热传导方程的建立、数值解法及应用

regularpolygon tetragon pentagon hexagon heptagon octagon nonagon decagon hendecagon dodecagon tridecagon tetradecagon pentadecagon hexadecagon heptadecagon circle

进一步对时间积分，我们可以得到从 t1 到 t2 时刻流入体积元内部的热 量 Q1 ，即： 又由高斯公式：
Q1 ( d Q) d t
t1
t2
t2
t1
ku d s d t

Q1
t2
t1
t2 t2 2 k u d s d t ( k u ) d v d t k u d x d y d z d t t1 t1
t2
t1
u c d x d y d z d t t
根据热量守恒，
Q1 Q2
即：
k u d x d y d z d t =
t1
t2
t2
t1
u c d x d y d z d t t
我们得到：
即：
u k u =c t
u k 2u 2u 2u = 2 2 2 t c x y z
2d
室 外 T2
T 2 T1 Q1 k1 S 2d
Q1
墙
k1~玻璃的导热系数 k2~空气的导热系数
对于双层玻璃，根据热量守恒(连续性方程)得到.
T1 Ta Ta Tb Tb T2 Q 2 k1 S k2 S k1 S d l d
室 内 T1
d
l
d
室 外 T2
Q2
• 对于第二种边界条件，需要将边界的每一个网格与其周围网格的平均 值近似的代替该点由于网格内部热传导所形成的变化温度，如果考虑 边界绝热，那么只需要考虑这一项就可以了；如果边界非绝热，我们 还需要加上一项从外界流入某边界网格的热量除以物体比热和密度的 乘积。 • 对于第三种边界条件，则处理方法是：在一次迭代过程中，依次执行 第一种边界条件的处理方法和第二种边界条件的处理方法。
为了简单起见，我们建立二维矩形网格，将温度在二维平面对空间和时 间进行差分.
u lim 将 u 对时间进行向后差分，得： = t t 0
将 u 对空间进行中心差分，得：
2u x 2 2u y 2
x ix y j y
n 1 n uij uij
t

n 1 n uij uij
简写为：
u a 2 u
d t 时间内，在 ( x, y, z ) 处的体积元内所产生的热量 若物体内部有热源，
为 F ( x, y, z , t ) ，同样容易得到含热源的热传导方程：
F 其中：f = . c
u a 2 u +f
如果时间足够长，温度不再变化，此时 u =0 ,得到稳定场方程. 无热源条件成为可能
有限差分法就是将带求解的区域划分为无数多个微小的网格(或称为元 胞)，网格上承载着位置和温度信息，用网格上的温度近似代替物体所在 位置真实的温度.网格是一个为了便于分析和理解的数据结构，在求解的 过程中并不存在.有限差分法不仅可以用在求解热传导方程中，在所有的 (偏)微分方程都可以用它来求解，包括复杂的电磁场矢量方程.
双层玻璃的功效
这是一个一维热传导方程的问题。问题很简单，就是有两个其他条件完 全相同的房屋，它们的差异在于窗户。其中一间是用双层玻璃，一间用 双层玻璃合起来那么厚的单层玻璃，研究一下双层玻璃的隔热性能。 室 内 T1 室 外 T2 室 内 T1 室 外 T2
d
l
d
2d
墙
墙
室 利用前面的傅里叶定律，对于单层玻璃，单位时间流出室内 内 T1 的热量为：
显然，对于三维空间的的网格，我们也可以类似的得到：
1 n n n n n n n uin, u (1 2 r 2 r 2 r ) r ( u u ) r ( u u ) r ( u u j ,k i , j ,k x y z x i 1, j , k i 1, j , k y i , j 1, k i , j 1, k z i , j , k 1 i , j , k 1 )
1 u 2! x 2
(x) 2 O(x 2 )
2u 2 ui 1, j +ui 1, j =2ui , j 2 x O(x 2 ) x
稍微整理一下便得（*）式
最后结合热传导方程，就可以得到差分形式，即下一时刻位于(i,j)号网格
n1 u 中，所有位置的温度 i, j 与上一时刻周围网格温度的关系为：
这样的处理还没有完，由于边界的情况未知，所以我们需要对边界进行 特殊处理。 边界条件一般分为三类：边界温度已知、边界温度的法向梯度已知、两 者的线性组合已知。
0 u • 第一种最简单，只要设定一个初始温度 i , j ，之后的每一次迭代过程
中，都保持边界温度只随时间有关(已知)，与网格无关，但是边界内 部的网格温度需要根据边界上的温度而求得。
t
ui 1, j 2ui , j ui 1, j x
2
O(x 2 ) O(y 2 )
(*)

x ix y j y
ui , j 1 2ui , j ui , j 1 y 2
上式误差之所以为x 的高阶无穷小可以通过泰勒公式来证明。
2
泰勒公式展开为佩亚诺余项形式：
对于这个例子我们采用matlab提供的工具箱来求解，在下一个例子我会 完全通过自己编程来求解. 利用matlab提供的pdetool工具箱，我很可以得到稳态时刻，烤盘上的面 包温度分布情况.其结果如图所示.
从图中可以看出多边形烤盘的热量分布从边缘向中间逐渐递减，且边角 温度变化异常明显。随着边数地增加，边界的平均温度逐渐趋于平稳， 当边界为圆形时，热方差达到最小值。
我们需要将其中的规律提炼出来，并且用一个易于控制的参数来调配空 间利用率与受热均衡度之间的关系，从而可以烤焙出满足不同人口味的 面包. 很显然，当烤箱温度一到达设定温度时，其温度达到恒定，所以该问题 需要考虑二维平面上的热稳态泊松方程，其中的热源是根据温度来设定 的。
k u kf h (Textend T )
Ta指内层玻璃的外侧临界温度 Tb指外层玻璃的内侧临界温度 k1指玻璃的导热系数 k2指空气的导热系数
墙
化简得：
Q 2 k1
T1 T2 S d 2 k 1l k 2 d
我们对双层玻璃和单层玻璃的热量损失做一个比值：
T1 T 2 k1 S d 2 k 1l k 2 d Q2 2 T1 T 2 Q1 2 k 1l k 2 d k1 S 2d
1 n n n n n uin, u (1 2 r 2 r ) r ( u u ) r ( u u j i, j x y x i 1, j i 1, j y i , j 1 i , j 1 )
式中的未知参数是为了书写方便和便于编程所设计的，其中：
rx a 2 t / x 2 , ry a 2 t / y 2
Q2 2 Q1 2 k 1l k 2 d
从结果可以看出，当双层玻璃的间距l 璃更好的隔热效果. 为了进一步量化我们的结论，我们可以查找相关资料，代入具体数值.
Q 2 Q1 ，即利用双层 0 时，
玻璃的热量损失确实比单层少，所以说双层玻璃确实能够起到比单层玻
通过查找资料得知，在室温条件下 k 1 =4 10 - 3 ~8 10 - 3 , k 2 =2.5 10 - 4 ,
k1/k2=16~32.
保守起见，取k1/k2 =16. 取 h=l/d=4, 则 Q1/Q2=0.03即双层玻璃 窗与同样多材料的单层玻璃窗相比， 可减少97%的热量损失。 0.06 0.03 0.02 0 Q 1/ Q 2
2
4
6
l/d
设计最优化烤盘
在烤焙面包的过程中，其实也是有讲究的，如何精确设计烤焙面包的烤 盘的形状，使得在一个烤箱中一次能烤更多的面包,但是烤焙面包不会出 现局部烤焦. 很显然矩形烤盘是最节省空间的，但是它的四个角最容易烤焦，而圆形 烤盘是受热最均衡的，但是它无法形成镶嵌图形，从而造成空间的浪费。
u ui 1, j =ui , j + x
x ix y j y
1 2u x 2! x 2 (x)
x 2 O(x 2 )
x ix y j y 2 x ix y j y
同理：ui 1, j =ui , j 两项相加：便得
u x
x ix y j y
u d q k en d s d t k u d s d t n 2 en为该面元的外法向单位向量. k 又叫导热系数(单位:W/ m )，
对于一个封闭的体积元 ,在 d t 时间内其内部的热量的变化为为d Q.通过 对体积元的闭合面积分，得到：

dQ d q d s = ku d s d t
根据初中所学的热力学公式：物体吸收的热量等于该物体的比热容、质 量与温度增量的乘积.我们得到:
为物体的密度. 其中：
Q2 cmu = c [u ( x, y, z , t2 ) u ( x, y, z , t1 )]d x d y d z

对Q2 进一步变形，可以得到：
Q2
推导物体的热传导方程时，需要利用能量守恒定律和关于热传导的 Fourier定律： 热传导的Fourier定律定律(用自己的语言组织)：
d t 时间内，沿某面积元 d s 的外法线方向流过的热量d q 与该面积元两 u 侧的温度变化率 成正比，比例系数为k .自然条件下温度趋于减少，所 n