数学成才之路必修四1-3-2
2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修4基础巩固：2-3-1 平面向量基本定理
基础巩固一、选择题1．向量的夹角θ的范围是()A．0°≤θ<180°B．0°≤θ≤180°C．0°<θ<180°D．0°<θ≤180°[答案] B2．设e1、e2是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是()A．e1＋e2和e1－e2B．3e1－2e2和4e2－6e1C．e1＋2e2和e2－2e1D．e2和e1＋e2[答案] B[解析]因为B中－6e1＋4e2＝－2(3e1－2e2)，所以为平行向量，不能作为一组基底．3．设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有()A．e1、e2一定平行B．e1、e2的模相等C．同一平面内的任一向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)D．若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)[答案] D[解析]由平面向量基本定理可知，选项D正确．对于任意向量e1，e2，选项A、B不正确，而只有当e1与e2为不共线向量时，选项C才正确．4．如图，设O 是▱ABCD 两对角线的交点，有下列向量组：①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →.其中可作为该平面内所有向量基底的是( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④ [答案] B[解析] AD →与AB →不共线，DA →∥BC →，CA →与DC →不共线，OD →∥OB →，则①③可以作为该平面内所有向量的基底．5．如果e 1、e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题中正确的是( )A ．已知实数λ1、λ2，则向量λ1e 1＋λ2e 2不一定在平面α内B ．对平面α内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对C ．若有实数λ1、λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0D ．对平面α内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1、λ2不一定存在[答案] C[解析] 选项A 中，由平面向量基本定理知λ1e 1＋λ2e 2与e 1、e 2共面，所以A 项不正确；选项B 中，实数λ1、λ2有且仅有一对，所以B 项不正确；选项D 中，实数λ1、λ2一定存在，所以D 项不正确；很明显C 项正确．6．已知|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，c ⊥a ，则a 与b 的夹角大小为( )A.π6B.56πC.π3D.23π[答案] D[解析] 如图，∵c ＝a ＋b ，c ⊥a ，∴a 、b 、c 的模构成一个直角三角形，且θ＝π6，所以可推知a 与b 的夹角为2π3.故选D.二、填空题7．如图，平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，M 是DC 的中点，以a 、b 为基底表示向量AM →＝______________.[答案] b ＋12a[解析] AM →＝AD →＋DM →＝AD →＋12DC →＝AD →＋12AB →＝b ＋12a . 8．已知e 1、e 2是两个不共线的向量，a ＝2e 1－e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a 与b 是共线向量，则实数k ＝________.[答案] －2[解析] ∵a ∥b ，则2e 1－e 2＝λ(k e 1＋e 2)． 又∵e 1、e 2不共线．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝λk ，－1＝λ.解得：⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，k ＝－2. 三、解答题9．如图所示，D 是BC 边的一个四等分点．试用基底AB →、AC →表示AD →.[解析] ∵D 是BC 边的四等分点， ∴BD →＝14BC →＝14(AC →－AB →)，∴AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋14(AC →－AB →)＝34AB →＋14AC →.10．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M 、N 分别是DA →、BC →的中点，且DCAB ＝k (k ≠1)．设AD →＝e 1，AB →＝e 2，选择基底{e 1，e 2}，试写出下列向量在此基底下的分解式DC →、BC →、MN →.[解析] 如图所示，∵AB →＝e 2，且DCAB ＝k ， ∴DC →＝kAB →＝k e 2，又AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0 ∴BC →＝－AB →－CD →－DA → ＝－AB →＋DC →＋AD → ＝－e 2＋k e 2＋e 1 ＝e 1＋(k －1)e 2.而MN →＋NB →＋BA →＋AM →＝0∴MN →＝－NB →－BA →－AM →＝BN →＋AB →－AM → ＝12BC →＋e 2－12AD → ＝12[e 1＋(k －1)e 2]＋e 2－12e 1k＋1＝2e2。
《成才之路》高一数学(人教A版)必修4能力提升：3-2-2 三角恒等式的应用
高考数学 能 力 提 升一、选择题1．函数y ＝sin x1＋cos x 的周期等于( )A.π2 B ．π C ．2π D ．3π[答案] C[解析] y ＝2sin x 2cos x 22cos 2x 2＝tan x 2，T ＝π12＝2π. 2．函数y ＝12sin2x ＋sin 2x 的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22＋12，22＋12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22－12，22－12[答案] C[解析] ∵y ＝12sin2x ＋sin 2x ＝12sin2x ＋1－cos2x 2＝12＋22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－22，12＋22.3．已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象的一条对称轴是x ＝5π3，则函数g (x )＝a sin x ＋cos x 的最大值是( )A.223B.233 C.43 D.263[答案] B[解析] 由于函数f (x )的图象关于x ＝5π3对称，则f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫10π3，∴a ＝－32－a2，∴a ＝－33，∴g (x )＝－33sin x ＋cos x ＝233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π3，∴g (x )max ＝233.4．函数y ＝cos 2ωx －sin 2ωx (ω>0)的最小正周期是π，则函数f (x )＝2sin(ωx ＋π4)的一个单调递增区间是( )A ．[－π2，π2] B ．[5π4，9π4] C ．[－π4，3π4] D ．[π4，5π4][答案] B[解析] y ＝cos 2ωx －sin 2ωx ＝cos2ωx (ω>0)， 因为函数的最小正周期为π，故 2π2ω＝π，所以ω＝1.则f (x )＝2sin(ωx ＋π4)＝2sin(x ＋π4)， ∴2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2即2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4(k ∈Z )，当k ＝1时，函数的一个增区间是[5π4，9π4]．5．(2011重庆高考)设△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C 等于( )A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6[答案] C[解析] ∵m ·n ＝1＋cos(A ＋B )＝3sin A cos B ＋3cos A sin B ， ∴3sin(A ＋B )＝1＋cos(A ＋B )． 又A ＋B ＝π－C ， ∴整理得sin(C ＋π6)＝12. ∵0<C <π，∴π6<C ＋π6<7π6. ∴C ＋π6＝5π6.∴C ＝2π3.6．设M ＝{平面内的点(a ，b )}，N ＝{f (x )|f (x )＝a cos2x ＋b sin2x }，给出M 到N 的映射f ：(a ，b )→f (x )＝a cos2x ＋b sin2x ，则点(1，3)的象f (x )的最小正周期为( )A.π2B.π4C ．πD ．2π[答案] C[解析] 点(1，3)的象f (x )＝cos2x ＋3sin2x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin2x ＋12cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. 二、填空题7．(2012·全国高考全国卷)当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x <2π)取得最大值时，x ＝______________[答案] 5π6[解析] 由y ＝sin x －3cos x ＝2sin(x －π3)由0≤x <2π⇔－π3≤x －π3<5π3可知－2≤2sin(x －π3)≤2 当且仅当x －π3＝π2时即x ＝5π6取得最大值．8．(2013·四川文)设sin2α＝－sin α，α∈(π2，π)，则tan2α的值是________．[答案]3[解析] 本题考查了倍角公式及诱导公式的使用． sin2α＝2sin αcos α＝－sin α， ∵α∈(π2，π)，故cos α＝－12，∴α＝23π， tan2α＝tan 43π＝tan π3＝ 3.9．关于函数f (x )＝sin2x －cos2x ，有下列命题： ①函数y ＝f (x )的周期为π；②直线x ＝π4是y ＝f (x )的图象的一条对称轴；③点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0是y ＝f (x )的图象的一个对称中心；④将y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，可得到y ＝2sin2x 的图象． 其中真命题的序号是________． [答案] ①③[解析] f (x )＝sin2x －cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，则T ＝2π2＝π；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4－π4＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4不是函数f (x )的最值，则直线x ＝π4不是y ＝f (x )的图象的一条对称轴；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8－π4＝0，则点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0是y ＝f (x )的图象的一个对称中心； 将y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，可得到y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象，不是y ＝2sin2x 的图象，故①③正确，②④错误．三、解答题10．(2011～2012·北京东城高三期末)已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值及f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求f (x )的最大值和最小值． [解析] (1)∵f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1 ＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin(2×π6＋π6)＝2，且函数f (x )的最小正周期为π. (2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2可知，π6≤2x ＋π6≤7π6，所以，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )有最大值，最大值为2； 当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )有最小值，最小值为－1. 11．(2013·北京文)已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)sin2x ＋12cos 4x .(Ⅰ)求f (x )的最小正周期及最大值；(Ⅱ)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且f (α)＝22，求a 的值． [解析] (Ⅰ)因为f (x )＝(2cos 2x －1)sin2x ＋12cos4x ＝cos2x sin2x ＋12cos4x ＝12(sin4x ＋cos4x ) ＝22sin(4x ＋π4)所以f (x )的最小正周期为π2，最大值为22. (Ⅱ)因为f (α)＝22，所以sin(4α＋π4)＝1. 因为a ∈(π2，π)，所以4a ＋π4∈(9π4，17π4)， 所以4a ＋π4＝5π2，故a ＝9π16.12．已知函数f (x )＝2sin 2ωx ＋23sin ωx sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域． [解析] (1)f (x )＝1－cos2ωx ＋23sin ωx cos ωx ＝1－cos2ωx ＋3sin2ωx＝3sin2ωx －cos2ωx ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋1. 因为函数f (x )的最小正周期为π，且ω>0， 所以2π2ω＝π，解得ω＝1. (2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1. 因为0≤x ≤2π3， 所以－π6≤2x －π6≤7π6. 所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1.因此0≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1≤3，即f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域为[0,3]．。
2019年最新-2019《成才之路》高一数学(人教A版)必修4课件：2-3-4平面向量共线的坐标表示-精选文档
[错解]
由题意，得 O→D
、
O→B 共线，故存在λ，使
O→D ＝λ
解得xy＝＝－－12
第二章 2.3 2.3.4
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新课引入
第二章 2.3 2.3.4
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贝贝与晶晶同做一道数学题：“一人从A地到E地，依次 经过B地、C地、D地，且相邻两地之间的距离均为502 km.问 从A地到E地的行程有多少？”其解答方法是：
第二章 2.3 2.3.4
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探索延拓创新 命题方向2 根据点的位置求参数
已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及O→P＝O→A＋tA→B. (1)t为何值时，点P在x轴上？在y轴上？在第二象限？ (2)四边形OABP能成为平行四边形吗？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．
第二章 2.3 2.3.4
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[分析] (1)将O→P用坐标表示，根据坐标系性质可得． (2)只需由O→A＝P→B求出t或无解即可．
第二章 2.3 2.3.4
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[解析] (1)O→P＝O→A＋tA→B＝(1＋3t,2＋3t)， 若点P在x轴上，只需2＋3t＝0，即t＝－23； 若点P在y轴上，只需1＋3t＝0，即t＝－13； 若点P在第二象限，则需12＋＋33tt<>00，， 解得－23<t<－13.
与OB交点P的坐标． [分析] 由直线AC与OB的交点为P知A、C、P三点共线，
《成才之路》2018-2019学年高一人教A版数学必修4课件： 第1章 三角函数 1.4.2 第1课时
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2．cosx>0在x∈[0,2π]上的解集是________．
[答案]
π 3π x|0≤x< 或 <x≤2π 2 2
[解析] ∪ 2 ，2π时满足条
1.4.2
第1课时
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2．两种特殊的周期函数
(1)正弦函数y＝sinx是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的 周期，最小正周期是2π. (2)余弦函数y＝cosx是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的 周期，最小正周期是2π.
x 2sinx
0 0
π 2 2
π 0
3π 2 －2
2π 0
第一章
1.4.2
第1课时
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描点并用光滑的曲线连接起来．如图所示．
第一章
1.4.2
第1课时
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●自主预习 1．周期函数
[答案]
2
[解析] f(22)＝f(12＋10)＝f(12)＝f(10＋2)＝f(2)＝ 2.
第一章
1.4.2
第1课时
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T1＋T2 2． 函数 y＝sinx， y＝cosx 的周期分别是 T1、 T2， 则 tan 16 ＝________.
第一章
1.4.2
第1课时
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[小结]若函数y＝f(x)是周期函数，T是一个周期，则有：① 定义域中含有无限个实数；②对定义域内任意x，均有f(x＋kT)
1-1-3-2数学必修三成才之路
1.1.3 第2课时一、选择题1．下列结构中组成算法的结构的个数有()①顺序结构；②条件分支结构；③循环结构；④输入结构；⑤输出结构．A．2个B．3个C．4个D．5个[答案] B[解析]算法有三种结构①②③，故选B.2．下列判断正确的是()A．条件结构中必有循环结构B．循环结构中必有条件结构C．顺序结构中必有条件结构D．顺序结构中必有循环结构[答案] B[解析]由循环结构的定义知B正确．3．下列说法正确的是()①用程序框图表示算法，其优点是算法的基本逻辑结构展现得非常直观清楚；②我们所接触到的算法一般是由顺序结构、条件分支结构、循环结构这三种基本的逻辑结构构成的；③循环结构中，循环体指的是算法中的反复执行的处理步骤；④条件分支结构中一定包含循环结构．A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④[答案] A[解析]④错，条件分支结构中不一定有循环结构．4．如图所示的流程图，下列说法正确的是()A ．第一个输出的数为1B ．第一个输出的数为4D ．最后一个输出的是2003 [答案] A[解析] 当输入第1个数为1时，经判断框判断1＜2000，于是就输出数字1，即第1个输出的数为1.5．如图给出的是计算12＋14＋…＋120的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )A ．i >10B ．i <10C ．i >20D ．i <20[答案] A[解析] 该程序框图的作用是求S ＝12＋14＋16＋…＋120的值，当i >10时，输出S ＝12＋14＋16＋…＋120的值． 6．(2010·天津理)阅读下边的程序框图，若输出s 的值为－7，则判断框内可填写( )A．i<3? B．i<4?C．i<5? D．i<6?[答案] D[解析]i＝1，S＝2；S＝2－1＝1，i＝1＋2＝3；S＝1－3＝－2，i＝3＋2＝5；S＝－2－5＝－7，i＝5＋2＝7.因输出S的值为－7，循环终止，故判断框内应填“i<6？”．7．(2010·辽宁文)如果执行下图的程序框图，输入n＝6，m＝4，那么输出的p等于()A．720 B．360C．240 D．120[答案] B[解析]由框图可知：当n＝6，m＝4时，第一次循环：p＝(6－4＋1)×1＝3，k＝2.第二次循环：p＝(6－4＋2)×3＝12，k＝3.第三次循环：p＝(6－4＋3)×12＝60，k＝4.第四次循环：p＝(6－4＋4)×60＝360，此时k＝m，终止循环．输出p＝360，故选B. 8．如图所示的程序框图表示的算法的运行结果是()A．55 B．－55C．5 D．－5[答案] D[解析]框图表示的算法是求1－2＋3－4＋5－6＋7－8＋9－10的值．故选D.二、填空题9．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是________．[答案] 4[解析]k＝0，S＝0，S<100，S＝0＋20＝1，k＝1；S<100，S＝1＋21＝3，k＝2；S<100，S＝3＋23＝11，k＝3；S<100，S＝11＋211＝2 059，k＝4；S>100，循环终止，输出k＝4.10．阅读如图所示的程序框图．若输入m ＝4，n ＝6，则输出a ＝________，i ＝________.[答案] 12 3[解析] 输入m ＝4，n ＝6后，第一次循环：a ＝4×1＝4,6不能整除4，i ＝1＋1＝2； 第二次循环：a ＝4×2＝8,6不能整除8，i ＝2＋1＝3； 第三次循环：a ＝4×3＝12,6能整除12，故输出的a ＝12，i ＝3. 11．执行下边的程序框图，若p ＝0.8，则输出的n ＝________.[答案] 4[解析] 第一次循环后：S ＝12，n ＝2；第二次循环后：S ＝12＋14＝34，n ＝3；第三次循环后：S ＝12＋14＋18＝78，n ＝4，此时循环结束．12．执行下图所示的程序框图，若输入x ＝4，则输出y 的值为________．[答案] －54[解析] 当x ＝4时，y ＝1，不满足|y －x |<1，由x ＝y 知x ＝1.当x ＝1时，y ＝－12，不满足|y －x |<1，由x ＝y 知x ＝－12.当x ＝－12时，y ＝－54，此时|－54＋12|<1成立，循环终止，输出y ＝－54.三、解答题13．画出求解下列问题的算法的程序框图． (1)求和sum ＝12＋23＋34＋…＋n －1n.(2)画出求和sum ＝1＋12＋14＋18＋…＋12n 的程序框图．[解析] (1)程序框图如左下图所示： (2)程序框图如右下图所示：14．画出计算12×(－23)×34×(－45)×…×9100的算法的程序框图．[解析] 程序框图如图所示：15．设计一个算法，求1×22×33×…×的值，画出程序框图．[解析]算法步骤如下：S1S＝1.S2i＝1.S3S＝S×i i.S4i＝i＋1.S5判断i>100是否成立，若成立，则输出S，结束算出；否则，返回S3. 该算法的程序框图如图所示：。
【成才之路】2015-2016学年高中数学 3.2.2三角恒等式的应用课件
和、差、倍角、半角公式化成 f(x) ＝ Asin(ωx ＋ φ) 的形式，然后 借助于三角函数的图象及性质去研究 f(x) 的相应性质，解答过 程中一定要注意公式的合理应用，以免错用公式，导致化简失
误．
已知函数 f(x)＝cos4x－2sinxcosx－sin4x. (1)求 f(x)的最小正周期； π (2)若 x∈[0，2]，求 f(x)的最大、最小值．
是________，最小值是________．
3－ 2 [答案] π 2 2 π 3 [解析] 由题可得 f(x)＝ 2 sin(2x－4)＋2，所以最小正周期 T
3－ 2 ＝π，最小值为 2 .
高效课堂
●互动探究
讨论三角函数的性质
已知函数 f(x)＝sin x＋asinxcosx－cos x， 且 (1)求常数 a 的值及 f(x)的最小值；
●探索延拓 在实际中的应用 要把半径为 R 的半圆形木料截成长方形，应怎 样截取，才能使长方形截面面积最大？
[探究]
用三角函数表示长方形的面积，转化为求三角图， 设圆心为 O， 长方形截面面积为 S， ∠AOB＝α， 则 AB＝Rsinα，OB＝Rcosα， S＝(Rsinα)· 2(Rcosα) ＝2R2sinαcosα＝R2sin2α. 当 sin2α 取最大值，即 sin2α＝1 时，长方形截面积最大，不 π 难推出，α＝4时，长方形截面面积最大，最大截面面积等于 R2. [规律总结] 本题中， 将长方形面积表示为三角函数式， 利用
值为－ 2.
π π π (2)令 2kπ－2≤2x－4≤2kπ＋2(k∈Z)， π 3π 整理得 kπ－8≤x≤kπ＋ 8 (k∈Z)； 又
π x∈0，2，则
3π 0≤x≤ 8 .
成才之路·北师大版数学必修
[答案] B
[解析] 由二次函数解析式y＝－3x2＋90x＝－3(x－15)2＋
675可知，当x＝15时，y取最大值．
第二章第一§章4 第§21课时
成成才才之之路路··高高中中新新课课程程 ··学学习习指指导导 ··北北师师大大版版 ··数数学学··必必修修11
4．函数y＝3x2－6x＋1，x∈[0,3]的最大值是________，最 小值是________．
第二章第一§章4 第§21课时
成成才才之之路路··高高中中新新课课程程 ··学学习习指指导导 ··北北师师大大版版 ··数数学学··必必修修11
销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240 请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得 最大利润？
第二章第一§章4 第§21课时
成成才才之之路路··高高中中新新课课程程 ··学学习习指指导导 ··北北师师大大版版 ··数数学学··必必修修11
3．某电子产品的利润y(元)关于产量x(件)的函数解析式为
y＝－3x2＋90x，要使利润获得最大值，则产量应为( )
A．10件
B．15件
C．20件
D．30件
④抛物线有最低点，
④抛物线有最高点，
当4acx－＝b－2 2ba时，y 有最小值，ymin＝ ___4_a_______
当 x＝4－ac2b－a时b2，y 有最大值，ymax ＝______4_a_____
第二章第一§章4 第§21课时
成成才才之之路路··高高中中新新课课程程 ··学学习习指指导导 ··北北师师大大版版 ··数数学学··必必修修11
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高中数学成才之路必修4：1-1-2
1.1 第2课时一、选择题1．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．sin2 C.2sin1D ．2sin1[答案] C[解析] 如图，∠AOB ＝2弧度，过O 点作OC ⊥AB 于C ，并延长OC 交A B 于D .∠AOD ＝∠BOD ＝1弧度，且AC ＝12AB ＝1，在Rt △AOC 中，AO ＝AC sin ∠AOC ＝1sin1，即r ＝1sin1，从而弧AB 的长为l ＝|α|·r ＝2sin1.∴选C.[点评] 本题是据弧长公式l ＝|α|r 求弧长，需先求半径． 2．圆的半径是6 cm ，则圆心角为15°的扇形面积是( ) A.π2cm 2 B.3π2cm 2 C ．πcm 2D ．3πcm 2[答案] B[解析] ∵15°＝π12，∴l ＝π12×6＝π2(cm)，∴S ＝12lr ＝12×π2×6＝3π2(cm 2)．3．圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则( ) A ．扇形的面积不变 B ．扇形的圆心角不变C ．扇形的面积增大到原来的2倍D ．扇形的圆心角增大到原来的2倍 [答案] B[解析] 根据弧度的定义可知：圆心角的大小等于弧长对半径的比，故选B.4．圆弧长度等于圆内接正三角形边长，则其所对圆心角的弧度数为( ) A.π3 B.2π3 C.3 D ．2 [答案] C[解析] 设圆内接正三角形边长为a ，则圆的半径r ＝33a ，所以a ＝3r ，因此α＝ar＝ 3. 5．扇形圆心角为π3，半径为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( )A ．B ．C ．D ．[答案] B[解析] 如图，设内切圆半径为r ，则r ＝a3，∴S 圆＝π·⎝⎛⎭⎫a 32＝πa 29，S 扇＝12a 2·π3＝πa 26， ∴S 圆S 扇＝23. 6．集合{α|α＝k π2－π5，k ∈Z }∩{α|－π<α<π}等于( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－103π，310πB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－710π，45πC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π5，310π，45π，－710πD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫310π，－710π [答案] C[解析] 由－π<k π2－π5<π及k ∈Z 知，k ＝－1,0,1,2，故选C.7．若扇形的面积是1cm 2，它的周长是4cm 2，则扇形圆心角的弧度数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[答案] B[解析] 设扇形的半径为R ，弧长为l ，由已知条件可知⎩⎪⎨⎪⎧12lR ＝12R ＋l ＝4解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝2R ＝1，所以扇形的圆心角度数为lR＝2.8．集合P ＝{x |2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，Q ＝{α|－4≤α≤4}．则P ∩Q ＝( ) A ．∅B ．{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}C ．{α|－4≤α≤4}D ．{α|0≤α≤π} [答案] B[解析] 令k ＝0，±1，在数轴上标注出P 与Q 如图所示可知选B. 二、填空题9．圆的半径变为原来的12，而弧长不变，该弧所对的圆心角是原来的________倍．[答案] 2[解析] ∵L ＝r ·θ，∴θ＝Lr ，∵半径变为原来的12，弧长不变，∴圆心角变为θ′＝L r 2＝2·Lr ＝2θ.10．已知圆上的一段弧长等于该圆的内接正方形的边长，则这段弧所对的圆周角的弧度数为________．[答案]22[解析] 设圆半径为r ，正方形边长为a ，则a 2＋a 2＝(2r )2，∴a ＝2r ，设圆周角弧度数为α，则2α＝l r ＝2r r ＝2，∴d ＝22.[点评] 圆弧所对的圆周角的弧度数等于圆心角弧度数的一半． 11．已知2k π＋2π3<α<2k π＋5π6(k ∈Z )，则α2为第________象限角．[答案] 一或三12．已知角α、β的终边关于x ＋y ＝0对称，且α＝－π3，则β＝________.[答案] {β|β＝2k π－π6，k ∈Z }[解析] 如图，－π3角的终边关于y ＝－x 对称的射线对应角为－π4＋π12＝－π6，∴β＝－π6＋2k π，k ∈Z .三、解答题13．已知θ∈{α|α＝k π＋(－1)k ·π4，k ∈Z }，判断θ所在的象限．[解析] (1)当k ＝2n ，n ∈Z 时，α＝2n π＋π4，α为第一象限角．(2)当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，α＝2n π＋34π，α为第二象限角，∴θ为第一或第二象限角．14．已知α是第二象限的角，(1)指出α2所在的象限，并用图形表示其变化范围．(2)若α同时满足条件|α＋2|≤4，求α的取值区间． [解析] (1)依题意，2k π＋π2<α<2k π＋π(k ∈Z )，∴k π＋π4<α2<k π＋π2，若k 为偶数，则α2是第一象限的角；若k 为奇数，则α2是第三象限的角；其变化范围如右图中阴影部分所示(不含边界)．(2)因为|α＋2|≤4，所以－6≤α≤2， 即α∈(2k π＋π2，2k π＋π)∩[－6,2]，由上图不难知道，α∈(－3π2，－π)∪(π2，2]．[点评] 除象限角、终边相同的角以外，还要注意理解区间角的概念，并能掌握好α角的取值范围与2α、α2角的取值范围间的相互关系．15．解答下列各题：(1)已知扇形的周长为10cm ，面积为4cm 2，求扇形圆心角的弧度数． (2)已知一扇形的圆心角是72°，半径等于20cm ，求扇形的面积．(3)已知一扇形的周长为40cm ，求它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？[解析] (1)设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ< 2π)，弧长为l ，半径为r ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝10， ①12lr ＝4. ②①代入②得r 2－5r ＋4＝0，解之得r 1＝1，r 2＝4. 当r ＝1时，l ＝8(cm)，此时，θ＝8rad>2πrad 舍去． 当r ＝4时，l ＝2(cm)，此时，θ＝24＝12rad.(2)设扇形弧长为l ，∵72°＝72×π180＝2π5(rad)，∴l ＝αR ＝2π5×20＝8π(cm)．∴S ＝12lR ＝12×8π×20＝80π(cm 2)．(3)设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则l ＋2r ＝40， ∴l ＝40－2r ，∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝(20－r )r ＝－(r －10)2＋100.∴当半径r ＝10cm 时，扇形的面积最大．这个最大值为100cm 2，这时θ＝l r ＝40－2×1010＝2rad.16．圆上一点A 依逆时针方向作匀速圆周运动，已知点A 每分钟转过θ角(0<θ≤π)，经过2分钟到达第三象限，经过14分钟回到原来的位置，那么θ是多少弧度？[解析] ∵0<θ≤π，∴0<2θ≤2π， 又∵2θ在第三象限，∴π<2θ<32π，∴14θ＝2k π，k ∈Z ，∴2θ＝27k π，k ∈Z .当k ＝4,5时，2θ＝87π，107π，它们都在⎝⎛⎭⎫π，32π内． 因此θ＝47πrad 或θ＝57πrad.。
【成才之路】高中数学 1-1-3-2 补集课件 新人教A版必修1
B．M∪N＝M D．M∩N＝{2}
[答案]
D
[解析] N中含有元素－2，M中没有元素－2，否定A、 B、C故选D.
5．设 P＝{m|m＝2n－1，n∈Z}，Q＝{x|x＝k＋2，k∈Z}， 那么 P∩Q 等于( A．Ø C．Q
[答案] B
) B．P D．Z
6．满足{1,3}∪A＝{1,3,5}的所有集合 A 的个数是( A．1 C．3 B．2 D．4
(4)已知 U＝{x|x 是实数}，Q＝{x|x 是有理数}，则∁UQ＝ ________. (5)已知 U＝R，A＝{x|x>15}，则∁UA＝________. (6)已知全集 U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则 ∁U(A∩B)＝( A．{2,3} C．{4,5} ) B．{1,4,5} D．{1,5}
[答案]
(1){4,5,6,7,8}
{1,2,7,8}
(2){0} (6)B
(3){2,4,6}
∅
U (4){x|x 是无理数}
(5){x|x≤15}
[解析]
(6)∵A∩B＝{2,3}，
∴∁U(A∩B)＝{1,4,5}．
思路方法技巧
1
补集概念的理解
学法指导： 1．补集符合∁UA的三层含义： (1)∁UA表示一个集合；(2)A是U的子集，即A⊆U；(3)∁
规律总结：(1)要准确理解补集的含义：是由全集中所 有不属于A的元素组成的集合． (2)利用数轴可以直观形象地反映问题，另外要注意分界 点的取值，如本题中∁UA中含有2，不含－1. (3)求补集时，首先要正确理解全集及子集中所含的元 素，找出其联系与差异，然后准确写出补集．
设U＝{x|－5≤x<－2，或2<x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－2x －15＝0}，B＝{－3,3,4}，求∁UA、∁UB. [分析] 求解． 先确定集合U、集合A的元素，再依据补集定义
《成才之路》2018-2019学年高一人教A版数学必修4课件： 第1章 三角函数 1.4.2 第2课时
高效课堂
第一章
1.4.2
第2课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
●互动探究 三角函数的奇偶性
判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝ 2sin2x； (2)f(x)＝sin4x－cos4x； (3)f(x)＝ sinx－1； 1＋sinx－cosx (4)f(x)＝ . 1＋sinx＋cosx [探究] 利用函数奇偶性的定义，分三步走：先求定义域，
1.4.2
第2课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
2．已知函数y＝cosx，x∈R，则下列说法错误的是( A．值域为[－1,1])B．是奇函数
C．在定义域上不是单调函数 D．在[0，π]上是减函数
[答案] B
3．下列函数在区间[0，π]上是单调函数的是( A．y＝sinx C．y＝sin2x [答案] D B．y＝cos2x D．y＝cosx )
成才之路 ·数学
人教A版 ·必修4
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
第一章
集合与函数的概念
第一章
集合与函数概念
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第一章 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第2课时 正、余弦函数的性质
第一章
1.4.2
第2课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
●预习自测
1．已知函数 y＝sinx，x∈R，则下列说法不正确的是( A．定义域是 R B．最大值与最小值的和等于 0
π π C．在－2，2上是减函数
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1.3 第2课时
一、选择题
1．已知sin(α－π4)＝13，则cos(π4＋α)的值为( )
A.223 B．－223
C.13 D．－13
[答案] D
[解析] cos(π4＋α)＝sin(π4－α)．
＝－sin(α－π4)＝－13.
2．已知cos(3π2＋α)＝－35，且α是第四象限角，则cos(－3π＋α)( )
A.45 B．－45
C．±45 D.35
[答案] B
[解析] ∵cos(3π2＋α)＝－35，∴sinα＝－35，
∴cos(－3π＋α)＝－cosα＝－1－sin2α＝－45.
3．若A、B是锐角△ABC的两个内角，则点P(cosB－sinA，sinB－cosA)在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] B
[解析] ∵A、B是锐角三角形的两个内角，∴A＋B>90°，∴B>90°－A，∴cosB
4．已知锐角α终边上一点P的坐标是(2sin2，－2cos2)，则α等于( )
A．2 B．－2
C．2－π2 D.π2－2
[答案] C
[解析] 解法一：由条件可知点P到原点距离为2，∴P(2cosα，2sinα)，
∴ 2cosα＝2sin22sinα＝－2cos2，
根据诱导公式及α为锐角可知，
cosα＝cos
2－
π
2
sinα＝sin
2－
π
2
，∴α＝2－π2.
解法二：点P位于第一象限，且
tanα＝－cot2＝－tanπ2－2＝tan2－π2，
∵2－π2∈0，π2，∴α＝2－π2.
5．(09·全国Ⅰ文)sin585°的值为( )
A．－22 B.22
C．－32 D.32
[答案] A
[解析] sin585°＝sin(360°＋225°)＝sin225°
＝sin(180°＋45°)＝－sin45°＝－22.
6．已知cos(π2＋φ)＝32且|φ|<π2，则tanφ等于( )
A．－33 B.33
C．－3 D.3
[答案] C
[解析] ∵cos(π2＋φ)＝－sinφ＝32，
∴sinφ＝－32，∵－π2<φ<π2，
∴cosφ＝12，∴tanφ＝sinφcosφ＝－3.
7．A、B、C为△ABC的三个内角，下列关系式中不成立的是( )
①cos(A＋B)＝cosC ②cosB＋C2＝sinA2
③tan(A＋B)＝－tanC ④sin(2A＋B＋C)＝sinA
A．①② B．③④
C．①④ D．②③
[答案] C
[解析] ∵cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC，
∴①错，排除B、D；
cosB＋C2＝cosπ－A2＝cosπ2－A2＝sinA2，
∴②正确，排除A，∴选C.
8．tan110°＝k，则sin70°的值为( )
A．－k1＋k2 B.k1＋k2
C.1＋k2k D．－1＋k2k
[答案] A
[解析] 解法一：∵k<0，sin70°>0，∴排除C、B，
又|sin70°|<1，∴排除D，选A.
解法二：k＝tan110°＝－tan70°，∴tan70°＝－k>0，
∴cos70°＝－1ksin70°代入sin270°＋cos270°＝1中得，sin270°＝k2k2＋1，∵k<0，sin70°>0，
∴sin70°＝－k1＋k2 .
二、填空题
9．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＋sin290°的值为________．
[答案] 912
[解析] ∵sin21°＋sin289°＝sin21°＋cos21°＝1，
sin22°＋sin288°＝sin22°＋cos22°＝1，
sin2x°＋sin2(90°－x°)＝sin2x°＋cos2x°＝1，(1≤x≤44，x∈N)
∴原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin290°＋sin245°
＝45＋222＝912.
10．化简1－2sin200°cos160°＝________.
[答案] cos20°－sin20°
[解析] 原式＝1－2(－sin20°)·(－cos20°)
＝sin220°＋cos220°－2sin20°cos20°
＝|sin20°－cos20°|＝cos20°－sin20°.
11．已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，则
sin(－α－3π2)sin(3π2－α)tan
3
α
cos(π2－α)cos(π2＋α)
＝________.
[答案] 34
[解析] 由已知得sinα＝－35.
∵α是第三象限角，∴cosα＝－1－sin2α＝－45.
∴原式＝cosα·(－cosα)·(sinαcosα)3sinα·(－sinα)＝sinαcosα＝34.
12．若P(－4,3)是角α终边上一点，则cos(α－3π)·tan(α－2π)sin2(π－α)的值为________．
[答案] －53
[解析] 由已知得sinα＝35，原式＝－cosαtanαsin2α
＝－cosα·sinαcosαsin2α＝－1sinα＝－53.
13．式子cos2π4－α＋cos2π4＋α＝________.
[答案] 1
[解析] 原式＝sin2π2－π4－α＋cos2π4＋α
＝sin2π4＋α＋cos2π4＋α＝1.
14．若tan(π－α)＝2，则2sin(3π＋α)·cos5π2＋α＋sin
3
2
π－α
·sin(π－α)的值为________．
[答案] 2
[解析] ∵tan(π－α)＝2，∴tanα＝－2，
∴原式＝－2sinα·(－sinα)＋(－cosα)·sinα
＝2sin2α－sinαcosα＝2tan2α－tanα1＋tan2α
＝2×(－2)2－(－2)1＋(－2)2＝105＝2.
三、解答题
15．已知cos(75°＋α)＝513，α是第三象限角，求sin(195°－α)＋cos(α－15°)的值．
[解析] ∵cos(75°＋α)＝513>0，α是第三象限角，
∴75°＋α是第四象限角，
且sin(75°＋α)＝－1－cos2(75°＋α)＝－1213.
∴sin(195°－α)＋cos(α－15°)
＝sin[180°＋(15°－α)]＋cos(15°－α)
＝－sin(15°－α)＋cos(15°－α)
＝－sin[90°－(75°＋α)]＋cos[90°－(75°＋α)]
＝－cos(75°＋α)＋sin(75°＋α)
＝－513－1213＝－1713.
16．已知x∈R，n∈Z，且f(sinx)＝sin(4n＋1)x，求f(cosx)．
[解析] f(cosx)＝fsinπ2－x
＝sin(4n＋1)π2－x
＝sin2nπ＋π2－(4n＋1)x
＝sinπ2－(4n＋1)x＝cos(4n＋1)x.
17．若sinα，cosα是关于x的方程3x2＋6mx＋2m＋1＝0的两根，求实数m的值．
[解析] Δ＝(6m)2－4×3(2m＋1)≥0 ①sinα＋cosα＝－2m ②sinα·cosα＝2m＋13 ③，
由②③得4m2＝1＋2(2m＋1)3，∴12m2－4m－5＝0.
∴m＝－12或m＝56，m＝56不适合①，m＝－12适合①，
∴m＝－12.
18．已知sin(3π－α)＝2cos3π2＋β，cos(π－α)＝
6
3
·cos(π＋β)，且0<α<π，0<β<π，求
sinα和cosβ.
[解析] 由已知得sinα＝2sinβ①
3cosα＝2cosβ②
①2＋②2得sin
2α＋3cos2
α＝2，
即sin2α＋3(1－sin2α)＝2，所以sin2α＝12.
又0<α<π，则sinα＝22.
将sinα＝22代入①得sinβ＝12.故cosβ＝±32.
[点评] cos(π－α)＝
6
3
cos(π＋β)可化为3cosα＝2cosβ，利用sin2β＋cos2β＝1求解，
也可化为cosα＝63cosβ，利用sin
2α＋cos2
α＝1求解．