二次函数中的面积计算问题

(D) 二次函数中的面积计算问题 [典型例题] 例. 如图，二次函数2yxbxc图象与x轴交于A,B两点(A在B的左边)，与y轴交于点C，顶点为M ，MAB为直角三角形, 图象的对称轴为直线2x，点P是抛物线上位于,AC两点之间的一个动点，则PAC的面积的最大值为（ C ）

A．274 B．112 C． 278 D．3 二次函数中面积问题常见类型： 一、选择填空中简单应用 二、不规则三角形面积运用S= 三、运用 四、运用相似三角形 五、运用分割方法将不规则图形转化为规则图形 例1. 如图1，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点， 且AE=BF=CG=DH, 设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是

（ B ） 例2. 解答下列问题： 如图1，抛物线顶点坐标为点C(1，4)，交x轴于点A(3，0)，交y轴于点B. （1）求抛物线和直线AB的解析式； （2）求△CAB的铅垂高CD及S△CAB ；

（3）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使S△PAB＝89S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.

思路分析 此题是二次函数中常见的面积问题，方法不唯一，可以用割补法，但有些繁琐，如图2我们可得出一种计算

三角形面积的新方法：ahSABC21即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.掌握这个公式后，思路直接，过程较为简单，计算量相对也少许多， 答案:（1）由已知，可设抛物线的解析式为y1＝a(x－1)2＋4(a≠0)．把A(3，0)代入解析式求得a＝－1， ∴抛物线的解析式为y1＝－(x－1)2＋4，即y1＝－x 2＋2x＋3． 设直线AB的解析式为y2＝kx＋b， 由y1＝－x 2＋2x＋3求得B点的坐标为(0，3)．把A(3，0)，B(0，3)代入y2＝kx＋b，解得k＝－

1，b＝3． ∴直线AB的解析式为y2＝－x＋3． （2）∵C(1，4)，∴当x＝1时，y1＝4，y2＝2． ∴△CAB的铅垂高CD＝4－2＝2． S△CAB＝21×3×2＝3(平方单位)．

（3）解：存在．

第10题 xyAB

COM

图1 B C 铅垂高 水平宽 h

a 图2

A

x C

O y A B D 1

1

图1 设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h． 则h＝y1－y2＝(－x 2＋2x＋3)－(－x＋3)＝－x 2＋3x 由S△PAB＝89S△CAB得：21×3×(－x 2＋3x)＝8

9

×3．

整理得4x 2－12x＋9＝0，解得x＝23． 把x＝23代入y1＝－x 2＋2x＋3，得y1＝415． ∴P点的坐标为(23，415)． 例3. （贵州省遵义市）如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A（0，2），O（0，0），B（4，0），把△AOB绕点O逆时针方向旋转90°得到△COD（点A转到点C的位置），抛物线y＝ax 2＋bx＋c(a≠0)经过C、D、B三点． （1）求抛物线的解析式； （2）若抛物线的顶点为P，求△PAB的面积； （3）抛物线上是否存在点M，使△MBC的面积等于△PAB的面积？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

思路分析:根据题目所给信息，函数关系式和△PAB的面积很容易求出。第（3）问是二次函数中常见的动点问题，由于点M是抛物线上的一个不确定点，点M可以处于不同的位置，是由于点的不确定性而导致图形的形状发生特征上的变化，故而用分类讨论的思想解决问题。

答案:（1）由题意知C（－2，0），D（0，4）． ∵抛物线经过B（4，0），C（－2，0）．∴可设抛物线的解析式为y＝a(x＋2)(x－4) 将D（0，4）代入上式，解得a＝－21．

∴该抛物线的解析式为y＝－21(x＋2)(x－4) 即y＝－21x 2＋x＋4． （2）∵y＝－21x 2＋x＋4＝－21(x－1)2＋29． ∴抛物线的顶点P的坐标为（1，29）． 过点P作PE⊥y轴于点E，如图． 则S△PAB＝S四边形PEOB－ S△AOB－ S△PEA ＝21×(1＋4)×29－21×4×2－21×(29－2)×1＝6．

（3）假设存在这样的点M，其坐标为M（x，y）． 则S△MBC ＝21| y |×6＝S△PAB＝6

即21| y |×6＝6，∴y＝±2． 当y＝2时，－21(x－1)2＋29＝2，解得x＝51； 当y＝－2时，－21(x－1)2＋29＝－2，解得x＝131．

x C O y A B D 1

1

图2

P

-3 B A x y O 2 -1 -1 1 2 3 4 5 -2 1 3 4 5 -3 B A x y O 2 -1 -1 1 2 3 4 5 -2 1 3 4 5 P E ∴存在点M，使△MBC的面积等于△PAB的面积，其坐标为： M1（51＋，2），M2（51－，2），M3（131＋，－2），M4（131－，－2）． 例4．如图，抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＞x2，与y轴交于点C（0，4），其中x1，x2是方程x 2－2x－8＝0的两个根． （1）求这条抛物线的解析式； （2）点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连接CP，当△CPE的面积最大时，求点P的坐标； （3）探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）解方程x 2－2x－8＝0，得x1＝－2，x2＝4． ∴A（4，0），B（－2，0）．∵抛物线与x轴交于A，B 两点，∴可设抛物线的解析式为y＝a(x＋2)(x－4)（a≠0） 又∵抛物线与y轴交于点C（0，4），∴a×2×(－4)＝4，

∴a＝－21．

∴抛物线的解析式为y＝－21(x＋2)(x－4)，即y＝－21x 2＋x＋4 （2）设点P的坐标为（m，0），过点E作EG⊥x轴于点G，如图． ∵A（4，0），B（－2，0），∴AB＝6，BP＝m＋2． ∵PE∥AC，∴△BPE∽△BAC． ∴COEG＝ABBP，∴4EG＝62m＋，∴EG＝34m2＋

∴S△CPE＝S△CBP－S△BPE ＝21BP·CO－2

1BP·EG

＝21(m＋2)(4－34m2＋) ＝－3

1(m－1)2＋3

又∵－2≤m≤4，∴当m＝1时，S△CPE有最大值3． 此时点P的坐标为（1，0） （3）存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三角形，点Q的坐标为：

Q1(1，1)，Q2(1，11)，Q3(1，11－)，Q4(1，194＋)，Q5(1，194－) 设点Q的坐标为（1，n）． ∵B（－2，0），C（0，4），∴BC2＝(－2)2＋42＝20． ①当QB＝QC时，则QB2＝QC2． 即(－2－1)2＋y2＝(－1)2＋(4－y)2，∴y＝1． ∴Q1(1，1) ②当BC＝BQ时，则BQ2＝BC2． 即(－2－1)2＋y2＝20，∴y＝11．

B A y O P E C x B A y O P E C x G

B A y O C x Q1 Q2 Q4 Q5 ∴Q2(1，11)，Q3(1，11－)． ③当QC＝BC时，则QC2＝BC2． 即12＋(4－y)2＝20，∴y＝194．

∴Q4(1，194＋)，Q5(1，194－)． 例5．如图1，抛物线y＝x 2－2x＋k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，－3）．（图2、图3为解答备用图） （1）k＝_____________，点A的坐标为_____________，点B的坐标为_____________； （2）设抛物线y＝x 2－2x＋k的顶点为M，求四边形ABMC的面积； （3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； （4）在抛物线y＝x 2－2x＋k上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形．

解：（1）－3，（－1，0），（3，0）； （2）连结OM，如图1． ∵y＝x 2－2x＋k＝(x－1)2－4 ∴抛物线的顶点M的坐标为（1，－4）． S四边形ABMC ＝S△AOC＋ S△COM ＋ S△MOB ＝21×1×3＋21×3×1＋2

1×3×4

＝9 说明：也可过点M作抛物线的对称轴，将四边形ABMC的面积转化为求 一个梯形与两个直角三角形面积的和． （3）设D（m，m 2－2m－3），连结OD，如图2． 则0＜m＜3，m 2－2m－3＜0． S四边形ABDC ＝S△AOC＋ S△COD ＋ S△DOB ＝21×1×3＋21×3×m＋21×3×[－(m 2－2m－3)]＝－23m 2＋2

9m＋6

＝－23(m－23)2＋8

75．

当m＝23时，四边形ABDC的面积最大． 此时m 2－2m－3＝(23)2－2×23－3＝－415． ∴存在点D（23，－415），使四边形ABDC的面积最大． （4）有两种情况： 如图3，过点B作BQ1⊥BC，交抛物线于点Q1、交y轴于点E，连接Q1C． ∵在Rt△COB中，OB＝OC＝3，∴∠CBO＝45°，∴∠EBO＝45°，OB＝OE＝3． ∴点E的坐标为（0，3）． ∴直线BE的解析式为y＝－x＋3． 令－x＋3＝x 2－2x－3，解得5211 ＝－＝yx，0322 ＝＝yx

y x B A O C 图1 y x B A O C 图2 y x B A O C 图3

y x B A O C 图1 M

y x B A O C 图2 D

y

x B A O C 图3

Q1 E

y x B A O C F