立体几何专题训练

立体几何专题训练

14、如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，

90ACB ∠=，AP BP AB ==，PC AC ⊥．

（Ⅰ）求证：PC AB ⊥；

（Ⅱ）求二面角B AP C --的平面角的余弦值； （Ⅲ）求点C 到平面APB 的距离．

A

C

B

P

15、如图,α⊥β,α∩β=l , A ∈α, B ∈β,点A 在直线l 上的射影为A 1, 点B 在l 的射影为B 1,已知AB=2,AA 1=1, BB 1=2, 求: (Ⅰ) 直线AB 分别与平面α,β所成角的大小； (Ⅱ)二面角A 1－AB －B 1的平面角的正弦值

A B

A 1

B 1 α

β

l

16、如图，在四棱锥ABCD

P-中，底面ABCD是矩形．已知

60

,2

2

,2

,2

,3=

∠

=

=

=

=PAB

PD

PA

AD

AB．

（Ⅰ）证明⊥

AD平面PAB；

（Ⅱ）求异面直线PC与AD所成的角的正切值；

（Ⅲ）求二面角A

BD

P-

-的平面角的正切值

18.如图，在直三棱柱

111

ABC A B C

-中，平面

1

A BC⊥侧面

11

.

A ABB

（Ⅰ）求证：;

AB BC

⊥

（Ⅱ）若

1

AA AC a

==，直线AC与平面

1

A BC所成的角为θ，

二面角

1

,.

2

A BC A

π

?θ?

--+=

的大小为求证：

立体几何专题训练参考答案

13.（08全国18）四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面

ABC ⊥底面BCDE ，2BC =

，CD =，AB AC =．

（Ⅰ）证明：AD CE ⊥；

（Ⅱ）设CE 与平面ABE 所成的角为

45，求二面角C AD E --的平面角的余弦值．

解：（1）取BC 中点F ，连接DF AB AC =，∴AF BC ⊥，

又面ABC ⊥面BCDE ，∴AF ⊥∴AF CE ⊥．

tan tan 2CED FDC ∠=∠=， ∴90OED ODE ∠+∠=，∴∠CE ∴⊥面ADF ，CE AD ∴⊥．

（2）在面ACD 内过C 点作AD 的垂线，垂足为G ．

CG AD ⊥，CE AD ⊥，AD ∴⊥面CEG ，EG AD ∴⊥， 则CGE ∠即为所求二面角的平面角．

23AC CD CG AD ==，DG =，EG ==，

CE =222cos 2CG GE CE CGE CG GE +-∠==，

πarccos CGE ∴∠=-??

，即二面角C AD E --的大小

πarccos -??

．

14.（08北京卷16）如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=，AP BP AB ==，PC AC ⊥． （Ⅰ）求证：PC AB ⊥；

（Ⅱ）求二面角B AP C --的平面角的正弦值；

（Ⅲ）求点C 到平面APB 的距离．

解法一：

（Ⅰ）取AB 中点D ，连结PD CD ，． AP BP =，PD AB ∴⊥． AC BC =，CD AB ∴⊥．

PD CD D =，AB ∴⊥平面PCD ． PC ?平面PCD ， PC AB ∴⊥． （Ⅱ）AC BC =，AP BP =， APC BPC ∴△≌△． 又PC AC ⊥，PC BC ∴⊥．

又90ACB ∠=，即AC BC ⊥，且AC PC C =， BC ∴⊥平面PAC ．

取AP 中点E ．连结BE CE ，． AB BP =，BE AP ∴⊥．

EC 是BE 在平面PAC 内的射影， CE AP ∴⊥．

BEC ∴∠是二面角B AP C --的平面角． 在BCE △中，90BCE ∠=，2BC =，BE AB =

= sin BC BEC BE ∴∠=

=． ∴二面角B AP C --的大小为arcsin

3

． （Ⅲ）由（Ⅰ）知AB ⊥平面PCD ， ∴平面APB ⊥平面PCD ．

过C 作CH PD ⊥，垂足为H ． 平面APB 平面PCD PD =， CH ∴⊥平面APB ．

CH ∴的长即为点C 到平面APB 的距离．

由（Ⅰ）知PC AB ⊥，又PC AC ⊥，且AB AC A =， PC ∴⊥平面ABC ．CD ?平面ABC ，PC CD ∴⊥． 在Rt PCD △中，1

2

CD AB =

=PD PB == 2PC ∴==．

3

32=?=PD CD PC CH ．

∴点C 到平面APB ．

15、（08福建卷18）如图,α⊥β,α∩β=l , A ∈α, B ∈β,点A 在直线l 上的射影为A 1, 点B 在l 的射影为B 1,已知AB=2,AA 1=1, BB 1=2, 求:

(Ⅰ) 直线AB 分别与平面α,β所成角的大小；

(Ⅱ)二面角A 1－AB －B 1的平面角的正弦值

解法一： (Ⅰ)如图, 连接A 1B,AB 1, ∵α⊥β, α∩β=l ,AA 1⊥l , BB 1⊥l ,

∴ AA 1⊥β, BB 1⊥α. 则∠BAB 1,∠ABA 1分别是AB 与α和β所成的角.

Rt △BB 1A 中, BB 1=2 , AB=2, ∴sin ∠BAB 1 = BB 1AB = 2

2

. ∴∠

BAB 1=45°.

Rt △AA 1B 中, AA 1=1,AB=2, sin ∠ABA 1=AA 1AB = 1

2

, ∴∠ABA 1= 30°.

故AB 与平面α,β所成的角分别是45°,30°.

(Ⅱ) ∵BB 1⊥α, ∴平面ABB 1⊥α.在平面α内过A 1作A 1E ⊥AB 1交AB 1于E

则A 1E ⊥平面AB 1B ，过E 作EF ⊥AB 交AB 于F ，连接A 1F ，则A 1F ⊥AB ∴ ∠A 1FE 就是所求二面角的平面角.

∠BAB 1=45° ∴ AB 1=B 1B= 2 ∴ A 1B=AB 2－AA 12 =4－1 = 3.

由AA 1·A 1B=A 1F ·AB 得 A 1F=AA 1·A 1B AB = 1×32 = 3

2

∴ sin ∠A 1FE = A 1E A 1F = 63 ∴ 二面角A 1－AB －B 1的大小为arcsin 6

3

.

解法二：

(Ⅱ) 如图,建立坐标系, 则A 1(0,0,0),A(0,0,1),B 1(0,1,0),B(2,1,0)

在AB 上取一点F(x,y,z),则存在t ∈R,使得AF →=tAB →

即(x,y,z －1)=t(2,1,－1)

∴点F 的坐标为(2t, t,1－t)，要使A 1F →⊥AB →，须A 1F →·AB →

=0,

即(2t, t,1－t) ·(2,1,－1)=0, 2t+t －(1－t)=0 解得t=1

4

∴点F 的坐标为(24,－14, 34 ) ∴ A 1F →

=(24,14, 34

)

设E 为AB 1的中点,则点E 的坐标为(0,12, 12) ∴ EF →

=(24,－14,14

).

又EF →·AB →=(24,－14,14)·(2,1,－1)= 12 － 14 － 14

=0, ∴EF →⊥AB →

∴ ∠A 1FE 为所求二面角的平面角.

A B

A 1

B

α β

l

E

F

A C B

D

P A

B

P C

E

A

B

cos ∠A 1FE= A 1F →·EF →|A 1F →|·|EF →| = (24，14，34)·(24，－14，14)216+116+916 ·216+116+116 = 18－116+

3

1634 ·

12 = 1

3 =

3

3

∴ 二面角A 1－AB －B 1的大小为arccos

33

.

16、（08天津卷19）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD

是矩形．已知

60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ．

（Ⅰ）证明⊥AD 平面PAB ；

（Ⅱ）求异面直线PC 与AD 所成的角的正切值； （Ⅲ）求二面角A BD P --的平面角的正切值。

（Ⅰ）证明：在PAD ?中， 由题设22,2==PD PA 可得

222PD AD PA =+于是PA AD ⊥. 在矩形ABCD 中，

AB AD ⊥.又A AB PA = ，

所以⊥AD 平面PAB ．

（Ⅱ）解：由题设，AD BC //，所以PCB ∠（或其补角）是异面直线PC 与AD 所成的角. 在PAB ?中，由余弦定理得

由（Ⅰ）知⊥AD 平面PAB ，

?PB 平面PAB ，

所以PB AD ⊥，因而PB BC ⊥， 于是PBC ?是直角三角形，

故2

7

tan ==BC PB PCB ． 所以异面直线PC 与AD 所成的角的大

小为2

7

arctan ．

（Ⅲ）解：过点P 做AB PH ⊥于H ，过点H 做BD HE ⊥于E ，连

结PE

因为⊥AD 平面PAB ，?PH 平面PAB ，所以PH AD ⊥.又

A A

B AD = ，

因而⊥PH 平面ABCD ，故HE 为PE 再平面ABCD 内的射影.由三垂线定理可知，

PE BD ⊥，从而PEH ∠是二面角A BD P --的平面角。

由题设可得，

13

4

,13,2,

160cos ,360sin 2

2=

?==+==-==?==?=BH BD AD HE AD AB BD AH AB BH PA AH PA PH 于是再PHE RT ?中，439

tan =PEH

所以二面角A BD P --的大小为439

arctan ． 17、（08上海卷16）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是BC 1的中点．求直线DE 与平面ABCD 所成角的正切值。

【解】过E 作EF ⊥BC ，交BC 于F ，连接DF. ∵ EF ⊥平面ABCD ，

∴ ∠ED F 是直线DE 与平面ABCD

所成的角. ……………4分 由题意，得EF =11

1.2

CC = ∵

1

1,2

CF CB DF =

=∴=..8分 ∵ EF ⊥DF ， ∴ tan 5EF EDF DF ∠=

=……………..10分 故直线DE 与平面ABCD 所成角的大小是arctan 5.12分

18. （08湖北卷18）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面1A BC ⊥侧面11.A ABB

（Ⅰ）求证： ;AB BC ⊥

（Ⅱ）若1AA AC a ==，直线AC 与平面1A BC 所成的角为θ，二面角1,.2

A BC A π?θ?--+=的大小为求证：

(Ⅰ)证明：如右图，过点A 在平面A 1ABB 1内作AD ⊥A 1B 于D ，则

由平面A 1BC ⊥侧面A 1ABB 1,且平面A 1BC ∩侧

面A 1ABB 1＝A 1B ，

得AD ⊥平面

A 1BC .又BC 平面A 1BC 所以AD ⊥BC .

因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱,

则AA 1⊥底面ABC ,所以AA 1⊥BC .

又AA 1∩AD =A ,从而BC ⊥侧面A 1ABB 1, 又AB 侧面A 1

ABB 1， 故AB ⊥BC .

(Ⅱ)证法1：连接CD ,则由(Ⅰ)知∠ACD 就是直线AC 与平面A 1BC

所成的角，∠ABA 1就是二面角A 1－BC －A 的颊角，即∠ACD ＝θ，∠ABA 1=?.

7

cos 22

2=?

?-+=PAB AB PA AB PA PB

于是在Rt ΔADC 中，sin θ=

a

AD

AC AD =

,在Rt ΔADA 1中，sin ∠AA 1D ＝

a

AD

AA AD 1,

∴sin θ=sin ∠AA 1D ,由于θ与∠AA 1D 都是锐角，所以θ＝∠

AA 1D . 又由Rt ΔA 1AB 知，∠AA 1D ＋?＝∠AA 1B ＋?＝

2

π

，故θ＋?＝2

π.