二元一次方程经典例题讲解

二元一次方程组

【学习重点与难点】

1．重点：准确熟练地解二元一次方程组

2．难点：（1）二元一次方程有无数个解；二元一次方程组一般只有一个解，在特殊情况下，二元一次方程组也存在无数个解或无解的情况。

（2）正确地运用二元一次方程解决实际应用问题

【知识讲解】

1.二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1?的整式方程叫做二

元一次方程．

例1．关于x、y的方程3x m-2－2y2n－1=7

(1)当m、n为何值时，是一元一次方程？（2）当m、n为何值时，是二元一次方程？

2.二元一次方程组及其解：两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组．一般

地，能使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．

例1：已知

是方程组

2(1)2

x m y

nx y

+-=

的解，求（m+n）的值．

例2.在解方程组

ax by

cx y

时，一同学把c看错而得到

，正确的解应是

，那么

错误的C是多少，正确的C又是多少，并把a,b的值求出来。

3.二元一次方程组的解法一般有二种：（1）代入消元法（2）加减消元法，无论是“代入消元法”还是“加减消元法”其基本思想都是“消元”，即都是化“二元方程”为“一元方程”例1. 已知||()

x y x y

-++-

212

与互为相反数，求x y

、的值。

例2. 若4360270

x y z x y z

--=+-=

，，则

2310

222

x y z

等于（）

A. -1

B. -

C. -15

D. -13

4.运用二元一次方程在解决实际问题中，要找出问题中的相等关系弄清问题的意义，分析实

际问题中已知量、未知量间的相等关系，根据这种关系建立数学模型，在列方程组过程中，一般情况下，两个未知数就列出两个方程，三个未知数就列出三个方程。

例1：有一个两位数，它的两个数字之和为11，把这个两位数的个位数字与十位数字对调，所得的新数比原数大63，设原两位数的个位数字为x，十位数字为y，求这个两位数。

例2: 为满足用水量不断增长的需求，昆明市最近新建甲，乙，丙三个水厂，这三个水厂的日供水量共计11.8万m3，?其中乙水厂的日供水量是甲水厂日供水量的3倍，丙水厂的日供水量比甲水厂日供水量的一半还多1万m3．

（1）求这三个水厂的日供水量各是多少万立方米？

（2）在修建甲水厂的输水管道的工程中要运走600t土石，运输公司派出A型，B型两种载重汽车，A型汽车6辆，B型汽车4辆，分别运5次，可把土石运完；或者A型汽车3辆，B型汽车6辆，分别运5次，也可把土石运完，那么每辆A型汽车，每辆B型汽车每次运土石各多少吨？（每辆汽车运土石都以准载重量满载）

【分析】（1）可设甲水厂的日供水量是x万m3，则乙水厂的日供水量是3x万m3，丙水厂的日供水量

是（1

x+1）万m3，由三个水厂的日供水量总和为11.8万m3，可列方程x+3x+

x+1=11.8；

（2）设每辆A型汽车每次运土石xt，B型车每辆每次运土石yt，?依题意可列方程组

3020600

1530600

x y

解方程后可求解．

【解答】（1）设甲水厂的供水量是x万m3，则乙水厂的日供水量是3x万m3，丙水厂的日供水量是

（1

x+1）万m3．

由题意得：x+3x+

x+1=11.8，解得x=2.4．

则3x=7.2，x+1=2.2．

答：甲水厂日供水量是2.4万m3，乙水厂日供水量是7.2万m3，?丙水厂日供水量是2.2万m3．（2）设每辆A型汽车每次运土石xt，每辆B型汽车每次运土石yt，由题意得：

3020600

1530600

x y

∴

答：每辆A型汽车每次运土石10t，每辆B型汽车每次运土石15t．

【点评】本例系统地考查了一元一次方程和二元一次方程组这两个重要内容，在同一背景下提供不同

的动作方案是近年中考应用题的发展方法．

二元一次方程组应用题经典题有答案

实际问题与二元一次方程组题型归纳(5) 知识点一：列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系. 一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等. 知识点二：列方程组解应用题中常用的基本等量关系 1.行程问题： (1)追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。这类问题比较直观，画线段,用图便于理解与分析。其等量关系式是:两者的行程差＝开始时两者相距的路程；；； (2)相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。这类问题也比较直观，因而也画线段图帮助理解与分析。这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和＝总路程。 (3)航行问题：①船在静水中的速度＋水速＝船的顺水速度； ②船在静水中的速度－水速＝船的逆水速度； ③顺水速度－逆水速度＝2×水速。注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。 2．工程问题：工作效率×工作时间=工作量. 3．商品销售利润问题： (1)利润＝售价－成本(进价)；(2)；(3)利润＝成本（进价）×利润率；(4)标价＝成本(进价)×(1＋利润率)；(5)实际售价＝标价×打折率；注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损。打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。（例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十）4．储蓄问题： (1)基本概念 ①本金：顾客存入银行的钱叫做本金。②利息：银行付给顾客的酬金叫做利息。 ③本息和：本金与利息的和叫做本息和。④期数：存入银行的时间叫做期数。 ⑤利率：每个期数内的利息与本金的比叫做利率。⑥利息税：利息的税款叫做利息税。 (2)基本关系式 ①利息＝本金×利率×期数 ②本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) ③利息税＝利息×利息税率＝本金×利率×期数×利息税率。

选修4-4 坐标系与参数方程知识点及经典例题

坐标系与参数方程 *选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求： 1．坐标系： ① 理解坐标系的作用. ② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. ③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化. ④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. 2．参数方程：① 了解参数方程，了解参数的意义. ② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. 第一讲一、平面直角坐标系伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换???>?='>?='). 0(,y y 0), (x,x :μμλλ?的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。

方法1：求伸缩变换后的图形。由伸缩变换公式解出x、y,代入已知曲线方程就可求得伸缩变换后的曲线方程。例:：在一个平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形。方法2：待定系数法求伸缩变换。求伸缩变换时，先设出变换，再代入原方程或变换后的方程，求出其中系数即可。例：在同一平面直角坐标系中,求下列图形变换的伸缩变换:

二、极坐标 1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。 2.点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM . 极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ. 3.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。 4.极坐标与直角坐标的互化：如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M 的直角坐标与极坐标分别为(x ，y )，(ρ，θ)． (1)极坐标化直角坐标 (2)直角坐标化极坐标 ? ????ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x （x ≠0）.

一元二次方程经典测试题(附答案解析)

. . . 一元二次方程测试题考试范围：一元二次方程；考试时间：120分钟；命题人：瀚博教育第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共12小题，每题3分，共36分） 1．方程x（x﹣2）=3x的解为（） A．x=5 B．x1=0，x2=5 C．x1=2，x2=0 D．x1=0，x2=﹣5 2．下列方程是一元二次方程的是（） A．ax2+bx+c=0 B．3x2﹣2x=3（x2﹣2）C．x3﹣2x﹣4=0 D．（x﹣ 1）2+1=0 3．关于x的一元二次方程x2+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（） A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．3 4．某旅游景点的游客人数逐年增加，据有关部门统计，2015年约为12万人次，若2017年约为17万人次，设游客人数年平均增长率为x，则下列方程中正确的是（） A．12（1+x）=17 B．17（1﹣x）=12 C．12（1+x）2=17 D．12+12（1+x）+12（1+x）2=17 5．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm，BC=6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（） A．2秒钟B．3秒钟C．4秒钟D．5秒钟 6．某幼儿园要准备修建一个面积为210平方米的矩形活动场地，它的长比宽多12米，设场地的长为x 米，可列方程为（） A．x（x+12）=210 B．x（x﹣12）=210 C．2x+2（x+12）=210 D．2x+2（x﹣12）=210 7．一元二次方程x2+bx﹣2=0中，若b＜0，则这个方程根的情况是（） A ．有两个正根B．有一正根一负根且正根的绝对值大 C．有两个负根D．有一正根一负根且负根的绝对值大 8．x1，x2是方程x2+x+k=0的两个实根，若恰x12+x1x2+x22=2k2成立，k的值为（） A．﹣1 B．或﹣1 C．D．﹣或1 9．一元二次方程ax2+bx+c=0中，若a＞0，b＜0，c＜0，则这个方程根的情况是（） A．有两个正根B．有两个负根 C．有一正根一负根且正根绝对值大D．有一正根一负根且负根绝对值大 10．有两个一元二次方程：M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a﹣c≠0，以下列四个结论中，错误的是（） A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根 B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同 C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根 D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1 11．已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（） A．7 B．11 C．12 D．16

一元一次方程经典题型(推荐文档)

一元一次方程经典题型 1．以y 为未知数的方程c b ay 52=()0,0≠≠b a 的解是（） A ．a bc y 10= B ．c bc y 52= C ．a bc y 25= D ．c bc y 10= 2．要使415+ m 与??? ??+415m 互为相反数，那么m 的值是（） A ．0 B ．203 C ．201 D ．20 3- 3.已知05432=+-n x 是关于x 的一元一次方程，则.____________=n 4．若79b a x 与12437---y x b a 是同类项，则.___________,__________==y x 5．若2-是关于x 的方程a x x -= +243的解，则._________1100100=-a a 6、若关于x 的方程230m mx m --+=是一元一次方程，则这个方程的解是 . 6、已知：()2135m --有最大值，则方程5432m x -=+的解是 . 7、方程456,x y -=用含x 的代数式表示y 得，用含y 的代数式表示x 得。 3、解方程20.250.1x 0.10.030.02 x -+=时，把分母化为整数，得。 2、方程23(1)0x -+=的解与关于x 的方程 3222k x k x +--=的解互为倒数，求k 的值。 7． .222 .01.05.0=+-x x 6.3.1从实际问题到方程一、本课重点，请你理一理列方程解应用题的一般步骤是：（1）“找”：看清题意，分析题中及其关系，找出用来列方程的____________；（2）“设”：用字母（例如x ）表示问题的_______；（3）“列”：用字母的代数式表示相关的量，根据__________列出方程；（4）“解”：解方程；（5）“验”：检查求得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案；（6）“答”：答出题目中所问的问题。二、基础题，请你做一做 1. 已知矩形的周长为20厘米，设长为x 厘米，则宽为（）. A. 20-x B. 10-x C. 10-2x D. 20-2x 2.学生a 人，以每10人为一组，其中有两组各少1人，则学生共有（）组. A. 10a －2 B. 10－2a C. 10－(2－a) D.(10+2)/a

二元一次方程组经典练习题+答案解析100道 (1)

二元一次方程组练习题100道（卷一） 1、?? ?? ?-==312y x 是方程组?????? ?=-=-9 10326 5 23 y x y x 的解 …………（） 2、方程组? ? ?=+-=5 231y x x y 的解是方程3x -2y =13的一个解（） 3、由两个二元一次方程组成方程组一定是二元一次方程组（） 4、方程组???????=-++=+++2 5323 473 5 23y x y x ，可以转化为?? ?-=--=+27651223y x y x （） 5、若(a 2-1)x 2 +(a -1)x +(2a -3)y =0是二元一次方程，则a 的值为±1（） 6、若x +y =0，且|x |=2，则y 的值为2 …………（） 7、方程组? ? ?=+-=+8 1043y x x m my mx 有唯一的解，那么m 的值为m ≠-5 …………（） 8、方程组?? ???=+=+62 3 131 y x y x 有无数多个解 …………（） 9、x +y =5且x ，y 的绝对值都小于5的整数解共有5组 …………（） 10、方程组? ? ?=+=-351 3y x y x 的解是方程x +5y =3的解，反过来方程x +5y =3的解也是方程组?? ?=+=-3 51 3y x y x 的解 ………（） 11、若|a +5|=5，a +b =1则3 2-的值为b a ………（） 12、在方程4x -3y =7里，如果用x 的代数式表示y ，则4 37y x +=（）二、选择： 13、任何一个二元一次方程都有（）（A ）一个解；（B ）两个解；

参数方程典型例题分析

参数方程典型例题分析例1在方程（为参数）所表示的曲线上一点的坐标是（）．（A）（2，－7）（B）（，）（C）（，）（D）（1，0）分析由已知得可否定（A）又，分别将，，1代入上式得，，－1，∴（，）是曲线上的点，故选（C）．例2直线（为参数）上的点A，B所对应的参数分别为，，点P分所成的比为，那么点P对应的参数是（）．（A）（B）（C）（D）分析将，分别代入参数方程，得A点的横坐标致为，B点的横坐标为，由定比分点坐标公式得P的横坐标为，可知点P所对应的参数是故应选（C）．例3化下列参数方程为普通方程，并画出方程的曲线．（1）（为参数，）

（2）（为参数）；（3）（为参数），解：（1）∵ ∴， ∴或故普通方程为（或），方程的曲线如图．（2）将代入得 ∵普通方程为（），方程的曲线如图．

（3）两式相除得代入得整理得 ∵ ∴普通方程为（），方程的曲线如图．点评（l）消去参数的常用方法有代入法，加减消元法，乘除消元法，三角消元法等；（2）参数方程化普通方程在转化过程中，要注意由参数给出的，的范围，以保证普通方程与参数方程等价．例4已知参数方程 ①若为常数，为参数，方程所表示的曲线是什么？ ②若为常数，为参数，方程所表示的曲线是什么？解：①当时，由（1）得，由（2）得，

∴，它表示中心在原点，长轴长为，短轴长为焦点在轴上的椭圆．当时，，，它表示在轴上的一段线段． ②当（）时，由（1）得，由（2）得．平方相减得，即它表示中心在原点，实轴长为，虚轴长为，焦点在轴上的双曲线．当（）时，，它表示轴；当（）时，， ∵（时）或（时） ∴，∴方程为（），它表示轴上以（－2，0）和（2，0）为端点的向左和向右的两条射线．点评本题的启示是形式相同的方程，由于选择参数的不同，可表示不同的曲线，因此要注意区分问题中的字母是常数还是参数．例5直线（为参数）与圆（为参数）相切，则直线的倾斜角为（）．

一元二次方程典型例题解析

龙文教育学科辅导学案教师: 学生: 年级: 日期:2013. 星期: 时段: 学情分析课题一元二次方程章节复习及典型例题解析学习目标与考点分析学习目标：1、通过对典型例题、自身错题的整理，抓住本章的重点、突破学习的难点； 2、通过灵活运用解方程的方法，体会四种解法之间的联系与区别，进一步熟练根据方程特征找出最优解法； 3、通过实际问题的解决，进一步熟练运用方程解决实际问题，体会方程思想在解决问题中的作用考点分析：1一元二次方程的定义、解法、及根与系数的关系学习重点理解并掌握一元二次方程的概念及解法学习方法讲练说相结合学习内容与过程一回顾梳理旧的知识点（这些知识点必须牢牢掌握）一元二次方程 1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。一元二次方程的解法 1、直接开平方法: 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 2、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式2 22)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式 3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元一次方程知识点及经典例题

精心整理一、知识要点梳理知识点一：方程和方程的解 1.方程：含有_____________的______叫方程注意：a.必须是等式b.必须含有未知数。易错点：（1）.方程式等式，但等式不一定是方程；（2）.方程中的未知数可以用x表示，也可以用其他字母表示；（3）.方程中可以含多个未知数。考法：判断是不是方程：例：下列式子：(1).8-7=1+0(2). 1、一元一次方程：一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中x是未知数，a,b是已知数，且a≠0)。要点诠释：一元一次方程须满足下列三个条件：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的次数是1次；（3）整式方程． 2、方程的解：判断一个数是否是某方程的解：将其代入方程两边，看两边是否相等．知识点二：一元一次方程的解法 1、方程的同解原理（也叫等式的基本性质）等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。如果，那么；(c为一个数或一个式子)。等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。如果，那么；如果，那么要点诠释：分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。

即：（其中m≠0）特别须注意：分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为整数，如方程：－=1.6，将其化为：－=1.6。方程的右边没有变化，这要与“去分母”区别开。 2、解一元一次方程的一般步骤：解一元一次方程的一般步骤变形步骤具体方法变形根据注意事项去分母方程两边都乘以各个分母的最小公倍数等式性质 2 1．不能漏乘不含分母的项； 2．分数线起到括号作用，去掉分母后，如果分子是多项式，则要加括号去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号乘法分配律、去括号法则 1．分配律应满足分配到每一项 2．注意符号，特别是去掉括号移项把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边等式性质 1 1．移项要变号； 2．一般把含有未知数的项移到方程左边，其余项移到右边合并同类项把方程中的同类项分别合并，化成“b ax=”的形式（0 ≠ a）合并同类项法则合并同类项时，把同类项的系数相加，字母与字母的指数不变未知数的系方程两边同除以未知数的系数a，得 a b x= 等式性质 2 分子、分母不能颠倒

二元一次方程组应用题经典题及答案

实际问题与二元一次方程组题型归纳（练习题答案）类型一：列二元一次方程组解决——行程问题【变式1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？解：设甲，乙速度分别为x，y千米/时，依题意得： (2.5+2)x+2.5y=36 3x+(3+2)y=36 解得：x=6，y=3.6 答：甲的速度是6千米/每小时，乙的速度是3.6千米/每小时。【变式2】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。解：设这艘轮船在静水中的速度x千米/小时,则水流速度y千米/小时，有： 20（x-y）=280 14（x+y）=280 解得：x=17，y=3 答：这艘轮船在静水中的速度17千米/小时、水流速度3千米/小时，类型二：列二元一次方程组解决——工程问题【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元.若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由. 解：类型三：列二元一次方程组解决——商品销售利润问题【变式1】（2011湖南衡阳）李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？解：设甲、乙两种蔬菜各种植了x、y亩，依题意得： ①x+y=10 ②2000x+1500y=18000

一元二次方程解法及其经典练习题

一元二次方程解法及其经典练习题方法一：直接开平方法（依据平方根的定义）如果 a x =2那么 a x ±= 注意;x 可以是多项式一、用直接开平方法解下列一元二次方程。 1.0142=-x 2、2)3(2=-x 3、()162812=-x 4．.25)1(412=+x 5．(2x ＋1)2=(x －1)2． 6．(5－2x )2=9(x ＋3)2． 7．.063)4(22 =--x 方法二：配方法解一元二次方程 1. 定义：把一个一元二次方程的左边配成一个，右边为一个，然后利用开平方数求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。配方法解一元二次方程的步骤：二、用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662=--y y 2、x x 4232=- 39642=-x x 、 4、0542=--x x 5、01322=-+x x 6、07232=-+x x

方法三：公式法 1.定义：利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法 2.公式的推导：用配方法解方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）（1）当b 2-4ac>0时，=1x ，=2x 。（2）当b 2-4ac=0时，==21x x 。（3）当b 2-4ac<0时，方程根的情况为。二、用公式解法解下列方程。 1、0822=--x x 2、22314y y -= 3、y y 32132=+ 4、01522=+-x x 5、1842-=--x x 6、02322=--x x 7．x 2＋4x －3=0 8． .03232=--x x 方法四：因式分解法因式分解的方法：（1）提公因式法：（2）公式法：平方差：完全平方：（3）十字相乘法：一、用因式分解法解下列一元二次方程。 1、x x 22= 2、0)32()1(22=--+x x 3、0862=+-x x 4、22)2(25)3(4-=+x x 5、0)21()21(2=--+x x 6、0)23()32(2=-+-x x

(完整版)一元一次方程经典题型(可编辑修改word版)

4 一元一次方程经典题型 1.以y 为未知数的方程2ay = 5c (a ≠ 0, b≠ 0)的解是（） b A.y =10bc a B. y = 2bc 5c C. y = 5bc 2a D.y =10bc c 2.要使5m +1 与 ? + 1 ? 互为相反数，那么m 的值是（） 5 m ? 4 ?? A.0 B.3 20 C.1 20 D.-3 20 3.已知4x 2n-3+ 5 = 0 是关于x 的一元一次方程，则n =. 4．若9a x b7与- 7a3x-4b 2y-1是同类项，则x =, y =. 5．若- 2 是关于x 的方程3x + 4 =x -a 的解，则a100- 2 1 =. a100 6、若关于x 的方程mx m-2-m + 3 = 0 是一元一次方程，则这个方程的解是. 6、已知：1-(3m-5)2有最大值，则方程5m - 4 = 3x + 2 的解是. 7、方程4x - 5 y= 6, 用含x 的代数式表示y 得，用含y 的代数式表示x 得。 2x 0.25 -0.1x 3、解方程+= 0.1时，把分母化为整数，得。 0.03 0.02 2、方程2 -3(x +1) = 0 的解与关于x 的方程 7．0.5x - 0.1 + 2x = 2. 0.2 k +x 2 -3k - 2 = 2x 的解互为倒数，求k 的值。 6.3.1从实际问题到方程一、本课重点，请你理一理列方程解应用题的一般步骤是：（1）“找”：看清题意，分析题中及其关系，找出用来列方程的；（2）“设”：用字母（例如x）表示问题的；（3）“列”：用字母的代数式表示相关的量，根据列出方程；（4）“解”：解方程；（5）“验”：检查求得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案；（6）“答”：答出题目中所问的问题。二、基础题，请你做一做 1.已知矩形的周长为20 厘米，设长为x 厘米，则宽为（）. A. 20-x B. 10-x C. 10-2x D. 20-2x 2.学生a 人，以每10 人为一组，其中有两组各少1 人，则学生共有（）组. A. 10a－2 B. 10－2a C. 10－(2－a) D.(10+2)/a 三、综合题，请你试一试

一元二次方程典型例题整理版

一元二次方程专题一：一元二次方程的定义典例分析：例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（） A ()()12132 +=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 2、若方程013)2(||=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则（） A ．2±=m B ．m=2 C ．2-≠m D ．2±≠m 3、关于x 的一元二次方程（a －1）x 2＋x+a 2－l=0的一个根是0。则a 的值为( ) A 、 1 B 、－l C 、 1 或－1 D 、 1 2 4、若方程()112=?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是。 5、关于x 的方程0)2(2 2=++-+b ax x a a 是一元二次方程的条件是（） A 、a ≠1 B 、a ≠－2 C 、a ≠1且a ≠－2 D 、a ≠1或a ≠－2 专题二：一元二次方程的解典例分析： 1、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为。 2、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为，另一根是。 3、已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 622 。

4、若方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中，a,b,c 满足a+b+c=0和a-b+c=0,则方程的根是_______。 5、方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为（） A 1- B 1 C c b - D a - 课堂练习： 1、已知一元二次方程x 2+3x+m=0的一个根为-1，则另一个根为 2、已知x=1是一元二次方程x 2+bx+5=0的一个解，求b 的值及方程的另一个根． 3、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为。 4、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为。专题三：一元二次方程的求解方法典例分析：一、直接开平方法 ();0912=--x 二、配方法．难度训练： 1、如果二次三项式16)122++-x m x （是一个完全平方式，那么m 的值是_______________.

七年级一元一次方程经典题型计算题道

经典题型一、解方程（等式的性质）20分 1、x x 232-=- 2、463127.253.13?-?-=-+-x x x x 3、x x 21-=- 4、x 355-= 5、15=-x 6、1835+=-x x 7、x x 237+= 8、x x x 58.42.13-=-- 9、26473-=+-x x x 10、x x x 910026411-=-+ 11、x x x x 43987--=+- 12、x x x 25.132-=+- 13、x x 3.15.67.05.0-=- 14、3.05.064-=-+-x x x 15、15 2+-=-x x 16、35 36+-=-x x 17、3 223=x 18、168421x x x x x ++-+ = 19、4 32214+=-x x 20、x x x 3 212-=- 二、解方程（去括号）30分

1、4)1(2=-x 2、5)1(10=-x 3、95)3(+=--x x 4、)12(1)2(3--=+-x x x 5、)15(2)2(5-=+x x 6、)4(3)2()1(2x x x -=+-- 7、1)1(234+-=+x x 8、x x x 31)1(2)1(-=--+ 9、)1(3)14(6)2(2x x x -=--- 10、)1(9)15(3)2(4x x x -=--- 11、)12(3)32(21+-=+-x x 12、x x x 31)1(2)1(-=--+ 13、)9(76)20(34x x x x --=-- 14、)3()2(2+-=-x x 15、)1(72)4(2--=+-x x x 16、)43(23)165(2--=+-x x x 17、)12(41)2(3--=+--x x x 18、)4(12)2(24+-=-+x x x 19、)1(9)14(3)2(2x x x -=--- 20、)1(9)14(3)2(2y y y -=--+ 21、)9(76)20(34x x x x --=-- 22、17}20]8)15(4[3{2=----x 23、2)]}4(8[2{3]5)4(3[2----=-+--x x x x x x 24、)1(32 )1(2121-=??????--x x x 25、1122(1)(1)223 x x x x ??---=-????

2参数方程知识讲解及典型例题

参数方程一、定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个参数 t 的函数，即 ?? ?==)()(t f y t f x ，其中，t 为参数，并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数． 1 y x Eg1（1 Eg2（1总结：参数方程化为普通方程步骤：（1）消参（2）求定义域 2、椭圆的参数方程：中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆： θ θsin cos b y a x == （θ为参数，θ的几何意义是离心角，如图角AON 是离心角）

注意：离心率和离心角没关系，如图，分别以椭圆的长轴和短轴为半径画两个同心圆，M 点的轨迹是椭圆，中心在（x 0，y 0 θ θ sin cos 00b y y a x x +=+= Eg 3， 4 pt y pt x 222 == （t 为参数，p ＞0，t 的几何意义为过圆点的直线的斜率的倒数）直线方程与抛物线方程联立即可得到。三、一次曲线（直线）的参数方程过定点P 0（x 0，y 0），倾角为α的直线， P 是直线上任意一点，设P 0P=t ，P 0P 叫点P 到定点P 0的有向距离，在P 0两侧t 的符号相反，直线的参数方程

αα sin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数，t 的几何意义为有向距离）说明：①t 的符号相对于点P 0，正负在P 0点两侧 ②｜P 0P ｜=｜t ｜直线参数方程的变式： bt y y at x x +=+=00，但此时t 的几何意义不是有向距离，只有当 t 得 y x Eg

一元二次方程经典考题难题

一元二次方程经典考题难题用适当的方法解下列方程 16)5(42=-x 0)12(532=++x x 04222=-+x x 22)3(4)12(+=-x x 9)32(4)32(122++=+x x 11.02.02=+x x 0)2(2)2)(1(3)1(222=---+++x x x x 6)53)(43(22=++++x x x x x x x 9)1(22=- 20)7)(5)(3)(1(=++++x x x x

1、若t 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根，则判别式ac 4b 2 -=△和完全平方式2)2(b at M +=的关系式（） A △=M B △＞M C △＜M D 大小关系不能确定 2、若关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 中a,b,c 满足9a-3b+c=0，则该方程有一根是______ 3、已知关于x 的一元二次方程02=++c bx x 的两根为2,121=-=x x ，则c bx x ++2分解因式的结果是______ 4、在实数范围内因式分解：=--742x x __________________ 5、已知03442=+--x x ，则=-+31232x x __________________ 6、m mx x ++24是一个完全平方式，则m=________________________ 7、已知,)2 1(822m x a x ax ++=++则a 和m 的值分别是__________________ 8、当k=_________时，方程012)3(2=++--k x x k 是关于x 的一元二次方程？ 9、关于x 的方程032)4()16(2 2=++++-m x m x m 当m______时，是一元一次方程：当m______时，是一元一次方程。 10、已知012=--x x ，则2009223++-x x 的值为__________ 11、已知012)()(22222=-+++y x y x ，则22y x +=_______ 12、试证明关于x 的方程012)208(22=+++-ax x a a ，无论a 取何值，该方程都是一元二次方程

(完整word)一元一次方程典型应用题汇编(精选题型含答案),推荐文档

一元一次方程的应用 1、列方程解应用题的基本步骤和方法：注意：（1）初中列方程解应用题时，怎么列简单就怎么列（即所列的每一个方程都直接的表示题意），不用担心未知数过多，简化审题和列方程的步骤，把难度转移到解方程的步骤上．（2）解方程的步骤不用写出，直接写结果即可．（3）设未知数时，要标明单位，在列方程时，如果题中数据的单位不统一，必须把单位换算成统一单位，尤其是行程问题里需要注意这个问题． 2、设未知数的方法：设未知数的方法一般来讲，有以下几种：（1）“直接设元”：题目里要求的未知量是什么，就把它设为未知数，多适用于要求的未知数只有一个的情况；（2）“间接设元”：有些应用题，若直接设未知数很难列出方程，或者所列的方程比较复杂，可以选择间接设未知数，而解得的间接未知数对确定所求的量起中介作用．（3）“辅助设元”：有些应用题不仅要直接设未知数，而且要增加辅助未知数，但这些辅助未知数本身并不需要求出，它们的作用只是为了帮助列方程，同时为了求出真正的未知量，可以在解题时消去．（4）“部分设元”与“整体设元”转换：当整体设元有困难时，可以考虑设其一部分为未知数，反之亦然，如：数字问题．

模块一：数字问题（1）多位数字的表示方法：一个两位数的十位数字、个位数字分别为a 、b ，（其中a 、b 均为整数，19a ≤≤，09b ≤≤）则这个两位数可以表示为10a b +．一个三位数的百位数字为a ，十位数字为b ，个位数字为c ，（其中均为整数，且19a ≤≤，09b ≤≤，09c ≤≤）则这个三位数表示为：10010a b c ++．（2）奇数与偶数的表示方法：偶数可表示为2k ，奇数可表示为21k +（其中k 表示整数）．（3）三个相邻的整数的表示方法：可设中间一个整数为a ，则这三个相邻的整数可表示为1,,1a a a -+．【例1】一次数学测验中，小明认为自己可以得满分，不料卷子发下来一看得了96分，原来是由于粗心把一个题目的答案十位与个位数字写颠倒了，结果自己的答案比正确答案大了36，而正确答案的个位数字是十位数字的2倍．正确答案是多少? 【解析】此题中数据96与列方程无关．与列方程有关的量就是小明粗心后所涉及的量．设正确答案的十位数字为x ，则个位数字为2x ，依题意，得(102)(102)36x x x x ?+-+=，解之得4x =．于是28x =．所以正确答案应为48．【答案】48 【例2】某年份的号码是一个四位数，它的千位数字是2，如果把2移到个位上去，那么所得的新四位数比原四位数的2倍少6，求这个年份．【解析】设这个年份的百位数字、十位数字、个位数字组成的三位数为x ，则这个四位数字可以表示为 21000x ?+，根据题意可列方程：()1022210006x x +=?+-，解得499x = 【答案】2499年【例3】有一个四位数，它的个位数字是8，如果将个位数字8调到千位上，则这个数就增加117，求这个四位数．【解析】设由原数中的千位数字、百位数字和十位数字组成的三位数为x ，则这个四位数可以表示为108x +，则调换后的新数可以表示为8000x +，根据题意可列方程1088000117x x +=+-，解得875x =，所以这个四位数为8758 【答案】8758

解二元一次方程组练习题经典

学习好资料欢迎下载解二元一次方程组练习题梅州）解方程组2013?．1．（淄博）解方程组．2．（2013? 邵阳）解方程组：2013?．3．（（4．2013?．遵义）解方程组 2013?．湘西州）解方程组：5．（（6．2013?荆州）用代入消元法解方程组．．?汕头）解方程组2013．7（ ?2012．8（湖州）解方程组．学习好资料欢迎下载

广州）解方程组2012?．9．（常德）解方程组：?10．（2012 2012?．南京）解方程组（11．厦门）解方程组：12．（2012?．．2011?永州）解方程组：（13． 14．（2011怀化）解方程组：?．桂林）解二元一次方程组：．?（15．2013 ?（．162010．南京）解方程组：学习好资料欢迎下载丽水）解方程组：（2010?17．

广州）解方程组：．?．18（2010 巴中）解方程组：．? 19．（2009 天津）解方程组：? 20．（2008 宿迁）解方程组：．2008? 21．（桂林）解二元一次方程组：．（22．2011? ?郴州）解方程组：200723．（．?（24．2007常德）解方程组：学习好资料欢迎下载宁德）解方程组：2005?25．（

岳阳）解方程组：?．（2011．26 苏州）解方程组：．27．（2005? ?（2005江西）解方程组：28． 29．（2013自贡模拟）解二元一次方程组：．? 黄冈）解方程组：．?（30．2013 解二元一次方程组练习题学习好资料欢迎下载参考答案与试题解析

一．解答题（共30小题）梅州）解方程组．2013? 1．（考点：解二元一次方程组；解一元一次方程．专题：计算题；压轴题．分析：①+②得到方程3x=6，求出x的值，把x的值代入②得出一个关于y的方程，求出方程的解即可．解答：解：， ①+②得：3x=6，解得x=2，将x=2代入②得：2﹣y=1，解得：y=1． ∴原方程组的解为．点评：本题考查了解一元一次方程和解二元一次方程组的应用，关键是把二元一次方程组转化成一元一次方程，题目比较好，难度适中． 2．（2013?淄博）解方程组．考点：解二元一次方程组．专题：计算题．分析：先用加减消元法求出y的值，再用代入消元法求出x的值即可．解答：解：， ①﹣2×②得，﹣7y=7，解得y=﹣1；把y=﹣1代入②得，x+2×（﹣1）=﹣2，解得x=0，故此方程组的解为：．点评本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键 3．（2013?邵阳）解方程组：．

(完整版)参数方程高考真题专题训练

高考真题专题训练——参数方程专题（6.11-6.12） 1、（2012课标全国Ⅰ，理23，10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为 2cos 22sin x y α α =?? =+?（α为参数）M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM =u u u v u u u u v ,P 点的轨迹为曲线C 2 (Ⅰ)求C 2的方程 (Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3 πθ=与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB . 2、（2012课标全国Ⅱ，理23，10分）已知曲线1C 的参数方程是)(3sin y 2cos x 为参数??? ???==，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的坐标系方程是2=ρ，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3π （1）求点,,,A B C D 的直角坐标；（2）设P 为1C 上任意一点，求2 2 2 2 PA PB PC PD +++的取值范围。 3、(2013课标全国Ⅰ，理23，10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为45cos , 55sin x t y t =+??=+?(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．

4，(2013课标全国Ⅱ，理23，10分)已知动点P ，Q 都在曲线C ：2cos , 2sin x t y t =??=?(t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点． (1)求M 的轨迹的参数方程； (2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 5、（2014课标全国Ⅰ，理23，12分）已知曲线C ：22 149x y +=，直线l ：222x t y t =+??=-?（t 为参数）（Ⅰ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o 30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值. 6、(2014课标全国Ⅱ，理23，10分)在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ??∈????. （Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.

一元二次方程经典例题集锦有答案

一元二次方程经典例题集锦一、一元二次方程的解法 1．开平方法解下列方程：（1）012552=-x （2）289)3(1692=-x （3）03612=+y （5,521-==x x ）（13 22,135621== x x ）（5）（4）0)31(2 =-m （6） 85 )13(22 =+x （021==m m ）（3521±-=x ） 2．配方法解方程：（3）（1）0522=-+x x （2）0152=++y y （3）3422-=-y y （61±-=x ）（2215±-= x ）（2101±=y ） 3．公式法解下列方程：（1）2632-=x x （2）p p 3232=+ （3）y y 1172= （333±= x ）（321==p p ）（0,71121==y y ）（4）2592-=n n （5）3)12)(2(2---=+x x x （2 153±= x ） 4．因式分解法解下列方程：

（1）094 12=-x （2）04542=-+y y （3）031082=-+x x （6±=x ）（5,921=-=y y ）（23,4121-== x x ）（4）02172=-x x （5）6223362-=-x x x （3,021==x x ）（32,2321== x x ）（6）1)5(2)5(2--=-x x （7）08)3(2)3(222=-+-+x x x （621==x x ）（1,4,1,24321=-=-=-=x x x x ） 5．解法的灵活运用（用适当方法解下列方程）：（1）128)72(22=-x （2）222)2(212m m m m -=+- （3）)3)(2()2(6+-=-x x x x （227±=x ）（262±=m ）（5 3,221==x x ）（4）3 )13(2)23(332-+-=+y y y y y （5）22)3(144)52(81-=-x x （2,2321==y y ）（2 3,102721==x x ） 6．解含有字母系数的方程（解关于x 的方程）：（1）02222=-+-n m mx x （2）124322+-=+a ax a x