变式教学在高中数学概念教学中的应用

变式教学在高中数学概念教学中的应用台州市椒江区洪家中学钭伟炀【摘要】本文针对高中数学老师教师在教学中重解题、轻概念的现象，提出了要重视概念教学的观点，并结合变式教学的方法（即：引入变式、辨析变式、深化变式和巩固变式等方法）和本人的教学实践，阐述了变式教学在高中数学概念教学中的应用。【关键词】高中数学变式教学概念教学数学概念是反映一类数学对象本质属性的思维形式。正确理解概念是学生学好数学的基础，学好概念对于数学的学习至关重要。所以数学概念的教学也是中学数学老师在实际教学工作中的至关重要一个环节。数学概念教学的主要目标之一是通过概念的掌握与应用，使学生最终理解和掌握概念。但是由于受应试教育的影响，不少教师在教学中重解题、轻概念，造成数学概念与解题脱节的现象。而新课标对数学概念学习又提出了更高的要求，那么如何搞好新课标下的数学概念课教学呢？变式教学是高中数学概念教学的一种有效方法。所谓的教学变式，《教育大辞典》（顾明远主编1999）中是这样解释的：在教学中使学生确切掌握概念的重要方式之一，即在教学中用不同形式的直观材料或事例说明事物的本质属性，或变换同类事物的非本质特征以突出事物的本质特征，目的在于使学生了解哪些是事物的本质特征，哪些是事物的非本质特征，从而对一事物形成科学概念。刘长春教授、顾泠沅教授等在数学变式上做了突出的研究，认为数学概念变式主要包括：引入变式、辨析变式、深化变式和巩固变式。本文结合自己的教学实际和变式理论，阐述如何采用变式教学的方法进行概念教学。一、引入变式在概念教学中的应用所谓引入变式，就是在教授一个新的概念时，将概念还原到客观实际(包括变式题组)之中，撷取部分含有此新概念的萌芽或雏形的实际现象(如实例、模型或已有经验、题组等)进行引入，通过变式移植概念的本质属性，使实际现象数学化，达到展示知识形成过程，促进学生概念形成的目的的一种教学方式【1】。我们知道概念反映的是一类对象的本质属性，即这类对象的内在的、固有的属性，而不是表面的属性。所以，学生学习概念就意味着学习、掌握一类数学对象的本质属性，而这类对象是现实世界的数量关系和空间形式，它们已被舍去了具体的物质性质，也被舍去了具体的关系，仅被重视研究量的关系和形式构造。所以我们在进行概念教学时，应尽量将概念还原到客观实际(如实例、模型或已有经验、题组等)中去，让学生对概念的实际背景有一定的了解。所以在教学中要为学生创设生动形象的教学情境，激发学生自主学习的内驱力。学生在教师创设的特定情境中，从实践经验和原认知结构中提取与新知相关的旧知，发现新知、旧知间的联系。例如在进行指数函数概念教学时，可以通过概念的引入变式进行教授。（1）提出问题：我有一张白纸，把它撕成两半，将它们重叠后再撕一次，再重叠后再撕一次……那么撕3次后把所有的纸重叠放置有多少层?5次呢?10次呢?(创设情境，激发学生的探究兴趣)(2)若一张纸厚o.1毫米，那么撕纸10次后把所有的纸重叠放置有多高？若撕掉15次呢？有姚明高吗?(学生一下被吸引了纷纷议论起来，当计算出撕纸10次后得到1024张纸，重叠后高度为102.4毫米；撕纸15次后高度为3.278米比姚明高时学生异常惊讶!)在概念引入时，采用生活中的例子更能使学生感觉到数学就在他们身旁，存在于他们的日常生活中，让学生觉得数学是有用的，所以要学好数学。(3)你能建立在纸的张数y与此同时撕纸的次数x之间建立起函数关系式吗？学生很快得出：xy2

，我借机告诉学生，生活中就存在这一类函数，它们表达式的

右边是一个以大于0且不等于1的常数为底数a,自变量x为指数的幂的形式，我们称之为指数函数。并给出定义：一般地，函数xay

（0a,且1a）叫做指数函数，其中x是

自变量。评注：通过这样由特殊到一般的变式题组，激发学生的学习兴趣，使学生找到最近的“切入点”，对学习数学获得主动权，突出学生的主体地位，这样既能引导学生积极探索，又能够揭示指数函数的内涵。高中数学的很多概念都可以用这种引入变式进行教授，如对数函数、幂函数、导数等。二、辨析变式在概念教学中的应用所谓概念辨析变式，就是在引进概念后，针对概念的内涵与外延设计辨析型问题，通过对这些问题的讨论，达到明确概念本质、深化概念理解的目的的一种教学方式【1】。在实际教学中可以让学生重新观察引入概念的教学情境，并与定义的假设对照、比较、分析，尽可能由学生自己从教学情境中发现假设中的漏洞，提出变式反例，或者由教师提出。如在引入奇偶函数定义之后，为了让学生深刻理解该定义，掌握定义的内涵和外延，特别是搞清楚“定义域关于原点对称”等有关问题，可利用概念辨析变式设计下列变式题组织学生讨论。判断下列函数的奇偶性，并说明理由：

（1）①Rxxxf,2；②1,1,2xxxf；

（2）①0,1x

x

xf；②

1,1xxxf

（3）①22xxxf②112



x

xxf

评注：我们知道，概念的学习分为两种基本形式，概念的形成和概念的同化。【1】有些概念可以在旧概念的基础上进行“同化”方面的训练。如“等比数列”是在“等差数列”的基础上进行学习的。所以学生可以在“等差数列”的基础上加以学习“等比数列”的知识。但是函数的奇偶性这个概念对于高一学生来说，是一个全新的概念，在之前还没有接触过类似的概念，很少有旧的概念能和这个概念产生同化，所以我们只能在概念的形成方面下功夫。而变式教学正好可以不断地设置题组从正反两个方面不断挖掘，让学生真正理解函数的奇偶性这个概念的本质属性。通过这组变式题，引导学生加深理解知识，整理对奇偶性的内在联系及规律总结。除此，还要设计一些有“陷阱”的变式题，让学生对已有知识与目前情景发生冲突，引发学生对函数奇偶性概念的不断的关心和探索，增强理解概念实质的欲望和认知水平。三、深化变式在概念教学中的应用所谓概念深化变式，就是探求概念的等价形式或变式含义，并探讨等价形式及变式含义的应用，达到透彻理解概念、灵活应用概念的目的。比如在进行增函数和减函数的概念教学时，为了让学生熟练掌握它们的定义，需要进行概念深化变式。也就是探求概念的等价形式或变式含义，并探讨等价形式及变式含义的应用，达到透彻理解概念、灵活应用概念的目的。增函数和减函数的原定义如下：一般地，设函数)(xf的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值1x，2

x，都有

（1）当21xx时，)()(21

xfxf，那么就说函数)(xf在区间D上是增函数。

（2）当21xx时，)()(21

xfxf，那么就说函数)(xf在区间D上是减函数。

增函数、减函数定义的两种等价形式：设函数)(xf的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值1x，2

x，都有

（1）0)()(2121xxxfxfxf在定义域I上为增函数。0)()(2121





xxxfxf

xf在定义域I上为减函数。

（2）02121xfxfxxxf在定义域I上为增函数。02121xfxfxxxf在定义域I上为减函数。

评注：在形成概念后，不应急于应用概念去解决问题，而应对概念作进一步的探讨，通过辨析变式和等价深化变式，使学生对概念有更加深刻的理解，让学生既知其然，又知其所以然。概念深化变式即一个概念的几种等价变式可以让学生更深刻地理解概念，而且在今后的解题方面也有想不到的效果。如证明一个数列是等差数列，我们可以用定义

daann

1来证明，也可以用等差中项的定义daann211来证明，还可以通过证明

该数列的前n项和是一个以n为自变量且常数项是为0的二次函数来进行证明，等等。四、巩固变式在概念教学中的应用概念引入、辨析的同时，要明确概念的应用，并通过练习巩固概念。所谓概念巩固变式，就是设计直接应用概念的练习变式题组，并通过题组的讨论解决，达到熟悉概念、巩固概念、应用概念、提高解决问题能力的目的的一种教学方式。如为了让学生更深刻地理解增函数和减函数的概念，我们可以设置如下四道变式题。

（1）如图，已知函数xfy，xgy的图象(包括端点)根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，函数是增函数还是减函数。4

（2）①证明函数xxf1在,0上是减函数；②判断函数xxf1在0,上是增函数还是减函数，并证明你的结论。③函数xxf1在定义域内是单调函数，这种说法正确吗？（3）已知函数1

2

x

xf（6,2x），求函数的最大值和最小值。

这是一组从课本例题出发的变式题，华罗庚说过：“如果不做书中所附的习题，那就好比入宝山而空返。”课本中的例题、习题有着极其丰富的内涵，在教学中应该重视课本典型例题、习题类似的变式题的运用，是熟练掌握数学方法的有效途径，是克服题海战术的一种有效途径，也是培养学生对知识迁移能力的重要手段。评注：在数学教学中，教师要善于引导学生不受陈规的约束，通过变换命题、变换解法(解题思维变式)等方式，提出新的见解和异议，探索解题的捷径。让学生真正成为学习活动的主体，培养其应变能力和创造性思维能力。

总之，数学概念的学习是一种十分重要的学习，为了使学生牢固地掌握所学概念，并能正确地运用概念，通过变式教学，引导学生不断地复习并检测已学概念，并通过多种变式途径，引导学生发挥数学概念在运算、推理或证明中的理论指导作用，从而培养学生的广阔性和灵活性，提高学生的学习兴趣，为学生在高中学好数学打下基础。

【参考文献】1、刘长春、张文娣编著《中学数学变式教学与能力培养》山东教育出版社2001.2、《普通高中课程标准实验教科书》人民教育出版社