6. 注：AR 模型平稳（系数多项式的根在单位园外）；MA 模型可逆（系数多项式的根在单位
园外）：
7. 对于一阶自回归模型MA(1): 10.3t t t X εε-=-，其自相关函数为
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=-==2
,01
,09.13.00
,1k k k k ρ。
注：⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎨⎧
>≤≤++-===∑∑=-=+q k q k k q
i i k q i k i k k k ,01,10,112
1
1
0θθθθγγρ
8. 对于二阶自回归模型AR(2):120.50.2t t t t X X X ε--=++则模型所满足的Yule-Walker
方程是
_⎪⎩⎪
⎨⎧=⎩⎨
⎧+=+===2
1220211222121011101k k φρφρρφρφρρφρρ=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧
=⎪
⎪⎩⎪⎪⎨
⎧+=+===2
8580418585
1
8522
21222111
k k φφφ
φφ__。
注：1.⎥
⎥
⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----kk k k k k k k k φφφρρρ
ρρρρρρρρρ
2102
1
20
111021
2. 由于AR 模型的
∑=-=p
i i
k i k 1
ρφρ
故对于AR （2）有
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≥+=-===--2,1
,10,122112
10k k k k k k k ρφρφφφγγρ
进而
⎪
⎩⎪⎨⎧≥+===--2,2.05.01
,850,121k k k k k k ρρρ 9. 设时间序列{}t X 为来自ARMA(p,q)模型：
1111t t p t p t t q t q X X X φφεθεθε----=+
+++++
则预测方差为___
()∑==l
i i t G l e Var 0
2
2][εσ________________。
10. 对于时间序列{}t X ，如果_
()()()t
s Ex t
s E Var E x t s s t t t t
t d <∀=≠====∇,0,0,,02εεεσεεεε，则()~t X I d 。
注：ARIMA （p ，d ，q ）
()()()()()t
s Ex t
s E Var E B x B t s s t t t t
t d <∀=≠===Θ=∇Φ,0,0,,02εεεσεεεε
11. 设时间序列{}t X 为来自GARCH(p ，q)模型，则其模型结构可写为_____________。
()⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧
++==+=∑∑==---q
j j j p i i t i t t t t t
t t t h h e h x x t f x 1
2
121,,,,εληωεε
二、（10分）设时间序列{}t X 来自()2,1ARMA 过程，满足
()()2
10.510.4t
t
B B X B ε-+=+,
其中{}t ε是白噪声序列，并且()()2
t t 0,E Var εεσ==。
（1） 判断()2,1ARMA 模型的平稳性。（5分）
特征函数为05.02
=+-x x ，特征根为
21211i
x ±=-±=
，在单位圆，平稳
也可用平稳域法见一（4）
（2） 利用递推法计算前三个格林函数012,,G G G 。（5分）
⎪⎩⎪⎨⎧'-'
==∑=-k k j j k j k G G G θφ1
01
1
0=G
4
.1)4.0(11011=--=-=θφG G
9.005.04.12
02112=--='-+=θφφG G G
求格林函数也可以用算子
()()()
(
)
()(
)
+++=++++=+-+-++=+-+2
22
21
22
9.04.115.014.015.05.014.015.014.01B B B B B B B B B B B
B B
三、（20分）某国1961年1月—2002年8月的16~19岁失业女性的月度数
据经过一阶差分后平稳（N ＝500），经过计算样本其样本自相关系数
ˆ{}k ρ及样本偏相关系数ˆ{}kk
φ的前10个数值如下表
