立体几何及解题技巧以及空间距离专题复习

α

n

r A ?P

?O

?h A

B C

D α β

l

知识点整理

(一)平行与垂直的判断

(1)平行：设,αβ的法向量分别为,u v r r ，则直线,l m 的方向向量分别为,a b r r

，平面

线线平行l ∥m ?a r ∥b r a kb ?=r r ；线面平行l ∥α?a r u ⊥r 0a u ??=r r

； 面面平行α∥β?u r ∥v r .u kv ?=r r

(2)垂直：设直线,l m 的方向向量分别为,a b r r ，平面,αβ的法向量分别为,u v r r

，则

线线垂直l ⊥m ?a r ⊥b r 0a b ??=r r ；线面垂直l ⊥α?a r ∥u r a ku ?=r r

；

面面垂直α⊥β?⊥v .0=??

(二)夹角与距离的计算 注意：以下公式可以可以在非正交基底下用，也可以在正交基底下用坐标运算

(1)夹角：设直线,l m 的方向向量分别为,a b r r ，平面,αβ的法向量分别为,u v r r

，则

①两直线l ,m 所成的角为θ(02π

θ≤≤),cos a b a b

θ?=r r r r ；

②直线l 与平面α所成的角为θ(02π

θ≤≤),sin a u a u

θ?=r r

r r ；

③二面角α─l ─β的大小为θ(0θπ≤≤),cos .u v

u v

θ?=r r r r

(2)空间距离

点、直线、平面间的距离有种.点到平面的距离是重点,两异面直线间的距离是难,

① 点到平面的距离h :(定理)如图，设n r

是是平面α的法向量，AP 是平面α的一条斜线，

其中A α∈则点P 到平面α的距离

② h =

||

||

AP n n ?u u u r u u r

u u r (实质是AP u u u r 在法向量n r 方向上的投影的绝对值) ③ 异面直线12,l l 间的距离d :||

||

CD n d AB n ?==u u u r u u r

r (12,l l 的公垂向量为n r ,C D 、分别是12,l l 上任一点). 题型一：非正交基底下的夹角、距离、长度的计算

例1．如图，已知二面角α-l -β的大小为1200

，点A ∈α，B ∈β，AC ⊥l 于点C ，BD ⊥l 于点D ，且AC=CD=DB=1. 求：（1）A 、B 两点间的距离；

（2）求异面直线AB 和CD 的所成的角 （3）AB 与CD 的距离.

解：设,c DB ,b CD ,a AC ===则

,60c ,a ,90c ,b b ,a ,1|c ||b ||a |00>=<>=>=<<===

（1）()

2a c 2c b 2b a 2c b a c b a |AB |2

222

=?+?++?+++=++=∴

，

∴ A 、B 两点间的距离为2.

（2）异面直线AB 和CD 的所成的角为600

（3）设与AB 、CD 都垂直的非零向量为c z b y a x n ++=，

由AB n ⊥得0z 3y 2x 30)c b a ()c z b y a x (=++?=++?++①； 由CD n ⊥得0y 0b )c z b y a x (=?=?++②，

令x=1，则由①、②可得z=-1，∴c a n -=，由法则四可知，AB 与CD 的距离为

()

2

1c a a c a (|

n |AC n |AC |

n |n |

d 2

=

-=

=

?=. 小结：任何非正交基底下的证明、计算都先设基底，并将条件也用基底表示，特别证明线面平行时，如AB//平面PEF 可以将AB 有基底表示，PE ，PF 也用基底表示，最后用待定系数法PF PE AB μ+λ=，将λ和μ求出。 例2。如图，在三棱锥A —BCD 中，侧面ABD 、ACD 是全等的直角三角形，AD 是公共的斜边，且AD =3，BD =CD =1。另一个侧面ABC 是正三角形. （1）求证：AD ⊥BC ；

（2）求二面角B —AC —D 的大小；

（3）在段线AC 上是否存在一点E ,使ED 与面BCD

成30°角？若存在，确定点E 的位置；若不存 在，说明理由.

20．解法一：

（1）方法一：作AH ⊥面BCD 于H 连DH.

AB ⊥BD ?HB ⊥BD ，∵AD =3，BD =1

∴AB =2=BC =AC ∴BD ⊥DC

又BD =CD ，则BHCD 是正方形， 则DH ⊥BC. ∴AD ⊥BC ，

方法二：取BC 的中点O ，连AO 、DO ， 则有AO ⊥BC ，DO ⊥BC . ∴BC ⊥面AOD ，∴BC ⊥AD

（2）作BM ⊥AC 于M ，作MN ⊥AC 交AD 于N ， 则∠BMN 就是二面角B —AC —D 的平面角. ∵AB =AC =BC =2，∴M 是AC 的中点，且MN //CD .

则BM =

.2

321,2121,26====AD BN CD MN 由余弦定理得arccos ,362cos 222=∠∴=?-+=∠BMN MN BM BN MN BM BMN 3

6

.

（3）设E 为所求的点，作EF ⊥CH 于F ，连FD ，则EF//AH ，

∴EF ⊥面BCD ，∠EDF 就是ED 与面BCD 所成的角，则∠EDF =30°， 设EF =x ，易得AH =HC =1，则CF =x ，FD =21x +.

,12,22

,331tan 2====+==

∠∴x CE x x

x FD EF EDF 则解得

故线段AC 上存在E 点，且CE =1时，ED 与面BCD 成30°角.

解法二：

（1）作AH ⊥面BCD 于H ，连BH 、CH 、DH ，则四边形BHCD 是正方形，且AH =1， 以D 为原点，以DB 为x 轴，DC 为y 轴建立空间直角坐标系如图， 则B （1，0，0），C （0，1，0），A （1，1，1）.

.

,0),1,1,1(),0,1,1(AD BC DA BC DA BC ⊥=?∴=-=则

（2）设平面ABC 的法向量为1n =),,(z y x ，

).

1,1,1(.0;0:11111-==+=⊥⊥=+-=?⊥n z x CA n CA n y x BC n BC n 可取知同理由知则由 同理，可求得平面ACD 的一个法向量为)1,0,1(2-=n . 由图可以看出，二面角B —AC —D 的大小应等于><21,n n

cos 则><21,n n =

3

6

2

3101|

|||2121=

?++=

n n n n ，即所求二面角的大小是.36arccos （3）设E （x ，y ，z ）是线段AC 上一点，则,1,0=>=y z x 平面BCD 的一个法向量为),,1,(),1,0,0(x x DE n ==

要使ED 与面BCD 成30°角，由图可知n DE 与的夹角为60°，

.30,1,.12,2

2

,,212.

21

60cos 21|

|||,cos 22

角成与面时且点上存在故线段则解得则所以οοBCD ED CE E AC x CE x x x x x

n DE n DE ====

+===+=

>=

<

A

B

C

D

E

F

x

y

z

G

题型二、利用坐标系或几何法解决距离、角度及其证明问题

例3、如题（18）图，在五面体ABCDEF 中，AB ∥DC ，2

BAD π

∠=，2CD AD ==，四边形ABFE 为平行

四边形，FA ⊥平面ABCD ，3,7FC ED ==

（Ⅰ）直线AB 到平面EFCD 的距离；

（Ⅱ）二面角F AD E --的平面角的正切值． 解法一:

（Ⅰ）,AB DC DC ?Q P 平面EFCD , ∴AB 到面EFCD 的距离等于点A 到面EFCD 的距离，过点A 作AG FD ⊥于G ，因2

BAD π

∠=

AB ∥DC ，故

CD AD ⊥；又Q FA ⊥平面ABCD ，由三垂线定理可知，CD FD ⊥，故

CD FAD ⊥面，知CD AG ⊥，所以AG 为所求直线AB 到面EFCD 的距离

在Rt ABC △中，22945FD FC CD =

--=由FA ⊥平面ABCD ，得FA ⊥AD ，从而在Rt △FAD 中，22541FA FD AD =

-=-=

∴25

55

FA AD AG FD ?=

==

。即直线AB 到平面EFCD 25。 （Ⅱ）由己知，FA ⊥平面ABCD ，得FA ⊥AD ，又由2

BAD π

∠=

，知AD AB ⊥，故AD ⊥平面ABFE

∴DA AE ⊥，所以，FAE ∠为二面角F AD E --的平面角，记为θ.

在Rt AED △中, 22743AE ED AD =-=-,由ABCD Y 得,FE BA P ,从而2

AFE π

∠=

在Rt AEF △中, 22312FE AE AF =

-=-=故tan 2FE

FA

θ=

=所以二面角F AD E --2.

解法二: （Ⅰ）如图以A 点为坐标原点,,,AB AD AF u u u r u u u r u u u r

的方向为,,x y z 的正方向建立

空间直角坐标系数,则

A(0,0,0) C(2,2,0) D(0,2,0) 设00(0,0,)(0)F z z >可得0(2,2,)FC z =-u u u r

,由

||3FC =u u u r .2220223z ++=,解得(0,0,1)F Q AB ∥DC ，

DC ?面EFCD ,所以直线AB 到面EFCD 的距离等于点A 到面EFCD 的距离。设A 点在平面EFCD 上的射

影点为111(,,)G x y z ,则111(,,)AG x y z =u u u r

因0AG DF ?=u u u r u u u r 且0AG CD ?=u u u r u u u r ,而(0,2,1)DF =-u u u r

(2,0,0)CD =-u u u r ,此即1112020

y z x -+=??-=? 解得10x = ① ,知G 点在yoz 面上,故G 点在FD 上.

GF DF u u u r u u u r P ,111(,,1)GF x y z =---+u u u r 故有1112y z =-+ ② 联立①,②解得, 24

(0,,)55

G .

∴||AG u u u r 为直线AB 到面EFCD 的距离. 而24

(0,,)55

AG =u u u r

所以||AG =u u u r

（Ⅱ）因四边形ABFE 为平行四边形,则可设00(,0,1)(0)E x x <,0(2,1)ED x =--u u u r

.由

||ED =u u u r

=

解得0x =.

即(E .

故(AE =u u u r

由(0,2,0)AD =u u u r ,(0,0,1)AF =u u u r

因0AD AE ?=u u u r u u u r ,0AD AF ?=u u u r u u u r ,故FAE ∠为二面角F AD E --的平面角，又

Q EF =u u u r

,||EF =u u u r ,||1AF =u u u r ,

所以||

tan ||

EF FAE FA ∠==u u u r

u u u r 例3、如图,四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形， 侧面SBC ⊥底面ABCD.已知∠ABC ＝45°，AB ＝2，BC=22， SA ＝SB ＝3.

(1)证明：SA ⊥BC ；

(2)求直线SD 与平面SAB 所成角的大小.

求异面直线DC 、SA 的距离.

解: (1)作AE BC ⊥于E 点,则

cos 2cos 45AE BE AB ABE ==?∠=?=o

又∵BC=22

∴

12BE BC =

,

即E 点是BC 的中点. 又∵SEA SB ??? ∴ 90SEB SEA ∠=∠=o

, 即SE 是BC 的中垂线. 又∵侧面SBC ⊥底面ABCD ∴SE AC ⊥面.

(2) 以E 为原点,分别以向量

,,EA EB ES u u u r u u u r u u u r

的正方向为x 轴、y 轴、z 轴的非负半轴,建立空间直角坐标系,如图4所

示. 容易求得SE=1,于是

,0),S(0,0,1),E(0,0,0).

设平面SAB 的法向量

(x,y,z)n =r

,

实用文档

∵ (2,0,1)SA =-u u r

,

SB=(0,2,-1)u u r

∴2-02-0n SA x z n SB y z ??==???==??

r u u r r u u r 令2z =,得(1,1,2)n =r

. 又∵(2,22,1)SD =--u u u r

设直线SD 与平面SAB 所成的角为θ,则

2222

sin 114SD n SD n

θ?==

=??u u u r r u u u r r

∴

22

arcsin

11θ=.

题型三、探索性问题

已知△BCD 中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB ⊥平面BCD ，

∠ADB=60°，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且).10(<<==λλAD

AF AC

AE

（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ； （Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD ？ 21．证明：（Ⅰ）∵AB ⊥平面BCD ， ∴AB ⊥CD ，

∵CD ⊥BC 且AB ∩BC=B ， ∴CD ⊥平面ABC.………………………………3分 又),10(<<==λλAD

AF AC AE Θ

∴不论λ为何值，恒有EF ∥CD ，∴EF ⊥平面ABC ，EF ?平面BEF,

∴不论λ为何值恒有平面BEF ⊥平面ABC …………．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE ⊥EF ，又平面BEF ⊥平面ACD ， ∴BE ⊥平面ACD ，∴BE ⊥AC.………………8分 ∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°， ∴,660tan 2,2===

οAB BD

,722=+=∴BC AB AC 由AB 2

=AE ·AC 得,7

6,7

6==∴=AC

AE AE λ

故当7

6

=

λ时，平面BEF ⊥平面ACD.………………………………………………12分 22.（2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）

如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的2倍，P 为侧棱SD 上的点。 （Ⅰ）求证：AC ⊥SD ；

（Ⅱ）若SD ⊥平面PAC ，求二面角P-AC-D 的大小

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC 上是否存在一点E,使得BE ∥平面PAC 。若存在，求SE ：EC 的值；若不存在，试说明理由。

实用文档

解法一：（Ⅰ）连BD ，设AC 交BD 于O ，由题意SO AC ⊥。在正方形ABCD 中，AC BD ⊥，所以AC SBD ⊥平面,得AC SD ⊥.

(Ⅱ)设正方形边长a ，则2SD a =

。

又2

2

OD =

，所以060SOD ∠=, 连OP ，由（Ⅰ）知AC SBD ⊥平面,所以AC OP ⊥, 且AC OD ⊥,所以POD ∠是二面角P AC D --的平面角。 由SD PAC ⊥平面,知SD OP ⊥,所以0

30POD ∠=, 即二面角P AC D --的大小为0

30。

（Ⅲ）在棱SC 上存在一点E ，使//BE PAC 平面

由（Ⅱ）可得2

4

PD a =

，故可在SP 上取一点N ,使PN PD =,过N 作PC 的平行线与SC 的交点即为E 。连BN 。在BDN V 中知//BN PO ，又由于//NE PC ,故平面//BEN PAC 平面，得//BE PAC 平面,由于21SN NP =：：,故21SE EC =：：

. 解法二：（Ⅰ）；连BD ,设AC 交于BD 于O ，由题意知SO ABCD ⊥平面.以O 为坐标原点，OB OC OS ，

，分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系O xyz -如图。 设底面边长为a ，则高6

SO =

。 于是 62),(,0,0)S D 2,0)C 则：2,0)OC =26(,0,)SD = 0OC SD ?= 故OC SD ⊥ 从而AC SD ⊥ (Ⅱ)由题设知，平面PAC 的一个法向量26(

,0,)22DS a a =，平面DAC 的一个法向量6

)0,0,)2

OS a =，设