7约束优化

随机方向法的计算步骤：
1)选择一个可行的初始点xº，令x=xº,步长a= a º; 2) 产生k个n维随机单位向量，结合x、a计算出k个随机 点xj (j＝l，2，…，k)； 3)在k个随机点中，找出满足条件的随机点xL ，产生可 行搜索方向； d xL x0 找不到则a=0.67a，返回(2) 4)从初始点x出发，沿可行搜索方向d以步长1.33a进行 迭代计算，直至探索到一个满足全部约束条件且目 标函数值不再下降的新点x’，返回(2) 0 5) 收敛条件 1 f x f x 0 x x 2
虽然网格法有上述缺点．但由于该方法思路 简单易懂，并可求得全域最优解，对离散变量还 可取离散值作为分点，因此，对维数不高、不含 等式约束、但含有离散变量的优化设计问题．仍 可用网格法求解。
二、蒙特卡洛法
蒙特卡洛又称随机试验法。基本思路是利用 计算机产生的伪随机数，从设计方案集合中分批抽 样，每批均包含若干个满足约束条件设计方案，计 算目标函数值，并按目标函数值排序，取出前几个 或十几个最好者，然后再作下批抽样试验。当某批 抽样试验的前几个目标函数值不再明显变动时，则 可认为它已按概率收敛于某一最优方案
随机方向法的优点是对目标函数的性态无特殊 要求，程序设计简单，使用方便。由于可行搜索方 向是从许多随机方向种选择的使目标函数下降最快 的方向，加之步长还可以灵活变动，所以此算法的 收敛速度比较快。若能取得一个较好的初始点，迭 代次数可以大大减少。它是求解小型的优化设计问 题的一种十分有效的算法。
初始点的选择
随机方向法的初始点必须是可行点，即满足所 有不等式约束条件，当约束条件比较复杂，用人工不 易选择时，可用随机选择的方式产生。步骤如下： 1 ）输入设计变量的下限 值和上限值，即 ai xi bi (i 1,2, , n)
2）在区间（ 0， 1 ）内产生n个伪随机数ri (i 1,2, , n)。 3）计算随机点x的各分量 xi ai ri (bi ai ) 则取初始点x 0 x； (i 1,2, , n) 4）判别随机点x是否可行，若随机点 x为可行点，
d xL x
0
搜索步长的确定
可行搜索方向d确定后，初始点移至xL点，即 xLxº，从xº 点出发沿d方向进行搜索，所用的步 长。一般按加速步长法来确定。所谓加速步长法 是指依次迭代的步长按一定的比例递增的方法。 各次迭代的步长按下式计算： a=ma 式中m——步长加速系数，可取m=1．33 a——步长，初始步长取a=a0
( j 1,2,, k )

2）取一个试验步长a0 按照下式计算k个随机点 x j x0 a0e j ( j 1,2,, k ) 显然，k个随机点分布在以初始点xº 为中心，以试验 步长a0为半径的超球面上。 3)检验k个随机点xj(j＝1，2，…，n)是否为可行点， 除去非可行点，计算余下的可行随机点的目标函数值 比较其大小，选出目标函数值最小的点xL。 4)比较xL和xº两点的目标函数值，若 f xL f x0 则取xL和xº的连线方向作为可行搜索方向；否则将 步长a0缩小返回2）计算。如果a0缩到非常小仍然找 不到合适的xL说明该点是局部极小点，可以更换初始 点，重新开始计算。
(5)确定前p个最好点的均值x’和标准差d，当d的各 分量小于或等于预先规定的很小的数，则认为已收 敛于最优设计方案，并取函数值最小的点为最优解 (6)否则，构造新的试验区间[x’-3d,x’+3d]转向(2)
三、随机方向法
随机方向法是一种原理简单的直接解法。基本 思路是在可行域一 个能使目标函数值下降最快的随机方向作为可行搜 索方向，记作d，从初始点x0出发，沿d方向以一定 的步长进行搜索，得到新点x，新点x应满足约束条 件且函数值小于初始点的函数值。不断重复以上过 程，经过若干次迭代后，最终得到约束最优解。
s.t. g j x 0 j 1,2, , p ai xi bi i 1,2, , n X En
min f X
式中：aj，bj是设计变量xj的上界和下界，如果没有 上、下界约束，我们可以根据问题的性质估计一下 最优解所在的范围。 网格法就是在区域
初始复合形的形成
复合形法是在可行域内直接搜索最优点，因此， 要求初始复合形在可行域内生成，即复合形的k个顶 点必须是可行点。 生成初始复合形法的算法原理 1)由设计者决定k个可行点，构成初始复合形。当设 计变量较多或约束函数复杂时，由设计者决定k个可 行点常常很困难。只有在设计变量少，约束函数简单 的情况下，这种方法才被采用。 2)由设计者选定一个可行点，其余的(k-1)个可行点用 随机法产生。各顶点按下式计算
直接解法的一种基本思路是：在m个不等式 约束所确定的可行域内，选择一个初始点，然 后决定可行的搜索方向，以适当的步长沿该方 向进行搜索，得到一个使目标函数值下降的可 行的新点。 所谓可行搜索方向是指当设计点沿该 方向作微量移动时，目标函数值将下降， 且不会越出可行域。
图6-1 直接解法的搜索路线
m F F aL 为叶片顶部面积 １ 0
工程问题中绝大部分问题是约束问题。只要由 约束条件决定的可行域是凸集，同时目标函数也是 凸函数，其约束最优解就是全域最优解。否则将由 于选择的初始点不同，而搜索到不同的局部最优点 上。
根据求解方式的不同，可分为直接解法、间接解法。
直接解法：直接用原先的目标函数限定在可行 域内进行搜索，且在搜索过程中一步一步降低目标 函数值，直到求出最优解。通常用于仅含不等式约 束的问题，若等式约束不是复杂的隐函数而且易于 进行消元的，也可以适用。 间接解法：按照一定的原则，构造一个包含原 目标函数和约束条件的新目标函数，即将约束最优 化问题的求解转换成为一个或一系列的无约束最优 化问题；或者用线性规划或二次规划来逐次逼近非 线性规划问题。
约束优化方法
约束优化的模型，通常如下：
min f x f x1 , x2 ,, xn s.t. g j x g j x1 , x2 , , xn 0 ( j 1,2, , m) (k 1,2, , l )
hk x hk x1 , x2 , , xn 0
汽轮机叶片的优化设计 ： 已知叶片面积变化规律 F ( x) F0 axm , 求目标函数： a m 1 使叶片重量最轻 min f ( F0 , a, m) G g[ F0 L L ] m 1 F1 1 m 2 s.t. p LR p [1 (1 )( ） ] ［］ D F0 m 1 p (m 1)(m 2) L 叶片截面 上的最大拉应力需满足 许用应力 F0 ( F0 ) min 叶片根部面积需满 足条件
综上所述，产生可行搜索方向的条件可概括为，当xL 点满足
( j 1,2, , m) g j xL 0 f xj f x min L j 1 , 2 , , k 0 f x f x L


则可行搜索方向为
一、网格法
网格法实际上是一种穷举法，它是最简单的 约束直接优化方法。其基本思想是将约束域划分 成许多网格，求出满足约束条件的各网格点上的 目标函数值，比较它们的大小，从中选择函数值 最小的点；然后将该点周围的网格加密，再求得 满足约束条件的目标函数值最小的网格点．依次 循环，直到网格的尺寸小于允许的误差时，便求 得了最优解的近似解。
可行搜索方向的产生
在随机方向法中，产生可行搜索方向的方法是从 k(k＞n)个随机方向中选择较好的方向，其计算步骤 为： 1)在(-1，1)区间内产生伪随机数 rij (i＝1，2，…n；j=1，2，…k) 按下式计算随机单位向量
r1 j j r2 1 j e 1 n 2 j j r rn i i 1
D1 X E n a j x j b j , i 1,2,, n


上作出网格．网格既可以是等间距的也可以是不 等间距的。
首先将区间[aj,bj]分成m等分,形成的网格点数为
m1 1m2 1mn 1 mi 1
i 1
n
对这些网格点逐一进行检查，看是否满足约束 条件，并从满足约束条件的点中找出目标函数最小 的点。然后在目标函数最小的点的附近划出一个小 区域，加密网格重新进行检查，直到最大网格间距 小于误差要求时，可以认为找到了最小值。
q即为（0， 1 ）区间内的伪随机数。
算法：
(1)选定设计变量上下限[a,b]，或取全值域 (2)利用伪随机数r，产生随机试验点：
k k X k x1k、x2 、 、xn 其中： xik ai ri bi ai ， 1 i n， 1 k N


(3)若随机试验点不符合约束条件，则重新生成。共 生成N个符合约束条件的随机试验点 (4)计算目标函数值，并排序
直接法的特点是： 1）由于整个求解的工程在可行域内进行，因此，迭 代过程不论何时终止，都可以获得一个比初始点好 的设计点。 2）若目标函数为凸函数，可行域为凸集，则可保证 获得全域最优解。否则，因存在多个局部最优解， 当选择的初始点不相同时，可能搜索到不同的局部 最优点。为此，常在可行域内选择几个差别较大的 初始点分别进行计算，以便从求得的多个局部最优 解中选择更好的最优解。 3）要求可行域为有界的非空集，即在有界可行域内 存在满足全部约束条件的点，且目标函数有定义。
四、复合形法
复合形法是求解约束优化问题的一种重要的直 接解法。它的基本思路是在可行域内构造一个具有 k个顶点的初始复合形。对该复合形各顶点的目标 函数值进行比较，找到目标函数值最大的顶点(称 最坏点)，然后按一定的法则求出目标函数值有所 下降的可行的新点，并用此点代替最坏点，构成新 的复合形，复合形的形状每改变一次，就向最优点 移动一步，直至逼近最优点。 由于复合形的形状不必保持规则图形，对目标 函数及约束函数的性状又无特殊要求，因此该法的 适应性较强，在机械优化设计中得到广泛应用。