯著《反杜林论》恩格斯著《关于无限与有限、运动与静止、曲与直的辨证关系的探索》刘广云《数学方法论选讲》5．数学悖论、数学危机及其对数学的推动作用参考文献：《数学方法论选讲》徐利治著《科学争论集》《科学悖论集》《数学思想和思想哲学》6．中国古代数学中的无理数理论参考文献：《九章算术导读》《数书九章导读》《吴文俊论数学机械化》7．二阶常微分方程的解法参考文献：《常微分方程》8．中国古代数学中的极限思想参考文献：《中国数学史大系》《九章算术导读》9．负数理论在中国参考文献：同8.10．试谈创新性教育参考文献：《数学方法论导读（徐利治著）》《数学方法论（郑敏信著）》《学科方法论模式教育》刘广云11、试论梯度、散度与旋度要求：1.讲清物理背景2．阐明内在联系3．论证主要性质参考书目：1、2、1012、试论导函数、原函数的有关性质要求：1. 论述导函数没有第一类间断点2．原函数存在与可积性3．原函数存在定理及应用参考书目：1、2、8、913、积分学中一类公式的证明要求：1。
以引理：设f(x)和g(x)在[a,b]上可积，则=∆∑=→xi g f i n i i )()(lim 10θξλ⎰b a dx x g x f )()(其中ξi, θi ∈［x i-1,x i ］,(i=1,2,…,n),x 0=a,x n =b,Δx i =x i -x i-1,λ={}xi ni ∆≤≤1max 为基础证明：1）曲线绕x 轴旋转一周所得曲面面积dx x f x f s ba 2))((1)(2⎰'+=π2）第二型曲线积分化为定积分的计算公式2.将引理推广到二重积分的情形,得出类似的引理,进而证明:1)曲面面积计算公式2)第一型曲面积分的计算公式参考书目: 1.2.8.914、在上有界闭域的D 中连续函数的性质要求：:叙述并证明：有界性、最值、介值及一致连续性定理.参考书目：1、2、915、试论数e[or π]要求：1。
e （or π）的定义2．无理数超越性3．近似表达式4．在分析中的地位参考书目：6、7、916、试论常微分方程的奇解1) 何谓奇解2) 奇解的产生3) 如何判别：从理论上证明c-判别曲线与p-判别曲线方法参考书目：3、4、517、试论求解一阶常微分方程的积分因子法1) 积分因子的存在性2) 求法参考书目：3、4、5参考书目：1。
数学分析（上、下册） 华东师大编2．数学分析简明教程（上、下册） 邓东皋、尹小玲编3．常微分方程 王高雄编4．常微分方程讲义 王柔怀、伍卓群编5．常微分方程基础 丁同仁编6．E 的奥秘 （日）堀场芳数编7．π的奥秘8．数学分析中的一些新思想与新方法 张志军编9．数学分析问题研究与注 汪林等编10． 高等数学教程上、下册 宋亚泰等主编18．二次曲线中点弦的性质在解析几何中，利用二次曲线弦的中点的坐标，可导出中心、直径、共轭直径等二次曲线的一些性质，在高等几何中这些性质进行了推广，并且还有更多的一些内容，如切点弦的性质等。
参考资料：《解析几何》 吕林松、许子道编《高等几何》 钟集编《高等几何》 朱德祥编19．用射影的观点指导中学初等几何内容高等几何中主要讲射影几何内容，用射影观点看待中学内容 ，证明某些初等几何问题可有事半功倍效果，也可以推广证明的结论，这对中学几何教学具有指导得意义。
20．用近代公理分析中学几何中的公理系统《几何基础》对初等的公理系统进行详尽地分析,对中学的几何教育具有教学指导意义，如何看待现有中学教材中的公理体系呢？为什么有些公理不讲，而又补充许多新的公理？怎么来看待公理系统的“想容性”、“独立性”和“完备性”呢？对此可以进行研究分析。
参考资料：《几何基础》李云普、任国新等《几何基础》傅章秀编等21．球上Hardy 空间上的加权复合算子简介：将利用广义的Carleson 测度去刻画球上不同 Hardy 空间上的加权复合算子参考资料：1）罗罗•史济怀。
单位球上不同Hardy 空间上的复合算子。
数学学报---2001、44、2、209-2162）徐宪民。
复合算子理记科学出版社。
199922．多圆盘上不同Bergman 空间上的加权复合复合算子简介：刻划多圆盘上不同Bergman 空间上的加权复合算子参考资料：1）李 孝、胡 云。
多圆盘上不同Bergman 空间上的复合算子将发表在数学的实践与认识2）徐宪民。
复合算子理论。
科学出版社23．从加权Bergman 空间到Bloch 空间的加权复合算子简介：去刻划加权Bergman 空间到Bloch 空间的加权算子的有界性及紧性参考资料：1）Perez-Gonzalez F. and xiao J. Bloch-Hardy pullbacks.Acta ci Math (szeged), 2001.67. 709-7182)徐宪民。
复合算子理论。
科学出版社。
199924．从加权Bergman 空间到加权Bloch 空间的加权复合算子简介：刻划加权Bergman 空间到加权Bloch 空间的加权复合算子的有界性及紧性参考资料：1）Perez-Gonzalez F. and xiao J. Bloch-Hardy pullbacks.Acta ci Math (szeged), 2001.67. 709-7182）徐宪民。
复合算子理论。
科学出版社。
199925．一个不等式的推广简介：文献《几何不等式》[M]、O 、Bottema 等著。
单尊译。
北京大学出版社。
1991给出了如下一个三角形不等式：设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，则21)(312222<++++≤c b a c b a ，当且仅当a=b=c 时等号成立，试推广之。
26．一个矩阵式成立的条件简介：设a=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321a a a a ，其中a 1+a 2+a 3+a 4=1,0≥i a , (i=1,2,3,4)且必有一解i 为0 试寻找矩阵式a=circ(b)c 成立的条件，其中b=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321b b b b 与c=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321c c c c 中各元素之和为1，且只有两个非0. circ(b)= ⎝⎛4321b b b b 3214b b b b 2143b b b b ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫1432b b b b 27．对每个n ≥2,试找出所有形如n q 的无理数,其中q 为非零正整数.28．令()q p Q K ,=，其中Q 为有理数域，p 、q ∈z,为平方自由整数,找出k 的所有本原元θ并找出θ在Q 上的极小多项式.29．刻画I[x] ,K[x,y](进而R[x],R 为Pid)中的素理想，其中I 为整数环，K为域。
30．给出求方程X 2+Y 2=Z 2 的所有整数解的三种不同方法。
31．对于每个n ≥2,找出对称群Sn 在Mn(Z) 中的一个表示(模型),其中Mn(Z)为整数环Z 上的n 阶矩阵环.32．给出Euler 定理(若(a,m)=1， 则)(mod 1)(m a m ≡ϕ) 的三种不同证明。
33．试论矩阵环（代数）Mn(K)的基本结构性质，其中以为域，n ≥2.34．试述函数在数学中的地位和作用。
要求：1、阐明初等函数在中学数学中的地位和作用。
（结合中学数学教学内容）2、阐明函数理论在高等数学中的地位和作用。
（着重说明函数理论在研究近代科学技术上应用）参考资料：高中数学（教本）高等数学（教本）初等代数研究教程（王林全主编暨南大学出版社）35. 浅谈微分学（或积分学）在中学数学教学中的应用要求：1、从高等数学与初等数学的联系中说明微分学（或积分学）在数学中的地位和作用。
2、考查微分学（或积分学）在中学数学解题中作用（举例说明）3、谈提高中学教师的现代数学修养的必要性、可能性。
参考资料：1、高中课本（高三教材）2、微积分（经济应用数学基础理超树 著编）3、数学教育研究导引（张奠宙主编江苏教育出版社）4、数学分析问题研究与评注（汪林案编著科学出版社）5、高中数学重难点手册（华中师范大学出版社）36、论在数学教学中培养学生的创新精神。
要求：1、从应试教育的利弊谈素质教育的必要性。
2、素质教育中谈培养创新精神的必要性。
3、从实习中了解当前学生创新精神的现状。
4、培养学生创新精神的方法与作法。
参考资料：1、中国教育报：（2001年—2003年教育工作会议的召开）2、中学数学杂志《中学数学报》《数学通讯》3、嘉应教育论坛。
37、初等几何变换在中学数学（代数、几何、三角）中的应用要求：1、阐明变换群在中学数学概念，指出初等几何中常见的变换群的例子。
2、阐明几种特殊的合同变换—平移、旋轴、轴反射的性质及它们之间的关系3、阐明平移、旋转、反射在解几何题中应用（举例说明）4、阐明平移、旋转、反射在代数和三角中的应用（同上）参考资料：1、初等几何研究教程（王林全主编暨南大学出版社）2、初等数学复习与研究（平面几何）（深绍鸿编，人民教育出版社）3、平面几何初等变换（周春荔编著，中等数学）4、初等几何研究与教学法（山东师专编）38.微积分学的哲学返思（1）提要：以微积分的基本功公式为主线，把微积分学的一些概念、原理、法则规律和方法升到更具一般性的哲学范畴去认识，从而使它们具有哲学层次的世界观和方法论意义。
哲学的思考，不仅会帮助我们理解和掌握微积分的科学技术方法，而且能够提升我们的数学文化品位。
（2）参考书：1、数学分析教材2、数学思想和数学哲学，周述岐著，中国人民大学出版社出版1993.123、哲学教材（3）方法：归纳概括，比较，分析。
39.数理统计学的哲学思考提要：数理统计学的哲学思考就是对数理统计思想方法进行哲学考察。
数理统计的思想蕴含在数理统计的方法之中，它是数理统计方法的实质，而数理统计方法则是数理统计思想的载体，而哲学是人类理性关于宇宙的总看法的一系列观念、概念体系。
本课题核心是探索数理统计思想的哲学意义，归纳，概括和抽象数理统计方法的思想并使之升华到哲学层面，从而在哲学层面上研究数理统计的本质、对象、方法体系以及学科体系等理论问题参考书：1、概率论与数理统计教材2、哲学教材3、方法：归纳、概括、抽象、比较分析40.从随机方法（概率方法）处理非随机数学问题看数学的统一性。
提要：从哲学角度看，随机与非随机是一对矛盾，就概率论和其他数学科的研究对旬而言，是两个世界，为何在解决问题时，确性的数学方法与随机性的数学方法（主要是方法）可以互用呢？我们通过研究一些用概率方法计算或证明确定性数学问题（如无理数的计算，某些组合恒等式的证明，定积分中一致连续性的证明和某些定积分的计算等），进一步考察，认识社会数学的抽象性与统一性等特点。