2013年高考真题文科数学试题分类汇编4：复数

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2013年高考试题及解析：文科数学(新课标Ⅰ卷)

绝密★启封并使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

全卷满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。

2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题共12小题。

每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

（1）已知集合A=｛1，2，3，4｝，B=｛x |x =n 2，n ∈A ｝，则A ∩B= （）（A ）｛0｝（B ）｛－1，,0｝（C ）{0，1} （D ）｛－1，,0，1} 【答案】A 【解析】【难度】容易【点评】本题考查集合之间的运算关系，即包含关系.在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第一章《集合》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算.在高考精品班数学（文）强化提高班中有对集合相关知识的总结讲解. （2）1＋2i(1－i)2＝（）（A ）－1－12i（B ）－1＋12i（C ）1＋12i（D ）1－12i【答案】B 【解析】【难度】容易【点评】本题考查复数的计算。

在高二数学（文）强化提高班下学期，第四章《复数》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算。

在高考精品班数学（文）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。

（3）从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）（A ）12（B ）13（C ）14（D ）16【答案】B【难度】容易【点评】本题考查几何概率的计算方法。

在高二数学（文）强化提高班，第三章《概率》有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对概率相关知识的总结讲解。

2013年高考文科数学真题及答案全国卷1-(7646)

2013 年高考文科数学真题及答案全国卷 1本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150 分，考试时间120 分钟。

第Ⅰ卷（选择题共60 分）一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013 课标全国Ⅰ，文1) 已知集合A＝ {1,2,3,4} ，B＝ { x| x＝n2，n∈A} ，则A∩B＝( ) ．A．{1,4} B ．{2,3} C ．{9,16} D ．{1,2}【答案】A【考点】本题主要考查集合的基本知识。

【解析】∵B＝{ x| x＝ n2， n∈A}＝ {1,4,9,16} ，∴A∩ B＝{1,4} ．2．(2013 课标全国Ⅰ，文2) 1 2i21 i＝( ) ．A. - 1 - 12 ??B ．11+i2C．1 +12 ??D．1 -12 ??【答案】B【考点】本题主要考查复数的基本运算。

【解析】1 2i 1 2i 1 2i i 2 i21 i 2i2 2 ＝ 11+i2.3．(2013 课标全国Ⅰ，文3) 从1,2,3,4 中任取 2 个不同的数，则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是( ) ．1 1 1 1A．2 B ．3 C ．4D ．6【答案】B【考点】本题主要考查列举法解古典概型问题的基本能力。

【解析】由题意知总事件数为6，且分别为(1,2) ，(1,3) ，(1,4) ，(2,3) ，(2,4) ，(3,4) ，满足条件的事13件数是2，所以所求的概率为.4．(2013 课标全国Ⅰ，文4) 已知双曲线C：2 2x y2 2 =1( a＞0，b＞0) 的离心率为a b52，则C的渐近线方程为() ．1 A．y = ± 4 1 3?? B ．y = ±??C．1y x D ．y = ±??2【答案】C【考点】本题主要考查双曲线的离心率、渐近线方程。

【解析】∵ 5e ，∴2 ca52，即22ca54.1∵c2＝a2＋b2，∴2＝a2＋b2，∴2b2a14. ∴ba12.∵双曲线的渐近线方程为 by xa，∴渐近线方程为 1y x . 故选C.2x x 3 2 5．(2013 课标全国Ⅰ，文5) 已知命题p：? x∈R, 2 ＜ 3 ；命题q：? x∈R，x ＝1－x，则下列命题中为真命题的是() ．A．p∧q B．p∧qC．p∧q D ．p∧q【答案】B【考点】本题主要考查常用逻辑用语等基本知识。

【2022高考必备】2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编(文科) 复数(原卷版)

2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编（文科）复数（原卷版）1．(2021年高考全国甲卷文科)已知2(1)32i z i -=+，则z = ( )A ．312i -- B ．312i -+ C ．32i -+ D ．32i --2．(2021年全国高考乙卷文科)设i 43i z =+，则z = ( )A ．–34i -B ．34i -+C ．34i -D ．34i +3．(2020年高考数学课标Ⅰ卷文科)若312i i z =++，则||=z ( )A ．0B ．1 CD ．24．(2020年高考数学课标Ⅱ卷文科)(1–i )4= ( )A ．–4B ．4C ．–4iD ．4i5．(2020年高考数学课标Ⅲ卷文科)若()11+=-z i i ，则z = ( )A ．1–iB ．1+iC ．–iD ．i6．(2019年高考数学课标Ⅲ卷文科)若(1i)2i z +=，则z = ( )A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i +7．(2019年高考数学课标Ⅱ卷文科)设()2z i i =+，则z = ( )A ．12i +B ．12i -+C ．12i -D ．12i --8．(2019年高考数学课标Ⅰ卷文科)设312iz i -=+，则||(z =) ( )A ．2 BCD ．19．(2018年高考数学课标Ⅲ卷文科)()()1i 2i +-= ( )A ．3i --B ．3i -+C ．3i -D ．3i +10．(2018年高考数学课标Ⅱ卷文科)()i 23i += ( )A ．32i -B ．32i +C ．32i --D ．32i -+11．(2018年高考数学课标Ⅰ卷文科)设1i2i 1i z -=++，则z = ( )A ．0B ．12 C ．1 D12．(2017年高考数学课标Ⅲ卷文科)复平面内表示复数的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限13．(2017年高考数学课标Ⅱ卷文科) ( )i(2i)z =-+(1)(2)i i ++=A ．B ．C ．D ．14．(2017年高考数学课标Ⅰ卷文科)下列各式的运算结果为纯虚数的是 ( )A ．B ．C ．D ．15．(2016年高考数学课标Ⅲ卷文科)若43i z =+，则||z z = ( )A ．1B ．1-C ．43+i 55D ．43i 55-16．(2016年高考数学课标Ⅱ卷文科)设复数z 满足i 3i z +=-，则z = ( )．A ．12i -+B ．12i -C ．32i +D ．32i -17．(2016年高考数学课标Ⅰ卷文科)设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a =( ) A ．3- B ．2- C ．2 D ．318．(2015年高考数学课标Ⅱ卷文科)若为a 实数,且2i 3i 1i a +=++,则a = ( ) A ．4- B ．3- C ．3 D ．419．(2015年高考数学课标Ⅰ卷文科)已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z = ( )A ．2i --B ．2i -+C ．2i -D ．2i + 20．(2014年高考数学课标Ⅱ卷文科)131i i +=- ( )Ａ．12i +Ｂ．12i -+Ｃ．12i -Ｄ．12i --21．(2014年高考数学课标Ⅰ卷文科)设i iz ++=11，则=||z ( ) A ．21 B ．22 C ．23 D ．2 22．(2013年高考数学课标Ⅱ卷文科)21i =+ ( )A．B ．2 CD ．123．(2013年高考数学课标Ⅰ卷文科)212(1)i i +=- ( ) A ．112i -- B ．112i -+ C ．112i + D ．112i - 24．(2012年高考数学课标卷文科)复数32i z i -+=+的共轭复数是 ( ) A ．2i + B ．2i -C ．1i -+D ．1i --1i -13i +3i +33i +2(1)i i +2(1)i i -2(1)i +(1)i i +。

(2010-2019)高考数学真题分类汇编复数文(含解析)

专题复数历年高考真题汇编1．【2019年新课标1文科01】设z，则|z|＝（）A．2 B．C．D．1【解答】解：由z，得|z|＝||．故选：C．2．【2018年新课标1文科02】设z2i，则|z|＝（）A．0 B．C．1 D．【解答】解：z2i2i＝﹣i+2i＝i，则|z|＝1．故选：C．3．【2017年新课标1文科03】下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A．i（1+i）2B．i2（1﹣i）C．（1+i）2D．i（1+i）【解答】解：A．i（1+i）2＝i•2i＝﹣2，是实数．B．i2（1﹣i）＝﹣1+i，不是纯虚数．C．（1+i）2＝2i为纯虚数．D．i（1+i）＝i﹣1不是纯虚数．故选：C．4．【2016年新课标1文科02】设（1+2i）（a+i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则a等于（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3【解答】解：（1+2i）（a+i）＝a﹣2+（2a+1）i的实部与虚部相等，可得：a﹣2＝2a+1，解得a＝﹣3．故选：A．5．【2015年新课标1文科03】已知复数z满足（z﹣1）i＝1+i，则z＝（）A．﹣2﹣i B．﹣2+i C．2﹣i D．2+i【解答】解：由（z﹣1）i＝1+i，得z﹣1，∴z＝2﹣i．故选：C．6．【2014年新课标1文科03】设z i，则|z|＝（）A．B．C．D．2【解答】解：z i i．故|z|．故选：B．7．【2013年新课标1文科02】（）A．﹣1i B．﹣1i C．1i D．1i【解答】解： 1i．故选：B．8．【2012年新课标1文科02】复数z的共轭复数是（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【解答】解：复数z1+i．所以复数的共轭复数为：﹣1﹣i．故选：D．9．【2011年新课标1文科02】复数（）A．2﹣i B．1﹣2i C．﹣2+i D．﹣1+2i【解答】解： 2+i故选：C．10．【2010年新课标1文科03】已知复数Z，则|z|＝（）A．B．C．1 D．2【解答】解：化简得Z•••，故|z|，故选：B．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等)，复数相等的充要条件，考查复数的代数形式的四则运算，重点考查复数的除法运算，与向量结合考查复数及其加法、减法的几何意义等，历年考题主要以选择题题型出现，重点考查的知识点为复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等)，复数相等的充要条件，考查复数的代数形式的四则运算，重点考查复数的除法运算等，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等)，复数相等的充要条件，考查复数的代数形式的四则运算为重点较佳.最新高考模拟试题1．复数52iz =-在复平面上的对应点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】，在复平面上的对应点为()2,1，位于第一象限. 故选A.2．设i z a b =+（a ，b ∈R ，i 是虚数单位），且22i z =-，则有（） A ．1a b +=- B ．1a b -=- C ．0a b -= D ．0a b +=【答案】D 【解析】因为，所以220a b -=，22ab =-，解得11a b =⎧⎨=-⎩或11a b =-⎧⎨=⎩，所以0a b +=，故选D.3．若复数1i1ia z +=+为纯虚数，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．1-C ．0D ．2【答案】B 【解析】故，解1a =-故选：B4．复数i （1+i ）的虚部为（） A ．2 B ．1C ．0D ．1-【答案】B 【解析】∵i （1+i ）=-1+i ， ∴i （1+i ）的虚部为1．故选：B ．5．已知复数11z i =-+，复数2z 满足122z z =-，则2z = ( ) A ．2 B ．2C ．10D ．10【答案】B 【解析】由题得，所以.故选：B6．已知复数312i z i=+，则复数z 的实部为（）A ．25-B ．25i -C ．15-D ．15i -【答案】A 【解析】解：∵，∴复数z 的实部为25-．故选A ． 7．复数122ii-=+（） A ．1i - B ．i -C ．iD ．1i +【答案】B 【解析】.故选B8．已知i 为虚数单位,复数z 满足：，则在复平面上复数z 对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】因为，所以复平面上复数z 对应的点为13(,)22-，位于第四象限，故选D .9．设复数z a i =+，z 是其共轭复数，若3455z i z =+，则实数a =（） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】C 【解析】解:z a i =+z a i ∴=-10．已知i 是虚数单位，复数z 满足，则z =（）A ．2B ．2C ．1D ．5【答案】A 【解析】，所以，故本题选A.11．复数，其中i 为虚数单位，则z 的实部是（） A ．-1 B ．1C ．2D ．3【答案】D 【解析】解：∴，∴z的实部是3故选：D．12．已知复数，则复数z=（）A．2i+B．2i-C．i D．i-【答案】C【解析】由题意，复数，则，故选C. 13．已知i为虚数单位，若，则b a=（）A．1 B．2C ．2D．2 【答案】C【解析】i为虚数单位，若，根据复数相等得到1212 ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.故答案为：C.14．已知复数z满足，则||z=（）A．2B．5 C．52D．8【答案】C【解析】∵，∴，∴．故选C ．15．已知i 是虚数单位，则复数11i i -+在复平面上所对应的点的坐标为（） A ．()0,1 B ．()1,0-C ．()1,0D ．()0,1-【答案】A 【解析】 ∵，∴该复数在复平面上对应的点的坐标为()0,1.故选A.16．若复数z 满足，则在复平面内z 的共轭复数对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】由题得，所以1z i =+，所以在复平面内z 的共轭复数对应的点为（1,1），在第一象限. 故选：A17．已知复数z 满足12iz i =+，则z 的虚部是（） A ．1- B ．i -C ．2D ．2i【答案】A 【解析】因为12iz i =+所以所以虚部为1-所以选A18．已知31i zi-=-（其中i为虚数单位），则z的虚部为( )A．i-B．1-C．1D．2【答案】B【解析】因为,所以2z i=-，故z的虚部为1-，故选B.19．复数的虚部为()A．1-B．3-C．1 D．2【答案】B【解析】所以z的虚部为3-故选B项.20．已知复数，212z i=+（i为虚数单位），若12zz为纯虚数，则a=（）A．2-B．2 C．12-D．12【答案】C【解析】∵，∴，∵12z z 为纯虚数， ∴12020a a +=⎧⎨-≠⎩，解得12a =-．故选：C ． 21．设复数z 满足2ii z+=，则z =（） A ．1 B ．5C ．3D ．5【答案】B 【解析】2ii z+=,,，故选B.22．已知复数1i z i=-，则2z +在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】 ∵，∴，∴2z +在复平面内对应的点的坐标为211,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，位于第一象限．故选：A ．23．复数z 满足(1)2z i i -=，则复数z =（）A ．1i -B ．12iC ．1i +D ．1i --【答案】D【解析】由题意得： 1z i ∴=--本题正确选项：D24．若复数是纯虚数，其中m 是实数，则1z =（） A ．i B ．i - C ．2i D ．2i -【答案】B【解析】复数z ＝m （m +1）+（m +1）i 是纯虚数，故m （m +1）＝0且（m +1）≠0，解得m ＝0，故z ＝i ，故i ．故选：B ．25．设i 为虚数单位，则复数22iz i -=+的共扼复数z =（）A ．3455i + B ．3455i -C ．3455i -+D ．3455i --【答案】A【解析】解：，故选：A ．26．已知复数1z 、2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，113z i =+，则12z z =( )A ．2B ．3C ．2D ．1【答案】D【解析】由题意，复数1z 、2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，113z i =+，则，所以，故选 D. 27．已知复数z 1＝1+2i ，z 2＝l ﹣i ，则12z z =（） A ．13i 22-- B ．13i 22-+ C ．13i 22- D ．13i 22+ 【答案】B【解析】∵，∴．故选：B ． 28．在复平面内，复数(2i)z -对应的点位于第二象限，则复数z 可取（）A ．2B ．-1C ．iD ．2i +【答案】B【解析】不妨设，则，结合题意可知：，逐一考查所给的选项：对于选项A ：，不合题意；对于选项B ：，符合题意；对于选项C ：，不合题意；对于选项D ：，不合题意；故选：B .29．已知i 为虚数单位，则复数3(1)i z i i +=-的虚部为（）A ．1B ．2C ．1-D ．2-【答案】C【解析】因为，所以z 的虚部为1-.30．已知复数（i 为虚数单位）在复平面内对应的点在直线2y x =上，则实数a 的值为（） A ．0 B ．1- C ．1 D ．13-【答案】D【解析】因为，对应的点为(1,1)a a +-，因为点在直线2y x =上，所以，解得13a =-. 故选D.。

2013年高考湖北文科数学试题及答案(word解析版)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2013年湖北，文1，5分】已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2}A =，{2,3,4}B =，则U B A =ð（）（A ）{2} （B ）{3,4} （C ）{1,4,5} （D ）{2,3,4,5} 【答案】B 【解析】U B A =ð{2,3,4}{3,4,5}{3,4}=，故选B ．（2）【2013年湖北，文2，5分】已知π04θ<<，则双曲线1C ：22221sin cos x y θθ-=与2C ：22221cos sin y x θθ-=的（）（A ）实轴长相等（B ）虚轴长相等（C ）离心率相等（D ）焦距相等【答案】D【解析】在双曲线1C ：22221sin cos x y θθ-=与2C ：22221cos sin y x θθ-=中，都有222sin cos 1c θθ=+=，即焦距相等，故选D ．（3）【2013年湖北，文3，5分】在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）（A ）()p ⌝∨()q ⌝ （B ）p ∨()q ⌝ （C ）()p ⌝∧()q ⌝ （D ）p ∨q【答案】A【解析】因为p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则p -是“没有降落在指定范围”，q -是“乙没有降落在指定范围”，所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()p ⌝∨()q ⌝，故选A ．（4）【2013年湖北，文4，5分】四名同学根据各自的样本数据研究变量,x y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：① y 与x 负相关且 2.347 6.423y x =-；② y 与x 负相关且 3.476 5.648y x =-+； ③ y 与x 正相关且 5.4378.493y x =+；④ y 与x 正相关且 4.326 4.578y x =--．其中一定不正确．．．的结论的序号是（）（A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）①④ 【答案】D【解析】在①中，y 与x 不是负相关；①一定不正确；同理④也一定不正确，故选D ．（5）【2013年湖北，文5，5分】小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图像是（）（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】C【解析】可以将小明骑车上学的行程分为三段，第一段是匀速行驶，运动方程是一次函数，即小明距学校的距离是他骑行时间的一次函数，所对应的函数图象是一条直线段，由此可以判断A 是错误的；第二段因交通拥堵停留了一段时间，这段时间内小明距学校的距离没有改变，即小明距学校的距离是行驶时间的常值函数，所对应的函数图象是平行于x 轴的一条线段，由此可以排除D ；第三段小明为了赶时间加快速度行驶，即小明在第三段的行驶速度大于第一段的行驶速度，所以第三段所对应的函数图象不与第一段的平行，从而排除B ，故选C ．（6）【2013年湖北，文6，5分】将函数sin ()y x x x =+∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（）（A ）π12 （B ）π6 （C ）π3 （D ）5π6【答案】B【解析】因为sin ()y x x x =+∈R 可化为2cos()6y x π=-（x ∈R ），将它向左平移π6个单位得x x y cos 26)6(cos 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=ππ，其图像关于y 轴对称，故选B ．（7）【2013年湖北，文7，5分】已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（）（A（B（C）（D）【答案】A【解析】2,1AB =（），5,5CD =（），则向量AB 在向量CD方向上的射影为cos AB CDAB CDθ⋅====，故选A ．（8）【2013年湖北，文8，5分】x 为实数，[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数()[]f x x x =-在R 上为（）（A ）奇函数（B ）偶函数（C ）增函数（D ）周期函数【答案】D【解析】函数()[]f x x x =-表示实数x 的小数部分，有(1)1[1][]()f x x x x x f x +=+-+=-=，所以函数()[]f x x x =-是以1为周期的周期函数，故选D ．（9）【2013年湖北，文9，5分】某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆．则租金最少为（）（A ）31200元（B ）36000元（C ）36800元（D ）38400元【答案】C【解析】根据已知，设需要A 型车x 辆，B 型车y 辆，则根据题设，有2170,03660900x y y x x y x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨>>⎪⎪+=⎩，画出可行域，求出三个顶点的坐标分别为4(7)1A ,，2(5)1B ,，6(15C ,），目标函数（租金）为16002400k x y =+，如图所示．将点B 的坐标代入其中，即得租金的最小值为：1600524001236800k =⨯+⨯=（元），故选C ．（10）【2013年湖北，文10，5分】已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（）（A ）(,0)-∞ （B ）1(0,)2（C ）(0,1) （D ）(0,)+∞【答案】B【解析】'()ln 12f x x ax =+-，由()(ln )f x x x ax =-由两个极值点，得'()0f x =有两个不等的实数解，即ln 21x ax =-有两个实数解，从而直线21y ax =-与曲线ln y x =有两个交点．过点01（,-）作ln y x =的切线，设切点为00x y （,），则切线的斜率01k x =，切线方程为011y x x =-．切点在切线上，则00010x y x =-=，又切点在曲线ln y x =上，则00ln 01x x =⇒=，即切点为10（,）．切线方程为1y x =-．再由直线21y ax =-与曲线ln y x =有两个交点，知直线21y ax =-位于两直线0y =和1y x =-之间，如图所示，其斜率2a 满足：021a <<，解得102a <<，故选B ．二、填空题：共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．．．．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（11）【2013年湖北，文11，5分】i 为虚数单位，设复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于原点对称，若123i z =-，则2z = ．【答案】23i -+【解析】复数123i z =-在复平面内的对应点123Z -（,），它关于原点的对称点2Z 为2,3-（），所对应的复数为223i z =-+．（12）【2013年湖北，文12，5分】某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4则（1）平均命中环数为；（2）命中环数的标准差为．【答案】（1）7；（2）2【解析】（1）()178795491074710+++++++++=；（2）2s =．（13）【2013年湖北，文13，5分】阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入m 的值为2，则输出的结果i = ．【答案】4【解析】初始值2110m A B i ====，，，，第一次执行程序，得121i A B ===，，，因为A B <不成立，则第二次执行程序，得2224122i A B ==⨯==⨯=，，，还是A B <不成立，第三次执行程序，得3428236i A B ==⨯==⨯=，，，仍是A B <不成立，第四次执行程序，得48216i A ==⨯=，，424B =⨯=，有A B <成立，输出4i =．（14）【2013年湖北，文14，5分】已知圆O ：225x y +=，直线l ：cos sin 1x y θθ+=（π02θ<<）．设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k =_________．【答案】4【解析】这圆的圆心在原点，半径为5，圆心到直线l 1=，所以圆O 上到直线l 的距离等于1的点有4个，如图A 、B 、C 、D 所示．（15）【2013年湖北，文15，5分】在区间[2,4]-上随机地取一个数x ，若x 满足||x m ≤的概率为56，则m = ．【答案】3 【解析】因为区间[2,4]-的长度为6，不等式||x m ≤的解区间为[-m ，m ] ，其区间长度为2m ．那么在区间[2,4]-上随机地取一个数x ，要使x 满足||x m ≤的概率为56，m 将区间[2,4]-分为[]2m -，和[m ，4]，且两区间的长度比为5:1，所以3m =．（16）【2013年湖北，文16，5分】我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是寸．（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）【答案】3【解析】如图示天池盆的半轴截面，那么盆中积水的体积为()22961061031963V ππ=⨯++⨯=⨯（立方寸），盆口面积S =196π（平方寸），所以，平地降雨量为323196()3196⨯=寸（寸）（寸）．（17）【2013年湖北，文17，5分】在平面直角坐标系中，若点(,)P x y 的坐标x ，y 均为整数，则称点P 为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L ．例如图中△ABC 是格点三角形，对应的1S =，0N =，4L =．（1）图中格点四边形DEFG 对应的,,S N L 分别是；（2）已知格点多边形的面积可表示为S aN bL c =++，其中a ，b ，c 为常数．若某格点多边形对应的71N =，18L =，则S = （用数值作答）．【答案】（1）3, 1, 6；（2）79 【解析】（1）S=S △DFG +S △DEF =1+2=3 ，N=1，L =6．（2）根据题设△ABC 是格点三角形，对应的1S =，0N =，4L =，有 41b c += ①由（1）有63a b c ++= ② 再由格点DEF ∆中，S=2，N=0，L=6，得62b c += ③联立①②③，解得1,1, 1.2b c a ==-=所以当71N =，18L =时，171181792S =+⨯-=．三、解答题：共5题，共65分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（18）【2013年湖北，文18，12分】在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ．已知cos23cos()1A B C -+=．（1）求角A 的大小；（2）若△ABC 的面积S =5b =，求sin sin B C 的值．解：（1）由cos23cos()1A B C -+=，得22cos 3cos 20A A +-=，即(2cos 1)(cos 2)0A A -+=，解得1cos 2A =或cos 2A =-（舍去）．因为0πA <<，所以π3A =．（2）由11sin 22S bc A bc ====得20bc =．又5b =，知4c =．由余弦定理得2222cos 25162021,a b c bc A =+-=+-=故a =．又由正弦定理得222035sin sin sin sin sin 2147b c bc B C A A A a a a =⋅==⨯=．（19）【2013年湖北，文19，13分】已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，4S ，2S ，3S 成等差数列，且23418a a a ++=-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在正整数n ，使得2013n S ≥？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，则10a ≠，0q ≠．由题意得243223418S S S S a a a -=-⎧⎨++=-⎩，即23211121(1)18a q a q a q a q q q ⎧--=⎪⎨++=-⎪⎩，解得132a q =⎧⎨=-⎩，故数列{}n a 的通项公式为13(2)n n a -=-．（2）由（1）有3[1(2)]1(2)1(2)n n n S ⋅--==----．若存在n ，使得2013n S ≥，则1(2)2013n --≥，即(2)2012.n -≤-当n 为偶数时，(2)0n ->，上式不成立；当n 为奇数时，(2)22012n n -=-≤-，即22012n ≥，则11n ≥．综上，存在符合条件的正整数n ，且所有这样的n 的集合为{21,,5}n n k k k =+∈≥N ．（20）【2013年湖北，文20，13分】如图，某地质队自水平地面A ，B ，C 三处垂直向地下钻探，自A 点向下钻到A 1处发现矿藏，再继续下钻到A 2处后下面已无矿，从而得到在A 处正下方的矿层厚度为121A A d =．同样可得在B ，C 处正下方的矿层厚度分别为122B B d =，123C C d =，且123d d d <<．过AB ，AC 的中点M ，N 且与直线2AA 平行的平面截多面体111222A B C A B C -所得的截面DEFG 为该多面体的一个中截面，其面积记为S 中．（1）证明：中截面DEFG 是梯形；（2）在△ABC 中，记BC a =，BC 边上的高为h ，面积为S ．在估测三角形ABC 区域内正下方的矿藏储量（即多面体111222A B C A B C -的体积V ）时，可用近似公式V S h =⋅估中来估算．已知1231()3V d d d S =++，试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明．解：（1）依题意12A A ⊥平面ABC ，12B B ⊥平面ABC ，12C C ⊥平面ABC ，所以A 1A 2∥B 1B 2∥C 1C 2．又121A A d =， 122B B d =，123C C d =，且123d d d <<．因此四边形1221A A B B 、1221A A C C 均是梯形．由2AA ∥平面MEFN ，2AA ⊂平面22AA B B ，且平面22AA B B平面MEFN ME =，可得AA 2∥ME ，即A 1A 2∥DE ．同理可证A 1A 2∥FG ，所以DE ∥FG ．又M 、N 分别为AB 、AC 的中点，则D 、E 、F 、G 分别为11A B 、22A B 、22A C 、11A C 的中点，即DE 、FG 分别为梯形1221A A B B 、1221A A C C 的中位线．因此 12121211()()22DE A A B B d d =+=+，12121311()()22FG A A C C d d =+=+，而123d d d <<，故DE FG <，所以中截面DEFG 是梯形．（2）V V <估．证明如下：由12A A ⊥平面ABC ，MN ⊂平面ABC ，可得12A A MN ⊥．而EM ∥A 1A 2，所以EM MN ⊥，同理可得FN MN ⊥．由MN 是△ABC 的中位线，可得1122MN BC a ==即为梯形DEFG 的高，因此13121231()(2)22228DEFG d d d d a a S S d d d ++==+⋅=++中梯形，即123(2)8ahV S h d d d =⋅=++估中．又12S ah =，所以1231231()()36ahV d d d S d d d =++=++．于是1231232131()(2)[()()]6824ah ah ahV V d d d d d d d d d d -=++-++=-+-估．由123d d d <<，得210d d ->，310d d ->，故V V <估．（21）【2013年湖北，文21，13分】设0a >，0b >，已知函数()1ax bf x x +=+．（1）当a b ≠时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当0x >时，称()f x 为a 、b 关于x 的加权平均数．（i ）判断(1)f, f ,()bf a是否成等比数列，并证明()b f f a ≤；（ii ）a 、b 的几何平均数记为G ．称2aba b+为a 、b 的调和平均数，记为H ．若()H f x G ≤≤，求x的取值范围．解：（1）()f x 的定义域为(,1)(1,)-∞--+∞，22(1)()()(1)(1)a x ax b a bf x x x +-+-'==++．当a b >时，()0f x '>，函数()f x 在(,1)-∞-，(1,)-+∞上单调递增；当a b <时，()0f x '<，函数()f x 在(,1)-∞-，(1,)-+∞上单调递减．（2）（i ）(1)02a b f +=>，2()0b abf a a b=>+，0f =>．故22(1)()[2b a b ab f f ab f a a b +=⋅==+，即2(1)()[b f f f a =．①所以(1),()bf f f a 成等比数列．因2a b +≥，即(1)f f ≥．由①得()b f f a ≤．（ii ）由（i ）知()bf H a=，f G =．故由()H f x G ≤≤，得()()(b f f xf a ≤≤．② 当a b =时，()()b f f x f a a ===．这时，x 的取值范围为(0,)+∞；当a b >时，01ba<<，从而b a <，由()f x 在(0,)+∞上单调递增与②式，得b x a ≤≤即x的取值范围为,b a ⎡⎢⎣；当a b <时，1ba>，从而b a >由()f x 在(0,)+∞上单调递减与②式，bx a ≤，即x的取值范围为b a ⎤⎥⎦．（22）【2013年湖北，文22，14分】如图，已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ，长轴均为MN且在x 轴上，短轴长分别为2m ，2()n m n >，过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ，2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．记mnλ=，△BDM 和△ABN 的面积分别为1S 和2S ．（1）当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，求λ的值；（2）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=？并说明理由．解：依题意可设椭圆1C 和2C 的方程分别为1C ：22221x y a m +=，2C ：22221x y a n +=．其中0a m n >>>， 1.mnλ=>（1）解法一：如图1，若直线l 与y 轴重合，即直线l 的方程为0x =，则111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=，所以12||||S BD S AB =．在C 1和C 2的方程中分别令0x =，可得A y m =，B y n =，D y m =-，于是||||1||||1B D A B y y BD m n AB y y m n λλ-++===---．若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=．由1λ>，可解得1λ=．故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ．解法二：如图1，若直线l 与y 轴重合，则||||||BD OB OD m n =+=+，||||||AB OA OB m n =-=-；111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=．所以12||1||1S BD m n S AB m n λλ++===--．若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=．由1λ>，可解得1λ=．故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ=．（2）解法一：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=．根据对称性，不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则因为1d ==2d ==，所以12d d =．又111||2S BD d =，221||2S AB d =，所以12||||S BD S AB λ==，即||||BD AB λ=．由对称性可知||||AB CD =，所以||||||(1)||BC BD AB AB λ=-=-，||||||(1)||AD BD AB AB λ=+=+，于是||1||1AD BC λλ+=-．① 将l 的方程分别与C 1，C 2的方程联立，可求得A x =B x = 根据对称性可知C B x x =-，D A x x =-，于是2||||2A B x AD BC x = ②1(1)λλλ+=-．③令1(1)t λλλ+=-，则由m n >，可得1t ≠，于是由③可解得222222(1)(1)n t k a t λ-=-．因为0k ≠，所以20k >．于是③式关于k 有解，当且仅当22222(1)0(1)n t a t λ->-，等价于2221(1)()0t t λ--<．由1λ>，可解得11t λ<<，即111(1)λλλλ+<<-，由1λ>，解得1λ>+所以当11λ<≤+l ，使得12S S λ=；当1λ> 轴不重合的直线l 使得12S S λ=．解法二：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=．根据对称性，不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则因为1d ==，2d =12d d =．又111||2S BD d =，221||2S AB d =，所以12||||S BD S AB λ==．因为||||A B A B x x BD AB x x λ+==-，所以11A B x x λλ+=-．由点(,)A A A x kx ，(,)B B B x kx 分别在C 1， C 2上，可得222221A A x k x a m +=，222221B B x k x a n +=，两式相减可得22222222()0A B A B x x k x x a mλ--+=，依题意0A B x x >>，所以22A B x x >．所以由上式解得22222222()()A B B A m x x k a x x λ-=-．因为20k >，所以由2222222()0()A B B A m x x a x x λ->-，可解得1A B x x λ<<．从而111λλλ+<<-，解得1λ>+所以当11λ<≤+l ，使得12S S λ=；当1λ>+l 使得12S S λ=．。

2013年安徽高考数学试卷(含文科理科)

2013年普通高等学校招生考试（安徽卷）理科数学一、选择题1.设i 是虚数单位,z 是复数z 的共轭复数,若z ·z i +2=2z ,则z =（　）(A)1+i(B)1−i(C)−1+i(D)−1−i2.如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是（　）(A)16(B)2524(C)34(D)11123.在下列命题中,不是公理的是（　）(A)平行于同一个平面的两个平面相互平行(B)过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面(C)如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内(D)如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线4.“a ⩽0”是“函数f (x )=|(ax −1)x |在区间(0,+∞)内单调递增”的（　）(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件5.某班级有50名学生,其中有30名男生和20名女生,随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86、94、88、92、90,五名女生的成绩分别为88、93、93、88、93.下列说法一定正确的是（　）(A)这种抽样方法是一种分层抽样(B)这种抽样方法是一种系统抽样(C)这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差(D)该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数6.已知一元二次不等式f (x )<0的解集为{x |x <−1或x >12},则f (10x )>0的解集为（　）(A){x |x <−1或x >−lg 2}(B){x |−1<x <−lg 2}(C){x |x >−lg 2}(D){x |x <−lg 2}7.在极坐标系中,圆ρ=2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（　）(A)θ=0(ρ∈R )和ρcos θ=2(B)θ=π2(ρ∈R )和ρcos θ=2(C)θ=π2(ρ∈R )和ρcos θ=1(D)θ=0(ρ∈R )和ρcos θ=18.函数y =f (x )的图象如图所示,在区间[a,b ]上可找到n (n ⩾2)个不同的数x 1,x 2,···,x n ,使得f (x 1)x 1=f (x 2)x 2=···=f (x n )x n,则n 的取值范围为（　）(A){2,3}(B){2,3,4}(C){3,4}(D){3,4,5}9.在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,两定点A ,B 满足# »OA = # »OB=# »OA ·# »OB =2,则点集{P |# »OP =λ# »OA +µ# »OB,|λ|+|µ|⩽1,λ,µ∈R }所表示的区域的面积是（　）(A)2√2(B)2√3(C)4√2(D)4√310.若函数f (x )=x 3+ax 2+bx +c 有极值点x 1,x 2,且f (x 1)=x 1,则关于x 的方程3(f (x ))2+2af (x )+b =0的不同实根个数是（　）(A)3(B)4(C)5(D)6二、填空题11.若(x +a3√x )8的展开式中x 4的系数为7,则实数a =.12.设△ABC 的内角A ,B ,C 所对边的长分别为a ,b ,c .若b +c =2a ,3sin A =5sin B ,则角C =.13.已知直线y =a 交抛物线y =x 2于A ,B 两点.若该抛物线上存在点C ,使得∠ACB 为直角,则a 的取值范围为.14.如图,互不相同的点A 1,A 2,···,A n ,···和B 1,B 2,···,B n ,···分别在角O 的两条边上,所有A n B n 相互平行,且所有梯形A n B n B n +1A n +1的面积均相等.设OA n =a n .若a 1=1,a 2=2,则数列{a n }的通项公式是.O A 1A 2A 3B 1B 2B 315.如图,正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1,P 为BC 中点,Q 为线段CC 1上的动点,过A 、P 、Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ,则下列命题正确的是.(写出所有正确命题的编号)A BPQ CDA 1B 1C 1D 1••①当0<CQ <12时,S 为四边形;②当CQ =12时,S 为等腰梯形;③当CQ =34时,S 与C 1D 1交点R 满足C 1R 1=13;④当34<CQ <1时,S 为六边形;⑤当CQ =1时,S 的面积为√62.三、解答题16.已知函数f (x )=4cos ωx ·sin (ωx +π4)(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值;(2)讨论f (x )在区间[0,π2]上的单调性.17.设函数f (x )=ax −(1+a 2)x 2,其中a >0,区间I ={x |f (x)>0},(1)求I 的长度(注:区间(α,β)的长度定义为β−α);(2)给定常数k ∈(0,1),当1−k ⩽a ⩽1+k 时,求I 长度的最小值.18.设椭圆E :x 2a 2+y 21−a 2=1的焦点在x 轴上.(1)若椭圆E 的焦距为1,求椭圆E 的方程;(2)设F 1,F 2分别是椭圆E 的左、右焦点,P 为椭圆E 上第一象限内的点,直线F 2P 交y 轴于点Q ,并且F 1P ⊥F 1Q ,证明:当a 变化时,点P 在某定直线上.19.如图,圆锥顶点为P .底面圆心为O ,其母线与底面所成的角为22.5◦.AB和CD 是底面圆O 上的两条平行的弦,轴OP 与平面P CD 所成的角为60◦.(1)证明:平面P AB 与平面P CD 的交线平行于底面;(2)求cos ∠COD .O CD PB A•20.设函数f n (x )=−1+x +x 222+x 332+···+x nn2(x ∈R ,n ∈N ∗).证明:(1)对每个n ∈N ∗,存在唯一的x n ∈[23,1],满足f n (x n )=0;(2)对任意p ∈N ∗,由(1)中x n 构成的数列{x n }满足0<x n −x n +p <1n.21.某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动,分别由李老师和张老师负责,已知该系共有n 位学生,每次活动均需该系k 位学生参加(n 和k 都是固定的正整数).假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k 位学生,且所发信息都能收到.记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X .(1)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率;(2)求使P (X =m )取得最大值的整数m .2013年普通高等学校招生考试（安徽卷）文科数学一、选择题1.设i是虚数单位,若复数a−103−i(a∈R)是纯虚数,则a的值为（　）(A)−3(B)−1(C)1(D)32.已知A={x|x+1>0},B={−2,−1,0,1},则(∁R A)∩B=（　）(A){−2,−1}(B){−2}(C){−1,0,1}(D){0,1}3.如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是（　）(A)34(B)16(C)1112(D)25244.“(2x−1)x=0”是“x=0”的（　）(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件5.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为（　）(A)23(B)25(C)35(D)9106.直线x+2y−5+√5=0被圆x2+y2−2x−4y=0截得的弦长为（　）(A)1(B)2(C)4(D)4√67.设S n为等差数列{a n}的前n项和,S8=4a3,a7=−2,则a9=（　）(A)−6(B)−4(C)−2(D)28.函数y=f(x)的图象如图所示,在区间[a,b]上可找到n(n⩾2)个不同的数x1,x2,···,x n,使得f(x1)x1=f(x2)x2=···=f(x n)x n,则n的取值范围为（　）(A){2,3}(B){2,3,4}(C){3,4}(D){3,4,5}9.设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若b+c=2a,3sin A=5sin B,则角C=（　）(A)π3(B)2π3(C)3π4(D)5π610.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1,x2,若f(x1)=x1<x2,则关于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同实根个数为（　）(A)3(B)4(C)5(D)6二、填空题11.函数y=ln(1+1x)+√1−x2的定义域为.12.若非负变量x,y满足约束条件x−y⩾−1x+2y⩽4,则x+y的最大值为.13.若非零向量a,b满足|a|=3|b|=|a+2b|,则a与b夹角的余弦值为.14.定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=2f(x).若当0⩽x⩽1时,f(x)=x(1−x),则当−1⩽x⩽0时,f(x)=.15.如图,正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1,P为BC中点,Q为线段CC1上的动点,过A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为S,则下列命题正确的是.(写出所有正确命题的编号)A BPQCDA1B1C1D1••①当0<CQ<12时,S为四边形;②当CQ=12时,S为等腰梯形;③当CQ=34时,S与C1D1交点R满足C1R1=13;④当34<CQ<1时,S为六边形;⑤当CQ=1时,S的面积为√62.三、解答题16.设函数f(x)=sin x+sin(x+π3).(1)求f(x)的最小值,并求使f(x)取得最小值的x的集合;(2)不画图,说明函数y=f(x)的图象可由y=sin x的图象经过怎样的变化得到.17.为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况,用简单随机抽样,从这两校中各抽取30名高三年级学生,以他们的数学成绩(百分制)作为样本,样本数据的茎叶图如图:甲乙745533253385543331006000112233586622110070022233669754428115582090(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05,求甲校高三年级学生总人数,并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格);(2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为¯x1,¯x2,估计¯x1−¯x2的值.18.如图,四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 是边长为2的菱形,∠BAD =60◦.已知P B =P D =2,P A =√6.(1)证明:P C ⊥BD ;(2)若E 为P A 的中点,求三棱锥P −BCE 的体积.APEBCD19.设数列{a n }满足a 1=2,a 2+a 4=8,且对任意n ∈N ∗,函数f (x )=(a n −a n +1+a n +2)x +a n +1cos x −a n +2sin x 满足f ′(π2)=0.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若b n =2(a n +12a n ),求数列{b n }的前n 项和S n .20.设函数f (x )=ax −(1+a 2)x 2,其中a >0,区间I ={x |f (x )>0}.(1)求I 的长度(注:区间(α,β)的长度定义为β−α);(2)给定常数k ∈(0,1),当1−k ⩽a ⩽1+k 时,求I 长度的最小值.21.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的焦距为4,且过点P (√2,√3).(1)求椭圆C 的方程;(2)设Q (x 0,y 0)(x 0y 0=0)为椭圆C 上一点,过点Q 作x 轴的垂线,垂足为E .取点A (0,2√2),连接AE .过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D .点G 是点D 关于y 轴的对称点,作直线QG ,问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点?并说明理由.。

(完整版)高考数学复数习题及答案

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可能是最大的免费教育资源网！高考复数训练题1．(2013·山东)复数等于(　C )3－i1－i A ．1＋2i B ．1－2i C ．2＋i D ．2－i2．(2013·宁夏、海南)复数－＝(　D )3＋2i 2－3i 3－2i 2＋3i A ．0 B ．2 C ．－2iD ．2i3．(2013·陕西)已知z 是纯虚数，是实数，那么z 等于(　D )z ＋21－i A ．2i B ．i C ．－i D ．－2i4．(2013·武汉市高三年级2月调研考试)若f (x )＝x 3－x 2＋x －1，则f (i)＝(　B )A ．2i B ．0 C ．－2i D ．－25．(2013·北京朝阳4月)复数z ＝(i 是虚数单位)在复平面内对应的点位于(　D )2－i1＋i A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限 D ．第四象限6．(2013·北京东城3月)若将复数表示为a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)的形式，则的值为2＋i i b a (　A )7．(2013·北京西城4月)设i 是虚数单位，复数z ＝tan45°－i·sin60°，则z 2等于(　B )A.－i B.－i 743143C.＋i D.＋i7431438．(2013·黄冈中学一模)过原点和－i 在复平面内对应的直线的倾斜角为(　D )3A. B ．－π6π6C.πD.π23569．设a 、b 、c 、d ∈R ，若为实数，则(　C )a ＋b ic ＋d i A ．bc ＋ad ≠0 B ．bc －ad ≠0C ．bc －ad ＝0 D ．bc ＋ad ＝010．已知复数z ＝1－2i ，那么＝(　D )1z A.＋i B.－i5525555255C.＋iD.－i1525152511．已知复数z 1＝3－b i ，z 2＝1－2i ，若是实数，则实数b 的值为(　A )z 1z 2A ．6 B ．－6 C ．0 D.1612．(2013·广东)设z 是复数，α(z )表示满足z n ＝1的最小正整数n ，则对虚数单位i ，α(i )＝(　B )A ．2B ．4C ．6D ．813．若z ＝＋i ，且(x －z )4＝a 0x 4＋a 1x 3＋a 2x 2＋a 3x ＋a 4，则a 2等于(　B )1232A ．－＋i B ．－3＋3i12323C ．6＋3i D ．－3－3i3314．若△ABC 是锐角三角形，则复数z ＝(cos B －sin A )＋i (sin B －cos A )对应的点位于(　B )A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限 D ．第四象限3eud 教育网教学资源集散地。

山东省高考文科数学真题及答案

山东省高考文科数学真题及答案TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-2013年山东省高考数学试卷（文科）一．选择题：本题共12个小题，每题5分，共60分．1．（5分）复数z=（i为虚数单位），则|z|（）A．25 B．C．5 D．（A∪B）={4}，B={1，2}，则A 2．（5分）已知集合A、B全集U={1、2、3、4}，且UB=（）∩UA．{3} B．{4} C．{3，4} D．3．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=（）A．2 B．1 C．0 D．﹣24．（5分）一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所示该四棱锥侧面积和体积分别是（）A．4，8 B．C．D．8，85．（5分）函数f（x）=的定义域为（）A．（﹣3，0] B．（﹣3，1] C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0）D．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，1）6．（5分）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的a的值为﹣，第二次输入的a的值为，则第一次、第二次输出的a的值分别为（）A．， B．， C．， D．，7．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若B=2A，a=1，b=，则c=（）A．B．2 C．D．18．（5分）给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9．（5分）函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）A．B．C．D．10．（5分）将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：则7个剩余分数的方差为（）A．B．C．36 D．11．（5分）抛物线C1：的焦点与双曲线C2：的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（）A．B．C．D．12．（5分）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最小值时，x+2y ﹣z的最大值为（）A．0 B．C．2 D．二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13．（4分）过点（3，1）作圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4的弦，其中最短的弦长为．14．（4分）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线|OM|的最小值为．15．（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知，，若∠ABO=90°，则实数t的值为．16．（4分）定义“正对数”：ln+x=，现有四个命题：①若a＞0，b＞0，则ln+（a b）=bln+a；②若a＞0，b＞0，则ln+（ab）=ln+a+ln+b；③若a＞0，b＞0，则；④若a＞0，b＞0，则ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．其中的真命题有（写出所有真命题的序号）三．解答题：本大题共6小题，共74分，17．（12分）某小组共有A、B、C、D、E五位同学，他们的身高（单位：米）以及体重指标（单位：千克/米2）如表所示：A B C D E身高体重指标（Ⅰ）从该小组身高低于的同学中任选2人，求选到的2人身高都在以下的概率（Ⅱ）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在以上且体重指标都在[，）中的概率．18．（12分）设函数f（x）=﹣sin2ωx﹣sinωxcosωx（ω＞0），且y=f （x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，（Ⅰ）求ω的值（Ⅱ）求f（x）在区间[]上的最大值和最小值．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB=2CD，E，F，G，M，N分别为PB、AB、BC、PD、PC的中点．（Ⅰ）求证：CE∥平面PAD（Ⅱ）求证：平面EFG⊥平面EMN．20．（12分）设等差数列{an }的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{bn }满足=1﹣，n∈N*，求{bn}的前n项和Tn．21．（12分）已知函数f（x）=ax2+bx﹣lnx（a，b∈R）（Ⅰ）设a≥0，求f（x）的单调区间（Ⅱ）设a＞0，且对于任意x＞0，f（x）≥f（1）．试比较lna与﹣2b的大小．22．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为（Ⅰ）求椭圆C的方程（Ⅱ）A，B为椭圆C上满足△AOB的面积为的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C与点P，设，求实数t的值．2013年山东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本题共12个小题，每题5分，共60分．1．（5分）（2013?山东）复数z=（i为虚数单位），则|z|（）A．25 B．C．5 D．【分析】化简复数z，然后求出复数的模即可．【解答】解：因为复数z==，所以|z|==．故选C．2．（5分）（2013?山东）已知集合A、B全集U={1、2、3、4}，且U（A∪B）={4}，B={1，2}，则A∩UB=（）A．{3} B．{4} C．{3，4} D．【分析】通过已知条件求出A∪B，U B，然后求出A∩UB即可．【解答】解：因为全集U={}，且U（A∪B）={4}，所以A∪B={1，2，3}，B={1，2}，所以UB={3，4}，所以A={3}或{1，3}或{3，2}或{1，2，3}．所以A∩UB={3}．故选A．3．（5分）（2013?山东）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=（）A．2 B．1 C．0 D．﹣2【分析】由条件利用函数的奇偶性和单调性的性质可得 f（﹣1）=﹣f（1），运算求得结果．【解答】解：∵已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（1+1）=﹣2，故选D．4．（5分）（2013?山东）一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所示该四棱锥侧面积和体积分别是（）A．4，8 B．C．D．8，8【分析】由题意可知原四棱锥为正四棱锥，由四棱锥的主视图得到四棱锥的底面边长和高，则其侧面积和体积可求．【解答】解：因为四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，所以该四棱锥为正四棱锥，其主视图为原图形中的三角形PEF，如图，由该四棱锥的主视图可知四棱锥的底面边长AB=2，高PO=2，则四棱锥的斜高PE=．所以该四棱锥侧面积S=，体积V=．故选B．5．（5分）（2013?山东）函数f（x）=的定义域为（）A．（﹣3，0] B．（﹣3，1] C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0）D．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，1）【分析】由函数解析式可得 1﹣2x≥0 且x+3＞0，由此求得函数的定义域．【解答】解：由函数f（x）=可得 1﹣2x≥0 且x+3＞0，解得﹣3＜x≤0，故函数f（x）=的定义域为 {x|﹣3＜x≤0}，故选A．6．（5分）（2013?山东）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的a的值为﹣，第二次输入的a的值为，则第一次、第二次输出的a的值分别为（）A．， B．， C．， D．，【分析】计算循环中a的值，当a≥1时不满足判断框的条件，退出循环，输出结果即可．【解答】解：若第一次输入的a的值为﹣，满足上面一个判断框条件a＜0，第1次循环，a=﹣+1=﹣，第2次判断后循环，a=﹣+1=，第3次判断，满足上面一个判断框的条件退出上面的循环，进入下面的循环，不满足下面一个判断框条件a≥1，退出循环，输出a=；第二次输入的a的值为，不满足上面一个判断框条件a＜0，退出上面的循环，进入下面的循环，满足下面一个判断框条件a≥1，第1次循环，a=﹣1=，第2次判断后不满足下面一个判断框的条件退出下面的循环，输出a=；故选C．7．（5分）（2013?山东）△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若B=2A，a=1，b=，则c=（）A．B．2 C．D．1【分析】利用正弦定理列出关系式，将B=2A，a，b的值代入，利用二倍角的正弦函数公式化简，整理求出cosA的值，再由a，b及cosA的值，利用余弦定理即可求出c 的值．【解答】解：∵B=2A，a=1，b=，∴由正弦定理=得：===，∴cosA=，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即1=3+c2﹣3c，解得：c=2或c=1（经检验不合题意，舍去），则c=2．故选B8．（5分）（2013?山东）给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】根据互为逆否命题真假性相同，可将已知转化为q是?p的充分不必要条件，进而根据逆否命题及充要条件的定义得到答案．【解答】解：∵p是q的必要而不充分条件，∴q是?p的充分不必要条件，即qp，但p不能q，其逆否命题为pq，但q不能p，则p是?q的充分不必要条件．故选A．9．（5分）（2013?山东）函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然后利用区特值排除A和C，则答案可求．【解答】解：因为函数y=xcosx+sinx为奇函数，所以排除选项B，由当x=时，，当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=﹣π＜0．由此可排除选项A和选项C．故正确的选项为D．故选D．10．（5分）（2013?山东）将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：则7个剩余分数的方差为（）A．B．C．36 D．【分析】根据题意，去掉两个数据后，得到要用的7个数据，先根据这组数据的平均数，求出x，再用方差的个数代入数据和平均数，做出这组数据的方差．【解答】解：∵由题意知去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的数据是87，90，90，91，91，94，90+x．∴这组数据的平均数是=91，∴x=4．∴这这组数据的方差是（16+1+1+0+0+9+9）=．故选：B．11．（5分）（2013?山东）抛物线C1：的焦点与双曲线C2：的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（）A．B．C．D．【分析】由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数在x取直线与抛物线交点M的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与p的关系，把M点的坐标代入直线方程即可求得p的值．【解答】解：由，得x2=2py（p＞0），所以抛物线的焦点坐标为F（）．由，得，．所以双曲线的右焦点为（2，0）．则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为，即①．设该直线交抛物线于M（），则C在点M处的切线的斜率为．1由题意可知，得，代入M点得M（）把M点代入①得：．解得p=．故选：D．12．（5分）（2013?山东）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最小值时，x+2y﹣z的最大值为（）A．0 B．C．2 D．【分析】将z=x2﹣3xy+4y2代入，利用基本不等式化简即可求得x+2y﹣z的最大值．【解答】解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0，∴z=x2﹣3xy+4y2，又x，y，z为正实数，∴=+﹣3≥2﹣3=1（当且仅当x=2y时取“=”），即x=2y（y＞0），∴x+2y﹣z=2y+2y﹣（x2﹣3xy+4y2）=4y﹣2y2=﹣2（y﹣1）2+2≤2．∴x+2y﹣z的最大值为2．故选：C．二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13．（4分）（2013?山东）过点（3，1）作圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4的弦，其中最短的弦长为2．【分析】由圆的方程找出圆心与半径，判断得到（3，1）在圆内，过此点最短的弦即为与过此点直径垂直的弦，利用垂径定理及勾股定理即可求出．【解答】解：根据题意得：圆心（2，2），半径r=2，∵=＜2，∴（3，1）在圆内，∵圆心到此点的距离d=，r=2，∴最短的弦长为2=2．故答案为：214．（4分）（2013?山东）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线|OM|的最小值为．【分析】首先根据题意做出可行域，欲求|OM|的最小值，由其几何意义为点O（0，0）到直线x+y﹣2=0距离为所求，代入点到直线的距离公式计算可得答案．【解答】解：如图可行域为阴影部分，由其几何意义为点O（0，0）到直线x+y﹣2=0距离，即为所求，由点到直线的距离公式得：d==，则|OM|的最小值等于．故答案为：．15．（4分）（2013?山东）在平面直角坐标系xOy中，已知，，若∠ABO=90°，则实数t的值为 5 ．【分析】利用已知条件求出，利用∠ABO=90°，数量积为0，求解t的值即可．【解答】解：因为知，，所以=（3，2﹣t），又∠ABO=90°，所以，可得：2×3+2（2﹣t）=0．解得t=5．故答案为：5．16．（4分）（2013?山东）定义“正对数”：ln+x=，现有四个命题：①若a＞0，b＞0，则ln+（a b）=bln+a；②若a＞0，b＞0，则ln+（ab）=ln+a+ln+b；③若a＞0，b＞0，则；④若a＞0，b＞0，则ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．其中的真命题有①③④（写出所有真命题的序号）【分析】由题意，根据所给的定义及对数的运算性质对四个命题进行判断，由于在不同的定义域中函数的解析式不一样，故需要对a，b分类讨论，判断出每个命题的真假．【解答】解：（1）对于①，由定义，当a≥1时，a b≥1，故ln+（a b）=ln（a b）=blna，又bln+a=blna，故有ln+（a b）=bln+a；当a＜1时，a b＜1，故ln+（a b）=0，又a＜1时bln+a=0，所以此时亦有ln+（a b）=bln+a，故①正确；（2）对于②，此命题不成立，可令a=2，b=，则ab=，由定义ln+（ab）=0，ln+a+ln+b=ln2，所以ln+（ab）≠ln+a+ln+b，故②错误；（3）对于③，i．≥1时，此时≥0，当a≥b≥1时，ln+a﹣ln+b=lna﹣lnb=，此时则，命题成立；当a＞1＞b＞0时，ln+a﹣ln+b=lna，此时，＞lna，则，命题成立；当1＞a≥b＞0时，ln+a﹣ln+b=0，成立；ii．＜1时，同理可验证是正确的，故③正确；（4）对于④，当a≥1，b≥1时，ln+（a+b）=ln（a+b），ln+a+ln+b+ln2=lna+lnb+ln2=ln（2ab），∵a+b﹣2ab=a﹣ab+b﹣ab=a（1﹣b）+b（1﹣a）≤0，∴a+b≤2ab，∴ln（a+b）＜ln（2ab），∴ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．当a＞1，0＜b＜1时，ln+（a+b）=ln（a+b），ln+a+ln+b+ln2=lna+ln2=ln（2a），∵a+b﹣2a=b﹣a≤0，∴a+b≤2a，∴ln（a+b）＜ln（2a），∴ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．当b＞1，0＜a＜1时，同理可证ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．当0＜a＜1，0＜b＜1时，可分a+b≥1和a+b＜1两种情况，均有ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．故④正确．故答案为①③④．三．解答题：本大题共6小题，共74分，17．（12分）（2013?山东）某小组共有A、B、C、D、E五位同学，他们的身高（单位：米）以及体重指标（单位：千克/米2）如表所示：A B C D E身高体重指标（Ⅰ）从该小组身高低于的同学中任选2人，求选到的2人身高都在以下的概率（Ⅱ）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在以上且体重指标都在[，）中的概率．【分析】（Ⅰ）写出从身高低于的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件，查出选到的2人身高都在以下的事件，然后直接利用古典概型概率计算公式求解；．（Ⅱ）写出从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件，查出选到的2人的身高都在以上且体重指标都在[，）中的事件，利用古典概型概率计算公式求解．【解答】（Ⅰ）从身高低于的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D）共6个．由于每个同学被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人身高都在以下的事件有：（A，B），（A，C），（B，C）共3个．因此选到的2人身高都在以下的概率为p=；（Ⅱ）从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）共10个．由于每个同学被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人的身高都在以上且体重指标都在[，）中的事件有：（C，D）（C，E），（D，E）共3个．因此选到的2人的身高都在以上且体重指标都在[，）中的概率p=．18．（12分）（2013?山东）设函数f（x）=﹣sin2ωx﹣sinωxcosωx（ω＞0），且y=f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，（Ⅰ）求ω的值（Ⅱ）求f（x）在区间[]上的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）通过二倍角的正弦函数与余弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，利用函数的正确求出ω的值（Ⅱ）通过x 的范围求出相位的范围，利用正弦函数的值域与单调性直接求解f （x）在区间[]上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=﹣sin2ωx﹣sinωxcosωx===．因为y=f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，故周期为π又ω＞0，所以，解得ω=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）=﹣sin（2x﹣），当时，，所以，因此，﹣1≤f（x），所以f（x）在区间[]上的最大值和最小值分别为：．19．（12分）（2013?山东）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB=2CD，E，F，G，M，N分别为PB、AB、BC、PD、PC的中点．（Ⅰ）求证：CE∥平面PAD（Ⅱ）求证：平面EFG⊥平面EMN．【分析】（Ⅰ）取PA的中点H，则由条件可得HE和CD平行且相等，故四边形CDHE 为平行四边形，故CE∥DH．再由直线和平面平行的判定定理证明CE∥平面PAD．（Ⅱ）先证明MN⊥平面PAC，再证明平面EFG∥平面PAC，可得MN⊥平面EFG，而MN 在平面EMN内，利用平面和平面垂直的判定定理证明平面EFG⊥平面EMN．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，E，F，G，M，N分别为PB、AB、BC、PD、PC的中点，取PA的中点H，则由HE∥AB，HE=AB，而且CD∥AB，CD=AB，可得HE和CD平行且相等，故四边形CDHE为平行四边形，故CE∥DH．由于DH在平面PAD内，而 CE不在平面PAD内，故有CE∥平面PAD．（Ⅱ）证明：由于AB⊥AC，AB⊥PA，而PA∩AC=A，可得AB⊥平面PAC．再由AB∥CD 可得，CD⊥平面PAC．由于MN是三角形PCD的中位线，故有MN∥CD，故MN⊥平面PAC．由于EF为三角形PAB的中位线，可得EF∥PA，而PA在平面PAC内，而EF不在平面PAC内，故有EF∥平面PAC．同理可得，FG∥平面PAC．而EF 和FG是平面EFG内的两条相交直线，故有平面EFG∥平面PAC．∴MN⊥平面EFG，而MN在平面EMN内，故有平面EFG⊥平面EMN．20．（12分）（2013?山东）设等差数列{an }的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{bn }满足=1﹣，n∈N*，求{bn}的前n项和Tn．【分析】（Ⅰ）设等差数列{an }的首项为a1，公差为d，由S4=4S2，a2n=2an+1得到关于a 1与d的方程组，解之即可求得数列{an}的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，an =2n﹣1，继而可求得bn=，n∈N*，于是T n =+++…+，利用错位相减法即可求得Tn．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an }的首项为a1，公差为d，由S4=4S2，a2n=2an+1得：，解得a1=1，d=2．∴an=2n﹣1，n∈N*．（Ⅱ）由已知++…+=1﹣，n∈N*，得：当n=1时，=，当n≥2时，=（1﹣）﹣（1﹣）=，显然，n=1时符合．∴=，n∈N*由（Ⅰ）知，an=2n﹣1，n∈N*．∴bn=，n∈N*．又Tn=+++…+，∴Tn=++…++，两式相减得：Tn=+（++…+）﹣=﹣﹣∴Tn=3﹣．21．（12分）（2013?山东）已知函数f（x）=ax2+bx﹣lnx（a，b∈R）（Ⅰ）设a≥0，求f（x）的单调区间（Ⅱ）设a＞0，且对于任意x＞0，f（x）≥f（1）．试比较lna与﹣2b的大小．【分析】（Ⅰ）由函数的解析式知，可先求出函数f（x）=ax2+bx﹣lnx的导函数，再根据a≥0，分a=0，a＞0两类讨论函数的单调区间即可；（Ⅱ）由题意当a＞0时，是函数的唯一极小值点，再结合对于任意x＞0，f（x）≥f（1）．可得出=1化简出a，b的关系，再要研究的结论比较lna与﹣2b的大小构造函数g（x）=2﹣4x+lnx，利用函数的最值建立不等式即可比较大小【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=ax2+bx﹣lnx（a，b∈R）知f′（x）=2ax+b﹣又a≥0，故当a=0时，f′（x）=若b≤0时，由x＞0得，f′（x）＜0恒成立，故函数的单调递减区间是（0，+∞）；若b＞0，令f′（x）＜0可得x＜，即函数在（0，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数、所以函数的单调递减区间是（0，），单调递增区间是（，+∞），当a＞0时，令f′（x）=0，得2ax2+bx﹣1=0由于△=b2+8a＞0，故有x 2=，x1=显然有x1＜0，x2＞0，故在区间（0，）上，导数小于0，函数是减函数；在区间（，+∞）上，导数大于0，函数是增函数综上，当a=0，b≤0时，函数的单调递减区间是（0，+∞）；当a=0，b＞0时，函数的单调递减区间是（0，），单调递增区间是（，+∞）；当a＞0，函数的单调递减区间是（0，），单调递增区间是（，+∞）（Ⅱ）由题意，函数f（x）在x=1处取到最小值，由（1）知，是函数的唯一极小值点故=1整理得2a+b=1，即b=1﹣2a令g（x）=2﹣4x+lnx，则g′（x）=令g′（x）==0得x=当0＜x＜时，g′（x）＞0，函数单调递增；当＜x＜+∞时，g′（x）＜0，函数单调递减因为g（x）≤g（）=1﹣ln4＜0故g（a）＜0，即2﹣4a+lna=2b+lna＜0，即lna＜﹣2b22．（14分）（2013?山东）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为（Ⅰ）求椭圆C的方程（Ⅱ）A，B为椭圆C上满足△AOB的面积为的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C与点P，设，求实数t的值．【分析】（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，焦距为2c．由题意可得，解出即可得到椭圆的方程．（Ⅱ）由题意设直线AB的方程为x=my+n，代入椭圆方程x2+2y2=2，化为（m2+2）y2+2mny+n2﹣2=0，利用判别式、根与系数的关系即可得到弦长|AB|，再利用点到直线的距离公式即可得到原点O到直线AB的距离，进而得到三角形AOB的面积，利用即可得到m，n，t的关系，再利用，及中点坐标公式即可得到点P的坐标代入椭圆的方程可得到m，n，t的关系式与上面得到的关系式联立即可得出t的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为，焦距为2c．则，解得，∴椭圆的方程为．（Ⅱ）由题意设直线AB的方程为x=my+n，代入椭圆方程x2+2y2=2，化为（m2+2）y2+2mny+n2﹣2=0，则△=4m2n2﹣4（m2+2）（n2﹣2）=4（2m2+4﹣2n2）＞0，（*），，∴|AB|===．原点O到直线AB的距离d=，∵，∴=，化为．（**）另一方面，=，∴xE =myE+n==，即E．∵，∴．代入椭圆方程得，化为n2t2=m2+2，代入（**）得，化为3t4﹣16t2+16=0，解得．∵t＞0，∴．经验证满足（*）．当AB∥x轴时，设A（u，v），B（﹣u，v），E（0，v），P（0，±1）．（u＞0）．则，，解得，或．又，∴，∴．综上可得：．。

高考真题解析分类汇编(文科数学)15：复数 Word版含答案高考

高考解析分类汇编15：复数一、选择题1 ．（2013年高考2卷（文））复数的11Z i =-模为（）A ．12B ．2C D ．2【答案】B由已知111,(1)(1)22i Z i i i -+==-----+所以||2Z =2 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文2））21i=+（）（A ）（B ）2 （C （D ）1【答案】C22(1)2(1)11(1)(1)2i i i i i i --===-+-+，所以21i=+ C.3 ．（2013年高考湖南（文））复数z=i·(1+i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于_______（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B本题考查复数的四则运算与几何意义。

()211z i i i i i =+=+=-+，对应点的坐标为(1,1)-，位于第二象限，选B.4 ．（2013年高考四川卷（文3））如图,在复平面内,点A 表示复数z ,则图中表示z 的共轭复数的点是（）A ．AB ．BC ．CD ．D【答案】Bbi a z +=对应点),(b a ，则0<a ，0>b ，bi a z -=，对应点),(b a -，则0<a ，0<-b ，在第三象限，故选B.5 ．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））212(1)ii +=-（）A ．112i --B ．112i -+C ．112i +D ．112i -【答案】B22121211111(1)2222i i i i i i i i ++==--=--=-+--，选B.6 ．（2013年高考北京卷（文4））在复平面内,复数(2)i i -对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A122)2(2+=-=-i i i i i ，对应点(1，2)，在第一象限。

7 ．（2013年高考山东卷（文1））复数)()2(2为虚数单位i ii z -=,则=||z（）A ．25B ．41C ．5D ．5【答案】C3443iz i i-==--，所以||5z =，故选C. 8 ．（2013年高考江西卷（文1））复数z=i(-2-i)(i 为虚数单位)在复平面内所对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D本题考查复数的四则运算以及复数的几何意义。

2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编.doc

2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编：集合一、选择题1 ．（2013年上海高考数学试题（文科））设常数a ∈R ,集合()(){}|10A x x x a =--≥,{}|1B x x a =≥-.若A B =R ,则a 的取值范围为（） A ．(),2-∞B ．(],2-∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞ 2 ．（2013年高考重庆卷（文））已知集合{1,2,3,4}U =,集合={1,2}A ,={2,3}B ,则)(B A C U ⋃（）A ．{1,3,4}B ．{3,4}C ．{3}D ．{4}3 ．（2013年高考浙江卷（文））设集合S={x |x >-2},T={x |-4≤x ≤1},则S∩T=（） A ．[-4,+∞) B ．(-2, +∞) C ．[-4,1] D ．(-2,1]4 ．（2013年高考天津卷（文））已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, B = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂= （）A ．(,2]-∞B ．[1,2]C ．[-2,2]D ．[-2,1]5 ．（2013年高考四川卷（文））设集合{1,2,3}A =,集合{2,2}B =-,则A B = （）A ．∅B ．{2}C ．{2,2}-D ．{2,1,2,3}-6 ．（2013年高考山东卷（文））已知集合B A 、均为全集}4,3,2,1{=U 的子集,且{}4)(=⋃B A C U ,{1,2}B =,则=⋂B C A U （）A ．{3}B ．{4}C ．{3,4}D ．∅ 7 ．（2013年高考辽宁卷（文））已知集合{}{}1,2,3,4,|2,A B x x AB ==<=则（） A ．{}0 B ．{}0,1C ．{}0,2D ．{}0,1,28 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））已知集合M={x |-3<x <1},N={-3,-2,-1,0,1},则M ∩N= （）A ．{-2,-1,0,1}B ．{-3,-2,-1,0}C ．{-2,-1,0}D ．{-3,-2,-1 }9 ．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知集合{1,2,3,4}A =,2{|,}B x x n n A ==∈,则A B = （）A ．{0}B ．{-1,,0}C ．{0,1}D ．{-1,,0,1} 10．（2013年高考江西卷（文））若集合A ={x ∈R|ax 2+ax+1=0}其中只有一个元素,则a= （）A ．4B ．2C ．0D ．0或411．（2013年高考湖北卷（文））已知全集{1,2,3,4,5}U =,集合{1,2}A =,{2,3,4}B =,则=⋂A C B U （）A ．{2}B ．{3,4}C ．{1,4,5}D ．{2,3,4,5} 12．（2013年高考广东卷（文））设集合2{|20,}S x x x x R =+=∈,2{|20,}T x x x x R =-=∈,则S T =A ．{0}B ．{0,2}C ．{2,0}-D ．{2,0,2}-13．（2013年高考福建卷（文））若集合}4,3,1{},3,2,1{==B A ,则B A 的子集个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．1614．（2013年高考大纲卷（文））设集合{}{}1,2,3,4,5,1,2,u U A A ===集合则ð （） A ．{}1,2 B ．{}3,4,5C ．{}1,2,3,4,5D ．∅ 15．（2013年高考北京卷（文））已知集合{}1,0,1A =-,{}|11B x x =-≤<,则AB = （） A ．{}0 B ．{}1,0-C ．{}0,1D ．{}1,0,1- 16．（2013年高考安徽（文））已知{}{}|10,2,1,0,1A x x B =+>=--,则()R C A B ⋂=（） A ．{}2,1--B ．{}2-C ．{}1,0,1-D ．{}0,1 二、填空题 17．（2013年高考湖南（文））对于E={a 1,a 2,.a 100}的子集X={a 1,a 2,,a n },定义X 的“特征数列”为x 1,x 2,x 100,其中x 1=x 10=x n =1.其余项均为0,例如子集{a 2,a 3}的“特征数列”为0,1,0,0,,0(1) 子集{a 1,a 3,a 5}的“特征数列”的前三项和等于____ _______;(2) 若E 的子集P 的“特征数列”P 1,P 2,,P 100 满足P 1+P i+1=1, 1≤i≤99;E 的子集Q 的“特征数列” q 1,q 2,q 100 满足q 1=1,q 1+q j+1+q j+2=1,1≤j≤98,则P∩Q 的元素个数为_________.18．（2013年高考湖南（文））已知集合{2,3,6,8},{2,3},{2,6,8}U A B ===,则()C A B ⋃⋂=_____19．（2013年高考福建卷（文））设T S ,是R 的两个非空子集,如果存在一个从S 到T 的函数)(x f y =满足;(i)}|)({S x x f T ∈=;(ii)对任意S x x ∈21,,当21x x <时,恒有)()(21x f x f <.那么称这两个集合“保序同构”.现给出以下3对集合:①*,N B N A ==; ②}108|{},31|{≤≤-=≤≤-=x x B x x A ;③R B x x A =<<=},10|{.其中,“保序同构”的集合对的序号是____________(写出所有“保序同构”的集合对的序号)2013年高考真题文科数学分类汇编:常用逻辑用语1、（2013年高考（安徽卷））“(21)0x x -=”是“0x =”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件2、（2013年高考（福建卷））设点),(y x P ，则“2=x 且1-=y ”是“点P 在直线01:=++y x l 上”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3、（2013年高考（湖北卷））在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为=A C UA ．()p ⌝∨()q ⌝B ．p ∨()q ⌝C ．()p ⌝∧()q ⌝D ．p ∨q4、（2013年高考（湖南卷））“1＜x ＜2”是“x ＜2”成立的______A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5、（2013年高考（山东卷））给定两个命题q p ,，p q ⌝是的必要而不充分条件，则p q ⌝是(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件6、（2013年高考（上海卷））钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（）（A ）充分条件（B ）必要条件（C ）充分必要条件（D ）既非充分又非必要条件7、（2013年高考（四川卷））设x Z ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集。

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2013年高考真题文科数学分类汇编

复数
1、（2013年高考（安徽卷））设是虚数单位，若复数10()3aaRi是纯虚数，则a的值为（
）
（A）-3 （B）-1 （C）1 （D）3

【答案】D

2、（2013年高考（北京卷））在复平面内，复数(2)ii对应的点位于（）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限

答案：A
3、（2013年高考（福建卷））复数iz21（为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】本题考查的知识点是复数的几何意义．由几何意义可知复数在第三象限．

4、（2013年高考（广东卷））若()34ixyii，,xyR，则复数xyi的模是

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】选D.

5、（2013年高考（湖北卷））i为虚数单位，设复数1z，2z在复平面内对应的点关于原点对称，若123iz，
则2z .

6、（2013年高考（湖南卷））复数z=i·(1+i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于___ B ____
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】B

7、（2013年高考（江苏卷））设2)2(iz(i为虚数单位)，则复数z的模为 ▲ .
【答案】5
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8、（2013年高考（江西卷））复数z=i（-2-i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
[答案]：D

9、（2013年高考（辽宁卷））复数的11Zi模为

（A）12 （B）22 （C）2 （D）2
[答案]B
10、（2013年高考（山东卷））复数)()2(2为虚数单位iiiz，则||z

(A)5 (B) 41 (C)6 (D) 5
答案：A
12、（2013年高考（陕西卷））设z是复数, 则下列命题中的假命题是

(A) 若20z, 则z是实数 (B) 若20z, 则z是虚数

14、（2013年高考（四川卷））如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是（）
（A）A （B）B
（C）C （D）D

答案：B
15、（2013年高考（天津卷））i是虚数单位. 复数(3 + i)(1－2i) = .
【答案】55i

16、（2013年高考（新课标II卷））21i（）

（A）22 （B）2 （C）2 （D）
【答案】C

17、（2013年高考（新课标I卷））212(1)ii（）

（A）112i （B）112i （C）112i （D）112i

y
x
D
B
A

O
C
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答案：B

18、（2013年高考（浙江卷））已知i是虚数单位，则(2+i)(3+i)=
A、5-5i B、7-5i C、5+5i D、7+5i
【答案】C

19、（2013年高考（重庆卷））已知复数12zi（是虚数单位），则z ．

【答案】5．