一些不等式的证明与应用开题报告
利用导数证明或解决不等式问题
利用导数证明或解决不等式问题导数是微积分中的重要概念，在解决不等式问题中，导数可以发挥很大的作用。
下面我们将以一些具体的例子来说明如何利用导数证明或解决不等式问题。
例子1：证明不等式x^2≥0在实数域中恒成立。
解析：对于任意实数x，在实数域中，不管x取何值，其平方x^2都大于等于0。
我们可以通过导数来证明这个不等式。
对x^2进行求导，得到导函数2x。
我们知道，导数表示函数的变化率，对于x^2来说，导函数2x表示了函数的斜率，也就是说，无论x取何值，函数x^2的斜率总为正数或者0。
因为函数的斜率总是非负的，所以x^2≥0在实数域中恒成立。
例子2：求函数f(x)=x^3-3x^2+2x的极值点。
解析：要求函数f(x)的极值点，我们可以先求出函数的导数f'(x)，然后将f'(x)=0进行求解。
导数为0的点即为极值点。
将f'(x)=3x^2-6x+2=0进行求解，可以得到x=1或者x=2。
接下来，我们可以求出函数在x=1和x=2处的函数值，并比较求出极值点。
f(1)=1^3-3*1^2+2*1=0f(2)=2^3-3*2^2+2*2=0对f(x)进行求导，得到导函数f'(x)=3x^2-6。
接下来，我们可以将x轴上的一些点带入函数f'(x)进行判断。
当x<−√2时，f'(x)>0；当−√2<x<√2时，f'(x)<0；当x>√2时，f'(x)>0。
由此可见，函数f(x)=x^3-6x在区间(−∞,−√2)，(−√2,√2)，(√2,+∞)上是单调的。
不等式的应用与解答
解答不等式时的注意事项
确定不等号方向
在解答不等式时，要特别注意不等号的方向，避免在运算 过程中改变不等号的方向而导致错误。
01
注意变量取值范围
不等式的解往往受到变量取值范围的限 制，因此在解答过程中要时刻关注变量 的取值范围。
02
03
灵活运用性质
在解答不等式时，要灵活运用不等式 的性质，如可加性、可乘性等，以简 化不等式的解答过程。
不等式的应用与解答
汇报人：XX 20XX-01-29
目 录
• 引言 • 不等式的基本类型与解法 • 不等式在实际问题中的应用 • 不等式的证明方法与技巧 • 不等式解答的注意事项与常见错误 • 总结与展望
01
引言
不等式的定义与性质
不等式的定义
不等式是比较两个数或代数式大小关 系的一种数学表示方法，用不等号（ 如<，>，≤，≥，≠）连接。
随着数学学科的不断发展，不等式理论和应 用领域将进一步拓宽，涉及到更多复杂和实 际问题。同时，计算机技术和人工智能的应 用也将为不等式研究提供更多新的思路和方 法。
挑战
在未来不等式研究中，需要解决更多复杂和 困难的问题，如高维不等式、非线性不等式 等。此外，如何将不等式理论更好地应用于 实际问题中，也是未来研究的重要方向之一 。
的应用和研究进展。
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解法
先将不等式化为标准形式 $ax^2 + bx + c > 0$ 或 $ax^2 + bx + c < 0$，然后求解对应的二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，根据根的情况和二次函数的性质确定不等式的解集。
不等式的几种证明方法及其应用
不等式的几种证明方法及其应用不等式的证明方法多种多样，常用的证法有初等数学中的综合法、分析法、比较法和数学归纳法等，高等数学中常用的方法是利用函数的单调性、凹凸性等方法．本文将对其中一些典型证法给出系统的归纳与总结，并以例题的形式展示这些方法的应用．1 利用构造法证明不等式“所谓构造思想方法就是指在解决数学问题的过程中，为完成从条件向结论的转化，利用数学问题的特殊性设计一个新的关系结构系统，找到解决原问题的具体方法．利用构造思想方法不是直接解决原问题，而是构造与原问题相关或等价的新问题．”)52](1[P 在证明不等式的问题中，构造思想方法常有以下几种形式：1.1 构造函数证明不等式构造函数指根据所给不等式的特征，巧妙地构造适当的函数，然后利用一元二次函数的判别式或函数的有界性、单调性、奇偶性等来证明不等式．1.1.1 利用判别式在含有两个或两个以上字母的不等式中，若根据题中所给的条件，能与一元二次函数有关或能通过等价形式转化为一元二次函数的，都可考虑使用判别式法．例1 设R z y x ∈,,，证明0)(322≥+++++z y x z y xy x 成立． 解 令22233)3()(z yz y x z y x x f +++++=为x 的二次函数． 由2222)(3)33(4)3(z y z yz y z y +-=++-+=∆知0≤∆，所以0)(≥x f ． 故0)(322≥+++++z y x z y xy x 恒成立．对于某些不等式，若能根据题设条件和结论，结合判别式的结构特征，通过构造二项平方和函数)(x f =(11b x a -)2＋(x a 2－22)b ＋…＋2)(n n b x a -，由0)(≥x f 得出0≤∆，从而即可得出所需证的不等式．例2 设+∈R d c b a ,,,，且1=+++d c b a ，求证614141414<+++++++d c b a )18](2[P ．证明 令)(x f =(x a 14+－1)2＋(114-+x b )2＋)114(-+x c 2＋)114(-+x d 2=4)14141414(282++++++++-x d c b a x (因为1=+++d c b a )．由0)(≥x f 得0≤∆ 即0128)14141414(42≤-+++++++d c b a ．所以62414141414<≤+++++++d c b a ．1.1.2 利用函数有界性若题设中给出了所证不等式中各个变量的变化范围，可考虑利用函数的有界性来证明，具体做法是将所证不等式视为某个变量的函数．例3 设,1,1,1<<<c b a 求证1->++ca bc ab )18](2[P ． 证明 令1)()(+++=ac x c a x f 为x 的一次函数． 因为,1,1<<c a 所以0)1)(1(1)1(>++=+++=c a ac c a f ，0)1)(1(1)()1(>--=+++-=-c a ac c a f ．即∀)1,1(-∈x ，恒有0)(>x f ．又因为)1,1(-∈b ，所以0)(>b f ， 即01>+++ca bc ab ． 1.1.3 利用函数单调性在某些问题中，若各种式子出现统一的结构，这时可根据这种结构构造函数，把各种式子看作同一函数在不同点的函数值，再由函数的单调性使问题得到解决．例４ 求证121212121111n n n na a a a aa a a a a a a +++≤++++++++++)53](1[P ．分析 通过观察可发现式中各项的结构均相似于式子M M +1，于是构造函数xxx f +=1)()0(≥x ．证明 构造函数xxx f +=1)( )0(≥x ． 因为0)1(1)(2'>+=x x f ， 所以)(x f 在),0[+∞上严格递增．令n a a a x +++= 211，n a a a x +++= 212． 因为21x x ≤，所以)()(21x f x f ≤． 所以≤+++++++nn a a a a a a 21211nn a a a a a a +++++++ 21211=+++++na a a a 2111++++++ n a a a a 2121nna a a a ++++ 211nna a a a a a ++++++≤1112211 ．1.1.4 利用函数奇偶性 例５ 求证221xx x <-)0(≠x ．证明 设)(x f 221x x x --=，对)(x f 进行整理得)(x f )21(2)21(xx x -+=， )(x f -＝)21(2)21(xx x ---+-＝)12(2)12(-+-x x x ＝)21(2)21(x x x -+＝)(x f ， 所以)(x f 是偶函数．当0>x 时，12>x ，所以021<-x，所以0)(<x f ． 由偶函数的图象关于y 轴对称知，当0<x 时，0)(<x f ． 即 当0≠x 时，恒有0)(<x f ，即221xx x <- )0(≠x ． 注意 由以上几种情况可以看出，如何构造适当的函数并利用函数的性质来证明不等式是解题的关键．1.2 构造几何图形证明不等式构造几何图形，就是把题中的元素用一些点或线来取代，使题中的各种数量关系得以在图中表现出来，然后借助几何图形的直观性或几何知识来寻求问题的解答．一般是在问题的条件中数量关系有明显的几何意义，或可以通过某种方式与几何形（体）建立联系时宜采用此方法.)52](1[P 这种方法十分巧妙且有效，它体现了数形结合的优越性．下面将具体介绍用几何法证明不等式的几种途径：1.2.1 构造三角形)1](3[P例６ 已知z y x ,,为正数，求证22y xy x ++＋22z xz x ++＞22z yz y ++．分析 注意到︒-+=++120cos 22222xy y x y xy x ，于是22y xy x ++可看作是以y x ,为两边，夹角为︒120的三角形的第三边，由此，易得出下面的证明:证 如图1 ，在BC A ∆内取一点O ，分别连接OC OB OA ,,，使图1B︒=∠=∠=∠120COA BOC AOB ，z OC y OB x OA ===,,则22y xy x AB ++=，22z xz x AC ++=，22z yz y BC ++=．由BC AC AB >+， 即得所要证明的不等式．注 该题可做如下推广:已知z y x ,,为正数，πα<<0，πβ<<0，πγ<<0，且πγβα2=++，求证++-22cos 2y xy x α>+-22cos 2z xz x β22cos 2z yz y +-γ，令γβα,,为满足条件的特殊角可设计出一系列的不等式．例7 已知正数k n m c b a ,,,,,满足p k c n b m a =+=+=+,求证2p cm bk an <++． 证明 如图2，构造边长为p 的正三角形ABC ，在边BC AB ,,上依次截取 n FA b CF k EC c BE m DB a AD ======,,,,,．因为ABC FEC DBE ADF S S S S ∆∆∆∆<++所以243434343p bk cm an <++， 即2p cm bk an <++． 1.2.2 构造正方形)1](3[P例8 已知+∈R x ,d c b a ,,,均是小于x 的正数，求证+-+22)(b x a +-+22)(c x b +-+22)(d x c x a x d 4)(22<-+．分析 观察不等式的左边各式，易联想到用勾股定理，每个式子代表一直角三角形的一斜边，且)()()()(d x d c x c b x b a x a -+=-+=-+=-+，所以可构造边长为x 的正方形．证明 如图3，构造边长为x 的正方形ABCD ，在边DA CD BC AB ,,,上 依次截取,a AE =,a x EB -=,d BF =c CG d x FC =-=,，b DHc x GD =-=,，b x HA -=．则四边形EFGH 的周长为+-+22)(b x a +-+22)(c x b +-+22)(d x c 22)(a x d -+．由三角形两边之和大于第三边知，四边形EFGH 的周长小于正方形ABCD 的周长， 从而命题得证．1.2.3 构造矩形图2x-c 图3例9 已知z y x ,,为正数，证明))((z y y x yz xy ++≤+．分析 两个数的乘积，可看作以这两个数为边长的矩形的面积，也可以看成以这两个数为直角边长的三角形面积的两倍．证明 如图4 ，造矩形ABCD ，使,y CD AB ==,x BE =,z EC =设α=∠AED ．由AED ECD ABE ABCD S S S S ∆∆∆++=矩形知 =+)(z x y ++yz xy 2121αsin ))((21z y y x ++． 化简得αsin ))((z y y x yz xy ++=+．因为1sin 0≤<α，所以))((z y y x yz xy ++≤+(当且仅当︒=90α时，等号成立)．1.2.4 构造三棱锥例10 设,0,0,0>>>z y x 求证22y xy x +->+-+22z yz y 22x zx z +-)129](4[P ．分析 注意到22y xy x +-︒-+=60cos 222xy y x ，可以表示以y x ,为边， 夹角为︒60的三角形的第三边，同理22z yz y +-，22x zx z +-也有类似意义．证明 如图5，构造顶点为O 的四面体ABC O -，使︒=∠=∠=∠60AOC BOC AOB ，z OC y OB x OA ===,,，则有22y xy x AB +-=，22z yz y BC +-=，22x xz z AC +-=．在ABC ∆中AC BC AB >+，即得原不等式成立．注 该题还可做如下推广:已知z y x ,,为正数，,0πα<<,0πβ<<πγ<<0时πγβα20<++<且,βαγβα+<<-求证22cos 2y xy x +-α+22cos 2z xz x +-β>22cos 2z yz y +-γ.例10便是当︒===60γβα时的特殊情况．1.3 构造对偶式证明不等式对偶思想是根据矛盾双方既对立又统一的二重性，巧妙地构造对偶数列，从而将问题解决的一种思想．⌒ADCBE y x +图4图5OAC例11 求证1212124321+<-⨯⨯⨯n nn ．分析 令=P nn 2124321-⨯⨯⨯ ，由于P 中分子为奇数、分母为偶数，则由奇数的对偶数为偶数可构造出关于P 的一个对偶式Q ，1225432+⨯⨯⨯=n nQ ．证明 设=P n n 2124321-⨯⨯⨯ ，构造P 的对偶式Q ，1225432+⨯⨯⨯=n nQ ．因为Q P <<0，所以=<PQ P 2)2124321(n n -⨯⨯⨯ 121)1225432(+=+⨯⨯⨯n n n ．所以121+<n P ，即原不等式成立．注 构造对偶式的途径很多，本题是利用奇偶性来构造对偶式，此外，还可利用倒数关系、相反关系、对称性关系等来构造对偶式．1.4 构造数列证明不等式这种方法一般用于与自然数有关的不等式证明，当问题无法从正面入手时，可考虑将它转化为数列，然后利用数列的单调性来证明．例12 求证:不等式!21n n ≤-，对任何正整数n 都成立)55](1[P ．分析 不等式可变形为,1!21≤-n n n 是正整数，所以可构造数列{},n a 其中1,!211==-a n a n n ，则只需证1a a n ≤即可．对于任意正整数n ，=-+=--+!2)!1(211n n a a n n n n 0)!1(2)1()!1()1(2211≤+-=++---n n n n n n n ， 所以{}n a 是递减数列．所以1a a n ≤，即原命题成立．1.5 构造向量证明不等式向量由于其自身的形与数兼备的特性，使得它成了数形结合的桥梁，也是解决一些问题的有利工具．对于某些不等式的证明，若能借助向量模的意义、数量积的性质等，可使不等式得到较易的证明．1.5.1 利用向量模的性质 例13 已知,,,,R d c b a ∈求证++++2222c b b a 2222a d d c +++)(2d c b a +++≥．证明 在原点为O 的直角坐标系内取四个点：()(),,,,c b b a B b a A ++(),,d c b c b a C ++++(),,a d c b d c b a D ++++++则原问题可转化为+，该不等式显然成立．1.5.2 利用向量的几何特征例14 设{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 是前n 项和，求证)31](5[12.022.02.0log 2log log P n n n S S S ++>+． 分析 可将上述不等式转化为,212++<⋅n n n S S S 构造向量，用平行四边形的几何特征来证明．证明 设该等比数列的公比为q ，如图6，构造向量(),,11a a OA =(),,1n n qS qS OB +=()()12111,,+++=++=n n n n S S qS a qS a OC ，则OB OA OC +=，故B C A O ,,,构成平行四边形．由于OB OA ,在对角线OC 的两侧，所以斜率OB OA k k ,中必有一个大于OC k ，另一个小于OC k ．因为{}n a 是由正数组成的等比数列，所以OA n n OC k S S k =<=++121， 所以OC OB k k <， 即<+1n n S S 21++n n S S ． 所以212++<⋅n n n S S S ． 此外，还可以利用向量的数量积证明不等式，一般是根据向量的数量积公式θb a =⋅找出不等关系，如b a ≤⋅≤等，然后利用不等关系证明不等式，在此对这种方法不再举例说明．综上所述，利用构造思想证明不等式时，需对题目进行全面分析，抓住可构造的因素，并借助于与之相关的知识，构造出所求问题的具体形式或是与之等价的新问题，通过解决所构造的问题使原问题获得解决．就构造的对象来说它的表现形式是多样的，这就需要我们牢固的掌握基础知识和解题技巧，综合运用所学知识将问题解决．2 利用换元法证明不等式换元法是数学解题中的一种重要方法，换元的目的是通过换元达到减元，或通过换元得到熟悉的问题形式．换元法主要有以下几种形式：图6O xyABC2.1 三角换元法例15 已知,122≤+y x 求证2222≤-+y xy x ．证明 设θθsin ,cos r y r x ==()10≤≤r ，则=-+222y xy x θθθθ22222sin sin cos 2cos r r r -+θθθ222sin 2sin cos -+=r224sin 22sin 2cos 222≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=r r r πθθθ．注 这种方法一般是已知条件在结构上与三角公式相似时宜采用．若题设为,12=+y x 可设;sin 2,cos θθ==y x 题设为,122=-y x 可设θθtan ,sec ==y x 等．2.2 均值换元法例16 设,1,,,=++∈z y x R z y x 求证31222≥++z y x )12](2[P ．证明 设,31α+=x ,31β+=y ,31γ+=z 其中0=++γβα 则 =++222z y x ++2)31(α++2)31(β=+2)31(γ31)(231222≥++++++γβαγβα(当且仅当γβα==时取等号)．2.3 增量换元法这种方法一般用于对称式(任意互换两个字母顺序，代数式不变)和给定字母顺序的不等式的证明．例17 已知,0>>y x 求证 yx y x -<-)55](6[P ．证明 由,0>>y x 可令t y x += )0(>t ． 因为2)(2t y yt t y t y +=++<+， 所以t y t y +<+， 即y x y x -<-．总之，证明不等式时适当的引进换元，可以比较容易的找到解题思路，但具体使用何种代换，则因题而异，总的目的是化繁为简．3 利用概率方法证明不等式)51](7[P利用概率方法证明不等式，主要是根据实际问题，构造适当的概率模型，然后利用有关结论解决实际问题．3.1利用概率的性质：对任意事件A ，1)(0≤≤A P ，证明不等式例18 证明若,10,10≤≤≤≤b a 则1+≤+≤ab b a ab ．分析 由,10,10≤≤≤≤b a 可把a 看做事件A 发生的概率，b 看做事件B 发生的概率． 证明 设事件A 与B 相互独立，且,)(,)(b B P a A P ==则ab b a B A P B P A P B A P -+=-+=)()()()( ．因为,1)(0≤≤B A P 所以10≤-+≤ab b a ，所以1+≤+≤ab b a ab ．3.2 利用Cauchy-Schwarz 不等式：2))((ξηE ≤22ηξE E 例19 设0>i a ，0>i b ，,2,1=i …n ,， 则 21)(∑=ni i i b a ≤))((1212∑∑==ni in i i ba ．证明 设随机变量ξηηξ,,满足下列要求ξ概率分布:P (ξ=i a )=n 1(n i ,,2,1 =)，η概率分布:P (η=i b )=n1(n i ,,2,1 =)，ξη概率分布:⎪⎩⎪⎨⎧≠=== )(0)(1)(j i j i nb a P j i ξη， 则 2ξE ＝∑=n i i a n 121，2ηE ＝∑=n i i b n 121，)(ξηE ＝∑=n i i i b a n 11．由2))((ξηE ≤22ηξE E 得 212)(1∑=n i i i b a n ≤)1)(1(1212∑∑==n i i n i i b n a n ．即 21)(∑=ni i i b a ≤))((1212∑∑==ni in i i ba ．用概率证明不等式比较新颖，开辟了证明不等式的又一途径．但该法用起来不太容易，因为读者必须对概率这部分知识熟悉掌握，才能选择适当的结论加以利用，因此对这种方法只做简单了解即可．4 用微分方法证明不等式在高等数学中我们接触了微分, 用微分方法讨论不等式,为不等式证明方法开辟了新的视野． 4.1利用微分中值定理微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理，下面仅给出拉格朗日中值定理、泰勒定理的应用：拉格朗日中值定理)120](8[P 若函数)(x f 在[]b a ,上连续，()b a ,内可导，则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得)('ξf ＝ab a f b f --)()(．例20 已知0>b ,求证b b bb<<+arctan 12． 证明 函数x arctan 在[]b ,0上满足拉格朗日中值定理的条件，所以有b arctan －0arctan ＝)0()(arctan '-=b x x ξ＝21ξ+b，),0(b ∈ξ． 而b bx b <+<+2211ξ， 故原不等式成立．泰勒定理)138](8[P 若函数)(x f 在[]b a , 上有直至n 阶的连续导数，在()b a ,内存在()1+n 阶导函数，则对任意给定的0,x x ()b a ,∈，使得10)1(00)(200''00'0)()!1()()(!)()(!2)())(()()(++-++-++-+-+=n n nn x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξ 该式又称为带有拉格朗日余项的泰勒公式．例21 设函数)(x f 在[]b a ,上二阶可导，且M x f ≤)(''，,1,0)2(=-=+a b ba f 试证 4)()(M b f a f ≤+)69](9[P ．证明 将函数)(x f 在点20ba x +=展成二阶泰勒公式 ++-+++=)2)(2()2()('b a x b a f b a f x f 2'')2)((21b a x f +-ξ＝)2)(2('ba xb a f +-+＋2'')2)((21b a x f +-ξ． 将b a x ,=代入上式得)21)(2()('b a f a f +-=＋)(811''ξf ，)(81)21)(2(')(2''ξf b a f b f ++=． 相加得))()((81)()(2''1''ξξf f b f a f +=+． 取绝对值得))()((81)()(2''1''ξξf f b f a f +≤+≤4M ．4.2 利用极值例22 设12ln ->a 为任一常数，求证xeax x <+-122()0>x )188](10[P ．证明 原问题可转化为求证012)(2>-+-=ax x e x f x)0(>x ．因为0)0(=f ,所以只需证022)('>+-=a x e x f x．由02)(''=-=xe xf 得)('x f 的稳定点2ln =x ．当2ln <x 时，0)(''<x f ． 当2ln >x 时，0)(''>x f ． 所以 02)2ln 1(222ln 22)2(ln )(min ''>+-=+-==>a a f x f x ．所以原不等式成立．4.3 利用函数的凹凸性定义)193](10[P )(x f 在区间I 上有定义，)(x f 称为I 上的凸（凹）函数，当且仅当：21,x x ∀∈I ，有)2(21x x f +≤2)()(21x f x f + （)2(21x x f +≥2)()(21x f x f +）． 推论)201](10[P 若)(x f 在区间I 上有二阶导数，则)(x f 在I 上为凸（凹）函数的充要条件是：0)(''≥x f （0)(''≤x f ）．例23 证明na a a n +++ 21≥n n a a a 21 ),,2,1,0(n i a i =>)125](11[P ．证明 令,ln )(x x f =则01)(,1)(2'''<-==xx f x x f ，所以 x x f ln )(=在()+∞,0上是凹函数，对),0(,,,21+∞∈n a a a 有)ln ln (ln 1ln 2121n n a a a nn a a a +++≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+++ ，所以na a a n +++ 21≥nn a a a 21．例24 对任意实数,,b a 有)(212b ab a e e e+≤+)80](12[P ．证明 设xe xf =)(，则),(,0)(''+∞-∞∈>=x e x f x，所以)(x f 为),(+∞-∞上凸函数．从而对b x a x ==21,有2)()()2(b f a f b a f +≤+． 即)(212b ab a e e e+≤+． 5 利用几个著名的不等式来证明不等式5.1 均值不等式)133](4[P定理 1 设n a a a ,,,21 是n 个正数，则)()()()(n Q n A n G n H ≤≤≤称为均值不等式，其中,111)(21na a a nn H +++=,)(21n n a a a n G =,)(21na a a n A n+++=na a a n Q n22221)(+++=分别称为n a a a ,,,21 的调和平均值，几何平均值，算术平均值，均方根平均值．例25 已知,10<<a ,02=+y x 求证812log )(log +≤+a yx a a a ． 证明 由,10<<a ,0,0>>yxa a 有y x y x y x a a a a a +=⋅≥+22，从而得22log )2(log )(log yx a a a a y x a y x a ++=≤++， 故现在只需证812≤+y x 或 41≤+y x 即可． 而4141)21(22≤+--=-=+x x x y x (当21=x 时取等号)，所以812log )(log +≤+a yx a a a ．5.2 Cauchy 不等式 定理2)135](4[P 设),,2,1(,n i R b a i i =∈，则∑∑∑===≥⋅n i ni i i ni ii b a ba 121122,)(当且仅当nn a b a b a b === 2211时等号成立. 例26 证明三角不等式 2112)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑=ni i i b a ≤2112⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=ni i a ＋2112⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=ni i b )33](12[P ．证明 因为∑=+ni i ib a12)(＝∑=+ni i i i a b a 1)(＋∑=+ni i i i b b a 1)(根据Cauchy 不等式，可得∑=+ni i i ia b a1)(≤211212)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑==ni i n i i i a b a ． （1）∑=+ni i i i b b a 1)(≤211212)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑==ni i ni i ib b a ． （2） 把（1）（2）两个式子相加，再除以2112)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑=ni i i b a ，即得原式成立．5.3 Schwarz 不等式Cauchy 不等式的积分形式称为Schwarz 不等式． 定理3)271](10[P )(),(x g x f 在[]b a ,上可积，则⎰⎰⎰≤b ababadx x g dx x f dx x g x f .)()())()((222若)(),(x g x f 在[]b a ,上连续，其中等号当且仅当存在常数βα,，使得)()(x g x f βα≡时成立(βα,不同时为零)．例27 已知)(x f 在[]b a ,上连续，,1)(=⎰badx x f k 为任意实数，求证2)cos )((⎰bakxdx x f 1)sin )((2≤+⎰b akxdx x f )272](10[P ．证明 上式左端应用Schwarz 不等式得2)cos )((⎰bakxdx x f 2)cos )(()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰badx kx x f x f⎰⎰⋅≤babakxdx x f dx x f 2cos )()(⎰=bakxdx x f 2cos )(． (1)同理2)sin )((⎰bakxdx x f ⎰≤bakxdx x f 2sin )(． (2)由(1)+(2)即得原不等式成立． 5.4 利用W.H.Young 不等式 定理4)288](10[P 设)(x f 单调递增，在),0[+∞上连续，,0)0(=f )(,0,1x fb a ->表示)(x f 的反函数，则⎰⎰-+≤bady y f dx x f ab 010,)()(其中等号当且仅当b a f =)(时成立．例28 设,0,>b a ,1>p ,111=+qp 试证q b p a ab q p +≤)290](10[P ．证明 因为,1>p 所以1)(-=p xx f 单调递增且连续 (当0≥x 时)，1111)(---==q p y yy f )111(-=-q p ． 应用W.H.Young 不等式有 qb p a dy y f dx x f ab qp ba+=+≤⎰⎰-01)()(．。
利用导数证明不等式
利用导数证明不等式例1．已知x>0，求证：x>ln(1+x)分析：设f(x)=x －ln （1+x ）。
x ∈[0,+∞)。
考虑到f(0)=0，要证不等式变为：x>0时，f(x)>f(0)， 这只要证明：f(x)在区间),0[+∞是增函数。
证明：令：f(x)=x －lnx ，容易看出，f(x)在区间),0[+∞上可导。
且)0(0)(lim 0f x f x ==+→ 由1111)('+=+-=x x x x f 可得：当),0(+∞∈x 时，0)0()('=>f x f 即x －lnx>0，所以：x>0时，x>lnx评注：要证明一个一元函数组成的不等式成立，首先根据题意构造出一个函数（可以移项，使右边为零，将移项后的左式设为函数），并利用导数判断所设函数的单调性，再根据函数单调性的定义，证明要证的不等式。
例2：当()π,0∈x 时，证明不等式x x <sin 成立。
证明：设,sin )(x x x f -=则.1cos )('-=x x f∵),,0(π∈x ∴.0)('<x f ∴x x x f -=sin )(在),0(π∈x 内单调递减，而.0)0(=f∴,0)0(sin )(=<-=f x x x f 故当),0(π∈x 时，x x <sin 成立。
点评：一般地，证明),,(),()(b a x x g x f ∈<可以构造函数),()()(x g x f x F -=如果,0)('<x F ，则)(x F 在),(b a 上是减函数，同时若,0)(≤a F 由减函数的定义可知，),(b a x ∈时，有,0)(<x F 即证明了)()(x g x f <。
练习：1.当0>x 时，证明不等式2211x x e x ++>成立。
证明：设(),2112x x e x f x---=则().1'x e x f x --= 令,1)(x e x g x --=则.1)('-=x e x g 当0>x 时，().01'>-=x e x g )(x g ∴在()+∞,0上单调递增，而.0)0(=g (),0)0(=>∴g x g 0)(>∴x g 在()+∞,0上恒成立，即0)('>x f 在()+∞,0恒成立。
不等式证明的若干方法及应用
不等式证明的若干方法及应用嘿，咱今儿就来聊聊不等式证明的那些事儿！你想想啊，不等式就像是数学世界里的一个神秘小怪兽，得用各种方法去驯服它。
那都有啥方法呢？首先就是比较法，这就好比咱在生活中比大小嘛，直接看看哪个大哪个小。
把两边式子作差或者作商，一下子就能看出端倪来。
比如说，给你两个式子，你通过一番计算，发现它们的差是正数或者商大于 1，那不就一目了然了嘛！还有综合法，这就像是搭积木，一块一块往上堆，从已知条件出发，通过一系列的推理和运算，最后得出不等式成立的结论。
就好像你知道了一些基本的条件，然后顺藤摸瓜，一步步推出最终的结果。
分析法也很厉害呀！它就像是倒着走迷宫，从要证明的结论出发，反过来找条件。
先假设这个结论成立，然后看看需要什么条件才能达到，一直这样倒推，直到找到已知条件或者明显成立的式子。
还有啥呢？对啦，数学归纳法！这就好像是爬楼梯，先证明第一步能行，然后假设第 n 步也成立，再去证明第 n+1 步也没问题，这样一步步就把整个楼梯都爬上去啦，不等式也就证明出来了。
那这些方法都有啥应用呢？哎呀呀，那可多了去了！在实际生活中，咱经常要比较各种东西的大小、多少呀。
比如说，你要安排一场活动，得考虑场地大小、人数多少、预算多少等等，这时候不等式不就派上用场了嘛！在工程领域，不等式也能帮助工程师们设计更合理的结构，保证安全性和稳定性。
就好像盖房子，得保证各种参数符合不等式的要求，房子才能稳稳当当的呀！在经济学里，不等式可以用来分析市场的供求关系、成本和收益等等。
想想看，如果不考虑这些不等式，那企业怎么能做出正确的决策呢？你说，不等式证明的这些方法是不是很神奇？它们就像是一把把钥匙，能打开数学世界里无数的大门。
咱可得把这些方法都学好、学透，以后遇到不等式就不怕啦！咱再回过头来想想，要是没有这些方法，那遇到不等式可咋办呀？岂不是两眼一抹黑，啥都不知道啦？所以呀，好好掌握这些方法，就像是给自己配备了厉害的武器，在数学的战场上就能勇往直前啦！总之呢，不等式证明的方法和应用那是相当重要，咱可得认真对待，别马虎哟！这可是数学的精华呀！你说是不是呢？。
关于矩阵的若干奇异值特征值不等式及矩阵不等式的开题报告
关于矩阵的若干奇异值特征值不等式及矩阵不等式的开题报告一、研究背景和意义矩阵是线性代数的重要内容之一，在实际应用中具有非常广泛的应用。
而矩阵的特征值和奇异值等概念是矩阵理论中的核心内容之一，它们具有广泛的理论和实际应用。
矩阵的若干奇异值特征值不等式及矩阵不等式是矩阵理论中的重要内容，它们在信号处理、控制理论、图像处理、数学建模等众多领域中都有广泛的应用，如在图像压缩和恢复中、在信号降噪和去除干扰中、在控制系统稳定性分析和控制器设计中等等。
因此对矩阵的若干奇异值特征值不等式及矩阵不等式的研究具有重要的理论和实际意义。
二、研究内容本文将主要研究矩阵的若干奇异值特征值不等式及矩阵不等式，具体研究内容包括以下几个方面：1.矩阵的若干奇异值与特征值对于任意矩阵A，它的若干个奇异值与特征值之间存在重要的联系，本文将对这种联系进行详细研究。
2.矩阵奇异值和特征值不等式本文将研究矩阵奇异值和特征值之间的不等式关系，包括服从什么样的数学规律、不等式的成立条件等方面。
3.矩阵不等式及其应用除此之外，本文还将研究矩阵不等式，探索矩阵不等式的基本概念、性质及其应用，如在控制理论、信号处理等方面的应用。
具体研究内容包括矩阵的Schur分解及其应用、矩阵不等式在控制系统的应用等。
三、研究方法本文将采用分析与综合相结合的方法进行研究，在国内外文献的基础上，通过对已有理论的梳理和总结，对矩阵的若干奇异值特征值不等式及矩阵不等式进行深入分析和探讨。
四、研究预期成果本文将深入探讨矩阵的若干奇异值特征值不等式及矩阵不等式，并进一步探索其在各个领域的应用。
本文研究成果将有助于扩展和深化我们对矩阵理论的认识，为相关领域的理论研究和实际应用提供理论支持和方法参考。
运用求导法证明不等式
16中学数学研究2021 年第 11 期 (上)运用求导法证明不等式安徽省无为中学(238300) 朱小扣 鲁贤龙不等式的证明一直是联赛常考的考点，其证明方法千变 万化.往往让人毫无头绪，本文阐述了用求导的方法来证明一类不等式，希望能帮助大家.一、求导法与琴生不等式结合例1 (数学通讯问题455)已知正实数a, b, c ,求证:3(1+帛行 3 (1+莘「+3 (1+爲「＞3 34.证明 考虑到待证不等式是齐次的，不妨设a+b+c =1, 故只需证：3(1+ 匕)2 +3(1+ 吕)2 +3(1+ 兰)2 > 3旳.令 f (x) = #(1+ 三'=(出)3(° <x< 1)，则：f ” (x) = / 汽+刀、•(十)1 > 0恒成立.由琴生不等式得：土f (a ) + 土f (b ) + -f (c ) > f (a + 3 + C )=f (3)=渥即:戸W ++3(1 + 1^—c > 3 &!,故原不等式得证.例2 (数学通讯问题416)已知正数a,b 满足a + b = 2,求证:a + — > a 2 + b 2.b 证明2ab 得:a 1b 1 a b 12 •丽 + 2 • a 2 > 2b + 2a①故只需证明①式成立即可•令f (x) = x 2,则f"(x) = 2 > 0,b 2 ' 2 . ,2aa 2b 2将待证不等式丨+ - > a 2 + b 2两边同除以ba故由加权琴生不等式可得:-• f (丄)+ -• f (丄)> f (— + —)2八b 丿2八a 丿"八2b 2a 丿a b 2 a b 2 a 2 1 b 21=(2b + 2a ) =(2b + 2a )=(丽 + 4+ (而+4)Fa 2 1 Ph 2 1 a bV丽• 4 + 2V 而• 4 = 2b + 亦.故①1 式成立, 原不等式得证.二、求导法与切线法结合例3 (数学通讯问题455)已知正实数a,b,c 满足a + b + c = 1,求证：a = +—— b ------+V(a - 1)(a - 2) ^(b - 1)(b - 2)W10J(c - 1)(c -2)"T •证明c3a 2a v , a ——=T ,_______________J /a - 1) (a - 2) y/a (a — 1) (a — 2)E a)3 __________1” k ______________— r ______________(权方和不等式)■y/^2a (a —1)(a —2) J^2a (a —1)(a _2)故只需证明：旨，1、， f> 常,即要证：VEa (a - 1)(a - 2) 10刀 a (a — 1) (a — 2) < -9-①1由切线法易知f (x) = x (x - 1) (x - 2)在(1,27)处的切1 7 3 27线方程是y = 1 x + £,故只需证17x (x — 1) (x — 2) < 3x + 27(0 < x < 1) ①O (x — 3) (x —< 0 (0 < x < 1)通过以上试题分析可知，直观想象素养在高考中考察的 比重较大,且未来可能会岀现更广的应用以及岀现更多新题 型.而这就要求学生在学习的过程中，要提升数形结合的能 力，发展几何直观和空间想象能力；增强运用几何直观和空间想象思考问题的意识;形成数学直观，在具体的情境中感 悟事物的本质.为此，教师在日常教学和命题中，应当把握学生的培养规律，积极创造能够运用几何直观素养解决问题的情境，发挥学生的主体性，让学生在接受学习与发现学习中交叉感悟直观想象，使其在遇到数学问题时,能及时想到用 几何化的图形去理解和探索问题，逐渐形成良好的直观想象 素养.参考文献[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(2017版)[M].北京：人民教育出版社,2017.[2] 戴有刚.直观想象在2018年高考理科数学试卷中的体现[J].现代中小学教育,2018, 34(12): 55-58.2021年第11期（上）中学数学研究1717由①式得到：a (a — 1) (a — 2) < 3 a +盲，1 7 31 727b (b — 1) (b —2) < 3b + 27，c (c —1) (c —2) < 3c + 27，三3 27 1 7 3 1 27式相加得：匸a (a —1) (a —2) <匸(3a +盲)=3匸a +|1 = 10即①式成立，故原不等式得证.例4 (数学通讯问题332)已知正数x,y,z 满足._ 1 1 1 3xy+yz + zx < 3,求证： ------y +------------+--------------r 2 t •(1 + x)2 (1 + y)2 (1 + z)2 " 41 12 1(1+ x)2 + (1 + y)2 2 1+ xy冲1 • b 2 - I ，三 2 证.三、固定变量求导法证明 先证：实际上,11(1+ x)2 (1 + y)2 1+xy同理：1 1(1+y)2 + (1 + z)2 尸 1+y»(1 + z)x 1 — x实际上,9 + 6^3 3 9 + 6^3 2, 3 , 1 …44 ¥)2 > 0(0 <x< 1)9 + 6^3 2 1 b ------------a —-,--------4 4 1 — b①与上两式作和得：2[—+ —+ —] 2 + ^^ + ^^.(1 +x)2 (1 + y)2 (1 + z)2 1+xy 1+yz 1 + zx 令a = xy, b = yz, c = zx ,则问题转化为在：a+b+c < 31 1 1 3的条件下，求证：亠 + £ + — 2 3,由切线法得只1+a 1+b 1+c 2需证：xy(x —y)2 + (xy —1)2〉0(1+ x)2(1+y)2 (1+ xy) 21 _ 12 1耳 +(1+x)2 2 1 + zx1 、3 11 + a 4 4实际上4 2 (1 + a) (3 — a) O (a — 1)2 2 0,故②成立.同 理，2 4 - 4b,占2 4 - 4c.②上两式作和得：1 1 1、91/,」933R + R + R2 4 — 4 • (a + b + c) 2 4 — 4 = 2,故原命题得证.利用求导求岀切线法，可以推广到构造支撑函数解题, 只要可以构造一元的局部不等式即可.9 + 6^/3 2•c1,三式相加，即例5 (数学通讯问题27)已知a,b,c > 0且a + b + c = 3,求证：2 (a 3 + b 3 + c 3) + 3abc 2 9.证明 不妨设a 2 b 2 c ,先固定b ,则c = 3 — a — b, c ：=—1.记 f (a) = 2 (a 3 + b 3 + c 3) + 3abc ,贝」f ' (a) =6a 2 — 6c 2 + 3bc — 3ab=3 (a — c) [2 (a + c) — b] = 9 (a — c) (2 — b)由 a 2 b 2 c 及 a + b + c = 3 知 b < 2,故 f z (a)9(a — c)(2 — b) 2 0,故 f (a)单增=2b 3 + 2b 3 + 2(3 — 2b)3 + 3b 2 (3 — 2b)记 h (b) = 2b 3 + 2b 3 + 2(3 — 2b)3 + 3b 2 (3 — 2b),贝」h z (b) = —54 (b — 1)(b — 2), h(b)mi n = h (1)= 9.今f (a) 2 h(b)mm = 9,今 2 (a 3 + b 3 + c 3) + 3abc 2 9.例 6 (第 25 届 IMO)已知 x, y, z 2 0 且 x + y + z = 1,7求证：0 < xy + yz + zx — 2xyz < 盲.证明 先证:xy + yz + zx — 2xyz 2 0①xy + yz + zx — 2xyz 2 xyz + yzx + zxy — 2xyz = xyz 2 0,故①式成立•再证:xy + yz + zx — 2xyz <727不妨设x < y < z ,先固定y ,则z = 1 — x — y, z X = —1.记①11②②例5 （2004年波兰奥林匹克）已知正数a,b,c 且满足 a 2 + b 2 + c 2 = 1,求证：宀+占+产-2泌工.1—a 1—b 1—c 2证明 尝试构造支撑函数：2 A • x 2 + B ,由1 — x（Ax 2 + B ）'|”=噜得：A = 9+疋1，再=（Ax 2 + B ）|x =睿得：B =—扌以下证(总)'x=瞬由（宀）1 一 x — 明：冲1 • x 2 — 1(0 <x< 1)44,9 + 6皿 3、，x + 4)(x 一故①式恒成立，故：1—a①f (x) = xy + yz + zx — 2xyz ,贝」f z (x) = y — y + z — x —2yz + 2xy = (z — x) (1 — 2y).由 x < y < z 及 x + y + z = 1 知 y < 1,故 f z (x) = (z — x)(1 — 2y) 2 0,可知 f (x)单增•故 f (x) < f (y) = y 2 +y (1 — 2y) +y (1 — 2y) —2y 2 (1 — 2y)=4y 3 — 5y 2 + 2y.由 x = y < z 及 x + y + z = 1 知 0 < y < 3，记h (y) = 4y 3 — 5y 2 + 2y ,则 h z (y) = 12y 2 — 10y + 2 =172 (2y — 1) (3y — 1) 2 0, h(y)max = h(3) = 27, f (x) <1 7 3 217h(y )max = h(3) = 27,当且仅当x = y = z = 3时取等号. 故②式成立.综合①②可得原不等式成立.如果有三个变量，可以先固定一个，再用求导法就可以 了.例7 (数学通讯问题370)已知正数a, b, c 满足a+b+c =3,求 P = 4 + a 2 + b 2 + 4 + b 2 + c 2 + 4 + c 2 + a 2 的最大18中学数学研究2021年第11期(上)值.解不妨设a>b>c,a+b+c=3.先固定住a,将c看成b的函数，则c=3—a—b,c'=—1,将P看成是b的函数：令f(b)=”，1,»2+”，2+”，1,2.则4+a2+b24+b2+c24+c2+a2上/小—2b2c—2b2c”八「丿(4+a2+b2)2(4+b2+c2)2(4+c2+a2)2cb(4+c2+a2)2f(4+a2+b2)2V(c—b)[(4+a2)?—2bc(4+a2)—bc(b2+c2+bc)]f0V(c—b)[(4+a2)?—(b2+c2)(4+a2)—bc(b2+c2+bc)]fV(c—b)(4+a2—b2—c2—bc)(4+a2+bc)f0V(c—b)[(4—b2—c2)+(a2—bc)]•(4+a2+bc)f0Va>b>c>0及a+b+c=3,故f(b)f f(C)=4+a2+c2十4+c2+c2十4+c2+a221=4+(3-2c)2+c2+4+2c2,当a=b=c=1时，P=1,猜测P max=2•往证：当221120<C f1时，-----------------5---------------------f-,4+(3-2c)2+c24+2c2、2上式。
不等式的证明和运用
不等式的证明和运用在数学的学习中，不等式是一项极其重要的内容，不仅涉及到数值大小之间的比较，更在实际问题中有着广泛的应用。
本文将探讨不等式的证明方法和其在实际问题中的运用。
一、不等式的基本性质首先我们需要了解不等式的基本性质。
不等式有以下重要性质：1. 加法性质：如果 a > b, 那么 a + c > b + c 。
2. 减法性质：如果 a > b, 那么 a - c > b - c 。
3. 乘法性质：如果 a > b 且 c > 0，那么 ac > bc ；如果 a > b 且 c < 0，那么 ac < bc 。
4. 除法性质：如果 a > b 且 c > 0，那么 a/c > b/c ；如果 a > b 且 c < 0，那么 a/c < b/c 。
这些基本性质为我们后续证明不等式和解决实际问题提供了方便。
二、不等式的证明方法1. 直接证明法：直接证明法是最常见也是最直接的证明方法。
我们可以利用已知的条件和基本性质，逐步推导出需要证明的不等式。
例如，对于不等式(a + b)^2 ≥ 4ab ，我们可以先展开左侧，得到 a^2 + 2ab + b^2 ≥ 4ab ，然后再化简得到 a^2 - 2ab + b^2 ≥ 0 ，进一步变形得到 (a - b)^2 ≥ 0 。
根据平方数的非负性，我们可以得出以上不等式成立。
2. 反证法：反证法是一种常用的证明方法，适用于某些复杂的不等式证明。
我们假设不等式不成立，然后利用已知条件推导出矛盾，证明假设是错误的，从而得出原不等式成立。
例如，对于不等式a^2 + b^2 ≥ 2ab ，我们可以假设不等式不成立，即 a^2 + b^2 < 2ab 。
然后我们可以通过平方差公式将 a^2 + b^2 - 2ab 分解为 (a - b)^2 < 0 ，进而得出矛盾，因为平方数不可能小于零。
不等式与不等式的证明与应用
不等式与不等式的证明与应用不等式是数学中重要的概念之一，常用于比较大小关系及推断数值范围。
在本文中，我们将探讨不等式的基本定义、证明方法以及其在实际问题中的应用。
一、不等式的基本定义不等式是描述两个数或表达式大小关系的数学陈述，它可以使用不等号（>, <, ≥, ≤）来表示。
例如，对于实数 a 和 b，我们有以下几种常见的不等式形式：1. 大于不等式：a > b 表示 a 大于 b；2. 小于不等式：a < b 表示 a 小于 b；3. 大于等于不等式：a ≥ b 表示 a 大于等于 b；4. 小于等于不等式：a ≤ b 表示 a 小于等于 b。
在解不等式时，我们通常需要确定变量的取值范围，使得不等式成立。
二、不等式的证明方法证明不等式的过程可以分为直接证明法、间接证明法和数学归纳法。
1. 直接证明法直接证明法是最常见的证明不等式的方法之一，其基本思路是利用已知条件和已证明的数学结论，逐步推导出所要证明的不等式。
举例来说，若要证明不等式 a > b，则可以从已知条件出发，分别对a 和b 进行推导运算，最终得到 a 的表达式大于 b 的表达式，从而证明不等式成立。
2. 间接证明法间接证明法又称为反证法，其思路是假设所要证明的不等式不成立，然后运用逻辑推理推导出矛盾或不合理的结论，从而推断原假设错误，即所要证明的不等式成立。
例如，若要证明不等式 a > b，则可以假设a ≤ b，并通过逻辑推理得出矛盾的结论，进而推断原假设错误，从而证明不等式成立。
3. 数学归纳法数学归纳法常用于证明基于自然数的不等式。
其基本思想是先证明当 n 取某个特殊值时不等式成立，然后推断出当 n 取较大值时不等式也成立。
数学归纳法的推理结构包括基础步骤和归纳步骤，通过这两个步骤的逻辑推理，我们可以得出所要证明的不等式成立的结论。
三、不等式的应用不等式在实际问题中具有广泛的应用，尤其在经济学、物理学、金融学等领域中扮演着重要的角色。
不等式的证明与应用
不等式的证明与应用不等式是数学中常见的重要概念，它在数学推理和实际问题的解决中具有广泛的应用。
本文将从不等式的基本定义和性质入手，探讨不等式的证明方法和应用实例，以期加深对不等式的理解和运用。
一、不等式的基本定义和性质不等式是数学中比较两个数或两个代数表达式大小关系的数学语句。
常见的不等式符号包括“大于”（>）、“小于”（<）、“大于等于”（≥）和“小于等于”（≤）。
不等式的基本定义如下：定义1：给定实数a和b，若a-b是正数，则称a大于b，记作a>b；若a-b是负数，则称a小于b，记作a<b。
根据不等式的定义，我们可以得到以下性质：性质1：若a>b，则有-a<-b。
性质2：若a>b且b>c，则有a>c。
性质3：若a>b且c>0，则有ac>bc；若a<b且c<0，则有ac>bc。
以上性质是不等式研究和证明中常用的基本性质，能够在不等式的推导和转化中起到重要的作用。
二、不等式的证明方法不等式的证明与方程的证明有所不同，常用的不等式证明方法主要包括数学归纳法、反证法和数学推理法。
1. 数学归纳法数学归纳法用于证明关于自然数的不等式时很常见。
它的基本思路是：先证明当n=1时命题成立，然后假设当n=k（k为正整数）时命题成立，再证明当n=k+1时命题也成立。
通过这一过程，可以得出命题对于一切正整数n都成立。
举例说明：例1：证明不等式1 + 2 + 3 + ... + n < n^2对于一切正整数n成立。
解：当n=1时，左边为1，右边为1，不等式成立。
假设当n=k时命题成立，即1 + 2 + 3 + ... + k < k^2。
我们需要证明当n=k+1时命题也成立，即1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) < (k + 1)^2。
根据假设，我们有1 + 2 + 3 + ... + k < k^2，两边同时加k+1得到：1 +2 +3 + ... + k + (k + 1) < k^2 + (k + 1)。
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开题报告
题 目 一些不等式的证明及应用
学 院 数学与统计学院
班 级 09数应6班
姓 名 忠颖
专 业 数学与应用数学
学 号 291010621
指导教师 董芳芳
提交日期 2013年3月21日
师学院毕业论文（设计）开题报告
忠颖 学号 291010621 专业 数学与应用数学 班级 09级数应6班
指导
教师
董芳芳 职称 讲师 职务 教师
毕业论文（设计）类型 基础研究
论文（设计）题目 一些不等式的证明及应用
开题报告
一、论文题目：导数在不等式证明中的应用
二、论文研究的目的与意义
研究目的：不等式的证明是数学学习中的重要容之一，其常用方法有比较
法、分析法、综合法、归纳法、特殊不等式法等，但有一些问题用上述方法解
决是很困难的。在学习了导数的应用以后,用导数来证明不等式,能有效地提高
学生解决数学问题的能力。进一步熟练并加深导数在函数中的应用，并学会利
用导数证明不等式 。培养学生的分析问题、解决问题及知识综合运用能力。
研究意义 ：导数是研究函数性质的重要工具之一,也是中学数学中最基本
和最重要的容之一,利用导数的方法证明不等式是不等式证明中重要的组成部
分。导数作为微积分学的基本容，利用其证明不等式是一种行之有效的好方法，
它能将某些不等式的证明化难为易，问题也就迎刃而解了。微分中值定理和导
数应用是导数知识中的重要容,它们在不等式证明中有着广泛运用。
三、国外的研究现状
导数在不等式证明中的应用已经在国外都取得了一定的研究成果，特别
是采用的方法上更是有着百花齐放的壮观。目前在这方面国有了比较全面深度
的研究，国外的研究更侧重深度的展开。
四、课题研究设计
（一）、课题研究的目标。
1.进一步熟练并加深导数在函数中的应用并学会利用导数证明不等式；
2、培养学生的分析问题、解决问题及知识的综合运用能力。
（二）、课题研究的容
1、利用导数的定义证明不等式
2、利用微分中值定理证明不等式
3、利用函数的单调性证明不等式
4、利用泰勒公式证明不等式
5、利用函数的最值(极值)证明不等式
6、利用函数的凹凸性质证明不等式
五、进度安排
第一阶段：研究准备阶段（2012.11——2012.12）
1、确定研究方向，撰写研究方案。
2、结合现状调查情况，撰写开题论证报告。
第二阶段：研究实施阶段（2012.12——2013.3）
按计划实施研究，扎实开展各项研究活动。
1、确定的具体目标,查找并学习相关文献资料。
2、收集整理论题研究资料，提炼研究成果，完成阶段报告。
第三阶段：总结结题阶段（2013.3——2013.6）
1、课题资料的归纳与汇总。
2、撰写研究报告、工作报告、拟定检测方案、进行后期检测、检测报告。
3、申请结题鉴定。
六、研究方法
1、文献研究法
根据导数在不等式证明中的应用这一研究目的，通过调查文献来获得
资料，从而全面地、正确地了解掌握所要研究的问题。
2、个案研究法
对导数的性质及其应用加以调查分析，弄清其特点及其应用过程的
3、探索性研究法
用已知导数的性质及其应用等相关信息，进行探索、创新，进而对导
数在不等式证明中的应用进行总结。
4 、经验总结法
通过对导数性质及其应用的学习，进行归纳与分析，使之系统化、理
论化，总结。
七、可行性论证
1、通过查资料进行论证
2、通过和老师同学的交谈进行论证
3、通过分析总结进行论证
八、参考文献
【1】华东师大学.数学分析[M].高等教育
【2】樊启斌.数学综合复习解题指南[M].:大学
【3】晓玲.不等式证明中辅助函数的构造一[J] .师专学报
【4】华东师大学数学系数学分析(第三版)上册[M].高等教育
【5】周晓农.导数在不等式证明中的应用[J].金筑大学学报
【6】秋华.也谈利用凸函数证明初等不等式[J].高等数学研究
【7】伟高等数学习题集[M].国家行政学院
【8】曾捷数学分析同步辅导及习题全解[M].中国矿业大学
指导
教师
意见
签 名：
2013年 月 日
二 级
学 院
审 核
意 见
负 责 人 签 名：
年 月 日
目录
摘要 1
引言 1
一、利用导数的定义证明不等式 1
二、利用微分中值定理证明不等式 3
1.使用拉格朗日中值定理证明不等式 3
2.使用柯西中值定理证明不等式 4
三、利用函数的单调性证明不等 4
1.直接构造函数，再运用函数的单调性来证明不等式 5
2.先将不等式变形，然后再构造函数并来证明不等式 5
四、利用泰勒公式证明不等式 6
五、利用函数的最值(极值)证明不等式 7
六、利用函数的凹凸性质证明不等式 8
小结 9
致 9
参考文献
9
导数在不等式证明中的应用
摘要
导数是研究函数性质的重要工具之一,也是中学数学中最基本和最重要的容
之一, 利用导数的方法证明不等式是不等式证明中重要的组成部分。掌握导数在
各种不等式中的证明方法和证明技巧对学好数学有很大的帮助。在数学教学中将
数学问题系列化, 能够有效地提高学生解决数学问题的能力, 本文将通过举例
和评注的方式来阐述在不等式证明中导数的一些方法和一些技巧, 提高学生利
用导数证明不等式的能力。本文对导数在各种情形下的应用技巧作了系统的总结
导数在研究函数性质的问题当中起着十分重要的作用,尤其是在处理函数性质和
不等式有关的综合性问题当中,导数往往扮演着重要的角色,需要利用导数作为
工具得出函数性质,从而解决不等式问题。本文总结出导数在不等式证明的具体
方法,给出了各种方法的适用围.结合实际例题进行说明。
[关键词] 导数 中值定理 泰勒公式 函数最值 不等式证明
参考文献
【1】华东师大学.数学分析[M].高等教育
【2】樊启斌.数学综合复习解题指南[M].:大学
【3】晓玲.不等式证明中辅助函数的构造一[J] .师专学报
【4】华东师大学数学系数学分析(第三版)上册[M].高等教育
【5】周晓农.导数在不等式证明中的应用[J].金筑大学学报
【6】秋华.也谈利用凸函数证明初等不等式[J].高等数学研究
【7】伟高等数学习题集[M].国家行政学院
【8】曾捷数学分析同步辅导及习题全解[M].中国矿业大学
【9】袁秀萍. 导数在不等式证明中的应用[J].理科教学研究
【10】章辉. 不等式证明的导数方法[J].雁北师学院报
【11】王少英.利用导数证明不等式[J].学院学报(自然科学版)
毕业论文
题 目 导数在不等式证明中的应用
学 院 数学与统计学院
姓 名 忠颖
专 业 数学与应用数学
学 号 291010621
指导教师 董芳芳
提交日期 2013年3月21日